ÁP DỤNG TÍNH đơn điệu của hàm số để CHỨNG MINH bất ĐẲNG THỨC và tìm GIÁ TRỊ lớn NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT của BIỂU THỨC đại số

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (282.45 KB, 26 trang )

Dơng Quang Hng Lê Mạnh Hùng

Trờng THCS & THPT Hai Bà Trng

phần A : mở đầu

I. lý do chọn đề tài :
Nhà toán học lỗi lạc RENE DESCARTES đã từng nói : Toán học là cánh cửa và là
chìa khoá để đi vào các ngành khoa học khác .
Trong chơng trình toán THPT , kiến thức về phần bất đẳng thức và giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất là một phần rất quan trọng. Tuy nhiên trong nhiều bài toán khi sử dụng
các phơng pháp : sử dụng các bất đẳng thức cổ điển, phơng pháp đánh giá, phơng pháp
quy nạp toán học, phơng pháp lợng giác,..đôi khi gặp nhiều khó khăn. Vì vậy, khi dạy
đến phần kiến thức tính đơn điệu của hàm số tôi nhận thấy áp dụng kiến thức này vào
sẽ giải quyết đợc một lớp các bài toán về bất đẳng thức hoặc giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của biểu thức đại số và cho ta một lời giải ngắn gọn hơn.
Xuất phát từ thực tiễn công tác ôn thi Đại học kết hợp với sự tham khảo ý kiến của các
đồng nghiệp nhóm chúng tôi xây dựng chuyên đề áp dụng tính đơn điệu của hàm số
để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức
đại số .
Với phơng pháp này chúng tôi hi vọng sẽ có tác dụng trong việc rèn luyện t duy
Toán học và là nguồn tài liệu không nhỏ giúp các em học sinh luyện tập nâng cao kiến
thức phục vụ cho kỳ thi Đại học.
II. Mục đích nghiên cứu:
- Trang bị cho học sinh về một phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số mang lại hiệu quả rõ nét.
- Bồi dỡng cho học sinh về phơng pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khả
năng t duy, sáng tạo và hình thành nhiều cách giải khác nhau.
III. Đối tợng nghiên cứu:
- Các dạng toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất nằm
trong chơng trình toán phổ thông .

- Phân loại các dạng toán thờng gặp và phơng pháp giải mỗi dạng.
IV. phơng pháp nghiên cứu:
-Tham khảo sách, báo, tài liệu.
- Thực tiễn giảng dạy.
V. Đối tợng học sinh :
- Học sinh lớp 12
VI.dự kiến số tiết giảng dạy :
8 tiết
Chuyên đề : áp dụng tính đơn điệu của hàm số dể chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số.
-1-

Trờng THCS & THPT Hai Bà Trng

Dơng Quang Hng Lê Mạnh Hùng

Phần B : nội dung

I. Lý thuyết
I.1. Định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.
+) Số M đợc gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu:
x D : f(x) M

x 0 D : f(x 0 ) = M

f(x)
Kí hiệu M = max
D

+) Số m đợc gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu:
x D : f(x) m

x 0 D : f(x 0 ) = m

f(x)
Kí hiệu m = min
D

f(x), min f(x) có thể không tồn tại.
+) Chú ý: max
D
D
I.2.Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.
Bài toán : Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [ a; b ] và chỉ có một số hữu hạn
f(x) và min f(x) .
điểm tới hạn trên đoạn đó. Hãy tìm max
[ a; b ]
[ a; b ]
Cách giải.
-Tìm các điểm tới hạn x1, x2, , xn của f(x) trên đoạn [ a; b ] .
-Tính f(a), f(x1), f(x2), , f(xn), f(b).
Chuyên đề : áp dụng tính đơn điệu của hàm số dể chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số.
-2-

Dơng Quang Hng Lê Mạnh Hùng
Trờng THCS & THPT Hai Bà Trng

- Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số f(a), f(x1), f(x2), , f(xn), f(b).
f(x) ;
Khi đó: M = max
[ a; b ]

.

m = min f(x) .
[ a; b ]

Chú ý: Nếu hàm số y=f(x) không có điểm tới hạn nào trên đoạn [ a; b ] thì f(x) giữ
nguyên dấu trên đoạn đó, tức là f(x) hoặc đồng biến, hoặcnghịch biến.
f(x) = f(a) .
f(x) = f ( b ) và min
+) f(x) đồng biến trên đoạn [ a; b ] thì : max
[ a; b ]
[ a; b ]
f(x) = f(b) .
f(x) = f ( a ) và min
+) f(x) nghịch biến trên đoạn [ a; b ] thì : max
[ a; b ]
[ a; b ]

I.3.Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng.
f(x) , min f(x) .
Bài toán : Cho hàm số y =f(x) liên tục trên khoảng (a; b). Tìm max
( a; b )
( a; b )
Cách giải :
- Lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x) trên khoảng (a; b) rồi dựa vào bảng biến

thiên ta suy ra đợc giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Nếu trên khoảng (a; b) hàm số f(x) có một cực trị duy nhất là cực đại (hoặc cực tiểu)
thì giá trị cực đại đó là giá trị lớn nhất (hoặc giá trị cực tiểu đó là giá trị nhỏ nhất) của
hàm số đã cho trên (a; b).
II.Các dạng bài tập: Các dạng đợc phân chia từ đơn giản đến phức tạp.
II.1 .Dạng 1 : Đối với một lớp các bất đẳng thức mt biến. Đạo hàm một lần sau đó sử
dụng bảng biến thiên ta có ngay kết quả.
Bài toán 1 : Đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2004
2
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : y = ln x trên đoạn 1;e3 .
x

(2 ln x)ln x
x2
Từ đó ta có bảng biến thiên sau :
Lời giải : Ta có: y ' =

Chuyên đề : áp dụng tính đơn điệu của hàm số dể chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số.
-3-

Trờng THCS & THPT Hai Bà Trng

Dơng Quang Hng Lê Mạnh Hùng
x

1

lnx

0

2-lnx
y'

0

e2
+

e3
+

+

0

_

+

0

_

y

Vậy :

Max
y = y(e 2 ) =
3
1;e

4
e2

khi x = e2 ,

9
Min
y = Min y(1);y(e 3 ) = M in 0; 3 = 0 khi x = 1.
3
1;e
e

Bài toán 2 : Đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2003

{

}

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : y =
Lời giải : Ta có: y' =

(x

x +1
x2 + 1

trên đoạn [ 1;2 ] .

1 x
2

+1

)

x2 + 1

Từ đó ta có bảng biến thiên sau :
x
y'

-1

2

1
+

0

_

y

Vậy :

Max y = y(1) = 2
[ 1;2]

khi x = 1,

3
Min y = Min { y( 1);y(2)} = M in 0; = 0 khi x =-1.
[ 1;2]
5

Bài toán 3 : Đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2003
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : y = x + 4 x 2 trên đoạn [ 2;2 ] .

Chuyên đề : áp dụng tính đơn điệu của hàm số dể chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số.
-4-

Trờng THCS & THPT Hai Bà Trng

Dơng Quang Hng Lê Mạnh Hùng

4 x2 x ,
4 x2 x
y' = 0
=0x= 2

4 x2
4 x2
. Từ đó ta có bảng biến thiên sau :
Lời giải :Ta có: y ' =

-2

x

0

y'

2

2

+

_

0

y

Max y = y( 2) = 2 2

Vậy :

khi x =

[ 2;2]

2,

Min y = Min { y( 2);y(2)} = M in { 2; 2} = 2
[ 2;2]

khi x =-2.

Bài toán 4 : Đề thi Học sinh giỏi toán 12- năm 2009
5 4a 1 + a
5 4a + 2 1 + a + 6

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : P =
trong đó a là tham số thực và -1 a
Lời giải : Xét hàm số P(a) =

5
.
4

5
5 4a 1 + a
trên -1; .
4
5 4a + 2 1 + a + 6

(

) (

2
1

ữ 5 4a + 2 1 + a + 6
5 4a 2 1 + a

P '(a) =

(

=

)

2
1

5 4a 1 + a
+
ữ
5 4a
1+ a

5 4a + 2 1 + a + 6

)

2

6 1 + a + 12 3 5 4a + 6

5 4a
2 1 + a < 0, a 1; 5

4ữ
5 4a + 2 1 + a + 6

5
Suy ra hàm số P(a) luôn nghịch biến trên -1;
4
Max P(a) = P(1) =
5
-1; 4

1
khi a = 1 ;
3

5

1
5
Min P(a) = P( ) =
khi a =
5
4
6
4
-1;

4

Chuyên đề : áp dụng tính đơn điệu của hàm số dể chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số.
-5-

Dơng Quang Hng Lê Mạnh Hùng
Trờng THCS & THPT Hai Bà Trng
Bài tập tự luyện:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
trên đoạn [ 3; 6 ]

a/ y = x 1 + 9 x

(Đề thi tuyển sinh Học Viện Quan Hệ Quốc Tế 2001)
b/ y = x 2 + 4 x
c/ y = 3 1 x + 3 1 + x
d/ y = 3x + 10 x 2

e/ y = (3 x) x 2 + 1 trên đoạn [ 0; 2 ]
II.2. Dạng 2 : Đối với một lớp các bất đẳng thức nhiều biến, ta có thể quy về bất đẳng
thức một biến. Dựa vào điều kiện của bài toán ta rút biến này theo biến kia rồi thay vào
bất đẳng thức cần chứng minh hay biểu thức đại số cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất.
Trong phơng pháp này ta cần chú ý :
+) Rút biến nào theo biến nào để bài toán đợc thuận lợi.
+) Tìm điều kiện cho biến còn lại dựa vào điều kiện của giả thiết.
Bài toán 1 : Cho x, y là các số không âm thoả mãn x + y = 1 .Tìm giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của biểu thức : A =

x
y
+
y +1 x +1

Lời giải :
Từ giả thiết ta suy ra : y = 1- x . Do x,y 0; x + y = 1 nên 0 x 1
Khi đó : A = f(x) =

x
1 x
+
2 x x +1

Khảo sát hàm số f(x) trên [ 0;1] , ta có :

f '(x) =

2

( 2 x)

2

2

( x + 1)

2

=

6 ( 2x 1)

( 2 x ) ( x + 1)
2

2

1
2
Ta có bảng biến thiên :
f '(x) = 0 x =

Chuyên đề : áp dụng tính đơn điệu của hàm số dể chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số.
-6-

Trờng THCS & THPT Hai Bà Trng

Dơng Quang Hng Lê Mạnh Hùng

1
2

0

x

_

f'(x)

0

1
+

f(x)

1 2
Từ đó ta có : M in A = f( ) = ;
MaxA = f(0) = f(1) = 1
2 3
Bài toán 2 : Đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2009
Cho x,y 0 và x + y = 1 .Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :

(

)(

)

S = 4x 2 + 3y 4y 2 + 3x + 25xy
Lời giải : Từ x + y = 1 y = 1 x
Suy ra : S = 16x 4 32x 3 + 18x 2 2x + 12
Xét hàm số: f(x) = 16x 4 32x 3 + 18x 2 2x + 12 với x [ 0;1]

f '(x) = 64x 3 96x 2 + 36x 2
1

x
=

2

2+ 3

f '(x) = 0 x =
4

2 3

x
=

4

Từ đó suy ra đợc :

2 3
2+ 3
x
=

x =

191
4
4
hoặc
khi
MinS =
16
y = 2 + 3
y = 2 3

4
4

MaxS =

25

khi
2

x=y=

1
2

Bài toán 3: Cho x,y,z [ 0;2 ] . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
Chuyên đề : áp dụng tính đơn điệu của hàm số dể chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số.
-7-

Dơng Quang Hng Lê Mạnh Hùng
Trờng THCS & THPT Hai Bà Trng
A = 2(x + y + z) (xy + yz + zx)
Lời giải :
Ta có nhận xét sau:
+) Cố định y, z thì A chỉ phụ thuộc vào một biến x.
+) Biểu thức A có thể viết lại nh sau :

A = f(x) = (2 y z)x + 2(y + z) yz
+) Hàm số y=f(x) là hàm hằng hoặc hàm số bậc nhất theo biến x và x [ 0;2 ]

f(0) = 4 yz 4, do y,z [ 0;2 ]
f(2) = 2 ( y + z ) yz = 4 ( 2 y ) ( 2 z ) 4, do y, z [ 0;2 ]
f(x) = max { f(0);f(2)} 4
Suy ra Max
[ 0;2]

Ta nhận thấy khi x=0, y=0, z=2 thì A=4
Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 2.
Bài toán 4: Cho x, y, z l ba s thc dng cú tng bng 3.Tỡm giỏ tr nh nht ca biu
thc
P = 3( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 xyz .
Lời giải :
Ta cú:
P = 3 ( x + y + z ) 2 2( xy + yz + zx ) 2 xyz

= 3[ 9 2( xy + yz + zx) ] 2 xyz

= 27 6 x( y + z ) 2 yz ( x + 3)
( y + z)2
27 6 x(3 x)
( x + 3)
2
1
= ( x3 + 15 x 2 27 x + 27)
2
Xột hm s f ( x) = x 3 + 15 x 2 27 x + 27 ,
x =1
f , ( x) = 3 x 2 + 30 x 27 = 0
x = 9
x
y

0
+

1
0
14

3

vi 0
+

-

y
Chuyên đề : áp dụng tính đơn điệu của hàm số dể chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số.
-8-

Trờng THCS & THPT Hai Bà Trng

Dơng Quang Hng Lê Mạnh Hùng

T bng bin thiờn suy ra MinP=7 x = y = z = 1 .
Bài toán 5: Đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2012
Cho cỏc s thc x, y, z tha món cỏc iu kin x + y + z = 0 v x 2 + y 2 + z 2 = 1. Tỡm giỏ
tr ln nht ca biu thc P = x5 + y 5 + z 5 .
Lời giải : Vi x + y + z = 0 v x 2 + y 2 + z 2 = 1, ta cú:
0 = ( x + y + z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2 x( y + z)+ 2 yz =1 2 x 2 + 2 yz, nờn

yz = x 2

1
2

2
2
2
2
Mt khỏc yz y + z = 1 x , suy ra x 2 1 1 x , do ú 6 x 6 (*)
2
2
2
2
3
3
Khi ú: P = x5 + ( y 2 + z 2 )( y3 + z 3 ) y 2 z 2 ( y + z)
2

1

= x + (1 x ) ( y + z )( y + z ) yz ( y + z ) + x 2 ữ x
2

2
5
2 1 2 1
5
2
2

= x + (1 x ) x(1 x ) + x x ữ + x ữ x = (2 x 3 x).
2
2
4

5

2

2

2

6 6
;
Xột hm f ( x) = 2 x 3 x trờn
,
3
3

suy ra f ( x) = 6 x 2 1 ;

f ( x) = 0 x =

6
6

6
6

6
6
6
6
, f
ì Do ú f ( x) 6 ì
Ta cú f
ữ= f
ữ=
ữ= f
ữ=
9
9
3
6
3
6 9
5 6
Suy ra P
ì
36
6
6
5 6
Khi x =
, y=z=
ì

thỡ du bng xy ra. Vy giỏ tr ln nht ca P l
3
6
36
Bài tập tự luyện:

x3
y3
Bài 1: Cho x,y > 0 và xy=1.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: S =
+
1+ y 1+ x
Bài 2: Cho x, y, z l cỏc s thc khụng õm tha món x + y + z = 1 .
Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc A = xy + yz + zx 2 xyz .
Bài 3: Cho x [ 0;1] ,y [ 0;2 ] .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Chuyên đề : áp dụng tính đơn điệu của hàm số dể chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số.
-9-

Trờng THCS & THPT Hai Bà Trng

Dơng Quang Hng Lê Mạnh Hùng
S = ( 1 x ) ( 2 y ) (4x 2y)

II.3. Dạng 3 : Đối với một lớp các bất đẳng thức nhiều biến.
Trong bài toán có chứa các biểu thức đối xứng đối với x,y ta quy đợc về x + y , x.y và
chú ý đến các kết quả sau :

(

)

Với mọi x, y ta luôn có : ( x + y ) 4xy ,x 2 + y 2 2xy, 2 x 2 + y 2 ( x + y ) .
2

2

Từ đó ta có hớng đặt ẩn phụ sao cho thuận lợi.
Bài toán 1 : Cho x, y l cỏc s thc dng tha món x + y = 1. Tỡm giỏ tr nh nht ca

1

2

2
biu thc: P = x + 2 ữ y + 2 ữ
y
x

Lời giải :
1
2
Ta cú P = 2 + ( xy ) +
(xy) 2
x, y > 0
1
Do
nờn 1 = x + y 2 xy 0 < xy .
4

x + y = 1
1
2
t t = ( xy ) , iu kin ca t l 0 < t
16
1
Khi ú biu thc P = f ( t ) = 2 + t +
t
2
t 1
1
f ' ( t ) = 2 ; ta thy f ' ( t ) < 0 vi mi t 0; ,
t
16
1
suy ra hm s f(t) nghch bin trờn na khong 0;
16
1

1 289
Suy ra giỏ tr nh nht ca biu thc P l: min P = min1 f ( t ) = f ữ =
.
t(0; ]
16 16
16
Bài toán 2 : Đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2009
Cho x,y 0 và x + y = 1 .Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :

(

)(

)

S = 4x 2 + 3y 4y 2 + 3x + 25xy

(
+ 12 ( x + y ) ( x

)(

)

(

)

Lời giải : Ta có : S = 4x 2 + 3y 4y 2 + 3x + 25xy = 16x 2 y 2 + 12 x 3 + y 3 + 34xy

= 16x 2 y 2

2

)

xy + y 2 + 34xy

2
= 16x 2 y 2 + 12 ( x + y ) ( x + y ) 3xy + 34xy

= 16x 2 y 2 2xy + 12
Chuyên đề : áp dụng tính đơn điệu của hàm số dể chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số.
- 10 -

Dơng Quang Hng Lê Mạnh Hùng
Trờng THCS & THPT Hai Bà Trng
2
1
Đặt t = xy, 0 xy ( x + y ) = 1 nên 0 t
4
4
4
Xét hàm số f(t) = 16t 2 2t + 12 , với 0 t

1
;
4

f '(t) = 32t 2

Từ đó ta có bảng biến thiên sau :
0

t

1

1

16

4

_

f'(t)

0

+

f(t)

1
191
M
inf(t)
=
f(
)
=
Từ đó suy ra : 1
16
16
0;
4

1

25 25
Max f(t) = Max f(0);f( ) = Max 12; =
1
4
2 2

0;
4

2 3
2+ 3
x =
x =

191
4
4
khi
hoặc
MinS =
16

y = 2 + 3
y = 2 3

4
4

25
1
khi x = y =
2
2
Bài toán 3 : Đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2009
MaxS =

(

) (

)

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : A = 3 x 4 + y 4 + x 2 y 2 2 x 2 + y 2 + 1
với x, y là các số thoả mãn điều kiện : ( x + y ) + 4xy 2
3

Lời giải :
Dựa vào bất đẳng thức hiển nhiên : ( x + y ) 4xy
2

Suy ra: ( x + y ) + ( x + y ) ( x + y ) + 4xy 2

3

2

3

( x + y) + ( x + y) 2 0
3

2

Chuyên đề : áp dụng tính đơn điệu của hàm số dể chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số.
- 11 -

Dơng Quang Hng Lê Mạnh Hùng
2
( x + y ) 1 ( x + y ) + ( x + y ) + 2 0

Mà x + y

2

2

1 7

(do ( x + y ) + ( x + y ) + 2 = ( x + y ) + + > 0)
2 4

2

x + y 1
2

Trờng THCS & THPT Hai Bà Trng

( x + y)

2

2
Ta biến đổi A nh sau :

(

)

nên x 2 + y 2

(

1
2

)

A = 3 x 4 + y 4 + x 2y 2 2 x 2 + y 2 + 1

=

3 2
x + y2
2

(

Đặt f(t) =

)

2

+

3 4
9
x + y 4 2 x2 + y2 + 1 x2 + y2
2
4

(

) (

)

(

)

2

(

)

2 x2 + y2 + 1

9 2
1
t 2t + 1 với t
4
2

9
f '(t) = t 2
2
Từ đó ta có bảng biến thiên sau :
t

4

1

9

2

+

f'(t)

+

f(t)

Vậy

1
9
9
M inf(t) = f( ) =
. Từ đó suy ra A
1

2
16
16
2 ;+ ữ

Ta cũng dễ thấy khi x = y =

1

9
thì A =
2
16

9
1
khi x = y =
16
2
Bài toán 4 : Đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A,B năm 2008
Tóm lại, M in A =

Cho x, y là các số thực thoả mãn : x 2 + y 2 = 2 .

(

)

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : P = 2 x 3 + y 3 3xy
Lời giải :
Chuyên đề : áp dụng tính đơn điệu của hàm số dể chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số.
- 12 -

Trờng THCS & THPT Hai Bà Trng

Dơng Quang Hng Lê Mạnh Hùng
2

x
+
y
2
(
)
Ta có : xy =
2

(

)

Khi đó : P = 2 ( x + y ) x 2 xy + y 2 3xy = 2 ( x + y ) ( 2 xy ) 3xy
2
2

x + y) 2
x + y) 2
(
(
ữ 3
= 2( x + y) 2

ữ
2
2

(

)

Ta có nhận xét : ( x + y ) 2 x 2 + y 2 = 4 2 x + y 2
2

Đặt t = x + y 2 t 2

t2 2
t2 2
3
P = 2t 2
= t 3 t 2 + 6t + 3
ữ 3
2
2
2

3
Từ đó ta xét hàm số : f(t) = t 3 t 2 + 6t + 3 với 2 t 2
2
f '(t) = 3t 2 3t + 6
Bảng biến thiên :
1

-2

t

f'(t)

+

0

2
_

f(t)

Từ đó suy ra : Max f(t) = f(1) =
[ 2;2]

13
2

Min f(t) = Min { f( 2);f(2)} = Min { 7;1} = 7
[ 2;2]

Chuyên đề : áp dụng tính đơn điệu của hàm số dể chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số.
- 13 -

Trờng THCS & THPT Hai Bà Trng

Dơng Quang Hng Lê Mạnh Hùng

1

x =
2

1+
y
=

x 2 + y 2 = 2
2
13

khi

MaxP =

2
x + y = 1
1+
x =
2

1
y =
2

3
3
3
3

x 2 + y 2 = 2
x = y = 1
MinP = 7 khi
x
+
y
=

2

Bài toán 5 : Đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2013
Cho x, y l cỏc s thc dng tha món iu kin xy y 1 . Tỡm giỏ tr ln nht ca biu
thc : P =

x+ y
x 2 xy + 3 y 2

x 2y
6( x + y ) .

Lời giải :
2

1 1 1 1
x 1 1
T gi thit ta cú: xy y 1 2 = ữ +
y y y
y 2 4 4

x
+1
y

x
2
x+ y
x 2y
y
P=

=

2
x
x 2 xy + 3 y 2 6( x + y )
x x
6 + 1ữ

+
3
yữ y
y

x
1
t t = , iu kin 0 < t
y
4
t 2
t 2 t + 3 6(t + 1)
t +1
t 2
1

Xột f ( t ) = 2
vi 0 < t
4
t t + 3 6(t + 1)
3t + 7
1
f (t ) =

2
3
2 ( t + 1)
2 t2 t + 3
P=

t +1

(

)

Chuyên đề : áp dụng tính đơn điệu của hàm số dể chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số.
- 14 -

Dơng Quang Hng Lê Mạnh Hùng
Trờng THCS & THPT Hai Bà Trng
3t + 7
8 5
1
1
1
t 0; :

,
<
2
27
2
4 2 ( t 2 t + 3) 3
2 ( t + 1)
1
f '(t ) > 0 t 0; f ng bin trờn
4

Vy Pmax =

1
1 7 + 10 5
0; f (t ) f ữ =
30
4
4

1
7 + 10 5
khi x = , y = 2
2
30

Bài tập tự luyện :
2
2
2
Bài 1: Cho cỏc s thc khụng õm x, y,z tho món x + y + z = 3 .
5
Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: A = xy + yz + zx +
.
x+y+z

(x
Bài 2: Cho x,y R v x, y > 1. Tỡm giỏ tr nh nht ca P =

3

+ y3 ) ( x2 + y2 )

( x 1)( y 1)

Bài 3: Cho x,y,z tho món l cỏc s thc: x 2 xy + y 2 = 1 .

x4 + y4 +1
Tỡm giỏ tr ln nht ,nh nht ca biu thc P = 2
x + y2 +1
Bài 4: Cho x, y l cỏc s thc tha món x 2 + y 2 xy = 1 .
Tỡm giỏ tr ln nht ,nh nht ca biu thc F = x 6 + y 6 2 x 2 y 2 xy
Bài 5: Đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2013
Cho a, b, c l cỏc s thc dng. Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc:
P=

4
a 2 + b2 + c 2 + 4

9
.
( a + b) (a + 2c )(b + 2c)

II.4 . Dạng 4 : Đối với một lớp các bất đẳng thức nhiều biến khác, nhng ta nhận thấy
các biến có thể xử lý đợc một cách riêng lẻ ta cũng thờng tìm cách phân
ly các biến và đa ra một hàm đặc trng để khảo sát.
- Đối với dạng này thì tuỳ vào cấu trúc của bài toán mà ta có cách phân ly các biến.
Bài toán 1: Chứng minh rằng : a b < b a , a > b e
Chuyên đề : áp dụng tính đơn điệu của hàm số dể chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số.
- 15 -

Trờng THCS & THPT Hai Bà Trng

Dơng Quang Hng Lê Mạnh Hùng
Lời giải :

a b < b a ln a b < ln b a b ln a < a ln b
Xét hàm số f(x) =

ln a ln b
<
a
b

ln x
1 ln x
, x e . Ta có : f '(x) =
0, x e
x
x2

ln a ln b
<
a b < ba
a
b
Bài toán 2: ( Đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A, B 2009 )
f(x) giảm trên [ e;+ ) f(a) < f(b)

Cho 0< a< b< 1 . Chứng minh rằng : a 2 ln b b 2 ln a > ln a ln b
Lời giải :

(

)

(

)

Ta có : a 2 ln b b 2 ln a > ln a ln b a 2 + 1 ln b > b 2 + 1 ln a

Xét hàm số f(t) =

ln b
ln a
> 2
2
b +1 a +1

ln t
, với 0 < t <1
t +1
2

1 + t2
2t ln t 1 + t 2 2t 2 ln t
t

f '(t) =
=
> 0 ( do 0 < t < 1)
2
2
2
2
t +1
t t +1

(

)

(

)

Do đó hàm số f(t) là hàm số đồng biến trên (0;1).

ln a
ln b
<
a2 + 1 b2 + 1
Từ đó suy ra điều cần phải chứng minh.
Bài toán 3: ( Đề thi tuyển sinh Đại học khối D 2007 )
Vì 0
b