ĐỀ tài NGHIÊN cứu sử DỤNG máy TÍNH CASIO FX 570ES PLUS TRONG VIỆC hỗ TRỢ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH vô tỷ

Phương pháp nghiên cứu khoa học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THPT BẮC BÌNH
TỖ: TOÁN

PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
ĐỀ TÀI: NGHIÊN CỨU SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO-FX 570ES PLUS
TRONG VIỆC HỖ TRỢ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Bắc bình,ngày 8 tháng 12 năm 2014

Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
1


Phương pháp nghiên cứu khoa học

I.

•
•
•

•
•

Lí do chọn đề tài:
Toán học là một môn khoa học cơ bản mang tính trừu tượng cao nhưng lại có ứng dụng
rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực đời sống xã hội. Đây là một môn học khó và khô

khan đòi hỏi chúng ta phải có sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh tri thức.
Dạy học sinh học toán không chỉ là cung cấp kiến thức cơ bản, giải bài tập trong sách
giáo khoa, sách bài tập mà phải biết hướng dẫn cho học sinh các phương pháp chung để
giải các dạng toán, giúp học sinh sáng tạo và phát triển tư duy của mình.
Một trong những dạng toán khó thường gặp ở bậc phổ thông và kì thi đại học là giải
phương trình vô tỷ. Dạng toán này đòi hỏi chúng ta phải có tầm nhìn bao quát, suy nghĩ
theo nhiều hướng giải khác nhau mới có thể tìm được hướng giải nhanh chóng và chính
xác nhất.
Một trong những công cụ hỗ trợ đắc lực cho việc giải phương trình là máy tính bỏ túi.
Tuy nhiên nhiều học sinh vẫn chưa khai thác được chức năng này của máy tính.
Một trong những loại máy tính thông dụng nhất hiện nay là CASIO FX-570ES PLUS.
Theo công văn 3125/BGDĐT-CNTT của Bộ Giáo Dục loại máy tính này được sử dụng
trong tất cả các kì thi.
Máy tính CASIO FX-570ES PLUS có những chức năng nổi trội hơn so với các loại máy
tính khác là:

∗
∗
∗

II.

•
•

Giải phương trình bậc 2 cho kết quả nghiệm ở dạng căn thức
Đạo hàm tích phân, căn thức, lũy thừa máy tính CASIO FX-570ES PLUS ghi
giống như trong sách giáo khoa.
Tốc độ giải toán nhanh.

Mục đích nghiên cứu.
Đưa ra được các phơng pháp, cách giải phương trình vô tỉ nhanh chóng, chính xác và dễ
áp dụng nhờ công cụ hỗ trợ đắc lực là máy tính bỏ túi.
Qua các bài giải khái quát và cụ thể sẽ giúp học sinh tư duy tốt hơn, có tầm nhìn bao quát
và có trong tay nhiều cách giải khác nhau, từ đó có thể hoàn thành tốt các bài toán giải
phương trình vô tỷ và nhiều bài toán khác.

Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
2


Phương pháp nghiên cứu khoa học

III.

Phạm vi nghiên cứu.
Trong đề tài này chỉ nghiên cứu các dạng phương trình vô tỷ thường gặp ở các cấp bậc phổ
thông, trong các kì thi tốt nghiệp và đại học.

IV.

Định nghĩa phương trình vô tỷ.

Trong chương trình toán phổ thông, phương trình vô tỷ không được đưa vào sách giáo khoa
một cách chính thức, tuy nhiên trong hầu hết các đề thi đại học- cao đẳng và thi Olympic toán thì
phương trình vô tỷ là một dạng toán thường xuất hiện. Trong sách giáo khoa toán không có định
nghĩa cụ thể cho phương trình vô tỷ, nhưng qua các bài toán và một số tài liệu tham khảo khác
thì phương trình vô tỷ là những phương trình chứa căn thức.

V.

Kiến thức cần nắm.
Ngoài các kiến thức cơ bản khi giải phương trình đại số bậc 1, bậc 2 ở phổ thông, học sinh
cần nắm một số kĩ thuật giải phương trình vô tỷ thông dụng (đã được học trong bậc THPT và
luyện thi đại học) như sau:

-

Đặt ẩn phụ đưa phương trình về dạng đơn giản hơn hoặc đưa về hệ phương trình đối
xứng, đẳng cấp loại 1, 2.
Các biến đổi đại số thường dùng như nâng lũy thừa, các phép tính khai triển và hằng
đẳng thức.
Kĩ thuật khảo sát hàm số và sử dụng các bất đẳng thức cơ bản như AM-GM, Cauchy
Schwarz.
Kĩ thuật nhân lượng liên hợp, tách và ghép hạng tử.
Các kiến thức cơ bản về hàm liên tục, hệ thức Viete.

VI.

Chức năng của máy tính
Khi giải phương trình vô tỷ, mục đích của chúng ta là tìm một cách giải logic để tìm tất cả
nghiệm của phương trình chứ không phải chỉ tìm một nghiệm, cho nên máy tính chỉ được sử
dụng như một công cụ hỗ trợ các tính toán phức tạp và dự đoán chứ không phải máy tính sẽ thực
hiện giải các bài toán đưa ra. Tuy nhiên nếu biết khai thác triệt để các tính năng của máy tính thì
ta không chỉ tìm được lời giải cho bài toán mà còn tìm được nhiều cách giải khác nhau, đồng thời
có thể mở rộng và làm mới bài toán.
Một số tính năng của máy tính:

Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS

trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
3


Phương pháp nghiên cứu khoa học
1. Phím CALC:
Khi nhập biểu thức đại số chứa biến, phím CALC sẽ hỏi giá trị biến và tính ra giá trị biểu
thích ứng với giá trị biến ta vừa nhập. Phím chức năng này cho phép ta tính một biểu thức cồng
kềnh với nhiều giá trị khác nhau chỉ với một lần nhập, tiết kiệm khoảng thời gian đáng kể.

2. Phím SHIFT CALC hay ta thường gọi là SOLVE:
Nguyên tắc hoạt động của chức năng này là khi ta nhập một giá trị bất kì thì màn hình hiển
thị ”X=?” thì bộ xử lý sẽ quay một hình tròn có tâm là điểm ta vừa nhập trên trục hoành, với bán
kính lớn dần. Khi gặp giá trị gần nhất thỏa mãn thì máy sẽ dừng lại và hiển thị giá trị đó dưới
dạng phân số tối giản hoặc số thập phân. Nếu trong một thời gian nhất định mà máy vẫn chưa
tìm được nghiệm thì máy sẽ hiển thị giá trị gần nhất máy tìm được thỏa mãn phương trình với
sai số hai vế là thấp nhất. L-R ở hàng thứ hai trên màn hình chính là sai số ở hai vế (thông
10 −6

thường sai số này rất bé khoảng

trở xuống).

3. Chức năng TABLE: (MODE 7)
Chức năng này cho phép hiển thị đồng thời các kết quả của một biểu thức trong đó các giá trị
biến ta gán là cấp số cộng. Chức năng này cho phép ta nhìn tổng thể các giá trị của biểu thức,
thuận lợi cho việc sử dụng tính liên tục và dấu của biểu thức để dự đoán khoảng chứa nghiệm
một cách tiết kiệm thời gian.

VII.

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ VỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA
MÁY TÍNH CASIO FX-570ES PLUS
DẠNG 1: PHÂN TÍCH BIỂU THỨC THÀNH TÍCH CÁC NHÂN TỬ:
ax 2 + bx + c = (dx + e) Ax 2 + Bx + C(*)

Dạng:

. ( a, b, c, d , e, A, B và C là các số đã biết ).

Cơ sở toán học:
Đặt điều kiện cho phương trình (*) xác định.
Với điều kiện trên, bình phương 2 vế của (*) ta được:
2

(ax 2 + bx + c)2 − (dx + e) Ax 2 + Bx + C  = 0(**)



Giả sử: phương trình (**) có 2 nghiệm x1, x2 và x1.x2 = P1, x1 + x2 = S1 thì theo định lý Viete ta
có x1 và x2 là nghiệm của phương trình X2 – S1X +P1 =0.

Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
4


Phương pháp nghiên cứu khoa học
Vế trái của (**) là một đa thức bậc 4 nên có thể phân tích thành tích của 2 tam thức bậc 2 nên
(**) trở thành: (X2 –S1X +P1 )( X2 - S2X +P2) =0. Khi đó việc giải phương trình (*) đưa về giải

hai phương trình bậc 2.
Tìm nghiệm của hai phương trình trên, kết hợp với điều kiện ban đầu ta được nghiệm của
phương trình (*).
Máy tính CASIO sẽ giúp ta dễ dàng tìm ra 2 nghiệm x1, x2 và các hệ số của 2 tam thức bậc 2
cũng như giải 2 phương trình bậc 2 nói trên
Ví dụ áp dụng:
10x 2 + 3x − 6 − 2(3x + 1) 2x 2 − 1 = 0(1)

Giải phương trình sau:

.

Điều kiện của phương trình:

Ta chia được cho

3x + 1

2x 2 − 1 ≥ 0
 −3 − 249 − 2   2


⇔ x∈
;
; +∞ ÷
10x 2 + 3x − 6
∪
20
2   2
≥0




3x + 1


x=

vì

−1
3

không là nghiệm của phương trình ban đầu

Phần 1: Tìm nghiệm.
Bước 1: Đoán khoảng nghiệm.
(10x 2 + 3x − 6) 2 − [2(3x + 1) 2x 2 − 1]2 = 0(1').

Với điều kiện trên (1) tương đương với
MODE
7
Bấm
(chọn TABLE).
Màn hình hiển thị f(X)= ta nhập biểu thức

Vào rồi nhấn dấu =

Chú ý rằng chữ x trong biểu thức f(x) được nhập bằng tổ hợp phím

ALPHA X. Màn hình máy tính hiển thị chữ Start? Nhấn

-

1

0

Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
5


Phương pháp nghiên cứu khoa học

Tiếp theo nhấn

Tiếp theo nhấn

=

=

1

màn hình hiện ra chữ End?. Nhấn

màn hình hiện ra chữ Step? Nhấn

1

0

rồi nhấn

=

Khi đó máy hiện một bảng gồm các giá trị của x từ -10 đến 10.

Cần chú ý tới hai giá trị của x liên tiếp giả sử là x1 và x2 (giả sử x1< x2) mà ứng với hai giá trị của
x này ta được hai giá trị f(x1) và f(x2) trái dấu. Khi đó, phương trình sẽ có thể có nghiệm trong
khoảng (x1; x2).
Cơ sở toán học: Hệ quả định lý giá trị trung gian:
Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] . Nếu f(a). f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm
x

∈

(a; b).

Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
6


Phương pháp nghiên cứu khoa học
Giáo trình giải tích hàm một biến - TS. Nguyễn Cam – trang 53
Trong ví dụ này ta được nghiệm trong khoảng (1;2), (-1;1) và (-2;-1).
Chú ý: Khi cho bước nhảy (Step?) càng nhỏ tức càng thu hẹp được khoảng nghiệm, bằng cách
=

=
=
2
nhấn tiếp AC
=1
C
Ta được một bảng giá trị của f(x) từ 1 tới 2.

0
1

.

1

=

Như vậy khoảng nghiệm hẹp hơn là (1.3; 1.4).
Tương tự cho 2 khoảng nghiệm còn lại.

-

Khoảng nghiệm (-1; 1) có khoảng nghiệm hẹp hơn là (-0.9; -0.8) và (-0.8; 0.8).
Khoảng nghiệm (-2; -1) có khoảng nghiệm hẹp là (-1.8; -1.7).

Bước 2: Tìm nghiệm
(10x 2 + 3x − 6) 2 − [2(3x + 1) 2x 2 − 1]2 = 0(1').

Trở lại màn hình soạn thảo nhập biểu thức “

Rồi nhấn

SHIFT

CALC

”

( SOLVE)

Màn hình máy tính hiện “Solve for X”. Nhập x trong khoảng (1.3; 1.4) chẳng hạn như “1.35”.

Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
7


Phương pháp nghiên cứu khoa học

Màn hình hiện kết quả X= 1.392280956.

Gán kết quả này vào phím A bằng cách nhấn . SHIFT

STO

A

Bước 3:
Quay lại bước 2, nhập vào

-0.8) , chẳng hạn “-0.85”.

giá trị x trong khoảng (-0.9,
4
7

Màn hình hiện kết quả X= -0.820852384.

Gán kết quả này vào phím B : . SHIFT

STO

B

Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
8


Phương pháp nghiên cứu khoa học

Tiếp tục thực hiện lại các bước trên với 2 khoảng nghiệm còn lại.
Nhập x trong khoảng (-0.8; 0.8) chẳng hạn “ 0.75”
Màn hình hiện kết quả X=0.7247448714.
Gán kết quả này vào phím C:

SHIFT

STO

C

Nhập x trong khoảng (-1.8; -1.7) chẳng hạn “-1.75”
Màn hình hiện kết quả X=-1.7247448714.
Nhập kết quả này vào phím D:

SHIFT

STO

D

Phần 2: Tìm tam thức bậc 2.
Bây giờ ta sẽ thử tìm các tam thức bậc 2 tạo từ các nghiệm trên. Nghĩa là ta cần tính tồng và tích
của 2 nghiệm. Chú ý các nghiệm có phần thập phân giống nhau.
Ở ví dụ này, tính A+B và AB.

4
7

Thu được A+B = , AB =

−8
7

.

Vậy A và B là nghiệm của phương trình

4

8
X2 − X − = 0
7
7

⇔


2(1 + 15)
A =

7

 B = 2(1 − 15)

7

( A được nhập bằng phím

ALPHA

A

và B được nhập bằng ALPHA

B

).

Tương tự, tính C+D và C.D.

Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
9


Phương pháp nghiên cứu khoa học
Thu được C+D = -1, C.D= -5/4. Vậy C và D là nghiệm của phương trình

−1 + 6
C=

5

2
X2 + X − = 0 ⇔ 
4
 C = −1 − 6

2

( C được nhập bằng phím

ALPHA

C

và D được nhập bằng

ALPHA

D

).

Vậy: Với điều kiện trên (1) trở thành
(10X 2 + 3X-6) 2 − (2(3X+1) 2X 2 − 1)2 = 0
4
8 
5

⇔  X 2 − X − ÷ X 2 + X − ÷ = 0
7
7 
4

8
 2 4
X − 7 X − 7 = 0
⇔
X2 + X − 5 = 0

4

x =


x =
⇔


x =


x =


2(1 + 15)
7
2(1 − 15)
7
−1 + 6
2
−1 − 6
2

x=

. So điều kiện ta loại nghiệm

−1 − 6
2

.

Kết luận
Nghiệm của phương trình là:

Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
10

Phương pháp nghiên cứu khoa học

2(1 + 15)
x =
7


2(1 − 15)
x =
7


−1 + 6
x =
2


Chú ý:
Để rút ngắn thời gian nhập lại nhiều lần biểu thức f(x) ở bước 3, sau khi nhập biểu thức f(x) ở
bước 2, ta nhấn
sau thành nhấn

=

rồi tiếp tục nhấn các tổ hợp phím như trên và thay các lần nhập biểu thức

∆

Ở những bài mà bằng cách đoán nghiệm, ta không thể tìm được đủ 4 nghiệm cũng có thể sử
dụng phương pháp này , sau khi biết được tam thức bậc 2 thứ nhất, ta sẽ tìm tam thức còn lại
bằng cách chia đa thức.
DẠNG 2: DÙNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP
Biến đổi phương trình về dang: A. (x –x0)g(x)=0 với x0 là nghiệm của phương trình.
Cơ sở lý luận
x 0 ∈ D
⇔
f (x 0 ) = 0

Ta biết x=x0 là nghiệm của phương trình f(x)
nghiệm của đa thức P (x) thì P(x) = ( x - a)P1(x).

.Mà theo định lý Bơzu nếu x = a là

Từ đó ta có nhận xét : Nếu x = x0 là một nghiệm của phương trình f(x) = 0 thì ta có thể đưa
phương trình f(x) = 0 về dạng (x - x0)f1(x) = 0 và khi đó việc giải phương trình
f(x) = 0 quy về giải phương trình f1(x) = 0.
Ta đã biết : an - bn = (a - b) ( an-1+ an-2b+....+ abn-2+ bn-1) gọi là hai biểu thức liên hợp của nhau.
Việc xử dụng các biểu thức liên hợp để bỏ căn thức là một yếu tố quan trọng nhất trong việc sử
dụng phương pháp nhân lượng liên hợp trong giải phương trình vô tỉ mà ta sẽ bắt đầu nghiên cứu
từ các ví dụ cụ thể sau đây.
VD: Giải phương trình:

8x + 5 + 2 4x 2 − 1 = 3

(1)

Cách giải:

Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
11


Phương pháp nghiên cứu khoa học
Bước 1:

Đặt điều kiên:

D=

8x + 5 ≥ 0
 2
 4x − 1 ≥ 0

 −3 −1  1

 8 ; 2  ∪  2 ; +∞ ÷

8x + 5 + 2 4x 2 − 1 − 3 = 0 ( 1′)

Bước 2: Viết phương trình dưới dạng:
Bước 3: Nhập vế trái của phương trình

( 1′)
vào màn hình máy tính.

Bước 4: Dùng chức năng có
phương trình trên, tìm nghiệm đúng hoặc gần đúng.

Bấm
máy hiện ra “Solve for X”,
1∈
SHIFT
CALC
Bấm
(vì
D) hoặc có thể chọn số khác.
=
1

sẵn của máy tính để giải

Đợi trong vài giây máy hiển

thị kết quả là nghiệm đúng
x=

hoặc gần đúng của phương trình. Đối với bài này ta được nghiệm

Bước 5: Giải bài này khi

1
2

.

biết được 1 nghiệm của nó.

Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS

trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
12


Phương pháp nghiên cứu khoa học
x=

Biết phương trình có 1 nghiệm

1
2

1
8. + 5 = 3
2

. Ta tính

(
. Vậy biểu thức

( 2x − 1)
nhân tử:
sẵn nhân tử.

2 4x 2 − 1 = 2

)

8x + 5 − 3

sẽ cho

( 2x + 1) ( 2x − 1)

sau khi nhân lượng liên hợp. Còn biểu thức

đã có

Vậy lời giải bài toán như sau :

( 1) ⇔ 8x + 5 − 3 + 2 4x 2 − 1 = 0
4 ( 2x − 1)
⇔
+ 2 ( 2x − 1) ( 2x + 1)
8x + 5 + 3

=0

 2 2x − 1

⇔ 2 2x − 1 
+ 2x + 1 ÷ = 0
 8x + 5 + 3

 2 2x − 1
+ 2x + 1 = 0

⇔  8x + 5 + 3
 2x − 1 = 0


 2 2x − 1
+ 2x + 1 = 0(vô nghiêm)

⇔  8x + 5 + 3

1
 x = 2 (nhân)
x=

Vậy phương trình (1) có một nghiệm duy nhất

1
2

.

Biến đổi phương trình về dạng: B. a(x-x1)(x-x2)g(x)=0 với x1, x2 là nghiệm của phương trình
Ví dụ: Giải phương trình

3x 2 − x + 3 = 3x + 1 + 5x + 4 ( 2 )

Bước 1:
Đặt điều kiện phương trình:
3x + 1 ≥ 0
−1

⇔x≥
5x + 4 ≥ 0
3

3x 2 − x + 3 ≥ 0


Bước 2:
Đoán nghiệm của phương trình
MODE

7

Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
13


Phương pháp nghiên cứu khoa học
Nhấn

chọn TABLE).

Màn hình hiển thị “f(X)=” nhập biểu thức “

3x 2 − x + 3 − 3x + 1 − 5x + 4

Màn hình máy tính hiển thị chữ Start? Tiếp theo nhấn “

−1
2

”vào rồi nhấn dấu .

=

”

Tiếp theo nhấn “=” màn hình hiện ra chữ End?, nhấn “10”

Tiếp theo nhấn “=” màn hình hiện ra chữ Step?, nhấn “ ”

Tiếp theo nhấn “=”. Vậy ta được bảng gồm các giá trị của x từ

−1
2

tới 10.

Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
14


Phương pháp nghiên cứu khoa học

Nhìn vào bảng giá trị ta thấy tại x=0 và x=1 thì ta nhận được giá trị bằng 0. Vậy x=0 và x=1 là
hai nghiệm của phương trình.
Bước 3:
Tách ghép rồi nhân lượng liên hợp để có nhân tử chung là x(x-1).
Ta thấy phương trình có sẵn là 3x2 nên cần thêm -3x nữa. Vậy ta được
3(x 2 − x) + 2x + 3 − 3x + 1 − 5x + 4 = 0

tiếp tục muốn sau khi nhân lượng liên hợp để mất đi số

1và số 4 trong cả hai căn thức thì chúng ta tách 2x+3=(x+1)+(x+2).
Vậy ta được:
3x 2 − x + 3 − 3x + 1 − 5x + 4 = 0
⇔ 3(x 2 − x) + (x + 1) − 3x + 1  + (x + 2) − 5x + 4  = 0
⇔ 3(x 2 − x) +

x2 − x
x2 − x
+
=0
(x + 1) + 3x + 1 (x + 2) + 5x + 4



1
1
⇔ (x 2 − x) 3 +
+
=0
 (x + 1) + 3x + 1 (x + 2) + 5x + 4 
x2 − x = 0
⇔ 
1
1
3+
+
= 0(vô nghiêm)
 (x + 1) + 3x + 1 (x + 2) + 5x + 4
x = 0
⇔

( nhân)
x = 1

Vậy phương trình có nghiệm là:

x = 0
x = 1


DẠNG 3: DÙNG MÁY TÍNH ĐỂ ĐOÁN NGHIỆM VÀ BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH VÔ
TỶ VỀ DẠNG HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 2
VD: Giải phương trình

x 2 − 2x = 2 2x − 1

(dạng

ax 2 + bx + c = k dx + e

)(1)

(a=1, b=-2, c=0, k=2, d=2, e=-1)

Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
15


Phương pháp nghiên cứu khoa học
Bây giờ công việc của chúng ta là đặt ần phụ y theo x sao cho có thể đưa phương trình (1) về

dạng phương trình đối xứng loại 2. Ta cần xác định hệ số m, n hữu tỉ sao cho cách đặt:
my + n = 2x − 1

(*) có thể đưa phương trình (1) về dạng hệ phương trình đối xứng.
Nhận xét hệ số a=1 => m=1. Vậy việc còn lại là ta cần xác định n nữa là xong. Bây giờ ta cần
xác định lại mục đích của ta là đưa phương trình (1) về dạng hệ phương trình đối xứng x, y và hệ
đó phải có nghiệm x=y. Điều này giúp ta xác định n một cách dễ dàng hơn.
Ta tìm n dựa vào hệ thức (*) và nhận xét x=y.
n = 2x − 1 − y = 2x − 1 − x

=>
(với x là nghiệm của phương trình (1)). Nếu tìm được nghiệm x
sao cho n là số hữu tỉ thì bài toán coi như được giải quyết xong.

Bước 1: Đặt điều kiện của phương trình

1

x ≥
⇔x≥2
2

 x 2 − 2x ≥ 0

x 2 − 2x − 2 2x − 1 = 0(1')

Bước 2: Viết lại phương trình dưới dạng
Bước 3: Nhập vế trái của (1’) vào màn hình của máy tính

Bước 4: Dùng chức năng có sẵn của máy tính để giải phương trình trên, tìm nghiệm đúng hoặc

gần đúng.
Nhấn SHIFT
thể chọn số khác.

CALC

máy hiện ra “Solve for X” nhấn =

2

(vì

2∈

D) hoặc có

Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
16


Phương pháp nghiên cứu khoa học
Màn hình hiện kết quả X=3.414213562.

Gán kết quả này vào phím A bằng cách nhấn

Tính

2A − 1 − A

. Ta nhập “

2A − 1 − A

SHIFT

STO

A

” vào màn hình máy tính rồi nhấn dấu “=”.

Màn hình hiện ra “-1”. Vậy ta được n=-1.
Đặt
y − 1 = 2x −1(**)
⇒ y 2 − 2y + 1 = 2x − 1
 x 2 − 2x = 2(y − 1)
⇒ 2
 y − 2y = 2(x − 1)
⇒ x 2 − y 2 + 2(x − y) = 2(y − x)
⇔ (x − y)(x − y + 4) = 0
 x − y = 0(2)
⇔
 x − y + 4 = 0(3)

Thế (2) vào (**) ta được

Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
17

Phương pháp nghiên cứu khoa học
x − 1 = 2x −1
1

x ≥
⇔
2
 x 2 − 4x + 2 = 0
1

x ≥
2
⇔
x = 2 ± 2

⇔ x = 2± 2

Thế (3) vào (**) ta được
x + 3 = 2x − 1
 x ≥ −3
⇔ 2
 x + 4x + 10 = 0(vô nghiêm)

So điều kiện ban đầu

x≥2

ta được nghiệm của phương trình là

Vậy nghiệm của phương trình là

x = 2+ 2

x = 2+ 2

.

DẠNG 4: DÙNG MÁY TÍNH ĐOÁN NGHIỆM VÀ ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH VỀ DẠNG
KHẢO SÁT HÀM SỐ
Kế đến chúng ta cùng tìm hiểu phương pháp tiếp theo sử dụng một công cụ hỗ trợ mạnh nhất đối
với học sinh trung học phổ thông – khảo sát hàm số.
Cơ sở toán học:
Dựa trên cơ sở tính đơn điệu của hàm số ta có thể tìm được nghiệm phương trình vô tỷ
Định lí 1: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì số
nghiệm của phương trình trên D: f(x) = k không nhiều hơn một và f(x) = f(y) khi và chỉ khi x = y
với mọi x,y thuộc D.
Chứng minh: Giả sử phương trình f(x) = k có nghiệm x = a, tức là f(a) = k.
Do f(x) đồng biến nên
* x > a suy ra f(x) > f(a) = k nên phương trình f(x) = k vô nghiệm

Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
18


Phương pháp nghiên cứu khoa học
Vậy pt f(x) = k có nhiều nhất là một nghiệm.
Chú ý:

* Từ định lí trên, ta có thể áp dụng vào giải phương trình như sau: Bài toán yêu cầu giảiphương
trình: F(x) = 0. Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương đưa phương trình về dạng f(x) = k
hoặc f(u) = f(v) ( trong đó u = u(x), v = v(x)) và ta chứng minh được f(x) là hàm luôn đồng biến
(nghịch biến)
Nếu là phương trình: f(x) = k thì ta tìm một nghiệm, rồi chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Nếu là phương trình: f(u) = f(v) ta có ngay u = v giải phương trình này ta tìm được nghiệm.
* Ta cũng có thể áp dụng định lí trên cho bài toán chứng minh phương trình có duy nhất một
nghiệm.
Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và hàm số y = g(x) luôn
nghịch biến (hoặc luôn đồng biến ) và liên tục trên D thì số nghiệm trên D của phương trình:
f(x) = g(x) không nhiều hơn một.
Chứng minh:
Giả sử x = a là một nghiệm của pt: f(x) = g(x), tức là f(a) g(a).Ta giả sử f(x) đồng biến còn g(x)
nghịch biến.
*Nếu x > a suy ra f(x) > f(a) = g(a) > g(x) dẫn đến phương trình f(x) = g(x) vô nghiệm khi x > a.
*Nếu x < a suy ra f(x) < f(a) = g(a) < g(x) dẫn đến phương trình f(x) = g(x) vô nghiệm khi x < a.
Vậy pt f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm.
Chú ý: Khi gặp phương trình F(x)=0 và ta có thể biến đổi về dạng f(x)=g(x), trong đó f(x) và
g(x) khác tính đơn điệu. Khi đó ta tìm một nghiệm của phương trình và chứng minh đó là
nghiệm duy nhất.
Định lí 3: Nếu hàm số y=f(x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì
f(x) > f(y) nếu x > y (hoặc x < y )
Ví dụ: Giải phương trình:

x 3 − 3x + 1 = 8 − 3x 2

Bước 1: Đặt điều kiện của phương trình

(1)

−2 6
2 6
≤x≤
3
3

Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
19


Phương pháp nghiên cứu khoa học

Bước 2: Viết lại phương trình dưới dạng

x 3 − 3x + 1 − 8 − 3x 2 = 0

(1’)

Bước 3: Nhập vế trái của (1’) vào màn hình của máy tính

Bước 4: Dùng chức năng có sẵn của máy tính để giải phương trình trên, tìm nghiệm đúng hoặc
gần đúng.
SHIFT
Nhấn
số khác ), nhấn “=”.

3
2

CALC

màn hình máy tính hiện ra “Solve for X”, nhấn “ ” ( có thể chọn

Màn hình hiện kết quả X1 = 1.618033989.

Gán kết quả này vào phím A bằng cách nhấn

SHIFT

STO

A

SHIFT

CALC

Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
20


Phương pháp nghiên cứu khoa học
Rồi tiếp tục nhập vế trái của (1’) vào màn hình máy tính, nhấn

hình hiện ra “solve for X”,
khác ) , nhấn “=”.

màn

nhấn “

−3
2

” ( có thể chọn số

Màn hình hiện thị kết quả X2 = -0.618033988.

Gán kết quả này vào phím B bằng cách nhấn . SHIFT

STO

B

Bây giờ ta sẽ thử tìm tam thức bậc 2 tạo từ hai nghiệm trên. Nghĩa là ta cần tính A+B và AB.

Thu được A+B=1, AB= -1.
Điều đó đã chứng tỏ A, B là hai nghiệm của phương trình X2 – X- 1=0
Ta viết phương trình đã cho lại thành

Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
21


Phương pháp nghiên cứu khoa học
x 3 − 3x + 1 − 8 − 3x 2 = 0
⇔ x 3 − 3x + 1 − (px + q) + (px + q) − 8 − 3x 2 = 0

⇔ x 3 − 3x + 1 − (px + q) +
⇔ x 3 − (3 + p)x + 1 − q +

(px + q) 2 − (8 − 3x 2 )
px + q + 8 − 3x 2

=0

(p 2 + 3)x 2 + 2pqx + q 2 − 8
px + q + 8 − 3x 2

=0

(p 2 + 3)x 2 + 2pqx + q 2 − 8 = a(x 2 − x − 1)
2

Đến đây để xuất hiện nhân tử (x – x -1) thì
số. Chọn a=4 thì ta được một cặp (p,q) thỏa mãn là (p,q)=(-1,2).

với a là một hệ

Lời giải:
x 3 − 3x + 1 + 4

x2 − x −1

=0
2 − x + 8 − x2
4(x 2 − x − 1)
⇔ (x 2 − x − 1)(x + 1) +

=0
2 − x + 8 − x2
4
⇔ (x 2 − x − 1)(x + 1 +
)=0
2 − x + 8 − x2
x 2 − x − 1 = 0

⇔
(I)
4
=0
x + 1 +
2 − x + 8 − x2


f (x) = 2 − x + 8 − 3x 2

Xét

. Ta có:

f '(x) = −1 −

3x

8 − 3x 2
3x
f '(x) = 0 ⇔ −1 −
= 0 ⇔ 8 − 3x 2 = −3x

2
8 − 3x
 −2 6
2 6

8 − 3x > 0
3
3

6

⇔  −3x > 0
⇔ x < 0
⇔x=−
3
8 − 3x 2 = 9x 2

6

x = ±

3
2

Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
22

Phương pháp nghiên cứu khoa học
Ta có bảng biến thiên như sau (để đơn giản ta dùng chức năng của phím CALC khi tính các giá
trị trong bảng này):
x

−2 6
3

f’(x)
f(x)

−

+

+

6
3

0

2 6
3

-

-

6+4 6

3
6+2 6
3
6−2 6
3
0 < f (x) ≤

Suy ra

6+4 6
3

Như vậy:
x +1+

4
2 − x + 8 = 3x

2

= x +1+

4
−2 6
12
≥
+1+
>0
f (x)
3

6+4 6

Vậy
x 2 − x − 1 = 0
( I ) ⇔ 
4
= 0(vô nghiêm)
x + 1 +
2 − x + 8 − x2

⇔ x2 − x − 1 = 0
⇔x=

1± 5
(nhân)
2

x=

Kết luận nghiệm của phương trình là

1± 5
2

Nhận xét:

Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
23

Phương pháp nghiên cứu khoa học
Phương pháp khảo sát hàm số cho phép chúng ta đánh giá tập giá trị của biểu thức một cách chặt
chẽ nhất. Tuy nhiên phương pháp này đòi hỏi những tính toán cồng kềnh vì những số vô tỷ chứa
căn mà nếu không có máy tính thì chúng ta khó mà tính toán dễ dàng. Như vậy với tổ hợp phím
SHIFT CALC và phím CALC của máy tính giúp đỡ chúng ta rất nhiều trong quá trình tìm
nghiệm, tính các giá trị trong bảng biến thiên một cách chính xác nhất và nhanh nhất.
DẠNG 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ DỰA VÀO PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC
HÓA
Lượng giác hóa phương trình theo một số dấu hiệu chủ yếu sau đây

Nếu phương trình xuất hiện x2+ y2=a thì đặt

 x = asint

 y =acost

Đặt ẩn phụ lượng giác tùy theo điều kiện của phương trình và đặc thù của phương trình (đặc ẩn
phụ để có thể áp dụng được công thức lượng giác)
x ≤a

Nếu

thì có thể đặt x=asint,
x=

x ≥a

Nếu

thì có thể đặt

a
sin t

 −π π 
t∈ ; 
 2 2

,

t ∈ [ 0; π]

hoặc x=acost,

 −π π 
t ∈  ; ,t ≠ 0
 2 2

x=

hoặc

a
cost

t ∈ [ 0; π] , t ≠

,

π
2

Ta xét ví dụ sau:
x 3 − 3x = x + 2

Lời giải.
Điều kiện:
+Nếu

x>2

x ≥ −2

.

thì

x 3 − 3x = x ( x 2 − 3) > x > 2x = x + x > x + 2

.
Vậy

x>2

không thỏa mãn phương trình.

Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
24

Phương pháp nghiên cứu khoa học
Do đó để giải ta chỉ cần xét

−2 ≤ x ≤ 2

.

Sử dụng chức năng TABLE và SHIFT SLOVE của máy ta thu được nghiệm x=2 ta còn được hai
nghiệm vô tỷ khác là x=-1,618033989 và x= -0,445041867. Sử dụng chức năng SHIFT STO để
gán 2 nghiệm của phương trình trên vào A,B rồi tính A+B, AB ta đều thu được hai số vô tỷ.
Như vậy ý định dùng phương pháp tách có vẻ không khả quan mấy.
x ∈ [ −2,2]

Ta sẽ đi tìm phương pháp khác. Để ý
Khi đó, ta đặt

x = 2cos t

nếu lấy

chia 2 ta nghĩ ngay đến lượng giác.

t ∈ [ 0, π]

, điều kiện

. Thay vào phương trình đã cho ta được

8cos3 t − 6cos t = 2 ( 1 + cos t ) ⇔ 4 cos3 t − 3cos t = cos

t


t =
3t = 2 + k2π
t
⇔ cos3t = cos ⇔ 
⇔
2
t =
3t = − t + k2π
2



k4π
5
k4 π
7

t = 0, t =

t ∈ [ 0, π ]

Do

x

nên chỉ lấy các nghiệm

t
2

(k ∈ ¢ )

4π
4π
,t =
5
7

x = 2, x = 2cos

Phương trình đã cho có ba nghiệm

.

4π
4π
, x = 2cos
5
7

.

Ví dụ 2: Giải phương trình sau
1 − x2 =

x
16x − 12x 2 + 1
4

Lời giải.

Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
25