Về các ideal nguyên tố, cực đại và nguyên sơ

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
=======***=======

PHÙNG THỊ NGÂN

VỀ CÁC IDEAL NGUYÊN TỐ,
CỰC ĐẠI VÀ NGUYÊN SƠ
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
ThS. Đỗ Văn Kiên

HÀ NỘI, 2015


LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian nghiên cứu miệt mài, nghiêm túc cùng sự hƣớng
dẫn, giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên, đến
nay khóa luận tốt nghiệp của tôi đã đƣợc hoàn thành. Tôi xin bày tỏ lòng
cảm ơn sâu sắc chân thành, sâu sắc tới các thầy cô giáo đặc biệt là thầy
giáo-ThS Đỗ Văn Kiên, ngƣời đã trực tiếp hƣớng dẫn tôi hoàn thành
khóa luận này.
Do còn hạn chế về thời gian và kiến thức của bản thân nên khóa
luận của tôi không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận đƣợc sự
góp ý của các thầy cô và các bạn sinh viên.
Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2015.
Sinh viên thực hiện
Phùng Thị Ngân

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp “Về các ideal nguyên tố, cực đại và nguyên
sơ” đƣợc hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản
thân cũng sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo-ThS Đỗ Văn Kiên.
Tôi xin cam đoan kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là trung
thực và không trùng với kết quả của các tác giả khác.
Hà Nội, tháng 05 năm 2015
Sinh viên thực hiện
Phùng Thị Ngân.


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ................................................................................................... 1
Chƣơng 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VÀNH ........................................ 2
1.1. Vành và các tính chất cơ bản .......................................................... 2
1.2. Vành con và các tính chất cơ bản ................................................... 3
1.3. Miền nguyên, trƣờng ....................................................................... 3
1.4. Iđêan. ............................................................................................... 4
1.5. Vành chính, vành nhân tử hóa, vành Ơclit ..................................... 7
1.6. Vành thƣơng và đồng cấu vành ...................................................... 8
1.7. Quan hệ thứ tự và tập sắp thứ tự ................................................... 12
Chƣơng 2: IĐÊAN CỰC ĐẠI VÀ IĐÊAN NGUYÊN TỐ .................... 14
2.1. Iđêan cực đại ................................................................................. 14
2.2. Iđêan nguyên tố ............................................................................. 19
Chƣơng 3: IĐÊAN NGUYÊN SƠ .......................................................... 32
3.1. Iđêan nguyên sơ ............................................................................ 32
3.2. Mối liên hệ giữa iđêan cực đại, iđêan nguyên tố và iđêan nguyên
sơ .......................................................................................................... 39

KẾT LUẬN ............................................................................................. 43
TÀI LIỆU THAM KHẢO


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Đại số là một nghành rất quan trọng của Toán học. Kiến thức Đại số rất
phong phú, trừu tƣợng và đƣợc xây dựng, phát triển từ những kiến thức cơ
sở của của cấu trúc đại số nhƣ: nhóm, vành, trƣờng…
Các khái niệm iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ, iđêan cực đại là những
khái niệm trọng tâm cho việc ứng dụng lý thuyết vành giao hoán vào đại số
hình học. Tuy nhiên trong chƣơng trình đại học vấn đề này mới chỉ đƣợc
trình bày một cách sơ lƣợc gây nhiều khó khăn cho việc tìm hiểu của bạn
đọc, đặc biệt là sinh viên khoa Toán.
Đƣợc sự giúp đỡ hƣớng dẫn tận tình của thầy giáo-ThS Đỗ Văn Kiên
và mong muốn tìm hiểu sâu về đại số giao hoán tôi chọn đề tài “Về các ideal
nguyên tố, cực đại và nguyên sơ” để làm khóa luận tốt nghiệp hi vọng giúp
ích cho các bạn yêu thích môn Đại số có thêm tài liệu để tham khảo.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu sâu về các iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ, iđêan cực đại,
sự phân tích nguyên sơ và mối liên hệ giữa chúng.
3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu
Lý thuyết về iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ và iđêan cực đại trên các
vành giao hoán.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu: Nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp.
5. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận này đƣợc chia làm 3 chƣơng
Chƣơng 1. Kiến thức cơ bản về vành.
Chƣơng 2. Iđêan cực đại và iđêan nguyên tố.
Chƣơng 3. Iđêan nguyên sơ

1


Chƣơng 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VÀNH
Trong chƣơng này ta sẽ trình bày lại một số kiến thức về vành và
các tính chất cơ bản về vành, miền nguyên và trƣờng, iđêan, quan hệ thứ
tự và tập sắp thứ tự.
1.1. Vành và các tính chất cơ bản
Định nghĩa 1.1.1. Cho X là tập khác rỗng, trên X trang bị hai phép
toán hai ngôi, ký hiệu là (+), (.) và gọi là phép cộng và phép nhân.

X đƣợc gọi là vành nếu thỏa mãn các điều kiện sau
i)

X cùng với phép cộng là nhóm Aben,

ii) X cùng với phép nhân là nửa nhóm,
iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức là với các phần
tử tùy ý x, y, z  X ta có
x( y  z )  xy  xz ,
( y  z ) x  yx  zx .

Chú ý 1.1.2.
+ Vành X gọi là vành có đơn vị nếu X là vị nhóm nhân.
+ Vành X đƣợc gọi là vành giao hoán nếu phép nhân có giao hoán.
+ Vành X gọi là vành giao hoán có đơn vị nếu X là vị nhóm nhân
giao hoán.
+ Phần tử đơn vị của phép cộng kí hiệu là 0.
+ Phần tử đơn vị của phép nhân (nếu có) ký hiệu là 1.

+ Trong khoá luận này luôn giả thiết rằng vành là vành giao hoán
có đơn vị 1.

2


Định nghĩa 1.1.3. Cho X là vành có đơn vị 1, nếu tồn tại số nguyên
dƣơng n nhỏ nhất sao cho n.1  0 thì ta nói X có đặc số là n , ngƣợc lại
ta nói X có đặc số bằng 0. Đặc số của vành X ký hiệu là char ( X ) .
Định lý 1.1.4. Với mọi x, y , z  X , n 

ta có

+ x.0  0  0.x với mọi x  X ;
+ Nếu vành X có ít nhất hai phần tử thì 0  1;
+ (n.x) y  n.x. y  x.(n. y ) với mọi x, y  X , n  ;
+ ( x  y ) z  xz  yz .
Định nghĩa 1.1.5 (Tập con nhân đóng). Cho R là vành có đơn vị 1. Tập
con S của R đƣợc gọi là tập con nhân đóng của R nếu thỏa mãn
i) 1 S ,
ii) Với mọi x, y  S thì xy  S .
1.2. Vành con và các tính chất cơ bản
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử X là một vành, A là một bộ phận của X , ổn
định với hai phép toán trong X , nghĩa là x  y  A , x. y  A với mọi
x, y  A . A là một vành con của X nếu A cùng với hai phép toán cảm

sinh trên A là một vành.
Định lý 1.2.2 . Cho X là một vành, A là một bộ phận khác rỗng của X .
Khi đó các điều kiện sau là tƣơng đƣơng
i)

A là một vành con của X ;

ii)

x, y  A : x  y  A , x. y  A ,  x  A ;

iii) x, y  A : x  y  A , x. y  A .
1.3. Miền nguyên, trƣờng
Định nghĩa 1.3.1 (Ƣớc của không). Cho a  X , a  0 , a đƣợc gọi là
ước của không nếu tồn tại b  X , b  0 sao cho a.b  0 .

3


Định nghĩa 1.3.2 (Phần tử khả nghịch). Phần tử u  X đƣợc gọi là phần
tử khả nghịch nếu u là ƣớc của 1, tức là tồn tại v X sao cho u.v  1 .
Định nghĩa 1.3.3 (Phần tử liên kết). Với a, a '  X ta nói a, a ' liên kết
với nhau nếu tồn tại u khả nghịch sao cho a  u.a ' hoặc a '  u.a . Ký
hiệu: a

a ' hoặc a ' a .

Định nghĩa 1.3.4 (Ƣớc thực sự). a đƣợc gọi là ước thực sự của b nếu a
là ƣớc của b , a không khả nghịch và a không liên kết với b .
Định nghĩa 1.3.5 (Phần tử bất khả quy). a  X là phần tử bất khả quy
nếu a  0 , a không khả nghịch và a không có ƣớc thực sự.
Định nghĩa 1.3.6 (Phần tử nguyên tố). Phần tử a  0 , không khả nghịch
đƣợc gọi là phần tử nguyên tố nếu từ a u.v thì a u hoặc a v .
Định nghĩa 1.3.7 (Miền nguyên). Một vành giao hoán X có đơn vị có

nhiều hơn một phần tử và không có ƣớc của không đƣợc gọi là một miền
nguyên.
Định nghĩa 1.3.8 (Trƣờng). Một miền nguyên trong đó mọi phần tử
khác không đều khả nghịch trong vị nhóm nhân đƣợc gọi là một trường.
Nhƣ vậy X là trƣờng thì
+

 X ,   là nhóm Aben

+

 X ,  là nhóm Aben, trong đó X
*

*

 X \ 0

+ Phép nhân phân phối đối với phép cộng.
Nhận xét 1.3.9. Đặc số của một miền nguyên hoặc bằng 0 , hoặc là một
số nguyên tố.
1.4. Iđêan.
Định nghĩa 1.4.1. Cho R là vành giao hoán, I là tập con của R . I đƣợc
gọi là iđêan của R khi nó thỏa mãn các điều kiện sau
i)

I ,

4

ii) Với mọi a, b  I thì a  b  I ,
iii) Với mọi a  I , r  R thì ra  I .
Định lý 1.4.2. Cho X là vành, I  X , I  . Các khẳng định sau
tƣơng đƣơng
i)

I là iđêan của X ;

ii) Với mọi a, b  I thì a  b  I và x  X thì a.x  I , x.a  I .
Định lý 1.4.3. a) Giao của tất cả các iđêan của X là một iđêan của X .
b) Cho X là vành giao hoán có đơn vị là 1, I là một
iđêan của X , 1 I thì I  X .
Định nghĩa 1.4.4 (Iđêan sinh bởi một tập). Cho U là tập con của vành

X . Giao của họ tất cả các iđêan của X chứa U là một iđêan chứa U và
đƣợc gọi là iđêan sinh bởi tập U .
Ký hiệu: U hoặc XU .
Nhận xét 1.4.5. Cho X là vành giao hoán, tập U  X
+ U là iđêan nhỏ nhất của X chứa U ;
+ Nếu U là tập con hữu hạn của X thì ta nói I  U là iđêan
hữu hạn sinh của X ;



+ Nếu U  ui \ i  1, n thì

n
U   xiui n 
 i 1

*


, xi  X , ui U  ;


+ Nếu U   thì U    0 .
Định nghĩa 1.4.6 (Iđêan chính). Cho X là vành, iđêan sinh bởi tập chỉ
gồm một phần tử đƣợc gọi là iđêan chính.
Biểu diễn: I là iđêan chính sinh bởi phần tử a  X thì I xác định bởi
I   xa x  X  .

5


Định nghĩa 1.4.7 (Căn của iđêan). Cho R là vành giao hoán và cho I là
iđêan của R . Căn của iđêan I ký hiệu là



I hoặc Rad  I  xác định bởi

Rad  I   x  R n 

*

: xn  I



và cũng là một iđêan của I .



Đặc biệt. 0 là một iđêan của R , Rad 0  x R n 

*

:x n  0



đƣợc gọi là căn lũy linh của R và ký hiệu là Rad  R  .
Định lý 1.4.8. Cho I1, I 2 ,...., I n là các iđêan của R , ta có
n

Ii 

i 1

n

Ii

(*)

i 1

Chứng minh. Ta chứng minh bằng cách quy nạp theo n

I1  I 2  I1  I 2 .

+ Với n = 2 ta cần chỉ ra

Thật vậy, với mọi a  I1  I 2 luôn tồn tại m 
Suy ra tồn tại m 

*

*

sao cho am  I1  I 2

thỏa mãn
 a m  I1
 m
 a  I 2

Suy ra
a  I1
 a  I1  I 2  I1  I 2  I1  I 2 .

a  I 2

Mặt khác với mọi b  I1  I 2 thì
b  I1

b  I 2

Suy ra tồn tại t , k 

*

để bt  I1 , bk  I 2 . Giả sử k  t , k  t  q . Khi đó

bk  bt q  bt .bq  I1 (do bt  I1 ).

6


Lại có bk  I 2 suy ra

bk  I1  I 2  b  I1  I 2  I1  I 2  I1  I 2
 I1  I 2  I1  I 2 .
n 1

+ Giả sử (*) đúng với n-1 tức là có
i 1

Ii 

n 1

Ii .
i 1

Ta chứng minh (*) đúng với n
Thật vậy,
n 1

Ii 

i 1

n 1

n 1

Ii  I n 

i 1

I i  I n (theo chứng minh trên)

i 1



n 1

I i  I n (theo giả thiết quy nạp)

i 1



n

Ii
i 1

n

Vậy
i 1

Ii 

n

Ii . □
i 1

1.5. Vành chính, vành nhân tử hóa, vành Ơclit
Định nghĩa 1.5.1 (Vành chính). Miền nguyên X đƣợc gọi là vành chính
nếu mọi iđêan của X đều là iđêan chính
Ví dụ 1.5.2. Vành các số nguyên

là vành chính.

Định nghĩa 1.5.3 (Vành nhân tử hóa). Miền nguyên X đƣợc gọi là vành
nhân tử hóa nếu và chỉ nếu mọi phần tử khác 0, không khả nghịch đều
phân tích đƣợc một cách duy nhất thành tích các phần tử bất khả quy.
Nhận xét 1.5.4
+ Mọi vành chính đều là vành nhân tử hóa
+ Nếu K là một trƣờng thì K  x là vành nhân tử hóa.

7

Định nghĩa 1.5.5 (Vành Ơclit). Cho X là miền nguyên, X * là tập các
phần tử khác 0 của X . X đƣợc gọi là vành Ơclit nếu tồn tại ánh xạ

 : X* 
i)

thỏa mãn các điều kiện sau
Nếu a là bội của b và a  0 thì  (b)   (a) .

ii) Với a, b  X và b  0 thì tồn tại q và r thuộc X sao cho
a  bq  r và  (r )   (b) nếu r  0 .

Ký hiệu: ( X ,  ) trong đó  đƣợc gọi là ánh xạ Ơclit.
1.6. Vành thƣơng và đồng cấu vành
Định nghĩa 1.6.1. Cho A là iđêan của vành X . Khi đó nhóm thƣơng
X

A

 x  A x  X 

cùng với 2 phép toán (  ),() xác định nhƣ sau, với mọi x, y  X
( x  A)  ( y  A)  x  y  A,
( x  A).( y  A)  xy  A.

lập thành một vành gọi là vành thương của X theo iđêan A .
Nhận xét 1.6.2
+ Nếu X là vành giao hoán thì X cũng là vành giao hoán.
A
+ Nếu X là vành giao hoán có đơn vị là 1 thì X cũng là vành

A
giao hoán có đơn vị là 1  A .
+ Đặc biệt, 0, X là 2 iđêan của X nên tồn tại 2 vành thƣơng

X
X

Ví dụ 1.6.3. Ta có n

 x  0 x X  X ,
0 
X

  x  X x  X    X   0 .

là iđêan của vành các số nguyên

có vành thƣơng

8

(n  ) nên


n

 x  n x 

  n

,1  n ,..., n  1  n



với hai phép toán (+), () xác định nhƣ sau, với mọi x, y 
(x  n )  ( y  n )  x  y  n
( x  n ).( y  n )  xy  n

Định lý 1.6.4. Cho R là vành giao hoán, I là iđêan của R . Khi đó
i) Nếu J là iđêan của R sao cho J  I thì J là một iđêan của
I
vành thƣơng R .
I
ii) Mỗi iđean J của R

I

đều có dạng K

I

với K là iđêan của R

thỏa mãn K  I . Tồn tại duy nhất iđêan K  a  R a  I  J  của R
thỏa mãn điều kiện.
iii) Nếu J1, J 2 là các iđêan của R sao cho J1, J 2  I thì

J1

I



J2

I

khi và chỉ khi J1  J 2 .
Chứng minh. i) Ta có
J

suy ra J

I

 a  I a  J   r  I r  R  R

I

là nhóm con của nhóm cộng R . Hơn nữa, với mọi r  R và
I

I

a  J ta có

(r  I )(a  I )  ra  I  J

suy ra J

I

I

là một iđêan của R .
I

ii) Lấy  là một iđêan bất kỳ của R , tập K  a  R a  I   .
I
+ Hiển nhiên I  K do a  I  I   với mọi a  I .

9


+ Lấy a, b  K và r  R thì ta có a  I , b  I  . Do đó
(a  b)  I   , ra  I   . Suy ra a  b , ra  K và K là một iđêan

của R .
Từ đó theo định nghĩa của K và K  I suy ra rằng K   .
I
+ Mặt khác, giả sử L là 1 iđêan khác của R cũng có tính chất

L  I và L I   . Cho a  L thì a  I  L I   . Suy ra a  K . Suy ra

LK.
Lại có nếu b  K thì b  I    L . Theo (i) ta có b  L . Suy ra K  L .
I
Vậy L  K hay K là duy nhất.
iii) Theo (i) ta có

J1

I

,

J2

I

là các iđêan của R .
I

Từ (ii) ta có điều phải chứng minh. □
Định nghĩa 1.6.5 (Đồng cấu vành). Cho X , Y là hai vành. Ánh xạ
f : X  Y gọi là đồng cấu vành nếu với mọi x, y  X ta có

 f ( x  y )  f ( x)  f ( y )

 f ( x. y)  f ( x). f ( y)
Hơn nữa,
+ f gọi là đơn cấu nếu f là đồng cấu vành và f là đơn ánh,
+ f gọi là toàn cấu nếu f là đồng cấu vành và f là toàn ánh,
+ f gọi là đẳng cấu nếu f vừa là đơn cấu vừa là toàn cấu,
+) Cho hai vành X , Y ta nói X đẳng cấu với Y nếu tồn tại một
đẳng cấu vành f : X  Y .
Định lý 1.6.6. Ta có các khẳng định sau
(i). Tích của hai đồng cấu vành là một đồng cấu vành;

10

(ii). Cho f : X  Y là đồng cấu vành, trong đó X là một trƣờng
thì f là đồng cấu không hoặc đơn cấu;
(iii). Cho f : X  Y là đồng cấu vành;
+ Nếu f có nghịch đảo trái, tức là tồn tại một đồng cấu vành
g : X  Y sao cho g  f  1X thì f là đơn cấu;

+ Nếu f có nghịch đảo phải, tức là tồn tại một đồng cấu
vành g : X  Y sao cho f  g  1Y thì f là toàn cấu;
+ Nếu

f có nghịch đảo trái và nghịch đảo phải thì f là

đẳng cấu.
(iv). f : X  Y là đồng cấu vành, A là vành con của X , B là
iđêan của Y thì
+ f ( A) là vành con của Y ;
+ f 1 ( B) là iđêan của X.
Đặc biệt, cho f : X  Y là đồng cấu vành.
Hạt nhân của f ký hiệu là Kerf , Kerf   x  X f ( x )  0 .
Ảnh của đồng cấu f ký hiệu Im f , Im f  f ( X )   f ( x)  Y x  X  .
Khi đó
+ X là vành con của X nên Im f là vành con của Y ;
+ 0Y  là 1 iđêan của Y nên Kerf là một iđêan của X .
Vậy f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf  0 X  ,
f là toàn cấu khi và chỉ khi Im f  Y .

Định lý 1.6.7 (Định lý cơ bản của đồng cấu vành). Cho đồng cấu vành
f : X  Y , A, B tƣơng ứng là các iđêan của X , Y sao cho f ( A)  B .

11


Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu vành f : X

A

Y

B

sao cho biểu đồ

sau giao hoán
f
X 
Y

pB

pA

X


Y
f

A

nghĩa là f p A  pB f với p A : X  X

A

B

, pB : Y  Y

B

là các toàn cấu

chính tắc.
Đặc biệt, nếu A  Kerf , B  0Y  thì Y

B

Y

0Y 

 Y , khi đó ta

có f p  f với p : X  X Kerf là toàn cấu chính tắc.
Nếu f là toàn cấu vành thì X

Kerf

 Y . Hơn nữa, f là đơn cấu và

Imf  Im f .

Hệ quả 1.6.8. Cho A, B là hai iđêan của vành R thỏa mãn B  A . Khi đó
R

B



R

A

B

.
A

1.7. Quan hệ thứ tự và tập sắp thứ tự
Định nghĩa 1.7.1. Cho tập X   . Quan hệ hai ngôi “  ” trên X đƣợc
gọi là quan hệ thứ tự trên X nếu thỏa mãn 3 tính chất sau
i)

Phản xạ: với mọi u  X : u  u ,

ii)

u  v
Phản xứng: với mọi u, v  X : 

thì u  v ,
v  u

u  v
iii) Bắc cầu: với mọi u, v, w  X nếu 
thì u  w .
v

w


12


Khi đó ta viết  X ,   đƣợc gọi là tập sắp thứ tự.
Tập sắp thứ tự  X ,   đƣợc gọi là tập sắp thứ tự toàn phần nếu với mọi

u  v
u  v
. Ta viết u  v nếu 
.
u, v  X luôn có 
v  u
u  v
Định nghĩa 1.7.2 (Phần tử cực đại, cực tiểu, cận trên, cận dƣới). Cho

 X ,   là tập sắp thứ tự
+ Phần tử m  X đƣợc gọi là phần tử cực đại (cực tiểu) của X nếu
tồn tại n  X mà m  n  n  m thì m  n .
+ A X ,

 X , 

là tập sắp thứ tự, a0  X gọi là cận trên (cận

dưới) của A nếu với mọi a  A thì a  a0 ( a0  a ).
Bổ đề 1.7.3 (bổ đề Zorn). Cho tập sắp thứ tự  X ,   khác rỗng. Nếu mọi
tập con sắp thứ tự toàn phần (khác rỗng) của X đều chứa một cận trên
của X thì X có ít nhất một phần tử cực đại.

13


Chƣơng 2: IĐÊAN CỰC ĐẠI VÀ IĐÊAN NGUYÊN TỐ

2.1. Iđêan cực đại
Định nghĩa 2.1.1. Iđêan A của vành giao hoán R đƣợc gọi là iđêan cực
đại nếu thỏa mãn hai điều kiện sau

A  R,

i)

ii) Giả sử tồn tại iđêan B của R mà A
Ví dụ 2.1.2. Trong vành các số nguyên
dạng p

B thì B  R .

các iđêan cực đại đều có

với p là số nguyên tố.
Thật vậy, nếu I là một iđêan cực đại tùy ý của

I  0, I

nên I có dạng I  p

thì

với p  , p  1 , ta sẽ chỉ ra p là số

nguyên tố. Giả sử p không là số nguyên tố thì p  p1. p2 với

1  p1, p2  p . Khi đó với mọi x  p

ta có x  px1  p1 p2 x1  p1 ,

p1  .
Suy ra p

p1

(trái với giả thiết p

là iđêan cực đại).

Vậy p là số nguyên tố.
Ngƣợc lại, giả sử p là số nguyên tố nhƣng p
cực đại thì tồn tại iđêan m

của

,m 

sao cho p

không là iđêan
m

tức m là

ƣớc thực sự của p . Điều này trái với giả thiết p là số nguyên tố. Vậy
p

là iđêan cực đại.

Mệnh đề 2.1.3. Cho R là vành giao hoán có đơn vị. A là iđêan cực đại
của R nếu và chỉ nếu R là trƣờng.
A
Chứng minh. Giả sử A là iđêan cực đại của R . Vì R là vành giao hoán
có đơn vị nên R

A

là vành giao hoán có đơn vị. Ta có A  R nên R có
A

14

ít nhất hai phần tử 0  A và 1  A . Xét phần tử x  A  R , x  A  A .
A
Khi đó x  A . Đặt B  x  A thì B là iđêan của R và B

A . Do A là

iđêan cực đại nên B  R . Do đó 1 B , suy ra tồn tại x0  R , a  A sao
cho 1  xx0  a .
Suy ra

1  A  xx0  a  A  xx0  A  ( x  A)( x0  A)
Vậy x  A có nghịch đảo trong R
Ngƣợc lại, giả sử R

A

A

là x0  A . Do đó R là một trƣờng.
A

là trƣờng. Khi đó R có ít nhất hai phần
A

tử là 0  A và 1  A . Suy ra A  R . Nếu B là iđêan của R thỏa mãn
A

B thì tồn tại x  B \ A . Suy ra x  A  A .

Do R

A

là trƣờng nên tồn tại x0  A  R

A

sao cho

( x  A)( x0  A)  1  A
Suy ra xx0  A  1  A hay xx0  1 A .
Vậy tồn tại a  A để a  xx0  1. Suy ra 1  xx0  a  B (vì B là iđêan
của R và tập x, a  B ). Vậy B  R hay A là iđêan cực đại của R . □
Định lý 2.1.4. Nếu R là vành giao hoán không tầm thƣờng thì R luôn
có ít nhất một iđêan cực đại.
Chứng minh. Gọi  là tập tất cả các iđêan thực sự của R . Do R không
tầm thƣờng nên 0 là iđêan thực sự của R . Suy ra    .
Quan hệ bao hàm là một quan hệ thứ tự bộ phận trên  và iđêan cực đại
của R chính là phần tử cực đại của tập sắp thứ tự bộ phận (, ) .
Cho  là tập con sắp thứ tự toàn phần của  .
Đặt J 

I , rõ ràng J   vì 0  J .
I 

15


+ Với mọi a  J , r  R thì ra  J .

+ Với a, b  J luôn tồn tại I1, I 2  sao cho a  I1, b  I 2 .
Do (, ) sắp thứ tự toàn phần nên ta luôn có I1  I 2 hoặc I 2  I1 .
Không mất tính tổng quát ta giả sử I1  I 2 . Khi đó a  b  I 2  J . Do
vậy J là iđêan của R và là iđêan thực sự (vì với mọi I  thì 1 I suy
ra 1 J ).
Suy ra J   . Vì vậy J là cận trên của  trong  .
Áp dụng bổ đề Zorn ta có tập sắp thứ tự bộ phận (, ) luôn có phần tử
cực đại nên R luôn có ít nhất một iđêan cực đại. □
Hệ quả 2.1.5. Cho R là vành giao hoán, I là iđêan thực sự của R . Khi
đó luôn tồn tại một iđêan cực đại M của R sao cho M  I .
Chứng minh. Do I là iđêan thực sự nên vành thƣơng R không tầm
I
thƣờng. Theo định lý 2.1.4 thì R

có iđêan cực đại và theo định lý

I

1.5.4.ii) thì iđêan cực đại đó phải có dạng M

I

với đúng một iđêan M

của R thỏa mãn M  I .
Lại có:
R

I

M

R

I

M

R
I

M

(theo hệ quả 1.5.8). Mà M

là một trƣờng. Suy ra R
I

M

I

là iđêan cực đại nên

cũng là một trƣờng.

Vậy M là iđêan cực đại của R và M  I . □
Hệ quả 2.1.6. Cho R là vành giao hoán và a  R . Khi đó a là phần tử
khả nghịch của R nếu và chỉ nếu với mọi iđêan cực đại M của R thì

aM .

16


Chứng minh. Giả sử a là khả nghịch của vành giao hoán R thì a  R .
Nếu a  M với M là iđêan cực đại nào đó của R suy ra M  R . Điều
này mâu thuẫn với giả thiết M là iđêan cực đại. Vậy a  M .
Ngƣợc lại, giả sử a  M với mọi M là iđêan cực đại của R .
Nếu a không khả nghịch thì a là iđêan thực sự của R . Theo hệ quả
2.1.5 thì tồn tại iđêan cực đại M của R chứa a . Điều này mâu
thuẫn với giả thiết.
Vậy a là khả nghịch. □
Nhận xét 2.1.7. Tập các phần tử khả nghịch của R là

M,

R\
M SpecmR

trong đó SpecmR là tập các iđêan cực đại của R .
Định nghĩa 2.1.8. Một vành giao hoán R có đúng một iđêan cực đại
đƣợc gọi là vành địa phương.
Nếu M là iđêan cực đại duy nhất của vành địa phƣơng R thì
R

M

là trƣờng và đƣợc gọi là trường thương của R theo M .

Ví dụ 2.1.9. Nếu R là trƣờng thì R là vành địa phƣơng vì R có duy
nhất iđêan cực đại là iđêan 0 .
Mệnh đề 2.1.10. Cho R là vành giao hoán. Khi đó R là vành địa
phƣơng nếu và chỉ nếu tập các phần tử không khả nghịch của R là một
iđêan của R .
Chứng minh. Giả sử R là vành địa phƣơng với một iđêan cực đại duy
nhất M . Theo hệ quả 2.1.6 thì M là tập các phần tử không khả nghịch
của R.
Ngƣợc lại, ta có R  0 vì nếu R  0 thì tập các phần tử không
khả nghịch của R là tập  . Do đó R có iđêan cực đại, chẳng hạn là M .

17


Gọi I là tập các phần tử không khả nghịch của R . Theo giả thiết, I là
iđêan của R . Do 0  I nên R là không tầm thƣờng. Theo định lý 2.1.4
thì R có ít nhất một iđêan cực đại. Theo hệ quả 2.1.6 thì mọi phần tử của

M không khả nghịch  M  I  R .
Nếu M  I thì I  R (vì M là iđêan cực đại của R ). Điều này mâu
thuẫn vì phần tử đơn vị 1 của R không thuộc I do 1 là khả nghịch.
Vậy M  I . Do đó R có ít nhất một iđêan cực đại và iđêan cực đại nào
cũng bằng I , nghĩa là R có duy nhất một iđêan cực đại.
Vậy R là vành địa phƣơng. □
Nhận xét 2.1.11. Giả sử vành giao hoán R là vành địa phƣơng. Khi đó
từ hệ quả 2.1.6 suy ra iđêan cực đại duy nhất của R là tập các phần tử
khả nghịch của R .
Định nghĩa 2.1.12. Cho R là vành giao hoán căn Jacobson của R , ký
hiệu Jac ( R ) , là giao của tất cả các iđêan cực đại của R .
Nhận xét 2.1.13.

+ Jac ( R ) là một iđêan của R .
+ Nếu R là vành giao hoán tầm thƣờng thì ta quy ƣớc
Jac0  0

+ Khi R là vành địa phƣơng thì Jac ( R ) chính là iđêan cực đại
duy nhất của R .
có Jac( ) 

Ví dụ 2.1.14. Vành các số nguyên

p 0.
p

Mệnh đề 2.1.15. Cho R là vành giao hoán và r  R . Khi đó r  Jac ( R )
nếu và chỉ nếu với mọi a  R thì (1  ra ) là phần tử khả nghịch của R .

18


Chứng minh. Gọi M là iđêan cực đại bất kỳ của R . Suy ra r  M . Thế
thì ra  M . Mà 1 M suy ra (1  ra )  M . Theo hệ quả 2.1.6 suy ra
(1  ra ) là phần tử khả nghịch của R .

Ngƣợc lại, giả sử với mọi a  R thì (1  ra ) là phần tử khả nghịch
của R . Gọi M là iđêan cực đại bất kỳ của R . Ta chỉ ra rằng r  M .
Thật vậy, M là iđêan cực đại của R nên theo hệ quả 2.1.6 thì
(1  ra )  M . Giả sử r  M thì M  M  Rr  R . Do M là iđêan cực

đại nên M  Rr  R . Suy ra 1 M  Rr . Suy ra tồn tại b  M , a  R
thỏa mãn 1  b  ra . Do đó 1  ra  b  M (mâu thuẫn).

Vậy r  M . Vì M bất kỳ nên r  Rac ( R ) . □
2.2. Iđêan nguyên tố
Định nghĩa 2.2.1. Cho R là vành giao hoán. Iđêan A của R đƣợc gọi là
iđêan nguyên tố nếu thỏa mãn
i)

A  R,

ii)

x  A
Nếu với mọi x, y  R mà xy  A thì 
y A

Ví dụ 2.2.2. Trong vành các số nguyên
dạng n

các iđêan nguyên tố đều có

với n là số nguyên tố.

Thật vậy, nếu I là iđêan nguyên tố tuỳ ý của
có dạng I  n

thì I  0 , I

với n  , n  1, ta sẽ chỉ ra n là số nguyên tố. Giả sử n

không là số nguyên tố thì n  n1.n2 với 1  n1, n2  n
Do n  n1.n2 

nên I

và n

(1)

là iđêan nguyên tố nên ta có

 n1  n
 n1 n
n  n  n n
 2
 2

(2)

Vì (1) và (2) mâu thuẫn nên điều giả sử là sai. Vậy n là số nguyên tố.

19


Ngƣợc lại, giả sử n là số nguyên tố, ta sẽ chỉ ra n
Thật vậy, với mọi xy  n

là iđêan nguyên tố.

thì xy n

x n

x n


y n
yn
Vậy n

là iđêan nguyên tố. □

Chú ý 2.2.3.
+ 0 là iđêan nguyên tố nhƣng không là iđêan cực đại vì

0  n

với mọi n 

*

.

+ R không là iđêan nguyên tố của R .
+ Khi R là miền nguyên, iđêan không của nó là một iđêan
nguyên tố của R
Định lý 2.2.4. Cho R là vành giao hoán có đơn vị, I là iđêan nguyên tố
của R nếu và chỉ nếu R là miền nguyên.
I
Chứng minh. Nếu I là iđêan nguyên tố của R thì với mọi xy  I ta có

x  I
yI .


Vì R là vành giao hoán có đơn vị nên R là vành giao hoán có đơn vị là
I
0  I  R

I
.
1  I . Vậy R I   vì 
R
1  I  I

Với mọi x  I , y  I  R

I

nếu ( x  I )( y  I )  xy  I  I thì xy  I . Vì I

x  I
là iđêan nguyên tố nên 
.
yI

20


Suy ra

x  I  I
y  I  I


Do đó R

I

không có ƣớc của không. Vậy R

Ngƣợc lại giả sử R

I

I

là miền nguyên.

là miền nguyên, I là iđêan của R . Nếu có

x, y  R mà xy  I thì xy  I  I . Suy ra ( x  I )( y  I )  I . Do R

I

là

x  I  I
x  I
miền nguyên nên 
hay 
.
y

I


I
y

I


Vậy I là iđêan nguyên tố. □
Chú ý 2.2.5. Cho R là vành giao hoán. Mọi iđêan cực đại của R đều là
iđêan nguyên tố. Điều ngƣợc lại không đúng.
Ví dụ 2.2.6. Iđêan 0 của

là nguyên tố nhƣng 0  2 

nên 0 không

là iđêan cực đại.
Nhận xét 2.2.7.
+ Cho f : S  R là đồng cấu vành, I là iđêan nguyên tố của R
thì f 1 ( I ) là iđêan nguyên tố của S .
f
p
 R 
R
Thật vậy, hợp thành của hai đồng cấu S 

có hạt nhân là f 1 ( I ) . Suy ra S

f 1 ( I )

I

là đồng cấu

đẳng cấu với vành con của miền

nguyên R . Do đó S 1
không có ƣớc của không. Mà phần tử
I
f (I )
không và phần tử đơn vị thuộc S
S

1

f (I )

f 1 ( I )

nên nó có nhiều hơn 1 phần tử

cũng là miền nguyên. Vậy f 1 ( I ) là iđêan nguyên tố.

+ Tạo ảnh của iđêan cực đại chƣa chắc đã là iđêan cực đại.

21