Dạy học một số khái niệm trong môn Toán THPT bằng con đường quy nạp

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

====

NGUYỄN THỊ LÝ

DẠY HỌC MỘT SỐ KHÁI NIỆM
TRONG MÔN TOÁN THPT
BẰNG CON ĐƢỜNG QUY NẠP

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học môn Toán

HÀ NỘI 2015


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

====

NGUYỄN THỊ LÝ

DẠY HỌC MỘT SỐ KHÁI NIỆM
TRONG MÔN TOÁN THPT
BẰNG CON ĐƢỜNG QUY NẠP

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học môn Toán

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
ThS. DƢƠNG THỊ HÀ

HÀ NỘI - 2005


LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô Dương Thị Hà, người đã tận tình
hướng dẫn giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong tổ Phương pháp dạy Toán –
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ em trong
suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo và nghiên cứu khoa
học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để em
nghiên cứu luận văn.
Xin cảm ơn Ban giám hiệu và các thầy cô trường THPT Trần Hưng Đạo và
THPT Bình Giang đã động viên giúp đỡ tôi hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu của
mình.
Hà Nội,02 tháng 05 năm 2015

Nguyễn Thị Lý


LỜI CAM ĐOAN

Tên tôi là: Nguyễn Thị Lý
Sinh viên: Lớp K37B – Toán Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2
Tôi xin cam đoan đề tài “Dạy học một số khái niệm trong môn Toán
THPT bằng con đƣờng quy nạp”là kết quả quá trình nghiên cứu, tìm tòi học hỏi
của bản thân tôi dưới sự chỉ đạo của giáo viên hướng dẫn. Những kết quả nghiên

cứu trong khóa luận chưa từng được công bố tại bất cứ công trình nghiên cứu nào.
Hà Nội, ngày tháng
Sinh viên

Nguyễn Thị Lý

năm


DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT

GV: Giáo viên
HS: Học sinh
SGKNC: Sách giáo khoa nâng cao


MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài: ................................................................................................................ 1
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu: .................................................................................. 2
2.1.Mục đích nghiên cứu: ..................................................................................................... 2
2.2.Nhiệm vụ nghiên cứu: .................................................................................................... 3
3. Đối tượng - phạm vi nghiên cứu: ................................................................................. 3
3.1.Đối tượng nghiên cứu: ................................................................................................... 3
3.2.Phạm vi nghiên cứu: ....................................................................................................... 3
4. Phương pháp nghiên cứu: .............................................................................................. 3
5. Cấu trúc khóa luận: ............................................................................................................ 3
PHẦN NỘI DUNG ..................................................................................................................... 6
Chương 1: Cơ sở lý luận ....................................................................................................... 6
1.1. Khái niệm là gì ? .............................................................................................................. 6

1.2.Vai trò của khái niệm ..................................................................................................... 6
1.2.1.Khái niệm vừa là sản phẩm vừa là phương tiện của quá trình tư duy ... 6
1.2.2.Khái niệm vừa là cơ sở của khoa học Toán học, vừa là động lực phát
triển của Toán học .................................................................................................................. 7
1.2.3.Hình thành các khái niệm Toán học cho học sinh là một trong những
nhiệm vụ mấu chốt của dạy học Toán ở trường phổ thông .................................. 8
1.3.Nội hàm và ngoại diên của khái niệm...................................................................... 9
1.3.1.Thuộc tính bản chất và thuộc tính đặc trưng của khái niệm ...................... 9
1.3.2.Nội hàm và ngoại diên của khái niệm .................................................................. 9
1.4.Định nghĩa khái niệm ................................................................................................... 10
1.4.1.Một số hình thức định nghĩa khái niệm ............................................................ 10
1.4.2.Khái niệm cơ bản ....................................................................................................... 12
1.5. Yêu cầu của dạy học khái niệm: .............................................................................. 13


1.6. Các con đường dạy học khái niệm ......................................................................... 14
1.7.1. Các giai đoạn chủ yếu của con đường quy nạp ............................................. 14
1.7.2. Ưu nhược điểmvà điều kiện hoạt động của con đường quy nạp trong
dạy học khái niệm ................................................................................................................. 18
1.11. Việc sử dụng con đường quy nạp trong dạy học khái niệm Toán ở
THPT .......................................................................................................................................... 19
1.11.1Hệ thống hóa các khái niệm Toán trong SGK ở THPT ............................... 19
Chương 2.Vận dụng con đường quy nạp trong việc dạy học khái niệm ......... 26
toán học ở trường THPT .................................................................................................... 26
2.1. Dạy học khái niệm hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến ......................... 26
2.2. Dạy học khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ ........................................................ 29
2.Dạy học khái niệm tam thức bậc hai ......................................................................... 31
2.4. Dạy học khái niệm vectơ pháp tuyến của đường thẳng .............................. 34
2.5. Dạy học khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng ............................... 35
2.6. Dạy học khái niệm cấp số cộng ............................................................................... 37

2.7. Dạy học khái niệm cấp số nhân............................................................................... 40
2.8. Dạy học khái niệm hàm số liên tục:...................................................................... 44
2.9. Dạy học khái niệm phép biến hình ........................................................................ 47
2.10. Dạy học khái niệm phép dời hình ....................................................................... 49
2.11. Dạy học khái niệm hai mặt phẳng song song ................................................. 52
2.12. Dạy học khái niệm nguyên hàm ........................................................................... 53
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ .......................................................................................... 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................................ 58


PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài:
Luật giáo dục nước ta đã chỉ rõ:Phương pháp (PP) giáo dục phổ thông phải
phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh (HS), phù hợp
với đặc điểm của từng môn học trong nhà trường phổ thông. Trong nhà trường,
môn Toán giữ vị trí hết sức quan trọng. Những tri thức và kĩ năng toán học cùng
với những phương pháp làm việc trong Toán học trở thành những công cụ để
học tập những môn học khác trong nhà trường, là công cụ của nhiều ngành khoa
học khác nhau, là công cụ để hoạt động trong đời sống thực tế. Vì vậy Toán học
là một thành phần không thể thiếu trong trình độ văn hóa phổ thông của con
người. Tuy nhiên, đối với học sinh đây là môn học có tính trừu tượng hóa cao độ
và là môn học khó và các khái niệm là nguồn gốc của những khó khăn, trở ngại
đối với học sinh yếu về toán, các em thậm chí không hiểu các khái niệm cơ bản
về toán học. Vì vậy, trong việc dạy học Toán, cũng như bất cứ một khoa học nào
ở trường phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách vững chắc
cho học sinh một hệ thống khái niệm. Đó là cơ sở của toàn bộ kiến thức Toán
học của học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụng
kiến thức đã học. Quá trình hình thành khái niệm có tác dụng lớn đến việc phát
triển trí tuệ, đồng thời cũng góp phần giáo dục thế giới khách quan cho học sinh.
Dạy học khái niệm Toán học là một trong các tình huống điển hình

trong dạy học môn Toán. Các con đường tiếp cận khái niệm (như con đường
suy diễn, con đường quy nạp, con đường kiến thiết) mỗi con đường đều có
những ưu, nhược điểm riêng,tùy theo từng trường hợp cụ thể mà giáo viên
chọn cho mình một con đường thích hợp. Theo tôi, việc học tập phải là một
quá trình tích cực trong đó học sinh kiến tạo ý tưởng mới hay khái niệm
mới trên cơ sở vốn kiến thức của họ, việc học phải làm sao khuyến khích
học sinh tìm ra các dữ kiện và các mối liên hệ giữa các dữ kiện đó. Và đối với

GVHD: ThS. Dương Thị Hà

1


việc học tập Toán học, tôi cũng tin rằng: “Toán học học được nhờ quá trình
đó sẽ được hiểu tốt hơn và dễ dàng hơn so với việc học được bằng cách thụ
động”. Khi xây dựng đề tài này tôi đặc biệt quan tâm tới ý kiến sau đây của
GS. Nguyễn Cảnh Toàn:“Việc dạy Toán chỉ với mục đích truyền thụ kiến thức
sẽ dẫn tới việc coi trọng suy diễn và xem nhẹ quy nạp.Nhưng nếu đặt vấn đề
rèn luyện óc thông minh sang tạo cho học sinh thì vai trò của quy nạp sẽ lên
ngang với suy diễn”. Hi vọng rằng con đường quy nạp là cầu nối đưa học sinh
tới các khái niệm Toán học một cách dễ dàng hơn.Là một sinh viên sắp ra
trường, với mong muốn nắm vững kiến thức phương pháp, nắm chắc kiến
thức ở bậc THPT tạo tiền đề cho việc sau này dạy học, giúp học sinh không
chỉ giảm bớt những khó khăn mà còn phát huy năng lực hoạt động tích cực
của học sinh, góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung (trừu tượng hóa,
khái quát hóa) và tạo điều kiện nâng cao tính độc lập khi đưa ra khái niệm
nên tôi chọn đề tài nghiên cứu luận văn của mình là:
“Dạy học một số khái niệm trong môn Toán THPT bằng con đường quy
nạp”.
2. Mục đích,nhiệm vụ nghiên cứu:

2.1.Mục đích nghiên cứu:
 Nghiên cứu cơ sở lý luận về dạy học khái niệm Toán học theo con đường
quy nạp
 Trình bày chi tiết, sâu hơn về dạy học khái niệm bằng con đường quy nạp
trong chương trình Toán ở THPT với các ví dụ minh họa rút ra từ thực tế
dạy học.
 Đề xuất một số tình huống dạy học khái niệm Toán học theo con đường
quy nạp để thấy rõ ưu nhược điểm của con đường này, từ đó áp dụng vào
việc dạy học khái niệm trong nhà trường phổ thông, nhằm nâng cao chất
lượng dạy học.


2.2.Nhiệm vụ nghiên cứu:
 Nghiên cứu cơ sở lí luận về phương pháp dạy học khái niệm Toán, đặc biệt
là con đường quy nạp.
 Tổ chức dạy học một số khái niệm Toán THPT theo con đường quy nạp.
3.Đối tƣợng - phạm vi nghiên cứu:
3.1.Đối tƣợng nghiên cứu:
 Cơ sở lý luận của PPDH khái niệm bằng con đường quy nạp
 Khái niệm Toán học
 Quá trình dạy học khái niệm Toán học
 Giáo viên và học sinh
3.2.Phạm vi nghiên cứu:
 Một vài khái niệm Toán học cơ bản trong chương trình Toán THPT
4. Phƣơng pháp nghiên cứu:
 Phương pháp nghiên cứu lí luận
 Phương pháp quan sát, điều tra
 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
5. Cấu trúc khóa luận:
Lời cảm ơn

Lời cam đoan
Danh mục viết tắt
Mục lục
Phần mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu
2.1 Mục đích nghiên cứu
2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu
3. Đối tượng – phạm vi nghiên cứu

GVHD: ThS. Dương Thị Hà

3


3.1 Đối tượng nghiên cứu
3.2 Phạm vi nghiên cứu
4. Phương pháp nghiên cứu
5. Dự kiến cấu trúc khóa luận
Phần nội dung
Chương 1: Cơ sở lý luận
1.1 Khái niệm là gì?
1.2 Vai trò của khái niệm
1.3 Nội hàm và ngoại diên của khái niệm
1.4 Định nghĩa khái niệm
1.5 Yêu cầu dạy học của khái niệm
1.6 Các con đường dạy học của khái niệm
1.7 Con đường quy nạp
1.8 Việc sử dụng con đường quy nạp trong dạy học khái niệm Toán ở THPT
Chương 2:Vận dụng con đường quy nạp trong việc dạy học một số khái niệm

Toán ở THPT
2.1

Dạy học khái niệm hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến

2.2

Dạy học khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ

2.3

Dạy học khái niệm tam thức bậc hai

2.4

Dạy học khái niệm vectơ pháp tuyến của đường thẳng

2.5

Dạy học khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng

2.6

Dạy học khái niệm cấp số cộng

2.7

Dạy học khái niệm cấp số nhân

2.8

Dạy học khái niệm hàm số liên tục tại một điểm

2.9

Dạy học khái niệm phép biến hình

2.10 Dạy học khái niệm phép vị tự
2.11 Dạy học khái niệm hai mặt phẳng song song


2.12 Dạy học khái niệm nguyên hàm
Phần kết luận, khuyến nghị
Tài liệu tham khảo

GVHD: ThS. Dương Thị Hà

5


PHẦN NỘI DUNG
Chƣơng 1:Cơ sở lý luận
1.1. Khái niệm là gì ?
Theo Alain Rieunier (2001):
 Khái niệm là một tư tưởng tổng quát và trừu tượng được gán cho một lớp
các đối tượng và dùng để tổ chức các kiến thức.
Theo Nguyễn Bá Kim:
 Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh một lớp đối tượng.
Ngoài ra còn có một số hình thức định nghĩa về khái niệm khác như:
 Khái niệm là một đối tượng, một hình thức cơ bản của tư duy (bao gồm một

ý tưởng, một ý nghĩa của một tên gọi chung trong phạm trù logic, hoặc một
sự suy diễn) phản ánh những thuộc tính chung, bản chất của các đối tượng
sự vật, quá trình, hiện tượng trong tâm lý học và mối liên hệ cơ bản nhất các
đối tượng trong hiện thực khách quan.
 Khái niệm là một hình thức tư duy, có chức năng phản ánh những mối quan
hệ tương đối bền vững và ổn định ở trong mỗi sự vật thể hiện những thuộc
tính, bản chất sự vật ấy.
Khái niệm tuy được diễn đạt không giống nhau nhưng về bản chất là như
nhau. Ta có thể hiểu khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh một lớp đối
tượng
1.2. Vai trò của khái niệm
1.2.1. Khái niệm vừa là sản phẩm vừa là phƣơng tiện của quá trình tƣ duy
Trong việc nhận thức thế giới, con người có thể đạt tới các mức độ nhận
thức khác nhau, từ thấp tới cao, từ đơn giản tới phức tạp. Hai mức độ nhận thức
thế giới của con người là:


-

Nhận thức cảm tính (bao gồm cảm giác và tri giác), trong đó con

người phản ánh những cái bên ngoài, những cái đang trực tiếp tác động đến các
giác quan của con người.
-

Nhận thức lí tính (còn gọi là tư duy), trong đó con người phản ánh

những cái bản chất bên trong, những mối quan hệ có tính quy luật.
Tư duy là mức độ nhận thức quan trọng, cơ bản nhất của con người để hiểu
và cải tạo thế giới.

Kết quả của hành động (quá trình) tư duy là đi đến những sản phẩm trí tuệ:
khái niệm, phán đoán, suy luận.
Đến lượt mình, các khái niệm, các phán đoán đã được khẳng định, các hình
thức suy luận lại tạo cơ sở cho tư duy. Tư duy không thể tách rời khái niệm,
phán đoán và suy luận.
Xét dưới quan điểm của logic hình thức, thì tư duy là hợp thành của ba yếu
tố: khái niệm, phán đoán và suy luận.
Như vậy khái niệm là một yếu tố không thể thiếu trong hoạt động tư duy
của con người.
1.2.2. Khái niệm vừa là cơ sở của khoa học toán học, vừa là động lực phát
triển của toán học
Dù cho nguồn gốc của toán học là thực nghiệm, thì Toán học chủ yếu vẫn
là một khoa học suy diễn, nghĩa là một khoa học được xây dựng từ những khái
niệm cơ bản và những tiên đề nhờ việc áp dụng những quy tắc và phương pháp
suy luận logic. Các khái niệm học trước là cơ sở xây dựng các khái niệm sau,
các khái niệm sau được định nghĩa, minh họa, mô tả nhờ vào các khái niệm học
trước, chúng tạo nên một hệ thốngtrong khoa học toán học mà ta có thể sơ đồ
hóa như sau:

GVHD: ThS. Dương Thị Hà

7


Hệ tiên đề
Logic
Các khái niệm cơ bản
(Đối tượng cơ bản, quan hệ
cơ bản)
Các khái niệm khác

(được định nghĩa nhờ
vào các khái niệm cơ bản)

Các nhóm tiên đề

Các định lý
(được chứng minh dựa
vàocác tiên đề)

Như vậy, các khái niệm là vật liệu cơ sở của việc xây dựng toàn bộ khoa
học toán học.
Mặt khác, phân tích lịch sử và khoa học luận toán học chứng tỏ rằng sự
nảy sinh một khái niệm toán học mới thường đánh dấu một giai đoạn phát triển
của toán học và là nền tảng cho bước phát triển tiếp theo, chẳng hạn như các
khái niệm Số phức, Giới hạn, Đạo hàm,...
1.2.3. Hình thành các khái niệm toán học cho học sinh là một trong những
nhiệm vụ mấu chốt của dạy học toán ở trƣờng phổ thông
Hai trong các mục đích chủ yếu của dạy học Toán ở trường THPT là:
-

Cung cấp cho học sinh một hệ thống vững chắc những kiến thức và kỹ

năng Toán học.
-

Phát triển ở học sinh những năng lực và phẩm chất trí tuệ,chủ yếu là

rèn luyện các thao tác và phẩm chất tư duy, khả năng quan sát và tưởng tượng,
rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác.
-

Việc hình thành khái niệm cho học sinh cần đạt được các mục tiêu:

“Trong việc dạy học Toán,cũngnhư việc dạy học bất cứ một khoa học nào
khác ở trường phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách vững
chắc chohọc sinh một hệ thốngkhái niệm. Đó là kiến thức Toán học của học
sinh, là một tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụng các kiến
thức đã học. Quá trình hình thành các khái niệm có tác dụng lớn đến việc phát


triển trí tuệ, đồng thời cũng góp phần giáo dục thế giới quan cho học sinh (qua
việc nhận thức đúng đắn quá trình phát sinh và phát triển các khái niệm toán
học).” (Hoàng Chúng,1995, tr.116)
1.3. Nội hàm và ngoại diên của khái niệm
1.3.1. Thuộc tính bản chất và thuộc tính đặc trƣng của khái niệm
 Thuộc tính bản chất của một đối tượng là thuộc tính gắn liền với đối
tượng. Nếu mất thuộc tính này, thì đối tượng không còn là nó, mà là một đối
tượng khác. Thuộc tính bản chất là điều kiện cần để xác định đối tượng.
 Thuộc tính bản chất của một khái niệm là thuộc tính chung của mọi đối
tượng được phản ánh trong khái niệm.
 Thuộc tính đặc trưng của một khái niệm là thuộc tính mà chỉ có những
đối tượng được phản ánh trong khái niệm mới có. Thuộc tính này là điều kiện
cần và đủ để xác định đối tượngbản chất của nó.
1.3.2. Nội hàm và ngoại diên của khái niệm
 Nội hàm của một khái niệm là tập hợp tất cả các thuộc tính bản chất của
khái niệm, nghĩa tập hợp tất cả các thuộc tính chung, bản chất của tất cả các đối
tượng được phản ánh trong khái niệm.
 Ngoại diên (phạm vi) của một khái niệm là tập hợp tất cả các đối tượng
có những thuộc tính chung, bản chất được phản ánh trong khái niệm.
Ví dụ: Các thuộc tính sau nằm trong nội hàm của khái niệm hình chóp đều:

 Hình chóp có đáy là đa giác đều
 Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau
Ngoại diên của khái niệm này là tập hợp tất cả các hình chóp.
 Quan hệ giữa nội hàm và ngoại diên : Nội hàm càng rộng thì ngoại diên
càng hẹp, nội hàm càng hẹp thì ngoại diên càng rộng

GVHD: ThS. Dương Thị Hà

9


Chẳng hạn,nếu ta mở rộng nội hàm của khái niệm hình chóp bằng
cách bổ sung đặc điểm “đáy là đa giác đều” ta sẽ được lớp các hình chóp đều là
bộ phận thật sự của hình chóp.
1.4. Định nghĩa khái niệm
1.4.1. Một số hình thức định nghĩa khái niệm


Định nghĩa bằng cách nêu rõ loại và thuộc tính đặc trưng của chủng

Logic hình thức vạch rõ ràng, định nghĩa một khái niệm không nhất thiết
phải kèm theo việc nêu ra tất cả các thuộc tính bản chất của khái niệm đó. Vả
lại, điều này cũng có thể thực hiện được, vì tập hợp tất cả các thuộc tính này (nội
hàm của khái niệm) thường rất đồ sộ.
Để vượt qua trở ngại này, phương pháp khá phổ biến là làm rõ nội hàm của
khái niệm cần định nghĩa bằng cách chỉ ra khái niệm loại gần nhất của nó (nó
thuộc loại nào) và dấu hiệu cho phép phân biệt các đối tượng phản ánh trong
khái niệm cần định nghĩa với các đối tượng khác thuộc loại vừa nêu. Đó chính là
cách định nghĩa bằng cách nêu rõ loại và thuộc tính đặc trưng của chúng.
Ta có thể sơ đồ hóa hình thức định nghĩa này như sau:

Khái niệm được
định nghĩa
(Khái niệm mới)

Def
=

Khái niệm loại
(khái niệm đã biết)

Thuộc tính đặc trưng

+

của chúng (diễn tả khác
biệt về chúng)

(Def là viết tắt của từ definition – định nghĩa, dùng để phân biệt định nghĩa
với mệnh đề, định lí).
Ví dụ:Định nghĩa khái niệm Lăng trụ đứng
“Một hình lăng trụ được gọi là lăng trụ đứng nếu các cạnh bên của nó
vuông góc với đáy”.


Định nghĩa này có thể phát biểu dưới dạng:
Lăng trụ đứng (khái niệm mới)
là hình lăng trụ (khái niệm loại)
có các cạnh bên vuông góc với (khái niệm đặc trưng của
đáy

chủng)

Định nghĩa theo hình thức trên là đi từ khái niệm có ngoại diên rộng hơn
đến khái niệm có ngoại diên hẹp hơn và thường được dùng để định nghĩa các
khái niệm đối tượng.
Ví dụ: Hình hộp  hình lăng trụhình lăng trụ đứnghình lăng trụ đều
 hình hộp đứng  hình hộp chữ nhật hình lập phương.


Định nghĩa bằng cách nêu rõ thuộc tính đặc trưng của chủng, còn

khái niệm loại chỉ xuất hiện ngầm ẩn
Ví dụ 1: Định nghĩa khái niệm hai đường thẳng song song trong không gian
“Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có
điểm chung”
Các khái niệm về quan hệ như hai đường thẳng chéo nhau, hai phương
trình tương đương…) thường được định nghĩa dưới hình thức này.
 Trường hợp đặc biệt : Định nghĩa có sử dụng các lượng từ , 
Ví dụ: “Một đường thẳng  gọi là vuông góc với (P) nếu nó vuông góc với
mọi đường thẳng của mặt phẳng đó”
 Định nghĩa bằng kiến thiết
Trong trường hợp này, người ta không vạch rõ khái niệm loại (nó thuộc loại
nào) cũng như các thuộc tính bản chất của chủng, mà mô tả cách tạo ra đối tượng
được xem là tổng quát và đại diện cho lớp đối tượng xác định khái niệm.
Ví dụ: Cho hai hình tròn bằng nhau C(O,R) và C(O,R’) có trục chung OO’.
 
Ứng với mỗi điểm M thuộc C(O,R), ta dựng điểm M’ sao cho MM '  OO' . Khi

GVHD: ThS. Dương Thị Hà

11


điểm M chạy khắp hình tròn C(O,R), đoạn MM’ tạo thành một hình gọi là hình
trụ tròn xoay, được gọi tắt là hình trụ”
 Định nghĩa bằng truy hồi
Có thể coi đây là trường hợp đặc biệt của kiến thiết.
Ví dụ: Dãy (un) được định nghĩa như sau:
u1  a

un 1  f (un ), n  1

Trong đó f là một hàm số.
Tổng quát hơn:
u1  a
un 1  f (u1 , u2 ,..., un ), n  1

trong đó f là một hàm số.

 Định nghĩa bằng quy ước
Vấn đề là nêu lên ý nghĩa của kí hiệu, danh từ mà ta mới đưa vào
0
1
Ví dụ: “Cho a là số thực khác 0. Ta định nghĩa a  1, a 

1
a

Với n nguyên dương lớn hơn 1ta định nghĩa
n

a

n

1
 (a )    ”
a
1 n

 Định nghĩa bằng “phô bày”
Định nghĩa bằng hình thức này không vạch rõ khái niệm loại cũng như
thuộc tính bản chất của khái niệm, mà đơn thuần chỉ là sự “dán nhãn” cho một
đối tượng được coi là tổng quát và đại diện cho lớp các đối tượng cụ thể xác
định khái niệm đó.
Ví dụ: Định nghĩa các khái niệm phương tích của một điểm đối với một
hình tròn, Phương trình chính tắc của Elip là các định nghĩa phô bày.
1.4.2. Khái niệm cơ bản
Định nghĩa một khái niệm đòi hỏi phải sử dụng một số khái niệm đã biết
trước đó. Cứ tiếp tục như thế, ắt phải đi đến các khái niệm ban đầu không được


định nghĩa. Ta gọi đó là các khái niệm cơ bản của Toán học. Chẳng hạn như
khái niệm Điểm, Đường thẳng, Mặt phẳng, Tập hợp, Quy tắc,...
Chú ý:
Nói các khái niệm đầu tiên này không được định nghĩa, theo nghĩa không
được định nghĩa một cách tường minh, định nghĩa thông qua mô tả.
Trong toán học, ngoài các khái niệm được định nghĩa và các khái niệm cơ
bản, cũng còn có những khái niệm khác, có “tên”, không có định nghĩa và
được sử dụng một cách tường minh như khái niệm “Tham số”.

1.5 Yêu cầu của dạy học khái niệm:
“Trong việc dạy học toán, cũng như ở việc dạy học bất kỳ các môn khoa
học nào ở trường phổ thông, điều quan trọng nhất là hình thành vững chắc cho
học sinh một hệ thống các khái niệm. Quá trình hình thành các khái niệm có tác
dụng lớn đến việc phát triển trí tuệ,đồng thời cũng góp phần giáo dục thế giới
quan cho học sinh”
Nhiệm vụ của dạy học khái niệm bao gồm: Dạy học tiếp cận khái niệm,
củng cố khái niệm và phân chia khái niệm.
Việc dạy học khái niệm Toán học ở trường trung học phổ thông phải làm
cho học sinh dần dần đạt được các yêu cầu sau:
a. Nắm vững các đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm.
b. Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem đối tượng cho trước
có thuộc phạm vi một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thể hiện khái
niệm, nghĩa là biết tạo ra một đối tượng thuộc phạm vi một khái niệm cho trước.
c. Biết phát biểu rõ ràng chính xác định nghĩa của một khái niệm.
d. Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động
giải toán và áp dụng vào thực tiễn.
e. Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm
với những khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm.

GVHD: ThS. Dương Thị Hà

13


Những yêu cầu trên đây, có quan hệ chặt chẽ với nhau, song vì lí do sư
phạm, các yêu cầu trên không phải lúc nào cũng được đặt ở mức độ như nhau
với mọi khái niệm. Chẳng hạn, khái niệm về “hướng của vecto” không được nêu
thành định nghĩa một cách tường minh mà chỉ được diễn tả một cách trực quan
dựa vào kinh nghiệm sống của học sinh.

1.6Các con đƣờngdạy học khái niệm
Việc dạy học khái niệm Toán học có thể được thực hiện theo những con
đường khác nhau. Nhưng nói chung,đa số các khái niệm toán học ở trường phổ
thông, thường được dạy học theo ba con đường cơ bản sau:


Con đường suy diễn



Con đường quy nạp



Con đường kiến thiết

Mỗi con đường đều có những đặc trưng riêng nhưng chúng đều nhằm hình
thành một khái niệm mới, tùy theo từng khái niệm mà GV chọn cho mình con
đường phù hợp. Trong khuôn khổ luận văn này tôi chủ yếu nghiên cứu về con
đường quy nạp.
1.7. Con đƣờng quy nạp
1.7.1. Các giai đoạn chủ yếu của con đƣờng quy nạp
 Bước 1: Nghiên cứu một số trường hợp đơn lẻ và phác thảo định nghĩa
Giáo viên tổ chức cho học sinh nghiên cứu một số đối tượng riêng lẻ thuộc
lớp các đối tượng xác định khái niệm cần định nghĩa và một vài đối tượng không
thuộc lớp này, trong đó khái niệm xuất hiện dưới hình thức “có tên nhưng chưa
có định nghĩa”. Tên của khái niệm do giáo viên thông báo, nhưng chưa cho định
nghĩa khái niệm.
Học sinh, dưới sự hướng dẫn của giáo viên,sẽ khám phá dần dần các thuộc
tính bản chất của khái niệm (nhờ vào các thao tác tư duy phân tích, so sánh, tổng

hợp) thể hiện trong các trường hợp đơn lẻ, cụ thể được nghiên cứu. Từ đó, nhờ


vào thao tác khái quát hóa, trừu tượng hóa, học sinh trình bày phác thảo ban đầu
về định nghĩa khái niệm.
Học sinh tiếp xúc với khái niệm, trước khi tìm cách định nghĩa nó. Qua
quan sát, phân tích các trường hợp đơn lẻ mà học sinh hình thành (hay điều
chỉnh) các biểu tượng được phản ánh trong khái niệm để đi đến xây dựng định
nghĩa.
Nói cách khác, khái niệm được trừu tượng hóa khỏi các khái niệm đơn lẻ
của các tri giác riêng biệt và biểu tượng, là kết quả của khái quát hóa các tri giác
và biểu tượng này.
Chú ý: Tên của khái niệm có thể được giáo viên thông báo vào một thời
điểm thích hợp (không cố định): ngay từ đầu, hoặc sau khi học sinh nghiên cứu
các trường hợp cụ thể đã cho,…
Như vậy, mục đích chính của bước này là:
- Hình thành (hay điều chỉnh) biểu tượng về khái niệm
- Phát hiện một số thuộc tính bản chất của khái niệm
- Phác thảo định nghĩa khái niệm
 Bước 2: Trình bày định nghĩa chính thức
Trên cơ sở phác thảo định nghĩa của học sinh, giáo viên tổ chức cho họ tìm
cách bổ sung, hoàn chỉnh,sau đó trình bày định nghĩa chính thức của khái niệm
và các kí hiệu liên quan.
 Bước 3: Củng cố và vận dụng khái niệm
Cho các ví dụ, phản ví dụ và các bài tập củng cố khái niệm. Người ta cũng
có thể nghiên cứu các thuộc tính (tính chất) khác của khái niệm (thường được
cho dưới dạng định lí, hệ quả,...), hay có thể đưa vào các vấn đề trong đó các
khái niệm được coi như là công cụ để giải quyết.
Quá trình tiếp cận khái niệm chưa kết thúc khi phát hiện được định nghĩa
khái niệm đó. Một khâu quan trọng là củng cố khái niệm, khâu này thường được

thực hiện bằng các hoạt động sau đây:
GVHD: ThS. Dương Thị Hà

15


- Nhận dạng và thể hiện khái niệm
- Hoạt động ngôn ngữ
- Khái quát hóa, đặc biệt hóa
- Hệ thống hóa khái niệm, vận dụng khái niệm đã học
 Nhận dạng và thể hiện
Một trong những biểu hiện của chủ nghĩa hình thức trong quá trình học
môn Toán là học sinh học thuộc cách phát biểu định nghĩa nhưng lại không nhận
biết được một đối tượng cụ thể trong những tình huống khác nhau có thỏa mãn
định nghĩa ấy hay không, không tự mình tạo ra được những đối tượng thỏa mãn
định nghĩa. Vì vậy, cần phải cho học sinh tiến hành những hoạt động “nhận
dạng” và “thể hiện” để tránh và khắc phục tình trạng này.
Ví dụ: Sau khi học sinh đã biết định nghĩa hai đường thẳng song song,hai
đường thẳng chéo nhau thì nên cho học sinh tiến hành những hoạt động nhận
dạng và thể hiện như:


Quan sát một tứ diện và có nhận xét gì về vị trí tương đối của sáu

đường thẳng chứa sáu cạnh?


Cho hai đường thẳng chéo nhau a, b và xét hai đường thẳng phân biệt

c, d cắt cả a lẫn b thì c và d không thể là hai đường thẳng song song.

Việc nhận dạng và thể hiện khái niệm có thể dựa vào định nghĩa khái
niệm cũngcó thể dựa vào các điều kiện cần, điều kiện đủ khác.
Ví dụ, để nhận dạng và thể hiện khái niệm “Hai đường thẳng song song
trong không gian” thì ngoài định nghĩa “Trong không gian, hai đường thẳng
song song với nhau nếu chúng không có điểm chung và cùng nằm trên một mặt
phẳng nào đó” thì còn có thể sử dụng định lí “Hai đường thẳng phân biệt cùng
vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau”hoặc định lí “Một mp (P)
cắt hai mặt phẳng phân biệt (Q) và (R) theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao
tuyến đó hoặc đồng quy hoặc đôi một song song”.


 Hoạt động ngôn ngữ
Để giúp học sinh củng cố khái niệm và phát triển ngôn ngữ, cần chú ý
hướng dẫn và khuyến khích học sinh diễn đạt một định nghĩa dưới nhiều hình
thức khác nhau, bằng lời lẽ của bản thân.
 Khái quát hóa, đặc biệt hóa
Khái quát hóa khái niệm – một hoạt động quan trọng cần rèn luyện cho học
sinh.
Chẳng hạn, từ khái niệm tiếp tuyến của một đường tròn tới khái niệm tiếp
tuyến của một đường cong, từ các khái niệm vận tốc tức thời của một chuyển
động, hệ số góc của một tiếp tuyến tới khái niệm đạo hàm của một hàm số...
Ngược lại với hoạt động khái quát hóa là đặc biệt hóa.
 Hệ thống hóa khái niệm và vận dụng khái niệm
Hệ thống hóa khái niệm, chủ yếu là biết sắp khái niệm mới vào hệ thống
khái niệm đã học, nhận biết mối quan hệ giữa những khái niệm khác nhau trong
hệ thống khái niệm, đặc biệt chú ý đến quan hệ chủng – loại giữa hai khái niệm.
Sau khi truyền thụ một khái niệm, cần tạo cơ hội cho học sinh vận dụng nó
vào những bài toán, những hoạt động khác nhau, đặc biệt là những bài toán
chứng minh. Điều đó vừa có tác dụng củng cố, đào sâu khái niệm, lại vừa góp
phần phát triển năng lực giải toán.

Trong hoạt động trên thì hoạt động “nhận dạng và thể hiện” khái niệm có
vai trò đặc biệt quan trọng vì các hoạt động này có tác dụng tích cực không chỉ
trong giai đoạn củng cố khái niệm mà còn trong giai đoạn hình thành khái niệm
và vận dụng khái niệm, hơn nữa chúng là biện pháp chủ yếu để chống và khắc
phục chủ nghĩa hình thức trong học tập.


Sơ đồ hóa tiến trình:
Trong tiến trình này, khái niệm xuất hiện chủ yếu như là đối tượng nghiên

cứu. Nó có cơ chế công cụ chỉ ở những thời điểm mà người ta sử dụng nó như là
phương tiện để giải quyết vấn đề.
GVHD: ThS. Dương Thị Hà

17


Nghiên cứu các trường hợp đơn lẻđể:
- Phát hiện một số thuộc tính bản
chất của khái niệm
- Hình thành (hay điều chỉnh)
biểu tượng về khái niệm
- Phác thảo định nghĩa khái niệm

Trình bày định nghĩa chính thức

 Khái niệm có cơ
chế đối tượng

của khái niệm

 Củng cố
 Vận dụng

 Khái niệm có cơ
chế công cụ

1.7.2. Ƣu nhƣợc điểm và điều kiện hoạt động của con đƣờng quy nạp trong
dạy học khái niệm
Ưu điểm:
 Thuận lợi cho việc phát huy hoạt động tích cực của học sinh.
 Góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung và tạo điều kiện cho họ nâng cao
tính độc lập trong việc đưa ra định nghĩa.
Nhược điểm:
 Tốn kém thời gian vì vậy không phải lúc nào cũng đủ điều kiện thực hiện
được.
Điều kiện thực hiện: