Nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân thường cấp hai phi tuyến

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
***************

DƯƠNG MINH NGỌC

NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN THƯỜNG CẤP HAI PHI TUYẾN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC


Chuyên ngành: Giải tích

HÀ NỘI - 2015

2


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
***************

DƯƠNG MINH NGỌC

NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN THƯỜNG CẤP HAI PHI TUYẾN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học
TS. TRẦN VĂN BẰNG

HÀ NỘI - 2015


LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Trần Văn Bằng - Người
thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em để em hoàn thành bài khóa
luận của mình. Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong
tổ Giải tích và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thành
tốt bài khóa luận này.
Trong khuôn khổ có hạn của một bài khóa luận, do điều kiện thời
gian, do trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học
cho nên không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định. Vì vậy,
em kính mong nhận được những góp ý của các thầy cô và các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2015
Sinh viên

Dương Minh Ngọc


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới sự hướng
dẫn tận tình của TS. Trần Văn Bằng.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này em đã tham
khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Nghiệm tuần hoàn của

phương trình vi phân thường cấp hai phi tuyến” không có sự
trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.

Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2015
Sinh viên

Dương Minh Ngọc


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1. Phương trình vi phân cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Ví dụ về lược đồ pha qua phương trình con lắc đơn . . . . . . . .

4

1.3. Phương trình autonom trong mặt phẳng pha . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4. Chu trình giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Chương 2. Nghiệm tuần hoàn, phương pháp trung bình

14

2.1. Phương pháp cân bằng năng lượng cho chu trình giới hạn .

15

2.2. Ước lượng biên độ và tần số trong hệ tọa độ cực . . . . . . . . . .

22

2.3. Phương pháp trung bình với đường pha xoắn ốc . . . . . . . . . .

29

2.4. Nghiệm tuần hoàn: cân bằng điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.5. Phương trình tuyến tính tương đương nhờ cân bằng điều hòa . .
38
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

MỞ ĐẦU

Phương trình vi phân là một lý thuyết có ứng dụng quan trọng trong
thực tiễn, nó xuất hiện trên cơ sở phát triển của khoa học kĩ thuật và
những yêu cầu đòi hỏi của thực tế. Do vậy việc nghiên cứu phương trình
vi phân có ý nghĩa quan trọng. Trên thực tế việc giải các phương trình vi
phân không phải lúc nào cũng thực hiện được thậm chí là phương trình
tuyến tính. Khi đó, chúng ta buộc phải nghiên cứu các tính chất định
tính của chúng. Đối với phương trình vi phân cấp hai, có một phương
pháp hữu hiệu để nghiên cứu tính chất định tính là sử dụng mặt phẳng
pha (xem Chương 1). Ý tưởng chính là chuyển nghiên cứu phương trình
vi phân cấp hai autonom:
x¨ = f (x, x),
˙
về nghiên cứu một hệ phương trình vi phân cấp một:


x˙ = y

y˙

= f (x, y).

Một cách tự nhiên, chúng ta mở rộng xét hệ tổng quát hơn:


x˙ = X(x, y)

y˙

(I)

(II)

= Y (x, y).

Thực tế thì hệ (II) rất phức tạp, nhất là khi X, Y phi tuyến. Khi đó
người ta thường xét hệ tuyến tính hóa tương ứng (xem [5], Chương 2).
Đối với một số trường hợp hệ tuyến tính hóa không phải là một xấp xỉ
1


Khóa luận tốt nghiệp

Dương Minh Ngọc

tốt thì cần phải có những phương pháp hỗ trợ khác (xem [5], Chương 3
về các hướng hình học). Đối với một số hệ (phương trình cấp hai tương
ứng) có hệ xấp xỉ tuyến tính (có phương trình xấp xỉ tuyến tính) có
nghiệm tuần hoàn thì chúng có thể sử dụng phương pháp trung bình
hóa để nghiên cứu.
Vì vậy, em đã mạnh dạn chọn đề tài: “Nghiệm tuần hoàn của
phương trình vi phân thường cấp hai phi tuyến”. Nội dung đề
cập trong khóa luận được trình bày trong hai chương:
Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân
cấp hai và khái niệm mặt phẳng pha, phương trình autonom trong mặt
phẳng pha, chu trình giới hạn của phương trình vi phân ...
Chương 2 trình bày về nghiệm tuần hoàn trong mặt phẳng pha x˙ =
y, y˙ = Y (x, y), phương pháp trung bình, và phương pháp cân bằng điều

hòa.
Do là lần đầu thực tập nghiên cứu, thời gian có hạn và năng lực
bản thân còn hạn chế nên chắc chắn bài nghiên cứu này khó tránh khỏi
những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy
cô và bạn đọc để đề tài này hoàn chỉnh và đạt kết quả cao hơn.

2


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Phương trình vi phân cấp hai
Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng
F (x, y, y , y ) = 0,

(1.1)

ở đây x là biến độc lập, y(x) là hàm chưa biết và y (x), y (x) là các đạo
hàm của nó. Nếu giải được phương trình (1.1) đối với y , nó có dạng
y = f (x, y, y ).

(1.2)

Định lý 1.1 (Sự tồn tại và duy nhất nghiệm). Xét phương trình (1.2).
∂f
∂f
Nếu f (x, y, y ),
(x, y, y ) và
(x, y, y ) liên tục trong một miền D
∂y

∂y
nào đó trong R3 và nếu (x0 , y0 , y0 ) là một điểm thuộc D thì trong một
lân cận nào đó của điểm x = x0 , tồn tại một nghiệm duy nhất y = y(x)
của phương trình (1.2) thỏa mãn các điều kiện
y|x=x0 = y0 , y |x=x0 = y0 .

(1.3)

Bài toán tìm nghiệm của phương trình (1.2) thỏa mãn điều kiện (1.3)
được gọi là bài toán Cauchy của phương trình (1.2).
3


Khóa luận tốt nghiệp

Dương Minh Ngọc

Nghiệm tổng quát của phương trình (1.2) là hàm y = ϕ(x, C1 , C2 ),
trong đó C1 , C2 là các hằng số tùy ý thỏa mãn điều kiện sau:
(i) Nó thỏa mãn phương trình (1.2) với mọi C1 , C2 ,
(ii) Với mọi (x0 , y0 , y0 ) ở đó các điều kiện của định lý tồn tại và duy
nhất nghiệm được thỏa mãn, có thể tìm được các giá trị xác định
C1 = C10 , C2 = C20 sao cho hàm số y = ϕ(x, C10 , C20 ) thỏa mãn (1.3).
Hệ thức Φ(x, y, C1 , C2 ) = 0 xác định nghiệm tổng quát của phương
trình (1.2) dưới dạng ẩn được gọi là tích phân tổng quát của nó.
Nghiệm riêng của phương trình (1.2) là một hàm số y = ϕ(x, C10 , C20 )
nhận được bằng cách cho C1 , C2 trong nghiệm tổng quát các giá trị xác
định C10 , C20 . Hệ thức Φ(x, y, C10 , C20 ) = 0 được gọi là tích phân riêng.

1.2. Ví dụ về lược đồ pha qua phương trình con lắc

đơn
Con lắc đơn (xem Hình 1.2) bao gồm một phần tử P khối lượng m được
treo vào một điểm cố định O bởi một sợi dây hay thanh mảnh có độ dài
a, dao động trong mặt phẳng đứng. Nếu bỏ qua ma sát và sức cản thì
phương trình chuyển động của con lắc được viết là:
x¨ + ω 2 sinx = 0,

(1.4)

trong đó, x là góc nghiêng của dây so với phương thẳng đứng, g là gia
tốc trọng trường và ω 2 = g/a.

4


Khóa luận tốt nghiệp

Dương Minh Ngọc

Chúng ta chuyển phương trình (1.4) về dạng có chứa x˙ và x như sau:
dx˙
=
dt
d
=
dx

x¨ =

dx˙ dx

dx dt
1 2
x˙
2

(1.5)

Sự biểu diễn đó của x¨ được gọi là sự biến đổi năng lượng. Phương trình
d 1 2
x˙ + ω 2 sinx = 0.
(1.4) khi đó có dạng là:
dx 2

Hình 1.1: Con lắc đơn với độ dịch chuyển góc x.

Lấy tích phân phương trình theo biến x, ta được:
1 2
x˙ − ω 2 cosx = C,
2

(1.6)

trong đó, C là một hằng số tùy ý. Chú ý rằng, phương trình này biểu
diễn luật bảo toàn năng lượng trong mỗi chuyển động vì nếu ta nhân
1
phương trình (1.6) với ma2 thì ta được: ma2 x˙ 2 − mga.cosx = E,
2
trong đó, E là một hằng số tùy ý. Phương trình này có dạng:
E= động năng của P + thế năng của P
và mỗi giá trị riêng của E tương ứng với một chuyển động tự do riêng.

5


Khóa luận tốt nghiệp

Dương Minh Ngọc

Ta biểu diễn x˙ theo x từ (1.6) :
√
1
x˙ = ± 2(C + ω 2 cosx) 2 .

(1.7)

Đây là một phương trình vi phân cấp 1 đối với x(t). Phương trình này
không giải được qua các hàm sơ cấp cơ bản (xem [5]), nhưng ta sẽ chỉ
ra rằng ta có thể nhận được các đặc tính cơ bản của nghiệm từ phương
trình (1.7) mà không cần phải giải nó.
Ta đưa ra một biến mới y, được xác định như sau:
x˙ = y.

(1.8a)

Khi đó phương trình (1.7) trở thành:
√
1
y = ± 2(C + ω 2 cosx) 2 .

(1.8b)

Trong hệ tọa độ Đềcac Oxy, gọi là một mặt phẳng pha, ta vẽ họ các
đường cong của (1.8b) với các giá trị khác nhau của C. Ta được Hình
1.2. Nó được gọi là lược đồ pha của bài toán, và các đường cong được
gọi là các quỹ đạo pha (hay đường cong pha). Mỗi đường cong pha được
xác định bởi một giá trị của C. Các đường cong pha đi qua (−π, 0)
và (π, 0), ứng với C = ω 2 ; các đường bên trong các đường đó ứng với
−ω 2 < C < ω 2 ; còn các đường bên ngoài thì ứng với C > ω 2 . Phương
trình (1.8b) cho thấy sự tuần hoàn với chu kì 2π theo x và được chỉ ra
trên Hình 1.2.
Do các điểm O, A, B biểu diễn các trạng thái cân bằng vật lý, nên
chúng được gọi là các điểm cân bằng của lược đồ pha.

6


Khóa luận tốt nghiệp

Dương Minh Ngọc

Hình 1.2: Lược đồ pha cho phương trình con lắc đơn (1.4).

1.3. Phương trình autonom trong mặt phẳng pha
Xét phương trình vi phân cấp hai tổng quát x¨ = f (x, x,
˙ t)
Ta phân biệt các loại phương trình vi phân
(1) Loại autonom, ứng với f không phụ thuộc tường minh vào t;
(2) Loại không autonom ứng với f phụ thuộc tường minh vào t.
Trong chương này chúng ta chỉ đề cập tới phương trình autonom, được
cho bởi phương trình vi phân
x¨ = f (x, x),

˙

(1.9)

trong đó t vắng mặt ở vế phải của phương trình. Để nhận được biểu diễn
trong mặt phẳng pha, ta đặt


x˙ = y

(1.10)


y˙ = f (x, y).
Đây là một hệ phương trình cấp một, tương đương với (1.9).
Trong mặt phẳng pha với các trục x và y, trạng thái tại một thời điểm
t0 bao gồm cặp số (x(t0 ), y(t0 )), các giá trị x, y này, tương ứng với một
7


Khóa luận tốt nghiệp

Dương Minh Ngọc

điểm P trong mặt phẳng pha, cho ta một điều kiện ban đầu cho hệ
phương trình vi phân cấp một (1.10), và vì vậy xác định tất cả các trạng
thái, qua đó hệ thực hiện trong một chuyển động riêng. Các trạng thái
tiếp theo cho bởi phương trình tham số
x = x(t),

y = y(t),

(1.11)

vạch ra một đường cong qua điểm đầu P : (x(t0 ), x(t
˙ 0 )), gọi là đường
cong pha hay quỹ đạo pha.
Hướng của các quỹ đạo pha nhận được từ quan hệ (1.10). Khi y > 0
thì x˙ > 0, do đó x tăng theo thời gian; và khi y < 0, x giảm theo thời
gian. Vì vậy, các hướng sẽ từ trái sang phải ở nửa trên của mặt phẳng
pha, và từ phải sang trái ở nửa dưới của mặt phẳng pha.
Để có được mối liên hệ giữa x và t xác định các đường cong pha, ta khử
tham số t nhờ (1.10) và công thức:
y˙
dy
=
.
x˙
dx
Khi đó, phương trình vi phân xác định đường cong pha là:
dy
f (x, y)
=
.
dx
y

(1.12)

Một đường cong pha riêng được xác định bằng cách yêu cầu đi qua một

điểm cụ thể P : (x, y), tương ứng với trạng thái ban đầu (x0 , y0 ), trong
đó
y0 = y(x0 ).

(1.13)

Một hình vẽ đầy đủ về các đường cong pha bao gồm các mũi tên chỉ
hướng tạo thành lược đồ pha. Biến thời gian t không xuất hiện trên lược
đồ đó.
8


Khóa luận tốt nghiệp

Dương Minh Ngọc

Các điểm cân bằng trên lược đồ pha tương ứng với các nghiệm hằng
của phương trình (1.9), hoặc của hệ tương đương (1.10). Chúng xảy ra
khi đồng thời x,
˙ y˙ bằng 0; do đó là điểm thỏa mãn:
y = 0, và f (x, 0) = 0.

Hình 1.3: (a) Điểm biểu diễn P trên một đoạn của đường cong pha.

(1.14)

(b) Một đường cong

pha đóng: P đi từ A và trở về A vô hạn lần.

Sau đây chúng tôi tóm tắt các tính chất chính của phương trình
autonom x¨ = f (x, x),
˙ được biểu diễn trong mặt phẳng pha bởi hệ phương
trình



x˙ = y

(1.15)


y˙ = f (x, y)
(i) Phương trình cho các đường cong pha:
dy
f (x, y)
=
.
dx
y

(1.16)

(ii) Hướng của đường cong pha: từ trái sang phải ở nửa mặt phẳng trên,
từ phải sang trái ở nửa mặt phẳng dưới.
(iii) Điểm cân bằng: tại điểm (x, 0) với x là nghiệm của phương trình
f (x, 0) = 0; đại diện cho các nghiệm hằng.
9

Khóa luận tốt nghiệp

Dương Minh Ngọc

(iv) Giao điểm với trục x : các đường cong pha cắt trục x theo các góc
vuông, ngoại trừ tại các điểm cân bằng (xem (ii)).
(v) Thời gian chuyển: thời gian chuyển của điểm biểu diễn từ điểm A
đến điểm B dọc theo một đường cong pha cho bởi tích phân đường
TAB =
AB

dx
.
y

(1.17)

(vi) Đường cong pha kín: các đường cong pha kín biểu diễn các nghiệm
tuần hoàn theo thời gian.
(vii) Họ các nghiệm tuần hoàn theo thời gian: giả sử x1 (t) là một nghiệm
riêng của x¨ = f (x, x)
˙ khi đó, các nghiệm x1 (t − t1 ), với t1 bất kỳ,
cho cùng một đường cong pha và cùng điểm biểu diễn.

1.4. Chu trình giới hạn
Xét hệ autonom
x¨ = f (x, x),
˙
trong đó f là một hàm phi tuyến, và f có dạng
f (x, x)

˙ = −h(x, x)
˙ − g(x),
khi đó phương trình vi phân, trở thành
x¨ + h(x, x)
˙ + g(x) = 0

10

(1.18)


Khóa luận tốt nghiệp

Dương Minh Ngọc

và hệ phương trình cấp một tương đương xác định các đường cong pha
là



x˙ = y

(1.19)


y˙ = −h(x, y) − g(x).
Đường tròn trong Hình 1.4 là một đường cong cô lập kín: ’cô lập’ được
hiểu theo nghĩa là không có đường cong kín nào khác trong lân cận của
nó. Một đường cong cô lập kín được gọi là một chu trình giới hạn, khi
tồn tại, nó luôn luôn là một trong những đặc điểm quan trọng nhất của

hệ vật lý. Chu trình giới hạn chỉ có thể xảy ra trong các hệ phi tuyến.
Các chu trình giới hạn trong Hình 1.4 là một chu trình giới hạn ổn định,
vì nếu hệ được nhiễu từ trạng thái dao động trên chu trình giới hạn thì
nó sẽ sang một đường cong pha mới.

Hình 1.4: Hai đường cong pha tiếp cận chu trình giới hạn ổn định x2 + y 2 = 1 sinh bởi hệ
x
¨ + (x2 + x˙ 2 − 1)x˙ + x = 0.

Ngoài ra cũng tồn tại chu trình giới hạn không ổn định, khi mà các
đường cong pha lân cận ở một bên này hay bên kia đi ra xa chu trình
11


Khóa luận tốt nghiệp

Dương Minh Ngọc

giới hạn. Một ví dụ quan trọng về một chu trình giới hạn ổn định là
đồng hồ quả lắc. Năng lượng được lưu trữ trong quả lắc luôn bù lại năng
lượng trung bình bị thất thoát của hệ, điều này sẽ giúp con lắc đung
đưa. Sự cân bằng được tự động thiết lập giữa tỉ lệ năng lượng cung cấp
và năng lượng mất mát do ma sát trong trường hợp có chu trình giới
hạn ổn định, đảm bảo tính tuần hoàn ngặt, và tự khôi phục từ nhiễu
đột ngột bất kì .
Phương trình có dạng
x¨ = f (x),
là hệ bảo toàn, không thể dẫn tới một chu trình giới hạn.

Bằng cách sử dụng tọa độ lược đồ pha của phương trình vi phân dạng

x¨ + h(x, x)
˙ + g(x) = 0 được thể hiện rõ ràng hơn.
Gọi r, θ là tọa độ cực, trong đó x = r cos θ, y = r sin θ, ta có:
r2 = x2 + y 2 ,

tan θ =

y
.
x

Đạo hàm các phương trình này theo biến thời gian t,
˙
˙ 2 θ = xy˙ − xy
θsec
.
x2

2rr˙ = 2xx˙ + 2y y,
˙
Từ đó, ta có
r˙ =

xy˙ − xy
˙
θ˙ =
.
r2

xx˙ + y y˙

,
r

Tiếp theo, chúng ta sẽ thay
x = r cos θ,

x˙ = y = r sin θ
12

(1.20)


Khóa luận tốt nghiệp

Dương Minh Ngọc

và y˙ (nhận được từ phương trình vi phân ban đầu) vào các biểu thức
trên để nhận được hệ phương trình vi phân cấp một trong hệ tọa độ cực.

13


Chương 2
Nghiệm tuần hoàn, phương pháp
trung bình
Xét phương trình dạng x¨ + εh(x, x)
˙ = 0 trong đó ε là nhỏ. Phương trình
như vậy hiểu theo một phương diện nào đó gần với phương trình điều
hòa đơn giản x¨ + x = 0 có lược đồ pha gần với các đường tròn có tâm ở
gốc tọa độ. Điều đó cho thấy ta có thể xây dựng các nghiệm xấp xỉ: các

đường cong gần tròn khi ε đủ nhỏ. Tuy nhiên, phương trình ban đầu nói
chung sẽ không có tâm ở gốc tọa độ. Nghiệm xấp xỉ và nghiệm chính xác
khác nhau một chút trên một chu trình đơn, nhưng sự khác nhau này
có thể khiến các đường cong pha không còn đúng; ngoại trừ các đường
đặc biệt như chu trình giới hạn. Lược đồ pha nói chung sẽ bao gồm các
đường xoắn ốc biến đổi chậm, có thể gồm các chu trình giới hạn, và tất
cả các đường đều gần tròn.
Chúng tôi chỉ ra một vài phương pháp ước lượng bán kính của chu
trình giới hạn và tìm tâm. Mở rộng của các phương pháp này cho phép
ta xác định tính ổn định và chu kì của chu trình giới hạn, dạng của

14


Khóa luận tốt nghiệp

Dương Minh Ngọc

đường xoắn ốc quanh các chu trình giới hạn, và mối quan hệ giữa biên
độ tần số trong trường hợp có tâm.
Các ước lượng tương tự cũng đúng trong trường hợp ε không nhỏ.
Trong trường hợp này ta nói có định hướng thích hợp về độ lệch nhau
của một đường tròn với một đường không tròn nhờ cách lập luận đã
đúng khi ε nhỏ.

2.1. Phương pháp cân bằng năng lượng cho chu trình
giới hạn
Đặc trưng phi tuyến của dao động tuần hoàn cô lập làm cho việc phát
hiện và xây dựng chúng trở nên khó khăn. Ở đây chúng ta nghiên cứu
chu trình giới hạn các nghiệm tuần hoàn khác trong mặt phẳng pha

x˙ = y, y˙ = Y (x, y), nó cho phép giải thích hiện tượng cơ học tương ứng.
Xét họ các phương trình dạng
x¨ + εh(x, x)
˙ + x = 0.

(2.1)

(Chú ý rằng phương trình x¨ + εh(x, x)
˙ + ω 2 x = 0 có thể chuyển về dạng
này bằng cách đổi biến τ = ωt). Khi đó trên mặt phẳng pha chúng ta có
x˙ = y,
Giả sử rằng |ε|

y˙ = −εh(x, y) − x.

(2.2)

1, tức là phần phi tuyến nhỏ, và h(0, 0) = 0, hay

gốc tọa độ là điểm cân bằng. Giả sử chúng ta có lí do để nghĩ rằng có ít
nhất một nghiệm tuần hoàn với đường cong pha bao quanh gốc tọa độ:
một đánh giá về các miền của mặt phẳng pha tại đó năng lượng giảm
hoặc tăng sẽ là cơ sở để khẳng định có chu trình giới hạn.
15


Khóa luận tốt nghiệp

Dương Minh Ngọc

Khi ε = 0, phương trình (2.1) trở thành
x¨ + x = 0,

(2.3)

được gọi là phương trình tuyến tính hóa của (2.1). Nghiệm tổng quát của
(2.3) là x(t) = a cos(t + α), trong đó a và α là các hằng số bất kì. Theo
như lược đồ pha đã biết, chúng ta có thể hạn chế a và α bởi
a > 0, α = 0.
Do các giá trị khác nhau của α tương ứng với gốc thời gian khác nhau
nên các đường cong pha và các điểm biểu diễn vẫn không đổi. Họ các
đường cong pha của (2.3) được cho dưới dạng tham số bởi
x = a cos t,

y = −a sin t,

chúng là họ đường tròn x2 + y 2 = a2 . Chu kì của các chuyển động này
bằng 2π.
Với ε đủ nhỏ chúng ta hy vọng rằng: chu trình giới hạn bất kì, hoặc
chuyển động tuần hoàn bất kì của (2.1) sẽ gần với một trong những
chuyển động tròn (2.3) và tiến gần đến nó khi ε → 0. Do đó, với giá trị
bất kì của a,
x(t) ≈ a cos t,

y(t) ≈ −a sin t và T ≈ 2π

trên chu trình giới hạn, trong đó T là chu kì của nó.
Theo (1.18), sự thay đổi năng lượng
1
1

E(t) = x2 (t) + y 2 (t),
2
2
16

(2.4)


Khóa luận tốt nghiệp

Dương Minh Ngọc

trên một chu kì 0 ≤ t ≤ T , được xác định bởi
T

E(T ) − E(0) = −ε

h(x(t), y(t))y(t) dt.
0

Do đường cong pha đóng, nên E trở lại với giá trị ban đầu sau một vòng.
Vì thế

T

h(x(t), y(t))y(t) dt = 0
0

trên một chu trình giới hạn. Quan hệ này là chính xác. Bây giờ đưa xấp
xỉ (2.4) vào trong tích phân. Chúng ta thu được phương trình cân bằng

năng lượng xấp xỉ với biên độ a > 0 của chuyển động tuần hoàn
2π

h(a cos t, −a sin t) sin t dt = 0

E(2π) − E(0) = εa

(2.5)

0

hay
2π

h(a cos t, −a sin t) sin t dt = 0,

(2.6)

0

Đây là một phương trình mà theo lý thuyết, có thể giải được biên độ
chưa biết a của chu trình giới hạn. Trong trương hợp có tâm nó trở thành
một đồng nhất thức.
Ví dụ 2.1. Tìm biên độ xấp xỉ của chu trình giới hạn của phương trình
Van der Pol
x¨ + ε(x2 − 1)x˙ + x = 0
khi ε là nhỏ.

17

(2.7)


Khóa luận tốt nghiệp

Dương Minh Ngọc

Hình 2.1: Lược đồ pha của phương trình Van der Pol x¨ + ε(x2 − 1)x˙ + x = 0 với ε = 0.1.
Chu trình giới hạn là viền ngoài của miền mờ.

Ta có
h(x, y) = (x2 − 1)y
.
Giả sử rằng x ≈ a cos t, phương trình cân bằng năng lượng (2.6) trở
thành

2π

{(a2 cos2 t − 1) sin t} sin t dt = 0.
0

Điều này dẫn đến phương trình 14 a2 − 1 = 0, với nghiệm dương a = 2.
Hình 2.1 chứng tỏ có chu trình giới hạn với ε = 0.1, nó nhận được bằng
phương pháp số.
Khi ε trở nên lớn hơn, hình dạng của chu trình giới hạn thay đổi đáng
kể so với một đường tròn mặc dù biên độ của nó vẫn gần 2. Điều này
được chỉ ra trong Hình 2.2(a) với trường hợp ε = 0.5. Nghiệm theo thời
gian tương ứng được thể hiện trong Hình 2.2(b), chu kì là lớn hơn 2π
18

Khóa luận tốt nghiệp

Dương Minh Ngọc

một chút.
Bằng việc mở rộng lập luận này tính ổn định của một chu trình
giới hạn cũng có thể được xác định. Với mô hình của một chu trình
giới hạn minh họa trong Hình 2.1, chúng ta hy vọng rằng các đường
cong không đóng đủ gần chu trình giới hạn, xoắn ốc dần, cũng dễ được
xác định bởi x ≈ a(t) cos t, y ≈ −a(t) sin t trong đó a(t) gần như không
đổi trên một khoảng thời gian (nói chung không chính xác bằng chu kì)
0 ≤ t ≤ 2π.
Kí hiệu sự xấp xỉ (2.6) bởi g(a).
2π

h(a cos t, −a sin t) sin tdt;

g(a) = εa

(2.8)

0

và cho a ≈ a0 (> 0) trên một chu trình giới hạn. Khi đó theo (2.6)
g(a0 ) = 0.

Nếu chu trình giới hạn là ổn định, thì dọc đoạn bên trong đường xoắn ốc
(a < a0 ), năng lượng tăng thêm, và dọc đoạn bên ngoài (a > a0 ), năng
lượng giảm. Điều này chứng tỏ, có một giá trị δ > 0,

g(a) > 0 khi a0 − δ < a < a0 ,

(2.9)

g(a) < 0 khi a0 < a < a0 + δ.
Tương tự nếu dấu của cả hai bất đẳng thức đều đổi chiều, thì chu trình
giới hạn là không ổn định. Do đó sự tồn tại và tính ổn định của một chu

19