PHƯƠNG PHÁP GIẢI bài TOÁN CON lắc lò XO có BIÊN độ THAY đổi KHI CHỊU tác ĐỘNG từ bên NGOÀI

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (286.14 KB, 18 trang )

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CON LẮC LÒ XO CÓ BIÊN
ĐỘ THAY ĐỔI KHI CHỊU TÁC ĐỘNG TỪ BÊN NGOÀI
Người viết: Nguyễn Thị Thu Hằng – Giáo viên Vật lí – Trường THPT Chuyên Vĩnh
Phúc.
Đối tượng: Chuyên đề được sử dụng để bồi dưỡng học sinh lớp 12 ôn thi đại học và
có thể sử dụng để bồi dưỡng học sinh lớp 12 thi học sinh giỏi vòng tỉnh.
Dự kiến thời gian bỗi dưỡng: 4 tiết

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong quá trình bồi dưỡng ôn thi đại học, tôi nhận thấy dạng bài tập con lắc lò xo
đang dao động điều hòa thì chịu tác động tức thì từ bên ngoài làm cho biên độ thay đổi,
dẫn đến sự thay đổi nhiều thông số khác của dao động là dạng bài tập thường gặp nhưng
lại gây ra nhiều khó khăn, lúng túng cho học sinh. Nhiều học sinh chỉ nhớ công thức, nhớ
dạng bài một cách máy móc, do đó chỉ làm được các bài tập quen thuộc (thậm chí không
làm được). Cách tác động từ bên ngoài làm thay đổi dao động của hệ lại thường rất phong
phú chẳng hạn như: vật chịu thêm lực tác dụng; vật va chạm với vật khác; hoặc làm thay
đổi các đặc trưng của hệ như giữ chặt một điểm trên lò xo (thay đổi k); thêm hoặc bớt
khối lượng của vật (thay đổi m),…; trong đó, có trường hợp cơ năng bảo toàn, có trường
hợp không, có trường hợp ngay sau khi tác động vận tốc hoặc li độ của vật giữ nguyên
hoặc thay đổi,… Vì vậy, việc tìm ra một hướng giải chung cho nhiều bài tập với nhiều
tình huống khác nhau từ đó giúp học sinh định hướng cách giải cho từng bài cụ thể là rất
cần thiết.

PHẦN II: HỆ THỐNG KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ:
1. Dao động điều hòa:
- Li độ: x = A.cos (ωt + φ) là độ dời của vật so với vị trí cân bằng (VTCB).
- Vận tốc: v = x’ = - ωA.sin(ωt + φ).
Suy ra: A 2 = x 2 +

v2
.

ω2

- Gia tốc: a = x’’ = - ω2x.
- Lực kéo về: F = ma = - k.x = - mω2x.
1

- Cơ năng: E = Eđ + Et =

mv 2 kx 2 mω 2 A 2
+
=
= const .
2
2
2

- Biên độ dao động của vật là khoảng cách từ vị trí biên đến VTCB.
- Tại vị trí biên, vận tốc của vật bằng không.
- Tại VTCB, vật đạt tốc độ cực đại: vmax = ωA.
2. Con lắc lò xo dao động điều hòa:
- Cấu tạo con lắc lò xo: gồm một lò xo nhẹ (coi khối lượng của lò xo bằng không) có
độ cứng k, một đầu lò xo gắn cố định, đầu còn lại gắn với quả nặng khối lượng m (coi
như chất điểm).
- Khi kích thích cho con lắc lò xo dao động điều hòa thì tần số góc và chu kì là:
ω=

k
;
m

T=

2π
m
= 2π
ω
k

- Đối với con lắc lò xo nằm ngang chỉ chịu tác dụng của lực đàn hồi (trong lực và
phản lực đã cân bằng nhau nên không tính) thì VTCB là vị trí lò xo không biến dạng.
Điều đó có nghĩa là, tại thời điểm nào đó, lò xo đang biến dạng một đoạn bao nhiêu thì
vật đang cách VTCB đúng bấy nhiêu, căn cứ vào tính chất này ta có thể xác định được li
độ của vật.

- Đối với con lắc lò xo nằm ngang, khi vật chịu thêm một lực F không đổi hướng
dọc trục lò xo thì vật vẫn dao động điều hòa với tần số như cũ nhưng vị trí cân bằng sẽ
dịch chuyển theo hướng của lực một đoạn: x 0 =


F
. Điều này có thể chứng minh:
k

Giả sử vật chịu thêm tác dụng của lực F không đổi hướng theo chiều dương của trục
Ox đã chọn (hình 1) thì:
O


Fdh

O’


F

x

Hình 1

+ Tại vị trí cân bằng, ta có: F – Fđh = 0 hay lò xo biến dạng đoạn x0 = Δl =

F
(1) (tức là
k

vị trí cân bằng dịch sang phải đoạn x0).
+ Khi vật có li độ x > 0, định luật II Niu tơn: F – k.(Δl +x) = ma (2) . Thay (1) vào (2)
ta được : - k.x = ma, vậy vật vẫn dao động điều hòa với tần số góc như khi chưa chịu

thêm tác dụng của lực F .
Một ví dụ tương tự là con lắc lò xo thẳng đứng. So với con lắc lò xo nằm ngang thì
quả nặng của nó chịu thêm trọng lực F = P = m.g nên vị trí cân bằng dịch xuống dưới
(theo hướng của trọng lực) một đoạn đúng bằng mg/k = F/k.
2

Do vậy, ta có thể sử dụng suy luận này trong trường hợp khác khi vật chịu thêm lực
không đổi dọc trục lò xo. Và ngược lại nếu vật đang dao động mà ngừng tác dụng đột
ngột thì vị trí cân bằng dịch đoạn x 0 =


F
theo chiều ngược lại với chiều của F .
k

- Khi VTCB của vật thay đổi đột ngột thì chắc chắn li độ của vật cũng thay đổi theo
(Vì li độ là độ dời của vật so với vị trí cân bằng).
- Khi xảy ra va chạm giữa các vật, vì thời gian rất ngắn nên thường coi như vị trí của
các vật ngay sau va chạm chưa kịp thay đổi, tuy nhiên vận tốc của vật lại hoàn toàn thay
đổi (có thể xác định bằng các các định luật bảo toàn như bảo toàn động lượng (đối với va
chạm mềm) và thêm bảo toàn cơ năng (đối với va chạm tuyệt đối đàn hồi). Ta cũng có
kết quả tương tự khi vật chịu tác dụng của một lực nào đó trong thời gian rất ngắn. Khi
đó ta có thể sử dụng định luật II Niu tơn F.Δt = m.Δv để xác định vận tốc của vật ngay
khi ngừng tác dụng lực.
- Khi chịu tác dụng thêm một lực thì do cần có thời gian vận tốc của vật mới thay
đổi nên ta có thể coi ngay khi tác dụng lực thì vận tốc chưa kịp thay đổi. Kết luận tương
tự như khi thay đổi đột ngột độ cứng của lò xo (giữ cố định một điểm trên lò xo) hoặc khi
thêm, bớt khối lượng của vật mà vật đang ở vị trí biên.
3. Các kiến thức khác liên quan:
- Định luật bảo toàn động lượng: Động lượng của một hệ kín được bảo toàn.
- Định luật bảo toàn cơ năng: hệ kín trong đó các lực chỉ là lực thế thì cơ năng bảo
toàn.
S

- Độ cứng của lò xo tỉ lệ nghịch với chiều dài của nó: k = E  .
0

PHẦN III: PHÂN LOẠI BÀI TẬP CON LẮC LÒ XO CÓ BIÊN ĐỘ
THAY ĐỔI DO TÁC ĐỘNG TỪ BÊN NGOÀI.

Có thể chia bài tập loại này làm ba dạng cơ bản:
- Dạng 1: Con lắc lò xo đang dao động thì chịu tác dụng thêm hoặc ngừng tác dụng
đột ngột một lực không đổi dọc trục lò xo. Các dạng hay gặp là:
+ Đăt vào không gian bao quanh con lắc (quả nặng tích điện) một điện trường
đều có phương dọc trục lò xo.
+ Cho con lắc dao động trong hệ qui chiếu chuyển động với gia tốc a không đổi
song song với trục của lò xo.
+ Quả nặng của con lắc chịu lực ma sát trượt (hoặc lực cản) không đổi.
+ Con lắc lò xo thẳng đứng thêm hoặc bớt khối lượng của vật.
3

- Dạng 2: Quả nặng của con lắc va chạm với vật khác khi đang dao động hoặc chịu
tác dụng của một lực tức thì trong thời gian rất ngắn.
- Dạng 3: Thay đổi các đặc trưng của hệ như độ cứng k, khối lượng m. Bài toán hay
gặp là:
+ Con lắc đang dao động thì giữ chặt một điểm trên lò xo.
+ thêm hoặc bớt khối lượng của vật.

PHẦN IV: PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Định hướng cách giải chung:
Các bài tập dạng này đều đưa tới việc tìm biên độ mới của dao động ngay sau khi chịu
tác động đột ngột. Ta có thể gọi mỗi tác động đột ngột này là một “biến cố”. Khi đó cách
làm chung là:
- Bước 1: Xác định rõ li độ x, vận tốc v, biên độ A, tần số góc ω (đại lượng nào chưa
tính được giá trị cụ thể thì chỉ cần ghi biểu thức) của vật (hệ vật) ngay trước khi xảy ra
“biến cố”.
- Bước 2: Căn cứ vào đặc điểm của “biến cố”, xác định li độ x’; vận tốc v’ và tần số
góc ω’ của vật (hệ vật) ngay sau thời điểm xảy ra biến cố.
Tùy thuộc vào đặc điểm của “biến cố” và trạng thái của vật lúc bắt đầu xảy ra “biến

cố” mà mỗi thông số có thể thay đổi hoặc không. Sau đây là một số dấu hiệu nhận biết:
+ Nếu vật chịu va chạm, hoặc tác dụng lực trong thời gian rất ngắn thì vị trí của vật
chưa kịp thay đổi nhưng vận tốc của vật thì chắc chắn đã thay đổi.
+ Nếu chịu tác dụng thêm lực (hoặc ngừng tác dụng một lực); hoặc giữ cố định tức
thì điểm nào đó trên lò xo thì vận tốc của vật chưa kịp thay đổi ngay ở thời điểm tác
động. Hoặc nếu thêm (hoặc bớt) khối lượng của vật một cách nhẹ nhàng ở thời điểm vật
đang có vận tốc bằng không thì cũng cho kết quả tương tự (ngay sau đó vận tốc của vật
vẫn bằng không).
+ Nếu chịu thêm một lực tác dụng dọc trục lò xo thì vị trí cân bằng của vật thay đổi
nên li độ của vật sẽ thay đổi.
+ Nếu khối lượng của vật hoặc độ cứng của lò xo thay đổi thì chắc chắn tần số góc ω
sẽ thay đổi.

4

-

v'2
Bước 3: Sử dụng công thức: A' = x' + 2 để tìm biên độ mới của vật (hệ vật).
ω'
2

Sau đó căn cứ vào yêu cầu của đề bài có thể tìm các đại lượng khác.


Con lắc chịu thêm (hoặc ngừng đột ngột) tác dụng của một lực không đổi F
dọc trục lò xo.
Phương pháp giải:
- Bước 1: Xác định li độ x, vận tốc v ngay trước thời điểm thêm hoặc bớt lực

(ω=const).
- Bước 2: Xác định VTCB mới O’ của vật: Vị trí cân bằng mới cách vị trí cân bằng
2.

cũ đoạn x0 =

F
. Trong đó, nếu thêm lực thì vị trí cân bằng dịch chuyển theo hướng của
k

lực, còn bớt lực thì dịch chuyển theo chiều ngược lại. Vẽ hình, từ hình vẽ xác định li độ
mới x’ (vận tốc v’=v).
Chẳng hạn trường hợp thêm lực tác dụng như hình 2:
x


F

O’

O

x

x0
x’
VTCB cũ

Vị trí của vật tại thời điểm
bắt đầu xảy ra ‘biến cố”

VTCB mới
x’ = x – x0

(Hình 2)

v'2
v2
2
=
A' = x' + 2 .
ω'2
ω
Bài tập ví dụ: Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ có khối lượng 100g và lò xo có độ
cứng 40 N/m được đặt trên mặt phẳng ngang không ma sát. Vật nhỏ đang nằm yên ở vị
trí cân bằng, tại t = 0, tác dụng lực F = 2 N lên vật nhỏ (hình vẽ) cho con lắc dao động
Biết x’ ta xác định được A' = x'2 +

π
3

điều hòa đến thời điểm t = s thì ngừng tác dụng lực F. Dao động điều hòa của con lắc
sau khi không còn lực F tác dụng có giá trị biên độ gần giá trị nào nhất sau đây?
5

A. 9 cm.
C. 5 cm.

B. 11 cm.

D. 7 cm.
O
Hình 3

O’

ur
F

x
+

Giải:
Phân tích: Ở bài này xảy ra hai “biến cố”: ‘Biến cố” thứ nhất là tác dụng lực ở thời
điểm t=0 để kích thích dao động; “biến cố” thứ hai là ngừng tác dụng lực ở thời điểm
t=

π
s.
3

Chọn chiều dương là chiều của lực F, gọi O là vị trí ban đầu của vật, gốc thời gian là
lúc bắt đầu tác dụng lực.
•
Ngay trước khi xảy ra “biến cố” thứ nhất, vật có li độ x1 = 0; v1 =0.
Ngay sau đó, gọi O’ là VTCB mới (hình 3) (O’ dịch theo hướng của F đoạn x 0

F
k
= 20 (rad/s), chu kì T= 0,1π (s);

= - 5cm, ω’ = ω =
m
k
vì v1’ = v1 = 0 nên đây là vị trí biên âm, tức là A1 = A = |x1’| = 5cm.
so với O), ta có: x1’ = x1 – x0 = -

•

π
3

Tại thời điểm t = s = 3T +

T
(ngay trước khi xảy ra “biến cố” thứ hai), ta xác
3

định được:
x2 = 2,5cm và v2 =

ωA 3
= 50 3 (cm/s) (hình 4).
2

Ngay sau khi ngừng tác dụng lực F
(ngay sau “biến cố” thứ 2) thì VTCB lại là O
(VTCB lùi ngược hướng của F đoạn x0 – hình 5). Khi đó:

Hình 5

Li độ x2’ = x2 + x0 = 7,5cm, v2=v2’ =50√3 (cm/s).
Do đó, biên độ mới là: A2’ = A' = x'2 +

v2
=5√3 (cm) ≈ 8,66cm.
ω2

Vậy chọn đáp án A.
6

Hình 4

Trong thực tế, lực không đổi có thể là những lực đã biết và phải tính toán nó trước khi
thực hiện việc giải bài tập, cụ thể như các trường hợp sau:
a) Con lắc lò xo dao động trong điện trường đều:
Con lắc lò xo nằm ngang, quả nặng tích điện q dao động trong điện trường đều


có đường sức song song với trục của lò xo thì quả nặng chịu thêm lực tác dụng là F = q.E
.
Ví dụ: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm vật nặng tích điện q=10μC và lò xo
có độ cứng 100N/m. Khi vật đang nằm cân bằng, cách điện với mặt phẳng ngang nhẵn,
thì xuất hiện tức thời một điện trường đều được duy trì trong không gian bao quanh có
hướng dọc trục lò xo. Sau đó con lắc dao động trên đoạn thẳng dài 4cm. Độ lớn cường độ
điện trường là:
A. 4.105V/m
B. 2.105V/m
C. 8.104V/m
D. 105V/m

Giải:
Chọn chiều dương của trục tọa độ cùng chiều điện trường, gọi O là vị trí lò xo

không biến dạng.
E

m, q >0 
Ngay trước khi xuất hiện điện trường:
F = q.E
x=0, v=0.
Ngay sau khi xuất hiện điện trường,
O
x
O’
+
vật dao động điều hòa, VTCB O’ dịch
theo hướng của lực điện trường đoạn
Hình 6
x0 =

qE
=OO’ (hình 6); v’ =v =0; nên đây là vị trí biên, do đó x’ = x0 = A.
k
kA

Suy ra: E = q = 2.105V/m. Chọn đáp án B.
b) Con lắc lò xo dao động trong hệ qui chiếu chuyển động với gia tốc không đổi:

Khi con lắc dao động trong hệ qui chiếu chuyển động với gia tốc a thì lực mà


ma

vật chịu thêm là F = −ma do đó VTCB dịch chuyển đoạn: x 0 =
ngược hướng
k

với gia tốc.
Ví dụ: Con lắc lò xo (vật nặng khối lượng m=100g, lò xo có độ cứng
k=100N/m) treo thẳng đứng trong một thang máy. Lúc đầu thang máy đứng yên, kích
thích cho con lắc dao động điều hòa với biên độ A = 2cm. Vào thời điểm lò xo đang dãn
2cm và quả nặng đang đi lên, người ta bắt đầu cho thang máy chuyển động chậm dần đều
7

lên trên với gia tốc có độ lớn a = 20m/s2. Tính biên độ dao động mới của con lắc. Lấy
g=10m/s2.
Giải:
Chọn chiều dương hướng xuống dưới. Độ dãn của lò xo khi vật đứng yên cân
mg
= 1cm .
k
Ngay trước khi thang máy đi lên, vật có li độ, tần số góc và
tốc độ tương ứng là:

bằng là: Δ =

x = 2 - 1= 1cm = 0,5A, ω =
v=

k

= 10π (rad/s)
m

ωA 3
= 10π 3 (cm/s).
2

O’
x’
O

x

Vật
+

-

Ngay sau khi cho thang máy đi lên, vật chịu thêm lực quán tính
Hình 7
ma
hướng lên, do đó VTCB dịch lên trên đoạn: x 0 =
= 2cm. (hình 7).
k
Vậy li độ mới của vật là: x’ = x + x 0 = 3cm; vận tốc của vật và tần số góc không đổi
nên biên độ mới là:
v2
= 2 3 (cm) ≈ 3,46cm .
ω2
c) Con lắc lò xo nằm ngang chịu tác dụng của lực cản có độ lớn không đổi.

A' = x'2 +

Cần chú ý rằng, lực cản ngược hướng chuyển động và đổi chiều khi vật đổi chiều
chuyển động. Do vậy, ta chỉ nên xét theo từng nửa chu kì và trong mỗi chu kì đó vật
không đổi chiều chuyển động. Trong mỗi nửa chu kì đó, vật vẫn dao động điều hòa vì lực
cản không đổi cả hướng và độ lớn, tuy nhiên, do VTCB lùi theo hướng của lực cản nên
trong hai nửa của một chu kì, VTCB khác nhau, biên độ dao động khác nhau (biên độ dao
động giảm dần – dao động tắt dần).
Bài tập ví dụ: Con lắc lò xo nằm ngang, lò xo có độ cứng k, vật nặng có khối lượng
m. Ban đầu, đưa vật đến vị trí lò xo bị nén đoạn A0 rồi thả nhẹ. Cho hệ số ma sát trượt
giữa vật và mặt phẳng ngang là µ.
a) Phân tích chuyển động của vật và tính số lần vật qua vị trí cân bằng.
b) Tính tốc độ cực đại của vật.
c) Tính thời gian dao động của vật.
d) Tính quãng đường vật đi được cho đến khi dừng lại.
8

Giải:
a) Phân tích chuyển động, số lần vật qua VTCB:
-

Trước hết, ta phân tích dao động của vật: Chọn trục Ox như hình 8, chiều dương
là chiều chuyển động của vật trong nửa chu kì đầu, gốc thời gian là lúc vật bắt đầu dao
 
động. Lực cản Fc = Fms là lực ma sát có độ lớn không đổi Fc=µmg.
+ Trong nửa chu kì đầu, vật chuyển động sang phải từ M đến N, lực cản hướng
sang trái nên VTCB là O1 (dịch sang trái) đoạn x0 =

Fc μmg

=
, vật dao động điều hòa
k
k

với biên độ A1 = A0 –x0.
+ Trong nửa chu kì thứ 2, vật đổi chiều, đi từ N đến P, lực cản hướng sang phải nên
VTCB là O2 (OO1 = OO2 = x0); biên độ là A2 = A1 + 2x0.
Như vậy, sau mỗi nửa chu kì biên độ giảm một lượng là
δ = 2x0 =

2Fc
k

+ Trong nửa chu kì thứ 3, tương tự, VTCB lại là O1, biên độ A3 =A2 – δ=A1 -2δ.
+…

Hình 8

+ Trong nửa chu kì thứ n, biên độ là An = A1 – (n-1)δ = A0 + 0,5.δ – nδ.

9

k
,
m
nhưng biên độ và VTCB khác nhau ở các nửa chu kì khác nhau và biên độ giảm dần theo
thời gian nên đây là dao động tắt dần.
Vật sẽ dừng lại trong đoạn O1O2 và ở vị trí biên của nửa chu kì cuối cùng (sau đó ma

Kết luận: Trong mỗi nửa chu kì, vật vẫn dao động điều hòa với tần số góc: ω =

sát trượt biến thành ma sát nghỉ). An ≥0 nên n ≤

A0 1
A 1
+ và nếu An=0 tức là n = 0 +
δ 2
δ 2

(thì vật dừng lại ở cuối nửa chu kì thứ (n-1).
Vậy số nửa chu kì dao động (cũng là số lần vật qua VTCB (O 1 hoặc O2)) là số nguyên
n thỏa mãn:
A0 1
A 1
− ≤ n ≤ 0 + (*)
δ 2
δ 2
A
+ Nếu dao động tắt dần chậm, tức là δ << A0 thì ta lấy n = 0 .
δ
b) Tốc độ cực đại mà vật đạt được trong quá trình dao động:
Vật đạt tốc độ lớn nhất khi qua VTCB trong nửa chu kì đầu tiên:
vmax = ωA1 = ω.(A0 – x0).
T
c) Thời gian dao động của vật: t = n.
(trong đó, n là số nửa chu kì, T là chu kì dao
2
động của vật).
d) Quãng đường vật đi được cho đến khi dừng lại: