Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song trong hình học không gian 11

Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song trong hình học không gian 11

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
“PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ
QUAN HỆ SONG SONG TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11”
GV: NGUYỄN ĐĂNG LONG - Tổ: Toán – Lí
Trường THPT Võ Thị Sáu
A. MỤC ĐÍCH – YÊU CẦU
1. Mục đích
Qua nội dung của chuyên đề này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho các em học sinh
lớp 11 một số kỹ năng vẽ hình cơ bản, phương pháp chứng minh của một số dạng bài toán
liên quan đến quan hệ song song trong không gian. Học sinh thông hiểu, vẽ hình chính
xác và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, không mắc sai lầm khi làm bài tập. Từ
đó các em học sinh có cơ sở cũng như phương pháp giải một số bài toán bắt buộc trong
sách giáo khoa Chương II Hình Học lớp 11 một cách có hiệu quả.
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh khối 11 qua các lớp 11A1 , 11A2,
Phạm vi nghiên cứu:
Phạm vi nghiên cứu của đề tài là “Chương II: Đường thẳng và mặt phẳng trong
không gian. Quan hệ song song” sách giáo khoa hình học 11 ban cơ bản.
Thời gian dạy: 10 tiết
3. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp thực nghiệm
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
4. Thực trạng của vấn đề
Khi gặp các bài toán liên quan đến việc chứng minh quan hệ song song trong
không gian đa số học sinh vẽ hình không chính xác, chưa phân loại và định hình được
cách giải, lúng túng khi làm bài tập. Trong khi đó bài toán liên quan đến chứng minh quan
hệ song song trong không gian có rất nhiều dạng bài tập khác nhau, nhưng chương trình
hình học lớp 11 không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, thời lượng dành cho việc

làm bài tập các dạng bài toán này là rất ít.
Khi giải một bài toán về chứng minh quan hệ song song trong không gian ngoài
yêu cầu đọc kỹ đề bài, phân tích giả thuyết bài toán, vẽ hình đúng ta còn phải chú ý đến
nhiều yếu tố khác như: Có cần xác định thêm các yếu tố khác trên hình vẽ hay không?
hình vẽ như thế có tốt chưa ? Có thể hiện được hết các yêu cầu của đề bài hay chưa ? Để
giải quyết vấn đề này ta phải bắt đầu từ đâu ? Nội dung kiến thức nào liên quan đến vấn
GV: NguyÔn §¨ng Long

THPT Vâ Thj S¸u

1


Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song trong hình học không gian 11

đề được đặt ra, trình bày nó như thế nào cho chính xác và lôgic… có được như thế mới
giúp chúng ta giải quyết được nhiều bài toán mà không gặp phải khó khăn. Ngoài ra
chúng ta còn nắm vững hệ thống lý thuyết, phương pháp chứng minh cho từng dạng toán
như: tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng, tìm giao tuyến của hai mặt phẳng,
chứng minh hai đường thẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt
phẳng song song.
B. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ
I. Các định lí và tính chất cơ bản
1. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng
TC1 : Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt
TC2 : Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
TC3 : Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi
điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó
TC4 : Có bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng
TC5 : Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng sẽ có một đường

thẳng chung đi qua điểm chung ấy.
2. Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song
Định lí 1 : Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho
trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho
Định lí 2 : Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân
biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.
Hệ quả : Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì
giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một
trong hai đường thẳng đó.
Định lí 3 : Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì
song song với nhau.
3. Đường thẳng và mặt phẳng song song
Định lí 1 : Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng ( α ) và d song song
với d ' nằm trong ( α ) thì d song song với ( α )

Định lí 2 : Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng ( α ) . Nếu mặt phẳng ( β )

chứa d và cắt ( α ) theo giao tuyến d ' thì d song song với d ' .
Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao
tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
Định lí 3 : Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa
đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
4. Hai mặt phẳng song song

GV: NguyÔn §¨ng Long

THPT Vâ Thj S¸u

2

Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song trong hình học không gian 11

Định lí 1 : Nếu mặt phẳng ( α ) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng
song song với mặt phẳng ( β ) thì ( α ) song song với ( β )
Định lí 2 : Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt
song song với mặt phẳng đã cho.
Hệ quả 1: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song
song với nhau.
Định lí 3 : Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này
thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
Hệ quả 2: Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn
thẳng bằng nhau
Định lí 4 ( định lí Ta - let): Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát
tuyến bất kỳ những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ
II. Vẽ hình trong hình học không gian
1) Vị trí chức năng của vẽ hình trong việc học phân môn HHKG.
• Vẽ hình là một khó khăn quan trọng đầu tiên trong việc học hình học không
gian . Có thể nói không vẽ hình thì không thể giải toán hình học
không gian .
• Vẽ hình đúng - trực quan đã đóng góp một phần rất lớn trong việc
giải quyết bài toán hình học không gian .
• Vẽ đúng - trực quan hình học không gian sẽ giải quyết được nhiều
Vấn đề và nhiều mục tiêu khác nhau của quá trình dạy và học
như :
 Tạo tiền đề xuất phát .
 Gợi động cơ - gây hứng thú học tập .
 Củng cố - kiểm tra kiến thức cũ – phát triển kiến thức mới.
 Giáo dục tính thẩm mỹ cho học sinh qua hình vẽ đẹp .
 Phát triển trí tưởng cho học sinh .

2) Yêu cầu đối với hình vẽ :
• Đúng ( các bất biến của các phép chiếu phải được tôn trọng tuyệt
đối ) .
• Trực quan ( trông giống hình thật trong thực tế ).
• Không rườm rà .
• Hình vẽ phải có tính thẩm mỹ cao ( gây hứng thú rất nhiều cho học
sinh ) .
• Đường nét của hình vẽ phải phù hợp với mục đích của bài toán
3) Phương pháp tìm tòi cách vẽ hình :
• Tìm hiểu nội dung bài toán ( đọc kỹ đề ) .

GV: NguyÔn §¨ng Long

THPT Vâ Thj S¸u

3


Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song trong hình học không gian 11

• Tưởng tượng ra hình thật trong thật trong thực tế ( thầy cố gắng chỉ
các hình thực tế để học sinh tưởng tượng ) .
• Các bất biến của phép chiếu song song
• Đối với phép chiếu song song thì tìm xem trong hình thật có các
đường nào song song , các điểm nào thẳng hàng , tỉ lệ các đoạn thẳng
cùng phương …
• Chọn đường , điểm cơ bản chủ đạo và các điểm , đường phụ thuộc
(Thường là chân đường cao và đường cao là điểm cơ bản , đường cơ
bản).
III. Một số dạng toán cơ bản về quan hệ song song.

Dạng 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) .
* Phương pháp:
Cách 1: Xác định hai điểm chung của hai mp.
 A ∈ ( α ) ∩ ( β )
Nếu 
thì AB = ( α ) ∩ ( β ) ( Hình 1)
 B ∈ ( α ) ∩ ( β )

Hình 1
Cách 2: Xác định một điểm chung và song song với một đường thẳng
Dựa vào các định lý sau:
* Định lý 1: định lý 3 đường trung tuyến (SGK trang 57)
a / /b

* Hệ quả: Nếu a ⊂ ( α ) , b ⊂ ( β ) thì d // a // b hoặc d trùng a hoặc d trùng với b

( α ) ∩ ( β ) = d

GV: NguyÔn §¨ng Long

THPT Vâ Thj S¸u

4


Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song trong hình học không gian 11

Hình 2

Hình 3

Hình 4

a / / ( α )

* Định lý 2:(SGK trang 61) Nếu a ⊂ ( β )
thì a // b

( α ) ∩ ( β ) = b

(hình 5)

d / / ( α )

* Hệ quả: Nếu d / / ( β )
thì a // d. ( hình 6)

( α ) ∩ ( β ) = a

Hình 5

Hình 6

Hình 7

( α ) / / ( β )
( γ ) ∩ ( β ) = b
* Định lý 3: (SGK trang 67). Nếu 
thì 
( hình 7)

a / / b
( γ ) ∩ ( α ) = a
* Nhận xét: Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta ưu tiên cho cách 1 là tìm hai điểm
chung lần lượt nằm trên hai mặt phẳng đó bằng cách dựa vào hình vẽ. Nếu trên hình vẽ
chỉ có một điểm chung thì ta chuyển sang cách hai (dựa vào các định lý và hệ quả nêu
trên)
Bài 1: Trong mp( α ) cho tứ giác ABCD có AB và CD cắt nhau tại E, AC và

GV: NguyÔn §¨ng Long

THPT Vâ Thj S¸u

5


Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song trong hình học không gian 11

BD cắt nhau tại F. Gọi S là một điểm nằm ngoài mp( α ). Tìm giao tuyến của
các mp sau:
a) mp (SAB) và mp(SCD)
b) mp(SAC) và mp(SBD)
c) mp(SEF) với hai mp(SAD) và (SBC).
* Nhận xét: Với hai mp(SAB) và mp(SCD) thì học sinh dễ dàng tìm được hai điểm chung
lần lượt là S là E dựa vào hình vẽ (hình 8). Tương tự đối với hai mp(SAC) và (SBD) thì
học sinh cũng phát hiện được giao tuyến là đường thẳng SF. (hình 9)
S
S

B
A

E

B
A

E

F

C

C

D

D

Hình 8

Hình 9

Với câu c) giáo viên nên gợi ý cho học sinh phát hiện ra được điểm chung thứ hai
M, N bằng cách nối EF với BC và EF với AD. ( hình 10)
S

B
A

E

M
F
C

N
D

Hình 10

* Lời giải:
a) Ta có S ∈( SAB ) ∩ ( SCD ) ( 1) ; E = AB ∩ CD ⇒ E ∈ ( SAB ) ∩ ( SCD ) ( 2 )
Từ (1) và (2) suy ra SE = ( SAB ) ∩ ( SCD ) (hình 8)
b) Ta có S ∈( SAC ) ∩ ( SBD ) ( 3) ; F = AC ∩ BD ⇒ F ∈ ( SAC ) ∩ ( SBD ) ( 4 )

GV: NguyÔn §¨ng Long

THPT Vâ Thj S¸u

6


Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song trong hình học không gian 11

Từ (3) và (4) suy ra SF = ( SAC ) ∩ ( SBD ) (hình 9)
c) Gọi M = BC ∩ EF, N = AD ∩ EF
Xét hai mp(SAD) và (SEF) có: S ∈( SAD ) ∩ ( SEF ) , N ∈ ( SAD ) ∩ ( SEF )
Suy ra SN = ( SAD ) ∩ ( SEF )
Tương tự: SM = ( SBC ) ∩ ( SEF ) (hình 10)
Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA’ và CC’,

P là một điểm thuộc đoạn BB’. Tìm giao điểm Q của đường thẳng DD’ với mp(MNP) .
Nhận xét: Để tìm giao điểm Q của đường thẳng DD’ với mp(MNP) thì giáo viên phải gợi
ý cho học sinh tìm giao tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng DD’ với mp(MNP). Giáo
viên yêu cầu học sinh cho biết đường thẳng DD’ nắm trên những mặt phẳng nào và cho
biết số điểm chung của các mặt phẳng đó với mp(MNP)?

A

B

D
x

B

D

C

C
M

Q

M
Q
N
A'

D'

A

P

N
A'

B'

D'

Hình 11

C'

Hình 12

P
B'

C'

Lời giải:
Ta có DD’ ⊂ (CC’D’D)
Xét 2 mp(MNP) và mp(CC’D’D) ta có: N là một điểm chung (1)
MP // mp(CC’D’D)
MP ⊂ mp(MNP)

(2)

(3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ (MNP) ∩ ( CC’D’D) = Nx // MP
Gọi Q = DD’ ∩ Nx ⇒ Q = DD’ ∩ (MNP) ( hình 11)
* Chú ý:

GV: NguyÔn §¨ng Long

THPT Vâ Thj S¸u

7


Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song trong hình học không gian 11

Ta có thể chọn mp(AA’D’D) chứa DD’ và tìm được giao tuyến của 2 mp(MNP) và
mp(AA’D’D) là My song song với đường thẳng NP ( hình 12)
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên hai cạnh AB và CD, (
α ) là mặt phẳng chứa MN và song song với SA.
a) Tìm giao tuyến của mp( α ) với các mp(SAB) và mp(SAC).
b) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp( α )
Nhận xét: Với dạng toán trên học sinh thường hay gặp lúng túng ở chỗ xác định mp( α ).
Giáo viên nên lưu ý cho hoc sinh để xác định mp( α ) ta cần tìm thêm một điểm nằm trên
mp( α ) nữa ngoài hai điểm M và N mà đề bài đã cho. Từ đó mà ta có thề tìm được giao
tuyến của mp( α ) với các mp(SAB) , (SAC) và thiết diện của hình chóp với mp( α )

Hình 13
a) Xét 2 mp(SAB) và ( α ) có:

Hình 14

M là điểm chung

Mặt khác: SA // mp( α ) và SA ⊂ mp(SAB) ⇒ (SAB) ∩ ( α )= Mx // SA
Xét 2 mp( SAC) và mp ( α ) : Gọi O = MN ∩ AC
O là điểm chung của hai mp
Mặt khác: SA // mp( α ) và SA ⊂ mp(SAB)
⇒ (SAC) ∩ ( α )= Oy // SA
( hình 13)
b) Gọi Q = Mx ∩ SB , P = Oy ∩ SC
Ta có ( α ) ∩ (ABCD) =MN ;
( α ) ∩ (SBC) = PQ ;

( α ) ∩ (SAB) = MQ
( α ) ∩ (SCD) = NP

Kết luận: Thiết diện là tứ giác MNPQ.

(hình 14)

Dạng 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ( α ).
GV: NguyÔn §¨ng Long

THPT Vâ Thj S¸u

8


Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song trong hình học không gian 11

Hình 15

Hình 16

• Phương pháp:
* Muốn tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng ( α ) ta tìm giao điểm của đường
thẳng d với một đường thẳng a nằm trên mp( α ) ( hình 15)
 A ∈ d
Tóm tắt: Nếu 
thì A = d ∩ ( α )
 A ∈ a ⊂ ( α )
* Chú ý: Nếu đường thẳng a chưa có trên hình vẽ thì ta tìm a như sau:
- Tìm mp ( β ) chứa d sao cho ( β ) cắt ( α ).
- Tìm giao tuyến a của hai ( α ) và ( β ) (hình 16)
* Nhận xét: Vấn đề của bài toán là xác định cho được đường thẳng a. Nhiệm vụ của giao
viên là hướng dẫn, gợi mở cho học sinh biết cách tìm đường thẳng a và chọn ( β ) sao cho
phù hợp với từng yêu cầu của bài toán trong trường hợp đường thẳng a chưa có trên hình
vẽ
Bài 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của AB, J là một điểm trên AD sao cho
AJ =

2
AD . Tìm giao điểm của đường thẳng IJ với mp(BCD).
3

Nhận xét: Với bài toán này thì học sinh dễ dàng phát hiện được đường thẳng a cần tìm
chính là đường thẳng BD. Nhiệm vụ của giáo viên là cần lưu ý cho học sinh điều kiện để
hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng đó phải cùng nằm trên một mặt phẳng và
không song song.

GV: NguyÔn §¨ng Long

THPT Vâ Thj S¸u

9


Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song trong hình học không gian 11
A

A

I

I

J

B

J
K

B

D

C

D

C

Hình 17

Hình 18

Lời giải:
Từ giả thiết ⇒ IJ và BD không song song.
 K ∈ IJ
Gọi K = IJ ∩ BD ⇒ 
 K ∈ BD ⊂ ( BCD )
Kết luận: K = IJ ∩ ( BCD ) (hình 18)
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi I, J lần lượt
là trung điểm của SA và SB, M là một điểm tùy ý thuộc đoạn SD.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng BM với mp(SAC).
b) Tìm giao điểm của đường thẳng IM với mp (SBC)
c) Tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp(IJM).
Nhận xét: Với giả thiết của bài toán thì dựa vào hình vẽ ( hình 19) học sinh khó mà tìm
được đường thẳng a nằm trên mp(SAC) bây giờ là đường thẳng nào để cắt được đường
thẳng BM, nếu không khéo léo hướng dẫn sẽ có nhiều học sinh nhầm là đường thẳng SC.
Vai trò của giáo viên là gợi ý cho học sinh biết chọn mp(SBD) chứa BM và tìm giao
tuyến của hai mp( SBD) và (SAC) là đường thẳng SO.
Từ đó kết luận giao điểm P của hai đường thẳng BM và SO chính là giao điểm cần tìm.
(hình 20)

S

S

I

I

J

M

J
P

M

A

B

A

B

GV: NguyÔn §¨ng Long
D

THPT Vâ Thj S¸u
C

D

O
C

10


Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song trong hình học không gian 11

Hình 19

Hình 20

Với câu b) (hình 21) thì học sinh cũng khó mà tìm được đường thẳng a nằm
trên mp(SBC) bây giờ là đường thẳng nào để cắt được đường thẳng IM nếu không có sự
hướng dẫn của giao viên. Giáo viên yêu cầu học sinh cho biết đường thẳng IM nằm trên
mp nào ? và đi tìm giao tuyến của mp đó với mp(SBC). Từ đó tìm được giao tuyến là
đường thẳng SE và giao điểm cần tìm chính là điểm F (hình 22).
S

S

I

I

J

J
P

M
A

P

M

B
F

A

B
O

D

C

O

D

C

Hình 21

E

Hình 22

Tượng tự câu a) để tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp(IJM) ta phải chọn

mặt phẳng phụ chứa SC và đi tìm giao tuyến của mặt phẳng phụ đó với mp(IJM). Với bài
toán này thì có nhiều mặt phẳng chứa đường thẳng SC như mp(SAC), mp(SCD) và
mp(SBC). Vấn đề là chọn mặt phẳng nào sao cho việc tìm giao tuyến được thuận lợi là
tùy thuộc vào khả năng của mỗi học sinh, giáo viên không nên gò học sinh đi theo lời giải
của mình.

GV: NguyÔn §¨ng Long

THPT Vâ Thj S¸u

11


Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song trong hình học không gian 11
S

S

I

J

I

P

M
A

J

H

A

B

F

F
O

D

P

M

B

O

D

C
E

C
E
Hình
24

Hình 23
* Lời giải:
a) Ta có BM ⊂ (SBD)

Xét 2 mp( SAC) và (SBD) có S là điểm chung thức nhất.(1)
Gọi O = AC ∩ BD ⇒ O là điểm chung thứ hai (2)
Từ (1) và (2) ⇒ SO = ( SAC ) ∩ ( SBD)
Gọi P=BM ∩ SO ; ⇒ Kết luận: P=BM ∩ (SAC)
b) Ta có IM ⊂ (SAD)
Xét hai mp(SAD) và (SBC) có: S là điểm chung thứ nhất
Gọi E = AD ∩ BC ⇒ E là điểm chung thứ hai
⇒ SE = (SAD) ∩ ( SBC)

Gọi F= IM ∩ SE ⇒ F =IM ∩ (SBC)

( Hình 23)

c) Ta có SC ⊂ (SBC)
Xét 2 mp( IJM) và (SBC) Ta có JF = (IJM) ∩ (SBC)
Gọi H = JF ∩ SC ⇒ H=SC ∩ (IJM)

(Hình 24)

Dạng 3: Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng ( α ).
* Phương pháp: (Định lý 1 SGK trang 61 ).
d ⊄ ( α )

Tóm tắt: Nếu d / / a thì d // ( α )
a ⊂ α

( )

Hình 25

GV: NguyÔn §¨ng Long

THPT Vâ Thj S¸u

12


Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song trong hình học không gian 11

* Nhận xét: Vấn đề nêu lên ở đây là đường thẳng a có trên hình vẽ hay chưa, nó được xác
định như thế nào, làm thế nào để xác được nó. Giáo viên cần làm cho học sinh biết hướng
giải quyết của bài toán là dựa vào giả thiết của từng bài toán mà xác định đường thẳng a
như thế nào cho phù hợp.
Bài 6: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, K, G lần lượt là trọng tâm của các
tam giác ABC, A’B’C’ và ACC’. Chứng minh đường thẳng IG song song với
mp(BB’C’C).
* Nhận xét:
- Để chứng minh đường thẳng IG song song với mp(BB’C’C) ta phải chứng minh được
đường thẳng IG song song với một đường thẳng nằm trên mp(BB’C’C)
- Điểm mấu chốt của bài toán là phải chứng minh đường thẳng IG song song với đường
thẳng MN nằm trên mặt phẳng (BB’C’C).

A

I

* Lời giải:
Ta có: I là trọng tâm tam giác ABC nên
G là trọng tâm tam giác ACC’ nên

AI
2
= (1)
AM 3

AG 2
=
AN 3

B

M

C

G
N

(2)

AI
AG 2
=
=
Từ (1) và (2) suy ra
AM AN 3

Theo định lý talet đảo suy ra IG / / MN ⊂ ( BCC ' B ')

A'
K

C'
M'

B'

Hình 26

Kết luận: IG // (BB’C’C)
Bài 7: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng
a) Gọi O , O’ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF. Chứng minh OO’ song song
với hai mp(ADF) và mp(BCE).
b) Gọi M, N là hai điểm lần lượt trên hai cạnh AE và BD sao cho AE = 3 AM ,
BD = 3BN . Chứng minh MN song song với mp(CDFE).

* Nhận xét :

GV: NguyÔn §¨ng Long

THPT Vâ Thj S¸u

13


Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song trong hình học không gian 11

- Với câu a) thì học sinh dễ dàng phát hiện được đường thẳng a cần tìm là đường thẳng
DF đối với mp(ADF), và là đường thẳng CE đối với mp(BCE).
- Đối với câu b) thì học sinh khó mà phát hiện được đường thẳng a ở đây là đường thẳng
nào nếu không có sự hướng dẫn của giáo viên thì học sinh sẽ gặp khó khăn. (Hình 27)
* Giải quyết vấn đề: Giáo viên yêu cầu học sinh chứng minh M và N là trọng tâm của
tam giác ABF và ABC. Sau đó vận dụng định lý Talet đảo. Từ đó giúp cho học sinh thấy
được hướng giải quyết của bài toán.
* Lời giải:
a) CM OO’// (ADF) và OO’//(BCE)
Ta có: OO’ đường trung bình của tam giác BDF và tam giác ACE
⇒ OO’//DF và OO’ // CE Mà DF ⊂ ( ADF ) , CE ⊂ ( BCE )
F

Kết luận: OO’ // (ADF), OO’ // (BCE).

M

b) CM MN // (CDFE) .

O'

A

ta thấy M và N lần lượt là trọng tâm của 2 tam giác

B

O

ABF và ABC. Gọi I là trung điểm của AB

IM IN 1
=
= nên theo định
Xét tam giác IFC có :
IF IC 3

E

D

N

C

hình 27

lý Talet đảo suy ra MN / / FC ⊂ ( CDFE )
Vậy MN / / ( CDFE )
Dạng 4: Chứng minh hai mp ( α ) và mp ( β ) song song.
* Phương pháp: (Định lý 1 SGK trang 64)
 a, b ⊂ ( α )

Tóm tắt: Nếu a ∩ b = I
thì mp( α ) // mp( β ).
a / / β , b / / β
( )
( )

* Nhận xét: Tương tự như bài toán chứng minh đường thẳng song song với mp, vấn đề
đặt ra là chọn hai đường thẳng a, b như thế nào? Nằm trên mặt phẳng ( α ) hay mp( β ).

GV: NguyÔn §¨ng Long

THPT Vâ Thj S¸u

14


Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song trong hình học không gian 11

Nhiệm vụ của giáo viên là hướng dẫn, gợi mở cho hoc sinh phát hiện ra được vấn đề của
bài toán.
* Ví dụ:
Bài 8: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC ,
ACD và ABD. Chứng minh hai mp(MNP) và mp(BCD) song song.
Nhận xét:
Với bài toán này thì học sinh dễ dàng xác định hai đường thẳng a, b nằm trên mặt
phẳng này và song song với mặt phẳng kia. Vấn đề của bài toán là cách xác định các
trọng tâm, giáo viên nên lưu ý cho học sinh cách xác định trong tâm dựa vào tính chất
không nên vẽ quá nhiều các đường trung tuyến.

A

* Lời giải:
Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm
của các đoạn thẳng BC, CD và BD.
Ta có:

AM AN 2 ⇒
=

=
MN
AI
AJ 3

P
N

M

D

B

K
I

J
C

Mà IJ ⊂ (BCD) ⇒ MN// (BCD) (1)

hình 28

Tương tự MP // (BCD) (2)
Mà MN, MP ⊂ (MNP) (3)
Từ (1), (2), (3) ⇒ (MNP) // (BCD)
Bài 9: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các
đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = BN. Qua M, N dựng các
đường thẳng song song với AB lần lượt cắt AD và AF tại M’và N’.

a) Chứng minh mp( ADF) // mp(BCF).
b) Chứng minh mp(DEF) // mp(MM’N’N).
* Nhận xét:
Với câu a) thì học sinh dễ dàng chứng minh được nhưng đối với câu b) thì giáo
viên nên hướng dẫn cho học sinh biết cách vẽ hình, nhận xét được hai đường thẳng AC và

GV: NguyÔn §¨ng Long

THPT Vâ Thj S¸u

15


Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song trong hình học không gian 11

BF là bằng nhau, từ đó gợi mở cho học sinh biết chứng minh hai đường thẳng MM’ và
M’N” song song với mp (DEF) dựa vào định lý talét đảo.
* Lời giải:

F

E

N

N'

a) Ta có AF // BE ⊂ mp( BCE)
AD // BC ⊂ mp (BCE)

B

A
M'

Mà AF, AD ⊂ mp(ADF)
Kết luận mp( ADF) // mp(BCE).

D

M

Hình 29

C

b) Ta có MM’ // AB, mà AB // EF
⇒ MM’ // EF ⊂ mp(DEF) (1)

Mặt khác MM’ // CD ⇒
NN’ // AB ⇒

AM ' AM
=
AD
AC

AN ' BN
=
AC BF

Mà AM = BN, AC = BF ⇒
Từ (*), (**) và (***) ⇒

AM BN
=
AC BF

(*)
(**)
(***)

AM ' AN ' ⇒
=
M’N’ // DE ⊂ mp(DEF) (2)
AD
AF

Mà MM’, M’N’ ⊂ mp(MM’N’N) (3)
Từ (1) , (2), (3) ⇒ (DEF) //(MM’N’N) (đpcm)
Dạng 5 : Xác định thiết diện
* Phương pháp: Xác định thiết diện là xác định giao tuyến của mp(P) với các mặt của
hình chóp.
Bài 10 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy là tứ giác lồi. Lấy điểm M trên cạnh SA. Xác định
thiết diện của mp ( MCD ) với hình chóp.
* Lời giải:

GV: NguyÔn §¨ng Long

THPT Vâ Thj S¸u

16


Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song trong hình học không gian 11

S

M

N

O'
D

A

O
B

C

Hình 30
Gọi O = AC ∩ BD . Trong tam giác SAC : SO ∩ MC = O '
Trong am giác SBD : DO '∩ SB = N
Vậy thiết diện là tứ giác MNCD.
Bài 11 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.

a)

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( SAD ) và ( SBC )

b)

Lấy điểm E trên SC. Mặt phẳng (ABE) cắt SD tại F. Tứ giác ABEF là hình
gì ?

* Lời giải:
a) Ta có S ∈ ( SAD ) ∩ ( SBC ) , và hai mặt phẳng này chứa hai đường thẳng song song là
AD và BC nên giao tuyến của hai mp là đường thẳng d qua S và song song với AD và
BC.
b) Hai mp (ABE) và (SCD) có điểm E chung và lần lượt chứa hai đường thẳng AB và CD
song song nên chúng cắt nhau theo giao tuyến EF song song với AB
Vậy tứ giác ABEF là hình thang. (hình 31)

GV: NguyÔn §¨ng Long

THPT Vâ Thj S¸u

17


Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song trong hình học không gian 11

d

S

F
A

D
E

B

C

Hình 31
Bài 12 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N và P lần lượt
là trung điểm của BC, AD, SA.

a) Chứng minh SC và SD song song với mp ( MNP )
b) Xác định thiết diện của hình chóp với mp ( α ) qua O và song song với CD và
SA
* Lời giải:
a) Ta có NP // SD. Do đó SD // (MNP).
Hai mp (MNP) và (SAB) có điểm chung P và lần lượt chứa MN và AB song song nên
giao tuyến là PQ // AB. Do đó Q là trung điểm của SB. Khi đó ta có MQ // SC.
Vậy SC // (MNP)
b) Ta có MN // CD nên mp ( α ) qua O và song song với CD thì mp ( α ) chứa MN.
Hai mp ( α ) và (SAD) có N chung và ( α ) / / ( SA ) , do đó ( α ) ∩ ( SAD ) = NK / / SA
Nên ( α ) ∩ ( SCD ) = HK và HK // CD //MN
Vậy thiết diện là hình thang MNKH. (hình 32)

GV: NguyÔn §¨ng Long

THPT Vâ Thj S¸u

18

Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song trong hình học không gian 11

S

K

P
H

Q

N

A

D
O
B

M

C

Hình 32
IV. Bài tập áp dụng
Bài 1 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với đáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt
là trung điểm của SA và SB.
c) Chứng minh MN // CD

d) Gọi P = SC ∩ ( ADN ) , hai đường thẳng AN và DP cắt nhau tại I. Chứng
minh SA // IB.
Bài 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F, G, H là trung
điểm của SA, SB, SC, SD.

a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng ( SAB ) và ( SCD ) , và ( SAD ) và ( SBC ) .
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( ABH ) và ( CDF ) .
Bài 3 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N là trung điểm
của AB, CD.

a) Chứng minh MN // ( SBC ) , MN // (SAD)
b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB và SC đều song song với
mặt phẳng (MNP)
Bài 4 : Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng ( α ) song song với AC và BD đi qua điểm P
trên BC, cắt các cạnh AB, AD, CD tại Q, R, S.
a) Chứng minh PQRS là hình bình hành
b) Xác định Q để PQRS là hình thoi.

GV: NguyÔn §¨ng Long

THPT Vâ Thj S¸u

19


Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song trong hình học không gian 11

Bài 5 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P, Q, R là
trung điểm của SA, SD, AB, ON, SB.

a) Chứng minh ( OMN ) // ( SBC )
b) Chứng minh ( OMR ) // ( SCD )
Bài 6 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trung điểm của AC và BC. Gọi K là điểm trên
cạnh BD sao cho BK = 3KD . Tìm giao tuyến của mặt phẳng ( MNK ) với các mặt phẳng

( BCD )

và ( ACD ) .

Bài 7 : Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh bằng a. Kéo dài BC một đoạn CE = a và kéo
dài BD một đoạn DF = a . Gọi M là trung điểm của AB. Xác định và tính thiết diện của
tứ diện với mặt phẳng ( MEF ) .
Bài 8 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi E và F là trung điểm của
SA và SB. Lấy điểm M trên cạnh SC. Mặt phẳng ( EFM ) cắt hình chóp theo hình gì ?
Bài 9 : Cho hình thang ABCD(AB // CD) và điểm S nằm ngoài mặt phẳng hình thang.
Lấy điểm M trên cạnh CD. Mặt phẳng ( P ) qua M và song song với SA và BC.

a) Mặt phẳng ( P ) cắt hình chóp theo hình gì ?
b) Tim giao tuyến của mặt phẳng ( P ) với mặt phẳng ( SAD )
Bài 10 : Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm của B’C’

a) Chứng minh ( AA 'M ) ∩ BC = N và AN / / A ' M
b) Chứng minh AC’ // (BA’M)

GV: NguyÔn §¨ng Long

THPT Vâ Thj S¸u

20

Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song trong hình học không gian 11

C. KẾT LUẬN
Qua những năm giảng dạy và đúc kết kinh nghiệm tôi nhận thấy rằng để dạy cho
học sinh học tốt môn hình học không gian thì cần phải giúp cho học sinh nắm vững hệ
thống lý thuyết các định nghĩa, định lý, hệ quả các phương pháp chứng minh. Ngoài ra, để
giải được một bài toán về hình học không gian ngoài việc nắm vững các phương pháp, kỹ
năng giải toán thì hình vẽ đóng một vai trò quan trọng, hình vẽ tốt giúp cho chúng ta nhìn
ra được hướng giải quyết, phát hiện ra được vấn đề của bài toán. Hình vẽ tốt là một hình
vẽ đảm bảo được các điều kiện sau:
- Đảm bảo được các quy tắc vẽ hình biểu diễn của một hình không gian ( SGK Hình
học 11 trang 45, ban cơ bản).
- Hình vẽ phải rõ ràng, chính xác, thể hiện được tính thẩm mỹ .
- Biết cách xác định đối tượng trên hình vẽ sao cho phù hợp với yêu cầu của bài
toán.
- Hình vẽ không thừa cũng không thiếu dữ kiện của đề bài.
- Nắm vững các khái niệm về hình không gian như: hình chóp, hình tứ diện, hình
chóp đều, hình lăng trụ, hình hộp, hình hộp chữ nhật, hình lập phương…, phân biệt được
hình đa diện với hình đa giác, tứ diện với tứ giác.
Để thực hiện chuyên đề này tôi đã tìm đọc nhiều tài liệu viết về vấn đề này, nghiên
cứu lời giải cho từng dạng toán, lựa chọn bài tập phù hợp với từng nội dung cần phân
tích, kết hợp với hình ảnh trực quan để làm nổi bật được nội dung cần phân tích. Tuy
nhiên với thời gian có hạn, điều kiện nghiên cứu hạn hẹp, kinh nghiệm còn non trẻ,
chuyên đề này chỉ mới mang tính khởi thảo về một vấn đề khá rộng lớn, chắc chắn không
thể toàn diện được, kính mong các nhà giáo dục, các đồng nghiệp tiếp tục nghiên cứu, bổ
sung để được đầy đủ và có tính khả dụng hơn.

Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các quý thầy cô!
Tháng 11 năm 2013

Người thực hiện
Nguyễn Đăng Long

GV: NguyÔn §¨ng Long

THPT Vâ Thj S¸u

21


Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song trong hình học không gian 11

GV: NguyÔn §¨ng Long

THPT Vâ Thj S¸u

22