Điều khiển H ͚ các hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên ( bản đầy đủ )

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Trường Thanh

ĐIỀU KHIỂN H∞ CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Trường Thanh

ĐIỀU KHIỂN H∞ CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 62460103

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
1. GS. TSKH.

Vũ Ngọc Phát

2. PGS. TSKH. Vũ Hoàng Linh

Hà Nội - 2015


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được hoàn thành
dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát và PGS. TSKH. Vũ Hoàng
Linh. Các kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác
giả khi đưa vào luận án. Các kết quả trong luận án là những kết quả mới và
chưa từng được ai công bố trên bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả luận án

Nguyễn Trường Thanh

i


LỜI CẢM ƠN

Luận án được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của
GS.TSKH. Vũ Ngọc Phát và PGS.TSKH. Vũ Hoàng Linh, hai người thầy đã
tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong quá trình làm luận án.
Tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH. Vũ Ngọc Phát. Thầy đã hướng
dẫn tôi từ những bước đầu tiên, như cách đặt vấn đề nghiên cứu, làm thế nào
để viết một bài báo khoa học, cách mở rộng vấn đề nghiên cứu, v.v. Nhờ sự chỉ
bảo của Thầy, tôi ngày càng tiến bộ hơn trong nghiên cứu khoa học. Bên cạnh
đó, Thầy luôn tạo điều kiện cho tôi được giao lưu, học hỏi với nhiều nhà toán

học trong nước và quốc tế, khiến cho tôi trưởng thành hơn trong môi trường
nghiên cứu. Nhân cách và lối sống của Thầy cũng là điều mà tôi đang phấn đấu
và hoàn thiện bản thân. Từ tận đáy lòng, tôi xin bầy tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới
Thầy, mong Thầy luôn mạnh khỏe để có thể cống hiến nhiều hơn cho sự nghiệp
giáo dục nước nhà.
Tôi xin chân thành cảm ơn những ý kiến nhận xét và góp ý quý báu của
PGS.TSKH. Vũ Hoàng Linh. Chính nhờ những bình luận và góp ý của Thầy
mà luận án của tôi được hoàn thiện hơn.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy PGS.TSKH.
Vũ Hoàng Linh, PGS.TS. Đặng Đình Châu đã nhiệt tình cung cấp và hướng dẫn
tôi các kiến thức cần thiết xung quanh luận án. Đồng thời, tôi cũng chân thành
cảm ơn các thầy, các bạn đồng nghiệp và các anh chị nghiên cứu sinh trong Bộ
môn Giải tích-Đại học Khoa học Tự nhiên đã luôn quan tâm, giúp đỡ, và trao
đổi những ý kiến qúy báu cho tôi trong quá trình học tập.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu, tôi đã nhận được nhiều sự giúp đỡ và
tạo điều kiện thuận lợi từ Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Cơ-Tin
học, Phòng Sau đại học và các phòng ban chức năng của Trường Đại học Khoa
học Tự nhiên Hà Nội. Tôi xin trân trọng sự giúp đỡ của các thầy cô.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô, các bạn đồng nghiệp,
các nghiên cứu sinh và các thành viên trong Xêmina Tối ưu và Điều khiển tại
Viện Toán Học đã quan tâm, trao đổi, góp ý cho tôi trong suốt quá trình học
tập và làm luận án.
ii


Tôi xin cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Mỏ-Địa chất đã cho tôi cơ
hội được đi học tập và nghiên cứu. Tôi xin cảm ơn ban chủ nhiệm Bộ môn
Toán-Khoa Đại học Đại cương: TS. Nguyễn Văn Ngọc, Ths. Tô Văn Đinh, Ths
Nguyễn Lan Hương đã tạo điều kiện thu xếp công việc thuận lợi cho tôi trong
thời gian tôi đi làm nghiên cứu sinh tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà

Nội.
Đặc biệt, tôi thực sự cảm ơn sâu sắc tới những người thân của tôi: bố, mẹ,
vợ và các con của tôi. Họ luôn sát cánh bên tôi, chia sẻ và động viên, là động
lực để tôi cố gắng và hoàn thành luận án.

iii


Mục lục
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

3

MỞ ĐẦU

5

1

CƠ SỞ TOÁN HỌC
1.1

1.2

1.3

1.4

1.5
1.6

2

Bài toán ổn định và ổn định hóa . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Bài toán ổn định Lyapunov . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Bài toán ổn định hóa . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài toán tồn tại nghiệm của hệ có trễ . . . . . . . . . . .
1.2.1 Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân hàm
1.2.2 Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi sai phân .
Bài toán ổn định và ổn định hóa hệ có trễ . . . . . . . .
1.3.1 Bài toán ổn định hệ có trễ . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Bài toán ổn định hóa cho hệ điều khiển có trễ . .
Bài toán H∞ trong lí thuyết điều khiển . . . . . . . . .
1.4.1 Không gian H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Bài toán điều khiển H∞ . . . . . . . . . . . . . .
Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bất đẳng thức ma trận tuyến tính . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

16
16
16
18
19
19
21
26
26
29
29
29
30

32
33

ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN
37
2.1
2.2
2.3

Điều khiển H∞ cho một lớp hệ phi tuyến . . . . . . . . . . . .
Điều khiển H∞ cho một lớp hệ quy mô lớn . . . . . . . . . . .
Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

37
52
70


3

ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO HỆ QUY MÔ LỚN CHUYỂN
MẠCH CÓ TRỄ BIẾN THIÊN
71
3.1
3.2
3.3

Tính ổn định của hệ quy mô lớn phi tuyến chuyển mạch . . . .
Điều khiển H∞ cho hệ quy mô lớn phi tuyến chuyển mạch . . .
Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

KẾT LUẬN

71
85
102

103

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN
QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
105

TÀI LIỆU THAM KHẢO

106

2


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

R là tập các số thực
R+ là tập các số thực không âm
Rn là không gian Euclide n chiều
Rn×r là tập các ma trận thực kích thước (n × r)
(x, y) = xT y là tích vô hướng trên Rn , xT y =

n

xi yi
i=1

||x|| là chuẩn Euclide của véc tơ x ∈ R , ||x|| =
n

n
i=1

1/2

x2i

C([a, b], Rn ) là không gian các hàm liên tục trên [a, b] nhận giá trị trong Rn với
chuẩn x C = sup x(t)
a≤t≤b

C 1 ([a, b], Rn ) là không gian các hàm khả vi liên tục trên [a, b] nhận giá trị trong
Rn với chuẩn x C 1 = sup x(t) + sup x(t)
˙
a≤t≤b

a≤t≤b

I là ma trận đơn vị kích thước n × n
Ii là ma trận đơn vị kích thước ni × ni
∗ các phần tử dưới đường chéo chính của ma trận đối xứng

AT là ma trận chuyển vị của ma trận A
λ(A) là tập các giá trị riêng của ma trận A
λmax (A) := max{Reλ : λ ∈ λ(A)}
3


λmin(A) := min{Reλ : λ ∈ λ(A)}
λA = λmax (AT A)
A ≥ 0 có nghĩa là ma trận A nửa xác định dương, tức là xT Ax ≥ 0, ∀x ∈ Rn
A > 0 có nghĩa là ma trận A xác định dương, tức là xT Ax > 0, ∀x ∈ Rn \ {0}
F ∗ (s) là ma trận liên hợp của ma trận F (s)
K là tập các hàm liên tục không giảm a(·) : R+ → R+ , a(0) = 0, a(s) > 0, ∀s >
0
L2loc ([0, ∞), Rn ) là không gian các hàm ω(t) : [0, ∞) → Rn bình phương khả tích
trên các tập compact K của [0, ∞), có nghĩa là ||ω(t)||2 dt < ∞
K

L2 ([0, ∞), Rn ) không gian các hàm ω(t) : [0, ∞) → Rn bình phương khả tích
trên [0, ∞), có nghĩa là

∞

0

||ω(t)||2 dt < ∞

LMI là viết tắt của cụm từ tiếng Anh (linear matrix inequality) có nghĩa là bất
đẳng thức ma trận tuyến tính

4

MỞ ĐẦU

Lý thuyết không gian H∞ có nguồn gốc từ công trình của G. H. Hardy [21]
năm 1915. Sau đó, năm 1981, G. Zames [73] áp dụng thành công lí thuyết này
vào điều khiển, lần đầu tiên đưa bài toán thiết kế điều khiển cho hệ thống một
đầu vào và một đầu ra về bài toán tối ưu hóa. Bài toán điều khiển H∞ tối ưu
có thể hiểu như sau
Tìm điều khiển để ổn định hóa hệ thống khi không có nhiễu và khi có nhiễu thì
điều khiển này đảm bảo tác dụng của nhiễu là nhỏ nhất.
Tuy nhiên, việc tìm lời giải cho một bài toán tối ưu của một hệ thống điều khiển
trong thực tế đôi khi quá phức tạp, tốn kém, và thậm chí không cần thiết. Chúng
ta chỉ cần thiết kế các điều khiển gần đúng với điều khiển tối ưu mà vẫn đảm
bảo được tính ổn định và hiệu suất của hệ thống ở mức chấp nhận được. Đây là
lí do cho sự ra đời của của các bài toán điều khiển H∞ dưới tối ưu (suboptimal).
Từ lúc ra đời, lí thuyết điều khiển H∞ đã nhận được nhiều sự quan tâm
[29, 52]. Tiện lợi của điều khiển H∞ là có thể sử dụng cho hệ đa đầu vào, đa đầu
ra có nhiễu không mong muốn, mà chỉ bằng cách sử dụng các điều khiển cơ bản.
Trên cơ sở quy về bài toán tối ưu, việc tìm điều khiển H∞ có thể dựa trên nhiều
công cụ toán học và phương pháp số, và do đó việc thiết kế điều khiển trở nên
đơn giản hơn. Điều này làm cho bài toán điều khiển H∞ phát triển mạnh mẽ từ
thập kỉ 80 (thế kỉ 20) cho tới nay, và đã áp dụng thành công trong nhiều lĩnh
vực, các quá trình công nghiệp và kĩ thuật. Trong thập kỉ 80 (thế kỉ 20), nhiều
phương pháp được sử dụng nhằm giải các bài toán điều khiển H∞ , như phương
pháp hàm giải tích Nevanlinna-Pick hoặc phương pháp lí thuyết toán tử [4, 61].
Cũng trong giai đoạn này, năm 1984, Doyle [13] lần đầu tiên nghiên cứu bài toán
điều khiển H∞ cho hệ đa đầu vào và đa đầu ra, và kết quả này được phát triển
tiếp bởi Glover [20] và Francis [16]. Tuy nhiên, điểm hạn chế của các nghiên cứu
này là chúng liên quan tới việc giải các phương trình Riccati có kích thước rất

lớn và công thức cho các điều khiển là quá phức tạp. Năm 1989, Doyle [14] đã
mở rộng các nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ từ việc nghiên cứu trễ hằng số
sang nghiên cứu trễ biến thiên, từ không gian hữu hạn chiều sang vô hạn chiều,
5


và cũng đã thu được một số kết quả nhất định.Trong thập niên 90 (thế kỉ 20)
cho tới nay, bằng cách sử dụng phương pháp thứ hai Lyapunov và các định lí
mở rộng của chúng như Lyapunov-Krasovskii, Lyapunov-Razumikhin, phương
pháp LMI, và các công cụ tính toán tiên tiến khiến việc nghiên cứu bài toán
điều khiển H∞ trở nên dễ dàng hơn và có nhiều kết quả đáng quan tâm [48, 54].
Bài toán điều khiển H∞ cần đảm bảo hai yếu tố: ổn định hóa hệ thống
khi không có nhiễu đầu vào và đảm bảo hiệu suất của hệ thống khi có nhiễu.
Chúng ta luôn biết rằng, việc ổn định hóa cho một hệ thống, nói chung, không
phải là điều đơn giản. Có nhiều nguyên nhân gây bất ổn hệ thống, một trong số
đó là trễ thời gian. Tiếp đó, không phải hệ nào cũng có thể thiết kế điều khiển
H∞ do việc giải bài toán tối ưu hoặc dưới tối ưu không phải lúc nào cũng làm
được, đặc biệt với những hệ phi tuyến hoặc hệ có cấu trúc phức tạp. Điều này
khiến cho việc giải bài toán điều khiển H∞ trở nên khó khăn và gần thực tế hơn
so với bài toán ổn định và ổn định hóa. Đồng thời, nó cũng thúc đẩy các nghiên
cứu của chúng tôi đối với các hệ phi tuyến hoặc hệ có cấu trúc phức tạp có trễ
thời gian.Trong luận án, chúng tôi nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho một
số hệ phương trình vi phân cấu trúc khá phức tạp có trễ biến thiên liên tục,
dạng khoảng, không đòi hỏi khả vi. Dựa trên một lớp hàm Lyapunov-Krasovskii
và một số bất đẳng thức mới, một số điều kiện đủ cho sự tồn tại điều khiển H∞
đã được chỉ ra thông qua các bất đẳng thức ma trận tuyến tính. Trước khi đề
cập tới các kết quả chính của luận án, chúng tôi chỉ ra một số ưu điểm của các
kĩ thuật được đề cập ở trên.
• Các hàm Lyapunov-Krasovskii được thiết lập dựa trên cận trên và dưới
của hàm trễ, điều này cho phép nghiên cứu các hệ có hàm trễ biến thiên

liên tục dạng khoảng (tập giá trị của hàm trễ nằm trong một đoạn thẳng
cho trước), không đòi hỏi sự tồn tại và bị chặn của đạo hàm hàm trễ. Điều
này cho phép hàm trễ biến thiên nhanh tùy ý và không hạn chế cận dưới
của trễ là 0.
• Các bổ đề mới cho phép đánh giá đạo hàm của các hàm LyapunovKrasovskii và đưa ra các điều kiện LMI tốt hơn. Cụ thể, Bổ đề 1.5.4 đánh
giá đạo hàm của tích phân bội hai tốt hơn bất đẳng thức thường được sử
dụng, Bổ đề 1.5.2(i), do sự xuất hiện của một số ma trận tự do. Đặc biệt
khi các ma trận này là 0, các đánh giá này trùng với đánh giá của Bổ đề
1.5.2(i). Ngoài ra, thông qua bất đẳng thức tích phân mở rộng 1.5.2(ii)
cho phép đưa thêm tích phân bội ba vào hàm Lyapunov-Krasovskii, đảm
bảo đạo hàm dọc theo nghiệm của hàm Lyapunov-Krasovskii xác định âm
6


”nhiều hơn”. Tích phân bội ba này thể hiện tính hiệu quả trong [65]. Sự
xuất hiện của các ma trận tự do và tích phân bội ba khiến cho việc giải
các bất đẳng thức ma trận tuyến tính dễ thực thi thông qua hộp công cụ
LMI của Matlab [19].
Bên cạnh các ưu điểm về mặt kĩ thuật, các kết quả trong luận án cũng có
sự khác biệt với các kết quả đã có như luận án tiến sĩ [1, 3] cho các hệ có trễ
thời gian biến thiên liên tục dạng khoảng được nghiên cứu thông qua LMI. Sự
khác biệt thể hiện không chỉ bởi hệ được nghiên cứu có cấu trúc phức tạp hơn,
các bài toán đặt ra khác nhau, các hàm Lyapunov-Krasovskii được sử dụng, mà
còn thể hiện thông qua các kĩ thuật mới được áp dụng trong chứng minh như
sử dụng Bổ đề bị chặn 1.5.4 và tích phân bội ba.
Trên cơ sở các kĩ thuật mới, chúng tôi thu được một số kết quả nhất định cho
một số hệ phi tuyến, hệ quy mô lớn, hệ chuyển mạch. Một số bài toán lần đầu
tiên được đặt ra với các hệ trong luận án, như: bài toán điều khiển H∞ cho lớp
hệ quy mô lớn và quy mô lớn chuyển mạch, thậm chí có trễ xuất hiện ở cả hàm
trạng thái và hàm quan sát; bài toán điều khiển H∞ cho một lớp hệ phi tuyến

có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng, không đòi hỏi khả vi xuất hiện ở cả hàm
trạng thái và hàm quan sát, đồng thời hàm quan sát là phi tuyến. Hơn thế, các
kết quả này có thể áp dụng cho một số lớp hệ có trước đó như: hệ không chắc
chắn, hệ có trễ hằng số, v.v. trong việc nghiên cứu tính ổn định và ổn định hóa.
Lớp hệ đầu tiên được nghiên cứu trong luận án về bài toán điều khiển H∞
là hệ phi tuyến có trễ



x(t)
˙
= Ax(t) + Dx(t − h(t)) + Bu(t) + Cω(t)








+f (t, x(t), x(t − h(t)), u(t), ω(t)),



(1)
z(t) = Ex(t) + Gx(t − h(t)) + F u(t)







+g(t, x(t), x(t − h(t)), u(t)),
t ≥ 0,






x0
= ϕ.

Điều khiển H∞ của hệ có trễ thu hút được nhiều sự quan tâm về mặt lí thuyết
cũng như thực tiễn do trễ không những là một yếu tố không thể tránh khỏi
trong nhiều quá trình thực tế mà còn là nguyên nhân cho sự không ổn định và
hiệu suất kém. Mục đích khi nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ là thiết kế được
một điều khiển làm cho hệ đóng (hệ không có nhiễu ω) là ổn định tiệm cận và
đảm bảo hiệu suất ràng buộc của hệ thống là lớn nhất. Một phát triển có ý
7


nghĩa quan trọng của bài toán điều khiển H∞ cho hệ trễ là sự ra đời của phương
pháp không gian trạng thái [59]. Kết quả này đưa ra một giải pháp rõ ràng hơn
cho bài toán điều khiển H∞ với mục đích tìm một điều khiển phản hồi nhằm
ổn định hóa một hệ thống cho trước thỏa mãn một vài điều kiện chuẩn tối ưu
trên hàm nhiễu và biến cố không chắc chắn. Đối với bài toán điều khiển H∞ ,
phương pháp thích hợp cho các hệ tuyến tính có trễ thường sử dụng các hàm
Lyapunov, theo đó các điều kiện thu được thông qua việc giải các bất đẳng thức
ma trận tuyến tính hoặc các phương trình vi phân Riccati đại số [17, 26, 53].

Trong thời gian gần đây, một quy trình đơn giản và có hệ thống để xây dựng các
hàm Lyapunov cho các hệ có trễ biến thiên đã được nghiên cứu trong [35, 42]
đối với bài toán lọc H∞ . Trong [48, 54, 55, 71], một cải tiến của các điều kiện ổn
định mũ thông qua LMI cho hệ tuyến tính có trễ được chỉ ra, cho phép nghiên
cứu tính ổn định mũ cho các hệ không chắc chắn có trễ biến thiên dạng khoảng.
Ở đây, phương pháp hàm Lyapunov được phát triển cho bài toán điều khiển
H∞ của các hệ tuyến tính có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng với giả thiết
các hàm trễ khả vi và có đạo hàm bị chặn. Năm 1990, Lihua Xie và Carlos E.
de Souza [72] nghiên cứu hệ
x(t)
˙
= Ax(t) + B1 w(t) + (B2 + ∆B2 (t))u(t),
z(t) = C1 x(t) + D1 u(t),
với kết quả thu được là tính ổn định tiệm cận của hệ khi không có nhiễu và điều
kiện H∞ được thể hiện thông qua phương trình Riccati đại số. Năm 2005, Xiefu
Jiang và Qing-Long Han [28] lần đầu tiên nghiên cứu bài toán điều khiển H∞
cho hệ tuyến tính có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng không khả vi và không
có trễ trong hàm quan sát
x(t)
˙
= [A + ∆A(t)]x(t) + [B + ∆B(t)]u(t)
+ [A1 + ∆A1 (t)]x(t − h(t)) + Bω ω(t),
z(t) = Cx(t) + D1 u(t).
và kết quả thu được là tính ổn định tiệm cận. Năm 2009, L. V. Hiện và V. N.
Phát [23] nghiên cứu hệ với trễ khả vi và đạo hàm trễ bị chặn
x(t)
˙
= [A0 + ∆A0 (t)]x(t) + [A1 + ∆A1 (t)]x(t − h(t)) + [B + ∆B(t)]u(t),
và kết quả thu được là tính ổn định và ổn định hóa dạng mũ. Kết quả về tính
ổn định mũ với trễ không khả vi và biến thiên liên tục dạng khoảng được V.N.

8


Phat, Y. Khongtham, và K. Ratchagit [58] chỉ ra năm 2009 cho lớp hệ
x(t)
˙
= [A + ∆A(t)]x(t) + [D + ∆D(t)]x(t − h(t)).
Năm 2012, Changki Jeong, PooGyeon Park, và Sung Hyun Kim [12] nghiên cứu
hệ có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng không khả vi và có trễ ở hàm quan sát
x(t)
˙
= Ax(t) + Ah x(t − h(t)) + Bw(t) + Gp(t),
q(t) = Ex(t) + Eh x(t − h(t)),
z(t) = Cx(t) + Ch x(t − h(t)) + Dw(t),
trong đó p(t) = ∆(t)q(t), ∆T (t)∆(t) ≤ ρ−2 I. Họ thu được kết quả là tính ổn
định tiệm cận và điều kiện H∞ . Năm 2013, O.M. Kwon, M.J. Park, Ju H. Park,
S.M. Lee, và E.J. Cha [36] nghiên cứu bài toán H∞ cho hệ với trễ khả vi và có
đạo hàm trễ bị chặn
x(t)
˙
= (A + ∆A(t))x(t) + (Ad + ∆Ad (t))x(t − h(t)) + B1 w(t),
z(t) = Cx(t) + Cd x(t − h(t)) + B2 w(t).
Kết quả họ đạt được là tính ổn định tiệm cận và điều kiện H∞ . Theo sự hiểu
biết của chúng tôi có rất ít các nghiên cứu về bài toán điều khiển H∞ cho các
hệ có trễ, trong đó hàm trễ biến thiên liên tục dạng khoảng và không đòi hỏi
tính khả vi xuất hiện ở cả hàm trạng thái và hàm quan sát.Trong thực tế, bài
toán này là khó giải quyết, đặc biệt khi thời gian trễ biến thiên liên tục dạng
khoảng, không đòi hỏi khả vi xuất hiện ở hàm quan sát. Thời gian trễ được giả
thiết là liên tục và có tập giá trị thuộc một đoạn thẳng cho trước. Rõ ràng, việc
áp dụng điều khiển phản hồi cho hệ có trễ sẽ dẫn tới việc nghiên cứu hệ đóng

(hệ không có nhiễu) có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng. Các khó khăn sau
đó phát sinh khi chúng ta cố gắng tìm ra các điều kiện ổn định mũ và đưa ra
các thông số điều khiển cho hệ thống. Các hàm Lyapunov trong các kết quả liên
quan [17, 54, 71] không thể áp dụng để giải quyết các vấn đề đặt ra của hệ (1)
khi chúng hoặc là sẽ không thể xử lí được khía cạnh không khả vi của hàm trễ,
hoặc dẫn tới các bất đẳng thức ma trận phức tạp. Khi nghiên cứu hệ (1), chúng
tôi phát triển các kết quả [28, 71, 75] cho bài toán điều khiển H∞ cho hệ phi
tuyến có trễ thời gian biến thiên liên tục dạng khoảng. So sánh với các kết quả
trên, kết quả của chúng tôi có một số ưu điểm sau. Đầu tiên, thời gian trễ được
giả thiết là hàm biến thiên liên tục dạng khoảng và không khả vi xuất hiện ở
9


cả hàm trạng thái và hàm quan sát. Tiếp đó, tính ổn định hóa dạng mũ và điều
khiển H∞ được giải quyết đồng thời. Với các kết quả trước, điều khiển này là
cần thiết để đảm bảo tính ổn định mũ toàn cục cho hệ đóng. Cuối cùng, một
hiệu suất quy định theo một ý nghĩa H∞ phải đạt được với tất cả các nhiễu
chấp nhận được. Bằng cách sử dụng hàm Lyapunov-Krasovskii và các bất đẳng
thức mới, một điều kiện đủ cho sự tồn tại điều khiển H∞ được thiết lập thông
qua LMI, các LMI này có thể giải được một cách đơn giản thông qua các thuật
toán trong [19]. Cách tiếp cận này cho phép chúng tôi nghiên cứu bài toán điều
khiển H∞ cho hệ phi tuyến (1), sau đó áp dụng nghiên cứu bài toán này cho
một lớp hệ không chắc chắn có trễ. Ngoài ra, các kết quả này khi áp dụng để
nghiên cứu tính ổn định hóa cho hệ tuyến tính có trễ [76] đã dẫn tới một số
đánh giá tốt hơn về độ biến thiên của hàm trễ.
Lớp hệ thứ hai được nghiên cứu trong luận án là một lớp hệ quy mô lớn phi
tuyến có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng, không đòi hỏi tính khả vi của hàm
trễ, được tạo thành từ N hệ con có liên kết trong giữa các hệ con, và mỗi hệ
con được mô tả bởi phương trình vi phân


N



x
˙
(t)
=
A
x
(t)
+
B
u
(t)
+
D
ω
(t)
+
Aij xj (t − hij (t))
i
i i
i i
i i



j=1,j=i







+fi (t, xi (t), {xj (t − hij (t))}N

j=1,j=i , ui (t), ωi (t)),


N
(2)
z
(t)
=
C
x
(t)
+
F
u
(t)
+
Gij xj (t − hij (t))
i
i i
i i


j=1,j=i







+gi (t, xi (t), {xj (t − hij (t))}N

j=1,j=i , ui (t)), t ≥ 0.





xi (θ) = ϕi (θ), θ ∈ [−h2 , 0].
Nhiều hệ thống trong thực tế nằm trong số các hệ quy mô lớn và bao gồm nhiều
hệ con liên kết trong như: hệ thống điện, hệ thống thông tin liên lạc, hệ thống
xã hội, hệ thống giao thông, hệ thống kinh tế, hệ thống sinh học, v.v. Việc kiểm
soát các hệ quy mô lớn này trở nên rất phức tạp khi đối mặt với số chiều rất
lớn của hệ thống, các biến cố không chắc chắn và trễ thời gian [6, 11, 37, 44].
Với các hệ quy mô lớn tuyến tính, tính ổn định và bài toán điều khiển đã được
nghiên cứu rộng rãi. Năm 1980, Ikeda và Siljak [27] lần đầu tiên giới thiệu trễ
thời gian vào việc điều khiển của các hệ quy mô lớn phân quyền và nghiên cứu
tính ổn định mũ. Tiếp đó, Lee và Radovic [38] năm 1988, Almi và Derbel [5]
năm 1995 xét bài toán điều khiển cho một lớp hệ quy mô lớn có nhiều trễ hằng
số. Năm 2000, Oucheriah [49] nghiên cứu tính ổn định của một lớp hệ quy mô
lớn với thời gian trễ biến thiên. Bài toán điều khiển H∞ cho hệ quy mô lớn với
10

trễ biến thiên liên tục dạng khoảng được nghiên cứu trong [9, 18]. Năm 2005,
Ju H. Park [50] xét lớp hệ quy mô lớn với các trễ hằng số
N

x˙ i (t) = Ai xi (t) +
j=i

Aij xj (t − hij ) + Bi ui (t),

và thu được điều kiện ổn định tiệm cận thông qua LMI. Năm 2006, O.M. Kwon
và Ju H. Park [34], mở rộng kết quả trên cho lớp hệ không chắc chắn
N

x˙ i (t) = (Ai + ∆Ai (t))xi (t) +
j=i

(Aij + ∆Aij (t))xj (t − hij ) + (Bi + ∆Bi (t))ui (t).

Năm 2008, Chang-Chun Hua, Qing-Guo Wanga, và Xin-Ping Guan [10] nghiên
cứu hệ
x˙ i (t) = Ai xi (t) + Adi xi (t − hi (t)) + Bi ui (t)+
+ Bi fi (t, x1 (t), ..., xN (t), x1 (t − hi1 (t)), ..., xN (t − hiN (t))),
với giả thiết các hàm fi tăng trưởng bậc tuyến tính, hàm trễ có đạo hàm bị chặn
trên bởi 1, và cận dưới của trễ là 0. Kết quả của họ là điều kiện đủ cho sự ổn
định. Năm 2009, Magdi S. Mahmoud và Naif B. Almutairi [45] nghiên cứu hệ
N

x˙ i (t) = Ai xi (t) + Adi xi (t − hi (t)) + Bi ui (t) +

k=1

Eik xk (t − hik (t)) + Γi wi (t),

với giả thiết trễ có đạo hàm bị chặn trên (không cần nhỏ hơn 1) và kết quả là
ổn định tiệm cận. Các kết quả nêu trên khi nghiên cứu tính ổn định và bài toán
điều khiển H∞ cho thấy một số hạn chế: (i) hàm trễ thời gian hoặc là các hằng
số hoặc cận dưới của trễ là 0 và (ii) các hàm trễ là khả vi và có đạo hàm bị chặn.
Khi nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho hệ (2), chúng tôi đã khắc phục được
các hạn chế trên khi chỉ cần các hàm trễ là biến thiên liên tục dạng khoảng và
không đòi hỏi tính khả vi. Hơn thế, theo hiểu biết của chúng tôi, bài toán trở
nên khó khăn hơn khi thời gian trễ biến thiên liên tục dạng khoảng, không đòi
hỏi khả vi, xuất hiện đồng thời ở cả hàm trạng thái và hàm quan sát của các hệ
quy mô lớn. Kết quả chính thu được khi nghiên cứu hệ (2) là một điều kiện đủ
cho sự tồn tại điều khiển H∞ và tính ổn định hóa dạng mũ cho hệ đóng tương
ứng. Đây là kết quả đầu tiên về bài toán điều khiển H∞ cho hệ (2). Ngoài ra,
kết quả này có thể áp dụng thiết kế điều khiển H∞ cho một lớp hệ quy mô lớn
11


không chắc chắn tuyến tính, nghiên cứu tính ổn định hóa cho hệ tuyến tính với
trễ hằng [50], và hệ tuyến tính không chắc chắn với trễ hằng [34].
Phần tiếp theo của luận án, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định của một lớp
hệ chuyển mạch quy mô lớn được tạo thành bởi N hệ con, mỗi hệ con được mô
tả bởi phương trình vi phân như sau:

N

σi



x˙ i (t) = Ai xi (t) +
Aσiji xj (t − hij (t))



j=1,j=i

(3)
+fiσi t, xi (t), {xj (t − hij (t))}N

j=1,j=i , t ≥ 0,





xi (θ) = ϕi (θ), θ ∈ [−h2 , 0].

Hệ chuyển mạch thuộc về một lớp quan trọng của các hệ Hybrid (hay còn gọi
là các hệ lai) được mô tả bởi một họ các phương trình vi phân cùng với các quy
tắc quy định chuyển đổi giữa chúng. Một hệ chuyển mạch có thể đại diện bởi
một phương trình vi phân có dạng
x(t)
˙
= f σ (t, x(t)),

trong đó {f σ : σ ∈ J} là họ các hàm được tham số hóa bởi tập chỉ số J gồm
hữu hạn phần tử và σ(·) phụ thuộc vào trạng thái của hệ thống theo thời gian
là hàm chuyển xác định một quy tắc chuyển mạch. Hệ chuyển mạch xuất hiện
khi nhiều quá trình trong thực tế không thể mô tả bởi một hệ động lực liên tục

hay rời rạc như: quá trình sản xuất, mạng lưới thông tin liên lạc, các quá trình
hóa chất, v.v. [39, 62, 63]. Lịch sử nghiên cứu hệ thống Hybrid có thể được truy
trở lại ít nhất từ những năm 1950 với việc nghiên cứu các hệ thống kỹ thuật có
chứa rơle và (hoặc) trễ. Tuy nhiên, hệ thống Hybrid bắt đầu thu hút sự quan
tâm của nhiều người vào khoảng đầu những năm 1990, chủ yếu là do sự ra đời
của các vi điều khiển kỹ thuật số và các thiết bị nhúng. Hai thập kỷ qua đã
chứng kiến hoạt động nghiên cứu đáng kể trong mô hình, phân tích và tổng hợp
của các hệ thống Hybrid liên quan đến các nhà nghiên cứu trong một số lĩnh vực
truyền thống khác nhau, chẳng hạn như khoa học máy tính và kỹ thuật điều
khiển hệ thống. Vì vậy, không phải là đáng ngạc nhiên rằng có nhiều cách tiếp
cận để mô hình hóa, phân tích và tổng hợp các hệ thống Hybrid. Một mặt, các
nhà khoa học máy tính tập trung vào hệ thống Hybrid chủ yếu như các chương
trình (máy tính) rời rạc tương tác với các môi trường tương tự. Họ mở rộng mô
hình tính toán của họ, chẳng hạn như máy trạng thái hữu hạn, máy tự động và
mạng Petri, từ các hệ thống rời rạc chuyển thành các hệ thống Hybrid bằng cách
nhúng các hệ động lực liên tục biến thành các mô hình rời rạc. Thông thường,
12


các phương pháp tiếp cận này có thể nghiên cứu các hệ động lực rời rạc phức
tạp và nhấn mạnh các kết quả phân tích và các phương pháp mô phỏng. Mặt
khác, các nhà nghiên cứu các hệ động lực và lý thuyết điều khiển đã mở rộng
các mô hình và phương pháp cho các hệ thống liên tục truyền thống, chẳng hạn
như phương trình vi sai phân thường, bằng cách bao gồm các biến rời rạc để
mô tả sự nhảy hoặc chuyển đổi các hiện tượng. Thông thường, những phương
pháp này có thể nghiên cứu các hệ động lực liên tục phức tạp và chủ yếu là về
sự ổn định, tính bền vững, và tổng hợp các vấn đề. Trong nhiều thập kỉ, bài
toán ổn định cho hệ chuyển mạch có trễ đã thu hút được nhiều sự quan tâm của
các nhà khoa học [7, 15, 24, 43, 47, 56, 57, 70]. Các kết quả đạt được trên chủ
yếu nghiên cứu bài toán ổn định tiệm cận cho hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ

thông qua quy tắc chuyển mạch bất kì. Tính ổn định mũ được xem xét cho hệ
tuyến tính chuyển mạch với ảnh hưởng của các xung bằng cách sử dụng khái
niệm hàm ma trận đo được [79] và cho hệ xích với hàm đầu vào và hàm trạng
thái phi tuyến có nhiễu và sai số [74]. Một vài kết quả đã có trong [41, 60, 68, 69]
cho hệ chuyển mạch có trễ biến thiên, tuy nhiên thời gian trễ được giả thiết là
khả vi và quy tắc chuyển mạch được xây dựng trên tập nghiệm của tập các bất
đẳng thức ma trận tuyến tính. Theo hiểu biết của chúng tôi, hiện chưa có kết
quả về tính ổn định mũ của các hệ quy mô lớn phi tuyến chuyển mạch với trễ
thời gian biến thiên nảy sinh do sự tương tác lẫn nhau giữa các hệ con. Thời
gian trễ được giả thiết là các hàm liên tục, biến thiên dạng khoảng, và không
đòi hỏi tính khả vi. Trên thực tế, các hàm Lyapunov trong các kết quả liên quan
trong [24, 25, 41, 46, 49, 56, 60] không thể áp dụng để giải quyết bài toán ổn
định cho hệ (3) khi chúng hoặc là không xử lí được khía cạnh không khả vi của
hàm trễ, hoặc dẫn đến các bất đẳng thức ma trận rất phức tạp không giải quyết
được. Kết quả chính thu được của chúng tôi là một điều kiện đủ cho tính ổn
định dạng mũ cho hệ (3). So sánh với các kết quả đã có, kết quả của chúng tôi
khi nghiên cứu hệ (3) có các ưu điểm sau:
(i) Hàm trễ biến thiên liên tục dạng khoảng, không đòi hỏi tính khả vi của hàm
trễ, và cận dưới của trễ có thể khác không;
(ii) Các điều kiện được thể hiện thông qua LMI có thể giải số một cách hiệu
quả thông qua các thuật toán tính toán tiêu chuẩn [19];
(iii) Một thiết kế hình học đơn giản được sử dụng để tìm các luật chuyển đổi
và cho phép đảm bảo tính ổn định mũ cho hệ thống.
Phần cuối của luận án, chúng tôi mở rộng các kết quả về ổn định cho hệ chuyển
mạch (3) để nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho một lớp hệ quy mô lớn
13


chuyển mạch được tạo thành từ N hệ con, mỗi hệ con được mô tả bởi phương
trình vi phân như sau:


N



x˙ i (t) = Aσi i xi (t) +
Aσiji xj (t − hij (t)) + Biσi uσi i (t) + Diσi ωi (t)



j=1,j=i




σi


+fiσi t, xi (t), {xj (t − hij (t))}N

j=1,j=i , ui (t), ωi (t) ,


N
σi
σi σi
(4)
z
(t)
=

C
x
(t)
+
F
u
(t)
+
Gij xj (t − hij (t))
i
i
i
i
i


j=1,j=i




σi


+giσi t, xi (t), {xj (t − hij (t))}N

j=1,j=i , ui (t) , t ≥ 0,






xi (θ) = ϕi (θ), θ ∈ [−h2 , 0].

Kết quả đạt được là một điều kiện đủ cho sự tồn tại điều khiển H∞ cho hệ (4)
và là kết quả đầu tiên cho bài toán điều khiển H∞ cho hệ quy mô lớn chuyển
mạch có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng. Bên cạnh đó, kết quả này có thể
áp dụng để nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho hệ (2) khi tập giá trị σi
chỉ có một giá trị.Tuy nhiên, chúng tôi phải nhấn mạnh rằng, kết quả của hệ
(2) trong luận án không phải là hệ quả của hệ (4) do có sự khác biệt về mặt
kĩ thuật trong việc nghiên cứu hệ chuyển mạch và hệ không chuyển mạch.Việc
nghiên cứu hệ (4) khó khăn hơn việc nghiên cứu các hệ (1), (2), (3) rất nhiều,
đây không những là sự kết hợp của các hệ quy mô lớn mà còn đòi hỏi phải
thiết kế được các điều khiển ngược một cách linh hoạt nhằm ổn định hóa và
đảm bảo hiệu suất tùy thuộc vào chế độ của hệ thống ở các thời điểm khác nhau.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các kí hiệu, danh mục các công
trình khoa học của tác giả, tài liệu tham khảo, luận án gồm 3 chương như sau:
Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC
Chương 2. ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN
Chương 3. ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO HỆ QUY MÔ LỚN CHUYỂN MẠCH
CÓ TRỄ BIẾN THIÊN
Các kết quả của luận án được hoàn thành dựa trên ba bài báo (1 bài SCI và 2
bài SCI-E) đăng trên các tạp chí chuyên ngành và được báo cáo tại :
14


-Xêmina Phương trình Vi phân- Tích phân, Bộ môn Giải tích, Khoa ToánCơ-Tin, Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội.
-Xêmina Phòng Tối ưu và Điều khiển, Viện Toán Học.
-Hội thảo khoa học Trường Đại học Hồng Đức-Viện Toán học-Trường Đại

học Sư phạm Hà Nội, tại Thanh Hóa, 24-27/5/2012.
-Hội nghị toàn quốc lần thứ nhất về Điều khiển và Tự động hóa VCCA-2011,
tại Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam, 25-26/11/2011.

Hà Nội, năm 2015
Nghiên cứu sinh

Nguyễn Trường Thanh

15


Chương 1
CƠ SỞ TOÁN HỌC

Trong chương này, chúng tôi trích dẫn một số khái niệm và kết quả về tính ổn
định và ổn định hoá của hệ phương trình vi phân, điều khiển H∞ , và một số
kiến thức bổ trợ trong luận án.

1.1
1.1.1

Bài toán ổn định và ổn định hóa
Bài toán ổn định Lyapunov

Xét một hệ thống được mô tả bởi phương trình vi phân
x(t)
˙
= f (t, x(t)), t ≥ 0,

(1.1)

trong đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái của hệ, f : R+ × Rn → Rn là hàm
véc tơ cho trước sao cho bài toán Cauchy của hệ (1.1) với điều kiện ban đầu
x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0, luôn có nghiệm duy nhất xác định trên [t0 , ∞).
Định nghĩa 1.1.1 ([2]).
• Nghiệm x(t) của hệ (1.1) được gọi là ổn định
nếu với mọi số ε > 0, t0 ≥ 0 sẽ tồn tại số δ = δ(ε, t0 ) > 0 sao cho
bất kì nghiệm y(t), y(t0 ) = y0 của hệ (1.1) thỏa mãn ||y0 − x0 || < δ thì
||y(t) − x(t)|| < ε, ∀t ≥ t0 . Nếu δ không phụ thuộc vào t0 thì nghiệm x(t)
được gọi là ổn định đều.
• Nghiệm x(t) của hệ (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và
có một số δ > 0 sao cho bất kì nghiệm y(t), y(t0 ) = y0 của hệ (1.1) thỏa
mãn ||y0 − x0 || < δ thì lim ||y(t) − x(t)|| = 0.
t→∞

16


• Nghiệm x(t) của hệ (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận đều nếu nó ổn
định đều và tồn tại b0 > 0 sao cho với mỗi η > 0, tồn tại h0 (η) sao cho
bất kì nghiệm y(t), y(t0 ) = y0 của hệ (1.1) thỏa mãn ||y0 − x0 || < b0 thì
||y(t) − x(t)|| ≤ η, ∀t ≥ t0 + h0 (η) với mọi t0 ∈ R+ .
Nếu x(t) là nghiệm bất kì của hệ (1.1) thì x(t) là ổn định nếu nghiệm z(t) ≡ 0
của phương trình
z(t)
˙ = F (t, z(t)),
(1.2)
là ổn định, trong đó F (t, z(t)) = f (t, z(t) + x(t)) − f (t, x(t)). Hàm F (t, z(t))
thỏa mãn F (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0. Do đó, tính ổn định của một nghiệm x(t) của hệ

(1.1) sẽ đưa về nghiên cứu tính ổn định của nghiệm x = 0 của hệ (1.2). Để đơn
giản kí hiệu, ta luôn xét hệ (1.1) với giả thiết f (t, 0) ≡ 0.
Định nghĩa 1.1.2. Giả sử f (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0. Khi đó, nghiệm x = 0 của hệ
(1.1) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại các số M > 0, δ > 0 sao cho mọi
nghiệm x(t) của hệ (1.1) với x(t0 ) = x0 thỏa mãn
||x(t)|| ≤ Me−δ(t−t0 ) ||x0 ||, ∀t ≥ t0 ≥ 0.
Định nghĩa 1.1.3 ([2]). Giả sử f (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0. Hàm V : R+ × D → R khả
vi liên tục và thỏa mãn V (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0, với D ⊂ Rn là lân cận mở tùy ý của
0, được gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.1) nếu các điều kiện sau thỏa mãn:
i) V (t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa
∃a(·) ∈ K : V (t, x) ≥ a(||x||),

∀(t, x) ∈ R+ × D

với K là tập các hàm liên tục không giảm a(·) : R+ → R+ , a(0) = 0,
a(s) > 0, ∀s > 0.
ii) V˙ (t, x) :=

∂V
∂t

(t, x) +

∂V
(t, x)f (t, x)
∂x

≤ 0,

∀(t, x) ∈ R+ × D.

Nếu hàm V (t, x) là hàm Lyapunov và thỏa mãn thêm các điều kiện
iii) ∃b ∈ K sao cho V (t, x) ≤ b(||x||),

∀(t, x) ∈ R+ × D;

iv) ∃c ∈ K sao cho V˙ (t, x) ≤ −c(||x||),

∀t ∈ R+ , ∀x ∈ D \ {0},

thì V (t, x) gọi là hàm Lyapunov chặt.
Định lí 1.1.4 ([2]). Giả sử f (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0. Khi đó, nếu hệ (1.1) có hàm
Lyapunov thì nghiệm x = 0 của hệ là ổn định. Hơn nữa, nếu hàm Lyapunov đó
là chặt thì nghiệm x = 0 của hệ là ổn định tiệm cận đều.
17


1.1.2

Bài toán ổn định hóa

Xét hệ điều khiển được mô tả bởi phương trình vi phân
x(t)
˙
= f (t, x(t), u(t)),

t ≥ 0,

(1.3)

trong đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là véc tơ điều khiển, hàm
f là hàm cho trước thỏa mãn điều kiện f (t, 0, 0) = 0, ∀t ≥ 0. Giả sử u ∈
L2loc ([0, ∞), Rm ) và với mọi x0 ∈ Rn , hệ (1.3) có nghiệm duy nhất x(t) thỏa mãn
điều kiện ban đầu x(0) = x0 xác định trên [0, ∞).
Định nghĩa 1.1.5. ([2])
i) Hệ (1.3) được gọi là điều khiển được toàn cục nếu với mọi x0 , x1 ∈ Rn tồn
tại điều khiển u và t1 > 0 sao cho x(t1 ) = x1 . Nếu x0 = 0 thì hệ được gọi
là đạt được toàn cục từ 0. Nếu x1 = 0 thì hệ gọi là điều khiển được toàn
cục về 0.
ii) Hệ (1.3) được gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại hàm h : Rn → Rm ,
h(0) = 0, sao cho với điều khiển u = h(x), nghiệm x = 0 của hệ
x(t)
˙
= f (t, x(t), h(x(t))),

t ≥ 0,

là ổn định tiệm cận. Trong trường hợp này, hàm u = h(x) được gọi là hàm
điều khiển ngược ổn định hóa hệ thống.
Định lí 1.1.6 ([2]). Hệ tuyến tính dừng x(t)
˙
= Ax(t) + Bu(t) là ổn định hóa
được nếu nó điều khiển được về 0, trong đó A, B là các ma trận hằng với số
chiều thích hợp.
Định lí 1.1.7 ([2]). Xét hệ điều khiển (1.3) có dạng
x(t)
˙
= f (x(t), u(t)), t ≥ 0.
Giả sử tồn tại hàm V (x) : Rn → R khả vi liên tục và hàm véc tơ h(x) : Rn → Rn ,
h(0) = 0, sao cho các điều kiện sau thỏa mãn:

• V (x) xác định dương,
• ∃b ∈ K sao cho

∂V (x)
f (x, h(x))
∂x

≤ −b(||x||), ∀x ∈ Rn \ {0}.

Khi đó, hệ là ổn định hóa được với điều khiển ngược u = h(x).
18


1.2

Bài toán tồn tại nghiệm của hệ có trễ

Trong mục này, trên cơ sở các định lí đã biết về bài toán tồn tại nghiệm cho hệ
phương trình vi phân hàm, chúng tôi đưa ra một số kết quả cho một lớp hệ vi
sai phân tổng quát như: Hệ quả 1.2.4 (sự tồn tại nghiệm địa phương), Hệ quả
1.2.5 (sự tồn tại nghiệm kéo dài vô hạn), Hệ quả 1.2.6 (sự tồn tại nghiệm kéo
dài vô hạn với điều kiện tăng trưởng bậc tuyến tính), Hệ quả 1.2.7 (sự tồn tại và
duy nhất nghiệm kéo dài vô hạn), Hệ quả 1.2.8 (sự tồn tại và duy nhất nghiệm
kéo dài vô hạn với điều kiện tăng trưởng bậc tuyến tính). Các kết quả này được
đưa ra dựa trên ý tưởng và cách chứng minh của ba định lí (Định lí 1.2.1, Định
lí 1.2.2, Định lí 1.2.3) và cũng là sự đảm bảo chắc chắn cho sự tồn tại nghiệm
kéo dài vô hạn của các hệ được xét trong luận án. Tất nhiên, với các điều kiện
của các hệ trong luận án, sự tồn tại và duy nhất nghiệm kéo dài vô hạn của các
hệ trong luận án có thể suy ra trực tiếp từ Định lí 1.2.3.

1.2.1

Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân hàm

Giả sử Rn là không gian Euclide n chiều và r là một số thực dương cho trước,
C := C ([−r, 0], Rn ) và P C ([−r, 0], Rn ) lần lượt là không gian của các hàm liên
tục và liên tục từng khúc trên đoạn [−r, 0] với giá trị trong Rn và chuẩn của
phần tử ϕ ∈ C hoặc ϕ ∈ P C ([−r, 0], Rn ) là ||ϕ||C = sup ||ϕ(θ)||. Nếu t0 ∈ R,
−r≤θ≤0

A ≥ 0 và x(·) ∈ C ([t0 − r, t0 + A], R ) thì ta định nghĩa hàm xt (·) ∈ C như sau
xt (θ) = x(t + θ), ∀θ ∈ [−r, 0]. Nếu D ⊂ R × C, f : D → Rn là hàm cho trước,
và đạo hàm được hiểu là đạo hàm bên phải thì ta nói biểu thức
n

x(t)
˙
= f (t, xt ),

(1.4)

là phương trình vi phân hàm có trễ và kí hiệu RF DE(f ). Một hàm x(·) được
gọi là nghiệm của phương trình (1.4) nếu tồn tại t0 ∈ R và A > 0 sao cho
x(·) ∈ C ([t0 − r, t0 + A), Rn ) , (t, xt ) ∈ D và x(t) thỏa mãn (1.4) với mọi t ∈
[t0 − r, t0 + A). Với t0 ∈ R, ϕ ∈ C, ta nói x(t0 , ϕ) là nghiệm của phương trình
(1.4) với giá trị ban đầu xt0 (t0 , ϕ) = ϕ. Chúng ta luôn giả thiết hàm f thỏa mãn
điều kiện với mỗi điểm (t0 , ϕ) ∈ R+ × C, hệ (1.4) có nghiệm duy nhất đi qua
điểm (t0 , ϕ) và xác định trên [t0 , ∞).
Định lí 1.2.1 (Định lí tồn tại nghiệm địa phương, Định lí 2.1 [22]). Giả sử Ω
là một tập mở của R × C và f0 ∈ C(Ω, Rn ). Nếu (t0 , ϕ) ∈ Ω thì tồn tại nghiệm

của RF DE(f0 ) qua điểm (t0 , ϕ). Tổng quát hơn, nếu W ⊂ Ω là tập compact
19


và f0 ∈ C(Ω, Rn ) cho trước thì tồn tại một lân cận V ⊂ Ω của W sao cho
f0 ∈ C 0 (V, Rn ), tồn tại một lân cận U ⊂ C 0 (V, Rn ) và α > 0 sao cho với mọi
(t0 , ϕ) ∈ W, f ∈ U, tồn tại nghiệm x(t0 , ϕ, f ) của phương trình RF DE(f ) qua
điểm (t0 , ϕ) xác định trên [t0 − r, t0 + α].
Định lí 1.2.2 (Định lí tồn tại duy nhất nghiệm địa phương, Định lí 2.3 [22]).
Giả sử Ω là một tập mở của R × C, f : Ω → Rn liên tục và f (t, ϕ) là Lipschitz
theo ϕ trong mỗi tập con compact của Ω. Nếu (t0 , ϕ) ∈ Ω thì tồn tại duy nhất
nghiệm qua điểm (t0 , ϕ) của phương trình RF DE(f ).
Định lí 1.2.3 (Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục, Định lí 1.2 [31]).
Cho hàm số
f : [0, +∞) × P C([−r, 0], Rn ) → Rn
thỏa mãn các điều kiện sau:
i) Với bất kì H > 0, tồn tại M(H) > 0 sao cho
||f (t, ϕ)|| ≤ M(H), ∀(t, ϕ) ∈ [0, +∞) × P C([−r, 0], Rn ), ||ϕ||C ≤ H;
ii) Hàm f (t, ϕ) là liên tục trên tập [0, +∞) × P C([−r, 0], Rn ) với cả hai biến;
iii) Hàm f (t, ϕ) thỏa mãn điều kiện Lipschitz với biến thứ hai, tức là tồn tại
hằng số Lipschitz L(H) > 0 sao cho
||f (t, ϕ1 ) − f (t, ϕ2 )|| ≤ L(H)||ϕ1 − ϕ2 ||C
với mọi t ≥ 0, ϕi ∈ P C([−r, 0], Rn ), ||ϕi ||C ≤ H, i = 1, 2.
iv)
||f (t, ϕ)|| ≤ η(||ϕ||C ), t ≥ 0, ϕ ∈ P C([−r, 0], Rn ),
trong đó hàm η : [0, ∞) → R liên tục, không giảm và sao cho với r0 ≥ 0
bất kì điều kiện sau thỏa mãn
R

lim

R→∞

dr
= +∞.
η(r)

r0

Khi đó, với t0 ≥ 0 và hàm ϕ ∈ P C([−r, 0], Rn ) cho trước, hệ (1.4) có duy nhất
nghiệm x(t) xác định trên [t0 − r, ∞) với điều kiện ban đầu xt0 = ϕ.
20