Khoá luận tốt nghiệp ứng dụng phương pháp parabol giải gần đúng phương trình phi tuyến

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s u PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

LÊ THỊ NGỌC YÉN

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PARABOL GIẢI
GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH
PHI TUYỂN

KHÓA LUẬN
TỐT NGHIỆP
ĐẠI
HỌC
•
•
•
•
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. Khuất Văn Ninh

HÀ N Ộ I-2 0 1 5


LỜI CẢM ƠN

Được sự phân công của khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2,
và được sự đồng ý của Thầy giáo hướng dẫn PGS.TS. Khuất Văn Ninh em
đã thực hiện đề tài “ủ n g dụng phương pháp parabol giải gần đúng phương
trình phi tuyến”.

Đe hoàn thành khóa luận này em xin chân thành cảm ơn các thầy cô
giáo đã tận tình hướng dẫn, giảng dạy trong suốt quá trình học tập, nghiên
cứu, rèn luyện ở Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2.
Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn Thầy giáo trực tiếp hướng dẫn
PGS.TS. Khuất Văn Ninh đã tận tình, chu đáo hướng dẫn em hoàn thành
khóa luận này.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng để thực hiện đề tài này một cách hoàn
chỉnh nhất. Song do buổi đầu mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học
nên không tránh khỏi thiếu sót mà bản thân chưa thấy được. Em rất mong
được sự góp ý của quý thầy cô để khóa luận được hoàn chỉnh hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Sinh viên

Lê Thị Ngọc Yến.


LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan khóa luận này là công trình nghiên cứu thực sự của
cá nhân, được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa họccủa PGS.TS. Khuất
văn Ninh.
Các nội dung được trình bày trong khóa luận này trung thực và chưa
từng được công bố dưới bất kỳ hình thức nào.
Em xin chịu trách nhiệm về khóa luận của mình.

Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Sinh viên

Lê Thị Ngọc Yến.

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU................................................................................................................. 1
NỘI DUNG............................................................................................................ 3
Chương 1. Kiến thức liên quan....................................................................... 3
1.1

Số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tương đối........................................... 3
1.1.1 Số gần đúng.......................................................................................3
1.1.2 Sai số tuyệt đ ố i................................................................................. 3
1.1.3 Sai số tương đối................................................................................ 3

1.2

Làm tròn số và sai số của phép làm tròn.................................................... 4
1.2.1 Làm tròn s ố ........................................................................................ 4
1.2.2 Sai số của phép làm tròn.................................................................... 5

1.3

Cách viết số xấp x ỉ....................................................................................... 7
1.3.1 Chữ số có nghĩa,chữ số chắc............................................................7
1.3.2 Chữ số đáng tin ................................................................................ 7
1.3.3 Cách viết số xấp xỉ .........................................................................7

1.4 Tỷ sai phân................................................................................................... 6
1.5

Một số khái niệm về dãy s ố ......................................................................... 8

1.5.1 Dãy số và giới hạn của dãy số........................................................... 8
1.5.2 Một số tính chất của dãy hội tụ ......................................................... 9

1.6

Một số kiến thức về hàm số liên tụ c ......................................................... 12
1.6.1 Định nghĩa và ví d ụ ..........................................................................12
1.6.2 Hàm số liên tục trên một đoạn.........................................................13

1.7 Các định lý cơ bản của hàm khả v i..............................................................13
1.8 Sự tồn tại nghiệm và khoảngtách nghiệm..................................................14
1.8.1 Sự tồn tại nghiệm.............................................................................. 14
1.8.2 Khoảng tách nghiệm.........................................................................14
1.9 Công thức Taylor..........................................................................................15


Chương 2. Phương pháp parabol.................................................................... 16
2.1 Nội dung phương pháp.................................................................................. 16
2.2 Bậc hội tụ ........................................................................................................ 18
2.2.1 Định nghĩa bậc hội tụ........................................................................18
2.2.2 Bậc hội tụ của phương pháp parabol.............................................. 18
Chương 3. Một số ví dụ minh họa...................................................................29
3.1 Một số ví d ụ ................................................................................................... 29
3.2 Bài tập............................................................................................................. 51
KÉT LUẬN..........................................................................................................52
TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................53


M Ở ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Chúng ta đã biết, Giải tích số là một ngành khoa học đã có từ lâu đời,
đặc biệt tù’ khi máy tính điện tủ’ ra đời, ngành khoa học này phát triển rất
nhanh chóng. Ngày nay, cùng với sự phát triển của tin học, phạm vi và ứng
dụng của Giải tích số ngày càng được mở rộng.
Giải tích số là một lĩnh vực toán học rất rộng. Nó nghiên cứu lý thuyết
xấp xỉ hàm, giải gần đúng một lớp các bài toán, các phương trình thường
gặp... Đặc biệt Giải tích so chuyên nghiên cứu các phương pháp số giải gần
đúng các bài toán thực tế được mô hình hóa bằng ngôn ngữ toán học. Trong
nghiên cún khoa học và trong các bài toán thực tế (trong thiên văn, đo đạc
ruộng đất,...) dẫn đến cần phải giải các phương trình phi tuyến, tuy nhiên các
phương trình này thường phức tạp, do đó nói chung khó có thế giải được
(đưa được về các phương trình cơ bản) bằng các biến đổi đại số, hoặc không
tránh khỏi sai số, ảnh hưởng trực tiếp đến kết quả tính toán. Hơn nữa, vì các
công thức nghiệm của phương trình phi tuyến thường phức tạp, cồng kềnh,
nên cho dù có công thức nghiệm, việc khảo sát các tính chất nghiệm qua công
thức cũng vẫn gặp phải rất nhiều khó khăn. Vì vậy, các phương pháp giải gần
đúng đã sớm được xây dựng, với các thuật toán hữu hiệu để giảm thiểu sự sai
số, đồng thời tiện lợi cho việc lập trình và tiết kiệm số lượng các phép tính,
thời gian tính toán, vấn đề tìm nghiệm gần đúng của phương trình phi tuyến
có ý nghĩa lí thuyết và ứng dụng rất lớn.
Chính vì vậy nên em đã lựa chọn đề tài cho khóa luận tốt nghiệp của em
là: “ứ ng dụng phương pháp parabol giải gần đúng phương trình p h ỉ
tuyến“.

1


2. Mục đích nghiên cứu
Hiểu và nắm vững phương pháp Parabol giải gần đúng phương trình phi
tuyến, tìm nghiệm của phương trình với độ chính xác cần thiết hoặc sai số cho

phép.
Áp dụng phần mềm toán học như: Maple và Pascal vào đế giải quyết
một số bài toán.
3. Nhiệm vụ nghiên cún
- Nghiên cứu việc giải gần đúng phương trình phi tuyến bằng phương
pháp Parabol.
-

ứ ng dụng của Maple trong việc giải phương trình phi tuyến.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản của phương
pháp Parabol giải gần đúng phương trình phi tuyến.
Khóa luận được chia làm 3 chương (ngoài phần mở đầu, kết luận và tài
liệu tham khảo):
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Phương pháp parabol giải gần đúng phương trình phi tuyến.
Chương 3: Một số ví dụ minh họa.
5. Phương pháp nghiên cứu
Tra cứu và tham khảo tài liệu.
Viết thuật toán chạy chương trình.
Đưa ra các ví dụ minh họa cho phương pháp.
Tổng họp bài tập.

2


NỘI DUNG
CHƯƠNG 1
CÁC KIÉN THỨC LIÊN QUAN

Đe nắm vững và hiểu rõ hơn về phương pháp Parabol giải gần đúng
phương trình phi tuyến trong chương này em xin trình bày về một số kiến
thức liên quan trực tiếp như: sai số, làm tròn số, tỷ sai phân, một số khái niệm
về hàm số, hàm số liên tục, hàm khả vi, sự tồn tại nghiệm của phương trình.
1.1 Số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tương đối
1.1.1 Số gần đúng
Ta nói rằng a là số gần đúng của số a nếu như a không sai khác a nhiều, hiệu
số À = ị^a - a ) là sai số thực sự của a.
Neu A > 0 thì a là giái trị gần đúng thiếu của a .
Neu A < 0 thì a là giái trị gần đúng thừa của a .
1.1.2 Sai số tuyệt đối
Vì rằng a nói chung không biết nên cũng không biết À, tuy nhiên có thế thấy,
tồn tại Àa >0 thỏa mãn điều kiện:
Ia - a\ < Aa .
Số Aa thỏa mãn điều kiện (1.1.1) được gọi là sai số tuyệt đối của a.
Neu số xấp xỉ của a* có sai số tuyệt đối là Afl thì ta viết:
a = a ± Aa
với ịa* - aị < Aa .
1.1.3 Sai số tương đối
Tỷ số ổ =

\a

là sai số tương đối của a.

3


Ta có thể suy га: Д =|ö|.c>

(1-1.4)

Từ (1.1.2) ta có: a = a (l ± ố )
Công thức (1.1.3) và (1.1.4) cho ta công thức liên hệ giữa sai số tuyệt đối và
sai số tương đối.
Chủ ý: Neu đoạn thẳng AB có số đo là a = lOOmét và đoạn CD có số đo
b = lOmẻt, với A = A, -0 .0 1 mét. Khi đó 5 8 _0 ^
e
*
“ 100 "
10

phép đo

đoạn thắng AB là chính xác hơn phép đo doạn thắng CD.
Từ đó ta thấy độ chính xác của một phép đo thường được phản ánh qua sai số
tương đối.
1.2 Làm tròn số và sai số của phép làm tròn
Xét một thập phân dạng tống quát :
a = ± (a .W + ... + CC.. 10' +... + CC _,.KF“ )

(1.2)

trong đó a . e N ; vj, ap ф о, 0 < 0Lj < 9.
Neu ( /7 - 5 ) > ơ th ì a là số nguyên.
Neu (/? -$ ) = —к{к. > o) thì a có phần lẻ gồm к chữ số.
Neu

-0 0

thì a là số thập phân vô hạn.

1.2.1 Làm tròn số
Làm tròn số a là bỏ đi một số các chữ số bên phải của số a để được số a.
Quy tắc làm tròn: Xét số a ờ dạng (1.2) và ta sẽ giữ lại đến bậc thứ I, phần bỏ
đi là ụ. thì :
а = ± {a
. 10^ + ... + l + «..10')
V p
/+|
'
)
Trong đó:

4


( GL: nếu о < и < - . I O 1hoäc и =

10* mà а, ỉâ số chằn

I {cLị + 1) nếu ụ. > ^. 10l hoặc ịi= -.1 0 * mà OLị Ik số lẻ.

1.2.2 Sai số của phép làm tròn
Ta ký hiệu sai số của phép làm tròn là Г , như vậy а - а - Г , rõ ràng

Vì а - а < \а* —а\ + а - а < Аа + Го, do đó khi làm tròn thì sai số tuyệt đối

tăng thêm Г .

1.3 Cách viết số xấp XÏ
1.3.1 Chữ số có nghĩa, chữ số chắc
Xét số а ở dạng ( 1.2) nghĩa là số được viết dưới dạng thập phân. Khi đó,
chữ số có nghĩa là mọi số khác 0 và những số 0 bị kẹp giữa hai chữ số khác 0
hoặc nó là nhũng số 0 ở hàng được giữ lại.
Xét số a = ± ịa . 10^ +... + «..10' + ... + а

chữ số ữj ở (1.2) của

số а là chữ số chắc nếu: Ao < ú). 10' (ü) là số cho trước). Tham so Ü) sẽ được
chọn sao cho một chữ số vốn là chắc thì sau khi làm tròn vẫn là chữ số chắc.
1.3.2 Chữ số đáng tin
Mọi số thập phân đều viết được dưới dạng:
„ = ± 5 > , .10% trong đó as là những số từ 0 đến 9.
Giả sử a là giá trị xấp xỉ của а với sai số tuyệt đối giới hạn là Aa. Ta chú ý
chữ số đứng ở hàng thứ 5 của а.
Neu д а < 0,5.10s thì ta nói as là chữ số đáng tin, ngược lại thì ta nói as là chữ
số đáng nghi.
1.3.3 Cách viết số xấp xỉ

5


Cho số a là giá trị xấp xỉ của a với giá trị tuyệt đối Aa. Có hai cách viết số
xấp xỉ a:
Cách 1: Viết kèm sai số.
Cách 2: Viết theo quy ước mọi chữ số có nghĩa đáng tin.
Một số viết theo cách thứ hai có nghĩa là nó có sai số tuyệt đối không lớn hơn
một nửa đơn vị hàng cuối cùng.
1.4 Tỷ sai phân

Giả sử hàm số thực^ = / (x) xác định trên [я,/?] và

X. G [ a , b ] ,

V i = 0 ,1 ,2 ,...,п;х. Ф X j,i Ф j .

Khi đó tỷ số
(XM - Xi)
được gọi là tỷ sai phân cấp 1 của hàm số ^ = f ( x ) tại X = (0,1...,/7-1)
và được ký hiệu là: / (x.,x.+1)
[ / ( * ! . .
) - / ( w
. l
) ]
*
.
и д
Á
o
U A „
---------------- được
gọi là tỷ sai: phân
cap
2 của hàm
sôí
Tỷ sôí -------------Т Л

XM - X t

у = f(x) tại Xị và đ ư ợ c ký hiệu là f ( x ; x +l ; x +2 ) .

Tông quát, tỷ sô : ----------------------------------------được gọi là tỷ sai phân cấp к của hàm số у = f ( x ) tại Xi và nó được
ký hiệu \ầ f( x .;x M;...;xí+k).
^ ^ f(x .)
Tính chât 1.4.1: f [ x 0;...;xk) = 2_J---- 7 4 , trong đó
i=0 „+1(-*7)
(o(x) = Ỷ l { x - x )
7=0

Chứng minh:


Với Ả: = 7 , ta có / '( x 0,x, ) =

+ -Ẩ Ả ^ l
(x0 - x ,)

(х ,-д

Giả sử ta chứng minh được với k < n. Khi đó

Ịy /Ы

ỹ iM ị
„0 ®o(xi) j
/.0<ц,(*|)

*„.1-*0 [ý.1

, 4 (ứ{x)

Cử{x)
Với ú)x[x) = - ^ - L,(0ữ=
X — x0

í

\

í

\

1

\

và
X — X)Ị+1

Như vậy
_____ 1Ы ________________________+ ___ ă ỉ i t L )_+
ỹ ' f ( xi) í

1_______ I___Ị

Vì да. ( , ) = £ ! ^ ; даx ,-x „

=
*■ -*„,

»+l / ( x . )

Từ (1.3.1)/ ( x 0;x,;...;x +1) = V —T-Ц-, suy ra điều phải chứng minh.
,=0Tính chất 1.4.2: Tỷ sai phân là hàm đối xứng đối với các Jtj.
Tỉnh chất 1.4.3: Tỷ sai phân cấp (m+ỉ) của đa thức bậc m là đồng nhất 0.
Chứng minh:
Thật vậy, giả sử ^p(^) là đa thức bậc m, ta phải chứng minh
p(x;x„;...;x„) = 0,
V xe[ữ,ồ]và (m+2) so X, X o , . . . , xmlà đôi một khác nhau. Ta có

7



,

,

P ( x ) - P ( x n)

-

p (x ,x 0) = —— —- là đa thức bậc (m -l), từ đó ta có
X - X,

P(x; x0; X ì )

p (x ;x 0) - p ( x 0;x,)

=

là đa thức bậc (m-2). Bằng phưcmg pháp

quy nạp toán học ta cũng chứng minh được:
p( x; x0; x , ) l à đa thức có bậc [m - (k+ỉ)];
Vậy

) là đa thức bậc ớ, từ đó: p (x ;x 0;...;x ) = 0.

1.5 Một số khái niệm về dãy số
1.5.1 Dãy số và giới hạn của dãy số
Cho tập hợp số nguyên dương N* = {1,2,3...}. Một ánh xạ
u : N* —» Rđược gọi là một dãy số thực. Neu đặt un = w(«)thì ta có thể biểu
diễn dãy số thực dưới dạng u],u2,uĩ ,...,u ,...Ta ký hiệu dãy đó bằng {«„} hay
ịun}. Phần tử un được gọi là số hạng tổng quát của dãy.
Định nghĩa:
Cho dãy số thực {un}n- số aeM đ ư ợ c gọi là giới hạn của dãy{w(ỉ}(; nếu với
mọi £ > Ocho trước bao giờ cũng tồn tại một số tĩ() (phụ thuộc vào £) sao cho
với mọi n > n0 ta đều có Iu —a\<£.
Khi đó ta nói rằng dãy un hội tụ tới a hay tiến đến giới hạn a và ta viết
u„ —>aí^n —>0 0 ^ hay limw(ỉ = a .
Một dãy không có giới hạn được gọi là phân kì.
Ví dụ.
.VỞĨ£> 0 cho

trước

2

n2 +2

1

r

r

1 I

r

> £ khi và chỉ khi n >---- 2. Vì thê nêu lây n0 - J -----2
ỉ

£

8

8


( phần nguyên c ủ a j —- 2 ) thì với mọi n > nfì ta có
n +1
lim
«->o° n +2

=

n +1

-1 <£. Do đó
n +2

1.

1.5.2 Một số tính chất của dãy hội tụ
Định lý 1: Giới hạn của dãy hội tụ là duy nhất.
Chứng minh. Trước hết ta cần chú ý rằng nếu ữ , ữ 'e l v à \a - a'\ < 8 với mọi
£ > 0 thì a = a Thật vậy, nếu a ^ a ' , thì chọns -

a -a

, ta có

ịa - a'ị > s , trái với giả thiết.
Giả sử limw;j = a,\\m un =a \ Khi đó:
/J—>co

n -> 0 0

I
I £
\/£ > 0,3n. : V/2 > n, thì \u —a\< —
1
1 1"
1 2
\/s > 0 ,3 ỉĩ'.\/n > nAhi \u -a '\< —
2
2 1«
I 2

Lấy n = max{/7,,n2}ta có:
\a
l + Ila '- u II<6
I -a '\I=I \a - u fì +u n - a'\<\a
I I - u 'M
Từ trên ta suy ra a = a'.
Định lý 2: Mọi dãy con của dãy hội tụ là dãy hội tụ và có cùng giới hạn
của dãy.
Chứng minh: Giả sử lim un = a . Theo định nghĩa ta có
i}-> 00

I
I £
V í > 0,3«n:
V/2 > «„u thì I wtì - a \<
-2- .
7
Kỉ
I
Cho Iun Ị là một dãy con của dãy \un . Khi đó với mọi k > n0 ta có
nk > k > n0 và do đó \u —a\<£. Theo định nghĩa lim u =a
I

I

k —>00


Định lý 3: Neu { u„ }„ là dãy hội tụ và limun =a thì {| u„ |„} cũng hội tụ
n -> 0 0

và lim Im I= \a\.
/1—»00*

Chứng minh: Theo định nghĩa của dãy hội tụ
I

I

£

\ / s > 0,3«(): \/n > n0 thì ịun - a ị < —

Từ đó do 11 u„ I - I a 11 < \un - a I ta suy ra 11 u„ I - I a 11< £, \/n > n0.
Vì thế dãy {| un In} hội tụ và limlw I= |a |.
//—>00

*

Định lý 4: Mọi dãy hội tụ thì bị chặn.
Chứng minh: Giả sử {un}„ là dãy hội tụ vàlimw(j = a . Theo trên
» —>00

limlw,| = M. Cho s = ỉ, theo định nghĩa 3n0 :V n > n 0 ta có
n^oo

11 u„ I - I a 11< 1, từ đó suy ra I u„ I < I a I + ỉ, V/7 > n0.
Đặt M = max{I U/ \, I u2 \,... ịun ị, I a I + /}. Ta có I u„ I < M, V/igN*
Vậy dãy { un }„ là dãy bị chặn.
Định lý 5 ( Nguyên lý Bolzano - Weierstrass):

Mọi dãy vô hạn bị chặn đều chứa một dãy con hội tụ.
Định lý 6 ( Nguyên lý Cauchy):
Định nghĩa'. Dãy số thực {un}„ được gọi là dãy cơ bản hay dãy Cauchy nếu
với mọi £ > 0 cho trước tồn tại n0 ( phụ thuộc vào £) sao cho với mọi
n, m > n0 ta có Iu„ - um\ < £.
Nguyên lý hội tụ Cauchy: Dãy số thực {u„}„ hội tụkhi vàchỉ khi nó là dãy
cơ bản, tức là khi và chỉ khi \f £ > 0,3 nQ,\fn ,m > n0 thì Iu„ - umI

Ch ngm inh:
a) Đi u ki n c n. Gi

s

{z/zjj/jh i t

£
\/s > 0,3n0,\/n,m > fl0thì Iu„ - a\ <— .

10

t i gi i h

n a. Khi đó

< £.


Vì thế với mọi m, n > n0 ta có Iu„ - um\ < Ia - nnI + \a —um \< £
V y {£//7}/7 là dãy c b n.
b) Đi u ki n đ ■Ng

c 1 i gi

s

{un}n là dãy cơ bản. Khi đó

theo trên {un}n là dãy bị chặn và do đó theo nguyên lý Bolzano Weierstrass dãy {Un}n có một dãy con hội tụ đến một giới hạn a nào
đó.Theo tính chất của dãy cơ bản, chính dãy

cũng h i t

đ n a.

Ví dụ 1: Dùng nguyên lý Cauchy xét sự hội tụ của dãy số {ỉ//?}/7V i
1 1
1
u ——“—I—“——+ ...H------------ .
" 1.2 2.3
n(n + 1)
Gi s

/77 > n. Khi đó:

un - 11mI um un

------------- T-- ^------- z-----------h ... H-----------{n + \){n + 2) {n + 2){n + y)
m(m + 1)

1

1
1
- — + —n + 1 n +2 n +2

n +3

1
1
1
m + 1 /7+ 1 m + \

m

Cho tr

c £ > 0, ta th y

\ìẢn “ W
(|

1
1
1
1
< ----- < — <£ nếu n> —
/7+ 1 m + 1 /2 + 1 n
£

Vì thế nếu lấy n0 =

1

thì với mọi n, m > n0 ta có Iun - umI< £.

Vậy dãy {u„}„ hội tụ.
Ví du 2: Cho dãy {un}n với un = 1+ —+ —+
2 3 / 2

. Ta chứng minh rằng dãy

này phân kỳ.
Muốn vậy, theo nguyên lý Cauchy ta cần chứng minh rằng:
3 s > 0,v« > /20thì| u„ - um \> £.

11


Ta thấy Iu2„ —u„

Vậy dãy {u„}„ phân kỳ.
Định lý 7:
a) Neu {un}n là một dãy tăng bị chặn trên thì nó hội tụ và
limwtì = su гpиtĩ .

n^cc

n

b) Neu {u„}„ là một dãy giảm bị chặn dưới thì nó hội tụ và
ììmu

- inf иn .
“
tì

Ví dụ:
Dãy sô {u„}„ trong đó u„ =

là dãy tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ

và lim un - supw(( = e.
л -» с о

1.6 Một số kiến thức về hàm số liên tục
1.6.1 Định nghĩa và ví dụ
Định nghĩa. Cho tập hợp A d M, hàm so f : А —> R và điểmx0 G A . Neu với
mọi £ > 0 cho trước bao giờ cũng tồn tại 5 > 0 (phụ thuộc vào e) sao cho với
mọi

x g { x g A \ \ x - x 0\ < ổ }

ta đều có I f [ x )

- ß j x 0)\

< Ö thì ta nói hàm f liên tục

tại điểm x0.
Neu/ lên tục tại mọi điếm X E Ả thì ta nói/ liên tục trên A .
Neu / ’không liên tục tại Xo thì ta nói hàm / gián đoạn tại điểm x 0, hay Xo là
điếm gián đoạn của hàm f.

Ví dụ. Hàm số f(x) = sinx liên tục trên R.
Thật vậy, cho Xo G R . Ta có

12


X + x0

.

X - x(

s in x -s in x n = 2cos—-—- .s i n — - —< 2 sin ——— < \x - X,'0
01
2
2
2
1
(
Vì thế, cho trước £ > 0 nếu chọn ố = £ thì với mọi JCGIR thỏa mãn
|jc —x 0\ < 5 ta có|sinx - sinx0| < £ . Theo định nghĩa f ( x ) = sinx liên tục tại x0.
Vì x0 là điểm bất kỳ của M, / ’liên tục trênM .
Tương tự ta cũng chứng minh được rằng hàm sốf(x) = cosx liên tục trênM .
1.6.2 Hàm số liên tục trên một đoạn
Định nghĩa: Cho hàm số/ : \a,b\ —>R . Neu/ liên tục trên (a, b), liên tục bên
phải tại điểm a và liên tục trái tại điểm b thì ta n ó i/liên tục trên [a, b \
Định lý 1: Neu hàm số liên tục trên đoạn [a,b] thì nó bị chặn trên đó.
Định lý 2: Neu hàm số / ’liên tục trên đoạn [a, b] thì nó đạt được cận trên đúng
và cận dưới đúng trên đó, tức là tồn tại hai số Xo, Xo ’ e [a, b ] sao cho
f{xo) = sup f { x ) , f [ x 0’) = inf f ( x ) .

xe[a,b]

Định lý 3 (Định lý Bolzano -

Cauchy thứ nhất). Giả sử hàm

/: [a,b] —» Mliên tục trên đoạn [a, b] vầf(a).f(b) < 0. Khi đó tồn tại c e [a,b]
sao cho f{c) = 0.
Định lý này có ý nghĩa hình học rất rõ ràng: nếu một đường cong liên tục đi từ
một phía của trục X sang phía kia thì nó cắt trục này.
Định lý 4 (Định lý Bolzano - Cauchy thứ hai). Giả sử hàm /

[a,b] —» M

liên tục trên [a, b \ Khi đó / nhận mọi giá trị trung gian giữa f(a), fib), tức là
với mọi số thực Y nằm giữa f{à),fib), tồn tại c e [ a ,b ]sao cho f[c) = Ỵ.
1.7

Các định lý cơ bản của hàm khả vi

Định lý 1 (Fermat). Cho tập hợp mở u a Mvà hàm/ : ư —» M. Neu điểm
c G Ư là điểm cực trị của hàm/ và nếu tồn tại f ’(c) thì f ’(c) = 0.
Định lý 2 (Rolle). Giả sử hàm số f: [a,b] —» R có các tính chất:

13


a) /liê n tục trên [(a, b].
b) /'khả vi trong (a, b).

c) Ẫà) =Ẩl>\
Khi đó tồn tại ít nhất một điếm c 6[a, b] sao cho f ’(c) = 0.
Định lý 3 (Laggrange). Giả sử hàm số/ : [a,b] —» M có các tính chất:
1) / liên tục trên [a, b].
2) /k h ả vi trong (a, b).
Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c G[a ,b ] sao cho f{b) - f { à ) = f { c ) { b - à).
1.8

Sự tồn tại nghiệm và khoảng tách nghiệm

1.8.1 Sự tồn tại nghiệm
Xét phương trình J{x) = 0

(1-4.1)

Định lý (1.8.1)
Neu có 2 số thực a v ầ b (a < b) sao cho f{a).f[b) < 0 đồng thời f[x) liên tục
trên [a, b] thì ít nhất một nghiệm thực của phương trình ở trong [a, b].
1.8.2 Khoảng tách nghiệm
Định nghĩa:
Khoảng [ia, b] nào đó được gọi là khoảng tách nghiệm của phương trình
(1.4.1) nếu nó chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình đó.
Định lý (1.8.2)
Hàmy(jt) liên tục, đơn điệu trên [a, b] vầf{a).f(b) < 0 thì \a, b] là khoảng
tách nghiệm của phương trình.
Định lý (1.8.3):
Hàm^(x) xác định trên [a, b] có f ’(x) không đối dấu trên (a, b) và
Ẫ đ ) № < 0 thì (a, b) là khoảng tách nghiệm của phương trình (1.4.1).
Ví dụ: Cho f(x) = x 3- 2 x - 5 = 0 hãy chứng minh phương trình có nghiệm
thực và tìm khoảng tách nghiệm ?

Giải:

14


Dễ thấy f(x) xác định và liên tục Vx đồng thời
Vó
ị
f ’(x) = 0 tại X = + —— từ đó ta có bảng biên thiên:

Trong đó f

< 0 vậy nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại duy nhất một

điểm.
Ta lại có f{2) < 0 vày(2,5) > 0 nên phương trình đã cho có một nghiệm và
nằm trong [2, 2.5].
1.9 Công thửc Taylor
Định lý ( Công thức Taylor với số dư Lagrangge). Giả sử hàm số
f :( a ,ố ) —»K có đạo hàm đến cấp (n+1) trong (a,b), x0
đó với mọi

X

e

ta có

-(*)

+ { Ẽ ậ (x~x^
trong đó c là một điểm ở giữa

X

và X o

15

.

Khi


CHƯƠNG 2
PHƯƠNG PHÁP PARABOL
Như chúng ta đã biết, trong việc giải phương trình dạng / ( jc) = 0 trừ một vài
trường hợp đặc biệt, ta có công thức giải đúng còn nói chung phải sử dụng
một số phương pháp để gải gần đúng phương trình đó.
Trong chương này, ta nghiên cứu về phương pháp Parabol, một trong số các
phương pháp giải gần đúng phương trình dạng: f ( x ) = 0, (trong đó f (jc) là
một hàm phi tuyến),
2.1 Nội dung phương pháp
Xét phương trình f ( x ) = 0

(2.1 )

Giả sử đã biết trước ba xấp xỉ liên tiếp: x„, X„. Ị, x n_2 của nghiệm phương
trình (2.1). Ta xây dựng theo các mốc này đa thức nội suy Newton:
/ ( * ) = / ( * , ) + /(*„>*„-, X* - x, ) + / ( * , . *„-l >*„-2 X* -•*„)(*-*„-.) +

- J p - {x - x„){x - x„-i){x - x,-2)

(2-2)

Theo phương pháp parabol, xấp xỉ tiếp theo Xn+Ị là nghiệm của
phương trình bậc hai
/ ( * ) + f ( x „,

)(x - X ) + / (x , X , X _2)(x - X )(x - X ) = 0

mà nghiệm đó gần x„ nhất.
Trong phương trình nkyj{xn, xn.i), f[x„, xn.h x„_2) là các tỷ sai phân:
f í r

1)

r
x „

fíY

y

Y

1 - f ( X,'’X„ - , ) - f { X„-1^ .- 2)

n-b n-2)

X' ~ X*-2

16

(2.3)


Phương pháp Parabol là phương pháp ba bước. Đe xây dựng được dãy
(jcn) , trước tiên ta phải biết trước ba mốc X o ,

x . ì , X . 2.

Đưa vào các ký hiệu:
z „ = x - x„,
ữ n — f ( x n, X n_i, X n_2^)>

b„ = a„(xn-x„.i)+f(x„, x„.i),
cn
khi đó phương trình (2.2) có dạng:
n

cn

0

(2.4)

(, 7-1 —b ± J b 2 —4a c
Nghiêm của (2.4) có dang z„ ' ^ = —-— — --------!LJL.
2 an
Nghiệm có môdun nhỏ nhất trong hai nghiệm z„(1), z„(2) ta ký hiệu là 2n

V3. x n+/

x n ~^~Zn

Đe tránh việc giải phương trình bậc hai ta có thể thay đạo hàm bằng tỷ
sai phân, có thế cải biên phương pháp Parabol, thay phương trình (2.2)
bởi phương trình tuyến tính:
f ( x „) + f ( xn>*,,-1)(*-*„)

+ f ( x n’*1,-1’x„-2)(*» - x„)(*» - X„-1) = 0

trong đó: X, «x„ - J ^ X"’

(2-6)

/(*„>*,,-i)
Khi đó xấp xỉ xn+1 được tính theo công thức:
•*„+1

-x„)(x„ -X,,.,)

(2.7)

J V^/I ’^n-\ )
Bậc hội tụ của phương pháp (2.6) và (2.7) không nhỏ hơn bậc hội tụ
của phương pháp parabol. Khi sử dụng phương pháp (2.4) và (2.5) ta nên
sử dụng bảng sau:

17

Ẩx.) = f.

0

x0

./»

1

X/

2

x2

í\

f ( * 2 < x 1)

3

x3

/3

f ( x 3-^2)

x„

x„ - X

f ( x t , x „ x a)

X2

X2 - x 2

X2 - X,

f ( x „ x 2, x , )

Xĩ

Xi - x 3

x

f ( x |.-*o)

3

- x 2

2.2 Bậc hội tụ
2.2.1 Định nghĩa
Số a eR,

a > 0

gọi là bậc hội tụ của dãy số x „ đến giới hạn X* nếu tồn tại

u +1—x*\

hăng sô c khác 0 sao cho lim^——------ = c .

"“^I* —x*\
n

2.2.2 Bậc hội tụ của phương pháp parabol
Người ta chứng minh được rằng bậc hội tụ a của phương pháp parabol
là nghiệm dương của phương trình :
a 3- a 2 - a - ỉ = 0
Hay a «1.839.

18

1

xn

* 1
1

n


Ví dụ 2.1:
Cho phương trình:

X6 - 3 x 2 + X -

ỉ = 0

bằng phương pháp parabol hãy

tính nghiệm dương của phương trình với độ chính xác là £ = 10~4.
Giải.
Đặt^(jc) = X6 —3x2 + X - ].
CÓ./(7) = -2< 0, f (2) = 53 > 0 => m Ẩ 2 ) < 0
=> phương trình đã cho có nghiệm dưcmg

X

6(1, 2).

Theo phương pháp ta có bảng sau:

n

x„

./(* « )

= fn

f { x n’ x n- 1 )

0

1,15

-1,5044

1

1,2

-1,13402

7,40846

2

1,25

-0,6228

10,2243

3

1,29223 -0,05992

4

1,29628 -0,00019

5

1,29629 0,00000008

f i x n7
, x n-i, .7x n-2, )/

- 'V

Xn

x n - X 11

x„ - XH - l.

1,35307 0,15307

0,20307

28,158

1,31091 0,06091

0,1109

13,3047

33,37132

1,2968

0,0045

0,04681

15,0274

37,2223

1,2963

0,00001

0,00399

Từ bảng trên ta có:
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm dương là X = 1,29629 với độ
chính xác

8

=

l ơ 4.

Trong Maple: Ta dùng lệnh sau để giải ví dụ 2.1.
[> fsoỉve(xA6-3*xA2+x-ỉ, {x},0..infinity);
Kết quả:
{x = 1.296294391}
Với nghiệm đúng của phương trình là X* = 1,296294391 ta có bảng
đánh giá sai số sau:

19


n

xn

An = |xn - x*|

0

1,15

0,146294391

1

1,2

0,096294391

2

1,25

0,046294391

3

1,29223

0,004064391

4

1,29628

0,0000144

5

1,29629

0,00000439

Phác họa đồ thị hàm số y =

X6-

3x2 + X -

ỉ

trên ^0,

Giải ví dụ 2.1 bằng pascal.
Program giaividu2.1;
Var xO, x l, x2, x3, k l, k2, k3, s, a, b, e: real;
i: byte;

X : array[ 1.. 10] of real;
function f(x:real) : real;
begin
f := x*x*x*x*x*x - 3*x*x + X - 1;

20

+ 00