Phép tính tenxơ và vài ứng dụng trong cơ học, vật lý 1

ĐAO HUY BÍCH

PHÉP TÍNH TENXƠ
VÀ

MỘT
■ SỐ ỨNG DỤNG
■
TRONG C ơ HỌC, VẬT LỶ
■

J

«

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI


T * •
? • 1V
L
ời nói
cl a u

Trong toán học., vật lý học và nói riêng trong cơ học, ta thường gặp các loại
đại lượng: có loại chỉ quan hệ với giá trị bằng số (như nhiệt độ, khối lượng, tỉ
khối, năng lượng v.v...); có loại ngoài giá trị bằng số cần phải kể đến hướng
của nó trong không gian (như chuyển dịch của chất điểm, vận tốc, gia tốc, lực
v.v...), có loại đặc trưng cho một trạng thái (như biến dạng, ứng suất của môi
trirờng liên tục, năng xung lượng của trường điện từ, độ cong tại mỗi điểm

của không gian phi Euclide v.v...)
Các đại lượng thuộc loại thứ nhất được đặc trưng bời các vô hướng, loại
thứ hai bời các vector và tổng quát hơn cả loại thứ ba được dặc trưng bồi các
tenxơ. Dựa vào khái niệm tenxơ, ta có thể bao quát mọi đặc trưng của tất
cả các đại lượng, xem c.hiing như những tenxơ hạng không (vô hướng), hạng
nhất (vectơ) và hạng tùy ý. Tenxơ có đặc điểm chung là không phụ thuộc
vào cách chọn hộ tọa độ dùng để mô tả chúng, nghĩa là trong mồi hệ tọa độ
có thể cho tenxơ bằng một hệ thống dại lượng nào dấy, gọi là các thành phần
của tenxơ. Tenxơ là bất biến, CÒI1 các thành phần của nó thay đổi đối với
cách chọn hệ tọa độ. Nếu các thành phần của tenxơ dà cho trong một hệ tọa
độ, thì ta có thể xác định các thành phần của nó trong bất kỳ một hệ tọa độ
nào khác, vì trong định nghĩa tenxơ đả bao hàm quy luật biến đổi các thành
phần Iiày. Các quy luật vật lý và cơ học được biểu diên dưới dạng các hệ
thức ten-xơ, viết các phương trình dưới dạng tenxơ cho phép thiết lập các
quy luật bất biến, không phụ thuộc vào cách chọn hệ tọa độ. Do tính chất
tuyến tính và đồng nhất của các phép biến đổi tenxơ, nẽn các phương trình
tenxa đả đúng trong hệ tọa độ này, củng đúng trong hệ tọa dộ khác. Tính
bất biến của các hệ thức tenxơ đối với phép biến dổi hệ tọa độ là một trong
Iihửng nguyên Iihân cơ bản để sử dụng có hiệu quả phép tính tenxơ trong cơ
học và vật lý.
Cuốn sách này nhằm giới thiệu phép tính tenxơ và một số ứng dụng của
nỏ trong cơ học và vật lý, giúp các bạn đọc làm quen với phép tính này dưới


iv

LỜI NÓI t)ẰU

dạng đơn giản, chỉ cần dùng những kiến thức dã học trong đại số tuyến tính
và giải tích toán học, đồng thời nêu ứng dụng cùa I1Ó trong viộc xây dựng các

hệ thức cơ sờ của cơ học các môi trường liên tục, cơ học cổ điển (Newton),
điện học và lý thuyết tương đối.
Cuốn sách gồm hai phần: phần I, ngoài việc trình bày ngắn gọn phép tính
tenxơ, chủ yếu là trong không gian Euclide và không gian Riemann (các khái
niệm cơ bản về tenxơ, phép tính đại sổ và phép tính vi phân dối với tenxơ),
còn trình bày riêng tenxơ trong hệ tọa độ Descart.es (không gian Euclide t hông
thường), giúp bạn đọc không cần đi sâu vào phép tính tonxơ cùng có được khái
niệm đơn giản và ứng dụng tenxơ trong các lĩnh vực cơ học thông thường.
Phần II, trình bày một số ứng dụng phép tính tenxơ dể thiết lập các hệ
thức cơ sờ của cơ học ưiôi trường liên tục (thủy khí động lực học, đàn hồi và
dèo), cơ học cổ điển (Newton), diện học và lý thuyết tương đối.
Cuối mỗi chương thuộc phần I có một lưạng bài tập thích đáng để người
đọc tự kiềm tra kiến thức của mình. Đáp án hoặc chỉ dẫn giải các bài tập
được trình bày ờ phần cuối sách. Các công thức, thí dụ, bài tập ờ các chương
được đánh số bằng hai chừ số, số đầu chỉ chương, số sau chi thử tự. Kết thúc
mổi thí dụ được ghi nhận bằng dấu •
Sách có thể dùng làm tài liệu học tập cho sinh viên các trường dại học,
học viên cao học, nghiên cứu sinh và tài liệu tham khảo cho các cán bộ khoa
học, kỹ thuật liên quan đến cơ học.
Sách được hoàn thành nhờ sự quan tâm và tạo điều kiện của lánh đạo
Khoa Toán - Cơ - Tin học, lảnh dạo trường Đại học Khoa học Tự nhiên, lãnh
đạo Đại học Quốc gia Hà Nội, dã dược Hội dồng thẩm định sách chuyên khảo
cấp Đại học Quốc gia Hà Nội thông qua và Đại học Quốc gia Hà Nội cho phép
ấn hành, tác già bày tỏ lời cảm ơn chân thành.
Mong nhận được đóng góp ý kiến của bạn đọc về nội dung và cách trình
bày cuốn sách.
Tác giả


M ụ• c l ụ• c

Trang
Lừi nói dầu

i

P h ầ n I. P h é p t í n h t e n x ơ
C hương I. M ôt số khái niệm trong dai số tu y ến tín h

1
3

1.1. Khái niệm về tập hợp, nhóm, vành, trường

3

1.2. Khái niệm về không gian tuyến tính

5

1.3. Hộ vectơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

7

1.4. Hệ vectơ cơ sờ (rêpe). Không gian apphin. Tọa độ apphin

8

1.5. Không gian Euclide và khái niệm về không gian inêtric

9

1.6. Toán tử, ma trận, định thức

17

1.7. Hệ phương trình tuyến tính

32

1.8. Dạng toàn phương

37

1.9. Bài tập chương I

42

C hương II. T en x ơ trong hê toa đô D escartes vu ôn g góc

49

2.1. Khái niệm về hệ thống. Quy tắc chì số

49

2.2. Tenxơ

51

2.3. Các phép tính dại số đối với tenxơ

59

2.4. Tenxơ phản đối xứng và tenxơ đổi xửng

65

2.5. Trường tenxơ. Vi phân trường tenxơ

76

2.6. Bài tập chương II

90

V


MỤC LUC

Vì

C h ư ơ n g III. T en xơ trong không gian apphin

97

3.1. Phép biến đổi hệ tọa độ (hệ vectơ cơ sờ) apphin. Khái niệm vò
phản biến và hiệp biến

97

3.2. Tenxơ

105

3.3. Các phép tính đối với tenxơ

111

3.4. Tenxơ đối xứng và tenxa phản đổi xứng. Tích ngoài của các
vectơ

115

3.5. Giả tenxơ và mật độ tenxơ

120

3.6. Bài tập chương III

126

C hư ơ ng IV . T enxơ trong không gian E uclide

129

4.1. Định nghĩa tích vô hướng, tenxa mêtric. Hệ vector cơ sờ trực
chuẩn

129

4.2. Không gian Euclide thực sự. Không gian giả Eucliđe. Không
gian đối ngẫu của không gian Eucliđe

137

4.3. Đại số tenxơ trong không gian Euclide

142

4.4. Dạng chính tắc của tenxơ đối xứng hạng hai

145

4.5. Thể tích trong không gian Euclide thực. Các giả tenxơ quan
trọng của không gian Euclide

147

4.6. Các hệ tọa độ cong trong không gian apphin và không gian
Euclide. Định nghĩa tenxa trong các hệ tọa độ đó.
Tenxơ mêtric trong hệ tọa độ cong của không gian Euclide

149

4.7. Dịch chuyển song song. Hệ số liên thông

165

4.8. Vi phản tuyệt đối và đạo hàm hiệp biến

174

4.9. Các toán tir vi phân bất biến: grad, div, rot. Công thức Stokes,
công thức Gauss-Ostrogradsky
4.10. Bài tập chương IV

185
190

C hư ơng V . K hông gian apphin liên thôn g Ln và không gian
R ieinann vn
5.1. Đa tạp ca bản. Không gian apphin tiếp tuyến

193
193


vii

PHÉP TÍNH TEN X ơ

5.2. Không gian apphin liên thông L n. Không gian liên thông không
xoắn L„

198

5.3. Không gian Riemann v n. Tcnxơ mẽtric, hộ số liôn thông trong
không gian Riemann

201

5.4. Không gian Euclide là trường hợp riêng của không gian
Riemann

208

5.5. Giải tích tenxơ trong không gian liên thông L n và không gian
Riemann Vn

211

5.6. Đường trong không gian Riemann. Đường trắc địa trong không
gian L n và Vn

216

5.7. Độ cong trong không gian Ln và v n. Tenxơ độ cong Riemann Christoffel. Tenxơ Ricci - Einstein. Đồng nhất thức Bianchi
5.8. Bài tập chương V

227
237

P h ầ n II. M ô t số ứ n g d u n g p h é p t í n h t e n x ơ
t r o n g C ơ h o c v à V â t lý
C hư ơ ng V I. C ư hoc các m ôi trư ờ n g liên tụ c

241
243

A - ĐỘNG HỌC VÀ ĐỘNG L ự c HỌC CÁC
MÒI TRƯỜNG LIÊN TỤC
6.1. Nghiên cứu chuyển động theo Lagrange và Euler

244

6.2. Tenxơ biến dạng. Tenxơ tốc độ biến ciạng

254

6.3. Tenxor ứng suất

266

6.4. Các định luật cơ bần của cơ học môi tnrờng liên tục

272

B - LÝ THUYẾT ĐÀN HÒI TUYẾN TÍNH
6.5. Định luật Hooke mờ rộng

286

G.6. Cách đặt bài toán của lý thuyết đàn hồi

290

6.7. Cách đặt bài toán phằng của lý thuyết đàn hồi

293

6.8. Nhiệt đàn hồi tuyến tính

296


viii

MỤ C’ LỤC

c - c ơ HỌC CHẤT LÒNG
6.9. Phương trình xác định của chất lỏng nhớt. Chất lỏng nhớt
tuyến tính Newton

299

6.10. Cách đặt bài toán của chất lỏng Newton (nhớt tuyến tính)

301

6.11. Chất lòng và chất khi lý tường

305

6.12. Khái niệm về dòng chảy dừng, dòng không xoáy, dòng chảy
có thế

309

D - LÝ THUYẾT DẺO
6.13. Những hiệu ứng xuất hiện khi vật rắn biến dạng không mô tà
được trong phạm vi lý thuyết đàn hồi

310

6.14. Nhừng định luật biến dạng dỏo đơn giản

313

6.15. Một vài nét về lý thuyết dẻo hiện nay

321

6.16. Cách đặt bài toán trong lý thuyết dèo

331

C h ư ơ n g V II. D ông lire hoc cổ điển (N ew to n )

333

7.1. Động lực học điểm

333

7.2. Động lực học của hệ chất điểm với các liên kết hôlônôm vô thời 348
7.3. Động lực học của vật rắn tuyệt đối
C h ư ơ n g V III. Đ iên hoc

363
371

8.1. Trường tĩnh diện

371

8.2. Dòng điện không dổi

376

8.3. Từ trường

379

8.4. TVường điện từ

384

C h ư ơ n g IX. Lý th u y ết tư ơ n g đối hep

393

9.1. Những nguyên lý vật lý cơ bản

¿93

9.2. Động học tương đối

¿96

9.3. Động lực học tương dối

408

9.4. Tenxơ năng - xung lượng của dòng khối lưạng

414


PHÉP TÍNH TENXO

Chương X. Lý th u y ế t trư ờng

ix

421

10.1. Hạt tích điện trong trường điện từ. Tenxơ trường điện từ

421

10.2. Thế 4 chiều. Vectơ mật độ dòng 4 chiều

426

.0.3. Dạng tenxơ của phương trình Maxwell

429

10.4. Tenxơ năng xung lượng của trường điện từ

434

10.5. Trường hấp dẫn. Nguyên lý tương dương

438

10.6. Hình học Riemann của không thời gian cong 4 chiều trong
lý thuyết tương đối

440

10.7. Chuyển động của hạt trong trọng trường

444

10.8. Tenxơ năng - xung lượng trong lý thuyết tương đối rộng

446

10.9. Phương trình Einstein của trường hấp dần

447

Đáp án và chỉ dẫn

459

Tài liệu tham khảo

491

Bảng chỉ dẫn

493


Phần I
P h é p tín h te n x ơ

1


CHƯƠNG 1

Một số khái niệm trong dai số
tuyến tính
Trong chương này nhắc lại một cách sơ lược những khái niệm chính và một
số định lý quan trọng (không chứng minh) của đại số tuyến tính, được sử
dụng trong cuốn sách.

1.1
1 .1.1

K h á i n iê m về t ậ p h ợ p , n h ó m , v à n h , t r ư ờ n g
T âp h ap

Hệ thống các đối tuợng, liên kết với nhau bằng dấu hiệu chung gọi là tập
hựp, bản thân những đối tượng đó là phần từ cùa tập hợp.

Người ta biều diễn tập hợp bằng cách cho đầy đủ các phần tứ của nó.
Số phần tứ này hữu han thì tập hợp là hữu /lạn, ngược lại ta có ỉập hợp vô
hạn. Đối với tập hợp vô hạnì thường người ta chỉ ra các tính chất đặc trưng
của nó. Tập hợp trống là tập hợp không chứa một phần tử nào cà.
Phần tử X thuộc tập hợp A có thể ký hiệu một cách đơn giản
X € A.

Trên tập hợp ta thực hiện các phép toán đại số, đó là quy luật dặt tương
ứng hai phần từ nào dấy của tập hạp theo một thứ tự xác định, sẽ cho duy
nhất một phần tử thứ ba cũng thuộc tập hợp đó. Ký hiệu một cách tirợng
trưng phép tính tổng quát trên tập hợp bằng dấu * (có thể là tổng, tích...)
a E Ay

b€ A

a*b = c E A .
3


4

Chương I. MỘT s ố KHÁI NIỆM TRONG ĐAI s ố TUYỂN TÍNH

Phép toán có tính chất giao hoán, nếu
a *b = b*a
và có tính kết hợp, nếu
(a * b) * c = a * (b * c).
Quan hệ tư ơ n g dư ơ ng của các phần từ thuộc tập hợp thể hiện như sau:
với mọi a€ A, thì a /V (X'
nếu

a ~ 6,

thì ò ~ a;

nếu

a ~ 6,

b ~ c, thì a~

Với quan hệ tương đương là quan hệ
đương là bằng nhau.

c.

“bằng nhau”,ta có hai phần tử tưang

T h í du 1.1. Tập hợp các số thực, tập hợp các vectơ trong không gian 3
chiều, v.v... •
1 .1 .2

N hóm

Nhóm N là một tập hợp với một phép tính có tính chất kết hợp (không nhất
thiết giao hoán), với phép toán đó tôn tại phép to á n Iighich đào.
Nhóm Abel là nhóm với phép toán có tính chất giao hoán.
Chú ý rằng, không nên xem phép toán nghịch đảo là một phép toán dộc
lập của nhóm, vì nó có thể xác định qua phép toán chính.
Chẳng hạn nhóm với phép cộng phép toán nghịch dào là phép trừ, phần

từ nghịch đảo của a là ( - a ) và tồn tại phần từ không duy nhất sao cho
a 4- 0 = a; còn nhóm với phép nhân, từ phép toán nghịch đảo suy ra tôn tại
phần tử dơn vị e, sao cho với mọi a € Ny thì ae = a. Do đó đối với phần tử
bất kỳ a, có p h ầ n t ừ n g h ỉ c h đ ả o a ” 1 th ỏ a m ã n a a “ 1 = a “ 1« = V.

T h í du 1.2. Tập hợp các số nguyên với phép cộng, tập hợp các số hữu tỷ
dương với phép nhân v.v... đều lập thành nhóm. •
1 .1 .3

V à n h , tr ư ờ n g

Tập hợp gọi là vành V, nếu nhu trong đó xác định hai phép toán cộng và
nhãn, cả hai đều có tính chất kết hợp, và liên kết với nhau bằng quy luật phân
lT ừ đây ta ký hiệu các phép toán (*) bằng các ký hiệu thòng thường: chẳng hạn phép
cộng ỉà (+ ), phép nhản là (•) hoặc viết liền với phần tử được nhân, v.v...


1.2. KHÁI NIỆM VÈ KHÔNG GIAN TUYỂN TÍNH

5

bố, trong đó phép cộng có tính chất giao hoán và có phép toán nghịch đào.
Vành giao hoán nếu như phép nhân có tính chất giao hoán, ngược lại là vành
không giao hoán.
Tính chất phán bổ thể hiện như sau, với mọi a,byc E V
(a 4- b)c = ac 4- òc7 a(ò + c) = aò + ac.
Trường T là vành giao hoán, trong đó tồn tại phần tử đơn vị, và mọi
phần tủ khác không đều có phần tử nghịch đảo.
Như vậy, đối với các phần tử của trường T phải thỏa mãn các điều kiện
sau:

1. Với mỏi cặp a ,6 có tương ứng phần từ a 4- b (tổng cùa a và 6), trong
đỏ
- tổng có tính chất giao hoán: a -f b = b 4- a,
- tổng có tính chất kết hợp: a 4- (ò 4- c) = (a 4- b) + c,
- có phần tử không: a + 0 = a,
- có phần tử nghịch đảo - a của phần từ a: a + (—a) = 0.
2. Với mỏi cặp a,6, có tương ứng phần từ ab (tích của a và b), trong đó:
- tích có tính chất giao hoán ab = bay
- tích có tính chtất kết hợp a(bc) = (aò)c,
- tồn tại phần tử đơn vị e sao cho
ae = ea = a

với mọi a,

- với mọi a khác không, tồn tại phần tử nghịch đảo a“ 1, sao cho
aa~l — a~ l a = e.
3. Phép cộng và phép nhân có tính chất phân bố
(a + b)c = ac 4- bc.
T h í du 1.3. Vành số nguyên với phép cộng và nhân. Trường số thực với
phép cộng và nhân,... •

1.2

K h ái n iê m về k h ô n g gian t u y ế n tín h

Ta xét tập hợp mà phần tử cùa nó là những vectơ (chẳng hạn tập hợp các
vectơ trén một trục, tập hợp các vectơ trong mặt phẳng, tập hợp các vectơ
trong không gian), thổa mãn nhừng điều sau đây:
1. Với cặp vecta X, y có tương ứng vectơ tổng X *f y, trong đó:

6

Chương I. MỘT s ó KHÁI NIỆM TRONG ĐẠI s ố TUYỂN TÍNH

-

tổng giao hoán: X + y = y + X,
tổng kết hợp: x + ( y + z) = ( x - f y ) f z ,
tồn tại vectơ 0 sao cho: X + 0 = X,
với mọi vectơ X tồn tại vectơ đối —X, sao cho:
X + (—x) = 0.

2. Với cặp a , X, trong đó a là số thực, còn X là vectơ, có tương ứng QX
là một vectơ, trong đó phép nhân với một số có tính chất kết hợp:
a(/?x) = (a/?)x,

ex = X với mọi X.

3. Phép cộng và phép nhản liên hệ với nhau bằng hệ thức phản bố:
a (x + y) = a x + a y ,
( a + ¡ 3 ) x = Q X + /? x .

Từ tính chất 1), ta thấy tập hợp các vectơ là nhóm Abel với phép cộng.
Tập hợp vectơ có các tính chất ờ trôn là không gian tuyến tính trên trường
số thục.
Từ dây ta có thể mỏr rộng để định nghĩa không gian tuyến tính với tập
hợp K và trường T tùy ý.
Ta gọi tập hạp K là không gian tuyến tính trên trường 7\ nếu tồn tại
phép cộng và phép nhân mọi phần tử của K với số của trường T, trong đó

thỏa mản các tiên đề 1-3 nêu trên. Nếu T là trường số phức ta có không gian
tuyến tính phức.
Phần tiV của không gian tuyến tính bất kỳ ta cũng gọi là vectơ.
T h í dụ 1.4. Tập hợp các vectơ nằm trên một đường thẳng lập thành khỏng
gian tuyến tính, vì cộng các vectơ hoặc nhân các vectơ này với một số thực
đều cho ta các vectơ nằm trên đường thẳng đỏ và các tiên đề 1 - 3 thỏa mãn. •
T h í du 1.5. Tập hạp các vectơ nằm trên một mặt phẳng lập thành không
gian tuyến tính. Tưcnig tự tập hợp các vecta không gian cũng lập thành
không gian tuyến tính. •
T h í dvi 1.6. Tập hợp các đa thức bậc không lớn hơn n lập thành không gian
tuyến tính, vì cộng các đa thức hoặc nhân các đa thức này với một số thực
đều cho ta đa thức có bậc không lớn hơn Tì và thòa mãn các tiên đề 1 - 3. •
T h í du 1.7. Tập hạp các hàm liên tục trên đoạn [a, 6] lập thành không gian
tuyến tính C Ịa,6]. •


1.3.

1.3

HỆ VECTƠ ĐỘC LẬP VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH

7

H ê v e c tơ đôc lâp t u y ê n t í n h v à p h u th u ô c t u y ế n
tín h

Hệ vectơ gọi là độc lập tuyến tính, nếu nó hoặc chì gồm một vector khác không,
hoặc là không một vector nào trong hệ có thể biểu dièn tuyến tính qua các
vectơ còn lại.

Hệ vectơ độc lập tuyến tính thỏa mản:
Dinh lý 1.1. Hệ vectơ Xj,X'2 , . .. ,x n dôc lâp tu y ến tín h khi và chỉ khi tủ
đẳng thức
a\X \ + a 2x 2 H-------h a nx n = 0,
suy ra mọi hệ sổ của tô hợp tuyến tính nảy bằng không.
Hệ vectơ x i,X 2 ,...,X n gọi là phu thưôc tu y ến tín h , nếu có thể chọn
dược các số ữ ỉ , . . . , a n> sao cho
aiXỊ + «2X2 H-----+ ùfnx n =5 0,
trong đó có ít nhất một otị khác không.
T hí du 1.8* Vecta 0 là phụ thuộc tuyến tính, vì ta có oO = 0 với mọi a
Mọi vcctơ a Ỷ 0 là độc lập tuyến tính, vì aa = 0 chỉ khi a = 0. •

0.

T h í du 1.9. Hệ hai vectơ a và b đồng phương là hộ phụ thuộc tuyến tính.
Quà vậy, nếu a Ỷ 0 thì b = Aa hay là Aa + ( —l)b = 0. Hai vectơ a và b không
đồng phương là độc lập tuyến tính. Quả vậy, già thiết ngược lại oa + ß b = 0
với ß
0, suy ra b = - —a dần đến a và b đồng phương. •
r

T hí dụ 1.10. Ba vectơ a, b, c thuộc không gian ba chiều đồng phang là phụ
thuộc tuyến tính, vì ta có thể biểu dien c = A a-f//b (quy tắc hình bình hành).
Ba vectơ không đồng phằng luôn luôn là độc lập tuyến tính. •
T h í dụ 1.11. Ba vector Xi = {1 ,3 ,0 }, X2 = {1, - 3 ,4 } , X3 = {2, —3,6} là phụ
thuộc tuyến tính vì ta có Xi 4- 3X2 —2X3 = 0. •
T h í dự 1.12. Năm phần từ ( “vector”) của không gian tuyến tính C[a,6]
= sin2 t, tuyến tính vì ta có
3<¿>1(í) + 3

8

1.4

Chuơng I. MỘT

só

KHÁI NIỆM TRONG ĐẠI

só

TUYỂN TÍNH

H ê v e c t ơ c ơ s ở (rê p e ). K h ô n g g ian a p p h in . T o a
đô a p p h i n

Giả sử trong không gian tuyến tính K hửu hạn chiều có hệ vectơ độc lập
tuyến tính, mà mọi vectơ của K đồu biểu thị tuyến tính qua nó, thì hệ vcctơ
độc lập cực đại ấy gọi là h ê v e c tơ cơ sờ của klióng gian.
Số vectơ độc lập này gọi là số chiều của không gian, ký hiệu là dim K.
Nếu dim K = n, không gian K có n chiều.
Trong không gian Tỉ chiều mọi hệ 71 vectơ độc lập tuyến tính lập thành hệ
vectơ cơ sờ, còn mọi hệ n 4- 1 vectơ sẽ phụ thuộc tuyến tính.
Gọi e i, e 2 , . . . , e n là hệ vectơ C.Ơ sờ cùa khộng gian Ky khi đó mọi vectơ X
đều biểu thị tuyến tính qua các vectơ này một cách duy nhất:
X = Xiei -f X2&1 H-----+ £„en.
Các giá trị x i , x 2 , . . . , x n gọi là tọa độ của vectơ X đỗi với hệ vectơ cơ sờ

©l i • • • >e n , hay còn gọi là t o a đ ô a p p h in của vectơ X đối với hệ vectơ cơ sờ
đả cho.
Không gian tuyến tính với tiên đề về chiều nêu trên gọi là không gian
apphin A n.
Ta gọi rêp e apphin là hệ vectơ cơ sỏr với điểm 0 nào đấy chọn làm gốc
rêpe (xem như các vecta cơ sờ xuất phát từ 0). Một điểm M của không gian
này tương ứng một-một với vectơ O M = x; khi đỏ các giá trị Xi là tọa độ
apphin của điểm M .
Như vậy là cho rêpe apphin dần đến xảy dụng hệ tọa độ apphin cho cá
vectơ, cho cả điềm.

T h í du 1.13. Hai vectơ ai = {1, —2} và 3.2 = {2,5} độc lập tuyến tính cỏ thể
lấy làm cơ sờ cùa không gian hai chiều. Vectơ b = { 5 ,- 1 } biểu diễn tuyến
tính qua a i, a.2 như sau
b = 3ai + a

2

.

Vậy (3,1) là tọa độ của vectơ b đối vói hệ cơ sờ a i, a 2 - •
T h í du 1.14. Ba vectơ ai = {1 ,1,1}, a *2 = {1 ,1,2}, a 3 = {1,2,3} lập
thành hệ cơ sử của không gian ba chiều, vì chúng độc lập tuyến tính. Vectơ
a = {6, 9,14} C.Óthể biểu diễn tuyến tính qua các vectơ này
a = a i + 2 a 2 -f 3a3- •


1.5.

KHÔNG GIAN EƯCLIDE VÀ KHÁI NIỆM VÈ KHỔNG GIAN METRIC

9

T h í dụ 1.15. Trong không gian các đa thức có bậc không lớn hơn 71, có thể
lấv hệ các phần tử
Po(t) = 1, Pl(t) = t, p2(t) =

p n(t) = í"

làm hê cơ sờ của không gian này. Quả vậy hệ này độc lập tuyến tính vì từ
hộ thức
a 0 + a \ t 4* Ơ2 12 H-------h ơ ntn = 0 với mọi t, suy ra
Oo = ƠI = = • • • = «n = 0. Không gian có (n + 1) chiều.
Tọa độ của đa thức P(t) = Co + Cl# + C2 Ỉ2 H-----+ cn£n trong hệ cơ sỏr này
là c á c h ệ s ố Co, C \ , C2 , . . . , C tị. •

T h í dụ 1.16. Không gian các hàm liên tục trên đoạn [a,6], ký hiệu là C[a,b\
có vô hạn chiều, vì các hàm 1,X ,T2, . .. ,irn,- • • € C[a,b} độc lập tuyến tính
với mọi n. •
T hí dụ 1.17. Các nghiệm cùa phương trình vi phân tuyến tính cấp n thuần
nhất lập thành một không gian tuyến tính. Hệ cơ sờ của nó là n nghiệm bất
kỳ dộc lập tuyến tính của phương trình này (không gian n chiều). Tọa độ
của nghiệm nào dấy trong hệ cơ sờ đà cho là hệ số khai triển của nó theo các
phần tiV của hệ cơ sờ. •

1.5

K h ô n g gian E u c lid e v à k h ái n iê m về k h ô n g gian
m e tric

1 .5 .1

K h ô n g g ia n E u c lid e

Khảo sát không gian apphin với một nghĩa nào đấy còn hạn chế, vì trong đó
chưa phản ánh những yếu tố quan trọng liên quan đến độ đo chiều dài, góc,
diện tích, thể tích, v.v... Vì vậy, người ta đưa khái niệm độ đo vào không gian
tuyến tính. Có nhiều cách, nhưng có hiệu quả hơn cả là đưa dưới cỉạng tiên
đề tích vô huớng của những vectơ.
Không gian tuyến tính thực gọi là không gian Euclide E n nếu với mỏi cặp
vecta X, y thuộc En tương ứng với một số thực X • y (tích vô hvớng), thỏa
mãn các tiên đề sau đây:
1.

X • y = y • X,

2. Ảx • y = À(x • y),
, (zx + y..s) • z = X z
3.

y.

(L1)
• z,

4. X ■X > 0 với X -ệ- 0, 0

• 0 = 0.

+

10

Chương Ị. MỘT s ó KHÁI NIỆM TRONG ĐẠI

só

TUYẾN TÍNH

Có thể chỉ ra một cách dễ dàng phương pháp tổng quát đưa tích vô hirớng
vào không gian tuyến tính thực. Giả sử e, (i = 1 ,2 ,... ,n ) là hệ vectơ cơ sờ
của không gian này,.x. y là hai vectơ của nó:
X = X i e i + X 2&2 H-------- +

y = ĩ/iei + V2 e 2 H-------+ ynen.
Tích vô hướng của X và y có thể xác định như sau
X • y = X\y\ + X2V2 + • ■• + XnVn-

(1.2)

Tích vô hướng này thỏa mãn các tiên dề trên. Không gian tuyến tính với
tích vô hướng vừa xác định là không gian Euclide E n. Tích vô hướng ( ùng
có thể xác định bằng cách khác, chẳng hạn:
X y = QiXiyi H-----+ c*nx nyn,
với Qi, Q2,. . . yơn là các Số dương cho trước, hoặc cho một cách tổng quát
hơn
n

n

x - y = 2 2 2 2 av xw *

ỉ

Một trong những tính chất quan trọng của tích vô hướng là nó thỏa mãn
bất đẳng thức Cauchy-Dunkiakovsky
(x -y )2 < ( x - x ) ( y .y ) ,

(1.3)

với X, y là hai vectơ bất kỳ cúa không gian Euclide. Dấu đầng thức xảy ra
khi và chi khi các vectơ X và y đồng p h ư ơ n g .
Vectơ X của không gian Eưclide E n là chuẩn hóa nếu (x -x) = 1, hệ vectơ
là chuẩn hóa nếu mọi vectơ của nó là chuẩn hóa. Mọi hệ vectơ khác không
đều có thổ dược, chuẩn hóa.
Hai vectơ X, y của E n là trư c giao, nếu X • y = 0. Hộ vccta của E n là
trực giao, nếu các vectơ của nó từng đôi một trực giao. Hệ vector trực giao
được chuẩn hóa, gọi là hệ vectơ trư c chuẩn.
Người ta đả chứng minh được định lý sau đây:
Đ inh lý 1.2. Trong không gian Euclide hữu hạn chiều bất kỳ Enf tồn tại một
hệ vectơ cơ sớ trực chuẩn e Ị , . . . , e* .


1.5.

KHỐNG GIAN EƯCLIDE VÀ KHÁI NIỆM VÈ KHỔNG GIAN METRIC

11

Khi đó một vecttt X bất kỳ có thể biểu thị một cách duy nhất qua các e*
X = ( 3 \ e \ + • •• +

trong ỔS
/?» = x -e * .

(1.4)

Dựi vào nhửng khái niệm trên, ta định nghĩa:
1. Độ dài |x| của vectơ X thuộc E n là giá trị
\x\ = + ( x ■x ) 1' 2,

(1.5)

theo tiên đề(1.1), nódirơng khi X là vectơ khác không và bằng không khi X
là vectơ không.
2.Cóc (x ,y ) giữa hai vectơ X, y khác không của Erx là góc xác định bời
hệ thử:
eos(x,y) = T—rr—ị
N |y |
3.

0 ^ ( x ,y ) < 7 T .

(1.6)

(hoảng cách p ( x }y) giửa hai vectơ X, y của En là đại lượng
p(x, y) = |x - y|

thỏa irản các tính chất sau:

a) p ( x , y) = p (y ,x ),
l>) p (x ,y ) > 0 nếu
p(x, y ) = 0 nếu

X

ỊẾ y,

X =

(1.7)

y,

c) p(x, y) < p (x,z) + p(z ,y ) (bất đẳng thức tam giác).
4. Khoảng cách p ( A ,B ) giữa hai tập hợp các vectơ A, B của cùng một
không Ịian là đại lượng
p ( A ,B ) = in fp (x ,y )

( 1 .8 ;

X6 A

y e B
T hí d i 1.18. Hệ vectcr cơ sỏr trực chuẩn của không gian Euclide 3 chiều có
dạng
= {1 ,0 ,0 }, e£ = {0 ,1 ,0 }, e?Ị = {0 ,0 ,1 }. Khi đó tích vôhướng của
các vettơ này
< • e> = &ij =

1

khi i = j

0

khi i Ỷ j-


Chương I. MỘT s ố KHÁI NIỆM TRONG ĐẠI s ó TUYKN TÍNH

12

3

3

Tích vô hướng của vectơ X = Ỵ2 x *e t với vcctơ y = ]T y je*

j =1

1=1

x - y = £ x.e* •yjej = Ĩ 2 Y s x i= 1
Í«1
i—1 ;'=1
3

=

Độ

dài

của vectơ

3

3

]C

=

i=l j=l

= Xlỉ/1 + X2V2 + X3j/3>

1=1

X

3
= V*7
Góc giữa hai vectơ

X

và

^

* XịXị.

\»=1

y

3

cos(x,y) = x - y
|x| |y|

£ x ¿y¿
i= Ị_______________

ỊẼ^iịẼỹĩỹ^

-Î của
1_ 11
-* gian
• 1Euclide n chiều tích
T h í du 1.19. Trong hệ cơ sỏr trực chuẩn
không
n
n
VÔ hướng của hai vectơ X = Y1 x*e t
y = X) î/je ? ró dạng
»=1
j=i

n

n

Í=1 j=i
n

XiVi = * iy i -f X2Ĩ/2 + • • • + xny„;

1=1

Độ

dài

của vectơ

X

bằng

|x| = (x - x ) 1/2 = (xỊ + x ị + ••• + x £ )1/2,
còn bất đẳng thức Bunhiakovsky có dạng

ii=iH < (1=1¿ « n ¿.0
1=1

1/2

1.5.

KHÔNG GIAN EUCLIDE VÀ KHÁI NIỆM VẾ KHÔNG GIAN METRIC

13

T hí du 1.20. Trong không gian C[a,òỊ tích vỏ hướng của hai hàm f ( t ) và
q(t.) có thể xác định bằng công thức

/

9

VÌ nó hoàn toàn thỏa màn các tiên đề (1.1) về tích vô hướng.
Độ dài cùa vectơ f ( t ) bằng
b
\f\ = V Ư T ) = ( J f 2m

) l/2t

a

và bắt (1Ẳng thức Cauchy - Bunhiakovsky có dạng
b

6

6
1/2

/ f ( t ) 9 {t)dtị < { Ị f 2{t)dt} ' ( J g2(t)dt}
a

a

a

T hí du 1.21. Trong không gian Euclide n chiều các vectơ x i ,x 2, . . . , x n
trực- giao từng đôi một là hệ vectơ độc lập tuyến tính. Quả vậy, từ hệ thức
QiXi + o 2X2 4* • • • + a nx n = 0 ta nhân vô hướng lần lượt với X i , X 2 , . • . , x n
và dùng tính chất
Xi • X j =

.

>

dần đến a i = CL2 = • • • = otn = 0. •

Thí du 1.22. Chứng minh bấí dẳng thức tam giác trong không gian Euclide
đối với hai vectơ bất kỳ X và y . Ta xét

|x + y | 2 = (x + y) • (x + y) = x •x + 2x • y + y • y
^ |x |2 4- 2|x||y| + ịyị2,
suy ra

|x + y| ^ |x| + |yị,
tương tự

14

Chương ỉ. MỘT s ố KHÁi NIỆM TRONG ĐẠI s ố TUYẾN TÍNH

1 .5 .2

K h ô n g g ia n u n ita

Không gian tuyến tính phức gọi là không gian unita Ưn, nếu như m ỗi cặp
vectơ X, y của Ưn tương ứng với giá trị phức x - y (gọilà tích vôhướng, thỏa
mãn các tiên đề sau:
1. x - y = ỹ õ c ,
2. Ax • y = A(x • y), (A là số phức),
_
3. ( x + y ) • z = X • z + y • z ,
4. X • X > 0 với X Ỷ 0,

(1.9)

(0 • 0) = 0.

Dấu gạch ngang ờ tiên đề 1), biểu thị phức liên hợp. Chú ý rằng
X • Ay = Ã(x • y),
|Ax| = |A| |x|.
Mọi phát biểu và chứng minh trong không gian Euclide có thể chuyển sang
không gian unita.
Trong các không gian tuyến tính (thực hoặc phức) ta có các bất đẳng thức
sau đây:
Giả sừ X, y là hai vectơ thuộc không gian tuyến tính, thi các tọa độ x/c,
Uk của chúng thỏa mãn bất đẳng thức Holder

¿ I * * » I < ( Ê w ) 1/' ( Ề m ' ) ,/*
k=ì
k=ì
k—l

( 1 . 10 )

và bất đầng thức Minkowsky

( Ẻ I « + »I") 1/P« ( Ẻ N I')
k= 1

1 .5 .3

+ ( Ẻ I»IP)
k= 1

(111)

K h ô n g g ia n m e tr ic

Một trong nhửng khái niệm cơ bản của giải tích là khái niệm giới hạn. Nó
dựa trên khái niệm “gần”, hay đúng hơn là khoảng cách giửa các điểm. Ở
mục trên khoảng cách được đưa vào bằng tiên đồ thỏa mân tính chất (1.7).
Chúng ta mờ rộng khái niệm khoảng cách cho tập hợp các phần tử, không
nhất thiết là vectơ cùa không gian tuyến tính.
Một tập hợp gọi là không gian m etric, néu nhu mỗi cặp phần tứ của
nó đặt tương ứng một số thực không ảm gọi /ó khoảng cách, trong đó thỏa
man các tiên de:

1.5.

KHÔNG GIAN EƯCLIDE VÀ KHÁI NIỆM VẾ KHÔNG GIAN METRIC

15

1) Ị){xyy) = p(y>x)}
2) p(x, y) > 0 nếu X Ạ y; p ( x yy) = 0 nếu X = y,
3) />(x,y) ^ />(:r,z) 4- p(z,y).
Cá<: tiên đề này gọi là các tiên đề khoảng cách, tiên đồ 1) là tiên đề đối
xứ ng, tiên đề 3) là tiên đề tam giác.
Có thể phát biểu khái niệm về giới hạn như sau: phần từ Xo của không
gian metric X là giới hạn của dăy {xn} các phần từ X \ ÌX2 1. . . ,x n, . .. thuộc
X. nếu đảy khoảng cách p(xo)X i)yp(xo, X2 ) , . . . ,p(xo,:rn) , . . . dần đến không.
Ta viết:
Xn —►Xo

hay là

lim x n = Xo

n—*oo

và nói dày {x n} hội tụ trong X .
H ình cầu S(a> r) trong không gian metric X là tập hợp các phần tử X € X
thỏa mãn điều kiộn
p (a,x) < r.
Phần từ a là tâm cầu, số r là bán kính. HÌ11I1 cầu bất kỳ với tâm tại a gọi là
lân cân cùa phần tử a. Tập hạp gọi là giới nôi, nếu nó nằm gọn trong một

cầu nào đấy. Rõ ràng rằng phần từ Xo là giới han của day {xTỊ} khi và chỉ
khi mọi lân cận bất kỳ của Xo chứa mọi phần tử của dày này, bắt đầu từ một
chi số nào đấy.
Nếu cho tập hợp A/ c X , phần từ X £ X là điểm giớỉ han của tập A/,
nếu mọi lân cận cùa X có chửa ít nhất một phần từ cùa M không trùng vói
X. Tập hợp lập nên bởi tập M và các điềm giới hạn của nó gọi là tâp hợp
dóng của M và ký hiệu là M . Nếu M = M , thì M là bao đóng.
1 . 5 .4

K h ô n g g ia n đ in h ch u ẩ n

Với khái niệm không gian metric, ta tập trung vào một tính chất của tập hợp
là tồn tại khoảng cách trong nó; còn với khái niệm không gian tuyến tính, ta
chú ý đến các phép toán đại số trong tập hợp. Bây giờ ta khảo sát không gian
tuyến tính với khoảng cách. Thực ra ta đã gặp không gian tuyến tính metric,
đó là khỏng gian Euclide và unita với khoảng cách (1.7). Nhưng việc đưa vào
tích vô hướng về thực chất không những là đưa vào khoảng cách giữa các
phần tử mà còn phải ke đến góc giữa chúng. Thường thì trong không gian
tuyến tính chỉ đòi hỏi định nghĩa khoảng cách. K hông gỉan dinh chuẩn là
một dạng không gian tuyến tính có tính chất như dâ nêu trên.
Vậy: không gian tuyến tính thực hoặc phức X gọi là không gian định
chuẩn, nếu như với mỗi vectơ X £ X đặt tương ứng một số thực ||x|| gọi là
chuẩn của vectơ X thỏa mãn các tiên đề sau:


16

Chương I. MỘT s ố KHÁI NIỆM TRONG ĐẠI s ố TU,YẾN TÍNH

1. |Ịz|| > 0 nếu X / 0 ; ||0|| = 0,

2. ¡¡Axil = |A| llxỊỊ,
3. ||x + y |K ị|x|| + ||y||,
với mọi vectơ X, y và số À tùy ý. Tiên đề hai gọi là tiên đề thuần nhất tuyệt
đối của chuẩn, tiên đề ba là tiên đề bất đẳng thức tam giác.
Từ tiên đề hai suy ra rằng với mọi vectơ X khác không có thể tìm được số
A sao cho chuẩn Ax bằng đan vị; có thể lấy A = llxll"1. Vectơ có chuẩn hằng
đơn vị gọi là v e c tơ chuẩn hóa.
Không gian định chuần trỏr thành không gian metric nếu đặt

p(x.y) = I I * - yllTa củng có thể đưa vào chuẩn bằng cách khác. Chẳng hạn trong không
gian tuyến tính các tọa độ của vectơ xác định trong hệ cơ sờ nào đấy:
X — {^1 í 3?2í • • • ) %n }»
ta đưa vào chuẩn
n

-

I x i,« ( 5 > r )

Ị

p.

P>1-

Khi đó hai tiên đề đầu hiển nhiên được thỏa mãn, tiên đề thứ ba được thỏa
mản suy từ bất đẳng thức Minkowsky (1.11). Ta thường dùng các chuẩn sau
đây:
n

M il =

k =ì

llx IỈ2 = ( ¿ L l Ifc!2) '
fc=l
||x||oo =

m ax

ì^k^n

(chu*n Euclide),

|ifc |.

T h í dụ 1.23. Không gian các hàm liên tục xác định trên đoạn Ịơ,6], chuẩn
của c\a, ft] có thể xác định như sau
y ( x ) € C [ a ,b ]

||y|| = max |y(x)|. •

T h í dụ 1.24. Không gian Dn gồm các hàm xác định trên đoạn [ơ,ò] cc đạo
hàm liên tục đến cấp n. Chuẩn được xác định bời công thức
n

llvll» = X ì w j y (fc)(x)l-

•

i . 6.

17

TOÁN TỬ, MA TRẬN, ĐỊNH THỨC

T h í du 1.25. Trong không gian Euclide ta lấy khoảng cách làm chuẩn
/>(x,0 ) = | | x - 0 || = ||x|| =

7

•

fc=i

1.6

T oán t ử , m a t r â n , định t h ứ c

1 .0 .1

T oán t ử

Ta dà biết khái niệm về hàm: cho hai tập hợp các số thực X , Y và thiết lập
quy luật cứ mổis ố X € X đặt tương ứng duy nhất mộts ố y € Y . Quy luật
đó biểu thị hàm dơn trị của biến thực X cho trên tập hợp X . Bâygiờ xem X ,
V là những tập hợp bất kỳ.
Quy luật cứ với mỗi phần từ X thuộc tập hợp không trống X đặt tương
ứng duy nhất phần tử y thuộc tập không trống Y gọi là toán tủ. Ký hiệu

y = Ax

(1*12)

và ta nói toán tử A ánh xạ X vào Y . Tập hựp X là m i ề n xác đ i n h của toán
từ A. Phần từ y là ả n h của phần tử X, còn X là n g u y ê n ả n h của y. Tập
hợp Ta tất cả các ảnh gọi là miền giá trị của toán tử A. Trường hợp mỗi
phần tử y € Y chỉ có một nguyên ảnh, quy luật (1.12) là tương ứng một một.
Toán tử còn gọi là tác dụng của ánh xạ.
Toán tử A cũng có thể chỉ tác dụng trong tập X , điều đó có nghĩa là với
mỏi phần từ X € X đặt tương ứng với phần tử y = A x cũng thuộc tập X .
Trong tnrờng hợp này ta còn gọi là phép biến đổi
Sau này ta chi quan tâm đến các toán t ử tu y ế n tín h , nó thỏa mãn tính
chất sau:
Cho không gian tuyến tính X , Y trên cùng trường T, xét toán từ A có
miền xác định là X , còn miền ảnh là Y , T oán từ A là tu y ế n tín h, nếu
A(au -f /3v) = q A u 4- jỡAv,
vói mọi vectơ U, V 6 X và với mọi số a , / Î 6 T.
Toán từ không là toán tử đặt tương ứng mọi vectơ
khòng cùa Y :

(1-13)

X

của X với vectơ

0 = Ox.

X

Toán tử dồng nhất E hay toán từ đơn vị đặt tương ứng mỗi vectơ
¿ X với chính nó
X = Ex.