Khoá luận tốt nghiệp nghiên cứu tính chất đàn hồi của bán dẫn có cấu trúc kim cương và cấu trúc zns bằng phương pháp thống kê mô men

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN

NGHIÊN CỨU TÍNH CHÁT ĐÀN HỒI
CỦA BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC KIM CƯƠNG
VÀ CẤU TRÚC ZnS BẰNG PHƯƠNG PHÁP
THỐNG KÊ MÔ MEN

Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học
TS. PHẠM THỊ MINH HẠNH

HÀ NỘI, 2015


LỜI CẢM ƠN

Được sự phân công của khoa Vật lý Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2,
và sự đồng ý của Cô giáo hướng dẫn TS. Phạm Thị Minh Hạnh tôi đã thực
hiện đề tài: "Nghiên cứu tính chất đàn hồi của bán dân có cấu trúc kim cương
và cấu trúc ZnS bằng phương pháp thong kê mô men
Đe hoàn thành khoá luận này, tôi xin cảm ơn các thầy (cô) giáo đã tận
tình hướng dẫn, giảng dạy trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu ở
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.
Cũng xin chân thành cảm ơn cô Phạm Thị Minh Hạnh đã tận tình, chu
đáo hướng dẫn tôi thực hiện khóa luận này.

Mặc dù đã cố gắng hết sức để thực hiện, song tôi cũng không tránh khỏi
nhũng sai sót mà bản thân không thấy được. Tôi rất mong các quý thầy (cô)
và các bạn đóng góp để tôi hoàn thành khóa luận này.
Tôi xin chân thành cảm ơn.

Hà Nội, ngày

tháng 05 năm 2015
Sinh viên

Nguyễn Thị Thanh Huyền


LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận của tôi được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của cô giáo TS.
Phạm Thị Minh Hạnh cùng với sự cố gắng của bản thân trong suốt quá trình
nghiên cứu và thực hiện khóa luận.
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi có sự tham
khảo của các tài liệu khác và có dẫn nguồn tài tiệu tham khảo.

Hà Nội, ngày

tháng 05 năm 2015
Sinh viên

Nguyễn Thị Thanh Huyền


MỤC LỤC

MỞ Đ À U ........................................................................................................................1
1. Lí do chọn đề tà i.................................................................................................... 1
2. Mục tiêu nghiên cứu............................................................................................ 2
3. Nhiệm vụ nghiên c ú n .......................................................................................... 2
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu..................................................................... 2
5. Phương pháp nghiên cún.....................................................................................2
CHƯƠNG I: S ơ LƯỢC VỀ CHẤT BÁN D Ẫ N ....................................................3
1.1. Mạng tinh thể vật r ắ n ....................................................................................... 3
1.1.1. Mạng Bravais...............................................................................................3
1.1.2. Mạng đ ả o ..................................................................................................... 9
1.2. Cấu trúc tinh thể bán dẫn...............................................................................11
1.3. Các ứng dụng quan trọng của vật liệu bán d ẫn .......................................... 12
1.4. Các khuyết tật trong bán dẫn........................................................................13
1.4.1. Khuyết tật đ iểm ........................................................................................ 13
1.4.2. Khuyết tật đường...................................................................................... 14
1.4.3. Khuyết tật m ặ t...........................................................................................15
1.4.4. Khuyết tật k h ố i..........................................................................................15
Kết luận chương 1 .................................................................................................. 16

CHƯƠNG II: NGHIÊN c ú u TÍNH CHẤT ĐÀN HỒI CÙA BÁN DẪN CÓ
CẤU TRÚC KIM CƯƠNG VÀ CẤU TRÚC ZnS BẰNG PHƯƠNG PHÁP
THÓNG KÊ MÔ M E N .............................................................................................17
2.1. Phương pháp thống kê mô m en....................................................................17
2.1.1. Các công thức tổng quát về mô m en.................................................... 17
2.1.2. Công thức tổng quát tính năng lượngtự d o .......................................... 21


2.2. Phương pháp thống kê mô men

trong nghiên CÚ01 bán dẫn có cấu trúc

kim cương và cấu trúc ZnS................................................................................... 22
2.2.1. Độ dịch chuyển của nguyên tử khỏinút m ạng..................................... 22
2.2.2. Năng lượng tự do......................................................................................28
2.2.3. Tính chất đàn hồi của vật rắ n ................................................................. 31
2.2.4. Nghiên cún tính chất đàn hồi của bán dẫn bằng phương pháp thống
kê mô m e n ............................................................................................................37
Ket luận chương 2 ..................................................................................................46
KẾT LU Ậ N ................................................................................................................ 47
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................48


MỞ ĐÀU

1. Lí do chọn đề tài
Tính đàn hồi là tính chất đặc trưng của nhiều chất như: chất dẻo, kim
loại, họp kim... Nó đặc trưng cho sự chống lại nguyên nhân biến dạng của vật
chất. Chính vì vậy tính đàn hồi có ý nghĩa to lớn trong đời sống và trong kĩ
thuật. Do đó nó đã thu hút nhiều nhà khoa học nghiên cún. Các nhà khoa học
đã có nhiều thành tựu khi nghiên CÚ01 về các vật liệu có tính đàn hồi như: chất
dẻo, kim loại, họp kim... Tuy nhiên họ chưa quan tâm đúng mức đến việc
nghiên cún tính chất đàn hồi của chất bán dẫn. Chính vì vậy tôi đề cập đến
tính chất đàn hồi của chất bán dẫn trong khóa luận này để giúp mọi người
hiểu hơn về tầm quan trọng của chất bán dẫn đối với đời sống và kĩ thuật.
Có rất nhiều phương pháp nghiên cún bán dẫn như: Các phương pháp
ab-initio, phương pháp liên kết chặt, phương pháp thế kinh nghiệm, phương
pháp mô hình hóa máy tính,... Các phương pháp trên đều thu được kết quả
đáng kể, tuy nhiên chưa có phương pháp nào thực sự hoàn hảo. Các tính toán
còn hạn chế, kết quả thu được có độ chính xác chưa cao, có phương pháp đòi
hỏi giới hạn ứng dụng của phương pháp cho hệ tương đối nhỏ. Như vậy,

nghiên cứu tính chất đàn hồi của chất bán dẫn nói riêng vẫn hấp dẫn các nhà
khoa học. Trong khoảng 30 năm trở lại đây, một phương pháp thống kê mới
ra đời được gọi là phương pháp thống kê mô men đã áp dụng nghiên cún
thành công đối với các tính chất nhiệt động và tính đàn hồi của tinh thể có cấu
trúc kim cương và cấu trúc ZnS. Phương pháp này đã sử dụng hiệu quả để
nghiên cún về các hiện tượng khuếch tán trong kim loại và hợp kim có cấu
trúc lập phương tâm diện và lập phương tâm khối. Với các lí do đó, chúng tôi
chọn đề tài nghiên cứu: “Nghiên cứu tính chất đàn hồi của bản dẫn cỏ cấu
trúc kim cương và cấu trúc ZnS bang phương pháp thống kê mô men

1


2. Mục tiêu nghiên cứu
Xây dựng biểu thức giải tích xác định các mô đun đàn hồi của bán dẫn
có cấu trúc kim cương và cấu trúc ZnS bằng phương pháp thống kê mô men.
3. Nhiệm vụ nghiên cửu
-Tìm hiểu một số lí thuyết nghiên cứu về bán dẫn.
-Tìm hiểu phương pháp thống kê mô men và áp dụng phương pháp
thống kê mô men để nghiên cứu tính chất đàn hồi của bán dẫn có cấu trúc kim
cương và cấu trúc ZnS.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu tính chất đàn hồi của bán dẫn có cấu trúc kim cương và cấu
trúc ZnS.
5. Phương pháp nghiên cửu
- Phương pháp phân tích
- Phương pháp thống kê
- Phương pháp tổng hợp

2

CHƯƠNG I: S ơ LƯỢC VÊ CHẤT BÁN DẪN
1.1. Mạng tinh thể vật rắn
1.1.1. M ạng Bravais
/ . / . / . / . Nhóm tịnh tiến

Hình ỉ. ỉ:S ự sắp xếp các nguyên tử cùng loại
trong một mạng tinh thế hai chiều
Ta bắt đầu từ việc nghiên cún tính chất đối xứng (bất biến) của tinh thể
đối với nhóm tịnh tiến. Phép chuyển động của vật rắn mà trong đó điểm r bất
kì chuyển thành điểm R + r gọi là phép tịnh tiến 1 đoạn R , kí hiệu T(R ) ta
viết tắt phép tịnh tiến như sau:
T ( R ) : r ^ > C r + R ) ; với mọi r
Ta có thể nói rằng, một tinh thể có tính chất đối xứng với phép tịnh tiến
một đoạn ea theo hướng trục O a, nghĩa là đối với T (ea ) nếu phép tịnh tiến
này mỗi nguyên tử dời chỗ đến vị trí của một nguyên tử khác cùng loại, còn
tinh thể sau khi dịch chuyển sang một vị trí trùng khít với vị trí cũ. Hình 1.1
diễn tả thí dụ về sự sắp xếp các nguyên tử cùng loại trong mạng tinh thể hai
chiều. Ta có thể nói tinh thể như trên có tính chất tuần hoàn theo hướng Oa.
Mọi tinh thể trong không gian có tính chất bất biến (đối xứng) đối với
phép tịnh tiên T(ea),T{ep),T{eỵ) theo ba hướng nào đó Oa, op, Oy, nghĩa là
có tính chất tuần hoàn theo ba hướng khác này bằng nhiều cách khác nhau
(xem hình 1.2 với tinh thế hai chiều).

3


Hình 1.2 : Tỉnh thế hai chiểu.

Vì tinh thể gián đoạn cho nên trong số tất cả các véc tơ ea (ep ’ ey )

theo

mỗi hướng tuần hoàn tinh thể có một véc tơ ngắn nhất ũ ^ a ^ a ^ ) và
ea ~ n \a \ ; ep ~ n 2 a 2 ; er = n 3a 3 với ni, n2, n3 là số nguyên.
Tinh thể có tính đối xứng (bất biến) đối với tất cả phép tịnh tiến

T(R )

mà:
( 1 .1 )

R = n {a x+ n 2a 2 + n 3a 3

Các phép tịnh tiến này tạo thành một nhóm tịnh tiến, với quy tắc nhân
sau đây:
T (R ,)J (R 2)= T (R 2 + J 3)
1.1.1.2. Định nghĩa mạng Bravais
Tập họp tất cả các điểm có bán kính véc tơ R xác định bởi công thức
(1.1) tạo thành một mạng không gian gọi là Bravais. Mỗi điểm gọi là nút
mạng không gian. Các véc tơ CLv a 2, a 3 gọi là véc tơ cơ sở của mạng Bravais.

4


1.1.1.3. Ô cơ sở
Bộ ba véc tơ a v a 2,a 3 gọi là véc tơ cơ sở, chiều dài của chúng được
gọi là hằng số mạng. Hình hộp được tạo bởi các véc tơ cơ sở gọi là ô đơn vị
hay ô cơ sở.

Ô cơ sở là một thể tích không gian có các tính chất sau:
i. Khi thực hiện tất cả phép tịnh tiến tạo thành mạng Bravais, nghĩa là tất cả
phép tịnh tiến có dạng (1.1), thì tập họp tất cả các ô thu được từ ô ban đầu sẽ
lấp đầy toàn bộ không gian, không để lại khoảng trống nào.
ii. Hai ô khác nhau chỉ có thể có các điểm chung nằm trên mặt phân cách của
chúng.
iii. Ồ cơ sở có thể tích:
V

= ữ ị [ a 2 A

a 3]

1.1.1.4. Ỏ nguyên tố Wigner- Seitz
Có nhiều cách chọn ô cơ sở. Các ô cơ sở mà các nút mạng chỉ nằm ở
đỉnh hộp gọi là ô nguyên tố như ví dụ trong hình 1.3. Ồ nguyên tố có thể tích
nhỏ nhất và trong mỗi ô chỉ chưa một nút mạng.

Hình 1.3. Ỏ nguyên tố lập phương đơn giản.
Bao giờ cũng có thể chọn ô nguyên tố để sao cho nó có đầy đủ tính chất
đối xúng của mạng Bravais. Cách chọn nối tiếng là chọn ô Wigner-Seilz,
được xây dựng như sau: Lấy một nút o xác định trên mạng Bravais, tìm nút

5


lân cận theo tất cả các phương, vẽ mặt phẳng trục giao với đoạn thẳng nối o
với tất cả các nút lân cận đó tại trung điểm của đoạn này. Khoảng không gian
giới hạn bởi các mặt đó là ô nguyên to Wigner - Seitz (hình 1.4).

Hình 1.4. Ô nguyên tố Wigner- Seitz
của mạng lập phương tâm khối.

I. ỉ. 1.5. Phân loại các mạng Bravaỉs của vật ran
Mạng Bravais là một tập họp các điểm tạo thành từ một điểm duy nhất
theo các bước rời rạc xác định bởi các véc tơ cơ sở. Trong không gian ba
chiều có tồn tại 14 mạng Bravais (phân biệt với nhau bởi các nhóm không
gian). Tất các vật liệu có cấu trúc tinh thể đều thuộc vào một trong các mạng
Bravais này (không tính đến các giả tinh thể). 14 mạng tinh thể được phân
theo các hệ tinh thể khác nhau được trình bày ở phía bên dưới:

Hệ tinh thể Mạng tinh thể
a,p,Ỵ * 90*

Ba nghiêng
ế

6


7


1.1.1.6. cấ u trúc tinh thế
Trong một số tinh thể vật lý, mỗi ô cơ sở của mạng Bravais có thể chứa
nhiều nguyên tử cùng loại hoặc khác loại nằm ở các điểm có véc tơ bán kính
xác định. Mạng Bravais cùng với tập hợp các véc tơ bán kính của tất cả các
nguyên tử trong ô cơ sở tạo thành một cấu trúc tinh thể. Ta thường gặp các
cấu trúc tinh thể như sau :
i. Cấu trúc loại kim cương: gồm hai mạng Bravais lập phương tâm diện lồng

vào nhau, nút của một mạng nằm trên đường chéo không gian của mạng kia
và xê dịch đi một đoạn bằng đường chéo. Ô cơ sở chứa hai nguyên tử cùng
loại nằm ở các điểm có tọa độ là o và nằm ở các điếm có tọa độ là
— (/+ } + &). Cấu trúc này đươc mô tả như hình 1.5a.
4
ii. Cấu trúc loại kẽm pha: gồm hai loại nguyên tử khác nhau với số lượng
bằng nhau nằm trên hai mạng lập phương tâm diện lồng vào nhau giống như
mạng kim cương, do đó mỗi nguyên tử có 4 nguyên tử loại khác nằm ở 4 nút
lân cận gần nhất.
iii. Cấu trúc loại muối ăn: gồm hai nguyên tử khác nhau (Na và C1 chang hạn)
có số lượng bằng nhau nằm xen kẽ trên các nút của mạng lập phương đơn, do
đó mỗi nguyên tử có 6 nguyên tử khác loại khác nằm ở các nút lân cận gần
nhất. Các nguyên tử thuộc mỗi loại nằm ở các nút mạng lập phương tâm diện,
hai mạng này lồng vào nhau, mạng nọ xê dịch đi so với mạng kia một đoạn
bằng véc tơ cơ sở của mạng lập phương tâm diện của mỗi loại nguyên tử chứa
2 nguyên từ một nguyên tử loại đã cho ở điểm có tọa độ o và nguyên tử loại
a ~ - T
kia ở điêm —ụ + J + k ) . Câu trúc này được mô tả như hình 1.5b.

8


Hình 1.5. a. Cấu trúc tinh thê kim cương.

o

Na

Q c i

Hình 1.5.b. Tinh thể NaCl.
1.1.2. M ạng đảo
1.1.2.1.

Định nghĩa mạng đảo

Mạng thuận là mạng không gian được xác định từ ba véc tơ cơ sở
d ị, a 2, a 3 ? vị trí của mỗi nút mạng được xác định bởi véc tơ:
r = n]a ] + n 2a 2 +
trong đó: dị ,a 2,a 3 là các véc tơ cơ sở; ni, n2, n3 là các số nguyên.

9


Mạng đảo là mạng không gian được xác định từ ba véc tơ Ь\,Ь2,ЬЪ
được xác định như sau:
bl=

2ĩM

a \ a 2 л а 3]

bĩ = 2 „ j ẵ ™ à
a \ a 2 л а 3]
ĩĩ= 2 x J ầ ™ ả
a \ a 2 л a3]
với Ьл, z?2 , b 3 là các véc tơ cơ sở của mạng đảo
Vị trí của mỗi nút mạng được xác định bởi véc tơ mạng đảo G :

G = rriịbị + m 2b2 + щ Ъ ъ

trong đó m b m2, m 3 là các số nguyên.
1.1.2.2. Tỉnh chất của các véc tơ mạng đảo
Tính chất 1:

_L a 2, a 3
b2 _L a3, a x
b3 _L a x, a 2
Tính chất 2: Độ lớn của véc tơ mạng đảo có thứ nguyên của nghịch đảo của
chiều dài:
1

1— _____ -1

h

-----* -

j_

ai
Tính chất 3: Hình hộp chữ nhật dựng nên từ ba véc tơ cơ sở của mạng đảo
được gọi là ô sơ cấp của mạng đảo và có thế tích:

10


V ' J 2ĩTỹ
V
trong đó V = a ][a2 A a3] là thể tích của ô cơ sở mạng thuận.
Tính chất 4 (định lý 1): Véc tơ mạng đảo

G — h b { + k b 2 + /z?3
vuông góc với mặt phang (hkl) của mạng thuận.
Tính chất 5 (định lý 2): Khoảng cách d(hkl) giữa hai mặt phẳng liên tiếp nhau
thuộc họ mặt phang (hkl) bằng nghịch đảo của độ dài véc tơ mạng đảo GỢikl)
nhân với 2ti.
2k
d ( h k l) = _
G (h k l)
1.2. Cấu trúc tinh thể bán dẫn
Các chất rắn thông dụng thường kết tinh theo mạng theo mạng tinh thể
lập phương tâm diện. Trong đó, mỗi nút mạng được gắn một gốc (basis) gồm
hai nguyên tử. Hai nguyên tử đó cùng loại nếu là bán dẫn đơn chất như Si,
Ge; hai nguyên tử đó là khác loại nếu là bán dẫn họp chất như GaAs, InSb,
ZnS, CdS,...
Đối với các bán dẫn hợp chất AmBv hoặc AnBVI, như GaAs hay ZnS,
thường kết tinh dưới dạng lập phương kiếu giả kẽm (Zinc Blend-ZnS), gồm
hai phân mạng lập phương tâm diện lồng vào nhau, phân mạng này nằm ở %
đường chéo chính của phân mạng kia, mạng thứ nhất cấu tạo từ một loại
nguyên tử, Ga chẳng hạn, thì mạng thứ hai cấu tạo từ một loại nguyên tử
khác, As chẳng hạn.

11


Hình 1.6: Tinh thể GaAs.
Trong tinh thể GaAs, mỗi nguyên tử Ga là tâm của hình tứ diện đều, cấu
tạo từ bốn nguyên tử As xung quanh. Ngược lại, mỗi nguyên tử As lại là tâm
của một hình tứ diện đều, cấu tạo từ bốn nguyên tử Ga xung quanh.
1.3. Các ứng dụng quan trọng của vật liệu bán dẫn

Vật liệu bán dẫn được nghiên cứu và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực
khoa học, kĩ thuật và công nghệ [5]. Tuy nhiên, ứng dụng quan trọng nhất và
phổ biến nhất của chúng là dùng để chế tạo các linh kiện điện tử. Chúng ta
đang sống trong thời kì công nghệ thông tin. Một lượng lớn thông tin có thể
thu thập được qua internet và cũng có thể thu được một cách nhanh chóng qua
những khoảng cách xa bằng hệ thống truyền thông vệ tinh. Sự phát triển của
các bán dẫn như điốt, transistor và mạch tích hợp đã dẫn đến khả năng đáng
kinh ngạc này. IC thâm nhập sâu vào hầu hết mọi mặt của đời sống hàng ngày
chan hạn như đầu đọc CD, máy Fax, máy Scan laser tại các siêu thị và điện
thoại di động. Photodiot là một loại công cụ không thể thiếu trong thông tin

12


quang học và trong ngành kĩ thuật tự động hóa. Điốt phát quang được dùng
trong các bộ hiển thị, đèn báo, làm các màn hình quảng cáo và làm các nguồn
sáng. Pin nhiệt điện bán dẫn được ứng dụng đế chế tạo các thiết bị làm lạnh
gọn nhẹ, hiệu quả cao dùng trong khoa học, y học...
1.4. Các khuyết tật trong bán dẫn
Cấu trúc tinh thể được trình bày ở trên là cấu trúc tinh thể lý tưởng vì khi
xét đã bỏ qua dao động nhiệt và các khuyết tật trong trật tự sắp xếp của
nguyên tử, những khuyết tật đó được gọi là khuyết tật mạng tinh thể [4].
Phụ thuộc vào kích thước ba chiều trong không gian, khuyết tật mạng
tinh thế chia thành: khuyết tật điểm, khuyết tật đường, khuyết tật mặt và
khuyết tật khối.
1.4.1. Khuyết tật điểm
Đó là khuyết tật có kích thước rất nhỏ theo ba chiều không gian. Một
khuyết tật điển hình là nút trống, nguyên tử xen kẽ, nguyên tử tạp chất.
1.4.1.1. Nút trống và nguyên tử xen kẽ
Trong tinh thể, nguyên tử luôn dao động nhiệt quanh vị trí cân bằng của

nút mạng. Khi một số nguyên tử nào đó có năng lượng cao, với biên độ dao
động lớn chúng có khả năng bứt khỏi nút mạng, để lại nút không có nguyên tử
gọi là nút trống.
Sau khi rời khỏi nút mạng, nguyên tử có thể sang vị trí giữa các nút (cơ
chế tạo nút trống Frenkel) tạo ra khuyết tật điếm dạng nguyên tử xen kẽ. Cơ
chế thứ hai gọi là cơ chế tạo nút Schottky, khi nguyên tử rời vị trí cân bằng ra
bề mặt tinh thể.
1.4.1.2. Nguyên tử tạp chất
Trong thực tế hầu như không có vật liệu hoặc kim loại sạch tuyệt đối,
các công nghệ nấu, luyện hiện đại nhất trong phòng thí nghiệm cũng chỉ cho
phép đạt độ sạch nhất 99,999% hoặc cao hơn một chút phụ thuộc vào kích

13


thước các nguyên tử nguyên tử tạp chất thay thế ở nút mạng hoặc xen kẽ giữa
các nút.

Hình 1.7: Các dạng khuyết tật điếm: nút trống và nguyên tử tự xen kẽ (a) và
các nguyên tử tạp chất (b).
Mật độ nút trống phụ thuộc vào nhiệt độ theo hàm số mũ, nên tăng rất
nhanh theo nhiệt độ và có giá trị lớn nhất khi sắp chảy lỏng. Nút trống có ảnh
hưởng lớn đến cơ chế và tốc độ khuếch tán của bán dẫn ở chế độ trạng thái
rắn.
1.4.2. Khuyết tật đường
Các khuyết tật điểm cũng như nút trống, nguyên tử xen kẽ.... Neu
chúng nằm liền nhau trên một đường, chúng tạo khuyết tật đường. Chúng có
những dạng hình học nhất định và tính ổn định cao. Người ta phân biệt những
loại khuyết tật đường sau đây: lệch đường thẳng (lệch biên), lệch xoắn và lệch
hỗn hợp.

14


Hình 1.8: Khuyết tật đưòng lệch xoắn.

Y«cta Buriỉcn

c)

Hình 1.9: Khuyết tật đường lệch biên.

1.4.3. Khuyết tật m ặt
Là loại khuyết tật có kích thước lớn theo hai chiều và nhỏ theo chiều
thứ ba.
1.4.4. Khuyết tật khối
Những loại khuyết tật có kích thước lớn theo ba chiều trong mạng tinh
thể gọi là khuyết tật khối. Khuyết tật khối vi mô là khuyết tật sinh ra khi nấu,
đúc họp kim tập trung tạp chất xỉ trong vật đúc.

15


Kết luận chương 1
Trong chương này, chúng tôi trình bày sơ lược về cấu trúc tinh thể vật
rắn và cấu trúc tinh thể bán dẫn.
Cũng trong chương này, chúng tôi trình bày các ứng dụng và các loại
khuyết tật trong bán dẫn.
Sau đây chúng tôi xin trình bày phương pháp thống kê mô men trong
nghiên cún tính chất đàn hồi của bán có cấu trúc kim cương và cấu trúc ZnS.

16


CHƯƠNG II: NGHIÊN c ứ u TÍNH CHÁT ĐÀN HÒI CỦA BÁN DẪN
CÓ CẤU TRỦC KIM CƯƠNG VÀ CẤU TRỦC ZnS BẰNG PHƯƠNG
PHÁP THỐNG KÊ MÔ MEN
2.1. Phương pháp thống kê mô men
2.1.1. Các công thức tổng quát về mô men
Trong lí thuyết xác suất và trong vật lí thống kê, mô men được định
nghĩa như sau:
Giả sử có một tập hợp các biến cố ngẫu nhiên qi, q2,
quy tắc thống kê, được mô tả bởi hàm phân bố co(qi,

qn tuân thủ theo
qn)- Hàm này phải

thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa. Trong lí thuyết xác suất người ta định nghĩa
mô men cấp m như sau:
(2 .1)

(<7,ợ2

Mô men này còn được gọi là mô men gốc. Ngoài ra còn có định nghĩa
mô men trung tâm cấp m:
Uq-<q, >r)= 1

-

\ ( q , - { q Ị))m(o{qì,q 2,...,q n)dqv .A qn

(2.2)

Như vậy đại lượng trung bình thống kê <q> chính là mô men cấp một
và phương sai <{qị-< q ị >)2 > là mô men trung tâm cấp hai. Vì thế nếu biết
hàm phân bố co(q^q2,...,qn) ta có thế xác định được các mô men.
Trong vật lí thống kê cũng có các định nghĩa tương tự. Riêng đối với hệ
lượng tử, được mô tả bởi toán tử thống kê p , các mô men xác định như sau:

(2.3)

Trong đó, toán tử p tuân theo phương trình Liouville lượng tử

17


A

Ôt
ở đây

là dấu ngoặc Poisson lượng tử.
Như vậy, nếu biết toán tử thống kê

P

thì có thể tìm được mô men. Tuy

nhiên việc tính các mô men không phải là bài toàn đon giản. Ngay đối với hệ
cân bằng nhiệt động, dạng của

P

thường đã biết (phân bố chính tắc, hoặc

chính tắc lớn, v.v...), nhưng việc tìm các mô men cũng rất phức tạp.
Giữa các mô men có mối quan hệ với nhau. Mô men cấp cao có thể
biểu diễn qua mô men cấp thấp hơn. Việc xây dựng tổng quát đối với hệ
lượng tử để tìm hệ thức liên hệ giữa các mô men đã được xây dựng trong [6].
Các hệ thức đó đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu tính chất đàn
hồi của bán dẫn có cấu trúc kim cương và cấu trúc ZnS nên ở đây xin trình
bày vắn tắt việc xây dựng chúng:
Xét một hệ lượng tử, chịu tác động của ngoại lực không đổi aj theo
hướng tọa độ suy rộng Qj. Như vậy Hamiltonian của hệ có dạng:
A

A

A

với Hữ là Hamiltonian của hệ khi không có ngoại lực tác dụng.
Bằng một phép biến đổi kì diệu các tác giả đã thu được hệ thức tổng
quát, chính xác biểu thị mối quan hệ giữa toán tử bất kì F và tọa độ suy rộng
Qk của hệ Hamiltonial H:

(2.4)
o

18

trong đó 0 = kBT , kB là hằng số Boltzman, T là nhiệt độ tuyệt đối, B2n là hệ số
Becmouli và (....) biểu thị trung bình tập họp cân bằng thống kê với
Hamiltonian H.
Hệ thức này cho phép xác định sự tương quan giữa đại lượng F và tọa
/ A(2m)\
đô suy rông Qk. Muốn vây cần phải biết các đai lương I f )

\ /.

Đại lượng

và ( — — ) .

\

còn có thể xác định từ điều kiện cân bằng của hệ, còn

(2 m )

ÕF
dah

từ các phương trình động lực.

Trong trường hợp đặc biệt, F = Qk , ta thu được biểu thức chính xác
đối với phương sai:

á-(á-)
\ I Cl)

ổ &
= Ỡ-

da,

(2m)
00

--0 %

ỔÔ,

'2 m

m=0
0 (2m)!vỡy

da,

(2.5)

Bởi vì ọ k không phụ thuộc tường minh vào ak nên đối với hệ cổ điển
công thức (2.5) trở nên đơn giản:

(íá -(4 ĩ).

= ỡ-

da,.

(2 .6)

Ngoài ra, công thức (2.4) còn có khả năng xác định hàm tương quan
giữa F và Qk đối với hệ có Hamiltonian H():


trong đó <....> biểu thị trung bình theo tập hợp cân bằng với Hamiltonian Hữ
Trong đó nhiều công trình nghiên cứu các tác giả thu được hệ thức
chính xác khác:
A

(«)

A

F'Q>

(2 m + n )

B 2m
= ( - i r 'ớ £
Ố(2 m y \ e
m=0
00

ÕF
da

(2 .8)

r

Trong trường họp đặc biệt: F = Q chúng ta thu được hệ thức cho phép
xác định thăng giáng của xung:
( 2 m + l)

( á ỉ ) = ^ T J- ^ L\

L

rm Ỵ ”

ỔÔ,
da,,

(2.9)

(2 n ỉ)!

Công thức (2.4) còn được sử dụng để viết công thức truy chứng đối với
mô men cấp cao [16]. Muốn vậy, tác giả đưa vào định nghĩa toán tử tương
quan cấp n:
1
Kn= ^ [ . . i à Â i à i - â ni

(2 . 10)

n-1
r

_

A

A

Nêu trong công thức (2.4) thay F=Kn thì thu được công thức truy
chứng:
(2m)

(U
\

M . ) ỉ à j ) J - ỉ & - o± £ * - Ị *

la \

7fl\ /fl

dan+ì

h (2 m )ịỡ

õ kn
da.

(2 . 11)

Công thức này là một công thức tổng quát mô men. v ề nguyên tắc,

công thức (2.11) cho phép ta xác định các mô men cấp tùy ý. Đó là công thức
xác định mô men cấp cao qua mô men cấp thấp hơn, thậm chí có thể biểu diễn
qua mô men cấp 1. Khi đó chúng ta thu được biểu thức khá cồng kềnh. Nhưng
đối với các hệ cụ thế, nó có dạng đơn giản, gọn gàng hơn.

20