CHUYÊN đề CON lắc đơn

CHUYÊN ĐỀ

CON LẮC ĐƠN
Tác giả chuyên đề: Nguyễn Văn Thắng
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THPT Bến Tre
Đối tượng học sinh bồi dưỡng: Lớp 12
Dự kiến số tiết bồi dưỡng: 12 tiết ( 4 buổi)

Vĩnh Phúc, tháng 3/ 2014


CHUYÊN ĐỀ. CON LẮC ĐƠN
A. Mục tiêu:
- Chứng minh được chuyển động của con lắc đơn là dao động điều hòa. Viết công thức tính chu
kì của con lắc đơn. Điều kiện để con lắc đơn dao động điều hòa, hệ con lắc đơn dao động tự do.
- Nêu được năng lượng của con lắc lò xo
- Mở rộng kiến thức về con lắc đơn: Xác định vận tốc, lực căng của vật khi ở li độ bất
kỳ.
- Vận dụng giải 1 số bài tập tự luận về con lắc đơn: viết phương trình dao động, tính
năng lượng, vận tốc, lực căng của dây treo.
- Rèn tính độc lập, nghiêm túc.
B_ Nội dung:
I_ Lý thuyết:
1. Định nghĩa: Con lắc đơn gồm một vật nặng m treo vào sợi dây không giãn, vật nặng kích
thước không đáng kể, sợi dây khối lượng không đáng kể có chiều dài l.
2. Bài toán: Một con lắc đơn gồm quả cầu nhỏ có khối lượng m được gắn vào đầu của một sợi
dây mảnh, nhẹ, không co giãn, đầu còn lại của sợi dây treo cố định tại một điểm. Kéo vật ra
khỏi vị trí cân bằng sao cho dây treo hợp với phương thẳng đứng góc α nhỏ (α ≤ 100) rồi thả
nhẹ tại nơi có gia tốc trọng trường g. Bỏ qua mọi ma sát và lực cản. Chứng minh rằng con lắc
đơn dao động điều hoà?

Bài giải:
- Chọn trục Ox trùng với đường thẳng nối tâm quả cầu ở 2 vị trí,
A
chiều dương như hình vẽ, gốc O tại vị trí cân bằng của vật.
- Khi thả vật: các lực tác dụng lên vật gồm:


P = m.g .
+ Trọng lực:

+ Lực căng dây:
T.

- Áp dụng định luật II Newton, ta có:
T

 


Fhl = ma ⇔ P + T = ma
(*)
x
Chiếu phương trình (*) lên trục toạ độ, ta được:
ma = − P. sin α = −mg sin α
⇔ a = − g sin α ⇒ a + g sin α = 0

(**)

O


P1

s
Vì góc α nhỏ (α ≤ 100) ⇒ sin α ≈ tan α = .
l


P2

Thay vào phương trình (**) ta được:
g
g
s = 0 hay: s " + s = 0
l
l
g
Đặt: ω 2 =
⇒ s" + ω 2 s = 0
l
Phương trình có nghiệm: s = s 0 cos(ωt + ϕ )
a+

(***)

(1)

Vậy con lắc đơn dao động điều hoà.
s
l

3. Lực kéo về (lực hồi phục) F = −mg sin α = − mgα = −mg = − mω 2 s
Lưu ý:

+ Với con lắc đơn lực hồi phục tỉ lệ thuận với khối lượng.
+ Với con lắc lò xo lực hồi phục không phụ thuộc vào khối lượng.

II_ Bài tập:

Dạng 1: Bài tập cơ bản về con lắc đơn.
Loại 1. Đại cương về dao động của con lắc đơn


P


Phương pháp: Một số vấn đề cần lưu ý khi giải bài toán
1. Phương trình dao động:
Với dao động bé ( sinα ≈ α rad ) thì con lắc đơn dao động điều hoà theo phương trình:
s = s 0 cos(ωt + ϕ ) cm
Li độ dài:
Li độ góc: α = α 0 cos(ωt + ϕ ) rad với s = αl , s 0 = α 0 l
⇒ v = s’ = − ωs 0 sin(ωt + ϕ ) = −ωlα 0 sin(ωt + ϕ ) cm/s
2
2
⇒ a = v’ = − ω s 0 cos(ωt + ϕ ) = −ω lα 0 cos(ωt + ϕ ) -ω2S0Cos(ωt + ϕ) = -ω2s = -ω2αl
Lưu ý: s 0 đóng vai trò như A còn s đóng vai trò như x.
2. Các đại lượng trong dao động của con lắc đơn:
g
.
l

2π
l
= 2π
- Chu kỳ dao động: T =
.
ω
g

ω=

- Tần số góc:

- Tần số dao động:

f =

1
1
=
T 2π

(2)
(3)

g
.
l

(4)

+ Điều kiện dao động điều hoà: Bỏ qua ma sát, lực cản và α0 << 1 rad hay s 0 << l
+ Từ các biểu thức trên → chu kì phụ thuộc vào chiều dài dây, gia tốc trọng trường →
phụ thuộc nhiệt độ(vì nhiệt độ làm thay đổi chiều dài dây); phụ thuộc độ cao, độ sâu, vĩ độ địa
lý ( vì g phụ thuộc các yếu tố này)
3. Công thức độc lập với thời gian:
∗ Với li độ dài:
1. s " = −ω 2 s = −ω 2αl .
2.

s2
v2
+
=1
s 02 s 02ω 2

3.

v2
s"
+
=1
ω 2 s 02 s 02ω 4

⇔

ω 2 s 2 + v 2 = ω 2 s 02

v2
s =s + 2
ω

2
2
2
2
v = ω (s0 − s )
⇒

2
0

2

2

⇔

2

ω 2 v 2 + s " = ω 4 s02

∗ Với li độ góc: Từ s = αl, s 0 = α 0 l thay vào phương trình 2. với li độ dài
α 2 l2
v2
+
= 1 ⇔ l2ω 2α 2 + v 2 = ω 2α 02 l2
1.
α 02 l2 α 02ω 2 l2
⇒

v2

hoặc
ω 2 l2
v 2 = ω 2 l2 ( α 02 − α 2 )

α 02 = α 2 +

α 02 = α 2 +

v2
gl

4. Chu kỳ dao động điều hòa của con lắc đơn khi thay đổi chiều dài:
Gọi T1 và T2 là chu kì của con lắc có chiều dài l1 và l2
+ Con lắc có chiều dài là l = l1 + l2 thì chu kì dao động là: T2 = T12 + T22 .
2
2
+ Con lắc có chiều dài là l = l1 – l2 thì chu kì dao động là: T2 = T1 − T2 .

5. Vận tốc của con lắc tại vị trí dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc α
v=
+ vmax =

2 gl (cos α − cos α 0 ) .

2 gl (1 − cos α 0 )

khi vật ở vị trí cân bằng


+ vmin = 0

khi vật ở vị trí biên

6. Lực căng dây của con lắc tại vị trí dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc α
T = mg(3cosα- 2cosα0)
+ T max = mg (3 - 2cosα0 ) khi vật ở VTCB
+ T min = mgcosα0

khi vật ở vị trí biên

Bài tập có hướng dẫn:
Bài tập 1 (Đề ĐH – CĐ 2003): Một con lắc đơn dài l = 20cm treo tại một điểm cố định. Kéo
con lắc khỏi phương thẳng đứng một góc 0,1rad về bên phải rồi truyền cho con lắc vận tốc
14cm/s theo phương vuông góc với dây treo về phía vị trí cân bằng. Coi con lắc dao động điều
hoà, viết phương trình dao động đối với li độ dài của con lắc? Chọn gốc toạ độ O ở vị trí cân
bằng, chiều dương hướng sang phải, mốc thời gian là lúc con lắc đi qua vị trí cân bằng lần thứ
nhất. Cho g = 9,8(m/s2).
Bài giải:
- Con lắc dao động điều hoà ⇒ phương trình
x = A cos(ωt + ϕ ) .
dao động của con lắc đơn có dạng:
9,8
= 7(rad / s ) .
0,2
+ Tại vị trí có li độ góc α = 0,1(rad) ⇒ x = l. tan α = 20. tan 0,1 = 2(cm)

Trong đó: + Tần số góc: ω =

g
=

l

Áp dụng công thức: A = x 2 +

v2
14 2
2
=
2
+
= 2 2 (cm) .
ω2
72

+ Khi t = 0 vật đi qua vị trí cân bằng lần thứ nhất ⇒ x = 0; v < 0.

π
ϕ = 2

 A cos ϕ = 0
cos ϕ = 0
π
⇔
⇔ 
π ⇔ϕ = .
Ta có:

ϕ
=
−

2
− ωA sin ϕ < 0
sin ϕ > 0


2

0 < ϕ < π

Vậy phương trình dao động của con lắc là:

x = 2 2 cos(7t +

π
)(cm) .
2

Bài tập 2: Hai con lắc đơn có chiều dài lần lượt là l1, l2 và có chu kỳ dao động là T1, T2 tại một
nơi có gia tốc trọng trường là g = 9,81m/s2. Biết rằng cũng tại nơi đó, con lắc đơn có chiều dài
l1 + l 2 có chu kỳ dao động là 4,8s và con lắc đơn có chiều dài l1 − l 2 ở đó có chu kỳ là 1,6s. Tình
T1, T2, l1 và l2?
Bài giải:
- Từ công thức tính chu kỳ dao động của con lắc đơn: T = 2π
⇒ đối với con lắc đơn có chiều dài l1:

T1 = 2π

l
.
g

l1
l
T 2g
⇒ T12 = 4π 2 . 1 ⇒ l1 = 1 2
g
g
4π

(1)
Tương tự, đói với con lắc có chiều dài l2: T2 = 2π
(2)

l2
l
T 2g
⇒ T22 = 4π 2 . 2 ⇒ l 2 = 2 2
g
g
4π


Đối với con lắc có chiều dài l1 + l 2 :
T1+ 2

T1− 2

T12 g T22 g
+
2

l +l
4π 2 = T 2 + T 2 = 4,8 .
= 2π 1 2 = 2π 4π
1
2
g
g
Đối với con lắc có chiều dài l1 − l 2 :
T12 g T22 g
−
2
l1 − l 2
4
π
4π 2 = T 2 − T 2 = 1,6 .
= 2π
= 2π
1
2
g
g

(3)

(4)

2
2
2
2



T1 = 3,58( s )
T1 + T2 = 4,8
2T1 = 25,6
⇔
⇔


Từ (3) và (4) ⇒  2
2
2
2
2
2


T2 = 3,2( s)
T1 − T2 = 1,6
T1 − T2 = 1,6
3,58 2.9,81
= 3,18(m) .
Thay T1 vào (1) ⇒ l1 =
4π 2
3,2 2.9,81
= 2,54(m) .
Thay T2 vào (2) ⇒ l 2 =
4π 2

Bài tập trắc nghiệm:

Câu 1: Con lắc đơn dao động điều hòa có s 0 = 4cm, tại nơi có gia tốc trọng trường g = π 2 =
10m/s2. Biết chiều dài của dây là l = 1m. Hãy viết phương trình dao động của con lắc, biết lúc t
= 0 vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương?
π
π


A. s = 4 cos10πt −  cm
B. s = 4 cos10πt +  cm
2

π

C. s = 4 cos πt −  cm
2


2

π

D. s = 4 cos πt +  cm
2


Câu 2: Một con lắc đơn dao động với biên độ góc α 0 = 0,1 rad có chu kì dao động T = 1s.
Chọn gốc tọa độ là vị trí cân bằng, khi vật bắt đầu chuyển động vật đi qua vị trí cân bằng theo
chiều dương. Phương trình dao động của con lắc là:
A. α = 0,1 cos 2πt rad
B. α = 0,1 cos( 2πt + π ) rad

π
π


C. α = 0,1 cos 2πt +  rad
D. α = 0,1 cos 2πt −  rad


2



2

Câu 3: Con lắc đơn có chiều dài l = 20 cm. Tại thời điểm t = 0, từ vị trí cân bằng con lắc được
truyền vận tốc 14 cm/s theo chiều dương của trục tọa độ. Lấy g = 9,8 m/s2. Phương trình dao
động của con lắc là:
π

A. s = 2 cos 7t −  cm
B. = 2 cos 7t
cm
2

π

C. s = 10 cos 7t −  cm
2





D. s = 10 cos 7t +

π
 cm
2

π
s. Biết rằng ở thời điểm ban đầu
5
con lắc ở vị trí có biên độ góc α 0 với cos α 0 = 0,98. Lấy g = 10m/s2. Phương trình dao động của
con lắc là:
π

A. α = 0,2 cos10t rad
B. α = 0,2 cos10t +  rad
2

π

C. α = 0,1 cos10t rad
D. α = 0,1 cos10t +  rad
2

Câu 5: Một con lắc đơn có chiều dài dây treo l = 20cm treo tại một điểm cố định. Kéo con lắc
lệch khỏi phương thẳng đứng một góc bằng 0,1 rad về phía bên phải, rồi truyền cho nó vận tốc
bằng 14cm/s theo phương vuông góc với sợi dây về phía vị trí cân bằng thì con lắc sẽ dao động

Câu 4: Một con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì T =


điều hòa. Chọn gốc tọa độ ở vị trí cân bằng, chiều dương hướng từ vị trí cân bằng sang phía
bên phải, gốc thời gian là lúc con lắc đi qua vị trí cân bằng lần thứ nhất. Lấy g = 9,8 m/s 2.
Phương trình dao động của con lắc là:
π
π


A. s = 2 2 cos 7t −  cm
B. s = 2 2 cos 7t +  cm


2



2

π
π


cm
D. s = 3 cos 7t +  cm
2
2

2

Câu 6 : Một con lắc đơn có chiều dài 1m dao động tại nơi có g = π = 10 m/s2. Ban đầu kéo vật
khỏi phương thẳng đứng một góc α0 = 0,1 rad rồi thả nhẹ, chọn gốc thời gian lúc vật bắt đầu dao
động thì phương trình li độ dài của vật là :
π

A. s = cos πt
m.
B. s = 0,1 cos πt +  m.
2

C. s = 0,1 cos πt m.
D. s = 0,1 cos( πt + π ) m.
Câu 7: Một con lắc đơn dao động điều hòa có chu kỳ dao động T = 2s. Lấy g = 10m/s2, π2 = 10.
Viết phương trình dao động của con lắc biết rằng tại thời điểm ban đầu vật có li độ góc α = 0,05
(rad) và vận tốc v = -15,7 (cm/s).
π
π


A. s = 5 2 cos πt +  cm
B. s = 5 2 cos πt −  cm
4
4


π
π


C. s = 5 cos πt −  cm

D. s = 5 cos πt +  cm
4
4


Câu 8: Một con lắc đơn dao động điều hòa có chiều dài l = 20(cm) . Tại t = 0, từ vị trí cân bằng
truyền cho con lắc một vận tốc ban đầu 14cm/s theo chiều dương của trục tọa độ. Lấy g =
9,8m/s2. Viết phương trình dao động của con lắc.
π
π


A. s = 2 2 cos 7t −  cm
B. s = 2 cos 7t −  cm
2
2


π
π


C. s = 2 2 cos 7t +  cm
D. s = 2 cos 7t +  cm
2
4


Đề ĐH –CĐ:
Đề CĐ 2007: Tại một nơi, chu kỳ dao động điều hoà của một con lắc đơn là 2s. Sau khi tăng

chiều dài của con lắc thêm 21cm thì chu kỳ dao động điều hoà của nó là 2,2s. Chiều dài ban đầu
của con lắc này là:
A. 101cm.
B. 99cm.
C. 98cm.
D. 100cm.
Đề ĐH 2008: Phát biểu nào sau đây là sai khi nói về dao động điều hoà của con lắc đơn (bỏ qua
lực cản của môi trường)?
A. Với dao động nhỏ thì dao động của con lắc là dao động điều hoà.
B. Khi vật nặng ở vị trí biên, cơ năng của con lắc bằng thế năng của nó.
C. Chuyển động của con lắc từ vị trí biên về vị trí cân bằng là nhanh dần.
D. Khi vật nặng đi qua vị trí cân bằng, thì trọng lực tác dụng lên nó cân bằng với lực căng của
dây.
Đề ĐH 2009: Tại một nơi trên mặt đất, một con lắc đơn dao động điều hòa. Trong khoảng thời
gian ∆t, con lắc thực hiện 60 dao động toàn phần; thay đổi chiều dài con lắc một đoạn 44cm thì
cũng trong khoảng thời gian ∆t ấy, nó thực hiện 50 dao động toàn phần. Chiều dài ban đầu của
con lắc là
A. 80cm.
B. 100cm.
C. 60cm.
D. 144cm.
Đề CĐ 2010: Tại một nơi trên mặt đất, con lắc đơn có chiều dài ℓ đang dao động điều hoà với



C. s = 3 cos 7t −

chu kì 2s. Khi tăng chiều dài của con lắc thêm 21cm thì chu kì dao động điều hoà của nó là 2,2s.
Chiều dài ℓ bằng:
A. 2,5m.

B. 2m.
C. 1m.
D. 1,5m.


Đề ĐH 2011: Một con lắc đơn đang dao động điều hoà với biên độ góc α0 tại nơi có gia tốc
trọng trường là g. Biết lực căng dây lớn nhất bằng 1,02 lần lực căng dây nhỏ nhất. Giá trị của α0
là:
A. 6,60.

B. 3,30.

C. 9,60.

D. 5,60.

Đề CĐ 2011: Một con lắc đơn có chiều dài dây treo 1m dao động điều hòa với biên độ góc

π
20

rad tại nơi có gia tốc trọng trường g = 10m/s2. Lấy π2 = 10. Thời gian ngắn nhất để con lắc đi từ
vị trí cân bằng đến vị trí có li độ góc
A. 3s.

B. 3 2 s.

π 3
rad là:
40

1
C. s.
3

D.

1
s.
2

Đề CĐ 2012: Hai con lắc đơn đang dao động điều hòa tại cùng một vị trí trên Trái Đất. Chiều
dài và chu kì dao động của các con lắc đơn lần lượt là l1, l2 và T1, T2. Biết

T1 1
= . Hệ thức đúng
T2 2

là:
A.

l1
= 4.
l2

B.

l1
= 2.
l2

C.

l1 1
= .
l2 2

D.

l1 1
= .
l2 4

Đề ĐH 2013: Một con lắc đơn có chiều dài 121cm, dao động điều hòa tại nơi có gia tốc trọng
trường g. Lấy π2 = 10. Chu kì dao động của con lắc là:
A. 0,5s.
B. 2s.
C. 1s.
D. 2,2s.

Bài tập tự giải
Bài 1: Một con lắc đơn có chu kì dao động T = 2s. Nếu tăng chiều dài của con lắc thêm 20,5cm
thì chu kì dao động mới của con lắc là 2,2s. Tìm chiều dài l và gia tốc trọng trường g?
Bài 2: Hai con lắc đơn có hiệu chiều dài là 14cm. Trong cùng một khoảng thời gian con lắc thứ
nhất thực hiện được 15 dao động, con lắc thứ hai thực hiện được 20 dao động. Tính chiều dài
và chu kì của mỗi con lắc?
Bài 3: Một con lắc đơn có chu kì dao động T = 2s. Lấy g = 10m/s 2 và π2 = 10. Viết phương
trình dao động của con lắc? Biết rằng tại thời điểm ban đầu vật có li độ góc α = 0,05 rad và vận
tốc v = - 15,7 cm/s.
Bài 4: Một con lắc đơn dao động điều hòa có chiều dài l = 20cm. Tại t = 0, từ vị trí cân bằng
truyền cho con lắc một vận tốc ban đầu 14cm/s theo chiều dương của trục tọa độ. Lấy g =

9,8m/s2 .
a/ Viết phương trình dao động
b/ Xác định thời điểm vật qua vị trí có li độ s = 1cm lần thứ 5 kể từ khi bắt đầu dao động
c/ Trong khoảng thời gian

18π
(s) con lắc qua vị trí s =
21

2 bao nhiêu lần.

Bài 5: Một con lắc đơn gồm quả cầu nhỏ khối lượng m treo vào sợi dây có chiều dài 40cm. Bỏ
qua sức cản của không khí. Đưa con lắc lệch khỏi phương thẳng đứng góc α0 = 0,15 rad rồi thả
nhẹ, quả cầu dao động điều hòa. Tính quãng đường lớn nhất mà quả cầu đi được trong khoảng


thời gian 2T/3
Bài 6: Một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc α0 = 0,1 rad. Lấy g = 10m/s2 . Tại
thời điểm ban đầu vật qua vị trí có li độ s = 8 3 (cm) với vận tốc v = 20cm/s. Tính độ lớn gia
tốc của vật khi đi qua vị trí có li độ 8cm.
Bài 7: Một con lắc đơn gồm quả cầu nhỏ khối lượng m treo vào sợi dây có chiều dài 20cm. Kéo
con lắc lệc khỏi phương thẳng đứng một góc bằng 0,1rad về phía bên phải rồi truyền cho nó vận
tốc bằng 14cm/s theo phương cuông góc với sợi dây về phía vị trí cân bằng thì con lắc dao động
điều hòa. Chọn gốc thời gian là lúc con lắc qua vị trí cân bằng lần thứ nhất, gốc tọa đọ ở vị trí
cân bằng, chiều dương hướng từ vị trí cân bằng sang bên phải. Lấy g = 9,8m/s 2 . Viết phương
trình dao động.
Bài 8: Một con lắc đơn dao động điều hòa. Biết trong quá trình dao động, độ lớn lực căng dây
lớn nhất gấp 1,1 lần độ lớn lực căng dây nhỏ nhất. Tính biên độ dao động?

Dạng 2:Năng lượng của con lắc đơn

A_ Mục tiêu:
- Xác định được công thức tính động năng, thế năng và cơ năng của con lắc đơn.
- Vận dụng được công thức năng lượng của con lắc đơn để xác định các đại lượng của
con lắc đơn: li độ, vận tốc, gia tốc…
I_ Phương pháp:
1 2 1
1
mv = mω 2 s 02 sin 2 (ωt + ϕ ) (J) ⇒ Wđ max = mω 2 s 02 (J)
2
2
2
1
1
1
Wt = mglα 2 = mglα 02 cos 2 (ωt + ϕ ) ⇔ Wt = mω 2 s 02 cos 2 (ωt + ϕ ) (J)
2. Thế năng:
2
2
2
g
( Với ω 2 = và s 02 = l 2α 02 )
l
1
1
⇒ Wđ max = mω 2 s 02 = mglα 02 (J)
2
2
1
1
W = Wđ + Wt = mω 2 s 02 = mglα 02 = Wđ max = Wt max = const

3. Cơ năng:
2
2
Wđ s 02
α 02
=
−
1
=
−1 = n
4. Tỉ số giữa Động năng và Thế năng:
Wt
s2
α2
⇒ Công thức xác định vị trí của vật khi biết trước tỉ số giữa Động năng và Thế năng là:
s0
α0
s=±
hoặc α = ±
n +1
n +1
1
5. Công thức xác định vận tốc của vật tại vị trí mà Động năng bằng
Thế năng là:
n
Wđ 1
1
=
Nếu ta có:
hay Wđ = Wt

Wt n
n

1. Động năng:

thì:

Wđ =

v=±

II_ Bài tập:
Bài tập có hướng dẫn:

ωs 0
g
= ± s0
l (n + 1)
n +1

hoặc v = ±

ωα 0 l
g
= ±α 0
l ( n + 1)
n +1






Bài tập 1: Con lắc đơn dao động điều hoà theo phương trình: s = 4 cos10t −

2π 
cm . Sau khi vật
3 

đi được quãng đường 2cm (kể từ t = 0) vật có vận tốc bằng bao nhiêu?
A. 20 cm/s.
B. 30 cm/s.
C. 10 cm/s.
D. 40 cm/s.
Hướng dẫn:
2π 

Từ phương trình dao động của vật: s = 4 cos10t − cm


3 

 2π 
 1
 = 4. −  = −2cm .
 3 
 2

Khi t = 0 ⇒ s 0 = 4 cos −

⇒ khi vật đi được quãng đường 2cm ⇒ x = 0.

2π 
2π 
π
2π
π
π


=− ⇒t =
( s) .
⇒ ta có: 0 = 4 cos10t −  ⇔ cos10t −  = 0 = cos− ⇒ 10t −


3 



3 

2

3

2

60

Ta có phương trình vận tốc:
π
2π π 

π



v = s ' = ωA cos ωt + ϕ +  = 10.4 cos10t −
+  = 40 cos10t − (cm / s ) .


2



3

2



6

π
π π

( s ) ⇒ v = 40 cos10. −  = 40 cos 0 = 40(cm / s ) .
Chọn D.
60
 60 6 
Bài tập 2: Một con lắc đơn có chu kì dao động T = 2s tại nơi có g = 10m/s 2. Biên độ góc của
dao động là 60. Vận tốc của con lắc tại vị trí có li độ góc 30 có độ lớn là bao nhiêu?
Hướng dẫn:

2π
l
T 2g
= 2π
⇒l =
= 1(m) .
Từ công thức: T =
ω
g
4π 2
0
Tại vị trí có li độ góc α 0 = 6 ⇒ cơ năng của vật nặng: W0 = Wt max = mgl (1 − cos α 0 ) .
Tại vị trí có li độ góc α = 30 thế năng của vật nặng: Wt = mgl (1 − cos α ) .
1
Wđ = mv 2 .
động năng của vật:
2
1 2
⇒ cơ năng của vật: W = Wđ + Wt = mv + mgl (1 − cos α ) .
2
1 2
Theo định luật bảo toàn cơ năng, ta có: W = W0 ⇔ mv + mgl (1 − cos α ) = mgl (1 − cos α 0 ) .
2
1 2
⇒ mv = mgl (cos α − cos α 0 )
2

⇒ khi t =

⇒ v = 2 gl (cos α − cos α 0 ) = 2.10.1(cos 3 0 − cos 6 0 ) = 0,287(m / s) = 28,7(cm / s )

Bài tập 3: Một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc αmax = 60. Con lắc có thế năng
bằng 3 lần động năng tại vị trí có li độ góc bao nhiêu?
Hướng dẫn:
- Tại vị trí có li độ góc αmax = 60 ⇒ cơ năng của con lắc: W0 = Wt max = mgl (1 − cos α max ) .
- Tại vị trí có li độ góc α mà thế năng bằng 3 lần cơ năng, ta có:
+ Thế năng của con lắc: Wt = mgl (1 − cos α ) .
1
2

2
+ Động năng của con lắc: Wđ = mv .

Wt
W
4
⇒ cơ năng của con lắc: W = Wđ + Wt = t + Wt = Wt .
3
3
3
4
Theo định luật bảo toàn cơ năng, ta có: W = W0 ⇔ mgl (1 − cos α ) = mgl (1 − cos α max ) .
3
4
4
4
⇔ (1 − cos α ) = (1 − cos α max ) ⇔ cos α = − 1 + cos α max ⇒ α ≈ 5,2 0
3
3
3

.

Theo giả thiết: Wt = 3Wđ ⇒ Wđ =


Bài tập trắc nghiệm:
Câu 1: Một con lắc đơn dao động điều hoà với biên độ góc α 0 nhỏ. Lấy mốc thế năng ở vị trí
cân bằng. Khi con lắc chuyển động nhanh dần theo chiều dương đến vị trí có động năng bằng
thế năng thì li độ góc α của con lắc bằng?
α0
α0
α0
α0
A.
B. −
C.
D. −
3

3

2

2

Câu 2: Con lắc đơn có dây dài l = 50cm, khối lượng m = 100g dao động tại nơi g = 9,8m/s2.
Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng. Tỷ số lực căng cực đại và cực tiểu của dây treo bằng 4 .
Cơ năng của con lắc là?
A. 1,225J
B. 2,45J

C. 0,1225J
D. 0,245J
Câu 3: Một con lắc đơn gồm sợi dây dây dài l và vật nặng khối lượng m. Khi con lắc dao động
với biên độ góc α 0 nhỏ thì
A. Động năng của vật tỉ lệ với bình phương của biên độ góc.
α
B. Thời gian vật đi từ v.trí biên dương đến v.trí có li độ góc α = 0 bằng một nửa chu kì dao
2

động.
C. Thế năng của vật tại một vị trí bất kì tỉ lệ thuận với li độ góc.
D. Lực căng dây biến thiên theo li độ góc và đạt giá trị cực đại khi vật nặng qua vị trí cân bằng.
Câu 4: Một con lắc đơn dài l = 1m dao động điều hoà với biên độ góc α 0 = 40. Khi qua vị trí cân
bằng dây treo bị giữ lại ở một vị trí trên đường thẳng đứng. Sau đó con lắc dao động với dây dài
l’ và biên độ góc α ' = 80. Cơ năng của dao động sẽ
A. Giảm 2 lần
B. Không đổi
C. Tăng 2 lần
D. Giảm 4
lần
Câu 5: Một con lắc đơn dao động điều hoà với biên độ góc α0 = 50. Tại thời điểm động năng
của con lắc lớn gấp hai lần thế năng của nó thì li độ góc α xấp xỉ bằng
A. 2,980
B. 3,540.
C. 3,450
D. 2,890
Câu 6:
Một con lắc đơn có dây treo dài 1m và vật có khối lượng m = 1kg dao động với
biên độ góc 0,1rad. Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng của vật, lấy g = 10m/s2. Cơ năng của
con lắc là:

A. 0,1J.
B. 0,01J.
C. 0,05J.
D. 0,5J.
Câu 7: Một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc α0. Con lắc có động năng bằng n lần
thế năng tại vị trí có li độ góc.
α0
α
α
α
A. α = 0 .
B. α = 0 .
C. α = ±
.
D. α = ± 0 .
n

n +1

n +1

n +1

Câu 8: Một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc α0. Con lắc có động năng bằng thế
năng tại vị trí có li độ góc.
α0
α0
α0
α
A. α = 0 .

B. α = ±
.
C. α =
.
D. α = ±
.
2

2 2

2

2

0

Câu 9: Một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc α0 = 5 . Với li độ góc α bằng bao
nhiêu thì động năng của con lắc gấp 2 lần thế năng?
A. α = ±3, 450 .
B. α = 2,890 .
C. α = ±2,890 .
D. α = 3, 450 .
Câu 10: Tại nơi có gia tốc trọng trường g, một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc
α 0 nhỏ. Lấy mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Khi con lắc chuyển động nhanh dần theo chiều
dương tới vị trí có động năng bằng thế năng thì li độ góc α của con lắc bằng:
α0
α0
α0
α0
A. α =

.
B. α =
.
C. α = −
.
D. α = −
.
3

2

2

3

Đề ĐH –CĐ:
Đề CĐ 2007: Một con lắc đơn gồm sợi dây có khối lượng không đáng kể, không giãn, có chiều
dài l và viên bi nhỏ có khối lượng m. Kích thích cho con lắc dao động điều hoà ở nơi có gia tốc


trọng trường g. Nếu chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng của viên bi thì thế năng của con lắc
này tại li độ góc α có biểu thức là:
A. mgl(3 – 2cosα). B. mgl(1 – sinα). C. mgl(1 + cosα).
D. mgl(1 – cosα).
2
Đề CĐ 2009:
1) Tại nơi có gia tốc trọng trường là 9,8m/s , một con lắc đơn dao động
điều hoà với biên độ góc 60. Biết khối lượng vật nhỏ của con lắc đơn là 90g và chiều dài dây
treo là 1m. Chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng, cơ năng của con lắc xấp xỉ bằng:
A. 6,8.10-3J.

B. 5,8.10-3J.
C. 3,8.10-3J.
D. 4,8.10-3J.
2) Tại nơi có gia tốc trọng trường g, một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc
α0. Biết khối lượng vật nhỏ của con lắc là m, chiều dài dây treo là ℓ, mốc thế năng ở vị trí cân
bằng. Cơ năng của con lắc là:
A.

1
mglα 02 .
2

B. mglα 02 .

C.

1
mglα 02 .
4

D. 2mglα 02 .

Đề ĐH 2010: Tại nơi có gia tốc trọng trường g, một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ
góc α0 nhỏ. Lấy mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Khi con lắc chuyển động nhanh dần theo chiều
dương đến vị trí có động năng bằng thế năng thì li độ góc α của con lắc bằng:
−α0
−α0
α0
α0
A.

.
B.
.
C.
.
D.
.
3

2

2

3

Đề CĐ 2011: Một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc α0. Lấy mốc thế năng ở vị trí
cân bằng. Ở vị trí con lắc có động năng bằng thế năng thì li độ góc của nó bằng:
α0
α0
α
α
A. ± 0 .
B. ± 0 .
C. ±
.
D. ±
2

3

2

3

2

Đề ĐH 2012: Tại nơi có gia tốc trọng trường g = 10m/s , một con lắc đơn có chiều dài 1m, dao
động với biên độ góc 600. Trong quá trình dao động, cơ năng của con lắc được bảo toàn. Tại vị
trí dây treo hợp với phương thẳng đứng góc 300, gia tốc của vật nặng của con lắc có độ lớn là:
A. 1232 cm/s2.
B. 732 cm/s2.
C. 887 cm/s2.
D. 500 cm/s2.
Bài tập tự giải:
Bài 1: Một con lắc đơn gồm quả cầu nhỏ khối lượng m = 500g treo vào sợi dây có chiều dài
60cm. Khi con lắc ở vị trí cân bằng cung cấp cho nó một năng lượng 0,015J, khi đó con lắc dao
động điều hòa. Tính biên độ dao động?
Bài 2: Một con lắc đơn có m = 200g, g = 9,86m/s 2 dao động theo phương trình
π
α = 0, 05cos(2π t − )(rad )
6

a/ Tính chiều dài và năng lượng của con lắc.
b/ Tại t= 0 li độ và vận tốc của con lắc bằng bao nhiêu?
c/ Tìm thời gian ngắn nhất để con lắc đi từ vị trí có động năng cực đại đến vị trí mà W đ = 3Wt


CHUYÊN ĐỀ. CON LẮC ĐƠN (tiếp)

Dạng 3: Sự phụ thuộc của chu kì, tần số con lắc đơn vào độ dài dây treo,

nhiệt độ; độ nhanh chậm của đồng hồ quả lắc...
A. Mục tiêu:
- Tiếp tục mở rộng kiến thức về con lắc đơn: sự phụ thuộc của chu kì vào độ cao, độ sâu, nhiệt
độ; độ nhanh chậm của đồng hồ quả lắc. chu kì của con lắc khi có thêm ngoại lực không đỏi tác
dụng.
- Vận dụng giải bài tập cơ bản liên quan đến các dạng.
B. Nội dung

I_ Lý thuyết:
1. Chu kì, Tần số dao động của con lắc đơn thay đổi khi thay đổi chiều dài của dây
treo:
Tần số: ω =

g
rad;
l

Chu kì: T = 2π

l
l
⇒ T 2 = 4π 2
g
g

l
s;
g

Tần số: f =

1
2π

g
Hz
l

g
1 g
⇒ f2=
.
l
4π 2 l
2
2
2
Nhận xét: T2 tỉ lệ với l: ⇒ Nếu l = l1 + l2 + …. Thì T = T1 + T2 +L
1
1
1
1
= 2 + 2 + ...
⇒ Nếu l = l1 + l2 + …. Thì
2 tỉ lệ với l:
2
f
f
f1
f2

Từ:

T = 2π

và f =

2. Dựa vào công thức: T = 2π

1
2π

l
⇒ khi biết 2 trong 3 đại lượng, ta có thể suy ra đại
g

lượng còn lại:
- Biết T, l ⇒ g;
- Biết T,g ⇒ l;
- Biết g, l ⇒ T.
3. Khi thay đổi nhiệt độ: dựa vào công thức: l = l 0 (1 + α .∆t ) ⇒ ta xác định được chiều
dài của con lắc ở nhiệt độ nhất định đã cho, từ đó ta tính được chu kỳ dao động của con lắc ở
nhiệt độ đó: T ' .
- Nếu nhiệt độ tăng ⇒ l tăng ⇒ T tăng ⇒ đồng hồ chạy chậm lại.
- Nếu nhiệt độ giảm ⇒ l giảm ⇒ T giảm ⇒ đồng hồ chạy nhanh lên.
∆T λ
λ
T

=

2

( t 2 − t1 ) = ( ∆t )

2
1
Với λ là hệ số nở dài bằng nhiệt ( ) hoặc ( 1/độ).
K

4. Tính khoảng thời gian đồng hồ chạy nhanh, chậm trong một ngày đêm:
∆t = 86400

∆T
.
T0

- Nếu ∆T < 0 thì đồng hồ chạy nhanh hơn
- Nếu ∆T > 0 thì đồng hồ chạy chậm hơn.
Chú ý: Trong các bài toán này sẽ sử dụng các công thức gần đúng sau:
n
( 1 ± a ) ≈ 1 ± na ; ( 1 + a ) ( 1 − b ) ≈ 1 + a − b ; ( 1 + a ) ( 1 + b ) ≈ 1 + a + b ;
1+ a
1
≈ ( 1+ a ) ( 1− b) ;
≈ 1− a ;
1+ b
1+ a

1+ a ≈ 1+

a
;
2

1
a
≈ 1− ;
2
1+ a

( 1+ a )

2

≈ 1 + 2a

Với a; b là các số dương rất nhỏ.
*Ví dụ:
Một đồng hồ quả lắc đếm giây có chu kỳ T = 2s. Quả lắc được coi như một con lắc đơn với dây
treo và vật nặng làm bằng đồng có hệ số nở dài α = 17.10-6K-1. Giả sử đồng hồ chạy đúng ở
chân không, nhiệt độ 200C. Tính chu kỳ của con lắc trong chân không ở 300C ? ở 300C đồng
hồ chạy nhanh hay chậm? Mỗi ngày chạy sai bao nhiêu?


1
2

+ Sử dụng công thức: T2 = (1 + α∆t )T1 .

Hướng dẫn:
1
2

−6
Thay số: T2 = (1 + 17.10 (30 − 20)).2 = 2,00017 s

+ Chu kỳ T2>T nên đồng hồ chạy chậm.
Thời gian chạy chậm trong một ngày đêm : τ = 24.60.60 s là:
θ =τ

∆T
T1

1
= τ α∆t = 24.3600.1/2.17.10-6 .10 = 7,34 s.
2

II_ Bài tập:
Bài tập có hướng dẫn:
Bài tập 1: Con lắc của một chiếc đồng hồ quả lắc (coi là một con lắc đơn) có chu kỳ dao động
T0 = 2(s) ở nhiệt độ 00C và tại nơi có gia tốc trọng trường g = 9,81(m/s2).
a) Tính chiều dài của thanh treo quả lắc?
b) Biết hệ số nở dài của thanh treo quả lắc là α = 1,8.10-5/K. Hỏi khi nhiệt độ tăng lên
200C thì đồng hồ chạy nhanh lên hay chậm đi? Tính thời gian chạy nhanh (hay chậm) của đồng
hồ đó trong 1 tuần?
Hướng dẫn:
a) Từ công thức: T = 2π

l

T 2 g 2 2.9,81
⇒l =
=
≈ 0,99396(m) .
g
4π 2
4π 2

b) Khi nhiệt độ tăng lên 200C ⇒ chiều dài con lắc:
l ' = l 0 (1 + α .∆t ) = 0,99396(1 + 1,8.10 −5.20) = 0,99432(m) .
Áp dụng công thức: T = 2π

l
l'
0,99432
⇒ T ' = 2π
= 2π
≈ 2,00036( s ) .
g
g
9,81

Ta thấy: T ' > T ⇒ đồng hồ chạy chậm lại. Thời gian chạy chậm trong 1 tuần của đồng hồ là:
∆t = 7.86400

∆T
T ' −T
2,00036 − 2
= 7.86400
7.86400

= 108,85( s ) = 1 phút 48,85 giây.
T0
T
2

Bài tập 2: Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ vào mùa nóng khi nhiệt độ trung bình là 320C,
con lắc có thể xem là con lắc đơn. Hệ số nở dài của dây treo con lắc α = 2.10-5K-1. Vào mùa
lạnh nhiệt độ trung bình là 170C. Hỏi con lắc sẽ chạy như thế nào? Một tuần nó chạy sai bao
nhiêu?
Hướng dẫn: Do nhiệt độ vào mùa đông giảm nên chu kỳ con lắc giảm, đồng hồ chạy nhanh.
Một tuần : τ = 7.24.60.60 s đồng hồ chạy nhanh một thời gian:
θ =τ

∆T
T1

1
= τ α∆t = 7.24.3600.1/2.2.10-5 .15 = 90,72(s) = 1 phút 30,72 giây.
2

Bài tập 3: Con lắc đồng hồ có dây treo làm bằng thanh kim loại mảnh. khi nhiệt độ môi trường
tăng thêm 100C thì trong 12 giờ con lắc chạy chậm 30s. Nếu muốn con lắc chạy mỗi ngày chỉ
chậm 45s thì nhiệt độ môi trường phải tăng lên bao nhiêu? Coi gia tốc trọng trường không thay
đổi.
Hướng dẫn:
Vận dụng công thức: θ = τ

∆T
T1

1
= τ α∆t
2
1
2

Khi nhiệt độ tăng thêm300C thì mỗi ngày sẽ chạy chậm: θ1 = α∆t1 = 60s ;
Nếu con lắc chạy chậm mỗi ngày 45s thì nhiệt độ tăng lên ∆t2 thoả mãn:
1
3
θ = α∆t 2 = 45s ⇒ ∆t 2 = ∆t1 ≈ 11,25 0 C .
2
4
Bài tập trắc nhiệm:


Câu 1: Con lắc đơn có dây treo dài l = 1m. Khi quả nặng có khối lượng m = 100g thì chu kì của
con lắc đơn là 2 s. Nếu treo thêm một quả nặng nữa có cùng khối lượng m = 100g thì chu kì dao
động của con lắc là:
A. 1 s.
B. 1,5s.
C. 2s.
D. 4s.
Câu 2: Biết chu kì của con lắc đơn T = 1,5s. Trung bình trong hai phút vật đi qua vị trí cân bằng
bao nhiêu lần?
A. 80.
B. 120.
C. 160.
D. 180.
Câu 3: Con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì T = 2s tại nơi có gia tốc trọng trường g = 9,81

m/s2. Chiều dài con lắc là:
A. 0,994 m.
B. 96,6 cm.
C. 9,81m.
D. 0,2m.
π

Câu 4: Một con lắc đơn dao động với phương trình S = Cos  π t − ÷ cm. Lấy g = π2 m/s2. Chiều


4

dài dây treo con lắc là:
A. 100cm.
B. 80cm.
C. 60cm.
D. 40cm.
Câu 5: Khi chiều dài dây treo con lắc đơn tăng 20% so với chiều dài ban đầu thì chu kì dao
động của con lắc đơn thay đổi như thế nào?
A. Giảm 20%.
B. Giảm 9,54%.
C. Tăng 20%.
D.Tăng
9,54%.
Câu 6: Con lắc đơn chiều dài 4,9 m dao động với biên độ nhỏ, chu kì 6,28s. Lấy π = 3,14. Gia
tốc trọng trường tại nơi đặt con lắc là:
A. 9,8 m/s2.
B. 9,2m/s2.
C. 4,9 m/s2.
D. 9,89 m/s2.

Câu 7: Hai con lắc đơn có chu kì T1 = 2s và T2 = 1,5s. Chu kì của con lắc đơn có dây treo dài
bằng tổng chiều dài dây treo của ai con lắc trên là:
A. 2,5s.
B. 0,5s.
C. 2,25s.
D. 3,5s.
Câu 8: Hai con lắc đơn có chu kì T1 = 2s và T2 = 2,5s. Chu kì của con lắc đơn có dây treo dài
bằng hiệu chiều dài dây treo của ai con lắc trên là:
A. 2,25s.
B. 1,5s.
C. 1,0s.
D. 0,5s.
Câu 9: Cho biết l3 = l1 + l2 và l4 = l1 – l2. Con lắc đơn (l3 ; g) có chu kì T3 = 0,4s. Con lắc đơn
(l4;g) có chu kì T4 = 0,3s. Con lắc đơn (l1 ; g) có chu kì là:
A. 0,1s.
B. 0,5s.
C. 0,7s.
D. 0,35s.
Câu 10: Cho biết l3 = l1 + l2 và l4 = l1 – l2. Con lắc đơn (l3 ; g) có tần số f3 = 6Hz. Con lắc đơn
(l4;g) có tần số f4 = 10Hz. Con lắc đơn (l2 ; g) có tần số là:
A. 4Hz.
B. 10,6s.
C. 16Hz.
D. 8Hz.
Câu 11: Một con lắc đơn có chiều dài l. Trong khoảng thời gian Δt nó thực hiện được 12 dao
động. Khi giảm chiều dài đi 32cm thì cũng trong khoảng thời gian Δt nói trên, con lắc thực hiện
được 20 dao động. Chiều dài ban đầu của con lắc là:
A. 30 cm.
B. 40cm.
C. 50cm.

D. 60cm.
Câu 12: Một con lắc đơn có chiều dài l. Trong khoảng thời gian Δt nó thực hiện được 12 dao
động. Khi giảm chiều dài đi 16cm thì cũng trong khoảng thời gian Δt nói trên, con lắc thực hiện
được 20 dao động. Chiều dài ban đầu của con lắc là:
A. 30 cm.
B. 25cm.
C. 40cm.
D. 35cm.
Đề ĐH – CĐ:
Đề TN 2007: Tại một nơi xác định, một con lắc đơn dao động điều hoà với chu kỳ T, khi chiều
dài con lắc tăng 4 lần thì chu kỳ con lắc:
A. Không đổi.
B. Tăng 16 lần.
C. Tăng 2 lần.
D. Tăng 4 lần.
Đề TN 2008: Một con lắc đơn gồm một hòn bi nhỏ có khối lượng m, treo vào một sợi dây
không giãn, khối lượng sợi dây không đáng kể. Khi con lắc đơn này dao động điều hoà với chu
kỳ 3s thì hòn bi chuyển động trên một cung tròn dài 4cm. Thời gian để hòn bi đi được 2cm kể
từ vị trí cân bằng là:
A. 1,5s.
B. 0,25s.
C. 0,5s.
D. 0,75s.


Đề TN 2009: Một con lắc đơn gồm quả cầu nhỏ khối lượng m được treo vào đầu một sợi dây
mềm, nhẹ, không giãn, dài 64cm. Con lắc dao động điều hoà tại nơi có gia tốc trọng trường g.
Lấy g = π2(m/s2). Chu kỳ dao động của con lắc là:
A. 2s.
B. 0,5s.

C. 1s.
D. 1,6s.
Đề TN 2012: Tại cùng một nơi trên mặt đất, nếu tần số dao động điều hoà của con lắc đơn
chiều dài l là f thì tần số dao dộng điều hoà của con lắc đơn có chiều dài 4l là:
A.

1
f .
2

Đề TN 2013:

B.

1
f .
4

C. 4f.

D. 2f.

1) Tại một nơi có ga tốc trọng trường g, con lắc đơn có chiều dài dây treo l

dao động điều hoà với chu kỳ T, con lắc đơn có chiều dài dây treo

l
dao động điều hoà với chu
2

kỳ:
A.

T
.
2

B.

2T .

C. 2T.

D.

T
2

.

2) Một con lắc đơn dao động điều hoà tại địa điểm A với chu kỳ 2s. Đưa con lắc này đến
địa điểm B cho nó dao động điều hoà, trong khoảng thời gian 201s nó thực hiện được 100 dao
động toàn phần. Coi chiều dài dây treo của con lắc đơn không đổi. Gia tốc trọng trường tại B so
với A:
A. Tăng 0,1%.
B. Tăng 1%.
C. Giảm 1%.
D. Giảm 0,1%.

Dạng 4: Sự phụ thuộc của chu kì, tần số con lắc đơn vào độ cao độ sâu…

I_ Phương pháp:
Khi thay đổi độ cao: dựa vào công thức: g =
trường thay đổi ⇒ chu kỳ T = 2π

R2
g 0 ⇒ khi độ cao thay đổi thì gia tốc trọng
( R + h) 2

l
của con lắc thay đổi.
g

Xác định thời gian đồng hồ chạy sai ở độ cao h và độ sâu d so với mực nước biển (coi nhiệt
độ không đổi)
* Ở mực nước biển đồng hồ chạy đúng, khi đưa đồng hồ lên độ cao h thì đồng hồ chạy sai
T
g0
 =
gh
T
h
 T0
⇒
= 1+
- Ta có: 
2
T0
R

 R 

g
=
g


0
 h
 R+h

T
h
= 1 + > 1 ⇒ T > T0 ⇒ đồng hồ chạy chậm lại.
- Ta thấy:
T0
R

- Trong một ngày đêm đồng hồ chạy chậm: θ = 86400

T
h
− 1 = 86400 ( s) .
T0
R

* Ở mực nước biển đồng hồ chạy đúng, khi đưa đồng hồ xuống độ sâu h thì đồng hồ chạy sai
T
g0
 =
gđ
T

R
1
1
 T0
⇒
=
=
=
- Ta có: 
.
2
d
T0
R−d
 d

R−d 
1
−
1 − 
R
g đ = g 0  R 
 R



T
1d
d
≈ 1+

Vì << 1 , áp dụng công thức gần đúng ta có:
.
T0
2R
R
T
d
≈ 1+
> 1 ⇒ T > T0 ⇒ đồng hồ chạy chậm lại.
- Ta thấy:
T0
2R


- Trong một ngày đêm đồng hồ chạy chậm: θ = 86400

T
d
− 1 = 43200 ( s ) .
T0
R

Xác định thời gian đồng hồ chạy sai khi cả độ cao (hoặc độ sâu) và nhiệt độ thay đổi
a) Tại mặt đất nhiệt độ t0 đồng hồ chạy đúng. Khi đưa đồng hồ lên độ cao h nhiệt độ t đồng hồ
chạy sai.
T
g (1 + λt )
h  (1 + λt )

=

= 1 + 
- Ta có:
.
T0
g h (1 + λt 0 )  R  (1 + λt 0 )
T
h λ
≈ 1 + + (t − t 0 ) .
Áp dụng các công thức gần đúng ta có:
T0

R

2

T
> 1 ⇒ T > T0 ⇒ đồng hồ chạy chậm lại.
T0
T
- Nếu t < t0 ⇒ < 1 ⇒ T < T0 ⇒ đồng hồ chạy nhanh lên.
T0

- Nếu t > t0 ⇒

- Trong 1 ngày đêm đồng hồ chạy sai: θ = 86400

T
h λ
− 1 = 86400 + (t − t 0 ) ( s) .
T0

R 2

b) Tại mặt đất nhiệt độ t0 đồng hồ chạy đúng. Khi đưa đồng hồ xuống giếng sâu d nhiệt độ t.
Tương tự ta chứng minh được trong một ngày đêm đồng hồ chạy sai:
θ = 86400

T
d
− 1 = 43200 λ (t − t 0 ) + ( s ) .
T0
R

Xác định thời gian đồng hồ chạy sai khi thay đổi vị trí trên trái đất (nhiệt độ không đổi)
- Tại nơi có gia tốc trọng trường g1 đồng hồ chạy đúng với: T1 = 2π
- Tại nơi có gia tốc trọng trường g2 đồng hồ chạy sai với: T2 = 2π

l
.
g1
l
.
g2

T1
1 ∆g
≈ 1− .
.
T2
2 g1
T2

+ Nếu g2 > g1 ⇒ < 1 ⇒ T2 < T1 ⇒ đồng hồ chạy nhanh lên.
T1
T2
+ Nếu g2 < g1 ⇒ > 1 ⇒ T2 > T1 ⇒ đồng hồ chạy chậm lại.
T1

- Ta có:

- Trong một ngày đêm đồng hồ chạy sai: θ = 43200

g
∆g
= 43200 2 − 1 ( s ) .
g1
g1

* Nếu cả vị trí và nhiệt độ thay đổi thì trong một ngày đêm đồng hồ chạy sai:
θ = 43200 λ (t 2 − t1 ) −

∆g
.
g1

II_ Bài tập:
Bài tập có hướng dẫn:
* Bài tập 1:
Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ trên mặt đất với chu kỳ T = 2s. Đưa con lắc lên độ cao
h=1km so với mặt đất và coi như nhiệt độ ở độ cao đó không đôi so với mặt đất.
a) Xác định chu kỳ của con lắc tại độ cao đó? Cho bán kính trái đất R= 6370 km.
b) Tại độ cao h con lắc chạy nhanh hay chậm , mỗi ngày chạy sai bao nhiêu?

Hướng dẫn:
h
R

a) Chu kỳ của đồng hồ ở độ cao h: T2 = (1 + )T1


Thay số: T2 = (1 +

1
).2 = 2.00013 s.
6370

b) Chu kỳ tăng, đồng hồ chạy chậm:
θ =τ

∆T
T1

=τ

h
1
= 24.3600.
= 13,569(s)
R
6370

* Bài tập 2:
Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ tại Hà Nội được đem vào Hồ Chí Minh đã chạy chậm

34,56s trong một ngày đêm.
a) Tính gia tốc g tai TP.HCM biết tại Hà Nội gia tốc là g1 = 9,793m/s2 và nhiệt độ tại Hà
Nội thấp hơn ở Hồ Chí Minh 100C.
b) Muốn đồng hồ ở HCM chạy đúng người ta đặt đồng hồ vào phòng có nhiệt độ thích
hợp. Hỏi nhiệt độ rong phòng và bên ngoài chênh lệch nhau là bao nhiêu? Cho hệ số nở dài của
thanh treo là 2.10-5K-1
Hướng dẫn:
a) Khi đưa đồng hồ từ Hà Nội vào Hồ Chí Minh thì chu kỳ dao động của quả lắc đồng
hồ chịu ảnh hưởng đồng thời của nhiệt độ và gia tốc g do thay đổi vĩ độ.
Vận dụng công thức: θ = τ

∆T
T1

1
1 ∆g
≈ τ ( α∆t −
)
2
2 g1
1
2

Vì đồng hồ chạy chậm mỗi ngày 34,56s nên: θ ≈ τ ( α∆t −

1 ∆g
) = 34,56
2 g1

1

1 ∆g
1 ∆g 1
α∆t −
= 4.10 −4
= α∆t − 4.10 −4
2
2 g1
2 g1 2
∆g
⇒
= 2.10 −5.10 − 8.10 −4 = −6.10 − 4
g1
⇒ g 2 = g1 (1 − 6.10 −4 ) = 9,793(1 − 6.10 −4 ) ≈ 9,787(m / s 2 )

b) Gọi nhiệt độ ở Hà Nội: t1; HCM: t2; trong phòng ở HCM : t2’
Ta có:

T2
l
l2
1
= 2' =
≈ 1 − α .∆t '
'
'
2
T2
l2
l 2 (1 + α .∆t )

Mặt khác:

T2
1
1 ∆g
≈ 1 + α (t 2 − t1 ) −
T1
2
2 g1

(1)
(2)

Và T2’ = T1
(3)
Giải hệ phương trình (1), (2) và (3) ta được: Nhiệt độ trong phòng và bên ngoài ở TP.HCM
chêch lệch -250c.
* Bài tập 3: : Một đồng hồ quả lắc (xem như một con lắc đơn) chạy đúng ở mặt đất. Biết bán
kính Trái đất là R = 6400 km.
a) Khi đưa đồng hồ lên độ cao h = 1,6 km so với mặt đất thì trong một ngày đêm nó chạy nhanh
hay chậm bao nhiêu?
b) Khi đưa đồng hồ xuống một giếng sâu d = 800m so với mặt đất thì trong một ngày đêm nó
chạy nhanh hay chậm bao nhiêu?
Hướng dẫn:
a) - Ta có:

T
h
= 1 + > 1 ⇒ T > T0 ⇒ đồng hồ chạy chậm lại.
T0

R

- Trong một ngày đêm đồng hồ chạy chậm: θ = 86400
b) – Ta có:

T
h
1,6
− 1 = 86400 = 86400
= 21,6( s ) .
T0
R
6400

T
d
≈ 1+
> 1 ⇒ T > T0 ⇒ đồng hồ chạy chậm lại.
T0
2R


- Trong một ngày đêm đồng hồ chạy chậm: θ = 86400

T
d
0,8
− 1 = 43200 = 43200
= 5,4( s) .
T0

R
6400

* Bài tập 4: Một con lắc đồng hồ chạy đúng tại mặt đất có gia tốc g = 9,86 m/s2 vàọ nhiệt độ là
t1 = 300C. Đưa đồng hồ lên độ cao 640m so với mặt đất thì thấy rằng đồng hồ vẫn chạy đúng.
Giải thích hiện tượng và tính nhiệt độ tại độ cao đó, biết hệ số nở dài của dây treo con lắc là λ =
2.10-5K-1, và bán kính trái đất là R = 6400 km.
Hướng dẫn:
- Giải thích hiện tượng :
Khi đưa con lắc đơn lên cao thì gia tốc giảm do g 0 =

GM
GM
g
=
và
.
h
( R + h) 2
R2

Mặt khác khi càng lên cao thì nhiệt độ càng giảm nên chiều dài của dây treo cũng giảm theo. Từ
đó T = 2π

l
sẽ không thay đổi.
g


l (1 + λt1 )

l1
= 2π 0
T0 = 2π
g0
g0

- Tính nhiệt độ tại độ cao h = 640 m. Theo giả thiết, ta có: 
l 0 (1 + λt 2 )
l2

Th = 2π g = 2π
gh
h


- Chu kỳ không thay đổi nên: T0 = Th
(1 + λt1 ) R 2
−1
l 0 (1 + λt1 )
l 0 (1 + λt 2 )
1 + λt1 g 0 ( R + h) 2
( R + h) 2
⇒ 2π
= 2π
⇔
=
=
⇒ t2 =
g0
gh

1 + λt 2 g h
λ
R2
(1 + 2.10 −5.30)6400 2
−1
(6400 + 0,64) 2
⇒ t2 =
≈ 20 0 C
2.10 −5

*Bài tập trắc nghiệm tự giải:
Câu 1: Cho biết bán kính Trái Đất gấp 3,7 lần bán kính Mặt trăng, khối lượng Mặt Trăng bằng
1
khối lượng Trái Đất. Một con lắc đơn dao động trên Mặt Trăng có tần số thay đổi ra sao so
81

với lúc dao động trên Trái Đất.
A. Tăng 2,5 lần.
B. Giảm 2,43 lần. C. Tăng 4 lần.
D. Giảm 4 lần.
Câu 2: Gia tốc trọng trường trên Mặt Trăng nhỏ hơn gia tốc trọng trường trên Trái Đất 6 lần.
Kim phút của đồng hồ quả lắc chạy một vòng ở mặt đất hết 1 giờ. Nếu đưa đồng hồ trên lên Mặt
Trăng, chiều dài quả lắc không đổi, kim phút quay một vòng hết.
A. 6h.

B.

1
h.
6

C. 2h 27 ph.

D.

1
h.
6

Câu 3: Người ta đưa một đồng hồ quả lắc từ Mặt Trăng về Trái Đất mà không điều chỉnh lại.
Biết đồng hồ chạy đúng trên Mặt Trăng. Gia tốc rơi tự do trên Mặt Trăng nhỏ hơn gia tốc rơi tự
do trên Mặt Đất 6 lần. Theo đồng hồ này thì thời gian Trái Đất tự quay một vòng là:
A. 9h 47 ph 52 s. B. 58h 47 ph 16 s. C. 14h 12 ph 8 s.
D. 40h 47 ph 52 s.
Đề ĐH – CĐ:
Đề CĐ 2007: Khi đưa một con lắc đơn lên cao theo phương thẳng đứng (coi chiều dài con lắc
không thay đổi) thì tần số dao động điều hoà của nó sẽ:
A. tăng vì tần số dao động điều hoà của nó tỉ lệ nghịch với gia tốc trọng trường.
B. giảm vì gia tốc trọng trường giảm theo độ cao.
C. không đổi vì chu kỳ dao động điều hoà của nó không phụ thuộc vào gia tốc trọng trường.
D. tăng vì chu kỳ dao động điều hoà của nó giảm.
Đề CĐ 2010: Tại một nơi trên mặt đất, con lắc đơn có chiều dài ℓ đang dao động điều hoà với


chu kì 2s. Khi tăng chiều dài của con lắc thêm 21cm thì chu kì dao động điều hoà của nó là 2,2s.
Chiều dài ℓ bằng:
A. 2,5m.
B. 2m.
C. 1m.
D. 1,5m.

Đề ĐH 2011: Một con lắc đơn đang dao động điều hoà với biên độ góc α0 tại nơi có gia tốc
trọng trường là g. Biết lực căng dây lớn nhất bằng 1,02 lần lực căng dây nhỏ nhất. Giá trị của α0
là:
A. 6,60.
B. 3,30.
C. 9,60.
D. 5,60.
Đề ĐH 2013: Một con lắc đơn có chiều dài 121 cm, dao động điều hòa tại nơi có gia tốc trọng
trường g. Lấy π2 = 10. Chu kì dao động của con lắc là:
A. 0,5 s.
B. 2 s.
C. 1 s.
D. 2,2 s.
Đề CĐ 2013: Tại nơi có gia tốc trọng trường g, một con lắc đơn có chiều dài l dao động điều
hoà với chu kỳ 2,83s. Nếu chiều dài của con lắc là 0,5l thì con lắc dao động với chu kỳ là:
A. 3,14s.
B. 0,71s.
C. 2,00s.
D. 1,42s.

CHUYÊN ĐỀ. CON LẮC ĐƠN (tiếp)

Dạng 5: Bài tập chu kì của con lắc khi có thêm ngoại lực không đổi tác
dụng, sự trùng phùng của con lắc.
A. Mục tiêu:


- Tiếp tục mở rộng kiến thức về con lắc đơn: Chu kì của con lắc khi có thêm ngoại lực không
đổi tác dụng, sự trùng phùng của con lắc.
- Vận dụng giải bài tập cơ bản liên quan đến các dạng.

B. Nội dung:
I _Lý thuyết:

A_ Khảo sát dao động nhỏ của con lắc đơn khi có thêm một lực phụ F không đổi tác dụng
(ngoài trọng lực và lực căng dây treo)
Định hướng phương pháp chung

 
- Coi con lắc chịu tác dụng của một trọng lực hiệu dụng (trọng lực biểu kiến): P ' = P + F .




⇒ gia tốc trọng trường hiệu dụng: g ' = g +

F
.
m



- Vị trí cân bằng của con lắc là vị trí dây treo có phương trùng với phương của P ' .
'
- Chu kỳ dao động nhỏ của con lắc: T = 2π

l
.
g'

Vậy để xác định được chu kỳ T’ cần xác định được gia tốc trọng trường hiệu dụng g’
1. Xác định chu kỳ dao động của con lắc đơn dưới tác dụng của lực điện trường:
* Phương pháp: - Khi không có điện trường chu kỳ dao động của con lắc là: T = 2π


l
.
g

- Khi đặt con lắc vào điện trường đều có véc tơ cường độ điện trường E thì nó chịu tác dụng




 
của Trọng lực P và lực điện trường F = qE , hợp của hai lực này ký hiệu là P ' = P + F , và
được gọi là trọng lực hiệu dụng hay trọng lực biểu kiến. Ta xét một số trường hợp thường gặp:
a) Trường hợp 1: E hướng thẳng đứng xuống dưới.

Khi đó để xác định chiều của F ta cần biết dấu của q.



* Nếu q > 0: F cùng hướng với E ⇒ F hướng thẳng đứng xuống dưới.
qE

Ta có: P’ = P + F ⇒ g ' = g +

m

.

Chu kỳ dao động của con lắc trong điện trường:
T ' = 2π

l
= 2π
g'

l
qE

g+


T'
=
T

m

g+

g
⇒T' =T
qE
m

g+

g
qE .
m




* Nếu q < 0: F ngược hướng với E ⇒ F hướng thẳng đứng lên trên.
qE
Ta có: P’ = P - F ⇒ g ' = g −
.
m

Chu kỳ dao động của con lắc trong điện trường:
l
T = 2π
= 2π
g'

l

'

g−

T'
>T ⇒
=
qE

T
m

g−


b) Trường hợp 2: E hướng thẳng đứng lên trên.

g
⇒T' =T
qE
m

g−

g
qE .
m

Tương tự như trên ta chứng minh được:
* Nếu q > 0 thì chu kỳ dao động của con lắc là:

* Nếu q < 0 thì chu kỳ dao động của con lắc là:

T ' = 2π

T ' = 2π

l
= 2π

g'
l
= 2π
g'




c) Trường hợp 3: E có phương ngang ⇒ F có phương ngang, F

l
g−

qE

.

m
l

g+

>T

qE
m


.



vuông góc với P ⇒ tại vị trí cân bằng dây treo hợp với phương
thẳng đứng một góc α (hình vẽ).
- Từ hình vẽ ta có: tan α =

F qE
=
.
P mg


E

 qE

- Về độ lớn: P = P + F ⇒ g = g + 

mg


'2

2

α

2

'

2

2


F

.

- Chu kỳ dao động của con lắc trong điện trường là:
l
= 2π
g'

T ' = 2π

l
 qE

g + 

 mg 

2


P

.

2


P'

Ví dụ: Một con lắc đơn có chiều dài ℓ = 1m, khối lượng m = 50g được tích
điện q = -2.10-5C

2
dao động tại nơi có g = 9,86m/s . Đặt con lắc vào trong điện trường đều E có độ lớn E =
25V/cm.
Tính chu kỳ dao động của con lắc khi:

a) E có phương thẳng đứng, chiều từ trên xuống dưới.

b) E có phương thẳng đứng, chiều từ dưới lên trên.

c) E có phương nằm ngang.
Hướng dẫn:



a) q < 0: F ngược hướng với E ⇒ F hướng thẳng đứng lên trên
Ta có: P’ = P - F ⇒ g ' = g −

qE
m

.

Chu kỳ dao động của con lắc trong điện trường:
T ' = 2π

l
= 2π
g'

l
g−

qE

= 2π

m

1
≈ 2,11( s)
.
2.10 −5.25.10 2
9,86 −
−3
50.10

(Lưu ý: Đổi E = 25V/cm = 25.102V/m)

b) Tương tự, ta có:

l
= 2π
g'

T ' = 2π

l
g+


c) Khi E có phương nằm ngang. Ta có:

qE
m

2

= 2π

1
≈ 1,9( s)
.
2.10 −5.25.10 2
9,86 +
−3
50.10

 qE

 2.10 −5.25.10 2
2



P = P + F ⇒ g = g +
 = 9,86 +  50.10 −3

 mg 
'2

2

2

'

2

2


 ≈ 9,91(m / s 2 )


Khi đó chu kỳ dao động của con lắc khi đặt trong điện trường là:
T ' = 2π

l
1

= 2π
≈ 1,996(m / s 2 ) .
'
9,91
g

2. Xác định chu kỳ dao động của con lắc đơn dưới tác dụng của lực quán tính.

*Phương pháp: Khi con lắc đơn được đặt trong một hệ quy chiếu chuyển động với gia tốc a
(hệ quy chiếu phi quán tính)
thì ngoài trọng lực và lực căng của dây treo con lắc còn chịu tác


 

dụng của lực quán tính F = −ma . Ta có: trọng lực hiệu dụng P ' = P + F .

'  F  
Gia tốc trọng trường hiệu dụng: g = g + = g + a .
m

Xét một số trường hợp thường gặp:

a) Trường hợp 1: Con lắc treo trong thang máy chuyển động thẳng đứng lên trên với gia tốc a .


- Thang máy chuyển động nhanh dần đều: a ngược hướng với g ⇒ g ' = g + a .
Chu kỳ dao động của con lắc trong thang máy:

T ' = 2π

l
l
T'
=
2
π
<
T
⇒
=
g+a
g'
T

g
g
⇒T' =T
.
g+a
g+a

(T chu kỳ dao động của con lắc khi thang máy đứng yên hay chuyển động thẳng đều).


- Thang máy chuyển động chậm dần đều: a cùng hướng với g ⇒ g ' = g − a .
Chu kỳ dao động của con lắc trong thang máy:
T ' = 2π

l
l
T'
=
2
π
>
T
⇒
=
g −a
g'
T

g
g
⇒T' =T
.
g −a
g−a



b) Trường hợp 2: Con lắc treo trong thang máy chuyển động thẳng đứng xuống với gia tốc a .


- Thang máy chuyển động nhanh dần đều: a cùng hướng với g ⇒ g ' = g − a .
Chu kỳ dao động của con lắc trong thang máy:
l
l

T'
=
2
π
>
T
⇒
=
g −a
g'
T

g
g
⇒T' =T
.
g −a
g−a


- Thang máy chuyển động chậm dần đều: a ngược hướng với g ⇒ g ' = g + a .
T ' = 2π

Chu kỳ dao động của con lắc trong thang máy:
T ' = 2π

l
l
T'
=

2
π
<
T
⇒
=
g+a
g'
T

g
g
⇒T' =T
.
g+a
g+a



c) Trường hợp 3:
Con lắc đơn được treo trên xe chuyển động theo phương ngang với gia tốc a


. Khi đó, ta có: F có phương ngang và ngược hướng với a .
- Tại vị trí cân bằng dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc α.
Ta có: tan α =

F a
= .
P g

- Về độ lớn: P '2 = P 2 + F 2 ⇒ g ' = g 2 + a 2 .

α

T

- Chu kỳ dao động của con lắc:
T ' = 2π

l
= 2π
g'

l
g +a
2

2


F

.

P

Cách khác: Ta có:
P
g

⇒ g' =
cos α
cos α
l
l cos α
⇒ T ' = 2π
= 2π
.
'
g
g
P' =


P'


a

T'
⇒
= cos α ⇒ T ' = T cos α .
T

Ví dụ 2: Một con lắc đơn được treo vào trần một thang máy tại nơi có gia tốc g = 9,8 m/s2. Khi
thang máy đứng yên thì con lắc dao động với chu kỳ T = 2(s). Tìm chu kỳ dao động của con lắc
khi:
a) Thang máy đi lên nhanh dần đều với gia tốc a1 = 1,2 m/s2.
b) Thang máy đi lên đều.
c) Thang máy đi lên chậm dần đều với gia tốc a2 = 0,8 m/s2.

Hướng dẫn:
a) Khi thang máy đi lên nhanh dần đều với gia tốc a1, ta có: g1 = g + a = 9,8 + 1,2 = 11(m/s2).
Chu kỳ dao động của con lắc đơn là:


T1 = 2π

l
T
⇒ =
g1
T1

g1
g
9,8
⇒ T1 = T
=2
≈ 1,8877( s ) .
g
g1
11

b) Khi thang máy đi lên đều thì a = 0 khi đó T’ = T = 2s.
c) Khi thang máy đi lên chậm dần đều: g2 = g - a = 9,8 - 0,8 = 8(m/s2).
Chu kỳ dao động của con lắc đơn là:
T2 = 2π

l
T

⇒
=
g2
T2

g2
g
9,8
⇒ T2 = T
=2
≈ 2,2136( s ) .
g
g2
8

B_Sự trùng phùng của con lắc:
*Phương pháp: Khi hai con lắc đơn có chu kỳ là T1 và T2 được kích thích cho dao động giống
nhau. Vì chu kỳ khác nhau nên chúng sẽ dao động khác nhau, sau một khoảng thời gian θ nhỏ
nhất chúng lại dao động giống nhau (θ được gọi là thời gian trùng phùng ngắn nhất của hai con
lắc).
Gọi T1 là chu kỳ dao động của con lắc (1) (đã biết).
T2 là chu kỳ dao động của con lắc (2) (chưa biết).
θ là thời gian trùng phùng ngắn nhất.
- Nếu T1 > T2: ⇒ trong khoảng thời gian θ con lắc (1) thực hiện được n dao dộng, con
lắc (2) thực hiện được n + 1 dao động.
⇒ Ta có: nT1 = ( n + 1)T2 ⇒ n(T1 − T2 ) = T2 ⇒ n =
Mặt khác, ta có: θ = nT1 ⇒ n =

θ
T1

T2
T1 − T2

(*)
(**)

T2
TT
θ
=
⇒θ = 1 2
(1)
T1 T1 − T2
T1 − T2
- Nếu T1 < T2: ⇒ trong khoảng thời gian θ con lắc (2) thực hiện được n dao dộng, con
lắc (1) thực hiện được n + 1 dao động.
T1
Tương tự, ta có: nT2 = (n + 1)T1 ⇒ n(T2 − T1 ) = T1 ⇒ n =
(*)
T2 − T1
θ
Mặt khác, ta có: θ = nT2 ⇒ n =
(**)
T2
T1
TT
θ
=
⇒θ = 1 2

(2)
T2 T2 − T1
T2 − T1
TT
θ= 1 2
Từ (1) và (2) ta có:
T1 − T2
1
Tương tự đối với tần số: θ = f − f
1
2

Từ (*) và (**)

II_ Bài tập:
Bài tập có hướng dẫn:
Bài tập 1: (Đề ĐH – CĐ 2006) Một con lắc đơn gồm vật nhỏ có khối lượng m = 2g và một dây
treo mảnh, chiều dài l được kích thích cho dao động điều hoà. Trong khoảng thời gian ∆t con
lắc thực hiện được 40 dao động. Khi tăng chiều dài con lắc thêm một đoạn 7,9cm thì cũng trong
khoảng thời gian ∆t nó thực hiện được 39 dao động. Cho g = 9,8(m/s2).
1) Kí hiệu chiều dài mới của con lắc là l ' . Tính l ,l ' và các chu kỳ dao động T, T’ tương ứng?
2) Để con lắc có chiều dài l ' có cùng chu kỳ dao động như con lắc có chiều dài l, người ta
truyền cho vật điện tích q = +0,5.10-8(C) rồi cho nó dao động điều hoà trong một điện trường


đều E có các đường sức thẳng đứng. Xác định chiều và độ lớn của véctơ E ?
Hướng dẫn giải:


1) Xét trong khoảng thời gian Δt ta có:

T
40T = 39T ⇒ '
T
'

2

2

l
39
l  39 
 40 
=
⇒ ' =   ⇒ l ' =   l = 1,052l
'
40
l
l  40 
 39 

(1)

Mặt khác, theo giả thiết, ta có l' = l + 7,9

(2)

7,9
= 152,1(cm) .
Từ (1) và (2), ta có: 1,052l = l + 7,9 ⇒ 0,052l = 7,9 ⇒ l =

0,052
Thay vào (2) ⇒ l ' = 152,1 + 7,9 = 160(cm) .

Áp dụng công thức: T = 2π

l
.
g

1,521
= 2,475( s) .
9,8

⇒ T = 2π
T ' = 2π

1,6
= 2,5388( s ) .
9,8

2) Vì chu kỳ con lắc là không đổi, ta có:


Do E hướng thẳng đứng nên g ' = g ±


qE
m

l

l'
g .l ' 9,8.1,6
= ' ⇒ g' =
=
≈ 10,3(m / s 2 ) .
g g
l
1,521

mà g’ > g nên: g ' = g +

qE
m

.


Phương trình trên chứng tỏ F hướng thẳng đứng xuống dưới và do q > 0 nên E hướng thẳng
đứng xuống dưới.

Vậy véc tơ cường độ điện trường E có phương thẳng đứng, hướng xuống dưới và độ lớn:
m( g ' − g ) 2.10 −3 (10,3 − 9,8
=
= 2.10 5 (V / m) .
−8
m
q
5.10

Bài tập 2: Một con lắc đơn có m = 5g, đặt trong điện trường đều E có phương ngang và độ lớn

g' = g +

qE

⇒E=

E = 2.106 V/m. Khi vật chưa tích điện nó dao động với chu kỳ T, khi vật được tích điện tích q
thì nó dao động với chu kỳ T'. Lấy g = 10 m/s2, xác định độ lớn của điện tích q biết rằng
T' =

3
10

T.

Hướng dẫn giải:
'
Theo giả thiết ta có: T =

3T

⇔ 2π

10

Vì E có phương ngang nên ta có:

2

l

3
l
10
=
2π
⇒ g' = g
'
g
9
g
10
2

2
 qE
 qE
10
19
 ⇒
 = g '2 − g 2 =  g  − g 2 = g 2
P = P + F ⇔ g = g + 

 m 
81
9 
 m 


'2

2

2

'2

2

19
g.m
19 .10.5.10 −3
81
⇒ q =
=
= 1,21.10 −8 (C )
E
9.2.10 6

Bài tập 3: Con lắc đơn gồm dây mảnh dài ℓ = 1m, có gắn quả cầu nhỏ m = 50g được treo vào
trần một toa xe đang chuyển động nhanh dần đều trên đường nằm ngang với gia tốc a = 3m/s 2.
Lấy g =10 m/s2.
a) Xác định vị trí cân bằng của con lắc.
b) Tính chu kỳ dao động của con lắc.
Hướng dẫn giải:
a) Khi con lắc cân bằng thì nó hợp với phương thẳng đứng một góc α xác định bởi:
tan α =

F a
3
= =

⇒ α ≈ 16,7 0 .
P g 10

b) Ta có: P '2 = P 2 + F 2 ⇔ g '2 = g 2 + a 2 ⇒ g ' = g 2 + a 2 = 10 2 + 3 2 = 109 .


'
Chu kỳ dao động của con lắc là: T = 2π

l
= 2π
g'

1
109

≈ 1,94( s ) .

Bài tập 4: Cho hai con lắc đơn gồm: con lắc (1) có chu kỳ dao động T1 = 0,6s, con lắc (2) có
chu kỳ dao động T2. Quan sát dao động của hai con lắc thì thấy: khi có trùng phùng dao dộng
lần thứ nhất thì con lắc (1) thực hiện được 4 dao động toàn phần. Tính chu kỳ dao động của con
lắc (2)?
Hướng dẫn giải:
Ta có: θ = nT1 =

T1T2
T2
⇒n=
⇒ n T1 − T2 = T2 .
T1 − T2

T1 − T2

n
4
T1 =
.0,6 = 0,48( s ) .
n +1
4 +1
n
4
T1 =
.0,6 = 0,8( s) .
- Nếu T1 < T2 ⇒ n(T2 − T1 ) = T2 ⇒ (n − 1)T2 = nT1 ⇒ T2 =
n −1
4 −1

- Nếu T1 > T2 ⇒ n(T1 − T2 ) = T2 ⇒ nT1 = (n + 1)T2 ⇒ T2 =

Bài tập trắc nghiệm:
Câu 1: Hai con lắc đơn có chu kì dao động lần lượt là T1 = 0,3s và T2 = 0,6s được kích thích cho
bắt đầu dao động nhỏ cùng lúc. Chu kì dao động trùng phùng của bộ đôi con lắc này bằng:
A. 1,2 s.
B. 0,9 s.
C. 0,6 s.
D. 0,3 s.
Câu 2: Hai con lắc đơn treo cạnh nhau có chu kỳ dao động nhỏ là 4s và 4,8s. Kéo hai con lắc
lệch một góc nhỏ như nhau rồi đồng thời buông nhẹ thì hai con lắc sẽ đồng thời trở lại vị trí này
sau thời gian:
A. 8,8s.

B.

12
s.
11

C. 6,248s.

D. 24s.

Câu 3: Một con lắc đơn chiều dài l được treo vào điểm cố định O. Chu kì dao động nhỏ của nó
là T . Bây giờ, trên đường thẳng đứng qua O, người ta đóng 1 cái đinh tại điểm O’ bên dưới O,
cách O một đoạn 3l / 4 sao cho trong quá trình dao động, dây treo con lắc bị vướng vào đinh.
Chu kì dao động bé của con lắc lúc này là:
A. 3T / 4 .
B. T .
C. T / 4 .
D. T / 2 .
Câu 4: Một con lắc đơn có chiều dài l = 1m dao động nhỏ tại nơi có gia tốc trọng trường g = π2
=10m/s2. Nếu khi vật đi qua vị trí cân bằng dây treo vướng vào đinh nằm cách điểm treo 50cm
thì chu kỳ dao động của con lắc đơn là:
A. 2 s.

B.

2+ 2
s . C. 2+ 2 s.
2

D. Đáp án khác.

Câu 5: Một con lắc đơn được treo vào trần của một xe ô tô đang chuyển động theo phương
ngang. Chu kỳ dao động của con lắc đơn trong trường hợp xe chuyển động nhanh dần đều với
gia tốc a là T1 và khi xe chuyển động chậm dần đều với gia tốc a là T 2, xe chuyển thẳng đều là
T3. Biểu thức nào sau đây là đúng:
A. T1 = T2 < T3
B.T2 < T1 < T3
C. T2 = T1 = T3
D.T2 = T3 > T1
Câu 6: Một con lắc đơn được treo tại trần của 1 toa xe, khi xe chuyển động đều con lắc dao
động với chu kỳ 1s, cho g = 10m/s2. Khi xe chuyển động nhanh dần đều theo phương ngang với
gia tốc 3m/s2 thì con lắc dao động với chu kỳ:
A. 0,978s
B. 1,0526s
C. 0,9524s
D. 0,9216s
2
Câu 7: Treo con lắc đơn có độ dài l = 100cm trong thang máy, lấy g = π = 10m/s2. Cho thang
máy chuyển động nhanh dần đều đi lên với gia tốc a = 2m/s 2 thì chu kỳ dao động của con lắc
đơn:
A. tăng 11,8%
B. giảm 16,67%
C. giảm 8,71%
D. tăng 25%
Câu 8: Một con lắc đơn và một con lắc lò xo treo vào thang máy. Khi thang máy đứng yên
chúng dao động cùng chu kì T .Cho thang máy chuyển động nhanh dần đều lên trên với gia tốc
a = g/2 thì chu kì dao động của con lắc đơn và con lắc lò xo lần lượt là: