Thế vị lớp kép và bài toán dirichlet đối với hàm điều hòa

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRẦN VĂN TOÀN

THẾ VỊ LỚP KÉP
VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET
ĐỐI VỚI HÀM ĐIỀU HÒA

Chuyên nghành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS HÀ TIẾN NGOẠN

HÀ NỘI - NĂM 2015


Mục lục

Mở đầu

2

1 Kiến thức chuẩn bị

5

1.1

Góc khối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Mặt Lyaponov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Phương trình tích phân Fredholm loại II . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4

Phương trình Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5

Tính duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . 23

2 Thế vị lớp kép và bài toán Dirichlet đối với hàm điều hòa

26

2.1

Thế vị lớp đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2

Thế vị lớp kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3

Đưa bài toán Dirichlet của phương trình Laplace về phương trình
tích phân trên biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4

Sự tồn tại nghiệm của các bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . 39

2.5

Thế vị khối và bài toán Dirichlet trong cho phương trình Poisson. . 45

Kết luận

48

Tài liệu tham khảo

49

1


Mở đầu

Nghiệm của phương trình Laplace rất quan trọng trong toán học, đặc biệt
là trong các bài toán vật lý, sinh học. Việc khảo sát nghiệm của phương trình
Laplace là cần thiết. Luận văn ‘’ Thế vị lớp kép và bài toán Dirichlet đối với hàm
điều hòa” là bài toán biên thứ nhất của phương trình Laplace. Trước đó người ta
đã chứng minh được tính tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet trong
miền hình cầu trong bằng nhiều phương pháp khác nhau, như phương pháp tách
biến, phương pháp biến thiên tham số, phương pháp hàm Green. Tuy nhiên, việc
khảo sát nghiệm của bài toán đó khi mở rộng miền ( không nhất thiết là miền
hình cầu), với những phương pháp trên gặp khó khăn. Vì vậy luận văn ‘’ Thế vị
lớp kép và bài toán Dirichlet đối với hàm điều hòa” trình bầy một phương pháp
mới để khảo sát nghiệm của bài toán đó, đó là phương pháp Thế vị. Đó là phương
pháp tìm nghiệm của phương trình dưới dạng một thế vị của hàm điều hòa cơ
bản. Cấu trúc luận văn gồm 2 chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bầy một số khái niệm và
các tính chất bao gồm: Định nghĩa về góc khối, định nghĩa về mặt Lyapunov và
các tính chất của mặt Lyapunov cùng với các đánh giá có liên quan định nghĩa
về phương trình tích phân Fredhlom loại II, các định lý Fredhlom và cuối cùng là
trình bầy về các bài toán Dirchlet trong và ngoài, tính duy nhất nghiệm của bài
toán đó.
Chương 2. Thế vị lớp kép và bài toán Dirchlet cho hàm điều hòa. Nội
dung của chương này là chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirchlet cho
hàm điều hòa, gồm 3 bước. Đầu tiên ta đưa ra khái niệm thế vị lớp kép và tính
chất của nó. Bước thứ 2 ta chuyển bài toán Dirchlet của phương trình Laplace về
phương trình tích phân Fredholm loại II. Bước thứ 3 ta đi chứng minh sự tồn tại
nghiệm của bài toán đó. Luận văn được tham khảo chính trong các tài liệu [1],
2


[2] và [3].

3


Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS. TS Hà
Tiến Ngoạn. Thầy đã dành nhiều thời gian quý báu của mình để kiên trì hướng
dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt cả quá trình làm luận
văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới người thầy của
mình.
Tôi cũng muốn gửi tới toàn thể các thầy cô Khoa Toán Cơ Tin học trường
Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, các thầy cô đã đảm nhận
giảng dạy khóa Cao học 2012 - 2014, đặc biệt là các thầy cô tham gia giảng dạy
nhóm giải tích 2012-214 lời cảm ơn chân thành đối với công lao dạy dỗ trong suốt
thời gian của khóa học.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, các anh chị em trong nhóm Cao
học Toán 2012-2014, đặc biệt là các anh chị em nhóm Giải tích đã quan tâm, giúp
đỡ, tạo điều kiện cũng như động viên tinh thần để tôi có thể hoàn thành khóa
học này.
Hà Nội, tháng 4 năm 2015.
Tác giả

Trần Văn Toàn

4


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Góc khối

Cho S là mặt trơn, nói chung không kín,định hướng, xét một phía xác định
−
của S và vecto pháp tuyến →
n hướng về phía ấy, mà ta quy ước là pháp tuyến
dương.
Giả sử P là một điểm bất kỳ nằm trong không gian sao cho với điểm Q ∈ S
−→
−
π
thì →
r = P Q hợp với −
n→
Q một góc nhỏ hơn hoặc bằng 2 tức là:

−
cos(→
r ;−
n→
Q ) ≥ 0.

(1.1)

−→
Từ P, xét tất cả các bán kính vecto P Q, Q ∈ S . Các bán kính vecto đó lấp
đầy khối nón, đỉnh là P và các đường sinh của mặt bên tựa trên biên của mặt S.
Từ P, xét mặt cầu đơn vị tâm P, kí hiệu 1 . Mặt cầu ấy cắt khối nón trên theo
mảnh cầu σ1 , có diện tích là |σ1 | khi đó phần không gian chiếm bởi khối nón nói
trên được gọi là góc khối mà từ P nhìn mặt S. Diện tích |σ1 | được gọi là số đo

của góc khối, và được kí hiệu là:
ωP (S) = |σ1 |.

(1.2)

Chú ý. Nếu xét mặt cầu tâm P bán kính R , R và cắt khối nón theo mảnh σR
có diện tích |σR | thì do tính đồng dạng của δR và δ1 ta có : |σ11 | = |σRR2 |
Do đó ta có thể viết:

ωP (S) =
5

|σR |
.
R2

(1.3)


−→
→
−
→
−
Nếu pháp tuyến dương −
n→
hợp
với
bán
kính

vecto
r
một
góc
tù
cos
(
r;
nQ ) ≤ 0
Q
thì ta quy ước số đo của góc khối mà từ P nhìn S có giá trị âm và
|σR |
ωP (S) = − 2 .
(1.4)
R
−→
−
Giả sử S là mặt trơn từng mảnh và trên mỗi mảnh, đại lượng cos(→
r; nQ ) đổi
−→
−
dấu, khi đó ta chia S thành nhiều mảnh nhỏ Sj sao cho cos(→
r; nQ ) không đổi dấu.
Khi đó
ωP (S) =

ωP (Sj )

(1.5)

j

Định lý 1.1(Định lý 5.3.1,[1]). Giả sử P ∈
/ S . Góc khối mà từ điểm P nhìn mặt
S có giá trị bằng
∂
1
ωP (S) = −
(
)dSQ
∂nQ rP Q
S

trong đó r = P Q, là khoảng cách giữa hai điểm P và Q, −
n→
Q là pháp tuyến dương
tại Q ∈ S, ∂n∂Q là đạo hàm theo hướng −
n→
Q

−→
−
Chứng minh. Ta chỉ xét trường hợp mặt S mà cos(→
r; nQ ) không đổi dấu, trong
−→
−
trường hợp ngược lại, ta chia S thành các mảnh nhỏ Sj sao cho cos(→
r; nQ ) không
−→
đổi dấu. Khi đó P Q chỉ cắt S tại Q duy nhất.

−→
−
Giả sử cos(→
r; n ) ≥ 0. Xét mặt cầu
tâm P với bán kính R đủ nhỏ sao cho
Q

R

σR không cắt S. Xét miền D giới hạn bởi mặt S, mặt σR và phần không gian nằm
giữa S và σR . Kí hiệu phần mặt nón này là S0 .
Ta chú ý rằng hàm 1r là hàm điều hòa trong D ∪ S ∪ S0 ∪ σR do đó theo tính
chất của hàm điều hòa ta có:
∂ 1
( )dSQ = 0
(1.6)
∂νQ r
S∪σR ∪S0

trong đó −
ν→
Q là pháp tuyến trong đối với miền D tại điểm Q. (Để đơn giản cách
viết ta thay ∂νQ ≡ ∂ν).
−
−
Trên mặt nón S0 thì →
ν thẳng góc với→
r nên ta có
→
−

−
∂ 1
− cos(→
r ; ν)
( )=
= 0.
(1.7)
∂ν r
r2
6


Trên mặt S, ta có

→
−
v = −−
n→
Q
nên

∂ 1
( )dSQ = −
∂ν r

∂ 1
( )dSQ
∂nQ r

(1.8)

S

S

Trên σR ta có:

∂ 1
( )dSQ =
∂ν r
σR

1
∂ 1
( )dSQ = − 2
∂nQ r
R

σR

dSQ =

−|σR |
R2

(1.9)

σR

Từ công thức (1.6), (1.7), (1.8) và (1.9) ta có

∂ 1
( )dSQ + ωP (S) = 0
∂ν r
S

hay

∂ 1
( )dSQ
∂nQ r

ωP (S) = −

(1.10)

S

−→
−
Nếu cos(→
r; nQ ) ≤ 0 thì trên mặt S ta có:
→
−
ν =−
n→
Q
và

∂ 1

( )dSQ =
∂ν r

∂ 1
( )dSQ .
∂nQ r

(1.11)

S

S

Từ đẳng thức

ωP (S) =

−|σR |
R2

suy ra

∂ 1
−|σR |
( )dSQ = − 2 = ωP (S)
∂nQ r
R

∂ 1
( )dSQ =

∂ν r

−
S

S

Vậy ta vẫn có (1.10). Định lý được chứng minh.

7

(1.12)


1.2

Mặt Lyaponov

1.2.1 Khái niệm mặt Lyapunov
Định nghĩa 1.1
Dưới đây ta định nghĩa mặt Lyapunov trong không gian ba chiều.
Mặt S được gọi là mặt Lyapunov nếu nó thỏa mãn
1, Tại mỗi điểm của mặt S đều tồn tại một pháp tuyến xác định
→
−
−
2, Gọi Q và Q’ là 2 điểm bất kỳ nằm trên mặt S và →
n ; n là hai vecto pháp
→
−

−
tuyến tương ứng tại Q và Q’, ϕ là góc hợp bởi 2 vecto pháp tuyến đó (ϕ = (→
n ; n ))
r là khoảng cách giữa hai điểm Q,Q’

r = QQ
.
Khi đó tồn tại 2 hằng số dương A và α sao cho:

ϕ ≤ Arα .

(1.13)

nhận xét Nếu mặt S có phương trình

z = f (x, y)
trong đó f (x, y) là hàm có đạo hàm cấp 2 liên tục thi S là mặt Lyapunov.
Do đó mặt cong có độ cong liên tục là mặt Lyapunov. Hơn nữa định nghĩa và
các định lý trong phần này cũng đúng trong không gian n chiều tổng quát.
Định lý 1.2(Định lý 5.4.2, [1]) Giả sử S là mặt Lyapunov kín. Khi ấy tồn tại
một hằng số dương d > 0 sao cho nếu lấy một điểm Q bất kỳ trên S làm tâm bán
−
kính d thì mọi đường thẳng song song với pháp tuyến →
n tại Q cắt mặt S phía
trong hình cầu không quá một điểm.
Mặt cầu với tâm Q ∈ S nói trên được gọi là mặt cầu Lyapunov, kí hiệu

(Q).

Chứng minh. Chọn d đủ nhỏ sao cho:

Adα ≤ 1
8

(1.14)


ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử ngược lại, tồn tại hình cầu bán kính d
tâm Q0 ∈ S cắt mặt S theo mảnh S (Q0 ) sao cho có một tia đi qua Q0 sao cho
→
−
−
có một tia n0 nào đó song song với pháp tuyến →
n0 tài Q0 của S cắt S (Q0 ) tại hai
điểm Q và Q’. Giả sử các pháp tuyến của mặt S là các pháp tuyến trong, gọi Q
→
−
→
−
là điểm của mặt S tại đó n0 hướng ra phía ngoài, còn Q’ là điểm tại đó n0 hướng
−
−
vào phía trong của S. Xét mặt phẳng tiếp xúc tại Q với S. Khi đó, →
n và →
n0 nằm
về 2 phía của mặt phẳng tiếp xúc do đó:

→
−
π

−
−
−
(→
n;→
n0 ) = ( →
n ; n0 ) > > 1
2
Điều này không thể sảy ra vì theo (1.13) và (1.14) ta phải có:
−
−
(→
n;→
n0 ) ≤ Arα ≤ Adα ≤ 1
→
−
Trường hợp n0 tiếp xúc với s (Q0 ) cũng không thể xảy ra vì khi đó
→
−
π
−
−
−
(→
n;→
n0 ) = (→
n ; n0 ) = > 1
2
Vậy định lý được chứng minh.
1.2.2 Một vài đánh giá

Giả sử Q0 là một điểm cố định bất kỳ nằm trên mặt S và S (Q0 ) là một phần
mặt nằm trong mặt cầu Lyapunov tâm Q0 . Xét hệ tọa độ địa phương (ξ, η, ζ) với
gốc là Q0 , trục Q0 ζ = −
n→
0Q còn 2 trục Q0 ξ và Q0 η nằm trong mặt phẳng tiếp xúc
với S tại Q0 .
Theo Định lý 1.1 thì phần mặt S (Q0 ) có thể biểu diễn trong hệ tọa độ Q0 ξηζ
bởi phương trình

ζ = f (ξ, η)

(1.15)

−
Gọi Q(ξ, η, ζ) là điểm chạy trên mặt S (Q0 ) ; →
n là pháp tuyến tại Q và r = Q0 Q.
−
Ta đi đánh giá cosin chỉ phương của →
n , đại lượng f (ξ, η) trong (1.15) và
−
−
cos(→
r ;→
n ) theo r khi Q chạy trên mặt S (Q0 ).
→
−
−
1, Đại lượng cos(→
n; ζ )

9


Đặt:

→
−
−
−
−
ϕ = (→
n ; ζ ) = (→
n;→
n0 )

(1.16)

Ta có:

ϕ2 ϕ4
cos ϕ = 1 −
+
− ... =
2!
4!

ϕ2n
(−1) .
(2n)!
n=0

n

(1.17)

là chuỗi đan dấu có các số hạng đơn điệu giảm, nên nếu trong chuỗi ta chỉ giữ
một số hữu hạn các hạng thức, thì phần dư sẽ có dấu của hạng thức đầu tiên của
phần dư đó.
Từ đó

cos ϕ ≥ 1 −

ϕ2
.
2

Theo công thức (1.13) ta có:

1
cos ϕ ≥ 1 − A2 r2α
2

(1.18)

Mặt khác do (1.14) nên trong các mặt cầu Lyapunov đã chọn.

A2 r2ϕ ≤ A2 d2ϕ ≤ 1
và từ (1.18) ta suy ra đánh giá sau:

→
−

1
−
cos(→
n; ζ ) ≥
2

(1.19)

→
−
−
−
−
2, Đại lượng cos(→
n ; ξ ) và cos(→
n;→
η)
→
−
→
−
−
−
Gọi n là hình chiếu của →
n xuống mặt phẳng Q0 ξη . Khi đó cos(→
n ; ξ ) là
→
−
→
−

−
thành phần của →
n xuống trục ξ . Gọi α và β là góc hợp bởi n với các trục Q0 ξ
và Q0 η ta có
→
−
−
cos(→
n ; ξ ) = sin ϕ. cos α
(1.20)
tương tự

−
−
cos(→
n;→
η ) = sin ϕ. cos β
10

(1.21)


Chú ý :

sin ϕ < ϕ ≤ Arα
từ đó ta có các đánh giá sau:

→
−
−

| cos(→
n ; ξ )| ≤ Arα
−
−
| cos(→
n;→
η )| ≤ Arα

(1.22)
(1.23)

3, Đại lượng f (ξ, η)
Ta có phương trình của mặt S (Q0 ) là:

ζ = f (ξ, η)
−
Do đó cosin chỉ phương của →
n biểu thị bởi công thức
−f

→
−
−
cos(→
n; ξ) =

ξ

(1.24)

1 + (fξ )2 + (fη )2
−f

→
−
−
cos(→
n; η) =

1 + (fξ
→
−
−
cos(→
n; ζ) =

η

)2

+ (fη

(1.25)

)2

1

(1.26)

1 + (fξ )2 + (fη )2
Từ (1.19),(1.22 → 1.26), ta có

|fξ | =

→
−
−
1 + (fξ )2 + (fη )2 .| cos(→
n; ξ)| ≤ 2Arα

và tương tự đối fη , như vậy

|fη | ≤ 2Arα

(1.27)

|fζ | ≤ 2Arα

(1.28)

Trong mặt phẳng Q0 ξη thì vị trí của Q0 ξ là bất kỳ. Do đó trong đánh giá (1.27)
và (1.28) là đúng với mọi phương Q0 ρ bất kỳ trong mặt phẳng Q0 ξη . Gọi ρ là
11


khoảng cách của những điểm nằm trên tia đó tới Q0 . Khi đó

|

∂f
| ≤ 2Arα
∂ρ

(1.29)

Trong mặt phẳng Lyapunov, r là đại lượng giới nội nên:

|

∂f
|≤M
∂ρ

Từ đó
ρ

ρ

∂f
dρ ≤ M ρ.
∂ρ

∂f
dρ ≤
∂ρ

|ζ| = |f (ξ, η)| =

(1.30)

0

0

Gọi Q(ξ, η, ζ) là điểm nằm trên mặt S (Q0 ) và P (ξ, η) là hình chiếu của Q lên
mặt phẳng Q0 ξη và đặt
ρ = Q0 P
khi đó trong tam giác vuông Q0 P Q ta có

r2 = Q0 Q2 = ρ2 + ζ 2 ,
từ đó với chú ý (1.30) ta suy ra

|ζ 2 | ≤ M 2 ρ2 ⇒ r2 ≤ M 2 ρ2 + ρ2
do đó

r ≤ Kρ,

K = const

(1.31)

Như vậy, (1.29) cho ta

|

∂f
| ≤ K ρα K = const
∂ρ

hay
ρ

|ζ| = |f (ξ; η)| ≤

|

∂f
|dρ ≤ C.ρα+1 C = const
∂ρ

(1.32)

0

Mặt khác, ta có ρ ≤ r nên ta có đánh giá sau:

|ζ| ≤ Crα+1
12

(1.33)


−
−
4, Đại lượng cos(→
r ;→
n)
−
Ta có cosin chỉ phương của →

r là
ξ
,
r

η
,
r

ζ
r

ta có:

→
−
→
−
η
ζ
ξ
−
−
−
−
−
−
n ; ξ ) + . cos(→
n;→
η ) + . cos(→

n; ζ )
(1.34)
cos(→
r ;→
n ) = . cos(→
r
r
r
→
−
−
Vì | ξr |, | ηr |, | cos(→
n ; ζ )| đều bé thua 1 nên từ (1.22),(1.23),(1.33) và (1.34) ta
có đánh giá sau:
−
−
| cos(→
r ;→
n )| ≤ C1 rα .

(1.35)

Định lý 1.3 (Định lý 5.4.3, [1]) Nếu S là mặt Lyapunov giới nội thì tồn tại một
hằng số C sao cho:

1
∂
(
) dSQ ≤ C
∂nQ rP Q

(1.36)

S

đối với mọi P nằm trong không gian.
Ý nghĩa hình học của (1.36) là đối với góc khối mà P nhìn mặt S trong (1.5)
như sau: Giả sử S = Sj , khi đó tổng các giá trị tuyệt đối của góc khối bị chặn
j

đều, tức là

|ωP (Sj )| ≤ C
j

Chứng minh. Để chứng minh định lý trên ta chia làm 2 trường hợp sau: điểm P
nằm trong mặt S và điểm P nằm ngoài mặt S
a, Điểm P ∈ S
Lấy gốc tọa độ địa phương là P và như vậy coi

P ≡ Q0 ∈ S
Chú ý:

∂
1
∂nQ ( rQ0 Q )

→
− →
−

= − cos(rr2 ; n )
13


Khi đó
S

−
−
cos(→
r ;→
n)
dSQ =
r2

∂
1
(
) dsQ =
∂nQ rQ0 Q

S

−
−
cos(→
r ;→
n)
dSQ

r2

−
−
cos(→
r ;→
n)
dSQ +
r2

=

S\S (Q0 )

S (Q0 )

Nếu Q ∈ S\S (Q0 ) thì

Q0 Q = r ≥ d
với d bán kính mặt cầu Lyapunov và

−
−
cos(→
r ;→
n)
1
dS
≤
Q

r2
d2
S\S (Q0 )

dSQ ≤

|S|
d2

S\S (Q0 )

với |S| là diện tích của mặt S.
Để tính tích phân đối với S (Q0 ) ta gọi G (Q0 ) là hình chiếu của S (Q0 ) lên
mặt Q0 ξη . Chú ý đánh giá (1.19) ta có

−
−
| cos(→
r ;→
n )|
dSQ =
r2
G (Q0 )

S (Q0 )

−
−
| cos(→
r ;→

n )|
→
− dξdη ≤
→
−
2
r cos( n ; ζ )

−
−
| cos(→
r ;→
n )|
dξdη
r2

≤2

(1.37)

G (Q0 )

Gọi P (ξ, η) là hình chiếu của Q(ξ, η, ζ) lên mặt phẳng Q0 ξη và ρ = Q0 P ta có:

r 2 = ρ2 + ζ 2
tức là

r ≥ ρ.

(1.38)

Mặt khác ta có đánh giá (1.31) thì khi đó (1.35) cho ta

−
−
cos(→
r ;→
n ) ≤ C 1 ρα

14

(1.39)


Từ (1.37), (1.38), (1.39) ta có

−
−
| cos(→
r ;→
n )|
dSQ ≤ C
r2
S (Q0 )

dξdη
≤
ρ2−α

C

dξdη
=C
ρ2−α

ρ≤d

G (Q0 )

chú ý rằng G (Q0 ) nằm trong hình tròn ρ ≤ d.
Vậy với P ≡ Q0 ∈ S ta có

1
|S|
∂
(
) dSQ ≤ 2 + C
∂nQ rQ0 Q
d

S

(1.40)

Do đó tích phân ở vế trái của (1.40) là tồn tại ngay cả khi P ∈ S
b, Điểm P ∈
/S
Với P ∈
/ S thì khoảng cách từ P tới S lớn hơn hay bằng
trường hợp thứ nhất, ta có

d
rP Q ≥
2
Khi đó

−
−
| cos(→
r ;→
n )|
r2

≤

1
r2

≤

4
d2

d
2

hoặc bé hơn d2 ,với

và do đó

−

−
| cos(→
r ;→
n|
4
dSQ ≤ 2 |S|
2
r
d

(1.41)

S

Đối với trường hợp thứ hai, gọi Q0 là điểm trên S sao cho

P Q0 = min rP Q <
Q∈S

d
2

Khi đó P nằm trên pháp tuyến đối với S tại Q0 . Do đó ta xây dựng mặt cầu
Lyapunov tâm Q0 với hệ tọa độ địa phương Q0 ξηζ như trên. Gọi S (Q0 ) là phần
mặt S nằm trong mặt cầu Lyapunov. Ta đi đánh giá các tích phân trên S (Q0 )
và trên S\S (Q0 ).
Nếu Q ∈ S\S (Q0 ), ta có P Q ≥
Q0 Q > d, P Q0 < d2 nên:

d

2.

Thật vậy trong tam giác P Q0 Q ta có

r = P Q ≥ Q0 Q − P Q ≥ d −

15

d d
=
2
2


do đó

−
−
4
|cos(→
r ;→
n )|
dS
≤
Q
r2
d2

dSQ ≤

4
|S|
d2

(1.42)

S\S (Q) )

S\S (Q) )

Xét tích phân:

−
−
| cos(→
r ;→
n )|
dSQ
r2
S (Q) )

Ta có

→
−
→
−
−
−
−

−
−
−
−
−
cos(→
r ;→
n ) = cos(→
r ; ξ ) cos(→
n ; ξ ) + cos(→
r ;→
η ) cos(→
n;→
η )+
→
−
→
−
−
−
+ cos(→
r ; ζ ) cos(→
n; ζ )
Từ đó

→
−
→
−
−

−
−
−
−
−
| cos(→
r ;→
n )| ≤ | cos(→
n ; ξ )| + | cos(→
n;→
η )| + | cos(→
n ; ζ )|.

(1.43)

Đặt Q0 P = δ, Q0 Q = r0 , (ξ; η; ζ) là tọa độ địa phương của Q ∈ S (Q0 ).
Trong hệ tọa độ địa phương thì tọa độ của P là (0; 0; +
− δ) với δ > 0. Chú ý r0
đóng vai trò như trong đánh giá (1.22) và (1.33) ta có:

→
−
ζ+
δ
→
−
cos( r ; ζ ) = −
r
Vậy từ (1.22),(1.33) và (1.43) suy ra
α+1

r
−
−
| cos(→
r ;→
n )| ≤ Cr0α + C1 0
r

+

δ
r

(1.44)

với C và C1 là các hằng số
Ta đánh giá r và r0 qua ρ, trong đó:

ρ2 = ξ 2 + η 2
Ta có
2
2
2
2
r2 = ρ2 + (ζ +
− δ) = ρ + ζ + δ

16

+
− 2ζδ

(1.45)


Hơn nữa chú ý bất đẳng thức

√ 2
1
( √ δ+
− 2ζ) ≥ 0
2
ta suy ra

1
|2ζδ| ≤ δ 2 + 2ζ 2
2
Do đó (1.45) cho ta

1
r 2 ≥ ρ2 + δ 2 − ζ 2
2

(1.46)

Nhưng do (1.32) ta có

|ζ| ≤ Cρα+1 ≤ Cdα ρ
Bán kính d của mặt cầu Lapunov có thể chọn đủ nhỏ sao cho

1
Cdα ≤ √
2
Như vậy

ρ2
|ζ| ≤
2
và do (1.31) cho ta đánh giá của r qua ρ:
2

1
1
r2 ≥ (ρ2 + δ 2 ) ≥ ρ2
2
2

(1.47)

Và từ (1.31) ta có đánh giá của r0 qua ρ:

r0 ≤ Kρ

(1.48)

Theo (1.44); (1.47);(1.48) ta đánh giá tích phân lấy đối với S (Q0 ). Gọi G (Q0 )
là hình chiếu của S (Q0 ) xuống mặt tiếp xúc Q0 ξη , chú ý G (Q0 ) nằm trong mặt
tròn ρ ≤ d. Ta có như ở (1.37)
−

−
−
−
| cos(→
r ;→
n )|
|cos(→
r ;→
n )|
dS
≤
2
dξdη
Q
r2
r2
S (Q0 )

G (Q0 )

→
−
−
| cos(→
r ; r2 )|
dξdη
r2

≤2
ρ≤d

17

(1.49)


do (1.44) và (1.49) Ta có
−
−
| cos(→
r ;→
n )|
dSQ ≤ const
2
r
ρ≤d

S (Q0 )

r0α+1
dξdη+
r3

r0α
dξdη + const
r2
ρ≤d

dξη
r3

+δ.cosnt

(1.50)

ρ≤ρ

trong đó const không phụ thuộc vào δ
Do (1.47) và (1.48) khi đó ta có đánh giá vế phải của (1.50). Đối với tích phân
thứ nhất ta có:
r0α
K α ρα
dξdη
α
dξdη
≤
dξdη
≤
2K
= const
(1.51)
1 2
2−α
r2
ρ
ρ
2
ρ≤d

ρ≤d

ρ≤d

Đối với tích phân thứ hai:
2
r0α+1
3 K α+1
dξdη
≤
2
3
r

ρ≤d

dξdη
= const
ρ2−α

(1.52)

ρ≤d

Đối với tích phân thứ ba, kí hiệu E2 là toàn bộ mặt phẳng (ξ; η)
Ta có:
3
dξdη
2δ
≤
2

r3

δ
ρ≤d

ρ≤d

dξdη

≤ const

ρ2

E2

δ 2 ( δ2 + 1)

3
2

dξdη
3 ≤
(ρ2 + δ 2 ) 2

≤ const
E2

dξ dη
3
(ρ 2 + 1) 2

trong đó:

η
ρ
ξ
ξ = ; η = , ρ =
δ
δ
δ
Tích phân cuối lấy trong toàn mặt phẳng, hàm dưới dấu tích phân dần về không
tương đương với ρ13 do đó tích phân hội tụ và
dξdη
= const
r3

δ
ρ≤d

18

(1.53)


Trong đó const ở các công thức (1.51); (1.52) và (1.53) không phụ thuộc vào δ do
đó từ các bất đẳng thức (1.40),(1.41),(1.42),(1.50),(1.51);(1.52)và (1.53) Ta suy
ra
1
∂
(

)|dSQ ≤ C
|
∂nQ rP Q
S

Vậy định lý được chứng minh hoàn toàn.

1.3

Phương trình tích phân Fredholm loại II

1.3.1 Định nghĩa 1.2
Cho Ω là miền giới nội trong không gian En ; f (P ) là hàm liên tục cho trước
K(P ; Q) là hàm thực liên tục khi P ∈ Ω; Q ∈ Ω hoặc liên tục khi P = Q và khi
P → Q có bất thường loại yếu:

K(P ; Q) = o(

1
),
rα

r = P Q,

α≤n

Khi đó phương trình:

µ(P ) +

K(P ; Q)µ(Q)dVQ = f (P )

(1.54)

Ω

được gọi là phương trình tích phân Fredholm loại II. Với µ(P ) là hàm liên tục
cần tìm và gọi là nghiệm của phương trình tích phân (1.54)
Nếu f (P ) = 0 thì ta có phương trình thuần nhất tương ứng

µ(P ) +

K(P ; Q)µ(Q)dVQ = 0
Ω

Phương trình thuần nhất liên hợp của nó có dạng

ν(P ) +

K(Q; P )ν(Q)dVQ = 0
Ω

trong đó nhân K(Q;P) có được từ K(P;Q) bằng cách trao đổi vị trí P và Q.
19


Đối với phương trình tích phân Fredholm loại II ta có các định lý sau,được gọi
là định lý Fredholm.
1.3.2. Một số định lý ( Về phương trình tích phân Fredholm loại II)
Định lý 1.4(Định lý 5.11.1, [1]) Phương trình thuần nhất

µ(P ) +

K(P ; Q)µ(Q)dVQ = 0

(1.55)

Ω

và phương trình thuần nhất liên hợp

ν(P ) +

K(Q; P )ν(Q)dVQ = 0

(1.56)

Ω

có một số hữu hạn các nghiệm độc lập tuyến tính và số các nghiệm độc lập tuyến
tính của hai phương trình đó bằng nhau.
Gọi hệ đầy đủ các nghiệm độc lập tuyến tính của (1.55) là

{µ1 (P ); ...; µp (P )}
và của (1.56) là:

{ν1 (P ); ...; νp (P )}
Khi đó nghiệm tổng quát của (1.54) có dạng
p
∗

µ(P ) = µ (P ) +

Ck µk (P )

(1.57)

k=1

trong đó µ∗ (P ) là một nghiệm riêng của (1.54) còn Ck là các hằng số tùy ý.

Định Lý 1.5(Định lý 5.11.2, [1]) Điều kiện cần và đủ để phương trình (1.54) giải
được là vế phải f (P ) thỏa mãn hệ thức

f (P )νk (P )dVP = 0 k = 1, 2, ..., p
Ω

20

(1.58)


Điều kiện này được gọi là điều kiện trực giao, trong đó {νk (P )} là hệ đầy đủ các
nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình thuần nhất liên hợp (1.56)
Từ đó suy ra
Định lý 1.6(Định lý 5.11.3, [1]) Điều kiện cần và đủ để phương trình (1.54) giải
được với mọi hàm f (P ) liên tục nào đó là phương trình thuần nhất (1.55) chỉ có
nghiệm tầm thường µ(P ) = 0. Khi đó phương trình (1.54) có nghiệm duy nhất.

1.4

Phương trình Laplace

Định nghĩa 1.3 Giả sử Ω là miền trong Rn
Kí hiệu

n

uxi xi

∆u(x) :=
i=1

và gọi biểu thức này là Laplacian của hàm u.
Khi đó phương trình

∆u(x) = 0,

x∈Ω

(1.59)

được gọi là phương trình Laplace, và nghiệm của phương trình (1.59) được gọi là
hàm điều hòa trong miền Ω
Để tìm nghiệm của phương trình (1.59) Trước tiên ta tìm một nghiệm hiển.
Do tính tuyến tính của phương trình (1.59) nên ta sẽ xây dựng nghiệm phức tạp
thông qua nghiệm hiển đã biết. Chú ý rằng phương trình Laplace là bất biến đối
với phép quay, nên ta tìm nghiệm hiển dưới dạng hàm số của r = |x|
Ta tìm nghiệm của (2.1) dưới dạng

u(x) = υ(r); x ∈ R
r = |x| = (x21 + ... + x2n ) và chọn υ sao cho ∆u = 0
Chú ý :
1
∂r
1
xi
= (x21 + ... + x2n )− 2 2xi =
∂xi
2
r

21

(x = 0)


Vì thế

xi
uxi = υ (r) ;
r

uxi xi

x2i
x2i
= υ (r) 2 + υ (r)(1 − 3 );
r
r

Do đó

∆u = υ (r) +

i = 1, 2...n

n−1
υ(r).
r

Như vậy ∆u = 0 khi và chỉ khi

υ (r) +

n−1
υ (r) = 0
r

(1.60)

Nếu υ = 0 thì ta thấy rằng:

[log(υ )] =
Vì thế υ (r) =

α
rn−1

υ

1−n
=
υ
r

với α là một hằng số nào đó. Suy ra nếu r ≥ 0 ta nhận được.

υ(r) = blogr + c (n = 2)
hoặc

υ(r) =

b
rn−2

+ c (n ≥ 3)

ở đây b và c là các hằng số.
Định nghĩa 1.4
Hàm số

Φ(x) =

1
;
2π log|x|

n=2

(1.61)

và

Φ(x) =

1
1
;
n(n − 2)α(n) |x|n−2

n≥3

(1.62)

với x ∈ Rn ; x = 0 được gọi là nghiệm cơ bản của phương trình Laplace. Trong đó
α(n) là thể tích hình cầu đơn vị trong Rn

22


1.5

Tính duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet

1.5.1. Bài toán Dirchlet trong
Bài toán Dirchlet trong của phương trình Laplace được đặt ra như sau:
Giả sử Ω là miền giới nội trong Rn với biên là S trơn từng mảnh và f (P ) là
một hàm liên tục trên S.
Tìm hàm u(P ) điều hòa trong Ω, liên tục trong miền đóng Ω ∪ S sao cho tại
biên S giá trị của hàm trùng với hàm f (P ) nói trên, tức là:

u

∆u(x) = 0,

x∈Ω

(1.63)

= f (P ),

P ∈ S.

(1.64)

S

Với bài toán Dirchlet trong, ta có định lý sau:
Định lý 1.7(Định lý 4.1.1, [1]) Nghiệm của bài toán Dirchlet trong đối với phương
trình Laplace là duy nhất.
Chứng minh. Giả sử bài toán (1.63), (1.64) có hai nghiệm u1 (P ) và u2 (P ).
Hai hàm u1 (P ) và u2 (P ) đều thỏa mãn (1.63), (1.64) nên hiệu:

υ(P ) = u1 (P ) − u2 (P )
sẽ thỏa mãn

∆υ = 0
υ

S

=0

. Do υ(P ) là hàm điều hòa, liên tục trong miền đóng Ω ∪ S triệt tiêu trên biên
S, nên theo hệ quả của Nguyên lý cực đại cho hàm điều hòa thì υ(P ) đồng nhất
bằng không trong Ω:
υ(P ) = u1 (P ) − u2 (P ).
Vậy

u1 (P ) = u2 (P ).

23


1.5.2. Bài toán Dirchlet ngoài
Bài toán Dirchlet ngoài của phương trình Laplace được đặt ra như sau:
Giả sử Ω là miền bên ngài miền Ω cũng với mặt biên S kín và f (P ) là hàm
cho trước liên tục trên S.
Tìm hàm u(P ) điều hòa trong Ω, liên tục trong miền đóng Ω ∪ S sao cho tại
biên S, giá trị của hàm trùng với hàm f (P ) nói trên.
Như vậy, nếu u(P ) là nghiệm của bài toán, thi ta có

u

S

∆u = 0

(1.65)

P ∈S

(1.66)

= f (P ),

và ngoài ra, khi độ dài r = OP → ∞, ta có thêm đánh giá

|u(P )| ≤

A
r

(1.67)

với A là hằng số dương nào đó phụ thuộc vào hàm u(P ) Cũng như trước, ta có
có định lý sau:
Định lý 1.8.(Định lý 4.6.1, [1]) Bài toán Dirchlet ngoài (1.65), (1.66), (1.67) chỉ
có nghiệm duy nhất.
Chứng minh. Thực vậy, giả sử bài toán có hai nghiệm u1 (P ) và u2 (P ) thỏa mãn

∆u1 (P ) = 0
u1 |S = f (P ),

P ∈S
A1
|u1 (P )| ≤
r

và

∆u2 (P ) = 0
u2 |S = f (P ),

P ∈S
A2
|u2 (P )| ≤
r

Như vậy khi xét hiệu

υ(P ) = u1 (P ) − u2 (P )
24