Phương pháp giải hệ phương trình và một số cách sáng tạo ra đề toán mớ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.74 MB, 104 trang )
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
------------------
ĐÀO THỊ PHƢỢNG
PHƢƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH
VÀ MỘT SỐ CÁCH SÁNG TẠO RA ĐỀ
TOÁN MỚI
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
ThS. PHẠM LƢƠNG BẰNG
HÀ NỘI - 2015
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
LỜI CẢM ƠN
Em xin được gửi lời cảm ơn tới các Giản vi n
o To n trườn Đại học
Sư p ạm Hà Nội 2, đã iúp đỡ em trong quá trình học tập tại trường và tạo
điều kiện
o m o nt n
ản
uận tốt nghiệp.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Th.S Phạm Lương Bằng
đã tận tìn
iúp đỡ em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành
khóa luận này.
Trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế
Em xin ảm ơn đã n ận những ý kiến đ n
bạn để ản
uận ủ
p quý
u ủa thầy cô và các
m được hoàn thiện n ư iện tại
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Sinh viên
Đ o T ị P ượng
Sinh viên thực hiện: Đào Thị Phượng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
LỜI CAM ĐOAN
Em xin
m đo n dưới sự ướng dẫn của Th.S Phạm Lương Bằng, khóa
luận của em với đề tài “Phương pháp giải hệ phương trình và một số cách
sáng tạo ra đề toán mới” được hoàn thành không trùng với bất ì đề tài nào
khác. Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Sinh viên
Đ o T ị P ượng
Sinh viên thực hiện: Đào Thị Phượng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU
1
Chƣơng 1 PHƢƠNG PHÁP GIẢI VÀ PHÂN LOẠI HỆ PHƢƠNG
TRÌNH
3
1.1 Một số phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình
4
1.1.1 P ươn p p ộn , p ươn p p t ế ..................................... 4
1.1.2 P ươn p p iến đổi đẳng thức ............................................ 11
1.1.3 P ươn p p đặt ẩn phụ ......................................................... 12
1. P ép đặt u x y, v x y .............................................. 12
x 1
y 1
,v
..............................................
x 1
y 1
1
1
3. P ép đặt u x , v y ............................................
x
y
1
1
4. P ép đặt u x , v y ............................................
y
x
5. Một số p ép đặt ẩn phụ khác.............................................
1.1.4 P ươn p p sử dụng tín đơn điệu hàm số ..........................
1.1.5 P ươn p p ìn ọc ............................................................
1.1.6 P ươn p p ất đẳng thức ....................................................
1.2 Phân loại hệ phƣơng trình
1.2.1 Hệ p ươn trìn đối xứng ......................................................
1. Hệ đối xứng loại một đối với x và y ...............................
2. P ép đặt u
2. Hệ đối xứng loại
14
15
16
17
19
23
24
26
26
26
i đối với x và y ................................ 29
1.2.2 Hệ có yếu tố đẳng cấp ............................................................
1. Hệ có chứa một p ươn trìn đẳng cấp bậc 2...................
2. Hệ
i p ươn trìn
n đẳng cấp bậc 2 ......................
3. Hệ đẳng cấp bậc 2 .............................................................
4. Hệ đẳng cấp bộ phận .........................................................
1.2.3 Hệ sinh bởi các phân thức hữu tỉ ............................................
1.2.4 Hệ bậc hai tổng quát ...............................................................
1.2.5 Hệ lặp ba ẩn ............................................................................
1.2.6 Một số hệ không mẫu mực .....................................................
34
34
35
36
40
48
51
53
59
Sinh viên thực hiện: Đào Thị Phượng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Chƣơng 2 MỘT SỐ CÁCH SÁNG TÁC RA ĐỀ TOÁN MỚI
2.1 Sáng tác các bài toán về hệ p ươn trìn iải bằn p ươn pháp
cộn , p ươn p p t ế ......................................................................
2.2 Sáng tác các bài toán về hệ p ươn trìn iải bằn p ươn p p
biến đổi đẳng thức.............................................................................
2.3 Sáng tác các bài toán về hệ p ươn trìn iải bằn p ươn p p
đặt ẩn phụ .....................................................................................
2.4 Sáng tác các bài toán về hệ p ươn trìn đối xứng ..........................
2.4.1 Sáng tác các bài toán về hệ đối xứng loại 1 .........................
2.4.2 Sáng tác các bài toán về hệ đối xứng loại 2 .........................
2.5 Sáng tác các bài toán về hệ có yếu tố đẳng cấp ................................
2.6 Sáng tác các bài toán về hệ bậc hai tổng quát ..................................
2.7 Sáng tác các bài toán về hệ lặp ba ẩn................................................
2.8 Xây dựng một số lớp m để sáng tác bài toán mới về mối liên hệ
giữa hệ p ươn trìn v dãy số.........................................................
x3 mx
2.8.1 Lớp hàm f x 2
....................................................
nx p
x5 mx
2.8.2 Lớp hàm f x 4
....................................................
nx p
2.9 Sử dụn ăn ậc n của số phứ để sáng tác hệ p ươn trìn ...........
2.9.1 Sáng tác các hệ p ươn trìn ằn
ũy t ừa một số
phứ
o trước .....................................................................
2.9.2 Sáng tác các hệ p ươn trìn từ 2 số phứ
o trước..........
2.10 Sử dụng khai triển Nhị thứ Niu tơn để sáng tác một số hệ p ươn
trình không mẫu mực ........................................................................
62
62
68
69
70
70
73
77
79
82
85
85
88
89
90
93
95
Kết luận
98
Tài liệu tham khảo
99
Sinh viên thực hiện: Đào Thị Phượng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
N ư
ún t đã iết, hệ p ươn trìn
p ươn p p iải
rất nhiều dạng, rất nhiều
n u V điều quan trọng nhất là nó rất t ường gặp
tron
đề thi của các cuộc thi giỏi to n ũn n ư
họ , v
òn t o xu ướng khó dần
ỳ thi tuyển sin Đại
n Trướ tìn
ìn đ ,
i o vi n
không chỉ nắm được các dạng và cách giải hệ p ươn trìn m
òn p ải biết
cách xây dựng nên nhữn đề toán mới để làm tài liệu giảng dạy.
Học sinh học toán xong làm bài tập. Vậy các bài tập đ ở đâu m r ? Ai
n ười đầu ti n n
i o vi n ũn
ĩr
i tập đ ? N ĩ n ư t ế nào? Ngay cả nhiều
ỉ biết sưu tầm các bài tập có trong sách giáo khoa, sách tham
khảo, hay là ở một tài liệu n o đ tr n mạn ,
ư
iết s n t
r
đề bài
tập. N ư vậy việc sáng tác ra một đề toán mới là vô cùng quan trọng.
Với mong muốn tìm hiểu về p ươn p p s n t , quy trìn xây dựng nên
một hệ p ươn trìn , m đã
ọn đề tài:
“Phương pháp giải hệ phương trình và một số cách sáng tạo ra đề toán mới”
Khóa luận gồm 2
ươn :
Chương 1: Phương pháp giải và phân loại hệ phương trình.
Chương 2: Một số cách sáng tạo ra đề toán mới.
2. Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về
p ươn p p iải hệ p ươn trìn v một số
để
xây dựng nên một đề toán mới.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
N i n ứu về hệ p ươn trìn v
p ươn p p iải.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Tham khảo tài liệu, sách báo, tra mạng tìm thêm thông tin, phân tích và
tổng hợp kiến thức, xin ý kiến địn
ướng củ n ười ướng dẫn.
1
Sinh viên thực hiện: Đào Thị Phượng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
5. Dự kiến đóng góp của đề tài
Trình bày song song hai vấn đề: P ươn p p s n t
C
đề toán và
p ươn p p iải ũn n ư phân loại các dạng toán về hệ p ươn trìn
Điểm mới lạ ở đề t i n y đ
giải của một
ín
i to n, ũn n ư
t ứ
quy trìn s n t
2
ún t suy n ĩ để tìm ra lời
r một đề toán mới.
Sinh viên thực hiện: Đào Thị Phượng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Chƣơng 1
PHƢƠNG PHÁP GIẢI VÀ PHÂN LOẠI HỆ PHƢƠNG TRÌNH
Tron
ươn n y t sẽ trìn
y
p ươn p p iải ũn n ư p ân oại
các dạng toán về hệ p ươn trìn C một số bài toán với lời giải cụ thể.
LÝ THUYẾT CƠ SỞ
Hệ phương trình.
P ươn trìn
f x1, x2 , , xn 0
(1)
Miền x
định của p ươn trìn (1) là tập D1
x1, x2 , , xn D1 làm cho hàm f x1, x2 , , xn
n ĩ
n
sao cho
Nghiệm của (1) là một bộ số x10 , x20 , , xn0 D1 thỏa mãn (1). Tập nghiệm
củ p ươn trìn (1)
tập hợp tất cả các nghiệm của p ươn trìn (1).
Hệ p ươn trìn
một hệ có từ i p ươn trìn trở lên, và số p ươn trìn
trong hệ là một số hữu hạn.
Giải hệ p ươn trìn tứ
t đi tìm tập nghiệm của hệ đ .
Miền xác định
f1 x1 , x2 , , xn 0
f x , x , , xn 0
Giả sử hệ phương trình là 2 1 2
f x ,x , ,x 0
n
m 1 2
Gọi D1, D2
D D1
D2
Dm lần ượt là các miền x
Dm là miền x
(1)
(2)
(I )
(m)
định củ
(1), (2),…,(m) t ì
định của hệ p ươn trìn (I).
Tập nghiệm của hệ phương trình
Gọi S1, S2 , , Sm lần ượt là các tập nghiệm của (1), (2),…,(m) t ì
S S1
S2
Sm là tập nghiệm của hệ p ươn trìn (I).
Hệ phương trình tương đương.
Hai hệ p ươn trìn được gọi
tươn đươn
3
i
ún
ùn tập nghiệm.
Sinh viên thực hiện: Đào Thị Phượng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
1.1 MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH.
1.1.1 Phƣơng pháp cộng, phƣơng pháp thế.
Đây p ươn p p ơ ản nhất. Từ bài họ đầu tiên về hệ p ươn trìn ,
s
i o o đã iới thiệu p ươn p p n y V ất cứ một tài liệu nào viết
về hệ p ươn trìn t ì p ươn p p n y uôn đượ đề cập đến. Do vậy, sau
đây t sẽ đi sâu ơn v o việ p ân tí
ĩ t uật giải một số bài toán khó.
2
2
x 2 xy 2 y 3x 0
Bài toán 1. Giải hệ phương trình
2
xy y 3 y 1 0
(1)
(2)
Giải. Lấy p ươn trìn (1) ộng với p ươn trìn (2) n ân 2, t được
x 2 4 xy 4 y 2 3x 6 y 2 0
x 2 y 3 x 2 y 2 0 x 2 y 1 x 2 y 2 0
2
x 2 y 1 0
x 2 y 2 0
Nếu x 2 y 1 0 thì x 2 y 1 , t y v o (2) t được
y 1 2 x 3 2 2
y2 2 y 1 0
y 1 2 x 3 2 2
Nếu x 2 y 2 0 thì x 2 y 2 , t y v o (2) t được
1 5
x 3 5
y
2
2
y y 1 0
1 5
x 3 5
y
2
Hệ p ươn trìn đã o
ốn nghiệm
1 5
1 5
3 2 2;1 2 , 3 2 2;1 2 , 3 5;
,
3
5;
2
2
Lƣu ý. Tại sao lại lấy p ươn trìn (1) ộng với p ươn trìn (2) n ân 2? Ý
tưởng là ta sẽ biến đổi để đư về p ươn trìn ậc hai theo mx ny Để làm
điều đ t n ân p ươn trìn (1) với v p ươn trìn (2) với rồi cộng lại
x 2 2 xy 2 y 2 3x xy y 2 3 y 1 0
x 2 2 xy 2 y 2 3 x
4
y 0
Sinh viên thực hiện: Đào Thị Phượng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Ta cần chọn và sao cho
x 2 xy 2 y 2 x
2
y
2
x 2 xy 2 y 2 x 2 2. xy 2 y 2
Đồng nhất hệ số t được
2
2
2 2
2
2
2
Để o đơn iản, ta chọn 1 và 2 .
2
2
Bài toán 2. Giải hệ phương trình
1
2
2
x
y
5
4 x 2 3x 57 y 3x 1
25
(1)
(2)
Hướng dẫn. N ân p ươn trìn (2) với 2 rồi cộng với p ươn trìn (1)
Bài toán 3. Giải hệ phương trình
4
2
2
2
x 2 3 y 1 x 5 y 4 y 11 x y 10 y 2 0
3
2
y x 2 y x x 2 0
(1)
(2)
Giải. Khi y 1 thì (2) trở thành x 2 3 0 , vô nghiệm. Vậy hệ không có
nghiệm dạng x; 1 , do đ
t ể giả sử y 1 0 N ân p ươn trìn (2) với
y 1, rồi lấy p ươn trìn (1) trừ p ươn trìn vừa nhận được, ta có
x y x y 2 x2 2 x y 2 3 y 5 0
Với x y , t y v o (2) được y 2 y 1 0 y 2,1 .
2
Với x y 2 , t y v o (2) được y 1 y 4 0 y 4,1 .
2
Dễ thấy x 2 2 x y 2 3 y 5 x 1 y 2 3 y 4 0 . Thử lại ta thấy hệ
2
có nghiệm x; y 1;1, 2; 2 , 6;4 .
5
Sinh viên thực hiện: Đào Thị Phượng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Lƣu ý. Đây
i to n
, để
được lời giải ngắn gọn n ư tr n t p ải
phân tích, tìm lời giải n ư s u
Bước 1. Tìm nghiệm của hệ. Nếu biết được nghiệm t ì ý tưởng của ta sẽ
rõ r n ơn n iều. Lần ượt thử x 2, 1,0,1,2,3, t tìm được hai nghiệm
của hệ là x; y 1;1 , 2; 2 .
Bước 2. Tìm quan hệ tuyến tính giữa hai nghiệm này. Dễ thấy đ
y x hay x y .
Bước 3. Thay vào hệ và phân tích thành nhân tử. Ta thay x bởi y hoặc
y bởi x (tùy trường hợp xem cách nào có lợi), với bài này ta thay y x
v o
i p ươn trìn
ủa hệ v t u được.
x 4 2 3x 1 x 2 5 x 2 4 x 11 x x 2 10 x 2 0
3
2
x x 2 x x x 2 0
x 12 x 1 x 2 0
2
x 1 x 2 0
Việ p ân tí tr n
ôn
vì t đã iết trước nghiệm x 1, x 2 .
Bước 4. Lựa chọn biểu thức thích hợp N ư t ế, so với p ươn trìn t ứ
nhất vừa nhận đượ t ì p ươn trìn t ứ hai thiếu đi một biểu thức là x 1 ,
n ưn
ú ý rằng biểu thứ n y ũn tươn đươn với y 1 . Ta sẽ chọn một
trong hai biểu thứ n y để nhân vào. Rõ ràng nếu chọn y 1 thì việc nhân
với (2) sẽ tạo ra một đ t ức có chứa y 4 đồng bậc với x 4 ở p ươn trìn (1)
Vậy ta sẽ n ân p ươn trìn s u
o y 1.
Bài toán 4. Giải hệ phương trình
2
2
x y x y y
4
2
2
2
x 4 x y 3x y
(1)
(2)
Hướng dẫn. Xét x 0 và x 2 đều là nghiệm của hệ. Với x 0,2 ta xét
biểu thức (1) x x 2 (2) .
2 x 2 y 3xy 4 x 2 9 y
Bài toán 5. Giải hệ phương trình
2
7 y 6 2 x 9 x
6
(1)
(2)
Sinh viên thực hiện: Đào Thị Phượng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
4 x2
2 x2 9 x 6
Giải. (1) y 2
, từ (2) ta có y
. Suy ra
2 x 3x 9
7
4 x2
2 x2 9 x 6
2 x 2 3x 9
7
28 x 2 2 x 2 9 x 6 2 x 2 3 x 9
x 2 2 x 1 2 x 2 9 x 27 0
1
9 3 33
x
2
4
2
2 x 9 x 6 16
Khi x 2 , ta có y
.
7
7
1
2 x 2 9 x 6 1
.
Khi x , ta có y
2
7
7
9 3 33
2 x2 9 x 6
2
Khi x
2 x 9 x 27 0
3.
4
7
Vậy hệ p ươn trìn đã o ó bốn nghiệm là
x 2 x
16 1 1 9 3 33
;3 .
, ; ,
7 2 7
4
Lƣu ý. Bài này có thể còn nhiều biến đổi đơn iản ơn n ưn rõ r n
y ra rồi thay vào một p ươn trìn n ư tr n tự n i n ơn ả.
x; y 2;
rút
Bài toán 6. Giải hệ phương trình
2
x 2 xy x y 0
4
2
2
2
x 4 x y 3x y 0
Hướng dẫn. Thay x
(1)
(2)
1
1
vào (1) ta thấy vô lí. Giả sử x thì từ (1) suy ra
2
2
x2 x
y
, s u đ t y v o (2) t đượ 1 p ươn trìn với ẩn x .
2x 1
Bài toán 7. Giải hệ phương trình
4
3
2 2
3
4
x 2 x y 2 x y 12 xy 8 y 1 0
3
4
2 x y y 1
7
(1)
(2)
Sinh viên thực hiện: Đào Thị Phượng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
x
Hướng dẫn. T y (2) v o (1) t đượ p ươn trìn
2
2 xy 3 y 2 0 .
2
Bài toán 8. Giải hệ phương trình
2 2 x y 3 2 x y
3
x 6 1 y 4
(1)
(2)
Hướng dẫn. Tìm điều kiện.
Ta có
2x y 1
(1) 2x y 2 2x y 3 0
2x y 3 (lo¹i)
Bài toán 9. Giải hệ phương trình
y
x
y2 0
2
1 x x
2
x 2 x2 1 y 2 3
y 2
Hướng dẫn. Tìm điều kiện.
Ta có
(1) x y
1 x2 x y 2 0
(1)
(2)
x
y 1 x2 x 0
y
(3)
2
x
x
Xét (2) 2 (3) y 2 y 3 0
y
y
1
y 2 x
2
x
y
x
Bài toán 10. Giải hệ phương trình
y x 2 1 1 3x 2 3
Giải. Điều kiện x 0, y 0 P ươn trìn t ứ nhất của hệ tươn đươn
y x y 2 2 x x 2 xy y 2 y
X m đây
x
p ươn trìn
ậc hai theo biến y , ta có
2
x 2 x 8x x x 4 x x 4x 2
Do đ p ươn trìn n y
x 2x 2x x 0
x 2x
2
0, x 0
i n iệm là
8
Sinh viên thực hiện: Đào Thị Phượng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
y
2x x
x 2x
x, y
2x x
x 2x
2
2
Nếu y x , t y v o p ươn trìn t ứ hai của hệ t được
x 1 1 3x 3
x x 1 1 0 3x 3 nên (*) vô nghiệm.
x
Dễ thấy
2x
2
2
2
(*)
2
Nếu y 2 x , t y v o p ươn trìn t ứ hai của hệ t được
2x
0; ,
f x
x
x2 1
(1)
2x
3
(do x
không thỏa mãn (1))
2
2x 3
(2)
x2 1
Trên
x 2 1 1 3x 2 3 x 2 1 2 x 3 2 x
xét hai hàm số
f x x 2 1, g x
0 nên f đồng biến, g x
2 3
2x 3
2
2x
. Ta có
2x 3
0 nên g là hàm
3 3
; . Nhẩm thấy x 3 thỏa
nghịch biến trên mỗi khoảng 0;
,
2 2
3
; . Trên khoảng
mãn (2) n n đây
n iệm duy nhất của (2) trên
2
2x
3
0 x 2 1 , suy ra (2) vô nghiệm. Vậy hệ đã
0;
, ta có
2x 3
2
nghiệm duy nhất là x; y
o
3;2 3 .
Lƣu ý. Quan hệ của x và y được che giấu n y tron p ươn trìn đầu tiên,
nếu nhận thấy điều đ t ì
ước tiếp theo sẽ dễ nhận biết. Bài này tính toán
tuy rườm r n ưn ướng giải rất rõ ràng nên không quá khó. Một điều đ n
quan tâm nữa là do hàm g nên bắt buộc ta phải xét trên hai khoảng.
2
3
6 x y 2 y 35 0
Bài toán 11. Giải hệ phương trình 2
2
5 x 5 y 2 xy 5 x 13 y 0
9
(1)
(2)
Sinh viên thực hiện: Đào Thị Phượng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
x y u
uv
u v
,y
Giải. Đặt
suy ra x
T y v o (1) t được
x
y
v
2
2
u v
6.
uv
u v 35 0
.
2.
4
2
8
6 u 2 2uv v 2 u v 2 u 3 3u 2v 3uv 2 v 3 280 0
2
3
3 u 3 u 2v 2u 2v 2uv 2 uv 2 v 3 u 3 3u 2v 3uv 2 v 3 140 0
u 3 v3 35 0
Tươn tự, t y v o (2), t được
u v
5.
2
u v
5.
2
uv uv
uv
uv
.
5.
13.
0
4
4
2
2
2
2
10u 2 10v 2 2 u 2 v 2 10u 10v 26u 26v 0
2.
3u 2 2v 2 9u 4v 0
3
3
u v 35
Ta có 2
2
3u 9u 2v 4v
(3)
(4)
Nhân (4) với 3 rồi cộng với (3), ta có
u 3 9u 2 27u v3 6v 2 24v 35
u 3 v 2 u v 5
3
3
T y v o (3) t được
3
v 5 v3 35 0 v2 5v 6 0 v 2,3
x y 3
1 5
Với v 2 ta có u 3 , dẫn tới
x; y ;
2 2
x y 2
x y 2
1 5
Với v 3 , suy ra u 2 , ta có
x; y ;
2 2
x y 3
1 5
1 5
Kết luận: Hệ có hai nghiệm là x; y ; , x; y ; .
2 2
2 2
Lƣu ý. Vì sao ta lại nhân (4) với 3 rồi cộng với (3)? Ta có
u 3 3u 2 9u v3 35 2v 2 4v
u 3 3u 2 9u v3 2v 2 4v 35
10
(5)
Sinh viên thực hiện: Đào Thị Phượng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Ta cần chọn sao cho (5) có dạng
3
3
u a v b u3 3au 2 3a 2u a3 v3 3bv2 3b2v b3
(6)
3a 3
2
a 3
3a 9
So sánh (6) và (5) suy ra 3b 2 b 2
3b 2 4
3
a 3 b3 35
1.1.2 Phƣơng pháp biến đổi đẳng thức.
Nhiều bài hệ p ươn trìn tuy n ìn p ức tạp n ưn
t ể giải bằng những
đẳng thứ đơn iản. Mấu chốt giải những bài toán dạng này là ta phải nhìn ra
quan hệ giữa các ẩn số, từ đ ập nên những hằn đẳng thức thích hợp. Một số
đẳng thức có thể không quen thuộc, nên p ươn p p n y đòi ỏi kinh
nghiệm và sự tinh ý.
Bài toán 12. Giải hệ phương trình
x 2 y 2 1 xy
2
x y 2
x 1 1
y
1
Hướng dẫn. Điều kiện x 1, y 1. Hệ trên tuy là hệ đối xứng loại 1 n ưn
bậc khá cao, việ đư về S x y, P xy có thể gặp nhiều
ăn N ưn
nếu ta biến đổi
x
y
x 2 xy y 2 1
1
(1)
y 1 x 1
thì bài toán trở n n đơn iản ( ưu ý t p ải chứng minh (1)).
Bài toán 13. Giải hệ phương trình
x y xy 3
1
x 1
4 4
5 y 9 x 6 1 x 1 y 2
2
(1)
(2)
Hướng dẫn. Ta có (1) x 1 y 1 4 Đặt a x 1, b y 1. Tuy nhiên
1
mấu chốt củ
i to n
đặt c để từ (1) ta có abc 1, v t đi tín
4
1 a ab, 1 b bc, 1 c ca . Từ đ t đi đến lời giải.
11
Sinh viên thực hiện: Đào Thị Phượng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
x 2 y 2 xy 3
Bài toán 14. Giải hệ phương trình 5
5
x y 15 xy x y 32
Hướng dẫn. Ta cần tìm mối quan hệ giữa các hạng tử trong hệ. muốn vậy ta
chú ý tới hằn đẳng thức x y x5 y 5 5xy x y x 2 xy y 2 .
5
Bài toán 15. Giải hệ phương trình
1 1 1
x y z 2
2 1 4
xy z 2
(1)
(2)
Hướng dẫn. Điều kiện x 0, y 0, z 0 . Ta có
2
2
1 1 1
1 1 1
2 1
(1) 4
xy z 2
x y z
x y z
Biến đổi tươn đươn đẳng thứ tr n để tìm nghiệm của hệ.
1.1.3 Phƣơng pháp đặt ẩn phụ.
Có rất nhiều
đặt ẩn phụ khi giải hệ p ươn trìn Đặt ẩn phụ theo
cách nào còn phụ thuộc vào từng hệ p ươn trìn ụ thể S u đây t sẽ nêu ra
một số p ép đặt ẩn phụ ơ ản, t ường gặp. Nắm đượ
p ép đặt này ta sẽ
địn ướng tốt ơn i iải hệ p ươn trìn
1.Phép đặt u x y, v x y
K iđ
u v 2x
u v 2y
u 2 v2 2 x2 y 2
uv x 2 y 2
u 3 v3 2 x3 3 y 2 x
u 3 v3 2 y 3x 2 y 2
u 4 v4 2 x4 6x2 y 2 y 4
u 4 v 4 8 xy x 2 y 2
u 5 v 5 2 x x 4 10 x 2 y 2 5 y 4
u 5 v5 2 y 5 x 4 5 x 2 y 2 y 4
2
2
2 x 2 x 2 y 7
Bài toán 16. Giải hệ phương trình
2
2
2 x y 5
12
Sinh viên thực hiện: Đào Thị Phượng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Hướng dẫn. Đặt u x y, v x y K i đ
u v 2 x, uv x 2 y 2 , u 2 v 2 2 x 2 y 2
u v 2uv 7
Thay vào hệ t được hệ đối xứng loại 1 đối với u và v : 2
2
u v 5
Bài toán 17. Giải hệ phương trình
3
1
4
4
x
y
4 y 2x
(*)
5
2
2
x y 50
Giải. Điều kiện x 0 và y 0 Đặt u x y, v x y K i đ
x
uv
u v
,y
2
2
x y x y x y x y
4
4
2
2
uv u 2 v 2
2
3
1
3
1
u 5v
4 y 2 x 2 u v u v 2 u 2 v2
Thay vào hệ (*) t được
uv u 2 v 2
u 5v
uv u 4 v 4 u 5v
2
2
2
2 u v
5
uv 5
5
uv 5
uv u 4 v 4 u uv v
5
(3)
Nếu u 0 thì y x , thế v o p ươn trìn t ứ hai của hệ thấy không thỏa
mãn. Vậy xét u 0 . Từ (*) ta có
1 v5 0
v u v 1 u v u v 1 v 1 v 4
u v 1
4
4
4 6
4
5
5
Khi 1 v5 0 ta có v 1, suy ra u 5 5 . Vậy x
Khi u 4v 1 ta có v
5
5
5 1
5 1
,y
.
2
2
1
5
, thay vào uv 5 t được
4
u
13
Sinh viên thực hiện: Đào Thị Phượng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
1
1
1
5 u 3 u 3 v 3 54
3
u
5
5
Do dó x
3
1 3 4
1
5
3 3 54
5
5
. Các nghiệm của hệ là
,y
2
2
1 3 4 31 3 4
3
5
5
5 1 5 1
5
5
;
;
x; y
, x; y
2
2
2
2
x 1
y 1
,v
2. Phép đặt u
x 1
y 1
K iđ
x 1 y 1
2 xy 2
uv
x 1 y 1 x 1 y 1
5
5
uv
uv
.
2 x y
x 1 y 1
x 1 y 1 x 1 y 1
x 1 y 1 xy x y 1
.
x 1 y 1 x 1 y 1
1 uv
xy x y 1
2 xy 2
1
x 1 y 1
x 1 y 1
1 uv 1
xy x y 1
2 x y
x 1 y 1 x 1 y 1
uv x y
1 uv x y
x y 1 3x
1 xy 3 x
Bài toán 18. Giải hệ phương trình
x y 1 2y
1 xy 2 y
Hướng dẫn. Đặt u
x 1
y 1
,v
. Khi đó
x 1
y 1
14
Sinh viên thực hiện: Đào Thị Phượng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
x y u v x y uv 1
,
1 xy u v 1 xy uv 1
3u 3
2v 2
1
1
1 3x
4
2
u
1
2
y
u 1
v 1 3 v
,
u 1 2u 4 2 y
v 1 v 3
3 x
3
2
u 1
v 1
T t u được hệ
u v 4 2u
u v 2u 4
uv 1 3 v
uv 1 v 3
2
2
2u 4u 2uv 4v 4u 4v 2u 2uv
2
2
uv v 3uv 3 3uv 3 uv v
2
2
4u 8v 0 u 2v
2
2
2
uv
6
uv 3
1
1
3. Phép đặt u x , v y
x
y
K iđ
1
u 2 x2 2 2
x
1
u v x y 1
xy
1 x2 y 2
uv xy
xy
xy
v2 y 2
1
2
y2
1
u 2 v 2 x 2 y 2 1 2 2 4
x y
u y x2 1
.
v x y2 1
Bài toán 19. Giải hệ phương trình
1
x y 1 4
xy
2
2
xy 1 x y 4
xy
xy
1
1
Hướng dẫn. Đặt u x , v y , t t u được hệ
x
y
15
u v 4
uv 4
Sinh viên thực hiện: Đào Thị Phượng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
x y 1 xy 18 xy
Bài toán 20. Giải hệ phương trình 2
2
2 2
2 2
x y 1 x y 208 x y
Hướng dẫn. Dễ thấy x; y 0;0 là nghiệm của hệ. Tiếp theo xét xy 0 . Hệ
tươn đươn với
1
x y 1 18
xy
x 2 y 2 1 1 208
x2 y 2
u v 18
1
1
Đặt u x , v y , t t u được hệ 2
2
x
y
u v 212
1
1
4 P ép đặt u x , v y
y
x
K iđ
1
u v x y 1
xy
1
uv xy
2
xy
1
u v x y 1
xy
1
u v x y 1
xy
2
2
2
2
2
BÀI TẬP VẬN DỤNG. Giải các hệ phương trình
1
x y 1 4
xy
a)
xy 1 2
xy
2
2
1 25
2
x y 1
xy
2
c)
3
3
1
125
3
x y 1 xy 4
1 9
x y 1
xy 2
b)
x 2 y 2 1 1 45
xy 4
xy 2 x y 6 y 2 x 0
2
d) 2
1
2
x y 1 8
xy
16
Sinh viên thực hiện: Đào Thị Phượng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
5. Một số phép đặt ẩn phụ khác.
C p ép đặt ẩn phụ rất đ dạng và phong phú. Ta cần
it
đặc
điểm riêng, các tính chất đặc biệt của từng hệ p ươn trìn để đư r p ép đặt
phù hợp.
x y x 2 y 2 3
Bài toán 21. Giải hệ phương trình
2
2
x y x y 15
Hướng dẫn. Biến đổi hệ đã o, t t u được
3
3
x y xy x y 3
3
3
x y xy x y 15
Đặt u x3 y3 , v xy x y .
Bài toán 22. Giải hệ phương trình
1
x x y 3 3
y
2 x y 1 8
y
1
Hướng dẫn. Điều kiện y 0, x 0, x y 3
y
1
Đặt u x , v x y 3, a, b 0 . Hệ đã
y
Chú ý với điều kiện của nghiệm.
u v 3
o viết lại là 2
2
u v 5
Bài toán 23. Giải hệ
3
2y
x2 y 2 1 x 1
x2 y 2 2 x 4
y
Hướng dẫn. Điều kiện xy 0, x 2 y 2 1
x
Đặt u x y 1, v , uv 0 . Hệ đã
y
2
2
3 2
1
o trở thành u v
u 2v 3
C ú ý điều kiện của nghiệm.
Bài toán 24. Giải hệ phương trình
17
Sinh viên thực hiện: Đào Thị Phượng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
x 2 y 2 xy 4 y 1
y
x
y
x2 1
(*)
Giải. Nhận thấy hệ không có nghiệm dạng x;0 . Giả sử y 0 . Hệ (*) tươn
đươn
x2 1
y x y 4
x y y 2
x2 1
u v 4
u 1
x2 1
Đặt u
, v x y T được
1
y
v u 2 v 3
Suy ra
x2 1
1
y
x y 3
Vậy hệ p ươn trìn
x 1
y 2
x 2
y 5
i n iệm x; y 1;2 , x; y 2;5 .
3
2
2
4
xy
4
x
y
7
2
x y
Bài toán 25. Giải hệ phương trình
2 x 1 3
x y
Giải. Điều kiện x y 0 . Hệ viết lại
3
2
2
2
2
3
x
y
x
y
7
2
x y
x y 1 x y 3
x y
18
(1)
Sinh viên thực hiện: Đào Thị Phượng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Đặt u x y
1
, v x y , điều kiện u 2 T y v o (1), t được
x y
3u 2 v 2 13
Giải hệ n y t được u; v 2;1 , suy ra x; y 1;0 .
u
v
3
2
(1)
x xy 3x y 0
Bài toán 26. Giải hệ phương trình 4
2
2
2
(2)
x 3x y 5 x y 0
Giải. Xét x 0 y 0 , vậy 0;0 là một nghiệm của hệ. Xét x 0 , chia hai
vế của (1) cho x, hai vế của (2) cho x2, t được
y
x
y
3
x
x
2
x 2 y 3 y 5 x
x2
y
y 3
x
2
y
y 5
x
y
, t t u được hệ
x
y; z 4; 1
z y 3
y 3 z
2
2
z y 5 z z 2 0 y; z 1;2
y 4
y 4
Khi y; z 4; 1 thì
(vô nghiệm).
2
y
x
1
x
x
4
0
x
y 1
y 1
x 1
Khi y; z 1;2 , ta có
2
y
x x 2 x 2 x 1 0 y 1
Vậy hệ có hai nghiệm x; y 0;0 , x; y 1;1 .
Đặt z x
1.1.4 Phƣơng pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số.
Điểm quan trọng củ p ươn p p n y
iến đổi một p ươn trìn ủa hệ về
dạng f u f v , với f là hàm số đơn điệu trên D . Từ đ suy r u v .
Bài toán 27. Giải hệ phương trình
3
3
x 5x y 5 y
8
4
x y 1
19
(1)
(2)
Sinh viên thực hiện: Đào Thị Phượng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
x8 1, y 4 1 x 1, y 1 .
Giải. Từ p ươn trìn (2) t
Xét hàm số f t t 3 5t , t 1;1 có f t 3t 2 5 0, t 1;1 Do đ
hàm f t nghịch biến trên khoảng 1;1 nên từ p ươn trìn (1) suy r
x y T y v o p ươn trìn (2) t được
x8 x 4 1 0
1 5
a
2
Đặt a x 4 0 , t được a 2 a 1 0
1 5
a
2
Suy ra y x 4
(lo¹i)
1 5
.
2
Bài toán 28. Giải hệ phương trình
1
1
x x2 1 y y 2 1
2
9 x 2 4 3x 2 x 2
y2
y
(1)
(2)
Hướng dẫn. Điều kiện x 0, y 0 . Xét hàm số f t t
f t 1
t
2t
2
1
2
t
2
1 2t
t
2
2
1
t 4 t 2 t 2 2t 1
t
2
1
2
2
t 4 2t 2 1 2t
t
2
1
t 4 t 2 t 1
t
1
. Ta có
t 1
2
2
1
2
2
2
0, t
Do đ (1) f x f y x y S u đ
Vậy hàm số f đồng biến trên
t y v o p ươn trìn (2)
Bài toán 29. Giải hệ phương trình
x 1 x2 y 1 y 2 1
x 6 x 2 xy 1 4 xy 6 x 1
20
(1)
(2)
Sinh viên thực hiện: Đào Thị Phượng
