Khoá luận tốt nghiệp toán xây dựng hàm giải tích với tập không điểm là tập không có điểm tụ cho trước
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.04 MB, 35 trang )
B ộ G IÁ O D Ụ C V À Đ À O T Ạ O
TRƯ ỜNG ĐẠI HỌC s ư PH ẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
X Â Y D ự N G H À M G IẢ I T ÍC H V Ớ I T Ậ P K H Ô N G Đ IE M
LÀ T Ậ P K H Ơ N G CĨ Đ IỂ M T Ụ C H O T R Ư Ớ C
N gười hướng d ẫn : T hS . N guyễn Q uốc T uấn
Cơ quan cơng tác
: Khoa Tốn,Trường ĐHSPHN 2
H ọ v à t ê n s in h v iên : V ũ T h ị Y ến
Lớp
: K 37c
X u â n H ò a - N g à y 14 t h á n g 5 n ă m 2015
LỜI C Ả M Ơ N
Tơi xin bày tỏ lịng biết ƠI1 sâu sắc tới thầy giáo T h S . N g u y ễ n Q u ố c T u ấ n Người thầy đã t.ận tình hướng dẫn và giúp đỡ tơi để tơi liồn thành bài khóa luận của
mình. Đồng thời tơi xin cliâĩi thành cảm ƠĨ1 các thầy cơ trong t.ố Giải t.ích và các thầy
cơ trong khoa Tốn - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán
đã tạo điều kiện cho tơi hồn thành tố t bài khóa luận này.
Trong khn khổ có hạn của một bài khóa luận, do điều kiện thời gian, do trình độ
có hạn và cũng là lần đầu ticn nghicn cứu khoa học cho ncn khơng tránh khỏi những
hạn chế, thiếu sót nhất định. Vì vậ3', tơi kính mong nhận đưực những góp ý của các
thầy cô và các bạn.
T ôi x in c h â n t h à n h c ả m ơ n !
Hà Nội, Ngày l ị tháng 5 năm 2015
Sinh viên
VŨ TH Ị YẾN
LỜI C A M Đ O A N
Khóa luận này là kết quả nghicn cứu của bản thân tôi dưới sự hướng dẫn tận tình
của T h S . N g u y ễ n Q u ố c T u ấ n .
Trong khi nghiên cứu hoàn thành dề tài nghiên cứu Iiày tôi đã tham khảo mọt số
tài liệu đã ghi trong pliần tài liệu tham khảo.
Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài “Xây dựng hàm giải tích với tập khơng điểm
là tập khơng có điểm tụ cho trước” khơng có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.
Hà Nội, Ngày l ị tháng 5 năm 2015
Sinh vicn
V ũ T h ị Y ến
M ục lục
M ở đ ầ u ...................................................................................................................................
1
C h ư ơ n g 1. K iế n th ứ c c h u ẩ n b ị .................................................................................
3
1.1. Số phức và dãy số p h ứ c .........................................................................................
3
1.1.1. s ố p h ứ c ............................................................................................................................................................................
3
1.1.2. D ãy và chuỗi số p h ứ c .................................................................................................................................................
5
1.2. Tôpô trcn m ặt phẳng p h ứ c ....................................................................................
6
1.2.1. C ác k h á i niệm cơ b ả n .................................................................................................................................................
G
1.2.2. T ậ p bị c h ặ n và tậ p c o m p a c t....................................................................................................................................
8
1.2.3. G iả k h o ả n g cách g iữ a h ai tậ p h ợ p .......................................................................................................................
8
1.2.4. D ư ờ n g và m iền tro n g m ặ t p h ẳ n g p h ứ c ...............................................................................................................
9
1.3. Hàm số biến số p h ứ c .............................................................................................
11
1.3.1. Ilà m b iến p h ứ c ...........................................................................................................................................................
11
1.3.2. C h u ỗ i h à m ...................................................................................................................................................................
13
1.4. Hàm giải t íc h ..........................................................................................................
1.4.1. K h á i niệm h àm giải t í c h ........................................................................................................................................
17
17
C h ư ơ n g 2 . X â y d ự n g h à m giải tíc h với t ậ p k h ô n g đ iể m là t ậ p k h ơ n g có
đ iể m t ụ cho t r ư ớ c ...........................................................................................................
2.1. Điểm bất, thường, không điểm của hàm giải tách...........................................
20
20
2.1.1. D iểm b ấ t th ư ờ n g c ủ a h àm g iải t í c h .................................................................................................................
20
2.1.2. K h ô n g diểrn c ủ a h àm giải t í c h ............................................................................................................................
21
2.1.3. H àm nguy ơ n và h à m p h â n h ì n h ..........................................................................................................................
21
2.2. Tích vơ hạn ............................................................................................................
3
23
2.3. Xây dựng hàm giải tích với tập khơng điểm là tập khơng có điểm t.ụ cho trước
26
2.4. Định lý M ittag - L effler.......................................................................................
28
T ài liệu th a m k h ả o .........................................................................................................
31
M Ở ĐẦU
Vào thế kỉ XVI, số pliức được pliát. minh dựa trên việc giải các phương trình đại số.
Người đầu tiên đưa ra định nghĩa về số phức là nhà tốn học người Italia, R. Bombelli
(1526 -1573), ơng viết nó trong các cơng trình đại số của ơng năm 1572 tại Bologne,
lúc đó số phức được gọi là số "khơng thể có" hoặc "số ảo". Nó được cơng bố ít, lâu trước
khi ông m ất. Trong khi nghiên cứu phương trình bậc ba, ơng đã định nghĩa các số phức
và đưa ra căn bậc hai của —1. Năm 1746, nhà toán học người Pháp, J. D ’Alembert.
(1717 - 1783) đã xác định được dạng tổng quát của số phức "a + bi", đồng thời chấp
nhận nguyên lý tồn tại n nghiệm của một phương trình bậc 77. Sau đó, nhà toán học
người Thụy Sĩ, L. Euler (1707 - 1783) đã đưa ra ký hiệu "i" để chỉ căn bậc liai của
—1. Cho đến năm 1801, nhà toán hục người Đức, Johann C. F. Gauss (1777 - 1855)
đã dùng lại ký hiệu này và từ đó kí hiệu V ' được sử dụng phổ bien cho đốn nay. số
pliức đóng vai trị cực kì quan trọng trong việc giải quyết các bài toán mà với phương
pháp trên tập số thực thông thường tỏ ra không hiệu quả. Như vậy, số phức dần dần
có mặt, trong đại số, lượng giác, hình học và giải tích.
Người đầu t.iên nghiên cứu về số khơng điểm của hàm ngun hình là nhà t.ốn học
người Đức, K. W eierstrass (1815 - 1897). v ấ n dề đó được ơng nghiên cứu trong luận án
"Zur Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen" tại Royal Academy of Sciences,
năm 1876. Mở 1’ộng hơn, M ittag-Leffler nghiên cứu bài toán về số khơng điểm của hàm
phân hình. Từ năm 1876 đến năm 1877, Ông đã trao đổi với W eierstrass về vấn đề
trên qua thư. Cuối cùng, Mitt.ag-Leffler đã lioàn thành bài toán trên và đăng trong
bài báo "Om den analytiska fram ställningen af eil funktion af rat.ionel karakter med en
godtyđđigt. vald grânspunkt." xuất bản năm 1877. Năm 1882, G. Mittag-Lcfflcr xuất
bản bài báo "Fullstälidig analytisk frarnställning af hvarje entyđig rnonogen funktion,
hvars singulära Ställen utgöra eil värdemängd af första slaget". Trong bài báo đó, Ong
đã nghiên cứu đầy đủ về vấn đề khơng điểm của hàm phân hình, từ đó chúng ta có thể
xây dựng được hàm phân hình với tập khơng điểm là tập khơng có điểm tụ cho trước.
Bằng sự ham học hỏi, tìm tịi của một sinh vicn Sư phạm chuycn ngành Tốn và
trong khn khổ của ruột, bài khóa luận tố t nghiệp, đồng thịi nhận được sự hướng dẫn
nhiệt tình của thầy Nguyễn Quốc Tuấn tơi dã chọn đề tài
1
"X ây d ự n g h à m g iải tíc h với t ậ p k h ơ n g đ iể m
là t ậ p k h ô n g có đ iể m t ụ ch o trư ớ c "
đổ hồn thành khóa học của mình. Hy vọng đề tài này sẽ đcm lại nhiều kiến thức bổ
ích cho bản tliân và nhiều thú vị cho độc giả.
Cấu trúc của đề tài được bố cục thành hai chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Chương 2. Xây dựng hàrri giải t.ích với tập khơng điểm là tập khơng có điểm tụ cho
trước.
Chương 1 giới thiệu về hàm giải tích và các tính chất, cơ bản của hàm giải tích. Bao
gồm: Giới thiệu về số phức, dăy số phức, tơpơ trên m ặt phẳng phức và các tính chất
của chúng; giới thiệu về hàm số biến số phức, nghicn cứu về chuỗi hàm, các điều kiện
để một chuỗi hàm hội tụ, hội tụ đều hay hội tụ tuyệt đối; giới thiệu về địnli nghĩa hàm
giải tích và một số t.íĩih chất dáng nhớ của hàm này.
Chương 2 giới thiệu về vấn đề được lựa chọn nghicn cứu sâu về hàm giải tích: “Hàm
giải t.ích với tập khơng điểm”. Bao gồm : Các khái niệm điểm bất thường của hàm giải
tích, khơng điểm của hàm giải tích, hàm ngun và hàm phân hình; tích vơ hạn của
hàm giải tách. Xây dựng hàm giải tách với tập không điểm là t,ập khơng có điểm tụ cho
trước thơng qua các định lỷ phân tích W eierstrass, định lý Mittag-Leffler.
Tuy đã có nhiều cố gắng, song do hạn chế về thời gian và năng lực bản thân ncn đề
cương không trán h kliỏi những sai sót, rất mong được sự quan tâm , góp ý của thầy cơ
và các bạn.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, Ngày 1 4 tháng 5 năm 2015
2
Chương 1
K iến thức chuẩn bị
1.1. Số phức và dãy số phức
1 .1 .1 . Số p h ứ c
Ta biết rằng trường số thực M. nliận được bằng cách làm "đầy" trường hữu tỷ Q.
Việc làm đầy xuất phát từ sự nghiên cứu các phương trình đại số với hệ số hữu tỷ và
giới hạn của dãy các số hữu tỷ. Tuy nhicn trường R vẫn không đầy đủ, bởi vì ngay cả
phương trình đơn giản
X2 +
1 =
0
( 1.1)
cũng khơng có nghiệm trong M. Cịn trong giải tích nếu chỉ giới hạn trong M người ta
khơng thể giải thích được vì sao hàm
/( * ) = 7~T”
1 + x2
z
khơng thể khai triển được thành chuỗi lũy thừ a trên toàn bộ đường thẳng.
Với lý do trên, ta phải đi tìm kiếm trường
cho tối thiểu phương trình
nếu các
phép tốn
trên
X2
c
nào đó chứa R như một. t.rường
CO Ĩ1
sao
+ 1 = 0 có nghiệm, ơ đây, ta nói R là trường con của c
K được
cảm sinh
bởi các phép tốn
trên
c. Ta có R c c
liên
c chứa tấ t cả các phần tử có dạng a + bi] a,b EM.
Hay xét tập c các cặp số thực 2 = (a,b), c = {(a,b) : a,b G K}. Sau đó đưa vào
quan hệ bằng nhau và các phép toán sao cho với chúng c trở thành một trường chứa
R như một trường con (qua phcp đồng nhất nào đó). Các phcp tốn này được dẫn dắt
từ các phép toán của trường R với chú ý i2 — —ì. Ta có:
3
i. Quan hộ bằng nhau
(a, b) — (c, d)
a = c và ỉ) — d.
ii. Phcp cộng
(a, b) + (c, d)
=
(a + c, b + (1).
iii. Phép nhân
(a, b ) . (c, d)
Đ ịn h n g h ĩa 1.1. Tộ,p hợp
c
=
(ac —bd, ad + b c ) .
với quan hệ bằng nhau, phép cộng vò, nhân xác định như
trên lập thành m ột trường gọi là trường các số phức, còn mọi phần tử của
là số phức. Số ỉ
Gc
gọi là đơn vị ảo của
c
được gọi
c.
Bỏi vì (a, b) = (a, ü) + (ü, b) = a + b (Ü, 1) = a + bi nên mọi số phức z £ c ta viết
duy Iihất dưới dạng z = a + bi, a, b £ R, được gọi là dạng đại số của số phức 2, các số
thực a, b lần lượt được gọi là phần thực và phần ảo của 2, kí hiệu a = Rcz,b = Imz.
Khi đó, z — a — ib G c được gụi là số phức liên hợp của số phức z.
Với mỗi số z = X + iy € c ta đặt \z\ — y jX2 + ỊJ2 — \J z.z và gọi là môdiưi của 2.
Dặt r = |z|, - =
COS
- = siní^o, 0 < ífo < 2 ĩ ĩ . số thực ipo thỏa m ãn dạng lượng giác
(1.2) sau đây dược gọi là argum ent chính của 2, kí hiệu là argz.
z = \z\ (cosipo + ỉ sin (f0), 0 < ự>0 < 2tĩ.
( 1. 2 )
Rõ rang đối với mọi argument, ip của z tồn tại số nguyên k sao cho ip = arg z + 2kiĩ.
Tập hợp A rg z — {argz + 2kn : k — 0; ±1; ± 2; . . . }được gọi là argument, của 2. Với
khái niệm môđun và argum ent của số phức 2 Ỷ 0, khi đó, số phức z viết dưới dạng
(1.3) sau được gụi là dạng lượng giác của z.
z = \z \ (cos
(1.3)
ellf — cos if + i sin 99,
(1.4)
Với mọi số t.liực íp đặt
4
khi đó, số phức z Ỷ 0 có the viết dưới dạng (1.5) sau được gọi là dạng mũ của 2.
2 = peitp
(1.5)
Ta có cơng thức sau
1,
cos ip = - [eỳ + в !р)
( 1. 6 )
<
1,
sin if = - {eỳ — e 'p) .
Công thức (1.6) được gọi là công thức Euler.
1.1.2. D ã y v à c h u ỗ i số p h ứ c
Dựa vào hàm giá trị tityệt đối ta có thể nói về sự hội tụ của một dãy số thực, hoàn
toàn tương tự ta cũng có thổ nói về sự hội tụ của dãy số phức bằng việc áp dụng hàm
rnỏđun.
Cho dã}r số phức {zn} £
с,
ta nói dãy này hội tụ tới z £
с
nếu \zn — z\ —>■ 0 khi
n —У 00. Điều này có nghĩa là Ve > 0, 3ne, Vn > n £ : \zn — z\ < £. Do
Zn
= x n + iynì z = x + iy ,
nên zn —> z khi và chỉ khi x n —> X và yn —>• y. Như vậy, tất. cả những gì đã biết về sự
hội tụ trong M. có thể chuyển tương ứng sang c . Chẳng hạn, ta có:
ỉ. Nếu zn —y z thì \zn \ —> \z\ .
ỉỉ. Nếu zn —> 2, 0Jn —> ÙJ, thì:
—У ZU)]
z /
, s
— (co 0).
ỈU. Dãy {zn} hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy, tức là
Ve > 0, 3ne, Vn, m > n e : Izn — zin\ < £.
iv. Mọi dãy {zn} bị chặn trong
с
(nghĩa là: Slip \zn \ < oo) có một dãy con hội t,ụ.
n>l
V. Dãy { z n} —>• 2 khi và chỉ khi R,ezn —>• R e 2 và 1гпг„ —> Im 2.
5
Đ ịn h n g h ĩa 1.2. Cho dãy số phức { u,n} € с . Biểu thức hình thức
oo
ỉlị + Щ + • • • + un + • • • = 'y ^ un
n= 1
(1-7)
được gọi lò, chuỗi số phức với số hạng tong quát ì,à un.
Đặt:
s1= Ui,
S ‘2 — и 1 + и,2,
>Sn — U1 + lt‘2 + • • • + un,
s
Khi đó, S n dược gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi (1.7). Nếu tồn tại lim S n — Ỷ 00
X—ỳOO
thì chuỗi (1.7) được gọi là chuỗi hội tụ và s được gọi là tổng của nó. Khi đó, ta viết
oo
s ^ ^un.
n= 1
Chuỗi không hội tụ được gọi là chuỗi phân kỳ.
Đ ịn h lý 1.1. Giả sử chuỗi (1.7) hội tụ tuyệt đối. Khi đó:
i. Chuỗi (1.7) là hội tụ;
oo
ii. Nếu õ : N —Ï N là một song ánh thì chuỗi ^ Щ{п) hội tụ và
n= 1
oo
oo
^ ^ LLn.
n=1
^ ^ ^ổ(n)
Tỉ=l
1.2. T ôpô trên m ặt p h an g phức
1 .2 .1 . C á c k h á i n iệ m cơ b ả n
Vì mặt. phẳng phức С có thể đồng nhất, với R 2 qua ánh xạ 2 I—у (Re 2, Im 2) liên
tôpô của mặt. phẳng phức с chính là tơpơ của R 2. Vì vậy, ở đây ta chỉ nhắc lại và nói
thêm một. số điều cần thiết dưới ngơn ngữ số phức.
6
Trước hết lân cận của một điểm a G с là tập bất kỳ bao hàm hình trịn D (a ,r)
tâm a, bán kính r > 0.
D (a, r) = {z e С : \z - a\ < r} .
Đặc biệt D (a ,r) là một lân cận của a và được gụi là r lân cận. Rõ 1’àng:
i. Nếu u là lân cận của a G с thì mọi tập hợp bao hàm и là lân cận của a.
ii. Giao hữu hạn và hợp của một họ bất kỳ các lân cận của a là lân cận của a.
iii. Nếu u là lân cận của а thì tồn tại lân cận V của а sao cho V là lân cận của mọi
z e v vầV Cư.
Tập G ' c C gụi là mở nếu G là lân cận của mọi điểm của nó. Hiển nhiên 0 và с là
c á c tậ p II1Ở, h ợ p c ủ a m ộ t h ọ b ấ t k ỳ v à g ia o c ủ a m ột. h ọ h ữ u h ạ n c á c t ậ p II1Ở là t ậ p n iở .
Từ định nghĩa suy ra hình trịn D(tt, /■) là tập mỏ với mọi a G с và mọi r > 0.
Tập F С С được gụi là đóng nếu phàn bù của nó
= с \ F là mở. Từ tính chất
của các tập mở suy ra ngay tập hợp của một số hữu hạn và giao của họ bất kỳ các tập
đóng là tập đóng.
Cho X С С, khi đó ta có một số khái niệm sau:
i. Điểm z° G X gọi là điổm trong của X neu X là lân cận của Zq. Nói cách khác, tồn
tại £ > Ü, để D (zũ,e) с X . Tập tấ t cả các điểm trong của X được gụi là phần trong
0
của X và kí hiệu là int. X hay X .
ii. Điểm Zq gọi là điểm tụ của X nếu mọi lân cận и của Zq chứa ít, nhất một điểm
của X khác
Z(J.
Tập tấ t cả các điểm tụ của X gụi là tập dẫn xuất (thứ 1) của X v ầ ký
hiệu là X ' .
iii. Điểm Zq gọi là điểm cô lập của X nến tồn tại một lân cận ư của z0 chứa duy
nhất điểm
zq
thuộc X .
iv. Điểm z0 hoặc là điổm tụ hoặc là điểm cô lập của X được gọi chung là điổm dính
của X . Đặt. X — tập các điểm dính của X . Rõ ràng X là tập đóng khi và chỉ khi
X — X và X là tập đóng nhỏ nhất, chứa X . Vì vậy X được gọi là bao đóng của X .
V. Tập X là tập đóng nếu mọi dãy trong X hội tụ thì giới hạn của nó thuộc X .
vi. Điểm z° gụi là điểm biên của X nếu и п X Ф 0 và и п (C \X ) Ф 0 với mọi lân
cận ư của z°. Tập lấl cả các điổin bien của X kí liiộu là ÕX. Hiổn iihiOii
дХ = Х \ Х .
7
1.2.2. T ậ p bị c h ặ n và t ậ p c o m p a c t
Tập X С с gọi là bị chặn neu tồn tại R > Ü sao cho \z\ < R ,V z G X .
Tập X được gọi là cornpact nếu mọi dãy trong X có chứa ruột dãy con hội tụ tới
một điểm thuộc X . Dễ dàng kiểm tra lại các khẳng định sau:
i. Giao của một họ b ất kỳ và hợp của một họ hữu hạn các tập compact là compact.
ii. Tập compact là tập đóng và bị cliặn.
iii. Mọi tập con dóng của một. tập compact, là compact. Định lý 1.2 sau là hệ quă
trực tiếp của việc đồng nhất, с với R 2 và từ hệ thức
\z\2 = |R e z |2 + |I n iz |2 với z e c .
Đ ịn h lý 1.2. Giả sử
X i D x 2 D ■■■ D x n D ■■■
là m ột dãy giảm các tập compact, khác rỗng của c . Khỉ đó,
oo
П Xn Ф 0 .
n=l
Đ ịn h lý 1.3. Giả sử X là tập compact trong c . Khi đó, đối với mọi r > 0, tồn tại
m ột số hữu hạn các hình trịn tâm thuộc X bán kính r phủ X .
Đ ịn h lý 1.4 (Heine-Borel). Giả sử X ỉà tập con của c . Các điều kiện sau ỉà tương
đương:
г. X là compact;
гг. Mọi phủ 'mở của X chứa m ột phủ con hữu hạn;
ỉỉỉ. X đóng và, bị chặn;
ơ dây, ta nhớ lại rằng một phủ IIIở của X là một họ các tập II1Ở {G ị}i&ĩ t.rong с
sao cho X С u Gị. Ta nói phủ mở {Gị] £l chứa một phủ con hữu hạn nếu tồn tại
iGl
il, i‘2 , ■.. , i n sao cho X с Gị! и • • • и Gịn.
1.2.3. G iả k h o ả n g c á ch g iữ a h a i t ậ p h ợ p
Giả sử A và В là các tập con của с . Ta gọi số
d (Л, В ) := inf {\a — b\ : a e A ,b e B }
8
là giả khoảng cách giữa A và B. Viết, d(a, B) khi A = a. Rõ ràng rằng:
i. d { A ,B ) = d {B ,A ).
ii. Nếu A n D — 0 thì (Z(Ấ, D) — 0. Tuy nhiên điều ngược lạinói chung khơng đúng.
Đ ịn h lý 1.5. Giả sử A và B lị, CẢC tẬp đóng khác rỗngtrong c
và m ột trong chúng là
compact. Khi đó:
i. Tồn tại a G A ,b G B để d (A , B) = \a — b \.
ii. Nếu A n B — 0 thì d (A , B ) > 0.
1.2.4. Đ ư ờ n g v à m iề n tr o n g m ặ t p h a n g p h ứ c .
Giả sử íf (t ) và ĩỊj (t ) là các hàm giá trị thực liên tục trên đoạn [a,b] (a< b). Khi đó,
phương trình
z = z (t,) = (f (t) + iìỊj (t) ,a < t < b
cho biểu diễn tliam số của đường cong liên tục L = 2([a, b]) trong c . Đường cong được
gụi là trơn nếu nó có biểu diễn tham số z (t.) = íp (t ) + i(p (t ) sao cho
và ĩp là các hàm
có đạo hàm licn tục với
\
cong trơn từng khúc. Các điểm z(a) và z(b) lần lượt, gọi là các điểm đầu và cuối của
đường cong L. Sau này các đường cong ta luôn coi là liên tục.
Đ ịn h lý 1.6. Với mọi r > 0 tồn tại CÁC điểm, 20, Zi, . . . , zn G L sao cho
với
Zj+l
G D (Zj, r ) .
Một đường cong L có điổm đầu và điổm cuối trùng nhau được gọi là đường cong
kín. Đường cong khơng có điểm tự cắt, tức là không tồn tại ti, t-2 G (a, b) để
ip ( t i ) + #
(t’l ) = < p {t’2 ) + #
ih)
v à i f ( t ỵ ) + iĩjj (íx ) Ỷ 9 («') + #
(«')
được gọi là đường cong Jordan. Đường cong Jordan kín cịn được gọi là chu tuyên.
Tập ũ c c được gụi là m ột miền nếu nó thỏa m ãn hai điều kiện:
9
i. Q là tập mở.
là liên thông, tức là với hai điểm tùy ý a, b G
ii.
điểm
tồn tại đường cong L c Q có
đ ầ u là a v à đ iể m c u ố i là b.
Giả sử 7 là một. chu tuyến trong c . Địnli lý Jordan nói rằng m ặt phang 7 chia mặt.
phẳng c thành hai miền. Một trong hai miền đó là bị chặn (khơng chứa oo) ký hiệu là
íỉ7 hay
và gọi là miền trong giới hạn bởi
7.
Miền còn lại viết, là Q~ là miền ngoài
giới hạn bỏi 7 .
Hiển nhiên d ữ — 7 . Ta quy ước chiều dương của d ữ là chiều mà đi dọc t.heo dữ
miền fì7+ ln nằm VC bcn trái. Mũi ten trong hình 1.1 chỉ chiều dương của dQ. Khi
có phân biệt đến chiều, ta viết. ỠQ+ là biên của Q với chiều dương CÒĨ1 d ũ ~ là biên của
Q lấy theo chiều ngược lại.
Miền Q được gọi là miền đơn liên nếu với mọi chu tuyến 7 c Q ta đều có fì7 c Q.
Nếu tồn tại các chu tityến
«ao cho các miền Q7l , Q72, . . . không bao hàm
trong Q ta nói Q là miến đa licn. Ta nhận thấy rằng nếu bổ sung vào dQ các đường
l ị ,l 2, . . . thì miền thu được sẽ là miền đơn liên.
Hình 1.1:
Hình 1.2:
10
1.3. H àm số b iến số phức
1.3.1. H à m b iế n p h ứ c
Đ ịn h n g h ĩa 1.3. Giả sử íỉ с с là một tập tùy ý cho trước, m ột hàm biến ỹỉiức trên
Q với giá trị phức ÌÀ m,ột ánh xạ
f : Q c.
Hàm, nhu vậy được ký hiệu là
иJ = f (z) , z E LU.
Đ ịn h n g h ĩa 1.4. Khi Q —>с là đơn ánh, hàm f ở (1.3) đuợc qọi là đơn diệp. Có thể
xảy ra trường hợp f không đơn diệp trên Q nhưng có thể chia íỉ thành các tập con ũj
lớn nhất trên đó f là đơn diệp. Khi đó, mỗi Qị được gọi là m iền đơn diệp của / .
Bằng cách ta viết и — и + iv, u — Re cư, V — Im cư, hàm / có thể viết dưới dạng
/ (z) - и ( 2 )
+ iv ( z ) .
Hai hàm и và V được gụi là phần thực với phần ảo của / .
u{z) = Re f ( z ) = ( R e /) { z ) .
V (z) = Im / (z) = (Im / ) (z) .
Bằng cách đồng nhất 2 với (х,у), X — R ez, y — I m z , hàm / có thể coi như hàm của
hai biến t.hực X, у và vậy t.hi liai hàm и và V cũng được coi như thế.
Bây giờ ta xót. tính lien tục và lien tục đều của hàm bien phức.
Đ ịn h n g h ĩa 1.5. Cho hàm f xác định,
trên tập tùy ỵ / Q c C
với giá trị trong с và z0
là điểm, tụ của Q
xa vô tận.số phức a
G с gọi là giới hạn của
hữu hạn hay là điểm
hàm, f ( z ) khi z dần đ ến Zq và v i ế t
lim f (z) — a
2^20
nếu với
mọi lân cận V của
a tồn tại lân cận и của ZQ sao
cho
f (z) e V với m.ọi z e Ư n Q, z Ỷ
Zo
ll
N h ậ n x é t 1.1.
i. Khi z0 ỉầ hữu hạn, điều trcn có nghĩa là Ve > 0, 3Ố > 0,V z G
0 < \z =
zq\
<
ỗ
thì
\f(z) - a \ < £ .
ii. Khi Zq = oo, thì phát biểu vừa пси nói rằng
Ve > ü, 3 R > 0, V2 G Í2, \z\ > R
\ f (z) - a \ < £ .
iii. Điểm Xã vô tận a = oo G с gọi lã giới hạn củ ã f ( z ) khi z —>■z0nếu Vfí > Ü, tồn
tại m ộ t lấn cận ư củ а z 0 São cho
I/ (z)| > R, \/z G и П Q, z Ф z0.
Đ ịn h n g h ĩa 1.6. Hàm f qọi là liên tục tại z0 nếu m ột trong hai điều kiện sau đuợc
thỏa mẫn:
i.
cho и П
Điếm
zq
là điếm cơ ỉập của Q. Nói cách khác tòn tại lân cận của ZQ (trong ũ ) sao
= {z0} •
ỉỉ. Nếu Zq khơng là điểm cơ lập của Q thì lim f (z) — f ( zq) .
z-> z0
Dễ thấy ỉ trong định nghĩa 1.6 tương dương với mọt t.rong haiđiều kiện
sau:
ỉ'. Với mọi £ > 0, tồn tại một lân cận и của z0 sao cho
\ f { z ) - f ( z 0)I < £ ,\/z e ư n Q .
ỉi'. Nếu {zn} С D, zn ->■ z0 thì lim / (zn) =
n —too
f
(z0) .
Khi viết / (z) = и (2) + iv ( z ) , 2 G Q dễ dàng thấy rằng / liên tục tại Zq g 0 khi và
chỉ khi и và V liên tục tại Z(j.
Đ ịn h n g h ĩa 1.7. Hàm f đitợc gụi ỉà liên tục trên íỉ nếu nó lỉêĩi tục tại mọi z G ũ .
Tương tự như đối với hàm biến thực, nếu / (z) và q (z) là các hàm liên tục tại ZQ G ũ
thì: a f (z) + ß g ( z ) , / (z) g { z ) ,
(g ( zq) Ф 0) liên tục tại Zq € о với mọi a , ß € с .
12
Đ ịn h n g h ĩa 1.8. Hàm f được gọi lồ, hàm liên tục đều trên Q nếu
Ve > 0, 3Ố > 0, Vzi, Z-2 Ф oo, Zi, Z-2 £ o , \zi — Z‘2 1 < ố,
\ f ( z 2) - f ( z i ) \ < £.
Rõ ràng nếu / liên tục đều trên Q thì nó là hàm liên tục trên Q.
Đ ịn h lý 1.7. Nếu f liên tục trên tập com,pact, к с с thì f liên tục đều trên к .
Đ ịn h lý 1 .8 . Nếu f lỉêĩi tục trên tập compact к с с thì hàm z —у I / (z ) I đạt cận trên
đúng và cẬn dưới đúng trên K , tức lồ, tồn tại a,ỉ) G к để
I/ (a)\ = sup I/ (z)\ vk I/ (6)1 = i n f l f ( z ) I.
z€ĩ<
Đ ịn h lý 1.9. Nếu / liên tục trên tập compact к с с , tili f (К ) с с là compact.
1.3.2. C h u ỗ i h à m
Đ ịn h n g h ĩa 1.9. Cho dẫy hàm biến số phức
/ i , / 2,
cùng xác định, trên tập tùy ý
(1.8)
с с . Dãy hàm, (1.8) được gọi lồ, hội tụ tại 2 E í! nếu
dãy số phức { f n (2 )}00 hội tụ. Nếu dãy (1.8) hội tụ tại mọi z E Q, ta nói nó hội tụ trên
n.
Trong trường hợp giới hạn của dã}r là hữu hạn t.rên П, bằng cách đặt
f (z) = lim f n (z) ,z e Q
(1.9)
n —ĩ 00
t,a nliận được hàm f : Q
Đ ịn h n g h ĩa 1.10.
c.
Hàm f được xác định bởi công thức (1.9) gọi
là hàm giới hạn của
dãy ( 1.8) và viết
f=
Nói m ột cách cụ
lim Л ,
n —>00
thể hơn hàm / là giới hạn của dãy hàm {f n}
Vs > 0 ,3 z E Q, 3 N
\ fn(z) -
(e , z ) , Vn > N (£, z ) ,
f { z ) \ < s.
13
t.rênQ
nếu
Đ ịn h n g h ĩa 1.11. Cho dãy hàm {f n} trên tì- Nếu \/ e > ü, 3 N (e) sao cho
\fn (z) - f {z)\ < £, Vn > N (e) và Vz e Q
ta nói dãy hàm, {f n} hội tụ đều tới f trên Q.
Rõ ràng mọi dã}r hội tụ đều là dãy hội tụ.
Đ ịn h n g h ĩa 1.12. Cho dãy hàm, { f n} là m ột dãy hàm trên Q с c . Khi đó, “ biểu
thức” hình thức
oo
/l +
/2 +
••• +
fn +
••• —
In
(1 .1 0 )
n —\
được qọi là chuỗi hàm trêĩi ũ .
Nếu đặt đối với mỗi n > 1
n
Sn {z) = ^ 2 fk {z), z e tì
k= 1
t.a nhận được dãy hàm {.SVi} trên fỉ. Dãy hàm này được gọi là dãy các t.ong riêng của
chuỗi hàm (1.10). Hơn nữa S n (z) gọi là tong riêng thứ 11.
Đ ịn h n g h ĩa 1.13. Chuỗi hàm (1.10) gọi là hội tụ hay khả tong nếu dãy { Sn} hội tụ.
Nếu dãy {-Sn} hội tụ đều thì chuỗi (1.10) gọi là hội tụ đều. Hàm
f {z) = lim S n (z ) , 2 G Q
n —>00
00
00
gọi là tổng của (1.10) và viết, f =
fn hay f ( z ) =
ỉn ( z ) , z G Q , giả sử chuỗi
n= 1
n=l
(1.8) hội tụ và / là tổng của nó. Với mọi n > 1, đặt
00
Rn (z) = f (z) - s n (z) = ^ 2 fk { z ) , z e íĩ.
k=n+ 1
Khi đó, {fí„} là một dãy hàm t.rcn Q và gọi là dãy các phần dư của chuỗi (1.10). Hơn
nữa R n gọi là phần dư thứ 11. Rõ ràng chuỗi (1.10) hội t.ụ liến và chỉ nếu dãy {R n} hội
tụ tới không và chuỗi (1.10) hội tụ đều nếu và chỉ nếu dã}r {J?Tt} hội tụ đều tới khơng.
Vì vậy:
i. chuỗi (1.10) hội tụ nếu và chỉ nếu
\/z G ũ ,V e > 0 , 3 N = N ( e ì z ) 14n > N : \Rn {z)\ < £.
14
ii. Chuỗi (1.10) hội tụ đều neu
V£ > 0,3 N = JV(e),Vn > N,Vz G о : IRn {z) I < e.
oo
Đặt, \fn \ (z) — \fn (2) 1, khi đó, t.ừ chuỗi ( 1.10) có chuỗi các moduli
\fn\n= 1
oo
Đ ịn h n g h ĩa 1.14. Chuỗi, (1.10) được gọi lò, hội tụ tuyệt đối, nếu chuỗi
\fn\ hội t'Vn= 1
Rõ ràng mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối là hội tụ. Theo tiêu chuẩn D ’alambert, hoặc
Cauchy ta có thể tìm dược miền hội tụ tuyệt đối của chuỗi (1.10). T h ật vậy, xác định
các giới hạn:
i f (z) = lim \fn+1 ^
n^°°
(nếu có),
\fn {z)\
Ф (z) = lim sup ự \ f n (z)\.
7Ĩ —Уoo
Khi đó, nếu (f (z) < 1 hoặc Ф (z) < 1 thì chuỗi (1.10) hội tụ tuyột đối tại z cịn neu
íp(z) > 1 hoặc Ф (z ) > 1 thì clmõi (1.10) phân kì tại
Đ ịn h lý 1.10 (Tiêu clmẩn Cauclxy). Đe chuỗi (1.10) hội tụ đều trên Q điều kiện cần
và đủ là
Ve > Ü, 3N ( e ) , Vn > 7V,Vp > 1, Vz G ft,
\fn+l (^) + ■• ■ + fn+p (^)l ^
n
Đ ịn h lý 1.11 (Tiêu chuẩn W eierstrass). Nếu chuỗi số dương
an
hội tụ và, tồn tại
n= 1
N sao cho
l/n (^)l < a„, V2 G fì,V n > N
thì ch-uỗi (1.10) hội tụ đều.
Đ ịn h lý 1.12. Chuỗi (1.10) hội tụ đều và tp(z) là hàm, bị chặn trên Q thì chuỗi
oo
(z) fn (z) hội tụ đều .
n= 1
Đ ịn h lý 1.13. Nếu chuỗi (1.10) hội tụ đều và các hàm fn liên tục trên Q thì tơng f
của nó củnq liên tục trên ũ .
Đ ịn h lý 1.14. Giả sử chuỗi (1.10) hội tụ đều trên Q và z0 G ÕQ. Giả sử tồn tại các
giới hạn hữu, hạn
liin / (z) =
z-> z0
ck, к — 1, 2, . . .
zےl
15
oo
Khi đó, chuỗi số ^ Ch hội tụ và nếu / là tổng của chuỗi (1.10) thì
k=ì
oo
lim / «
oo
cn =
= £
Z—>Zq
z£íl
n= 1
fn (2 )•
n= 1
N h ậ n x é t 1 .2 . T ừ định ỉý 1.14 tã suy ra rằng: Nếu chuỗi (1.8) hội tụ đều trcn Q và
cấc hàm f n liên tục trên Q thì chuỗi cũng hội tụ dều trên Q vầ tong của 1ÌĨ cũng ià
hầm liên tuc trên Q.
Trường hợp ricng quan trọng của chuỗi hàm là chuỗi lũy thừa
CO
71=0
ha}r t.ổng quát hơn
oo
(1.12)
^ 2 c n{z - zữ)n.
n=0
Nếu đặt. z = z — Zq chuỗi (1.12) đưa về chuỗi (1.11). Vìvậy ta chỉ cần nghiên cứu
chuỗi (1.11). Rõ ràng chuỗi (1.11) luôn hội t.ụ tại 2 = 0.
Đ ịn h lý 1.15 (Abel). X ét chuỗi (1.11). Khi đố:
i. Giả sử chuỗi (1.11) hội tụ tại Zq ỷ
Khi đó, chuỗi hội
tụ tuyệt đốitại \z\ <
\z q \
và hội tụ đều trên hình trịn đónq D (0, r) với 0 < r < \zo\.
ii. Nếu chuỗi (1.11) phân kỳ tại Zq thì nó phÂn kì tại m,ọi z 777,0, \z\ > \z0\.
Đ ịn h lý 1.16 (Bán kính
hội
tụ). Tồn tại số R (0 < R < +oo) sao cho chuỗi (1.11)
hội tụ khi \z\ < R và phân kỷ khi \z\ > R. số R gọi là bán kính hội tụ của chuỗi.
Đ ịn h lý 1.17 (Cauchy- H’adam ard). Bán kính hội tụ của chuỗi (1.11) cho bởi công
thức
1
R =
lim sup
~ ' -~>
N h ậ n x é t 1.3. Nếu tồn tại lim
n—>00
dược cho bởi
Cn
y/\cn\
thì bán kính hội tụ cỉm lũy thừa ( 1.11) cùng
R — lim
n —>oo
16
c„
a n+l
1.4. H àm giải tích
1.4.1. K h á i n iệ m h à m g iải tíc h
Hàm của liai biến t.hực có thể хеш như hàm của m ột biến phức. Điều ĩiày cùng với
cấu trúc đại số của с dẫn ta đến một, lớp hàm hết, sức quan trọng. Đó là lớp hàm с K hả vi. Chương này nhằm trình bày m ột số tính chất ban đầu của lớp hàm này.
Đ ịn h n g h ĩa 1.15. Cho hàm số f xác định trên miền í l c C . X ét giới hạn
f ( z + A z) - f ( z )
lim --------- —^-------------, 2,2 + A z £ 12.
Aæ->-0
Az
Nếu tại điểm, z giới hạn này tồn tại thì nó được qọi là đạo hàm phức của f tại z, ký
hiệu là f ' ( z ) hay
Như vậy
f
{z) =
J v '
Z ì z + A z e ũ ,
Ii m
дТАо
Az
Hàrri / có đạo hàm phức tại z cũng được gọi là khả vi phức hay с - khả vi tại г.
Bởi vì
lim [/( г + Д г) - /(г )] =
Д; д 0 1 v
у
п
lim / ( 2 + А г ) - / ( г ) Д г =
д*Ао
Дг
о
псп псп / С - khả vi tại 2 thì lim [f(z + A z ) — f ( z )] = 0. Nói cách khác / liên tục
tại
2.
Cũng như đối với hàm biến thực, bởi quy nạp ta viết / ('k> —( / ^ -1^)
nếu vế phải
tồn tại và gọi là đạo hàm phức cấp к: của / t.rcn Q.
Do địnli nghĩa đạo hàm phức hoàn toàn tương tự với định nghĩa đạo hàm của
hàm
một biến thực, ta dễ dàng thiết lập các công thức sau.
Đ ịn h lý 1.18. Nếu f(z) và g(z) kỉiả vi
f ( z ) / g ( z ), (g{z0)
ỷ
0) củng khả vi tại z0
phức tại z0 tỉâ a f ( z ) + ß f { z ) , f ( z ) . y ( z ) và
với m,ọi a ,ß £ с và:
i.
( a f + ßg) (г0) = a f (z0) + ß g ( z 0).
гг.
и я) ы
(гỊ^(
ы
= / ы . ) + f ( z 0)ỗ/(zQ).
^_ / о Ы
= —
17
- f { z 0) g ( z 0)
iv.
Nếu си = f{z) khả vi phức tại Z(J còn
khả vi phức tại ÙJ0 = f ( z 0) thì hàm
hợp 9of khả vi phức tại z0 và (g f ) (z0) = g {f {z 0) ) f (z0).
Ta có điều kiện Cauchy - Rieniaiiĩi sau Giả sử f ( z ) = u(x, y) + iv(x, y), z — X + iy
xác định trong miền Г2 с
u(x, y)
và
v(x, y)
c.
Hàm / được gọi là M2- khả vi tại z = X + iy nến các hàm
k h ả v i tạ i (x ,
Đ ịn h lý 1.19. D ẻ hàm f trên
y).
с
- khả vi tại z = X + iy G rỉ điều kiện cần và đủ là
hàm f trên R 2- khả vi tại z và điều kiện Cauchy- Riem ann sau được thỏa m,ãn tại z.
du
ỡv
— (яс,г/)=Tz ~ (x,y)Ox
õy
du
dv
77-(х,у) =~Т—{х,у)
ay
fl
3Ì
ox
с.
N h ậ n x é t 1.4. i. Giả sử f là hàm M2- khả vi tại z E Q с
Ш2 khẵ vi tại z vầ C-
khẫ vi tại đó nếu và chỉ nếu
ỗ f,
,
ề z) =ũli. Nếu f trẽn С - khả vi tại z thì tã có
ỏl
.
1 ( ỗu
.ƯV , .
.ỗu .
ỗv . Л
ỏz {z)=2\ủ(z) +iù z)-%{z)w z))
1 { A u , N „.ÖV . Л
ỗu . .
.ỗv , .
.
= 2 ự l (2) + 2T x {z)) = ĩ , {z) + % (z) = 1 {z)Đ ịn h n g h ĩa 1.16. Cho hàm f xác định trong m iền f i c C với giá trị trong с gọi là
giải tích tại Zq £ Q nếu tồn tại r > 0 đê f trên с - khả vi tại mọi z G ũ ta nói f giải
tích trên
Nếu f giải tích tại mọi z E Q ta nói f giải tích trêĩi Q.
N h ậ n x é t 1.5. Tã cố th ể m ở rộng định nghĩa nêu trên tới trường hợp Q lầ miền tù y
ý trong
С CỊ1Ì f
là ánh xạ từ Q vào
с
bởi phép nghịch đảo. Như vậy, khi z 0 hữu hạn
CỊ1Ì f(zo ) — oo tã nói f' giải tích tại z 0 nếu f { l / z ) giắi tích tại ZQ, cịn khi ZQ — oo tã
nói f giải tích tại z0 nếu f
giải tích tại Ü. Nếu khơng có gì đặc hiệt tã luôn coi
f i e С và f là hữu hạn. Ta có cấc hằm đã thức giải tícli trên tồn m ặt phẩng c . Cấc
hàm hữu tỷ cũng giải tích Ếrcn
с
trừ ra tại các điểm mà nó khơng xác định.
T ừ định lý 1.18 ta có
18
Đ ịn h lý 1.20. Giả sử Q с С là m ột m iền và H (Q) lồ, tập CÁC hàm, giải tích trên Q.
Khi đó:
ỉ. H (fỉ) là một khơng qỉan véctơ trẽn c .
vi. H (fì) là một, vành.
Hi. Nếu f G H (fì) và f {z) 7^ 0,
G íỉ thì -J G H (íỉ).
iv. Nếu f G H (ũ) va, f cM nhận giá trị thực thì f lồ, khơng đoi.
Cũng từ định lý 1.20 iv ta có
Đ ịn h lý 1.21 (về hàin hợp). Nếu f : Q —> Q* và g : Q* —> с là các ìlàm giải tích, ở
đây Q và
Q* là các
miền trong mặt phang {z) và (vì), thì hàm,
(]of :
>с
giải tích.
oo
Đ ịn h lý 1 .2 2 . Giả sử chuỗi lũy thừa
Cnz n có bán kính hội tụ R > 0. Khi đó, tổng
71 = 0
oo
f ( z ) của nó giải tích tại m,ọi z với \z\ < R và đạo hàm, phức của nó ì,à
Cnz ĩl~l .
n= 1
H ệ q u ả 1.1.
i.
(e*)'
— ez .
ii.
(sin z)'
— COS 2.
iii.
(cos zỴ
— —sill z.
iii.
(cos z)'
—
—siĩl 2.
iv.
(sh z ) r
=
chz.
V.
(ch zỴ
— sh z.
vi.
(ln z)'
=
-, z 6
19
c \ [ü, oo
Chương 2
X ây dựng hàm giải tích với tập
khơng điểm là tập khơng có điểm
tụ cho trước
2.1. Đ iểm bất th ư ờ n g, kh ôn g đ iểm của hàm giải tích
2 .1 .1 . Đ iể m b ấ t th ư ờ n g c ủ a h à m g iải tíc h
Giả sử / là hàm xác định trên miền Q. Điểm 20 g C gọi là điểm bất thường của /
nếu tồn tại r > 0 sao cho vànli kliăn 0 < \z — Zq\ < r bao hàm trong Q và f giải tích
trên vànli kliăn đó khơng thể mỗ rộng giải tích tới z0, tức là khơng tồn tại hàm giải
tích ợ trên hình trịn \z — Zq\ < r sao cho
g(z) = f ( z ) với 0 < \z — Zq\ < r.
Giả sử / giải tích trên vành khăn 0 < \z — Zq\ < r. Chỉ có thể xảy ra một trong ba
k h ả n ă n g sa u :
i. Tồn tại lim f ( z ) = a G c. Khi đó, z0 được gọi là điểm thường của / .
Z->Zo
ii. Tồn tại lim f ( z ) — oo. Khi đó, Zq được gọi là cực điểm của / .
z->-zo
iii. Không t.ồn tại lim f ( z ) (t.rong C). Khi dó, z0 dược gọi là điếm bất thường cốt
£->•20
yến cíia / .
Đe khảo sát các trường hợp này ta xét khai triển Laurent của / t.ặi Zq trên vành
20
