Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số có chậm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

PHẠM KIM QUÝ

BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CÓ CHẬM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

PHẠM KIM QUÝ

BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CÓ CHẬM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60460112

Cán bộ hướng dẫn: PGS. TSKH. Vũ Hoàng Linh

Hà Nội - 2015

LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới PGS. TSKH. Vũ Hoàng Linh, người đã dành nhiều thời
gian, công sức để hướng dẫn và tận tình chỉ bảo trong suốt quá trình thực
hiện luận văn.
Nhân đây em xin được gửi lời cảm ơn đến ban lãnh đạo và các thầy cô
giáo, các anh/chị cán bộ trường ĐHKHTN - ĐHQGHN nói chung và khoa
Toán - Cơ - Tin học nói riêng vì đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất, giúp
đỡ em trong thời gian em học tập, nghiên cứu tại trường.
Tôi xin cảm ơn các anh chị và các bạn trong chuyên ngành Toán ứng
dụng vì những động viên và những ý kiến trao đổi quý báu đối với bản
thân trong thời gian qua. Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn gia đình,
người thân luôn là chỗ dựa về tinh thần và vật chất trong cuộc sống và
trong học tập.
Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2015.
Học viên

Phạm Kim Quý

1


DANH MỤC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
• AC([0, ∞), Cn): Không gian các hàm liên tục tuyệt đối từ [0, ∞) vào
Cn .
• C: Tập các số phức.
k
• Cpw

(I, Cn): Không gian các hàm khả vi liên tục từng khúc cấp k từ I
vào Cn .

• diag(σ1, σ2): Ma trận đường chéo với các phần tử chéo σ1 , σ2.
• K: K = R hoặc K = C.
• PTVP: Phương trình vi phân.
• PTVP ĐS: Phương trình vi phân đại số.
• R: Tập các số thực.
• rank A: Hạng của ma trận A.

2


Mục lục
Lời cảm ơn

1

Mở đầu

3

1 Một số kiến thức chuẩn bị

6

1.1 Một số khái niệm về ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1

Ma trận Metzler, ma trận dương. Nghịch đảo Drazin

6

1.1.2

Khai triển kì dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.3

Phổ và chỉ số

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Chuẩn véc-tơ và chuẩn ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Một số khái niệm về phương trình vi phân . . . . . . . . . . 13
2 Một số kết quả về bán kính ổn định

16

2.1 Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số . . . . 16
2.2 Bán kính ổn định của phương trình vi phân thường có chậm 27
2.2.1

Bán kính ổn định của PTVP thường có chậm . . . . 28

2.2.2

Hệ dương có chậm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số có
chậm

33

3.1 Các khái niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Tính ổn định mũ của phương trình vi phân đại số có chậm . 39
3.3 Tính ổn định mũ vững . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Tài liệu tham khảo

58

3


Mở đầu
Bài toán bán kính ổn định của PTVP ĐS có chậm (Delay Differential
Algebraic Equations) là bài toán nghiên cứu tính ổn định, ổn định vững
và xây dựng công thức tính toán bán kính ổn định thực/phức cho PTVP
ĐS có chậm, dạng:

E x(t)
˙
= Ax(t) + Dx(t − τ ),
ở đó E, A, D ∈ Cn×n, x : I → Cn , I = [0, ∞), τ > 0 là độ trễ thời gian,

det E = 0.
Trong tài liệu này, một tính chất P của hệ được gọi là vững nếu tính
chất đó được bảo toàn khi một nhiễu tùy ý ε (đủ nhỏ) tác động lên hệ.
Ngoài việc quan tâm tới tính vững của một tính chất, người ta còn quan
tâm tới độ vững của tính chất đó mà đại lượng quan trọng để đánh giá khái
niệm này là bán kính của thuộc tính (được đo bởi mê-tric tương thích).
Trong khuôn khổ luận văn, tính chất P được xét là tính ổn định, và hệ
được xét là hệ PTVP ĐS có chậm tuyến tính thuần nhất hệ số hằng, chịu
tác động của nhiễu có cấu trúc.
PTVP ĐS có chậm là trường hợp tổng quát hơn của PTVP ĐS (Differential Algebraic Equations) và PTVP thường có chậm (Delay Ordinary
Differential Equations). Trong khi PTVP ĐS là mô hình toán học cơ bản
cho nhiều hệ động lực trong nhiều lĩnh vực ứng dụng chẳng hạn như mô
phỏng mạch điện, lý thuyết điều khiển, động lực chất lỏng, kĩ thuật hóa
học, ... thì PTVP ĐS có chậm là cần thiết để mô hình hóa những tác động
không tức thời (có chậm). Không giống như trường hợp PTVP thường có
chậm và PTVP ĐS, việc nghiên cứu tính ổn định của PTVP ĐS có chậm
gặp nhiều khó khăn do nó bao gồm cả phần ràng buộc đại số và độ trễ thời
4


gian, thậm chí lý thuyết tồn tại và duy nhất nghiệm cũng mới thu được
ít nhiều kết quả. Khó khăn còn rõ rệt hơn khi phân tích tính ổn định của
nó. Hầu hết các kết quả đã biết về tính ổn định của PTVP ĐS có chậm
chỉ là đối với trường hợp chính quy có hệ số hằng hoặc một vài trường hợp
có dạng đặc biệt. Nhiều kết quả đã biết trong PTVP thường có chậm và
PTVP ĐS không thể chuyển sang PTVP ĐS có chậm.
Bài báo [5] là cơ sở thực hiện luận văn. Trong tài liệu này, các tác giả
đã nghiên cứu tính ổn định của hệ thông qua mối quan hệ của tập phổ với
tập C− cùng với một số điều kiện kèm theo. Và để thu được công thức tính
toán bán kính ổn định của PTVP ĐS có chậm, thì việc phân tích phức

tạp hơn cùng với việc sử dụng hàm truyền G(λ)(transf erf unctions).
Trong luận văn, tác giả đề cập đến các dạng PTVP tuyến tính thuần
nhất hệ số hằng. Luận văn gồm 56 trang, ngoài phần mở đầu, kết luận và
tài liệu tham khảo, luận văn gồm có ba chương:

⋄ Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng
tôi tóm tắt một số kiến thức sử dụng trong luận văn, chủ yếu là các
kiến thức mở rộng về ma trận, véc-tơ và chuẩn.
⋄ Chương 2. Một số kết quả về bán kính ổn định. Nội dung của
chương là giới thiệu một số kết quả và công thức bán kính ổn định của
PTVP ĐS và PTVP thường có chậm tuyến tính hệ số hằng như là
những trường hợp đặc biệt của phương trình vi phân đại số có chậm.
⋄ Chương 3. Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại
số có chậm. Chương này là nội dung chính của luận văn. Trong đó,
chúng tôi sẽ phân tích và chứng minh các kết quả về bán kính ổn định
phức của PTVP ĐS có chậm tuyến tính hệ số hằng. Và kết quả là
đưa ra một công thức tính toán bán kính ổn định.
Quá trình tìm hiểu, nghiên cứu vấn đề sẽ không tránh khỏi sai sót, hạn
chế. Do đó, em rất mong nhận được những góp ý của các thầy cô để luận
văn được hoàn chỉnh.

5


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày tóm tắt một số kiến thức cần
dùng cho các phân tích, chứng minh trong luận văn và một vài ví dụ minh
họa. Cụ thể là một số kiến thức mở rộng về ma trận, chuẩn và một vài
kiến thức cơ bản về PTVP.

1.1

Một số khái niệm về ma trận

1.1.1

Ma trận Metzler, ma trận dương. Nghịch đảo Drazin

Định nghĩa 1.1. Cho ma trận A = [aij ] ∈ Rn×n, 1 ≤ i, j ≤ n. Khi đó:
1. A được gọi là một ma trận Metzler nếu tất cả các phần tử, ngoại
trừ những phần tử trên đường chéo chính, là không âm, tức là aij ≥

0, ∀i = j .

2. A được gọi là ma trận không âm (nonnegative matrix) và viết là A ≥ 0
nếu aij ≥ 0, ∀i, j = 1, 2, ..., n.

3. A được gọi là ma trận dương (positive matrix) nếu tất cả các phần tử
của A là dương, tức là aij > 0, ∀i, j = 1, 2, ..., n, kí hiệu A > 0.
Trong đại số tuyến tính, chúng ta đã biết đến khái niệm ma trận nghịch
đảo của một ma trận vuông khả nghịch. Mở rộng khái niệm này chúng ta
có các khái niệm nghịch đảo khác, chẳng hạn: nghịch đảo nhóm, nghịch
đảo Drazin, nghịch đảo suy rộng. Trong phần này chúng tôi trình bày về
khái niệm nghịch đảo Drazin và một vài kết quả liên quan.
6


Định nghĩa 1.2. Cho ma trận A ∈ Cn×n . Khi đó:
1. Số tự nhiên k được gọi là chỉ số của A và kí hiệu là ind(A) = k nếu

k là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn rank Ak = rank Ak+1.
2. Ma trận X ∈ Cn×n được gọi là nghịch đảo Drazin của A nếu X thỏa
mãn đồng thời các biểu thức

Ak XA = Ak ,
XAX = X,
AX = XA.
Trong đó, k = ind(A). Nghịch đảo Drazin của ma trận A kí hiệu là

AD .
Từ định nghĩa ta có ngay rằng, khái niệm nghịch đảo thông thường là
trường hợp đặc biệt của nghịch đảo Drazin, tức là nếu A là khả nghịch
theo nghĩa thông thường thì AD = A−1 . Ta có một số kết quả sau về
nghịch đảo Drazin.
Định lý 1.3. Trong định lý này ta chỉ xét các ma trận vuông. Khi đó ta
có các khẳng định sau:
(a) Nghịch đảo Drazin của ma trận A luôn tồn tại và duy nhất,
(b) Nghịch đảo Drazin của ma trận lũy linh là ma trận không,
(c) Nếu P là ma trận chiếu, P 2 = P , có chỉ số ind P ≤ 1 thì P D = P ,
(d) (A∗ )D = (AD )∗ ,
(e) (AT )D = (AD )T .
Ví dụ sau chỉ ra ma trận nghịch đảo Drazin của một ma trận suy biến.
Ví dụ 1.1. Xét ma trận:

1 0 0
A= 0 0 1 .
0 0 0

7

Ta có rank A = 2, rank A2 = rank A3 = 1 nên ind(A) = 2.
Vì det A = 0, nên không tồn tại A−1 . Tuy nhiên ta có thể kiểm tra

1 0 0
X= 0 0 0
0 0 0
thỏa mãn các điều kiện trong Định nghĩa 1.2, tức là AD = X .

1.1.2

Khai triển kì dị

Khai triển kì dị (Singular Value Decomposition) là một công cụ đại số
tuyến tính rất mạnh và hữu dụng, được sử dụng trong nhiều bài toán liên
quan đến ma trận mà khi áp dụng các phương pháp như khử Gauss hay
phân tích LU sẽ cho kết quả với sai số lớn. Phân tích SVD dựa trên định
lý sau, xem [6].
Định lý 1.4. Cho A ∈ Cm×n . Khi đó luôn tồn tại các ma trận trực giao

U ∈ Cm×m, V ∈ Cn×n và ma trận đường chéo D := diag(σ1, . . . , σr ) trong
đó σi, 0 ≤ i ≤ r, là các căn bậc hai dương (kể cả bội) của các giá trị riêng
của ma trận A∗ A thỏa mãn
D 0
A = U 0 0 V ∗.
D 0
Ta thường ký hiệu Σ := 0 0 ∈ Rm×n và khai triển
A = U ΣV ∗
được gọi là khai triển kỳ dị của ma trận A.

Các véc-tơ cột của ma trận U được gọi là các véc-tơ kỳ dị trái, và các
véc-tơ cột của ma trận V được gọi là các véc-tơ kỳ dị phải, còn σi được
gọi là các giá trị kỳ dị của ma trận A.
Để tìm khai triển kì dị của một ma trận A ta đi tìm các véc-tơ riêng
của các ma trận A∗ A và AA∗ . Cụ thể các véc-tơ riêng đơn vị của A∗ A là
các véc-tơ cột của V , còn các véc-tơ riêng đơn vị của AA∗ là các véc-tơ
cột của U , các giá trị kỳ dị của A là các căn bậc hai của các giá trị riêng
8


của A∗ A hoặc AA∗ .
Ví dụ 1.2. Tìm khai triển kì dị cho ma trận sau:

1 1 2
A= 2 2 4 .
Ta có

6 12
AAT = 12 24 ,

nên

det(AAT − λI) =

6−λ
12
2
=
λ
− 30λ.

12 24 − λ

Suy ra các giá trị riêng của AAT là λ1 = 30 và λ2 = 0, hay A có một giá
√
trị kì dị là σ1 = 30. Ta có các véc-tơ riêng đơn vị ứng với các giá trị
riêng λ1 và λ2 của ma trận AAT là

u1 =

√1
5
√2
5

và u2 =

U=

√1
5
√2
5

nên

Tiếp tục ta có

AT A =
nên

−2
√
5
√1
5

−2
√
5
√1
5

,

.

5 5 10
5 5 10 ,
10 10 20

5−λ
5
10
5−λ
10 = −λ3 + 30λ2.
det(A A − λI) = 5
10
10 20 − λ
T

Suy ra các giá trị riêng của AT A là λ1 = 30 và λ2 = λ3 = 0, hay A có một
√
giá trị kỳ dị là σ1 = 30.
Khi đó ma trận Σ là

Σ=

√

30 0 0 .
0 0 0

9


Ta có các véc-tơ riêng đơn vị ứng với các giá trị riêng λ1 , λ2 và λ3 của ma
trận AT A là

v1 =
nên





√1
6
 √1 
 6 ,
√2

6

v2 =

V =
Kiểm tra

A = U ΣV T
=

√1
5
√2
5

−2
√
5
√1
5




√1
2
−1  và
√
2



0

√1
2
−1
√
2

√1
 √16
 6
√2
6

v3 =

0

√1
√
6 0 0  √16
√
=

2 6 0 0 √12
3

1 1 2

= 2 2 4 .

√1
6
−1
√
2
√1
3



√1
3
 √1 
 3 ,
−1
√
3



√1
3
√1 
3 .
−1
√
3

1
√
√
6
30 0 0  √1
0 0 0  26




√
6
2
√
6

√1
2
−1
√
2

0



T
√1
3
√1 

3
−1
√
3

0


−1
√
3

Vậy khai triển kì dị của ma trận A là A = U ΣV T

1.1.3

Phổ và chỉ số

Ở đây ta nhắc lại một số khái niệm về phổ và chỉ số của cặp ma trận,
xem [4].
Cho cặp ma trận (E, A), E, A ∈ Kn×n . Cặp (E, A) được gọi là chính

quy nếu tồn tại λ ∈ C sao cho det(λE − A) = 0. Ngược lại, nếu với mọi

λ ∈ C mà det(λE − A) = 0 thì ta nói rằng cặp (E, A) suy biến.
Cho cặp (E, A) là chính quy, một số phức λ được gọi là một giá trị
riêng (hữu hạn) của cặp (E, A) nếu det(λE − A) = 0; tập σ(E, A) :=
{λ ∈ C : det(λE − A) = 0} gọi là phổ của cặp (E, A). Trường hợp E = I
10

ta có khái niệm phổ của ma trận A, σ(A). Nếu E suy biến và cặp (E, A)
chính quy thì ta nói rằng (E, A) có giá trị riêng ∞.

Trong khuôn khổ luận văn này, ta chỉ xét các cặp ma trận (E, A) chính

quy. Khi đó ta biến đổi về dạng chính tắc Weierstrass-Kronecker, tức là
tồn tại các ma trận không suy biến W, T ∈ Cn×n sao cho

I 0
J 0
T −1,
E = W 0r N T −1 và A = W 0 I
n−r

(1.1)

trong đó Ir , In−r là các ma trận đơn vị có cỡ tương ứng là r và n − r,

J ∈ Cr×r và N ∈ C(n−r)×(n−r) là các ma trận dạng Jordan và N là ma
trận lũy linh. Nếu E khả nghịch thì r = n.
Định nghĩa 1.5. Xét cặp ma trận chính quy (E, A) với E, A ∈ Kn×n được

viết ở dạng chính tắc Weierstrass-Kronecker. Nếu r < n và N là lũy linh

chỉ số ν ∈ {1, 2, . . .}, tức là N ν = 0, N i = 0, i = 1, 2, . . . , ν − 1, thì ν được

gọi là chỉ số của cặp (E, A) ứng với phương trình vi phân E x(t)
˙
= Ax(t),

kí hiệu ind(E, A) = ν . Nếu r = n thì ta nói phương trình vi phân tương
ứng có chỉ số ν = 0.
Ta xét ví dụ sau.
Ví dụ 1.3. Cho E, A ∈ R3×3:


1 −1 − 23
E = −2 4 3  ,
3
−1 1
2

2 −1 0
A= 0 2 1 .
−2 1 3

Có thể kiểm tra, một dạng chính tắc Weierstrass-Kronecker của cặp (E, A)
là

ở đó

2 0 0
A = W 0 1 0 T −1,
0 0 1

1 0 0
E = W 0 0 1 T −1,
0 0 0
1 −1 0
W = 0 2 1 ,

−1 1 3

2 3 −1
T = 1 0 0 .
0 2 0

Suy ra ind(E, A) = 2.

Nhận xét. Xét cặp ma trận (E, A) chính quy, từ dạng Weierstrass-Kronecker
11


(1.1), ta có det(λE − A) = 0 ⇔ det(λIr − J) = 0, do đó σ(E, A) = σ(J).
Hơn nữa, ta có det(λE −A) = det W. det(λIr −J). det(λN −In−r ). det T −1

cho nên deg det(λE − A) = deg det(λIr − J) + deg det(λN − In−r ). Do
đó, det deg(λE − A) =rankE = r nếu và chỉ nếu ind(E, A) ≤ 1.

1.2

Chuẩn véc-tơ và chuẩn ma trận

Tiếp theo, ta nhắc lại về chuẩn véc-tơ và chuẩn ma trận, xem [6].
Chuẩn của véc-tơ x = (x1, x2 , . . . , xn)T ∈ Kn là một hàm f : Kn → R

thỏa mãn các tính chất sau:

(i) f (x) ≥ 0, ∀x ∈ Kn ; f (x) = 0 ⇔ x = 0;
(ii) f (αx) = |α|f (x), ∀α ∈ R, x ∈ Kn ;
(iii) f (x + y) ≤ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ Kn .

Ta thường kí hiệu f (x) bởi x , tức là f (x) = x .
Một lớp các chuẩn thường được sử dụng là chuẩn p được định nghĩa
dưới đây:
1

x

p

:= |x1 |p + |x2|p + . . . + |xn |p p .

Trong đó, các chuẩn quan trọng là . 1 , .

x

1

x

2

x

∞

2

và .

∞,

cụ thể là

= |x1 | + |x2 | + . . . + |xn| (chuẩn 1),

= (|x1|2 + |x2 |2 + . . . + |xn |2

1
2

(chuẩn Euclide),

= max |xi | (chuẩn vô cùng).
1≤i≤n

Cho ma trận A ∈ Km×n , chuẩn của ma trận A, kí hiệu là A , cũng

được định nghĩa tương tự như định nghĩa chuẩn véc-tơ. Các chuẩn ma trận
thường gặp là chuẩn - p.
Chuẩn-p là chuẩn được xác định bởi công thức A

= maxx=0
Ta có vài trường hợp đặc biệt tương ứng với chuẩn véc-tơ sau:
• Với p = 1, ta có chuẩn cực đại theo cột:
A

1

= max Σni=1|aij |.
1≤j≤n

12

p

Ax p
.
x p


• Với p = ∞, ta có chuẩn cực đại theo dòng:
A

∞

= max Σnj=1|aij |.
1≤i≤n

• Với p = 2 và m = n, ta có chuẩn Euclide là giá trị kì dị lớn nhất của
ma trận A:
A 2 = σ1 .
Một chuẩn khác được nhắc tới trong tài liệu này là chuẩn Frobenius, kí
hiệu .

F,

được xác định như sau:

A

F

:=

min{m,n} 2
σi

n
2
Σm
i=1Σj=1 |aij | = Σi=1

trong đó σi , i = 1, min(m, n) là các giá trị kì dị của A.

1.3

Một số khái niệm về phương trình vi phân

Trong phần này, ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản ban đầu về phương
trình vi phân và nghiệm của phương trình vi phân phi tuyến ẩn, tổng quát,
xem [4], [1], dạng

F (t, x(t)x(t))
˙
=0

(1.2)

trên I := [0, ∞) cùng với điều kiện đầu

x(t0) = x0,

t0 ∈ I.

(1.3)

Định nghĩa 1.6. Một hàm x : I → Rn được gọi là nghiệm của (1.2) nếu

x ∈ C 1(I, Rn) và x thỏa mãn (1.2) tại từng điểm; x được gọi là nghiệm
của bài toán giá trị ban đầu (1.2)- (1.3) nếu x là nghiệm của (1.2) và thỏa
mãn (1.3). Điều kiện đầu (1.3) được gọi là tương thích nếu bài toán giá trị
đầu tương ứng có ít nhất một nghiệm.
Chúng ta chú ý rằng, bằng phương pháp tiếp cận chỉ số, xem [4], điều
kiện về độ trơn của nghiệm có thể được nới lỏng, cụ thể là x chỉ cần khả
vi liên tục từng khúc.
Ta nhắc lại các khái niệm ổn định của phương trình vi phân thường

x(t)
˙
= f (t, x(t)),
13

t∈I

(1.4)


với điều kiện đầu (1.3).
Định nghĩa 1.7. Một nghiệm x : t → x(t; t0, x0 ) của bài toán giá trị
đầu (1.4)- (1.3) được gọi là:

1. Ổn định nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho
(a) bài toán giá trị đầu (1.4) với điều kiện đầu x(t0 ) = x0 là giải
được trên I với mọi x0 ∈ K với x0 − x0 < δ ,

(b) nghiệm x(t; t0 , x0 ) thỏa mãn x(t; t0 , x0 ) − x(t; t0 , x0) < ε.
2. Ổn định tiệm cận nếu nó là ổn định và tồn tại ρ > 0 sao cho
(a) bài toán giá trị đầu (1.4) với điều kiện đầu x(t0 ) = x0 là giải
được trên I với mọi x0 ∈ K với x0 − x0 < ρ,

(b) nghiệm x(t; t0, x0 ) thỏa mãn limt→∞ x(t; t0, x0 ) − x(t; t0 , x0 ) =

0.

3. Ổn định mũ nếu nó là ổn định và hút tốc độ mũ (exponentially attractive), tức là nếu tồn tại δ > 0, L > 0 và γ > 0 sao cho
(a) bài toán giá trị đầu (1.4) với điều kiện đầu x(t0 ) = x0 là giải
được trên I với mọi x0 ∈ K với x0 − x0 < δ ,

(b) nghiệm thỏa mãn ước lượng x(t; t0 , x0 )−x(t; t0, x0 ) < Le−γ(t−t0)
trên I.
Ta có định lý điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán giá trị
đầu (1.4)- (1.3).
Định lý 1.8. Xét phương trình (1.4) và giả sử trên miền

D := {0 ≤ t ≤ b, −∞ < x < +∞},
f liên tục và liên tục Lipschitz theo x, tức là tồn tại L ≥ 0 sao cho với
mọi (t, x), (t, x) ∈ D thì
f (t, x) − f (t, x) ≤ L x − x .
Khi đó:
14

1. Với mọi x0 ∈ Rn , bài toán giá trị đầu (1.4)- (1.3) có nghiệm duy nhất.
2. Nghiệm x(t; t0 , x0 ) phụ thuộc liên tục vào dữ liệu, tức là nếu x(t) =

x(t; t0, x0) là một nghiệm của (1.4) (không thỏa mãn (1.3)) thì
x(t; t0, x0) − x(t) < eLt x0 − x(0) .
Nhận xét. Xét bài toán điều kiện đầu (1.4)- (1.3) và gọi x∗ (t; t0 , x0) là
nghiệm của nó. Khi đó bằng phép đổi biến z(t) := x(t) − x∗ (t; t0 , x0) thì

z ∗ (t; t0, x0) ≡ 0 là nghiệm tầm thường của bài toán z(t) = f (t, z(t)), ở đó
f (t, x(t)) := f (t, x(t)) − f ∗(t, x∗(t; t0 , x0)). Do đó, không mất tính tổng
quát, ta có thể giả sử nghiệm là tầm thường, và tương tự, giả sử t0 = 0.

15


Chương 2
Một số kết quả về bán kính ổn định
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả về bán kính ổn
định của:
- PTVP ĐS, xem [4], dạng

E x(t)
˙
= Ax(t),

(2.1)

cùng với điều kiện đầu (1.3).

- PTVP thường có chậm, xem [10], dạng

x(t)
˙
= Ax(t) + Dx(t − τ )

(2.2)

x(t) = φ(t),

(2.3)

cùng với điều kiện đầu

t ∈ [−τ, 0].

Trong đó E, A, D ∈ Kn×n , t ∈ I, x : t ∈ [0, ∞) → x(t) ∈ Cn và hằng số

τ > 0 là độ trễ thời gian. Hai trường hợp trên là những trường hợp riêng
của PTVP ĐS có chậm.

2.1

Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân
đại số

Xét bài toán giá trị đầu (2.1)-(1.3) với E, A ∈ Kn×n là các ma trận

hằng, cặp (E, A) là chính quy và điều kiện đầu (1.3) là tương thích.

Với hệ thuần nhất hệ số hằng (2.1) cùng với điều kiện đầu (1.3) là
tương thích thì bài toán (2.1)- (1.3) thỏa mãn điều kiện duy nhất nghiệm.
16


Khi đó, ta có thể mở rộng nguyên văn Định nghĩa 1.7 cho PTVPĐS. Tuy
nhiên, nếu có nhiễu tác động vào hệ, thì tính tương thích của điều kiện
đầu có thể thay đổi, do đó ta xét độ vững của các khái niệm ổn định dưới
tác động của nhiễu. Ví dụ sau đây cho ta thấy tác động của nhiễu lên tính
ổn định của hệ.
Ví dụ 2.1. Xét PTVP ĐS tuyến tính thuần nhất hệ số hằng

1 0
0 0

x˙ 1
0 1
=
1 0
x˙ 2

x1
x2 .

(2.4)

Hệ trên có thể được viết lại x˙ 1 = x2 , 0 = x1 và chỉ có nghiệm tầm
thường x1 = x2 = 0.
Nếu ta làm nhiễu (2.4) bởi nhiễu nhỏ ε vào vế phải dưới dạng

1 0
0 0

x˙ 1
0 1
x˙ 2 = 1 ε

x1
x2 .

(2.5)

Giải phương trình thứ hai của (2.5) và thế vào phương trình thứ nhất, ta
được

1
x˙ 1 = − x1.
(2.6)
ε
1
Suy ra x1 = C.e− ε t , C = const.
Rõ ràng, nếu ε < 0 thì hệ bị nhiễu (2.5) không ổn định. Nếu ε > 0 thì
hệ ổn định tiệm cận nhưng bản chất của nghiệm khác so với hệ ban đầu
của (2.4). Với một giá trị đầu tùy ý x1 (0) = 0, bài toán giá trị ban đầu
cho (2.6) có nghiệm duy nhất. Hơn nữa, giá trị x2 (0) được xác định duy
nhất bởi x1 (0), do đó nếu cho trước x2 (0) thì có thể điều kiện đầu này
không tương thích. Thực tế thì nhiễu nhỏ này đã làm thay đổi chỉ số của
(2.4), từ chỉ số 2 nếu ε = 0 thành chỉ số 1 nếu ε = 0.
Trong Ví dụ 2.1, nhiễu chỉ tác động lên hệ số A, sẽ phức tạp hơn nếu
nhiễu xuất hiện trong hệ số của x˙ . Xét ví dụ sau.

Ví dụ 2.2. Xét hệ bị nhiễu suy biến
I n1 0
0 εIn2

x˙ 1
A11 A12
=
x˙ 2
A21 A22

x1
x2 ,

(2.7)

ở đó In1 , In2 là các ma trận đơn vị có cỡ tương ứng n1 , n2 và Aij , i, j ∈ {1, 2}
là các ma trận hằng có cỡ tương thích, ε ≥ 0 là một tham số nhỏ. Giả
17


sử A22 khả nghịch. Nếu ε = 0 thì ma trận đầu tiên suy biến, tức là ta có
PTVPĐS. Hệ đã cho được viết lại thành

x˙ 1 = A11x1 + A12x2
.
0 = A21x1 + A22x2
Giải x2 từ phương trình thứ hai và thế vào phương trình thứ nhất ta thu
được PTVP thường cơ bản

x˙ 1 = (A11 − A12A−1

22 A21 )x1 .
Ta biết rằng, với ε đủ nhỏ, tính ổn định tiệm cận của (2.7) không chỉ
phụ thuộc tính ổn định của hệ chậm tương ứng với PTVP thường căn bản
mà còn phụ thuộc vào hệ nhanh x˙ 2 = A22x2 tương ứng với phương trình
đại số, xem [3].
Trong ví dụ này, hạng của ma trận đầu tiên đã bị thay đổi khi ε thay
đổi từ không thành khác không. Nếu ε = 0 thì điều kiện đầu phải tương
thích để đảm bảo sự tồn tại của nghiệm, nhưng rõ ràng điều đó là không
cần thiết nếu ε = 0. Khó khăn sẽ gia tăng nếu A22 suy biến và/hoặc ma
trận đầu tiên chứa nhiễu có cấu trúc tổng quát hơn.
Cho phương trình vi phân đại số (2.1) chính quy với điều kiện đầu (1.3),
luôn tồn tại ma trận chiếu P ∈ Kn×r sao cho P (x(t0 ) − x0 ) = 0 là tương

thích, tức là (2.1) với điều kiện đầu này có nghiệm duy nhất, xem [4]. Xét
nghiệm tầm thường x = 0. Ta nói rằng nghiệm này là ổn định mũ nếu

∃L > 0, γ > 0 sao cho bài toán giá trị ban đầu
E x˙ = Ax,

P (x(t0) − x0) = 0

là giải được trên I, ∀x0 ∈ K, và nghiệm thỏa mãn ước lượng

x(t; t0, x0) ≤ Le−γ(t−t0) P x0 , ∀t ≥ t0 .
Nếu nghiệm tầm thường là ổn định mũ thì ta nói (2.1) là ổn định mũ.
Nhận xét rằng, tính ổn định mũ là không phụ thuộc vào cách chọn ma
trận chiếu P . Hơn nữa, với hệ tuyến tính hệ số hằng thì tính ổn định mũ
là tương đương với tính ổn định tiệm cận, do đó ta không phân biệt các
khái niệm này.
18

Sử dụng dạng Weierstrass-Kronecker (1.1), ta thu được khẳng định sau,
xem [2].
Mệnh đề 2.1. Xét (2.1) với (E, A) chính quy. Hệ (2.1) là ổn định tiệm
cận nếu và chỉ nếu (E, A) là ổn định tiệm cận, tức là σ(E, A) ⊂ C− , ở đó
C− là nửa trái mặt phẳng phức.

Tiếp theo ta tìm hiểu sự thay đổi của phổ của cặp (E, A) chính quy
dưới tác động của nhiễu có cấu trúc trong các ma trận E, A. Giả sử hệ
(2.1) là ổn định tiệm cận và xét hệ bị nhiễu

(E + B1 ∆1C1)x˙ = (A + B2 ∆2C2 )x,

(2.8)

ở đó ∆i ∈ Kmi ×qi (i = 1, 2) là các nhiễu và Bi ∈ Kn×mi , Ci ∈ Kqi ×n là
các cặp ma trận hạn chế cấu trúc nhiễu. Cặp ma trận (B1 ∆1 C1 , B2 ∆2 C2 )

được gọi là một nhiễu có cấu trúc. Để đơn giản, ta xét C1 = C2 = C ,
trường hợp B1 = B2 = B được xem xét tương tự. Đặt

∆
∆ := ∆1 , B = [B1 B2] ,
2
và đặt m := m1 + m2 , q := q1 = q2 . Khi đó, xét tập các nhiễu gây bất ổn
định

VK (E, A; B, C) := {∆ ∈ Km×q , (2.8) suy biến hoặc không ổn định tiệm cận}.
Khi đó ta có định nghĩa sau.

Định nghĩa 2.2. Bán kính ổn định có cấu trúc của cặp (E, A) chịu tác
động của nhiễu có cấu trúc như trong (2.8) được định nghĩa bởi
sp
(E, A; B, C) = inf{ ∆ , ∆ ∈ VK (E, A; B, C)},
rK

ở đó . là chuẩn ma trận sinh bởi chuẩn vectơ. Tùy vào K = C hay K = R
mà ta nói bán kính ổn định phức hoặc thực có cấu trúc.
Chú ý rằng các tính chất khác của cặp (E, A) chẳng hạn như chỉ số
có thể vẫn thay đổi dưới tác động của nhiễu nào đó không nằm trong

VK (E, A; B, C). Rõ ràng ta có
rCsp(E, A; B, C) ≤ rRsp (E, A; B, C).
19


Để thu được công thức tính toán bán kính ổn định, ta đưa vào các ma
trận hàm

G1 (s) = −sC(sE − A)−1B1 , G2 = C(sE − A)−1B2 , G = [G1 G2 ] ,
với s ∈ C, Re s ≥ 0. Kí hiệu iR là trục ảo của mặt phẳng phức, kết quả
sau là tương tự như trường hợp PTVP thường.

Định lý 2.3. Giả sử (E, A) là chính quy và ổn định tiệm cận. Với chuẩn
ma trận bất kì sinh bởi chuẩn vectơ, bán kính ổn định phức có cấu trúc của

(E, A) cho bởi công thức
rCsp (E, A; B, C)

=

sup G(s)

−1

(2.9)

.

s∈iR

Không giống như bán kính ổn định phức, một công thức tổng quát cho
bán kính ổn định thực không đo được với chuẩn bất kì. Tuy nhiên, nếu
xét chuẩn Euclide như một chuẩn vectơ, thì thu được một công thức tính
toán như trong [12]. Đây là công thức được dựa trên khái niệm giá trị kì
dị thực/phức có cấu trúc được xác định bởi

µK (M) = inf{σ1(∆), ∆ ∈ Km×p , và det(I − ∆M) = 0}

−1

,

ở đó M ∈ Kp×m , tùy vào K = C hay K = R. Ở đây, σ1 (∆) là giá trị kì dị
lớn nhất của ∆.

Rõ ràng, nếu M là thực thì giá trị kì dị có cấu trúc phức và thực là
trùng nhau. Nếu như công thức µC (M) = σ1 (M) là tầm thường, thì công
thức của µR phức tạp hơn.
Bổ đề 2.4. Giá trị kì dị thực có cấu trúc của M ∈ Kp×m được cho bởi

µR (M) = inf σ2
γ∈(0;1]

Re M −γ Im M
Im M
Re M

1
γ

ở đó, σ2 (A) là giá trị kì dị lớn thứ hai của A.
Với việc hạn chế lên chuẩn Euclide và sử dụng lý luận như trong [12],

20


ta có:
sp
(E, A; B, C) = inf{σ1(∆), ∆ ∈ VK (E, A; B, C)}
rK

= inf inf{σ1(∆), ∆ ∈ Km×q
Re s≥0

và det(s(E + B1 ∆1 C) − (A + B2 ∆2 C)) = 0}

= inf inf{σ1(∆), ∆ ∈ Km×q
Re s≥0

và det(I + (sE − A)−1(sB1 ∆1 C − B2 ∆2 C)) = 0}

= inf inf{σ1(∆), ∆ ∈ Km×q và det(I − ∆G(s)) = 0}
Re s≥0

=

−1

sup µK (G(s))

.

Re s≥0

Do đó ta thu được định lý sau.
Định lý 2.5. Giả sử cặp ma trận (E, A) là chính quy và ổn định tiệm
cận. Khi đó, bán kính ổn định phức và thực có cấu trúc của cặp (E, A),
đo bởi chuẩn Euclide, được cho bởi công thức:

rCsp (E, A; B, C)

=

sup σ1(G(s))

−1

(2.10)

,

Re s≥0

và

rRsp (E, A; B, C)

=

sup

inf σ2

Re s≥0 γ∈(0,1]

Re G(s) −γ Im G(s)
1
Re G(s)
γ Im G(s)

−1

. (2.11)

Trường hợp K = C, do nguyên lý cực đại, cận trên đúng (supremum)
đạt được trên biên (trục ảo) thay vì trên nửa phải mặt phẳng phức. Trường
hợp K = R thì không như vậy, xem Ví dụ 2.3. Hơn nữa, không giống trường
hợp PTVP thường, ở đây, người ta không thể thay thế cận trên đúng bởi
giá trị lớn nhất (maximum) khi mà cận trên đúng có thể đạt được tại vô

cùng. Chú ý rằng, khi hệ bị tác động bởi nhiễu thì một giá trị đặc trưng
tại vô cùng có thể trở nên xác định hoặc ngược lại, một giá trị đặc trưng
xác định có thể tiến ra vô cùng, tức là có thể xảy ra tình huống là chỉ số
hoặc số các giá trị đặc trưng xác định của cặp (E, A) thay đổi hoặc cặp
bị suy biến.
21


Trong trường hợp hệ không thuần nhất, đặc biệt là sự gia tăng của
chỉ số có thể làm mất tính giải được của phương trình do giá trị ban đầu
không tương thích hoặc thiếu độ trơn của phần không thuần nhất. Như ta
đã thấy trong Ví dụ 2.1 và 2.2, điều này thậm chí xảy ra với nhiễu rất nhỏ.
Hơn nữa, trong khi bán kính ổn định của PTVP thường là luôn dương
thì với PTVP ĐS, bán kính ổn định có thể bằng 0. Để thấy điều này, xét
dạng (1.1), ta có:

(sE − A)−1 = T

(sIr − J)−1
0
−

0
k−1
i
i=0 (sN )

W −1.

Tương tự, nếu N = 0 thì G1 (s) và G2 (s) có thể dần tới vô cùng khi

|s| dần tới vô cùng, tức là rCsp = 0. Do đó, nhiễu trong (2.1) phải được hạn
chế hơn nữa sao cho bán kính ổn định là dương.
Phân chia các ma trận cấu trúc C, B (sau khi biến đổi về dạng (1.1))
B
B
CT = [C1 C2] , W −1B1 = B11 , W −1B2 = B21
12
22

(2.12)

theo cấu trúc của (1.1). Dễ thấy rằng:
1. Nếu ind(E, A) = 1 thì sup G(s) < ∞ nếu và chỉ nếu C2 B12 = 0.
s∈iR

2. Nếu ind(E, A) > 1 thì

sup G2 (s) < ∞ nếu và chỉ nếu

s∈iR

C2N i B12 = 0, với i = 0, 1, ..., k − 1
.
C2N i B22 = 0, với i = 1, 2, ..., k − 1

Quan sát này được tổng quát hóa trong kết quả sau.
Mệnh đề 2.6. Xét cặp (E, A) chính quy tương ứng với PTVP ĐS dạng (2.1).
Khi đó:
i) Nếu ind(E, A) = 1 thì bán kính ổn định có cấu trúc của (2.1) là

dương nếu và chỉ nếu C2 B12 = 0.
ii) Nếu ind(E, A) > 1 thì bán kính ổn định có cấu trúc của (2.1) là
dương nếu và chỉ nếu C2 N i B12 = 0, với i = 0, 1, ..., k − 1 và C2 N i B22 =

0, với i = 1, 2, ..., k − 1.
Ở đó, các ma trận cấu trúc được xác định bởi (2.12). Hơn nữa, nếu C2 là
22


sp
(E, A; B, C) > 0 nếu và chỉ nếu B12 = 0 cho trường
ma trận hạng đủ thì rK

hợp ind(E, A) = 1 và N B12 = 0, N B22 = 0 với trường hợp ind(E, A) > 1.
Từ Mệnh đề 2.6 và để đơn giản, giả sử các nhiễu được giới hạn hơn nữa
bằng cách chọn

B11
0

(2.13)

B11
B21
0 , B2 = W 0

(2.14)

B1 = W
nếu ind(E, A) = 1 và

B1 = W
nếu ind(E, A) > 1.

Định nghĩa 2.7. Một nhiễu có cấu trúc như trong (2.8) được gọi là chấp
nhận được nếu nó không làm thay đổi cấu trúc lũy linh của dạng (1.1) của

(E, A), tức là ma trận lũy linh N và không gian bất biến trái ứng với giá
trị riêng ∞ được bảo toàn.
Trong trường hợp ind(E, A) = 1, ta có đặc trưng sau của nhiễu chấp
nhận được phù hợp với (2.13).
Mệnh đề 2.8. Xét PTVP ĐS (2.1) chính quy với ind(E, A) = 1 chịu
tác động của nhiễu tổng quát, phi cấu trúc (E + F )x˙ = (A + H)x. Khi đó,
tồn tại ma trận trực giao P và ma trận hoán vị Q sao cho

P EQ =

A11 A12
E11 E12
0
0 , P AQ = A21 A22 ,

ở đó E11 ∈ Kr×r , E12 ∈ Kr×(n−r) , Aij (i, j = 1, 2) là các ma trận có cỡ
tương ứng, rank[E11, E12 ] = rank E = r và rank A22 = n − r. Hơn nữa,
nếu (F, H) là nhiễu chấp nhận được thì

PFQ =

F11 F12
H11 H12

,
P
HQ
=
0
0
H21 H22 .

Chú ý rằng trong Mệnh đề 2.8, phép biến đổi bởi các ma trận P, Q
không làm thay đổi chỉ số cũng như tính ổn định, do đó không làm thay
23