tính ổn định hệ phương trình vi phân và điều khiển có trễ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM





LƯỜNG THANH NGA




TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
VÀ ĐIỀU KHIỂN CÓ TRỄ









LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái nguyên, năm 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM




LƯỜNG THANH NGA




TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
VÀ ĐIỀU KHIỂN CÓ TRỄ

Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01


LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC



NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS. TSKH Vũ Ngọc Phát







Thái nguyên, năm 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
• R
+
• R
n
n ., .
||.||
• R
n×r

(n × r)
• C([a, b], R
n
) [a, b] R
n
• L
2
([a, b], R
m
) [a, b]
R
m
• A
T
A
• I
• λ(A) A
• λ
max
(A) {Reλ : λ ∈ λ(A)}
• BM
+
(0, ∞)
(0, ∞)
• A > 0 A
• A ≥ 0 A
• ||A|| =

λ
max

(A
T
A)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
α
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



˙x(t) = f(t, x(t)), t ≥ t
0
x(t
0
) = x
0
, t
0
≥ 0
f(t, x) : R
+
× R
n
→ R
n
t ≥ t
0
, x(t) ∈ R
n

x(t, x
0
) [0, ∞)
x
0
(t)
ε > 0 t
0
≥ 0 δ > 0 y(t)
x
0
(t) y(t
0
) = y
0
||y
0
− x
0
|| < δ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
||y(t) − x
0
(t)|| < ε, ∀t ≥ t
0
.
x
0
(t)
δ

0
> 0 ||y
0
− x
0
|| < δ
0
lim
t→∞
y(t) − x
0
 = 0.
x
0
(t)
y(t) y
0
x
0
x(t)
t
x
0
(t) z(t) = x(t) −
x
0
(t)




˙z(t) = F (t, z(t)), t ≥ t
0
, F(t, 0) = 0,
z(t
0
) = z
0
,
F (t, z(t)) = f(t, z(t) + x
0
(t)) − f(t, x
0
(t)).
z ≡ 0 z(t
0
) = z
0
x
0
(t)
0
f(t, 0) = 0, t ∈ R
+
.
ε > 0, t
0
≥ 0
δ > 0 x(t) x(t
0
) = x

0
||x
0
|| < δ ||x(t)|| < ε, t ≥ t
0
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
δ
0
> 0 ||x
0
|| < δ
0
lim
t→∞
||x(t)|| = 0.
N > 0 α > 0 x(t)
x(t
0
) = x
0
x(t) ≤ Ne
−α(t−t
0
)
||x
0
||, ∀t ≥ t
0
.

N α α, N
˙x(t) = Ax(t),
Q
A
T
P + PA = −Q P



˙x(t) = f(t, x(t)), t ≥ t
0
x(t
0
) = x
0
, t
0
≥ 0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x(t) ∈ R
n
f : R
+
× R
n
→ R
n
f(t, 0) = 0, ∀t ≥ 0.
K a(.) : R
+

→ R
+
, a(0) = 0
V (t, x) : R
+
× R
n
→ R
˙
V (t, x(t)) :=
∂V
∂t
+
∂V
∂x
f(t, x(t))
V (t, x(t)) t x(t)
V (t, x) : R
+
× R
n
→ R, V (t, 0) = 0, t ≥ 0
V (t, x)
∃a(.) ∈ K : V (t, x) ≥ a(||x||), ∀(t, x) ∈ R
+
× R
n
.
˙
V (t, x(t)) ≤ 0, x(t)

V (t, x)
∃b(.) ∈ K : V (t, x) ≤ b(||x||), ∀(t, x) ∈ R
+
× R
n
∃c(.) ∈ K :
˙
V (t, x(t)) ≤ −c(||x(t)||) x(t)
V (t, x) : R
+
× R
n
→ R
∃λ
1
> 0, λ
2
> 0 : λ
1
||x||
2
≤ V (t, x) ≤ λ
2
||x||
2
, ∀(t, x) ∈ R
+
× R
n
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
∃α > 0 :
˙
V (t, x(t)) ≤ −2αV (t, x(t)) x(t)
α, N =

λ
2
λ
1



˙x(t) = f(t, x(t), u(t)), t ≥ t
0
,
x(t
0
) = x
0
, t
0
≥ 0
f : R
+
× R
n
× R
m
→ R

n
,
f(t, 0, 0) = 0, ∀t ≥ 0.
u(.) L
2
([0, t], R), t > 0
g : R
n
→ R
m



˙x(t) = f(t, x(t), g(x(t))), t ≥ t
0
x(t
0
) = x
0
, t
0
≥ 0
u(t) = g(x(t))
g : R
n
→ R
m
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
t x(t)
x(t) t

(0 ≤ h ≤ +∞)
x(t) R
+
R
n
,
x
t
∈ C x
t
(s) = x(t + s), ∀s ∈ [−h, 0]
C := C([−h, 0], R
n
) x
t
[t −h, t]
x(.) C ||x
t
|| = sup
s∈[−h,0]
||x(t + s)||
t [t−h, t]



˙x(t) = f(t, x
t
), t ≥ 0,
x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0]
f : R

+
× C → R
n
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x(t, φ)
x(t) = φ(t), ∀t ∈ [−h, 0].
V (t, x
t
) : R
+
× C → R
∃λ
1
> 0, λ
2
> 0 : λ
1
||x(t)||
2
≤ V (t, x
t
) ≤ λ
2
||x
t
||
2
, ∀t ≥ 0
˙

V (t, x
t
) ≤ 0 x(t)
x(t)
∃N > 0 : ||x(t, φ)|| ≤ N||φ||, ∀t ≥ 0.
∃λ
3
> 0 :
˙
V (t, x
t
) < 0 x(t)
∃λ
4
> 0 :
˙
V (t, x
t
) ≤ −2λ
4
V (t, x
t
) x(t)
λ
4

λ
2
λ
1




˙x(t) = f(t, x
t
, u(t)), t ≥ 0
x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0], h > 0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f : R
+
× C × R
m
→ R
n
, f(t, 0, 0) = 0,
u(.) ∈ L
2
([0, t], R
m
), ∀t > 0.
g : R
n
→ R
m



˙x(t) = f(t, x
t
, g(x(t))), t ≥ 0

x(t
0
) = φ(t), t
0
∈ [−h, 0]
α > 0 α
g : R
n
→ R
m
α
X, Y, Z Y > 0
X + Z
T
Y
−1
Z < 0


X Z
T
Z −Y


< 0.
S ∈ R
n×n
Q ∈ R
n×n
2Qy, x − Sy, y ≤ QS

−1
Q
T
x, x, ∀x, y ∈ R
n
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
|2Qy, x| ≤ ||y||
2
+ ||Qx||
2
, ∀x, y ∈ R
n
, ∀Q ∈ R
n×n
,
2x, y ≤ x, x + 
−1
y, y, ∀x, y ∈ R
n
, ∀ > 0.
M ∈ R
n×n
∀σ > 0 w : [0, σ] → R
n


σ
0
w(s)ds


T
M


σ
0
w(s)ds

≤ σ

σ
0
w
T
(s)Mw(s)ds.
∀x, y ∈ R
n
A, P, E, F, H
P > 0, F
T
F ≤ I σ > 0
EFH + H
T
F
T
E
T
≤ σ
−1

EE
T
+ σH
T
H.
I − HPH
T
> 0
(A + EFH)P (A + EFH)
T
≤ AP A
T
+ AP H
T
(σI − HP H
T
)
−1
HP A
T
+ σ
−1
EE
T
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



˙x(t) = A(t)x(t), t ≥ 0,

x(0) = x
0
,
x(t) ∈ R
n
A(t)
R
+
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
α N > 0
x(0) = x
0
||x(t)|| ≤ N||x
0
||e
−αt
, t ≥ 0.
α, β Q ≥ 0.
p
0
= λ
max
(P (0)),
P
β
(t) = P (t) + βI.
˙
P
β

(t) + P
β
(t)A(t) + A
T
(t)P
β
(t) + 2αP
β
(t) + Q = 0.
α > 0 β > 0 P ∈ BM
+
[0, ∞), Q ≥ 0
α
x(t)
||x(t)|| ≤ N||x
0
||e
−αt
, t ≥ 0.
β > 0 P ∈ BM
+
[0, ∞)
V (t, x) = V
1
+ V
2
,
V
1
= P (t)x(t), x(t),

V
2
= β||x(t)||
2
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
V (t, x)
||P ||||x(t)||
2
≥ V (t, x) ≥ β||x(t)||
2
.
V
1
, V
2
t
˙
V
1
= 
˙
P (t)x(t), x(t)+ 2P(t) ˙x(t), x(t)
= 
˙
P (t)x(t), x(t)+ 2P(t)A(t)x(t), x(t)
= [
˙
P (t) + P(t)A(t) + A
T

(t)P (t)]x(t), x(t),
˙
V
2
= 2β˙x(t), x(t) = 2βA(t)x(t), x(t)
= β[A(t) + A
T
(t)]x(t), x(t).
˙
V =
˙
V
1
+
˙
V
2
= [
˙
P (t) + P(t)A(t) + A
T
(t)P (t)]x(t), x(t)+ β[A(t) + A
T
(t)]x(t), x(t).
˙
V (t, x) + 2αV (t, x) = [
˙
P (t) + P(t)A(t) + A
T
(t)P (t)]x(t), x(t)

+ β[A(t) + A
T
(t)]x(t), x(t)
+ 2αP (t)x(t), x(t) + 2αβ||x(t)||
2
= [
˙
P (t) + [P(t) + βI]A(t) + A
T
(t)[P (t) + βI]]x(t), x(t)
+ 2α[P (t) + βI]x(t), x(t)
= [
˙
P
β
(t) + P
β
(t)A(t) + A
T
(t)P
β
(t) + 2αP
β
(t)]x(t), x(t).
P (t)
˙
P
β
(t) + P
β

(t)A(t) + A
T
(t)P
β
(t) + 2αP
β
(t) + Q = 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
˙
V (t, x) + 2αV (t, x) = −Qx(t), x(t) ≤ 0, t ≥ 0,
˙
V (t, x) ≤ −2αV (t, x), t ≥ 0.
α
V (t, x) ≤ V (0, x
0
)e
−2αt
.
V (t, x) ≥ β||x(t)||
2
,
||x(t)|| ≤

V (0, x
0
)
β
e
−αt
.

V (0, x
0
) = P (0)x(0), x(0) + β||x(0)||
2
= P (0)x
0
, x
0
 + β||x
0
||
2
≤ (p
0
+ β)||x
0
||
2
.
||x(t)|| ≤

p
0
+ β
β
||x
0
||e
−αt
.

N =

p
0
+β
β
.



˙x(t) = A(t)x(t), t ≥ 0,
x(0) = x
0
,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
A(t) =
−(e
−t
+ 3)
2(e
−t
+ 1)


1 1
−1 1


.
α = 1, β = 1 Q =



1 0
0 1


.
P (t) =


e
−t
0
0 e
−t


,
˙
P
β
(t) + P
β
(t)A(t) + A
T
(t)P
β
(t) + 2αP
β
(t) + Q = 0.

p
0
= 1 N =
√
2.



˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), t ≥ 0,
x(0) = x
0
,
u(t) A(t) [0, ∞).
α
u(t) = K(t)x(t)



˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)K(t)x(t), t ≥ 0,
x(0) = x
0
,
α
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
α > 0, β > 0 Q ≥ 0
P
β
(t) = P (t) + βI.
˙
P

β
(t) + P
β
(t)A(t) + A
T
(t)P
β
(t) + 2αP
β
(t) − P
β
(t)B(t)B
T
(t)P
β
(t) + Q = 0.
α > 0 α
β > 0 P ∈ BM
+
[0, ∞), Q ≥ 0
u(t) = −
1
2
B
T
(t)P
β
(t)x(t), t ≥ 0.
u(t) = K(t)x(t)
K(t) = −

1
2
B
T
(t)P
β
(t).



˙x(t) = [A(t) + B(t)K(t)]x(t), t ≥ 0,
x(0) = x
0
,
A(t) = A(t) + B(t)K(t).



˙x(t) = A(t)x(t), t ≥ 0,
x(0) = x
0
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
˙
P
β
(t) + A
T
(t)P
β

(t) + P
β
(t)A(t) + 2αP
β
(t)
=
˙
P
β
(t) + [A
T
(t) + K
T
(t)B
T
(t)]P
β
(t)
+ P
β
(t)[A(t) + B(t)K(t)] + 2αP
β
(t)
=
˙
P
β
(t) + A
T
(t)P

β
(t) + P
β
(t)A(t)
+ K
T
(t)B
T
(t)P
β
(t) + P
β
(t)B(t)K(t) + 2αP
β
(t)
=
˙
P
β
(t) + A
T
(t)P
β
(t) + P
β
(t)A(t)
−
1
2
P

β
(t)B(t)B
T
(t)P
β
(t) −
1
2
P
β
(t)B(t)B
T
(t)P
β
(t) + 2αP
β
(t)
=
˙
P
β
(t) + A
T
(t)P
β
(t) + P
β
(t)A(t) − P
β
(t)B(t)B

T
(t)P
β
(t) + 2αP
β
(t).
˙
P
β
(t) + A
T
(t)P
β
(t) + P
β
(t)A(t) + 2αP
β
(t) + Q
=
˙
P
β
(t) + A
T
(t)P
β
(t) + P
β
(t)A(t) − P
β

(t)B(t)B
T
(t)P
β
(t) + 2αP
β
(t) + Q.
α



˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), t ≥ 0,
x(0) = x
0
,
A(t) =


a(t) 0
0 b(t)


,
a(t) =
1
2
(e
−2t
+ 1)sin
4

(t) +
3
4
−
1
2e
−2t
+ 1
,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
b(t) =
1
2
(e
−2t
+ 1)cos
4
(t) +
3
4
−
1
2e
−2t
+ 1
,
B(t) =


sin

2
t 0
0 cos
2
t


.
α =
1
4
, β =
1
2
Q =


1 0
0 1


P (t) =


e
−2t
0
0 e
−2t



,
u(t) = −
1
2


sin
2
t(e
−2t
+
1
2
) 0
0 cos
2
t(e
−2t
+
1
2
)


x(t), t ≥ 0.
||x(t)|| ≤ 1.225e
−0.25t
||x
0

||, t ≥ 0.





˙x(t) = A(t)x(t) +
p

i=1
A
i
(t)x(t − h
i
(t)), t ∈ R
+
x(t) = φ(t), t ∈ [−τ, 0]
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên