Tính toán hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu dưới ảnh hưởng của trường bức xạ lazer dây lượng tử hình chữ nhật bằng phương pháp phương trình động lượng tử

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

ĐỖ THỊ HUYỀN TRANG

TÍNH TOÁN HỆ SỐ HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU DƢỚI
ẢNH HƢỞNG CỦA TRƢỜNG BỨC XẠ LAZER TRONG DÂY
LƢỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT BẰNG PHƢƠNG PHÁP
PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ

Khóa luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

Chữ ký ngƣời hƣớng dẫn khóa luận

Gs.Ts.Nguyễn Quang Báu

Hà Nội, năm 2015


MỤC LỤC
Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Mở đầu………………………………………………………………….............01
Nội dung…………………………………………………………………...........04
Chƣơng I: Giới thiệu tổng quan dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế vô hạn và
bài toán về hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối khi có
mặt trường bức xạ lazer.………………………………………………………...05
1. Dây lượng tử hình chữ nhật…………………………………………………..05
1.1.Tổng quan về dây lượng tử…………………………………………..05
1.2.Hàm sóng và phổ năng lượng của dậy lương tử……………………..05

2.Bài toán về ảnh hưởng của bức xạ lazer hấp thụ sóng điện từ yếu trong bán dẫn
khối…………………………………………………………………...................06
Chƣơng II: Phương trình động lượng tử và biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ
sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố
thế vô hạn trong trường hợp tán xạ electron-phonon khi có mặt trường bức xạ
Lazer biến điệu.………………………………………………………………....13
1.Phương trình động lượng tử cho điện tử trong dây lượng tử hình chữ
nhật hố thế cao vô hạn.………………………………………………………….13
2.Biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ của sóng điện từ yếu khi có mặt
trường bức xạ lazer biến điệu…………………………………………………...20


Chƣơng III: Tính toán số và vẽ đồ thị các kết quả lý thuyết cho dây lượng tử
hình chữ nhật GaAs/GaAsal.…………………………………………………....32
1. Sự phụ thuộc của hệ hấp thụ vào nhiệt độ……………………………….33
2. Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào tần số của trường bức xạ lazer biến
điệu……………………………………………………………………….35
3.Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào tần số 1 …………………………….36
4. Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào tần số  ……………………………..37
5. Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào cường độ F1 ………………………...38
6. Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào L1 …………………………………...39
Bàn luận và tính toán số………………………………………………………40
Kết luận...............................................................................................................42
Tài liệu tham khảo…………………………………………………………….44


LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học
Gs.Ts.Nguyễn Quang Báu, thầy đã tận tình và nghiêm khắc hương dẫn em để
em có thể hoàn thành khóa luận này.

Trong quá trình học tập, trưởng thành và đặc biệt là giai đoạn thực hiện
khóa luận, em nhận được sự dạy dỗ ân cần, những lời động viên và chỉ bảo tận
tình của thầy. Qua đây, cho phép em được bày tỏ sự biết ơn chân thành tới các
thầy cô trong tổ lý thuyết, khoa vật lý, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2.
Xin cảm ơn tới tất cả bạn bè và thầy cô, những người đã cùng em san sẻ
kiến thức, thúc đẩy quyết tâm và cộng tác hiệu quả trong quá trình thực hiện
khóa luận.
Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội ,Tháng 05 Năm 2015.
Sinh Viên.
Đỗ Thị Huyền Trang.


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận là những nghiên cứu của em dưới sự hướng dẫn tận tình,
nghiêm khắc của Gs.Ts.Nguyễn Quang Báu.Em xin cam đoan rằng số liệu và
kết quả nghiên cứu là trung thực, mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận
này đã được cảm ơn, các thông tin trích dẫn đã được ghi rõ nguồn gốc. Vì vậy
em xin khẳng định nội dung của đề tài :“Tính toán hệ số hấp thụ sóng điện từ
yếu dƣới ảnh hƣởng của trƣờng bức xạ lazer trong dây lƣợng tử hình chữ
nhật bằng phƣơng pháp phƣơng trình động lƣợng tử’’ ,không trùng lặp với
các đề tài khác.

Hà Nội ,Tháng 05 Năm 2015.
Sinh Viên.
Đỗ Thị Huyền Trang.


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Trong những năm gần đây, vật lý bán dấn thấp chiều ngày càng dành được
nhiều sự quan tâm nghiên cứu. Việc chuyển từ hệ các bán dẫn khối thông thường
sang các hệ thấp chiều hơn đã làm thay đổi hầu hết tính chất điện tử. Sự giam giữ
điện tử trong các hệ thấp chiều khiến phản ứng của hệ điện tử đối với các tác
nhân bên ngoài (sóng điện từ, từ trường…) xảy ra rất khác biệt so với các bán
dẫn khối thông thường. Các cấu trúc thấp chiều đã làm thay đổi đáng kể nhiều
dăc tính của vật liệu, làm xuất hiện nhiều hiệu ứng mới mà hệ điện từ 3 chiều
không có[1  8].
Ở bán dẫn khối, các điện tử có thể chuyển động trong toàn mạng tinh thể
(cấu trúc 3 chiều), nhưng ở các hệ thấp chiều chuyển động của điện tử sẽ bị giới
hạn nghiêm ngặt dọc theo một hoặc hai, ba trục tọa dộ. Phổ năng lượng của các
hạt tải bị gián đoạn theo các phương giới hạn này. Sự lượng tử hóa phổ năng
lượng của hạt tải dẫn đến sự thay đổi cơ bản các đại lượng của vật liệu như: hàm
phân bố, mật độ trạng thái, mật dộ dòng, tương tác điện tử-phonon…Nghĩa là, sự
chuyển đổi từ hệ 3 chiều sang hệ 2 chiều, 1 chiều hay 0 chiều đã làm thay đổi
đáng kể những tính chất của hệ [9  25].
Cho tới nay các công trình trong nước và quốc tế về nghiên cứu lý thuyết
các hệ thấp chiều khá phong phú.Các công trình về sự ảnh hưởng của sóng điện
từ mạnh (bức xạ lazer) lên hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu trong bán dẫn khối đã
được công bố khá nhiều.Thời gian gần đây, một số công trình nghiên cứu về hấp
thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong các bán dẫn thấp chiều bước
đầu được công bố. Tuy nhiên, bài toán về ảnh hưởng của trường bức xạ lazer lên
hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu trong dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô

1


hạn vẫn còn mới mẻ, có tính thời sự, chưa được nghiên cứu dầy đủ. Do đó,
trong khóa luận này, tôi sẽ tiến hành nghiên cứu và giải quyết vấn đề “ Tính

toán hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu dƣới ảnh hƣởng của trƣờng bức xạ
lazer trong dây lƣợng tử hình chữ nhật bằng phƣơng pháp phƣơng trình
động lƣợng tử”.
2. Mục đích nghiên cứu
Tính toán hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu dưới ảnh hưởng của trường bức
xạ lazer trong dây lượng tử hình chữ nhật bằng phương pháp phương trình động
lượng tử
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Dây lượng tử hình chữ nhật
-Tính toán hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu dưới ảnh hưởng của trường bức
xạ lazer trong dây lượng tử hình chữ nhật với cơ chế tán xạ điện tử - phonon
quang .
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Xây dựng phương trình động lượng tử và biểu thức giải tích của hệ số hấp
thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật.
Tính toán hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu dưới ảnh hưởng của trường bức
xạ lazer trong dây lượng tử hình chữ nhật
Tính toán số và vẽ đồ thị các kết quả lý thuyết cho dây lượng tử hình chữ
nhật GaAs/GaAsal.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử. Đây là phương pháp
hiện đại được sử dụng rộng rãi khi nghiên cứu các hệ bán dẫn thấp chiều cho
hiệu quả cao, các kết quả thu được hoàn toàn mới với ý nghĩa khoa học nhất
định.
2


Từ Hamilton của hệ điện tử-phonon trong biểu diễn lượng tử hóa lần hai,
ta xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tưt giam cầm trong dây lượng
tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn, sau đó giải phương trình động lượng tử tính

mật độ dòng hạt tải, cuối cùng suy ra biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ sóng
điện từ yếu.
Kết quả trong khóa luận này sẽ đưa ra biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ
sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật với thế
cao vô hạn khi có mặt sóng điện từ mạnh biến điệu(lazer biến điệu). Biểu thức
này chỉ ra rằng, hệ số hấp thụ phụ thuộc phi tuyến vào cường độ sóng điện từ
mạnh E01 , phụ thuộc phức tạp và không tuyến tính vào tần số 1 ,  2 của hai sóng
điện từ, nhiệt độ T cúa hệ và các tham số đặc trưng cho dây lượng tử hình chữ
nhật với thế cao vô hạn. Kết quả được so sánh với bài toán tương tự trong bán
dẫn khối để thấy được sự khác biệt giữa các đặc tính của bán dẫn thấp chiều (dây
lượng tử hình chữ nhật) với bán dẫn thông thường.
8. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo khóa luận gồm có 3
chương.

3


NỘI DUNG
Chƣơng 1
Giới thiệu dây lượng tử hình chữ nhật và bài toán về hệ số hấp thụ sóng
điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt trường bức xạ lazer.
1. Dây lượng tử hình chữ nhật
1.1.Khái niệm về dây lượng tử
1.2.Hàm sóng và phổ năng lượng của dậy lương tử
2.Bài toán về ảnh hưởng của bức xạ lazer hấp thụ sóng điện từ yếu trong bán dẫn
khối
Chƣơng 2
Phương trình động lượng tử và biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ sóng
điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế vô

hạn trong trường hợp tán xạ electron-phonon quang khi có mặt trường bức xạ
Lazer biến điệu.
1.Phương trình động lượng tử cho điện tử trong dây lượng tử hình chữ
nhật hố thế cao vô hạn.
2.Biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ của sóng điện từ yếu khi có mặt
trường bức xạ lazer biến điệu
Chƣơng 3
Tính toán số và vẽ đồ thị các kết quả lý thuyết cho dây lượng tử hình chữ
nhật GaAs/GaAsal.
1. Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào tần số của trường bức xạ lazer biến điệu.
2.Sự phụ thuộc của hệ hấp thụ vào nhiệt độ…
4


CHƢƠNG I
GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ DÂY LƢỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT
VỚI HỐ THẾ VÔ HẠN VÀ BÀI TOÁN VỀ HỆ SỐ HẤP THỤ SÓNG
ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ TRNG BÁN DẪN KHỐI KHI CÓ MẶT
TRƢỜNG BỨC XẠ LAZER
1.Dây lƣợng tử hình chữ nhật
1.1.Tổng quan về dây lƣợng tử hình chữ nhật
Khái niệm về dây lượng tử
Dây lượng tử (quantum wires) thuộc hệ cấu trúc bán dẫn một chiều (oendimensionn sytems). Trong dây lượng tử, chuyển động của các hạt tải bị giới hạn
theo hai chiều giới hạn của dây và nó chỉ có thể chuyển động tự do theo chiều
còn lại, phổ năng lượng trở nên gián đoạn và lượng tử theo hai chiều. Dây lượng
tử được chế tạo bằng nhiều phương pháp khác nhau, người ta có thể tạo ra các
dây khác nhau,như dây hình trụ, dây hình chữ nhật…Mỗi dây lượng tử được đặc
trưng bở một thế giam giữ khác nhau.
Trong mục này, khóa luận trình bày tổng quan về cấu trúc dây lượng tử,
hàm sóng và phổ năng lượng của dây luongj tử hình chữ nhật hố thế cao vô

hạn.Đây là cơ sở lý thuyết cho các nghiên cứu trong các chương sau.
1.2.Hàm sóng và phổ năng lƣợng của dây lƣợng tử hình chữ nhật
Do yêu cầu thực nghiệm, mô hình dây lượng tử hình chữ nhật cũng hay
được đề cập đến trong cá công trình mang tính lý thuyết. Với mô hình dây lượng
tử hình chữ nhật có các kích thước ba trục được giả thiết lần lượt là Lx , L y , Lz và
Lz , Lx , L y .

Giả sử thế giam cầm điện tử cao vô hạn theo hai hướng vuông góc

x, y;V  0, nếu 0  y  L y ; 0  x  Lx và V   nếu

ngược lại. Khi đó hàm sóng có

thể viết:
 n,l ,k ( x, y, z ) 

1 ikz
e
Lz

 ly 
0  x  Lx
 nx  2
1


sin 
sin
L 
Lx

 Lx  L y
0  y  L y
 y 

5


Và
 x  0; x  Lx
 y  0; y  L y

 n,l ,k ( x, y, z )  0  

Phổ năng lượng của điện tử


 2 k 2  2 2
E n ,l ( k ) 

2m *
2m *

 n2 l 2 



 L2 L2 
y 
 y

Trong đó, n và l là các số lượng tử của hai phương bị lượng tử hóa x và y.
Thừa số dạng điện tử có dạng
I n , l , n ' ,l ' 

32 4 (q x Lx nn' ) 2 (1  (1) n  n ' cos(q x Lx ))

(q L )
x

x

4

 2 2 (q x Lx ) 2 (n 2  n' 2



2



32 4 (q y L y ll ' ) 2 (1  (1) l l ' cos(q y L y ))

(q L )
y

y

4

 2 2 (q y L y ) 2 (l 2  l ' 2 )   4 (l 2  l ' 2 ) 2

2.Bài toán về ảnh hƣởng của bức xạ lazer hấp thụ sóng điện từ yếu trong
bán dẫn khối
2.1.Xây dựng phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong bán dẫn khối
Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối khi
có mặt trường sóng điện từ yếu. Ta có Hamilton của hệ điện tử-phono trong bán
dẫn khối là
H  H e  H ph  H e ph

(1)

Trong đó
 e  
H e     p  A(t )  p  p

c


p
H ph    q bq bq

q



H e ph   C q p  q p bq  bq
 
q, p



6



2


 p ,  p lần lượt là toán tử sinh và hủy điện tử (kiểu hạt fecmi)




p

 





 



,  p   p ,  p   p , p ' ;  p ,  p "   p ,  p '  0

bq , bq lần lượt là toán tử sinh và hủy phono (kiểu hạt phono)

b , b    ; b

q



q

 
q ,q"

C q hằng số




 p 



q

 



, bq"  bq , bq '  0

tương tác điện tử-phono

e  
 e  
A(t )  là hàm năng lượng theo biến  p 
A(t ) 
c
c




Phương trình động lượng tử cho điện tử có dạng
i

n p (t )
t



  p  p , H



(2)

t

Vế phải của (2) có tương ứng ba số hạng với toán tử Hamilton, a lần lượt
tính từng số hạng


e 





  p  A(t )  p " p ' 
Số hạng thứ nhất  p  p ; 

c


Số hạng thứ hai

Số hạng thứ ba



p



 

 q bq bq 
 p  p ; 

q







0
t

0
t

 

C q p ' q p ' bq  bq 
 p  p ; 
 
q, p











  C q  p  p ; p ' q p ' bq  bq
t

 
q, p'



Làm tương tự cách phân tích số hạng thứ nhất vừa tính toán ở trên và biến đổi ta
được

7


 

C q p  q p ' bq  bq 
 p  p ; 
 
q, p





  C q  p  p q bq
 
q, p

t

  p  p q bp

t

  p  q p bq

t

  p  q p bq



  C q F p , p q ,q (t )  F p* q , p ,  q (t )  F p , p  q ,q (t )  F p*, p  q ,  q (t )

Với Fp , p ,q (t )   p  p bq
1

2

1

2

t





t

Vậy phương trình (2) trở thành
i

n p (t )
t





  C q Fp , p q ,q (t )  Fp q , p ,  q (t )  Fp , p  q ,q (t )  Fp*, p  q ,  q (t )

(3)

Để giải (3) ta cần tính Fp , p ,q (t ) thông qua phương trình
1

i

Fp1 , p 2 ,q (t )
t

2



  p1  p 2 bq ; H



(4)

t

Tính toán các hệ số trong vế phải của biểu thức (4) rồi tiến hành giải
phương trình vi phân ta thu được
i

F p1 , p 2 ,q (t )
t



e 
 
 p 2  p1 A(t )   q Fp1 , p 2 ,q (t ) 
  ( p 2 )   ( p1 ) 
mc


  C q1  p1  p 2  q1 bq (bqq  bq1 )

q1

  C q1  p1  q1  p 2 (bq1  b q1 )bq
t


q1

(5)
t

Giải phương trình (5) bằng phương pháp biến thiên hằng số ta được
      (b   b  )b        b  (b   b    
p1  q2
p2
q1
 q1
q t
p1 p2  q1 q
q1
 q1 t 


2
2 
i






Fp1 , p2 ,q (t )   C q1  
dt


t






i
ie
 2
 q1
exp  ( p   p   q )(t  t 2 ) 
(
p

p
)
A
(
t
)
dt
1
2
1
1
1
2


mc t2

 


t

(6)

Thay (6) vào (3) ta được

8


i

n p (t )
t



1
2

 C q





l
l , s , m , j  

1

 L (a q ) J

2


q

s


 
 
(a1 q ) J m (a 2 q ) J f (a 2 q )  exp is  l 1  (m  f ) 2 t



i

 n p  q (t ' ) N q  n p (t ' )( N q  1)  exp    p   p  q   q  s1  m 2  i t  t '  






i
t
 n p (t ' ) N q  n p  q (t ' )( N q  1)  exp   p   p  q    q  s1  m 2  i t  t '  
  dt ' 



 n  (t ' ) N   n   (t ' )( N   1)  exp i           s  m  i (t  t ' )  
p
q
pq
q
pq
p
q
1
2





 n p  q (t ' ) N q  n p (t ' )( N q  1)  exp  i ( p  q   p    q  s1  m 2  i )(t  t ' ) 






























(7)


eE01 
eE02

Với a1 
; a2 
; n p (t )  a p a p ; N q  bq bq ; N q  1  bq bq
t
1
m12

m 22

t

Ta giải (7) bằng phương pháp xấp xỉ gần đúng lặp,xem n 0p (t )  n p , ta được
n p (t )  n p 

1
2

 C q

q



2





l
l , s , m , f  

1

 J (a q ) J

s


 
  exp i( s  l )1  (m  f ) 2 t
(a1 q ) J m (a 2 q ) J f (a 2 q ) 

i( s  l )1  (m  f ) 2 













n p q N q  n p ( N q  1)
n p N q  n p q ( N q  1)




 
  p   p q   q  s1  m 2  i  p   p  q    q  s1  m 2  i 



n p N q  n p  q ( N q  1)
n p  q N q  n p ( N q  1)


          s  m  i            s  m  i 
p
q
1
2
pq
p
q
1
2
 pq




(8)


Trong đó mật độ hạt tải J (t ) 

e   e  
  p  c A(t ) n p (t )
m p 

Thực hiện các phép biến đổi và tính toán ta được


 e 2 n0 
e
J (t ) 
A(t )  *
mc
m

C
 
q, p


q

2




 np  qN q  np( N q  1)
 q
k1  r 2 
k , s , m , r  





 


 

 
 J s (a1q ) J m (a2 q )  J k  s (a1q ) J r m (a2 q )  J s k (a1q ) J mr (a2 q )

9




 p  q

 cosk1  r 2 t 
  p   q  s1  m 2


 

 
 J k  s (a1q ) J r m (a2 q )  J s k (a1q ) J mr (a2 q ) sink1  r 2 t 
   p q   p  q  s1  m 2 

(9)

Phương trình (8) là phương trình động lượng tử cho hàm phân bố không


cân bằng của điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt hai sóng điện từ E1 (t )và E2 (t )
Phương trình này là cơ sở để tính hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu biến điệu
theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong bán dẫn khối .

2.2.Hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối
Ta có hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khôi với
giả thiết  2  1 như sau


8
2
c   E02

 
J (t ) E02 sin  2 t

t

(10)

Thay (9) vào (10) ta được:


16 2  2
2
c   E02

  C n
 
q , p s , m  


q

2

 
pq




 
N q  n p N q  1 mJ s2 a1 q J m2 a 2 q     p  q   p   q  m 2 

(11)
Xét tán xạ điện tử-phonon quang ta có:  p  0
C q

2



2 0 e 2
 0q2

 1
1 



  0 

Khai triển hàm Bessel gần đúng bậc hai ta được:

10


  2
32 3 e 2  2 0  1
1 
1  a2 q 

 2 


 n p  q N q  n p N q  1 
c   E 02  0     0  q  2 

 a1 q 2 

a1 q  

1 
   p  q   p   q   2     p  q   p   q   2  
2 
4 



   p  q   p   q  1   2     p  q   p   q  1   2    
                                 
pq
p

q
1
2
pq
p
q
1
2 
 
 









Với  s ,m   q  s1m 2 ;  s ,m   s ,m 

(12)


2q 2
2m *

Hệ số hấp thụ có dạng
  2
32 3 e 2  2 0  1

1 
1  a2 q 

 2 


 n p  q N q  n p N q  1 
c   E 02  0     0  q  2 
 2
 4


 a1 q 2 3   4   


a1 q  
pq 
 2 pq   a1 q 
 
 1 
 a1 q       0,1  *      0, 1 


* 
2
32
4
16
m
m






 
 


 4








 



 2 qp 
 2 pq 
 2 pq 
 2 pq  a1 q 
     1,1 
     1, 1 
 
     1,1  *      1, 1 


64
m 
m * 
m * 
m * 
  







 


 2 pq 
 2 pq 
 2 pq  
 2 pq 
      2, 1 
     2,1 
     2, 1 
 
      2,1 
m * 
m * 
m *  
m * 



  





(13)
Ta xét tổng sau
Ds , m  
 
p ,q

  2


1  a2 q 
 2 pq 






n
N

n
N


1





 pq q
q
 s ,m

q2  2 
m* 






(14)

Thực hiện chuyển tổng thành tích phân và tính toán các số hạng của (14) ta được

11


1

Ds , m 

2 6

 s ,m 
  s ,m    s ,m 
m * n0 a 22 
  N   1exp
 
 K 0
N

exp
q
 q

k BT 
2 4 
 2k BT   2k BT 

(15)

Tính toán tương tự như trên ta được
H s ,m



  2

1 2 
pq 
 a2 q    

 
 n p  q N q  n N q  1 2 a1q     s ,m  * 
 
q
m 

p ,q  2 



1

2 

Gs ,m

6



*2 2
 s ,m 
  s ,m  4m  s ,m
m * n0 a 22  2 

  N   1exp


a
N


exp

1  q
q

 2k T   4
k BT 
2 4
B 








1/ 2

  s ,m 

K1 
 2k B T 



(16)

  2


1 4 
 2 pq 
 a2 q    

 
 n p  q N q  n p N q  1 2 a1 q     s ,m 
 
q
m * 
p ,q  2 






1

2 6



*2 2
 s ,m 
  s ,m  4m  s ,m
m * n0 a 22  4 








a1  N q  N q  1 exp
  exp  
4

k BT 
2 4

 2k B T  

   s ,m 

K 2 
  2k T 
  B 

Sử dụng (15) và (16) thay vào biểu thức của hệ số hấp thụ ta được
1
3


D0,1  D0, 1   2 H 0,1  H 0, 1   32 G0,1  G0, 1 


 1 H  H

1, 1  H 1,1  H 1, 1 


32 3 e 2  2 0  1
1   4 1,1

 



2
c   E 02
 0     0   1 G  G



G

G
1,1
1, 1
1,1
1, 1
 16

 1

 G 2,1  G 2, 1  G2,1  G2, 1 

 64


(17)

Biểu thức (17) là hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử tròng bán dẫn
khối khi có mặt trường bức xạ laser. Kết quả này sẽ được sử dụng để so sánh với
hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình chữ
nhật với hố thế vô hạn khi có mặt trường bực xạ laser được nghiên cứu trong các
chương tiếp theo.

12


CHƢƠNG II:
PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ VÀ BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA
HỆ SỐ HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM
TRONG DÂY LƢỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT VỚI HỐ THẾ CAO VÔ
HẠN TRONG TRƢỜNG HỢP TÁN XẠ ELECTRON-PHONON KHI CÓ
MẶT TRƢỜNG BỨC XẠ LAZER BIẾN ĐIỆU
1.Phƣơng trình động lƣợng tử cho dây điện tử trong dây lƣợng tử hình chữ
nhật hố thế cao vô hạn.
Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong dâ lượng tử hình chữ nhật khi
có trường sóng điện từ dưới hình thức luận lượng tử hóa lần hai được viết dưới
dạng
H






n ,l , p z

n ,l

C

e   

A(t ) a n,l , p z a n,l , p z    q bq bq
 pz 

c


q

I


q n ,l , n ',l '
 
n ,l , n ',l ', p z , q


(q )an',l ', p z  qz an,l , p z (bq  bq )

với

n, l, p z  và n' , l ' , p z  qz  tương ứng với trạng thái electron trước và sau khi tán xạ






an,l , p z an,l , p z là toán tử sinh (hủy) của electron ở trạng thái n, l , p z


bq bq  là toán tử sinh (hủy) của phonon ở trạng thái q

 q  0 là tần số phonon quang
 n,l , p là năng lượng của điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật
z

C q

2



e 2  0  1
1


2 
2 0Vq     0


 là hằng số tương tác điện tử - phonon cho trường hợp tán


xạ điện tử - phonon quang,
Trong đó

13


V là thể tích chuẩn hóa ( thường chọn V=1)
  là hằng số điện môi cao tần





F (t )  F1 (t )  F2 (t )  F1 sin(1t  1 )  F2 sin( 2 t   2 ) là vector của sóng điện từ


I n,l ,n ',l ' (q  ) 

32 4 (q x Lx nn' ) 2 (1  (1) n n ' cos(q x Lx )

(q L )
x



 2 2 (q x Lx ) 2 (n 2  n' 2 )   4 (n 2  n' 2 ) 2

4

x

32 4 (q y L y ll ' ) 2 (1  (1) l l ' cos(q y L y )

(q L )
x

y

4

 2 2 (q y L y ) 2 (l 2  l ' 2 )   4 (l 2  l ' 2 )

Gọi nn,l , p (t )  an,l , p an,l , p
z

z

z

t



2



2

là giá trị trung bình thống kê cúa toán tử số hạt

tại thời điểm t.
Phương trình động lượng tử cho điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật
với hố thế cao vô hạn có dạng
i

nn,l , p z (t )
t



 a n,l , p z a n,l , p z , H



(18)

t



e  

sh1  a n,l , p a n,l , p z ,   n ',l '  p z'  F (t ) a n',l ', p 'z a n ',l ', p ' z 

c


n ',l ', p ' z




t

Ta có
 

e   

 a
 ,
a

p
'

F (t ) a n ',l ', p ' z a n ',l ', p ' z 

 n,l , pz n,l , pz  n ',l '
z
c


n ',l ', p ' z





Vậy

sh1

t




n ',l ', p ' z

n ',l '

e   


 p' z  F (t ) (a n,l , p z a n ',l ', p z  a n ',l ', p ' z ) n,n ' l ,l ' p z p ' z  0
c



0

(19)




Số hạng thứ hai sh2 t  an,l , p an,l , p ,   q bq bq   0



z

z

q



(20)

14


Số hạng thứ ba sh3 t   Cq I n,l ,n',l ' (q )En',l ', p q ,n,l , p q (t )  En*,l , p ,n',l ', p q , q (t )


z

z

z

z

z

z

 En,l , p z ,n',l ', p z qz ,q (t )  En*',l '. p z qz ,n,l , p z ,  q (t )

(21)

Thay (19),(20),(21) vào (18) ta được
i

nn,l , p z (t )
t




   C q I n,l ,n ',l ' (q  ) En ',l ', pz  qz ,n,l , p z q (t )  E n*,l , p z ,n ',l ', p z  qz .q (t )

n ',l ', q

 En,l , p z ,n',l ', p z qz ,q (t )  En*',l ', p z qz ,n,l , p z ,  q (t )

(22)

Phương trình động lượng tử của hàm E(t) là
i

En1 ,l1 , p1 ,n2 ,l2 , p 2 ,q1 (t )
t



 a n1 ,l1 , p1 a n2 ,l2 , p 2 bq , H



t

(23)

Từ biểu thức (23) ta phân tích được ba số hạng
sh1

sh2

sh3

t

t

t

e 


  

  n2 ,l2 ( p2 )   n1 ,l1 ( p1 )  * ( p2  p1 ) F (t )En1 ,l1 , p1 ,n2 ,l2 , p 2q (t )
mc



(24)

 q En1 ,l1 , p1 ,n2 ,l2 , p 2 ,q (t )


C


n3 ,l3 , q1



I


q1 n3 ,l3n2 ,l2

C


n4 ,l4 , q1

I

(25)


(q ) an1 ,l1 , p1 an3 ,l3 p 2 q1 z bq (bq1  bq1 )


q1 n3 ,l3n4 ,l4

t


(q ) an1 ,l1 , p1 an4 ,l4 , p 2  q1 z an2 ,l2 , p 2 (bq1  bq1 )bq

t

(26)

Thay (24) (25) (26) vào (23) ta được
i

En1 ,l1 , p1 ,n2 ,l2 , p 2 ,q (t )
t

e 


 

  n2 ,l2 ( p 2 )   n1 ,l1 ( p1 )  * ( p 2  p1 )En1 ,l1 , p1 ,n2 ,l2 , p 2 ,q (t )
mc



  q En1 ,l1 , p1 ,n2 ,l2 , p 2 ,q (t ) 

C


n3 ,l3 , q1

I


q1 n3 ,l3 , n2 ,l2


(q ) an1 ,l1 , p1 an3 ,l3 , p 2 q1 z bq (bq1  bq1

t

15




C


n4 ,l4 , q1


(q ) an4 ,l4 , p1  q1 z an2 ,l2 , p 2 (bq1  bq1 )bq

I


q1 n1 ,l1 , n4 ,l4

Ta giải phương trình (27) để tìm
tương tác

En1 ,l1 , p1 ,n2 ,l2 , p 2 ,q ()  0

En1 ,l1 , p1 ,n2 ,l2 , p 2 ,q (t )

t

(27)

với điều kiện đoạn nhiệt

. Giải (27) bằng phương pháp biến thiên hằng số ta

được
E n1 ,l1 , p1 ,n2 ,l2 , p 2 ,q (t ) 



t
i 



  C q1 I n1 ,l1 ,n4 ,l4 (q  ) a n4 ,l4 , p1  q1 z a n2 ,l2 , p 2 (bq1  bq1 )bq

 n4 ,l4

C


n3 ,l3 , q1

I


q1 n2 ,l2 , n3 ,l3


(q )  an1 ,l1 , p1 a n3 ,l3 , p 2 q1 z bq (bq1  bq1 )



t2


t2

t

ie



  
i

 exp   n1 ,l1 ( p1 )   n2 ,l2 ( p 2 )   q (t  t 2 )  *  ( p1  p 2 ) F (t )dt 2

m c t2









Tính phương trình (28) bằng phương pháp gần đúng bậc 2 theo


q1  q, n4  n, n3  n'

lấy số hạng 1 với

C q

, ta chỉ



q1  q, n4  n, n3  n'

,số hạng 3 với
bq bq

t2

 N q ; bq bq

t2

 N q , bq bq

t2

 1  N q

N q

với

(28)

t2

là hàm phân bố trong trạng thái cân bằng, không phụ thuộc vào

 
q q t
2

b b

các phonon, bó qua số hạng chứa
nn,l , p z (t )
t



1
 Cq
 n ',l ',q

2

t



 
q q t
2

;b b

của hệ

ta được



 2
I n,l ,n ',l ' (q  )  dt 2 nn,l , p z (t 2 ) N q  nn ',l ', p z  qz (t 2 )(1  N q )





t


ie  



i

 exp   n ',l ' ( p z  q z )   n,l ( p z )   q  (t  t 2 )  *  q z F (t1 )dt1 
m c t2



















i
 nn,l , p z (t 2 )(1  N q )  nn ',l ', p z  qz (t 2 ) N q  exp   n ',l ' ( p z  q z )   n,l ( p z )   q



16


t

ie  

 (t  t 2 )  *  q z F (t1 )dt1   nn ',l ', p z qz (t 2 ) N q  nn,l , p z (t 2 )(1  N q )
m c t2







t


ie  



i


 exp   n,l ( p z )   n ',l ' ( p z  q z )   q  (t  t 2 )  *  q z F (t1 )dt1 
m c t2











 nn',l ', p z qz (t 2 )(1  N q )  nn,l , p z (t 2 ) N q



t


ie  



i


 exp   n,l ( p z )   n ',l ' ( p z  q z )   q  (t  t 2 )  *  q z F (t1 )dt1 

m c t2











(29)

Ta xét vector của trường điện từ trong trường hợp tồn tại hai sóng điện từ:
sóng điện từ mạnh (lazer)


F1 (t )

và sóng điện từ yếu


F2 (t )






1 dF (t )
F (t )  F1 (t )  F2 (t )  F1 cos(1t  1 )  F2 cos( 2 t   2 ) 

c dt




F01c
F02c
suy ra F (t )  
sin(1t   1 ) 
sin( 2 t   2 )
1
2

Vậy

 
 
q z F01c
q z F02c
 
 q z F (t1 )dt1  12 cos( 1t  1 )  cos( 1t 2  1 )   22 cos(  2t   2 )  cos(  2t 2   2 )
t2
t

exp( ízin ) 

Áp dụng khai triển :



J

k  

k

( z )e

 ik



eF01 
eF02

a1  * 2 ; a 2  * 2
m 1
m  2 ta được
và đặt


 ie t  



 
 
exp  *  q z F (t1 )dt1    J u (a1 q z ) J s (a1 q z ) J m (a 2 q z ) J f (a 2 q z )
 m c t2
 u , s ,m, f 

 exp is  u 1  m  f  2 t  s  u 1 exp  i(s1  m 2 )(t  t 2 )

17


Thay vào phương trình (29) và thêm thừa số

et e  (t t2 )  et2

  0

với

xuất

hiện do giả thueets đoạn nhiệt tương tác. Khi đó ta có
nn,l , p z (t )
t



2
1
 2 


 
 


C
I
(
q
J u (a1q z ) J s (a1q z ) J m (a 2 q z ) J f (a 2 q z )


q
n ,l , n ',l '
)
 n ',l ',q
u , s , m , f  

 exp is  u 1  m  f  2  i t  s  l 1 
t



  dt 2 nn,l , p z (t 2 ) N q  nn ',l ', p z  qz (t 2 )(1  N q )













i

 exp   n ',l ' ( p z  q z )   n,l ( p z )   q  s1  m 2  i  (t  t 2 )





 nn,l , p z (t 2 )(1  N q )  nn',l ', p z  qz (t 2 ) N q










i

 exp   n ',l ' ( p z  q z )   n,l ( p z )   q  s1  m 2  i  (t  t 2 )





 nn,l , p z qz (t 2 ) N q  nn',l ', p z (t 2 )(1  N q )










i

 exp   n,l ( p z )   n ',l ' ( p z  q z )   q  s1  m 2  i  (t  t 2 )





 nn',l ', p z qz (t 2 )(1  N q )  nn,l , p z (t 2 ) N q










i


 exp   n,l ( p z )   n ',l ' ( p z  q z )   q  s1  m 2  i  (t  t 2 )



(30)

Biểu thức (30) là phương trình động lượng tử của điện tử giam cầm trong
dâ lượng tử hình chữ nhật khi có mặt trường sóng điện từ gồm 2 sóng điện từ: 1

F1 (t )

sóng mạnh

có biên độ


F01


F2 (t )

1

và tần số

; 1 sóng yếu

có biên độ



F02

và

2

tần số

.

18


Để giải phương trình (30) ta sử dụng phương pháp gần đúng lặp bậc nhất,
cho

nn0,l , p z  nn,l , p z và nn',l ', p z qz  nn',l ', p z  qz

Và sử dụng 2 tích phân








i

K1   exp   n,l ( p z )   n '.l ' ( p z  q z )   q  s1  m 2  i (t  t 2 )dt 2






i



 n,l ( p z )   n ',l ' ( p z  q z )   q  s1  m 2  i

K 2   exp is  u 1  m  f  2  i t 's  l  1 dt '



exp is  u 1  m  f  2  i t 's  l  1 
is  u 1  m  f  2  i 

Đặt

k    

k  u  s nên u  k  s

với
r    

r  f  m nên f  r  m

với

Sau khi giải phương trình (30), t có biểu thức của hàm phân bố của điện tử
có dạng
nn,l , p z (t )
t



1
2

C


n ',l ', q


q

2

 2
I n,l ,n ',l ' (q  )



J

u
u , s , m , f  



 
 
(a1q z ) J s (a1q z ) J m (a 2 q z ) J f (a 2 q z )

 
  2

  2

 exp i s  u  1
 m  f   i t  s  u  1
  ' 
2

 2

 
t



  dt 2 nn,l , p z (t 2 ) N q  nn ',l ', p z  qz (t 2 )( N q  1)





i 


  2




 exp   n ',l ' ( p z  q z )   n,l ( p z )   q  s 1
 m  i (t  t 2 )
2

 


19






 nn,l , p z (t 2 )( N q  1)  nn',l ', p z qz (t 2 ) N q

i 

  2




 exp   n ',l ' ( p z  q z )   n,l ( p z )   q  s 1

 m  i (t  t 2 )
2

 




 nn',l ', p z  qz (t 2 ) N q  nn,l , p z (t 2 )( N q  1)



i 

  2





 exp   n,l ( p z  q z )   n ',l ' ( p z  q z )   q  s 1
 m  i (t  t 2 )
2

 




 nn',l ', p z  qz (t 2 )( N q  1)  nn,l , p z (t 2 ) N q



i  

  2



 exp   n,l p z   n ',l ' ( p z  q z )   q  s 1
 m  i (t  t 2 )
2

 


(31)

2.Biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ của sóng điện từ yếu khi có mặt
trƣờng bức xạ lazer biến điệu.


2.1.Mật độ dòng điện J z (t ) :
Do chuyển động của điện tử bị giới hạn trong mặt phẳng xOy, nên ta chỉ
xem xét véctơ mật độ dòng theo hướng x

e
J z (t )  *
m




  p


n ,l , p z

z



e  
A(t ) nn,l , p z (t )
c



 e2
e
A(t )nn,l , p z (t )  *

*
m c n,l , p z
m



p n
z


n ,l , p z

(t )



n0 e 2 E01
n0 e 2 E02
e
 *
cos1t  1   *
cos 2 t   *
m 1
m 2
m

Trong đó n0 

n


n ,l , p z


n ,l , p z



p n


n ,l , p z

z


n ,l , p z

(t )

(32)

(t ) là nồng độ hạt trong dây lượng tử

Xét số hạng cuối cùng của phương trình (31) và thay vào biểu thức của
hàm phân bố (32) được
20