Tính ổn định của một số mô hình dịch tễ trong môi trường ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

TRẦN THU NGÀ

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ MÔ HÌNH DỊCH
TỄ TRONG MÔI TRƯỜNG NGẪU NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Ngành: Lí thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60.46.01.06

Hà Nội - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

TRẦN THU NGÀ

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ MÔ HÌNH DỊCH
TỄ TRONG MÔI TRƯỜNG NGẪU NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SỸ

Ngành: Lí thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60.46.01.06

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS. TS. Nguyễn Hữu Dư

Hà Nội- 2015


LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc tới GS. TS. Nguyễn Hữu Dư người thầy đáng kính đã trực tiếp hướng
dẫn và tận tình chỉ bảo em trong suốt thời gian qua.
Em xin phép được gửi lời cảm ơn đến ban lãnh đạo và các thầy cô giáo, các
anh/chị cán bộ trường ĐHKHTN - ĐHQGHN nói chung khoa Toán - Cơ - Tin
học nói riêng vì đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất giúp đỡ em trong thời gian
em học tập, nghiên cứu tại trường.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới TS. Nguyễn
Thanh Diệu đã giúp đỡ em trong suốt quá trình làm luận văn.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian có hạn và năng lực của bản
thân còn nhiều hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Em rất
mong nhận được sự góp ý của thầy, cô và các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 28 tháng 07 năm 2015.
Học viên
Trần Thu Ngà

1


Mục lục

Mở đầu

4

1 Kiến thức chuẩn bị

7

1.1

1.2

Vi phân Itô và công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1

Vi phân Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.2

Công thức Itô tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Lý thuyết ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.1

Hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.2

Một số kết quả về tính ổn định của phương trình vi phân
ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Mô hình bệnh lây truyền trực tiếp do vector bị nhiễu loạn ngẫu
nhiên

19

2.1

Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2

Mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3

Phân tích tính ổn định của mô hình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . 23

2.4

Phân tích tính ổn định của mô hình ngẫu nhiên có trễ . . . . . . . 28

2.5

Mô phỏng số liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2


3 Tính ổn định toàn cục của mô hình SIR hai nhóm bị nhiễu loạn
ngẫu nhiên

39

3.1

Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2

Mô hình dịch ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3

Tính ổn định ngẫu nhiên của điểm cân bằng địa phương . . . . . 43

3.4

Mô phỏng số liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Kết luận

53

Phụ lục

54

Tài liệu tham khảo

55

3


Mở đầu
Dịch tễ học là khoa học nghiên cứu về tình trạng sức khỏe và các yếu tố
liên quan ảnh hưởng đến tình trạng sức khỏe, giúp xác định các yếu tố nguy
cơ của bệnh, phát triển và tối ưu hóa phương thức điều trị. Dịch tễ học có thể
nghiên cứu trong nhiều lĩnh vực từ thực hành: như trong thời kỳ có bệnh dịch
bộc phát, ảnh hưởng trong môi trường sinh sống, . . . , đến lý thuyết: như thống
kê, tạo mô hình toán học dự đoán sức khỏe cộng đồng trong tương lai, sự phát
triển của bệnh dịch, triết học y tế, sinh học và tâm lý học . . . . Nghiên cứu dịch
tễ học dựa trên quan sát và thí nghiệm, mục đích là để tìm ra liên hệ giữa căn
bệnh và các yếu tố không thay đổi được như bẩm sinh, di truyền và những yếu
tố có thể "sửa chữa" như thực phẩm, môi trường, giáo dục, vi sinh học, tâm lý
học, v.v... .
Ngày nay với sự biến đổi về khí hậu, tình trạng ô nhiễm môi trường ... là

một trong những nguyên nhân chủ yếu dẫn đến sự phát triển của các loại bệnh
gây ảnh hưởng tới sức khỏe của con người. Vậy nên việc nghiên cứu các mô hình
dịch tễ ngày càng phát triển, nó giúp tìm ra nguyên nhân và các yếu tố góp
phần tạo nên bệnh dịch. Từ đó định nghĩa căn bệnh, liên hệ từ nguyên nhân
đến triệu chứng và tạo kế hoạch điều trị hay phòng ngừa. Tuy nhiên việc biến
đổi khí hậu hay tình trạng ô nhiễm môi trường, hoặc tác động khách quan cũng
4


như chủ quan ... cũng gây những biến động. Do đó việc nghiên cứu tính ổn định
của các mô hình dịch tễ trong môi trường ngẫu nhiên cũng không kém phần
quan trọng. Ở đây luận văn tập trung nghiên cứu tính ổn định của một số mô
hình dịch tễ trong môi trường ngẫu nhiên thông qua các mô hình toán học, từ
đó tìm ra được các điều kiện thích hợp giúp để kiểm soát được bệnh dịch.
Nội dung chính của luận văn là trình bày và làm rõ các kết quả của hai bài
báo [11, 12]. Cấu trúc của luận văn bao gồm:
⋄ Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Nhắc lại một số khái niệm cơ bản của vi phân Itô, công thức Itô tổng quát,
hai định lý của Lyapunov về tính ổn định và một số kết quả ổn định của
phương trình vi phân ngẫu nhiên.
⋄ Chương 2: Mô hình bệnh lây truyền trực tiếp do vector bị nhiễu ngẫu nhiên.

Bệnh dịch lây truyền do vector (vector-borne disease) là bệnh gây ra bởi
một loại vi khuẩn truyền nhiễm, được lây truyền khi một động vật chân
đốt hút máu một động vật có xương sống đang bị nhiễm bệnh và lây truyền
sang một cá thể dễ bị nhiễm bệnh. Từ góc nhìn của các bệnh truyền nhiễm,
vector là cá thể truyền dẫn của các sinh vật gây bệnh có mang mầm bệnh
từ một vật chủ khác. Các vector thường gặp nhất là động vật không xương
sống thường là động vật chân đốt, động vật có xương sống (ví dụ như cáo,

gấu trúc, chồn hôi), tất cả đều có thể truyền virus cho con người. Sức khỏe
con người có thể bị ảnh hưởng hoặc trực tiếp qua các vết cắn, đốt, phá
hoại của các mô) hoặc gián tiếp thông qua sự lây nhiễm bệnh. Đặc biệt là
mô hình bệnh sốt rét, đã được nghiên cứu qua các mô hình xác định trong
5


nhiều tài liệu ([4, 7-10]).
Trong chương này ta tập chung nghiên cứu mô hình dịch tễ ngẫu nhiên của
bệnh do sinh vật sinh ra với cách thức truyền trực tiếp và điều chỉnh sự
cản trở của nó. Chính xác hơn, ta mở rộng mô hình dịch tễ xác định bằng
cách đưa ra các nhiễu ngẫu nhiên xung quanh điểm cân bằng địa phương.
⋄ Chương 3: Tính ổn định toàn cục của mô hình SIR hai nhóm bị nhiễu ngẫu

nhiên.
Ở chương này, ta đi nghiên cứu tính ổn định toàn cục của điểm cân bằng
địa phương trong mô hình SIR hai nhóm, bị nhiễu ngẫu nhiên xung quanh
điểm cân bằng địa phương. Và chứng minh điểm cân bằng địa phương của
mô hình bị nhiễu ngẫu nhiên là ổn định tiệm cận toàn cục ngẫu nhiên.
Ngoài ra, ta thu được điều kiện ổn định bằng cách xây dựng các hàm
Lyapunov.

6


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, ta sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản phục vụ cho việc
trình bày các kết quả chính của luận văn.
Ký hiệu N 1 (0, T ) là tập hợp các hàm ngẫu nhiên f (t, ω) đo được lũy tiến và

T

|f (t, ω)|dt

E
0

< ∞,

N 1 (0, T ) là không gian Banach với chuẩn
T

||f || = E

|f (t, ω)|

0

dt.

Ký hiệu N 2 (0, T ) là tập hợp các hàm ngẫu nhiên f (t, ω) đo được lũy tiến và
T

E
0

|f 2 (t, ω)|dt

< ∞,

N 2 (0, T ) là không gian Banach với chuẩn
T

||f ||2 = E

1.1

f 2 (t, ω)

dt.

0

Vi phân Itô và công thức Itô

Đầu tiên, ta nhắc lại khái niệm quá trình Wiener tiêu chuẩn hay chuyển động
Brown tiêu chuẩn.
7


Định nghĩa 1.1. Quá trình W = (Wt , t ∈ [0, T ]) xác định trên không gian xác
suất (Ω, F , P) được gọi là quá trình Weiner tiêu chuẩn (hay chuyển động Brown
tiêu chuẩn) nếu:
1. W0 = 0.
2. (Wt ) là quá trình có số gia độc lập tức là t1 < t2 < t3 < t4 các biến ngẫu
nhiên Wt4 − Wt3 và Wt2 − Wt1 độc lập.
3. Biến ngẫu nhiên Wt − Ws , (0 ≤ s < t) có phân phối chuẩn N(0, t − s).
4. Với hầu hết ω các quỹ đạo Wt (ω) là liên tục.

1.1.1

Vi phân Itô

Giả sử rẳng X = (Xt , t ∈ [0, T ]) có dạng
t

Xt = X(r) +

t

f (s, ω)ds +
r

g(s, ω)dW (s)
r

trong đó f ∈ N 1 (0, T ); g ∈ N 2 (0, T ) và với mọi (s, t) : 0 ≤ r < t ≤ T. Khi đó ta nói
X có vi phân Itô
dXt = f (t, ω)dt + g(t, ω)dWt

và viết gọn là
dX = f dt + gdW.

1.1.2

Công thức Itô tổng quát

Công thức Itô thực chất là một công thức đổi biến trong giải tích ngẫu nhiên.
Định lý 1.1. Cho u(t, x1 , x2 , ...., xd ) là các hàm liên tục xác định trên [0; T ] ×
Rd với các đạo hàm riêng ut , uxi , uxixj liên tục với mọi i, j ≤ d. Đặt X(t) =

8


(X1 (t), ..., Xd (t)).

Xét hàm ngẫu nhiên Y = Y (t), t ∈ [0; T ] xác định bởi
Y (t) = u(t, X(t)).

Khi đó vi phân ngẫu nhiên
d

dY (t) = ut (t, X(t)) +
i=1

1
uxi (t, X(t))fi (t) +
2

d

d

uxi xj (t, X(t))gi (t)gj (t) dt
i=1 j=1

n

uxi (t, X(t))gi (t)

+

dW (t).

i=1

Công thức trên được viết gọn dưới dạng:
d

dY (t) = ut (t, X(t))dt +
i=1

1.2
1.2.1

1
uxi (t, X(t))dXi (t) +
2

d

d

uxixj (t, X(t))gi(t)gj (t)dt
i=1 j=1

Lý thuyết ổn định
Hàm Lyapunov

Xét hệ phương trình vi phân tổng quát có dạng:
x′ (t) = f (t, x(t)), t ≥ 0

x(0) = x0

(1.1)

trong đó f : R+ × Rd → Rd là hàm vector cho trước, x(t) ∈ Rd là vector trạng
thái của hệ với giả thiết f (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0. Ký hiệu H là tập các hàm liên tục
tăng chặt a(.) : R+ → R+ , a(0) = 0. Với mỗi hàm V (t, x) : R+ × Rd → Rd , ta ký
hiệu :
Vf′ (t, x(t)) := Vt + Vx ; f (t, x(t)) ,

là đạo hàm (toàn phần) theo t của hàm V (t, x(t)) dọc nghiệm x(t) của hệ (1.1).

9


Định nghĩa 1.2. Hàm V (t, x) : R+ × Rd → R, V (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0 khả vi liên tục
được gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.1) nếu:
1. V (t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa :
∃a(.) ∈ H : V (t, x) ≥ a(|x|), ∀t ∈ R+ × Rd .

2. Vf′ (t, x(t)) ≤ 0, với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1).
Xét hàm
V (t, x) ∈ họ các hàm liên tục Ctx (Z0 ),

trong đó Z0 = {0 < t < ∞, |x| < h}.
Ta đưa ra một số định nghĩa cơ bản về hàm không đổi dấu và có dấu xác định.
Định nghĩa 1.3. Hàm vô hướng thực liên tục V (t, x) được gọi là không đổi dấu
(có dấu dương hoặc có dấu âm) trong Z0 nếu:
V (t, x) ≥ 0(V (t, x) ≤ 0),

với (t, x) ∈ Z0 .
Định nghĩa 1.4. Hàm V (t, x) được gọi là xác định dương trong Z0 nếu tồn tại
một hàm vô hướng W (x) ∈ C(|x| < h) sao cho:
V (t, x) ≥ W (x) > 0 với |x| = 0,

và V (t, 0) = W (0) = 0.
Hàm V (t, x) được gọi là xác định âm trong Z0 nếu tồn tại một hàm vô hướng
W (x) ∈ C(|x| < h) sao cho :
V (t, x) ≤ −W (x) < 0 với |x| = 0
10


và V (t, 0) = W (0) = 0.
Hàm xác định âm hay xác định dương gọi là có dấu xác định về phía W (x).
Hai định lý của Lyapunov về tính ổn định .
Định lý 1.2. (Định lý thứ nhất của Lyapunov về tính ổn định)
Nếu hệ (1.1) tồn tại một hàm vô hướng xác định dương,
(1,1)

V (t, x) ∈ Ctx (Z0 ), (Z0 ∈ Z)

và hàm này có đạo hàm theo thời gian V ′ (t, x) ≤ 0 với mọi (t, x) ∈ Z0 thì nghiệm
tầm thường x(t) = 0, (0 < t < ∞) của hệ là ổn định theo Lyapunov khi t → ∞.
Ví dụ 1.1. Xét tính ổn định của nghiệm tầm thường đối với hệ:

dx

= −(x − 2y) − (1 − x2 − 3y 2 )



dt

dy
= −(x + y) − (1 − x2 − 3y 2 )
dt
Chọn hàm V (x, y) = x2 + 2y 2 là hàm xác định dương, đạo hàm của hàm này





theo t là

dV
= −2(1 − x2 − 3y 2 )(x2 + 2y 2) ≤ 0 với x, y đủ bé.
dt

Do đó nghiệm tầm thường x = 0, y = 0 của hệ đã cho là ổn định.
Định lý 1.3. (Định lý thứ hai của Lyapunov về tính ổn định)
(1,1)
(Z0 ) có giới hạn
Giả sử hệ (1.1) tồn tại hàm xác định dương V (t, x) ∈ Ctx

vô cùng bé bậc cao x → 0 và có đạo hàm theo thời gian V ′ (t, x) < 0 với mọi
(t, x) ∈ Z0 . Khi đó nghiệm tầm thường x(t) = 0 ổn định tiệm cận theo Lyapunov

khi t → ∞.
Ví dụ 1.2. Xét tính ổn định của nghiệm tầm thường đối với hệ:

dx


= −5y + 2x3


dt





dy
= 5x + 2y 3
dt
11


Chọn hàm V (t, x) = x2 + 2y 2 thỏa mãn điều kiện của định lý 1.3.
Thật vậy V (x, y) ≥ 0 và V (t, 0, 0) = 0;
dV
dV
= −(4x4 + 6y 4) ≤ 0 và
= 0 khi x = 0, y = 0 .
dt
dt

Vậy nghiệm tầm thường của hệ là ổn định tiệm cận.

1.2.2

Một số kết quả về tính ổn định của phương trình vi

phân ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.5. Phương trình vi phân ngẫu nhiên là phương trình vi phân có
một hoặc nhiều số hạng là một quá trình ngẫu nhiên.
Định nghĩa 1.6. Cho trước các hàm ngẫu nhiên f ∈ N 1 [0, T ], g ∈ N 2 [0, T ] và
biến ngẫu nhiên X0 . Ta nói rằng hàm ngẫu nhiên X = X(t), t ∈ [0, T ] là nghiệm
của phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô với điều kiện ban đầu X(0) = X0 :
dX(t) = f (t, X(t))dt + g(t, X(t))dW (t),
X(0) = X0 ,

nếu
t

X(t) = X0 +

t

f (s, X(s))ds +
0

g(s, X(s))dW (s).
0

Phương trình còn được viết dưới hình thức:
dX(t)
= f (t, X(t)) + g(t, X(t))ξ(t),
dt
X(0) = X0 ,

trong đó ξ(t) =

dW (t)
được gọi là nhiễu trắng và Wt là chuyển động Brown hay
dt

quá trình Wiener.
Giả sử (Ω, F , {Ft }t≥0 , P ) là một không gian xác suất đầy đủ với {Ft }t≥0 là
bộ lọc thỏa mãn các điều kiện thông thường và giả sử W (t) là một chuyển động
12


Brown xác định trên không gian xác suất.
Sau đây, ta sẽ trình bày một số khái niệm và kết quả về tính ổn định của phương
trình vi phân ngẫu nhiên thường.
Xét các phương trình vi phân ngẫu nhiên d - chiều có dạng:
dx(t) = f (t, x(t))dt + g(t, x(t))dW (t),

t ≥ t0 ,

(1.2)

với điều kiện ban đầu x(0) = x0 , x0 ∈ Rd0 . Ta giả sử rằng với điều kiện ban
đầu phương trình (1.2) tồn tại một nghiệm toàn cục duy nhất được ký hiệu là
x(t, t0 , x0 ). Hơn nữa giả sử có:
f (t, 0) = g(t, 0) ≡ 0

với mọi t ≥ t0 .

Vậy phương trình (1.2) có nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 tương ứng với điều kiện
ban đầu x0 ≡ 0, nghiệm này gọi là nghiệm tầm thường hay vị trí cân bằng.

Định nghĩa 1.7. Nghiệm tầm thường của phương trình (1.2) được gọi là ổn
định ngẫu nhiên ( ổn định theo xác suất ) nếu với mỗi ε ∈ (0, 1) và r > 0 thì tồn
tại một δ = δ(ε, r, t0 ) > 0 sao cho:
P {|x(t; t0 , x0 )| < r, t ≥ t0 } ≥ 1 − ε,

với mọi |x0 | < δ .
Định nghĩa 1.8. Nghiệm tầm thường của phương trình (1.2) được gọi là ổn
định tiệm cận ngẫu nhiên nếu nó là ổn định ngẫu nhiên và hơn nữa với mỗi
ε ∈ (0, 1), tồn tại một δ = δ(ε, t0 ) > 0 sao cho:
P { lim x(t; t0 , x0 ) = 0} ≥ 1 − ε,
t→∞

13


với mọi |x0 | < δ .
Ký hiệu C 1,2 ([t0 , ∞) × Rd ; R+ ) là họ của tất cả các hàm không âm V (t, x) khả
vi liên tục một lần đối với t và hai lần đối với x. Định nghĩa toán tử vi phân L
kết hợp với phương trình (1.2) có
∂
L=
+
∂t

d

fi (t, x)
i=1

∂

1
+
∂xi 2

d[g T (t, x)g(t, x)]ij
i,j=1

∂2
.
∂xi ∂xi

Rõ ràng, cho V ∈ C 1,2 ([t0 , ∞) × Rd ; R+ ),
1
LV (t, x) = Vt (t, x) + Vx (t, x)f (t, x) + trace[g T (t, x)Vxx (t, x)g(t, x)].
2

Định nghĩa 1.9. Các nghiệm tầm thường được gọi là ổn định tiệm cận toàn
cục ngẫu nhiên nếu nó ổn định tiệm cận ngẫu nhiên và hơn thế nữa với mọi
x0 ∈ Rd :
P { lim x(t; t0 , x0 ) = 0} = 1.
t→∞

Bổ đề 1.1. Nếu tồn tại một hàm bị chặn có bán kính xác định dương giảm
V (t, x) ∈ C 1,2 ([t0 , ∞) × Rd ; R+ ) sao cho LV (t, x) là xác định âm, thì các nghiệm

tầm thường của phương trình (1.2) là ổn định tiệm cận toàn cục ngẫu nhiên.
Định lý 1.4. Giả sử rằng tồn tại một hàm không âm V (t, x) ∈ C 1,2 ([t0 , ∞) ×
Rd ; R+ ), hàm liên tục a, b : R+ → R+ và một hằng số dương K sao cho ∀x mà
|x| ≤ K ta có
∀a, b : a(|x|) ≤ V (t, x) ≤ b(|x|)

khi đó
1. Nếu LV ≤ 0, |x| < K thì nghiệm tầm thường của phương trình (1.2) là ổn
định ngẫu nhiên.
14


2. Nếu tồn tại một hàm liên tục c : R+ → R+ xác định dương trên R+ , sao
cho thỏa mãn LV ≤ −c(|x|), ∀x : |x| ≤ K thì nghiệm tầm thường của phương
trình (1.2) là ổn định tiệm cận ngẫu nhiên.
Do nhiều vấn đề liên quan đến sự ổn định của trạng thái cân bằng của hệ
ngẫu nhiên phi tuyến, ta có thể quy vể tính ổn định của các nghiệm của hệ
tuyến tính. Xét các dạng tuyến tính của phương trình (1.2):
dx(t) = F (t)x(t)dt + G(t)x(t)dW (t),

t ≥ t0 .

(1.3)

Định lý 1.5. Nếu hệ tuyến tính (1.3) với các hệ số hằng, tức là (F (t) = F, G(t) =
G) là ổn định tiệm cận ngẫu nhiên và các hệ số của hệ (1.2) và (1.3) thỏa mãn

các bất đẳng thức:
|f (t, x) − F x| + |g(t, x) − Gx| < δ|x|,

(1.4)

trong một lân cận đủ nhỏ của x = 0 và với một hằng số δ đủ nhỏ, thì nghiệm
tầm thường x(t) = 0 của hệ (1.2) là ổn định tiệm cận ngẫu nhiên.
Tiếp theo ta trình bày một số khái niệm và kết quả ổn định của phương trình

vi phân hàm (phương trình vi phân có trễ).
Giả sử τ > 0, ký hiệu C = C([−τ, 0]; Rd ) là họ các hàm liên tục ϕ : [−τ, 0] → Rd
với chuẩn ||ϕ|| = sup−τ ≤θ≤0 |ϕ(θ)| và D là không gian với F0 thích hợp của hàm
ϕ ∈ C , giả sử f : [0; ∞) × C → Rd và g : [0; ∞) × C → Rd×m .

Xét các phương trình vi phân ngẫu nhiên hàm d - chiều có dạng:
dy(t) =f (t, yt )dt + g(t, yt)dW (t),
y0 =ϕ = {ϕ(θ) : −τ ≤ θ ≤ 0},
15

t ≥ 0,

(1.5)


trong đó yt = {y(t+ θ) : −τ ≤ θ ≤ 0} là một quá trình ngẫu nhiên C giá trị, y0 ∈ D
sao cho E||ϕ||2 < ∞. Trong đó f (t, ϕ) là vector d- chiều và g(t, ϕ) là ma trận d ×m
chiều với mọi t ≥ 0. Ta giả sử phương trình (1.5) có một nghiệm toàn cục duy
nhất y(t, ϕ), với mọi ϕ ∈ C giả sử f (t, 0) = g(t, 0) ≡ 0. Khi đó phương trình (1.5)
có nghiệm tầm thường y(t) ≡ 0 tương ứng với điều kiện ban đầu y0 ≡ 0.
Định nghĩa 1.10. Nghiệm tầm thường của phương trình (1.5) được gọi là ổn
định ngẫu nhiên nếu với mọi ε ∈ (0, 1) và r > 0 thì tồn tại một δ = δ(ε, r, 0) > 0
sao cho:
P {|y(t; ϕ)| > r, t ≥ 0} ≤ ε,

với bất kỳ điều kiện ban đầu ϕ ∈ D thỏa mãn P {||ϕ|| ≤ δ} = 1.
Định nghĩa 1.11. Nghiệm tầm thường của phương trình (1.5) được gọi là ổn
định bình phương trung bình nếu với mọi ε > 0, tồn tại một δ > 0 sao cho
E|y(t, ϕ)|2 < ε

với mọi

t≥0

cho sup−τ ≤θ≤0 E|ϕ(θ)|2 < δ.
Định nghĩa 1.12. Nghiệm tầm thường của phương trình (1.5) được gọi là ổn
định tiệm cận bình phương trung bình nếu nó ổn định bình phương trung bình
và lim E|y(t, ϕ)|2 = 0.
t→∞

Các toán tử vi phân được kết hợp với phương trình (1.5) xác định bởi công
thức:
LV (t, ϕ) = lim sup

Et,ϕ V (t + ∆, yt+∆) − V (t, ϕ)
∆

∆→0

,

trong đó y(s), s ≥ t là nghiệm của phương trình (1.5) thỏa mãn điều kiện ban
đầu, yt = ϕ là một hàm xác định cho t ≥ 0 và cho hàm ϕ ∈ D. Chúng ta hãy rút
16


gọn một lớp của hàm V (t, ϕ) sao cho toán tử L có thể tính được. Đầu tiên cho
t ≥ 0 và hàm ϕ ∈ D , giả sử
V (t, ϕ) = U(t, ϕ(0), ϕ(θ)), −τ ≤ θ ≤ 0,

ta xác định được các hàm
Vϕ (t, y) = V (t, ϕ) = V (t, yt ) = U(t, y, y(t + θ)), −τ ≤ θ ≤ 0,

trong đó ϕ = yt , y = ϕ(0) = y(t).
Với mỗi V (t, ϕ) ∈ C 1,2 ([0, ∞)× Rd ; R+ ), xác định một toán tử LV : [0; ∞)×C →
R thì khai triển của toán tử sinh L của phương trình (1.5) có dạng:
LV (t, yt ) =

∂Vϕ (t, y)
∂Vϕ (t, y) 1
∂ 2 Vϕ (t, y)
+ f T (t, yt )
+ trace g T (t, yt )
g(t, yt ) .
∂t
∂y
2
∂y 2

Các định lý sau đây đã được chứng minh trong [14], nó chứa các điều kiện
theo đó các nghiệm tầm thường của phương trình (1.2) là ổn định tiệm cận
trung bình bình phương và ổn định ngẫu nhiên .
Định lý 1.6. Giả sử tồn tại một hàm V (t, ϕ) ∈ C 1,2 sao cho:
c1 E|y(t)|2 ≤ EV (t, yt ) ≤ c2 sup E|y(t + θ)|2
−τ ≤θ≤0

và
ELV (t, yt ) ≤ −c3 E|y(t)|2,
cho ci > 0, i = 1, 2, 3. Thì nghiệm tầm thường của phương trình (1.5) là ổn định
tiệm cận bình phương trung bình.

Định lý 1.7. Giả sử tồn tại một hàm V (t, ϕ) ∈ C 1,2 sao cho
17


c1 |y(t)|2 ≤ V (t, yt ) ≤ c2 sup |y(t + θ)|2 và LV (t, yt ) ≤ 0,
−τ ≤θ≤0

cho ci > 0, i = 1, 2 và với mọi ϕ ∈ D thỏa mãn P {||ϕ|| ≤ δ} = 1, trong đó δ > 0
đủ nhỏ. Thì nghiệm tầm thường của phương trình (1.2) là ổn định ngẫu nhiên.

18


Chương 2
Mô hình bệnh lây truyền trực tiếp
do vector bị nhiễu loạn ngẫu nhiên
2.1

Giới thiệu

Trong chương này ta phác thảo mô hình dịch tễ xác định được trình bày
trong [4], trên cơ sở đó chúng ta xây dựng mô hình ngẫu nhiên. Bằng cách sử
dụng các hàm Lyapunov, ta nghiên tính ổn định tiệm cận ngẫu nhiên của trạng
thái cân bằng địa phương ở mô hình được xét. Sau đó, ta đưa thời gian trễ vào
mô hình bệnh dịch lây truyền do vector bị nhiễu ngẫu nhiên và sử dụng phiếm
hàm Lyapunov, ta đưa ra các điều kiện đủ về tính ổn định ngẫu nhiên của điểm
cân bằng địa phương của mô hình. Cuối cùng trình bày các kết quả mô phỏng
số tương thích với các kết quả toán học thu được.

2.2

Mô hình

Giả sử tổng số vật chủ tại thời điểm t, được cho bởi N1 (t), phân chia thành
các lớp con S(t), I(t) và R(t) tương ứng là số cá thể có khả năng nhiễm bệnh,
đã bị nhiễm bệnh và đã bình phục. Giả thiết tất cả các cá thể mới vào là có khả
năng nhiễm bệnh và số cá thể đã bình phục thì miễn dịch vĩnh viễn cho bệnh

19


này, nên chúng không thể bị nhiễm một lần nữa.
Giả sử N2 (t) là tổng số vector tại thời điểm t, V (t) là số vector mang bệnh tại
thời điểm t và M(t) là số vectơ có khả năng nhiễm bệnh tại thời điểm t. Theo
quan sát, lây truyền trong quần thể vector là không đáng kể chỉ vì nó đang ở
trong quần thể vật chủ. Tuy nhiên, trái ngược với quần thể vật chủ các vectơ
khi đã mang mầm bệnh có thể không bình phục được, tức là chúng mang bệnh
suốt đời.
Hệ động lực của cả vật chủ và quần thể vector có dạng:
dS(t)
dt
dI(t)
dt
dR(t)
dt
dM(t)
dt
dV (t)
dt

= b1 − λ1 S(t)I(t) − λ2 S(t)V (t) − µ1 S(t),
= λ1 S(t)I(t) + λ2 S(t)V (t) − (γ + µ1 )I(t),
= γI(t) − µ1 R(t).

(2.1)

= b2 − λ3 M(t)I(t) − µ2 M(t),
= λ3 M(t)I(t) − µ2 V (t),

với điều kiện ban đầu S(0) = S0 , I(0) = I0 , R(0) = R0 , M(0) = M0 và V (0) = V0 ,
các tham số trong mô hình (2.1) được điễn tả như sau:
λ1 : tỷ lệ truyền bệnh trực tiếp;
λ2 : tỷ lệ vector mang bệnh cắn vật chủ có khả năng nhiễm bệnh;
λ3 : tỷ lệ vector bị nhiễm bệnh sau khi cắn một số vật chủ bị nhiễm bệnh;
µ1 : tỷ lệ tử vong tự nhiên của quần thể vật chủ;
µ2 : tỷ lệ tử vong tự nhiên của quần thể vector;
b1 : tỷ lệ thêm vào ở quần thể vật chủ;
b2 : tỷ lệ sinh của quần thể vector;
γ : tỷ lệ bình phục của vật chủ;
20


trong đó γ > 0, bi > 0, µi > 0, cho i = 1, 2 và λj > 0 với j = 1, 2, 3.
Ta thấy λ1 S(t)I(t) là tỷ lệ nhiễm bệnh trực tiếp, λ2 S(t)V (t) là tỷ lệ vật chủ bị
vector mang bệnh cắn chuyển vào vật chủ bị nhiễm bệnh trong quần thể vật chủ
và λ3 M(t)I(t) là tỷ lệ vector bị nhiễm bệnh sau khi cắn một vật chủ bị nhiễm
bệnh.
Kích thước toàn bộ quần thể vật chủ là N1 (t) = S(t) + I(t) + R(t), trong đó
N1 (t) được xác định như một nghiệm của phương trình vi phân:
N1′ (t) = b1 − µ1 N1 (t),

phương trình này thu được bằng cách cộng ba phương trình đầu tiên của (2.1).
Tương tự, Kích thước của toàn bộ quần thể vector N2 (t) = M(t) + V (t), trong
đó N2 (t) là một nghiệm của phương trình vi phân
N2′ (t) = b2 − µ2 N2 (t),

phương trình này thu được bằng cách cộng hai phương trình cuối ở (2.1).
Vì lim N1 (t) =
t→∞

b1
b
, lim N2 (t) = 2 , ta có thể giả sử mà không mất tính tổng
µ1 t→∞
µ2

quát, rằng tổng số quần thể vật chủ và quần thể vector là hằng số, tức là:
N1 (t) =

b1
µ1

và N2 (t) =

b2
.
µ2

b
b1

, M0 + V0 = 2 thì
µ1
µ2
b1
b2
R(t) =
− (S(t) + I(t)), M(t) =
− V (t),
µ1
µ2

Cho mỗi t ≥ 0 với điều kiện là S0 + I0 + R0 =

do đó hệ (2.1) tương đương với hệ sau:
dS(t)
= b1 − λ1 S(t)I(t) − λ2 S(t)V (t) − µ1 S(t),
dt
dI(t)
= λ1 S(t)I(t) + λ2 S(t)V (t) − (γ + µ1 )I(t),
dt
b2
dV (t)
− V (t) I(t) − µ2 V (t),
= λ3
dt
µ2
21

(2.2)

với điều kiện ban đầu S(0) = S0 , I(0) = I0 và V (0) = V0 .
Trong thực tế, mô hình này miêu tả được các vector truyền bệnh như thế nào,
là các vector mang bệnh mà bản thân không bị nhiễm truyền một căn bệnh đến
quần thể vật chủ. Do đó nghiệm của hệ (2.2) phải không âm và thuộc trong hình
nón:
Γ′ = {(S, I, V ) ∈ R3 : 0 ≤ (S + I) ≤

b1
b2
, 0 ≤ V ≤ , S ≥ 0, I ≥ 0}.
µ1
µ2

(2.3)

Một đại lượng quan trọng nữa của hệ (2.2), nó mô tả động lực của bệnh dịch
được gọi là số sinh sản cơ sở R0 , trong đó:
R0 =

b1
µ1

λ2 λ3 b2
λ1
+
γ + µ1 µ2 µ2 γ + µ1

.

Số sinh sản R0 thể hiện số trung bình của tái nhiễm bệnh được tạo nên trong một
quần thể các vật chủ và các vector khi một cá thể bị nhiễm bệnh trở lại quần thể.
Nó kiểm soát số điểm cân bằng của hệ (2.2). Nếu R0 ≤ 1 hệ chỉ có điểm cân bằng
bệnh tự do E0 = (

b1
, 0, 0) trong Γ. Nếu R0 > 1 thì điểm cân bằng bệnh tự do vẫn
µ1

còn tồn tại, nhưng đó cũng là một điểm cân bằng địa phương xác định dương duy
nhất E ∗ = (S ∗ , I ∗ , V ∗ ), cho: S ∗ =

b1 − (γ + µ1 )I ∗
,
µ1

V∗ =

λ3 b2 I ∗
µ2 (λ3 I ∗ + µ2 )

và I ∗

là nghiệm của phương trình:
λ1
λ2 λ3 b2
b1 − (γ + µ1 )I ∗
= 1.
+
µ1

γ + µ1 µ2 (γ + µ1 )(λ3 I ∗ + µ2 )

(2.4)

Wei et al. [19] giới thiệu hệ (2.2) và họ đã cho thấy rằng nếu R0 ≤ 1 thì điểm
cân bằng bệnh tự do E0 là ổn định tiệm cận trên toàn cục và bệnh bị loại bỏ;
nếu R0 > 1 thì điểm cân bằng E ∗ là ổn định tiệm cận địa phương phía trong
của hình nón (2.3).
22


2.3

Phân tích tính ổn định của mô hình ngẫu nhiên

Sự biến động môi trường có ảnh hưởng đáng kể trên tất cả các khía cạnh của
cuộc sống thực, cho nên hợp lý khi đi nghiên cứu những biến động ảnh hưởng
đến các mô hình dịch tễ học được trình bày trong phần trước. Vì thế, ta đưa
các điều kiện nhiễu ngẫu nhiên vào hệ (2.2). Giả sử sự nhiễu loạn ngẫu nhiên
của các biến trạng thái xung quanh trạng thái ổn định E ∗ là dạng nhiễu trắng
Gaussian và nó tỷ lệ thuận với khoảng cách của S, I, V đến S ∗ , I ∗ , V ∗ tương ứng.
Mô hình dịch tễ của các bệnh lây truyền trực tiếp do vector bị nhiễu ngẫu
nhiên được cho bởi hệ :
dS(t)
= b1 − λ1 S(t)I(t) − λ2 S(t)V (t) − µ1 S(t) + σ1 (S(t) − S ∗ )w˙ 1 (t),
dt
dI(t)
= λ1 S(t)I(t) + λ2 S(t)V (t) − (γ + µ1 )I(t) + σ2 (I(t) − I ∗ )w˙ 2 (t),
dt
b2

dV (t)
− V (t) I(t) − µ2 V (t) + σ3 (V (t) − V ∗ )w˙ 3 (t),
= λ3
dt
µ2

(2.5)

với điều kiện ban đầu S(0) = S0 , I(0) = I0 và V (0) = V0 . Trong đó W (t) =
(w1 (t), w2 (t), w3 (t)) thể hiện một chuyển động Brown tiêu chuẩn ba chiều được

định nghĩa trên một không gian xác suất (Ω, F , {Ft}t≥0 , P) với bộ lọc {Ft }t≥0 ,
thỏa mãn các điều kiện thường và σ1 , σ2 , σ3 là các hằng số thực.
Trong suốt chương này ta giả sử R0 > 1, có nghĩa là các trạng thái cân bằng
địa phương tồn tại. Để hệ (2.5) ở điểm cân bằng địa phương E ∗ của nó, ta đưa

23