Tải bản đầy đủ (.pdf) (27 trang)

Ổn định mũ của hệ điều khiển có trễ

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (263.92 KB, 27 trang )

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

ĐỖ THỊ HẢI YẾN

ỔN ĐỊNH MŨ
CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN CÓ TRỄ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Người hướng dẫn: ThS. Nguyễn Trung Dũng

Hà Nội - 2015


LỜI CẢM ƠN
Trước hết cho tôi bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến ThS. Nguyễn Trung Dũng,
người đã định hướng chọn đề tài và hết lòng giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá
trình hoàn thành khóa luận.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong
khoa Toán và các thầy cô trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã nhiệt tình giảng dạy
và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cám ơn chân thành tới gia đình, bạn bè
đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình
học tập và hoàn thành khóa luận.
Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2015
Sinh viên

Đỗ Thị Hải Yến



LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của ThS. Nguyễn Trung Dũng, khóa luận
tốt nghiệp Đại học chuyên ngành Toán ứng dụng với đề tài "Ổn định mũ của hệ
điều khiển có trễ" được hoàn thành do quá trình tìm tòi và nhận thức của bản thân,
không trùng lặp với bất cứ một đề tài nghiên cứu khoa học nào khác.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện khóa luận, tôi đã kế thừa những thành tựu
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn!
Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2015
Sinh viên

Đỗ Thị Hải Yến


Mục lục
Chương 1. Một số kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1. Hệ điều khiển có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1. Hệ phương trình vi phân hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Khái niệm ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6
7

1.2. Phương pháp hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


8

1.3. Bài toán ổn định hóa hệ điều khiển có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4. Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Chương 2. Tiêu chuẩn ổn định mũ của hệ điều khiển có trễ . . . . . . . . . . .

14

2.1. Tiêu chuẩn ổn định mũ cho hệ điều khiển với trễ hằng số . . . . . . . .

14

2.2. Tiêu chuẩn ổn định mũ cho hệ điều khiển với trễ biến thiên . . . . . .

18

3


LỜI NÓI ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Trễ thời gian thường xuyên xuất hiện trong các hệ kĩ thuật khác nhau như: hệ
động lực học, mô hình điều khiển kĩ thuật, lò phản ứng hạt nhân... Một hệ được gọi

là có trễ khi tốc độ biến thiên trong hệ phụ thuộc vào trạng thái trước đó.
Các hệ trễ thời gian thường được mô tả bởi các hệ phương trình vi phân hàm, và
chúng được chia làm hai loại: hệ có trễ hằng số và hệ có trễ biến thiên. Nói chung,
các tiêu chuẩn ổn định cho hệ có trễ hằng số thì được áp dụng đơn giản hơn, còn
các tiêu chuẩn ổn định cho hệ có trễ biến thiên thì ít "bảo thủ" hơn trong trường hợp
trễ thời gian nhỏ. Tuy nhiên khi xét tiêu chuẩn ổn định cho từng loại ổn định đều,
ổn định mũ, ổn định tiệm cận.... thì còn nhiều hạn chế.
Do đó, tôi đã chọn đề tài "Ổn định mũ của hệ điều khiển có trễ" nhằm hệ
thống các khái niệm và kết quả về các tiêu chuẩn ổn định mũ của hệ điều khiển có
trễ. Khóa luận gồm 2 chương
• Chương 1: Trình bày một số khái niệm về hệ phương trình vi phân hàm, ví dụ
minh họa. Đưa ra các khái niệm về ổn định, ổn định đều, ổn định tiệm cận,
ổn định mũ. Giới thiệu về phương pháp hàm Lyapunov, các định lý về sự ổn
định, ví dụ minh họa. Bài toán ổn định hoá hệ điều khiển có trễ. Cung cấp
các bất đẳng thức ma trận tuyến tính cơ bản thường dùng để xét tính ổn định
của bài toán.
• Chương 2: Trình bày các tiêu chuẩn ổn định mũ của hệ có trễ hằng số và trễ
biến thiên, ví dụ minh họa.
II. Mục đích nghiên cứu
• Hiểu rõ thế nào là bài toán ổn định của hệ điều khiển có trễ.
• Bước đầu tìm hiểu về một số tiêu chuẩn ổn định mũ của hệ điều khiển với trễ
hằng số và trễ biến thiên.

III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về sự ổn định mũ của bài toán điều khiển với trễ hằng số và trễ biến
thiên.

4



IV. Phương pháp nghiên cứu
Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên
cứu.

5


Chương 1

Một số kiến thức cơ sở
Trong chương này, ta trình bày một số khái niệm và kết quả về tính ổn định của
hệ phương trình vi phân có trễ và một số kết quả bổ trợ được sử dụng trong chứng
minh các kết quả ở chương sau.

1.1.

Hệ điều khiển có trễ

Chúng ta nhận thấy rằng, các quá trình xảy ra trong tự nhiên thường có sự liên
quan với quá khứ và ít nhiều mang tính di truyền. Vì vậy khi mô tả các quá trình
này, chúng thường được biểu diễn bằng các hệ phương trình vi phân có trễ hay còn
gọi là hệ phương trình vi phân hàm.

1.1.1.

Hệ phương trình vi phân hàm

Giả sử h 0. Kí hiệu C = C([−h, 0], Rn ) là không gian Banach các hàm liên
tục trên đoạn [−h, 0] với giá trị trong Rn và chuẩn của φ ∈ C được cho bởi
φ = sup−h≤θ ≤0 φ (θ ) .

Với t0 ∈ R, A 0 và x ∈ C([t0 − h,t0 + A], Rn ), hàm xt ∈ C := C([-h, 0], Rn ),
t ∈ [t0 ,t0 + A], được xác định bởi xt (s) = x(t + s), s ∈ [−h, 0].
Cho D ⊂ Rn × C là tập mở và hàm F : D → Rn .
Một phương trình vi phân hàm trên D (thường gọi là hệ phương trình vi phân có

6


trễ) là phương trình dạng
x(t)
˙ = F(t, xt ),

(1.1)

Một hàm x được gọi là nghiệm của phương trình vi phân (1.1) trên [t0 − h,t0 + A]
nếu tồn tại t0 ∈ R, A > 0 sao cho x ∈ C([t0 − h,t0 + A], Rn ), (t, xt ) ∈ D và x(t) thỏa
mãn (1.1) với mọi t ∈ [t0 ,t0 + A]. Với t0 ∈ R, φ ∈ C , ta nói x(t0 , φ ) là nghiệm của
phương trình (1.1) với giá trị ban đầu φ tại thời điểm ban đầu t0 (nghiệm đi qua điểm
(t0 , φ )) nếu tồn tại A > 0 sao cho x(t0 , φ ) là một nghiệm của phương trình (1.1) trên
[t0 − h,t0 + A] và xt0 (t0 , φ ) = φ . Khi t0 đã rõ, ta viết x(t, φ ) thay cho x(t0 , φ )(t).
Ví dụ 1.1.1. Hệ phi tuyến có trễ thời gian biến thiên


 dx1
= −x1 (t)(1 + x22 (t − τ2 (t))) + 2x2 (t)x1 (t − τ1 (t))x2 (t − τ2 (t)),
dt
dx

 2 = −3x1 (t)x1 (t − τ1 (t))x2 (t − τ2 (t)) − x2 (t)(2 + sin x1 (t − τ1 (t))),
dt

trong đó 0

1.1.2.

τi (t)

τi là các hằng số, i = 1, 2.

Khái niệm ổn định

Giả thiết rằng hàm F(.) thỏa mãn điều kiện sao cho với mỗi điểm (t0 , φ ) ∈
hệ (1.1) có nghiệm duy nhất đi qua điểm (t0 , φ ) và xác định trên [t0 , ∞). Ta
cũng giả thiết F(t, 0) ≡ 0, tức là hệ (1.1) có nghiệm không. Khi đó ta có các khái
niệm ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định mũ cho hệ (1.1).
R+ × C

Định nghĩa 1.1.1. [Khái niệm ổn định]
Nghiệm không của hệ (1.1) được gọi là ổn định nếu với mọi ε > 0,t0 0, tồn
tại δ = δ (t0 , ε) > 0 sao cho với mọi nghiệm x(t, φ ) của (1.1), nếu φ < δ thì
x(t, φ ) < ε, ∀t t0 . Nếu δ không phụ thuộc t0 thì nghiệm x ≡ 0 gọi là ổn định
đều.
Định nghĩa 1.1.2. [Khái niệm ổn định tiệm cận]
Nghiệm không của hệ (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và với
mỗi t0 0, tồn tại δ0 = δ0 (t0 ) > 0 sao cho với mọi nghiệm x(t, φ ) của (1.1), nếu
φ < δ0 thì lim x(t, φ ) = 0.
t→+∞

Định nghĩa 1.1.3. [Khái niệm ổn định mũ]
Nghiệm không của hệ (1.1) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại các hằng số α > 0,
N 1 sao cho với mọi t0 0, nghiệm x(t, φ ) của hệ (1.1) thỏa mãn điều kiện

7


x(t, φ )

N φ e−α(t−t0 ) , ∀t

t0 .

Số N gọi là hệ số ổn định Lyapunov, α gọi là số mũ ổn định và α, N được gọi chung
là các chỉ số ổn định mũ Lyapunov.

1.2.

Phương pháp hàm Lyapunov

Định nghĩa 1.2.1. [Lớp hàm K ]
Cho hàm φ ∈ [R+ , R+ ], R+ := [0; +∞) hoặc φ ∈ C[[0, h], R+ ]. Khi đó, φ được gọi
là W - hàm hoặc K - hàm nếu thỏa mãn các điều kiện sau
(i) φ là hàm tăng.
(ii) φ (0) = 0.
Kí hiệu φ ∈ K .
Định nghĩa 1.2.2. [Hàm Lyapunov]
Cho V : R+ × C → R là một hàm khả vi liên tục thỏa mãn V (t, 0) = 0, ∀t 0. Hàm
V được gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.1) nếu thỏa mãn các điều kiện sau
(i) Hàm V (t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa
∃a ∈ K : V (t, x)

a(||x| |), ∀(t, x) ∈ R+ × Rn .


(ii) Đạo hàm của V dọc theo nghiệm của hệ (1.1)
1
V˙ (t, xt (t0 , φ )) = lim sup [V (t + h), xt+h ((t0 , φ )) −V (t, xt (t0 , φ ))]
h
h→0+

0,

với mọi nghiệm x(t, φ ) của hệ (1.1).
Định lý 1.2.1. Giả sử hệ (1.1) có hàm Lyapunov thỏa mãn các điều kiện sau
(i) ∃λ1 , λ2 > 0 : λ1 x 2 V (t, x) λ2 x 2 , ∀(t, x) ∈ R+ × Rn ,
(ii) ∃λ3 > 0 : V˙ (t, x(t)) −2λ3V (t, x(t)),
với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1).
Khi đó hệ (1.1) là ổn định mũ với các chỉ số ổn định λ3 và N =

λ2
λ1 .

Ví dụ 1.2.1. Xét sự ổn định của nghiệm không đối với hệ phi tuyến có trễ thời gian
biến thiên sau


 dx1
= −x1 (t)(1 + x22 (t − τ2 (t))) + 2x2 (t)x1 (t − τ1 (t))x2 (t − τ2 (t)),
dt
(*)
dx

 2 = −3x1 (t)x1 (t − τ1 (t))x2 (t − τ2 (t)) − x2 (t)(2 + sin x1 (t − τ1 (t))),
dt

8


trong đó 0 τi (t) τi là các hằng số, i = 1, 2.
Lời giải
Xét hàm Lyapunov xác định bởi
V (t, x) =
Ta có x =
Suy ra

(3x12 + 2x22 )
.
2

x12 + x22
2x12 + 2x22
2

(3x12 + 2x22 )
2

(3x12 + 3x22 )
.
2

Suy ra
x
Khi đó ∃λ1 = 1, λ2 =

3

2

λ1 x

2

3
x
2

V (t, x)

2

.

> 0 thỏa mãn
2

V (t, x)

λ2 x

2

, ∀(t, x) ∈ R+ × Rn .

Lại có
V˙ (t, x(t)) = −3x12 (t)(1 + x22 (t − τ1 (t)))
+ 6x1 (t)x2 (t)x1 (t − τ1 (t))x2 (t − τ2 (t))

− 6x1 (t)x2 (t)x1 (t − τ1 (t))x2 (t − τ2 (t))
− 2x22 (2 + sin x1 (t − τ1 (t)))
−3x12 (t) − 2x22 (t)
= −2V (t, x(t)).
Suy ra ∃λ3 = 1 > 0 thỏa mãn V˙ (t, x(t)) −2λ3V (t, x(t)) với mọi nghiệm x(t) của
hệ (1.1).
Vậy nghiệm không của hệ (*) thỏa mãn các điều kiện của Định lý 1.2.1. Do đó
nghiệm không của (*) là ổn định mũ.
Định lý 1.2.2. [Định lý Lyapunov - Krasovskii]
Giả sử rằng F: R+ × C → Rn biến mỗi tập R+ × B (B là tập bị chặn trong C )
thành tập bị chặn trong Rn , và u, v, w: R+ → R+ là các hàm liên tục, không giảm,
ở đó u(s) và v(s) dương ∀s > 0 và u(0) = v(0) = 0.
• Nếu tồn tại một hàm khả vi liên tục V : R × C → R sao cho
9


u( φ (0) )

V (t, φ )

v( φ c )


V˙ (t, φ )

−w( φ (0) )

thì nghiệm không của (1.1) là ổn định đều.
• Nếu nghiệm không của (1.1) là ổn định đều, và w(s) > 0, ∀s > 0, thì nghiệm không
của (1.1) là ổn định tiệm cận đều.

• Nếu nghiệm không của (1.1) là ổn định tiệm cận đều và lim u(s) = ∞ thì nghiệm
s→∞

không của (1.1) là ổn định tiệm cận toàn cục đều.
Định lý 1.2.3. [Định lí Razumikhin]
Giả sử f: R+ × C → Rn biến mỗi tập R+ × B (B là tập bị chặn trong C ) thành
tập bị chặn trong Rn ; và u, v, w: R+ → R+ là các hàm liên tục không giảm, u(s) và
v(s) dương ∀s > 0, u(0) = v(0) = 0, và v tăng ngặt.
• Nếu tồn tại hàm khả vi liên tục V: R+ × Rn → R sao cho
(i) u( x ) V (t, x) v( x ), ∀x ∈ Rn ,t 0
(ii) V˙ (t, x(t)) −w( x(t) ), khi V (t + θ , x(t + θ )) V (t, x(t)), ∀θ ∈ [−h, 0]
thì nghiệm không của (1.1) là ổn định đều.
• Hơn nữa, nếu w(s) > 0, ∀s > 0 và tồn tại một hàm p(s) liên tục, đơn điệu không
giảm, p(s) > s với mọi s > 0 sao cho
(iii) V˙ (t, x(t)) −w( x(t) ), khi V (t + θ , x(t + θ )) pV (t, x(t)), ∀θ ∈ [−h, 0]
thì nghiệm không của (1.1) là ổn định tiệm cận đều.
• Nếu giả thiết thêm lim u(s) = ∞ thì nghiệm không của (1.1) là ổn định tiệm cận
s→∞

toàn cục đều.

1.3.

Bài toán ổn định hóa hệ điều khiển có trễ

Xét hệ điều khiển có trễ trên trạng thái
x(t)
˙ = F(t, xt , u(t)),t

0,


(1.2)

x(t) = φ (t),t ∈ [−h, 0],
trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là vectơ điều khiển; h 0 là hằng
số trễ, φ ∈ C([−h, 0], Rn ) là hàm ban đầu và F : R+ × C × Rm → Rn là hàm vectơ
cho trước thỏa mãn điều kiện, F(t, 0, 0) = 0, ∀t 0.
10


Định nghĩa 1.3.1. Hệ điều khiển (1.2) gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại hàm
g : Rn → Rm sao cho hệ phương trình vi phân đóng
x(t)
˙ = F(t, xt , g(x(t))),

(1.3)

là ổn định tiệm cận. Hàm u(t) = g(x(t)) gọi là hàm điều khiển ngược dạng không
nhớ.
Định nghĩa 1.3.2. Cho số α > 0. Hệ điều khiển (1.2) gọi là α - ổn định hóa được
dạng mũ nếu tồn tại hàm g : Rn → Rm sao cho hệ đóng (1.2) là α - ổn định, tức là,
tồn tại hằng số N 1 sao cho mọi nghiệm x(t0 , φ ) của hệ đóng (1.2) thỏa đánh giá
N φ e−α(t−t0 ) , ∀t

x(t0 , φ )(t)

1.4.

t0 .


Một số bất đẳng thức

Bổ đề 1.4.1. [Bất đẳng thức Cauchy]
Giả sử S ∈ Rn×n là ma trận đối xứng xác định dương. Khi đó với mọi ma trận Q ∈
x, y ∈ Rn×n , x, y ∈ Rn , ta có
QS−1 QT x, x .

2 Qy, x - Sy, y
Đặc biệt, với mọi x, y ∈ Rn , ta có

xT Sx + yT S−1 y.

2xT y

Bổ đề 1.4.2. Giả sử M ∈ Rn×n là ma trận đối xứng xác định dương. Khi đó với mọi
số ν > 0 và với mọi hàm khả tích w : [0, ν] → Rn , ta có
T

ν

w(s)ds
0

ν

M

ν

w(s)ds

0

ν

wT (s)Mw(s)ds.

0

Bổ đề 1.4.3. [Bổ đề Schur]
T , X , X = X T là các ma trận với số chiều thích hợp. Khi đó các
Giả sử X11 = X11
12
22
22
điều kiện sau là tương đương
X11 X12
<0
(i)
T
X12
−X22
−1 T
(ii) X22 > 0, X11 + X12 X22
X12 < 0.

11


Bổ đề 1.4.4. Giả sử A, E, H là các ma trận bất kì với số chiều thích hợp và F thỏa
mãn điều kiện F T F I. Khi đó, với mọi ε > 0 và ma trận P đối xứng xác định

dương, ta có
(i) EFH + H T F T E T εEE T + ε −1 H T H.
(ii) Nếu εI − HPH T > 0 thì
APAT + εEE T + APH T (εI − HPH T )−1 HPAT .

(A + EFH)P(A + EFH)T
(iii) Nếu P − εEE T > 0 thì

(A + EFH)T P−1 (A + EFE)

AT (P − εEE T )−1 A + ε −1 H T H.

Bổ đề 1.4.5. [Nguyên lí so sánh]
Giả sử g ∈ C[R2+ , R] và r(t) là nghiệm cực đại của phương trình vi phân
u(t)
˙ = g(t, u(t)), u(t0 ) = u0
xác định trên [t0 , ∞). Giả sử m ∈ C[R+ , R+ ] thỏa mãn
D+ m(t)
Khi đó, nếu m(t0 )

u0 thì m(t)

g(t, m(t)),t

r(t), ∀t

t0 .

t0 .


Bổ đề 1.4.6. [Bất đẳng thức nguyên]
Giả sử g ∈ C[R2+ , R], g(t, .) là hàm đơn điệu không giảm và r(t) là nghiệm cực đại
của phương trình
u(t)
˙ = g(t, u(t)), u(t0 ) = u0
xác định trên [t0 , ∞).Giả sử m ∈ C[R+ , R+ ] thỏa mãn
t

m(t)
Khi đó, nếu m(t0 )

m(t0 ) +

u0 thì m(t)

g(s, m(s))ds,t
t0

r(t), ∀t

t0 .

t0 .

Bổ đề 1.4.7. [Bất đẳng thức Park]
Giả sử rằng a(α) ∈ Rna và b(α) ∈ Rna , ∀α ∈ Ω. Khi đó, cho X ∈ Rna ×na , với X > 0
và ma trận M ∈ Rna ×na , ta có
a(α)T b(α)dα

−2





a(α)
b(α)

T

X
MT X

XM
a(α)
×

(M T X + I)X −1 (M T X + I)T
b(α)
12


Bổ đề 1.4.8. [Bất đẳng thức Moon]
Giả sử rằng a(α) ∈ Rna , b(α) ∈ Rnb và N (α) ∈ Rna ×bb với α ∈ Ω. Khi đó với bất
kì X ∈ Rna ×na , X > 0, và ma trận M ∈ Rna ×na , ta có
a(α)T N (α)b(α)dα

−2





ở đó

X
YT

Y
Z

a(α)
b(α)

T

YT

Y − N (α)
Z

X
− N (α)T

a(α)

b(α)

0.

Bổ đề 1.4.9. [Bất đẳng thức Jensen]
Cho M ∈ Rm×m với M > 0 là ma trận hằng số bất kì, b > a vô hướng, hàm vector

ω : [a, b] → Rm sao cho tích phân sau đây được định nghĩa tốt thì
b

(b − a)

ω(β )T Mω(β )dβ

b

[

a

a

13

b

ω(β )dβ ]T M[

ω(β )dβ ].
a


Chương 2

Tiêu chuẩn ổn định mũ của hệ
điều khiển có trễ
2.1.


Tiêu chuẩn ổn định mũ cho hệ điều khiển với trễ
hằng số

Chúng ta xét hệ thống được mô tả bởi hệ phương trình vi phân tuyến tính sau
x(t)
˙ = Ax(t) + Bx(t − τ),t > 0,

(2.1)

trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái của hệ; A, B ∈ Rn×n là các ma trận hằng số;
τ > 0 kí hiệu trễ thời gian.
Bây giờ chúng ta xét các tiêu chuẩn ổn định tiệm cận của hệ có trễ hằng số.
Định lý 2.1.1. Xét hệ trễ thời gian tuyến tính (2.1), hệ là ổn định tiệm cận nếu tồn
tại các ma trận đối xứng và xác định dương P > 0, Q > 0 sao cho bất đẳng thức ma
trận tuyến tính sau thỏa mãn
(A + B)T P + P(A + B) + τQ
S=
τBT P(A + B)

τ(A + B)T PB
< 0.
−τQ

(2.2)

Chứng minh. Giả sử rằng (A +B) là một ma trận ổn định, và ma trận S không có giá
trị riêng trên trục ảo. Xét hệ trễ thời gian (2.1), sử dụng hàm Lyapunov -Krasovskii

14



như sau
0

T

V (xt ) = L (xt )PL(xt ) +

l

xT (ρ)Qx(ρ)dρds,

(2.3)

−τ t+s

t
trong đó L(xt ) = x(t) + B t−τ
x(s)ds.
Khi đó hệ trên là ổn định tiệm cận nếu V˙ (xt ) < 0.
Đạo hàm theo thời gian của phương trình (2.3) dọc theo quỹ đạo của phương trình
(2.1) ta có
t

˙ t ) + xT (t)τQx(t) −
V˙ (xt ) = L˙ T (xt )PL(xt ) + LT (xt )PL(x
= [(A + B)x(t)]T P[x(t) + B

xT (s)Qx(s)ds


t−τ

t

x(s)ds]
t−τ

t

+ [x(t) + B

x(s)ds]T P(A + B)x(t)

t−τ
t

+ xT (t)τQx(t) −

xT (s)Qx(s)ds

t−τ
T

T

T

T


t

= x (t)[(A + B) P + P(A + B)]x(t) + 2x (t)(A + B) PB

x(s)ds
t−τ

t

+ xT (t)τQx(t) −

xT (s)Qx(s)ds.

(2.4)

t−τ

Sử dụng bất đẳng thức
2ab

aT Q−1 a + bT Qb,

(2.5)

ta có
2xT (t)(A + B)T PB

t

x(s)ds

t−τ

t

xT (t)(A + B)T PBx(s)ds

=2
t−τ
t

xT (t)(A + B)T PBQ−1 BT P(A + B)x(t)ds +

t

xT (s)Qx(s)ds

t−τ

t−τ

xT (t)τ(A + B)T PBQ−1 BT P(A + B)x(t) +

t

xT (s)Qx(s)ds.

(2.6)

t−τ


Do đó, sử dụng phương trình (2.6) ta được
V˙ (xt )

xT (t)Sx(t),

15

(2.7)


trong đó
S = (A + B)T P + P(A + B) + τ(A + B)T PBQ−1 BT P(A + B) + τQ.
Cuối cùng, sử dụng Bổ đề Schur ta có V˙ (xt ) < 0.
Điều kiện (2.2) của Định lý 2.1.1 là thỏa mãn thì V˙ (xt ) < 0. Hơn nữa, nếu V˙ (xt ) < 0
thì x(t) → 0, t → ∞, nếu và chỉ nếu (2.2) đúng. Vì vậy, hệ (2.1) là ổn định tiệm
cận.
Sử dụng phép biến đổi
z(t) = eαt x(t),

(2.8)

z˙(t) = (A + αI)z(t) + Beατ z(t − τ).

(2.9)

trong đó α > 0 là bậc ổn định.
Khi đó hệ (2.1) trở thành

Hệ (2.1) là ổn định mũ với bậc ổn định α.
Định lý 2.1.2. Xét hệ trễ thời gian (2.9) với bậc ổn định α, giả sử rằng trễ thời gian

τ > 0. Khi đó hệ (2.9) là ổn định mũ với bậc ổn định α nếu tồn tại các ma trận đối
xứng và xác định dương P > 0, Q > 0 sao cho bất đẳng thức sau thỏa mãn
A¯ T P + PA¯ + τQ τeατ A¯ T PB
< 0,
S1 =
τeατ BT PA¯
−τQ

(2.10)

trong đó A¯ = A + αI + Beατ .
Chứng minh. Xét hệ trễ thời gian (2.9) với bậc ổn định α. Bằng cách sử dụng hàm
Lyapunov - Krasovskii
V (zt ) = LT (zt )PL(zt ) +

t

t

zT (ρ)Qz(ρ)dρds,

(2.11)

−τ t+s

t
trong đó L(zt ) = z(t) + t−τ
Beατ z(s)ds.
Đạo hàm theo thời gian của phương trình (2.11) dọc theo quỹ đạo của nghiệm (2.9)


16



˙ t ) + zT (t)τQz(t) −
V˙ (zt ) = L˙ T (zt )PL(zt ) + LT (zt )PL(z
T
¯
P[z(t) +
= [Az(t)]

t

zT (s)Qz(s)

t−τ

t

Beατ z(s)ds]
t−τ

t

+ [x(t) +

¯
Beατ z(s)ds]T PAz(t)
+ zT (t)τQz(t) −


t−τ

t

zT (s)Qz(s)ds

t−τ

= zT (t)[A¯ T P + PA¯ + τQ]z(t) + 2zT (t)A¯ T P

t

Beατ z(s)ds
t−τ

t



zT (s)Qz(s)ds.

(2.12)

t−τ

Sử dụng bất đẳng thức 2ab
2zT (t)A¯ T P

aT Q−1 a + bT Qb chúng ta có


t

¯
zT (t)τe2ατ A¯ T PBQ−1 BT PAz(t)

Beατ z(s)ds
t−τ

t

+

zT (s)Qz(s)ds.

(2.13)

t−τ

Thế phương trình (2.13) vào phương trình (2.12) ta được
V˙ (zt )

zT (t)S1 z(t),

(2.14)

trong đó S1 = A¯ T P + PA¯ + τe2ατ A¯ T PBQ−1 BT PA¯ + τQ.
Cuối cùng sử dụng Bổ đề Schur và phương trình (2.10) ta có V˙ (xt ) < 0.
Như vậy V˙ (zt ) < 0 nếu S1 < 0.
Vì vậy hệ (2.9) là ổn định mũ với bậc ổn định α.
Ví dụ 2.1.1. Xét các hệ trễ thời gian là ổn định mũ với bậc ổn định α như sau

z˙(t) = (A + αI)z(t) + Beατ z(t − τ),

(2.15)

trong đó
−3 −2
−0.5 0.1
A=
, A1 =
.
1
0
0.3
0
Bây giờ bài toán của chúng ta là ước lượng giới hạn của bậc ổn định α và trễ thời
gian τ để duy trì sự ổn định của hệ.
Áp dụng điều kiện (2.10) của Định lý 2.1.2 chúng ta cho bậc của ổn định mũ
α = 0.1. Bằng cách sử dụng gói công cụ bất đẳng thức ma trận tuyến tính LMI
17


trong MATLAB (với sự chính xác tới 0.01), các nghiệm của LMI trong phương
trình (2.10) được xác định bởi
2.4260 1.1494
P=
và τ < 0.758.
1.1494 2.0094

2.2.


Tiêu chuẩn ổn định mũ cho hệ điều khiển với trễ
biến thiên

Xét hệ tuyến tính không autonomous với trễ biến thiên thời gian có dạng sau
x(t)
˙ = A(t)x(t) + A1 (t)x(t − h(t)),t

0,

x(t) = φ (t),t ∈ [−h, 0],

(2.16)

trong đó h 0, x(t) ∈ Rn , A(t), A1 (t) ∈ Rn là các hàm ma trận cho trước, liên
tục và bị chặn với t 0, φ (t) ∈ C([−h, 0], Rn ) là hàm ban đầu với chuẩn φ =
sups∈[−h,0] φ (s) . Hàm trễ thời gian h(t) liên tục và thỏa mãn: 0 h(t) h, ∀t 0.
Với các số dương cho trước λ , h, β , ε, ta đặt
Pβ (t) = P(t) + β I, p = sup p(t) ,
t∈R+

a = sup A(t)AT (t) , a1 = sup A1 (t)AT1 (t) ,
t∈R+

t∈R+

¯ = A(t) + A1 (t),
µ(A) = sup µ(A(t)), A(t)
t∈R+

¯ + 2hβ A1 (t)AT (t) + 2hλ −1 I,

A = A(t)
1
¯ + 2hβ 2 a1 + 2hλ −1 + ε.
γ = 2β µ(A)
Định lý 2.2.1. Nghiệm không của hệ (2.16) là ổn định mũ nếu tồn tại các số dương
β , λ , ε trong đó λ −1 β max (a, a1 ), và một hàm số ma trận P ∈ BM + (0, ∞) sao
cho phương trình vi phân Riccati sau có nghĩa
˙ + A T (t)P(t) + P(t)A (t) + 2hP(t)A1 (t)AT1 (t)P(t) + γI = 0,
P(t)
Hơn thế nữa, nghiệm x(t, φ ) thỏa mãn điều kiện
x(t, φ )

ε
p + β − 2(p+β
t
)
e
φ ,t
β

18

0.

(RDE)


Chứng minh. Áp dụng công thức Newton - Leibniz
t


x(t) − x(t − h(t)) =

x(s)ds,
˙
t−h(t)

hệ (2.16) trở thành
t

x(t)
˙ = [A(t) + A1 (t)]x(t) − A1 (t)

A(s)x(s)ds
t−h(t)

t

− A1 (t)

t−h(t)

A1 (s)x(s − h(s))ds,

x(t) = ψ(t),t ∈ [−2h, 0].

(2.17)

Chú ý rằng hệ (2.17) yêu cầu hàm ban đầu ψ(t) trên [−2h, 0] thỏa mãn
ψ(s) = φ (s + h(0)), −h − h(0)
ψ(s) = x(t + s), −h(0)


−h(0),

s

0,

s

A(t) = A(0), A1 (t) = A1 (0),
B(t) = B(0),t ∈ [−h, 0]
và hệ (2.17) là một trường hợp đặc biệt của hệ (2.16) nên nó có các tính chất ổn định
giống như hệ (2.16). Do đó để đơn giản chúng ta sẽ xét sự ổn định của hệ (2.17).
Xét hàm Lyapunov - Krasovskii sau
V (t, x) = P(t)x, x + β x

2

,

trong đó P(t) là nghiệm của (RDE).
Dễ thấy
β x

2

V (t, x)

(p + β ) x


2

, ∀t ∈ R+ , x ∈ Rn .

Đạo hàm theo thời gian của V(t, x) dọc theo quỹ đạo của hệ (2.17) ta được
¯
V˙ (t, x(t)) = (P˙ + A−T Pβ + Pβ A)x(t),
x(t)
t

− 2 Pβ (t)A1 (t)
− 2 Pβ (t)A1 (t)

A(s)x(s)ds, x(t)
t−h(t)
t
t −h(t)

19

A1 (s)x(s − h(s))ds, x(t) .

(2.18)


Chọn λ > 0 sao cho
β , λ a1

λa
λ A(t)AT (t)x, x


β ,tac

Pβ (t)x, x ,

λ A1 (t)AT1 (t)x, x

Pβ (t)x, x , ∀t

0, x ∈ Rn .

Vì vậy áp dụng bất đẳng thức Cauchy với Q = I, ta có
t

− 2 Pβ (t)A1 (t)

A(s)x(s)ds, x(t)
t−h(t)

t

−2 Pβ (t)A1 (t)A(s)x(s)ds, x(t) ds

=
t−h(t)
t

−2 A(s)x(s), AT1 (t)Pβ (t)x(t) ds

=

t−h(t)
t

Pβ (t)A1 (t)AT1 (t)Pβ (t)x(t), x(t) ds

t−h(t)
t

A(s)AT (s)x(s), x(s) ds

+
t−h(t)

h Pβ (t)A1 (t)AT1 (t)Pβ (t)x(t), x(t)
+ λ −1

t
t−h(t)

Pβ (s)x(s), x(s) ds

h Pβ (t)A1 (t)AT1 (t)Pβ (t)x(t), x(t)
+ λ −1

0
−h(t)

Pβ (t + s)x(t + s), x(t + s) ds.

Tương tự,

t

− 2 Pβ (t)A1 (t)

t−h(t)

A1 (s)x(s − h(s))ds, x(t)

h Pβ (t)A1 (t)AT1 (t)Pβ (t)x(t), x(t)
+ λ −1

0
−h(t)

Pβ (t + s − h(t + s)x(s − h(s)), x(s − h(s)) ds.

Vì Pβ (t)x(t), x(t) = V (t, x(t)), và
giả sử rằng với bất kì số thực q > 1 sao cho
V (t + s, x(t + s)) < qV (t, x(t)), ∀s ∈ [−2h, 0], ∀t

20

0.


Sử dụng Định lý ổn định Razumikhin ta có
¯
(P˙ + A−T Pβ + Pβ A)x(t),
x(t)


V˙ (t, x(t))

+ 2h Pβ A1 AT1 Pβ x(t), x(t) + 2hqλ −1 Pβ (t)x(t), x(t)
(P˙ + A−T Pβ + Pβ A¯ + 2hPβ A1 AT1 Pβ + 2hqλ −1 I)x(t), x(t) .

(2.19)

Cho q → 1+ thì (2.19) trở thành
V˙ (t, x(t))

(P˙ + A−T Pβ + Pβ A¯ + 2hPβ A1 AT1 Pβ + 2hλ −1 I)x(t), x(t) .

Vì vậy,
V˙ (t, x(t)) (P˙ + A T P + PA + 2hPAT1 A1 P + γI)x(t), x(t) .
Do đó, P(t) là nghiệm của (RDE), ta có
V˙ (t, x(t))

−ε x(t)

2

, ∀t

(2.20)

0,

Theo Định lý Razumikhin ta có hệ (2.17) là ổn định tiệm cận. Để tìm hệ số ổn định
mũ của nghiệm ta sử dụng bất đẳng thức (2.18) và V˙ (t, x(t)) 0, với t 0 ta có
β x(t, φ )


V (t, x(t))

ε t
− p+β

V (0, x(0))e

.

Do đó,
x(t, φ )

p+β
− ε t
φ e 2(p+β ) , ∀t
β

0.

Định lý được hoàn toàn chứng minh.
Chú ý 2.2.1. Từ chứng minh của Định lý 2.2.1, điều kiện (RDE) có thể được cho
bởi bất đẳng thức ma trận sau
˙ + A T (t)P(t) + P(t)A (t) + 2hP(t)A1 (t)AT1 (t)P(t) + γI
P(t)

0.

Chúng ta có thể áp dụng kết quả này cho sự ổn định mũ của các hệ tuyến tính không
chắc chắn với trễ thời gian biến thiên

x(t)
˙ = (A + H∆(t)E)x(t) + (A1 + H∆1 (t)E1 )x(t − h(t)),t
x(t) = φ (t),t ∈ [−h, 0],

0,
(2.21)

trong đó 0 h(t) h; A, A1 , H, E, E1 là các ma trận hằng số với số chiều phù hợp;
∆(t), ∆1 (t) là các ma trận không chắc chắn biến thời gian biến thiên thỏa mãn
∆T (t)∆(t)

I, ∆T1 (t)∆1 (t)
21

I.


Chúng ta có hệ quả sau.
Hệ quả 2.2.1. Hệ (2.21) là ổn định mũ nếu tồn tại ma trận X xác định dương và
các số dương β , λ , εi , i = 1, 2, 3, 4 sao cho
λ −1 β max (a, a1 ), ε4 I − E1 E1T > 0 và bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau thỏa
mãn



¯

γX
XE T
X1T

2 hA1 E1T


 γX

¯
¯
−γI
0
0
0


 EX
 0,
(2.22)
0
−ε
I
0
0
2




0
0
−ε3 I
0

 √E1 X

T
T
2 hE1 A1
0
0
0
−(ε4 I − E1 E1 )
trong đó
A¯ = A + A1 ;
¯ + 4hβ 2 a1 + 2hλ−1 + ε1 ;
γ¯ = 2β µ(A)
Ω = X(A¯ + 2hλ −1 I)T + (A¯ + 2hλ −1 I)X + (ε2 + ε3 + 4hε4 )HH T + 4hA1 AT1 .
Hơn thế nữa, nghiệm x(t, φ ) của hệ (2.21) thỏa mãn
x(t, φ )
trong đó N =

−1
λmin
(X)+β

β

=

Ne−σt φ ,t

0,


ε1
.
−1
2(λmin
(X)+β )

Chứng minh. Đặt A(t) = A + H∆(t)E, A1 (t) = A1 + H∆1 E1 và P = X −1 khi đó
chúng ta có
A T (t)P + PA (t) = P(A¯ + 2hλ −1 I) + (A¯ + 2hλ −1 I)T P
+ PH(∆(t)E + ∆1 (t)E1 ) + (∆(t)E + ∆1 E1 )T H T P
+ 2hβ (PA1 (t)AT1 (t) + A1 (t)AT1 (t)P).

(2.23)

Áp dụng Bổ đề 1.4.4 ta có
PH∆(t)E + E T ∆T (t)H T P
PH∆1 (t)E1 + E1T ∆T1 (t)H T P
2hβ (A1 (t)AT1 (t)P + PA1 (t)AT1 (t))

ε2 PHH T P + ε2−1 E T E;
ε3 PHH T P + ε3−1 E1T E1 ;
2hPA−1 (t)AT1 (t)P + 2hβ 2 A1 (t)AT1 (t)
2hPA1 (t)AT1 (t)P + 2hβ 2 a1 I.

22


Do đó, từ (2.23) ta có
A T (t)P + PA (t)


T
¯
P(A¯ + 2hλ−1 I) + (+2hλ
−1 I) P

+ ε2 PHH T P + ε3 PHH T P + ε2−1 E T E + ε3−1 E1T E1
+ 2hPA1 (t)AT1 (t)P + 2hβ 2 a1 I.

(2.24)

Lại áp dụng Bổ đề 1.4.4 ta có
A1 (t)AT1 (t)

A1 AT1 + A1 E1T (ε4 I − E1 E1T )−1 E1 AT1 + ε4 HH T .

Do đó
A T (t)P + PA (t) + 2hPA1 (t)AT1 (t)P + γI
T
T
¯
P(A¯ + 2hλ−1 I) + (+2hλ
−1 I) P + 4hPA1 A1 P

+ (ε2 + ε3 + 4hε4 )PHH T + ε2−1 E T E + ε3−1 E1T E1
+ 4hPA1 E1T (ε4 I − E1 E1T )−1 E1 AT1 P + γI.

(2.25)

Nhân cả 2 vế của (2.25) với X và sử dụng Bổ đề Schur ta có
A T (t)P + PA (t) + 2hPA1 (t)AT1 (t)P + γI


0.

Theo Định lý 2.2.1 và Chú ý 2.2.1, hệ (2.21) là ổn định mũ.
Hệ quả đã được chứng minh.
Ví dụ 2.2.1. Xét hệ tuyến tính không chắc chắn (2.21), trong đó
h(t) =

A=

1
0

0.03 sint, t ∈ I = [2kπ, (2k + 1)π], k = 0, 1, 2, ...
0,
t ∈ R+ \ I
−1
, A1 =
1

−4
0

1
, H = 1, E = 0.2I, E1 = 0.
−3

Dễ thấy hệ không có trễ nên
x(t)
˙ = Ax(t),

là ổn định và hàm trễ h(t) không khả vi.
Tuy nhiên, cho λ = 0.25, β = 4, ε1 = 0.1, ε2 = ε3 = 0.5, ε4 = 1.04 thì tất cả các điều
kiện trong Hệ quả 2.2.1 và LMI (2.22) là thỏa mãn với
23


0.8355 −0.0977
.
−0.0977 0.9549
Theo Hệ quả 2.2.1, hệ là ổn định mũ và nghiệm x(t, φ ) thỏa mãn
X=

x(t, φ )

1.149e−0.0095t φ ,t

24

0.


×