Chuyên đề tìm cực trị (GTLN, GTNN) cho học sinh THCS

Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS

Mục lục

Mục lục..........................................................................................................................1
a phần mở đầu...........................................................................................................2
I - Lí do chọn đề tài...............................................................................................2
II- Mục đích nghiên cứu ......................................................................................2
III- Khách thể và đối tợng nghiên cứu .................................................................2
IV- Giả thuyết khoa học .......................................................................................3
V- Nhiệm vụ nghiên cứu ......................................................................................3
VI- Giới hạn đề tài ...............................................................................................3
VII- Các phơng pháp nghiên cứu .........................................................................3
B. Phần nội dung............................................................................................................4
Chơng I :
Đại cơng về cực trị............................................................................4
Chơng II :
cực trị số học..........................................................................4
I phép chia hết và phép chia có d.....................................................................4
II - Đồng d thức và phơng trình đồng d ..............................................................7
III Số nguyên tố ...............................................................................................9
IV Phơng trình DIOPHANTE ......................................................................10
V- một số bài toán cực trị khác .........................................................................12
Chơng III :
Cực trị đại số.......................................................................14
I. Phơng pháp sử dụng tam thức bậc hai ............................................................14
II.Phơng pháp tìm cực trị dựa vào luỹ thừa bậc chẵn.........................................16
III.Phơng pháp tìm cực trị theo tính chất giá trị tuyệt........................................19
đối........................................................................................................................19
IV.Phơng pháp tìm cực trị dựa vào tập giá trị hàm. ..........................................20
V.Phơng pháp tìm cực trị sử dụng bất đẳng thức Côsi .....................................22

VI. Phơng pháp tìm cực trị sử dụng BĐT Bunhiacôpxki...................................26
VII.Phơng pháp tìm cực trị sử dụng phơng pháp phân chia. ............................28
VIII. Một số sai lầm khi giải toán cực trị...........................................................31
IX. Bài tập ...........................................................................................................34
Hớng dẫn giải bài tập..........................................................................................38
c. phần kết luận............................................................................................................52
Tài liệu tham khảo...................................................................................................53

Sinh viên : Nguyễn

Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin. K48

1


Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS

a phần mở đầu
I - Lí do chọn đề tài
1. Lí do khách quan .
Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản, mang tính trừu tợng nhng mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống
xã hội, trong khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng.
Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp kiến thức cơ bản, dạy học sinh
giải bài tập SGK, STK mà quan trọng là hình thành cho học sinh phơng pháp chung
để giải các dạng Toán từ đó giúp các em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần
hoàn thiện kỹ năng, kỹ xảo hoàn thiện nhân cách.
Trong Toán học, cực trị là một khái niệm rất hẹp nhng kiến thức liên quan
đến nó thì vô cùng rộng rãi. Trong chơng trình Toán THCS những bài toán cực trị
có mặt rải rác và hầu khắp các phân môn Số học, Đại số và Hình học. Học sinh từ
lớp 6 đến lớp 9 đều đã gặp những bài toán cực trị với những yêu cầu nh : tìm số x

lớn nhất sao cho..., tìm giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) của biểu thức ..., xác định vị trí
của điểm M để độ dài ( diện tích , chu vi ...) của hình H nào đó đạt giá trị lớn nhất
( nhỏ nhất ) ..., đặc biệt đây là những bài để học sinh dành điểm tối đa trong các đề
thi tốt nghiệp THCS . Nhng khi giải có thể giáo viên không dạy phơng pháp tổng
quát hoặc có dạy nhng học sinh không đợc tiếp thu theo hệ thống dạng toán. Nói
chung khi gặp toán cực trị đa phần học sinh e ngại và lúng túng trong cách giải.
2. Lí do chủ quan.
Là sinh viên năm cuối, khi nghiên cứu SGK Toán THCS tôi nhận thấy sự cần
thiết phải hình thành một cách có hệ thống các dạng bài toán cực trị và phơng pháp
giải để dạy học sinh. Tôi đã dành nhiều thời gian nghiên cứu tài liệu. Đợc sự
khuyến khích, giúp đỡ nhiệt tình của bạn bè và đặc biệt là sự hớng dẫn tận tình chu
đáo của thầy giáo Nguyễn Quang Hoè giảng viên khoa Toán Tin trờng ĐH
Quảng Bình, tôi đã mạnh dạn nghiên cứu bớc đầu đề tài :
Phơng pháp giải bài toán cực trị cho học sinh THCS .
II- Mục đích nghiên cứu .
Giúp học sinh nắm đợc phơng pháp giải một số dạng toán cực trị thờng gặp
trong trờng THCS , nâng cao dần kỹ năng kỹ xảo giải các dạng toán trên. Đồng
thời làm tài liệu phục vụ cho việc giảng dạy của giáo viên tốt hơn cũng nh gạt bỏ
tâm lý e ngại của học sinh khi giải toán cực trị.
III- Khách thể và đối tợng nghiên cứu .
1. Khách thể nghiên cứu .
Phơng pháp giải một số dạng toán cực trị .
2. Đối tợng nghiên cứu .
Học sinh trờng THCS (do điều kiện cha cho phép nên đề tài mới chỉ mang
tính tham khảo).

Sinh viên : Nguyễn

Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin. K48

2


Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS
IV- Giả thuyết khoa học .
Nếu học sinh đợc học phơng pháp giải một số dạng toán cực trị thì trình
độ , kỹ năng , kỹ xảo của học sinh chắc chắn sẽ đợc nâng lên sau khi thực hiện đề
tài này là hiển nhiên không còn là giả thuyết nh các đề tài khác. Tôi mong rằng sau
khi thực hiện đề tài, học sinh không còn cảm thấy sợ toán cực trị nữa mà ngợc lại đa
phần các em cảm thấy hứng thú hơn khi học toán và đều nắm đợc phơng pháp giải
một số dạng toán mà đề tài đề cập.
V- Nhiệm vụ nghiên cứu .
- Xây dựng cơ sở lí luận , phơng pháp giải một số dạng toán cực trị Số học ,
Đại số.
- áp dụng giảng dạy cho học sinh đại trà, học sinh giỏi và học sinh ôn thi
vào THPT trong công tác giảng dạy sau này.
VI- Giới hạn đề tài .
Vì đề tài đang ở bớc đầu nghiên cứu nên tôi chỉ mới xây dựng phơng pháp
cho một số dạng toán cực trị thờng gặp.
VII- Các phơng pháp nghiên cứu .
- Quan sát s phạm.
- Tham khảo tài liệu.
- Tổng kết kinh nghiệm .
- Thực nghiệm s phạm .
- Lấy ý kiến chuyên gia.
- Phân tích và tổng hợp lí thuyết .

Sinh viên : Nguyễn

Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin. K48

3


Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS

B. Phần nội dung
Chơng I :

Đại cơng về cực trị.

Bài toán cực trị xuất phát từ thực tiễn và trong khi giải quyết những bài toán
lớn. Cực trị là tên gọi chung cho những bài toán tìm giá trị lớn nhất ( GTLN) và giá
trị nhỏ nhất ( GTNN). Trong lí thuyết Toán học hiện đại thì các phân môn Số học,
Đại số , Hình học đều có thể đợc định nghĩa qua tập hợp. Việc giải bài toán cực trị
đối với mỗi phân môn thì có sự giới hạn tập hợp số để xét. Trong chơng trình THCS
chỉ xét giới hạn trong trờng số thực R đối với phân môn Đại số và Hình học còn đối
với phân môn Số học thì chỉ xét trên vành số nguyên Z.
Theo lí thuyết Giải tích cổ điển, xét tập hợp số thực x E R , khi đó nếu E
không rỗng và bị chặn thì tồn tại cận trên đúng M của E ( M = supE ) hoặc cận dới
đúng m của E ( m = infE ) hoặc cả hai. Tuy nhiên có thể cả M và m đều không
thuộc E. Khi M E ( hoặc m E) ta viết M = maxE ( hoặc m = minE ) đây là cách
viết tắt theo chữ Latin ( max = maximum , min = minimum ) mà trong trờng phổ
thông ta thờng gọi là giá trị lớn nhất ( GTLN ) và giá trị nhỏ nhất ( GTNN ).
Theo quan điểm trên việc tìm maxE = M hoặc minE = m phải bao gồm đồng
thời cả hai điều kiện :
i) M E hoặc m E .
ii) x E để M = E hoặc m = E .
Sau đây là những dạng bài tập và phơng pháp cụ thể đối với thuộc phân môn
Số học và Đại số xét theo quan điểm trên :

Chơng II :

cực trị số học

I phép chia hết và phép chia có d
A . Lí thuyết cơ bản
1. Định nghĩa .
1.1 . Phép chia hết và phép chia có d
Cho a , b
Z , b > 0 . Chia a cho b ta có : a chia hết cho b hoặc a không
chia hết cho b .
Nếu a chia hết cho b ta kí hiệu là a b ta còn nói b chia hết a hay b là ớc của
a và kí hiệu là b | a .
Nếu a không chia hết cho b ta đợc thơng gần đúng q và d là r , ta viết : a =
bq + r , 0 < r < b .
1.2. ớc chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất
Cho hai số nguyên dơng a , b .
ớc chung lớn nhất của a và b đợc kí hiệu là ƯCLN ( a,b) hay (a, b). Số d gọi
là ớc chung của a và b khi và chỉ khi d là ớc của ƯCLN(a ,b) :
d | a và d | b d | (a,b) .
Sinh viên : Nguyễn

Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin. K48

4


Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS
Bội chung nhỏ nhất của a và b đợc kí hiệu là BCNN(a,b) hay [a,b] . Số m là

BCNN(a,b) khi và chỉ khi m là bội của BCNN(a,b) :
m a và m b m [a,b] .
Hai số đợc gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi (a,b) = 1 .
* Tuy nhiên , trong việc tìm ƯCLN của hai số dơng a, b ( a>b) ngời ta còn có thể
sử dụng thuật toán Euclide nh sau :
i) a = bq (a,b) = b .
ii) a = bq + r ( r 0 ) (a,b) = (b,r)
b = rq1 + r1 ( r1 0) (b,r) = (r,r1)
r = r1q2 + r2 (r2 0) (r,r1) = (r1,r2)
.........................................................
ri = ri+1qi+2 (a,b) = (ri,ri+1) .
2. Một số định lí quan trọng thờng dùng
2.1.
a) (ca,cb) = c(a,b) .
a b ( a, b )
b) ; =
( với c =ƯC(a,b) ) .

c
c c
a.c b và (a,b) = 1 c b .
c a và c b và (a,b) = 1 c a.b .

2.2.
2.3.
2.4. Định lí về phép chia có d
Với mọi cặp số tự nhiên a,b ( b 0) bao giờ cũng tồn tại duy nhất cặp số q , r sao
cho : a = bq + r ( với 0 r < b ) .
2.5 . Định lí.
Trong sự phân tích số n! ra thừa số nguyên tố ( n! = 1.2.3....n) .

thì số mũ ai của thừa số pi nào đó sẽ là :
n!= p a 1 . p a 2 .... p a k
1

2

k

n
n n
ai = + 2 + ........ + k + ......... ( [ x ] là kí hiệu phần nguyên của số x , đó là số
pi
p i pi

nguyên lớn nhất không vợt quá x ) .
B . Một số phơng pháp tìm cực trị thờng dùng trong giải bài
toán chia hết
1. Để chứng minh A(n) ( n Z ) chia hết cho một số nguyên tố p , ta có thể xét
mọi trờng hợp về số d khi chia n cho p .
2. Để chứng minh A(n) chia hết cho hợp số m ta thờng phân tích m ra thừa số
nguyên tố. Giả sử m = pq , ta tìm cách chứng minh A(n) p và A(n) q suy ra
A(n) pq do (p,q) = 1.
Nếu (p,q) 1 thì ta phân tích A(n) rồi chứng minh tích đó chia hết cho m. Ta
cũng có thể phân tích A(n) thành tổng nhiều số hạng cùng chia hết cho m.
3. Ta thờng sử dụng kết quả sau :
Nếu số d khi chia a cho b > 0 là r ( 0< r <b) thì số d khi chia an ( n>1) cho b
là số d khi chia rn cho b ( số d này bằng rn nếu rn < b ).
C . Bài tập áp dụng.
* Qui ớc :
Sinh viên : Nguyễn

Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin. K48

5


Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS
Nếu a là số lớn nhất trong các số a ,b ,c, d thì ta kí hiệu max(a,b,c,d) = a.
Nếu b là số nhỏ nhất trong các số a ,b ,c, d thì ta kí hiệu min(a,b,c,d) = b.
Ví dụ 1 :
Tìm số nguyên dơng n nhỏ nhất sao cho 2n 1 7 .
Giải :
Xét phép chia số nguyên n cho 3 thì n chỉ có một trong ba dạng : n = 3k ; n = 3k+1 ;
n = 3k+3 ( k Z) .
Với n = 3k ta có : 2n 1 = 8k 1 7 .
Với n = 3k+1 ta có : 2n -1 = 2.8k -1=2(8k -1) + 1 không chia hết cho 7 .
Với n = 3k+2 ta có : 2n 1=4.8k-1= 4(8k -1) + 3 không chia hết cho 7 .
Vậy với n 3 thì 2n 1 7 mà n là số nguyên dơng nhỏ nhất nên n = 3 .
Ví dụ 2 :
Tìm số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn : ( 1994!)1995 1995k .
Giải :
Ta có : 1995k = (3.5.7.19)k = 3k.5k.7k.19k . Ta cần tìm số mũ lớn nhất của mỗi
thừa số 3 , 5 , 7 ,19 trong số (1994!)1995 .
Ta có :
Số mũ của 3 trong 1994! là :
1994 1994
1994
3 + 3 2 + ......... + 3 7 = 664 + 221 + ......... + 0 = 992 .

Tơng tự : Số mũ của 5 trong 1994! là : 495 .

Số mũ của 7 trong 1994! là : 329 .
Số mũ của 19 trong 1994! là : 109 .
Vậy trong 1994! có các thừa số : 3992 ; 5495 ; 7329 ; 19109 .
Suy ra : (1994!)1995 = (3992 . 5495 . 7329 . 19109. M )1995. Với M là tích các thừa số không
chứa các thừa số nguyên tố 3 ; 5 ; 7 ; 19.
* Với k = 109.1995 thì ( 1994!)1995 1995k .
* Với k = 109.1995 + 1 thì ( 1994!)1995 không chia hết cho 1995k .
Vậy k = 109.1995 là số tự nhiên lớn nhất cần tìm.
Ví dụ 3.
Tìm GTLN và GTNN của n để P = (n+5)(n+6) 6n .
Giải :
Ta xét 2 trờng hợp :
* Với n>0 :
Ta phải tìm n để P = (n+5)(n+6) 6n .Ta có :
P = (n+5)(n+6) 6n = n2 + 11n + 30 = 12n + ( n2 n + 30 ) .
P 6n ( n2 n + 30 ) 6n ; n | n2 n nên n | 30 , 6 | 30
nên 6 | n2 n = n(n-1) .
n(n-1) là số chẵn vì là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên n(n-1) 3 n 3
hoặc n-1 3 .
Vậy P 6n thì n là ớc của 30 và là bội của 3 hoặc bội của 3 cộng thêm 1 n
= {1;2;3;6;10;15;30}. Thay các giá trị trên vào P = ( n+5)(n+6) và 6n thì ta có
n
= {1;3;10;30} (*) thoả mãn điều kiện bài toán .
Sinh viên : Nguyễn

Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin. K48

6

Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS
* Với n < 0 :
Đặt m = - n . Ta tìm m sao cho : P = ( -m+5)(-m+6) -6m. Giải nh trên ta tìm
đợc n = { -2;-5;-6;-15} (**) thoả mãn điều kiện bài toán .
Kết hợp (*) và (**) ta có n = {1;3;10;30;-2;-5;-6;-15} .
Vậy
max n = max (1; 3; 10; 30; -2; -5; -6; -15 ) = 30 .
min n = min(1; 3; 10; 30; -2; -5; -6; -15 ) = -15
Ví dụ 4.
Cho A = m+n và B = m2 + n2 trong đó m,n là những số tự nhiên nguyên tố
cùng nhau. Tìm max (ƯCLN) ( min(BCNN) ) của A và B .
Giải :
Gọi d = (m+n, m2+n2) (m+n)2 d (m+n)2 (m2 + n2) = 2mn d d
là ớc chung của m+n và 2mn (*) .
(m,n) = 1 (m+n , n) = (m+n,m) = (m+n,mn) = 1 (**) .
Từ (*) và (**) 2 d d = 1 hoặc d = 2 hay d = {1,2} .
Vậy
max d = max ( 1,2) = 2 .
min d = min (1,2) = 1 .
D . Bài tập tự luyện .
Tìm số nguyên a lớn nhất và nhỏ nhất sao cho 100 < a < 150 ; a chia 5 d 2 và
a chia 7 d 3 .
II - Đồng d thức và phơng trình đồng d .
A . Lí thuyết cơ bản .
1 . Định nghĩa và tính chất đồng d thức .
1.1. Định nghĩa đồng d thức .
Cho một số nguyên dơng m. Nếu a hai số nguyên a và b có cùng số d khi
chia cho m ( tức là m n chia hết cho m ) thì ta nói rằng a đồng d với b modun m
và ta kí hiệu : a b ( mod m ). Đây là một đồng d thức với a là vế trái, b là vế phải.
Nói riêng, a 0 ( mod m ) nghĩa là a chia hết cho m .

Trong trờng hợp b < m thì a b ( mod m ) có nghĩa là chia a cho m có d là
b.
1.2 . Các tính chất của đồng d thức .
1.2.1. Ta có : a a với a.
a b ( mod m) b a ( mod m)
a b ( mod m) và b c ( mod m) a c ( mod m).
1.2.2. Nếu a b ( mod m) và c d ( mod m) thì a c b d ( mod m) ; ac bd
( mod m).
Suy ra :
i)
a b ( mod m) a c b c ( mod m)
ii)
a + c b (mod m ) a b - c ( mod m)
iii)
a b ( mod m) na nb ( mod m)
iv)
a b ( mod m) an bn ( mod m) .
1.2.3. a b (mod m)
Sinh viên : Nguyễn

a b
(mod m) với d là ớc chung của a và b và (d,m) = 1
d d

Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin. K48

7


Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS

1.2.4. Nếu a b ( mod m) và c>0 thì ac bc ( mod mc) .
Nếu d là ớc chung dơng của a,b,m thì ax b ( mod m)

a b
m
( mod
).
d d
d

2. Định nghĩa phơng trình và hệ phơng trình đồng d .
2.1. Định nghĩa phơng trình đồng d bậc nhất một ẩn .
Phơng trình đồng d bậc nhất một ẩn là đồng d thức có dạng : ax b ( mod m)
với a không chia hết cho m.
Trong đó a,b,m>0 là những số đã biết , x là ẩn.
2.2. Tính chất .
2.2.1. Phơng trình đồng d ax b ( mod m) có nghiệm duy nhất nếu (a,m) = 1.
( ta hiểu phơng trình đồng d ax b ( mod m) có nghiệm duy nhất nghĩa là tất cả
các nghiệm đều thuộc một lớp các số đồng d với b modun m ).
2.2.2. Bằng các phép biến đổi của dồng d thức bao giờ ta cũng đa phơng trình
đồng d bậc nhất về dạng ax b ( mod m) với m > a > 0 và m > b 0.
2.3.
Định nghĩa hệ phơng trình đồng d bậc nhất một ẩn .
Hệ phơng trình đồng d bậc nhất một ẩn là hệ các đồng d thức có dạng :
a1 x b1 (mod m1 )
a x b (mod m )
2
2
2

............................
a n x bn (mod mn )

Bằng cách biến đổi tơng đơng các đồng d thức ta có thể quy hệ phơng trình
đồng d bậc nhất một ẩn về phơng trình đồng d bậc nhất một ẩn.
B. Phơng pháp giải bài toán cực trị đối với phơng trình đồng d.
Từ lí thuyết ở trên, ta biết rằng luôn đa đợc phơng trình (hệ phơng trình )
đồng d về dạng ax b ( mod m). Do đó vấn đề ở đây là từ điều kiện đề bài ta
chuyển về phơng trình ( hệ phơng trình ) đồng d một ẩn, biến đổi tơng đơng về phơng trình dạng ax b ( mod m ) rồi theo điều kiện bài toán ta suy ra GTLN
( GTNN) của ẩn cần tìm.
C. Bài tập áp dụng .
Ví dụ 6. Tìm số nguyên x lớn nhất , nhỏ nhất thoả mãn :
- 10 < x < 25 và 17x 13(mod11) .
Giải : Ta có :
17x 13(mod11) 6x 2 ( mod 11) 3x 1 ( mod 11)
3x = 1 + 11t ( t Z) .
Do 10 < x < 25 nên t = { -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} x = {-3, 4, 15} .
Vậy
max x = max(-3, 4, 15) = 15.
min x = min ( -3, 4, 15) = -3 .
Ví dụ 7.
Tìm số học sinh lớn nhất trong một sân trờng THCS biết khi cho học sinh
xếp hàng 3,5,7 thì số lẻ hàng cuối lần lợt là 2,3,4 và đoán chừng số học sinh đó
không thể vợt quá 900 em.
Giải :
Sinh viên : Nguyễn

Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin. K48

8

Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS
Theo đề bài ta phải giải hệ phơng trình đồng d sau:
x 2 ( mod 3 ) ( 1)
x 3 ( mod 5 ) ( 2)
x 4 ( mod 7 ) ( 3)
Hệ (1) , (2) cho ta phơng trình : x 8 (mod 15)
(4)
Từ (4) x = 8 + 15k (*) thay vào (3) ta có :
8 + 15k 4 ( mod 7) 15k -4 ( mod 7) k 3 ( mod 7) k = 3+ 7t
Do (*) k 59 3 +7t 59 t 8 .
Để x đạt max thì k và do đó t đạt max t = 8 k = 59 x = 893 .
Vậy số học sinh lớn nhất có thể có trong trờng là 893 em.
D . Bài tập tự luyện .
Tìm số tự nhiên x lớn nhất , nhỏ nhất thoả mãn : x 1000 và khi chia x cho
3,5,9,11 thì đợc số d lần lợt là 1, 3 ,4 ,9 .
III Số nguyên tố .
A . Lí thuyết cơ bản .
1. Định nghĩa .
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 , chỉ có hai ớc là 1 và chính nó .
Các số còn lạ gọi là hợp số. Từ đó suy ra, số 0 và số 1 không phải là số
nguyên tố, số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất và nhỏ nhất .
2.1. Định lí cơ bản của số học .
Mọi số lớn hơn 1 đều phân tích đợc ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất
( không kể thứ tự các thừa số ).
2.2. Có vô số số nguyên tố .
2. Các tính chất .
2.3. Ước số nguyên tố nhỏ nhất của một hợp số N là số không vợt quá N .
Từ đó suy ra : nếu số N > 1 không có một ớc nguyên tố nào từ 2 cho đến N thì N

là một số nguyên tố .
2.4. Có vô số số nguyên tố dạng ax + b với (a,b) = 1 .
2.5. Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4n 1, mọi số nguyên tố lớn hơn 3
đều có dạng 6n 1 ( n > 0 ).
B. Phơng pháp tìm cực trị với số nguyên tố .
Không có phơng pháp chung để giải các dạng bài tập về số nguyên tố, ta thờng phân tích thành dạng tích từ dữ kiện đề bài rồi sử dụng tính chất chia hết để lọc
hoặc có thể quét các trờng hợp nếu số lần quét có thể kiểm soát đợc .
C. Bài tập áp dụng .
Ví dụ 8.
ab

Tìm số lớn nhất , nhỏ nhất có hai chữ số ab sao cho a b là số nguyên tố.
Giải :
Vì a,b có vai trò nh nhau nên ta giả sử a>b . Gọi p =
ab p a p hoặc b p p = 2, 3, 5 hoặc :

Sinh viên : Nguyễn

ab
với p nguyên tố
ab

Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin. K48

9


Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS
a + p = p 2
a = p 2 p

2



7 ab=pa-pb
(a+p)(p-b)=p
.


p b =1
b = p 1
* Với p =2 ta có số ab =21, 22.
* Với p =3 ta có số ab = 62, 26.

* Với p =5 và p =7 thì a có hai chữ số nên loại.
ab ={21,22,26,62} .
Vậy

max ab = max ( 21, 22, 26, 62) = 62 .
min ab = min( 21, 22, 26, 62) = 21 .

Ví dụ 9.
Tìm số nguyên tố p lớn nhất , nhỏ nhất sao cho 13p+1 là lập phơng của một
số tự nhiên.
Giải :
Với số n tự nhiên , theo đề bài ta phải tìm số p sao cho : 13p = n3 1
13p = ( n-1)(n2+n+1) . Do (13,p)=1 nên n-1=13 hoặc n 2+n+1 = 13 n= 14
hoặc n =3 p =211 hoặc p =2 .
Vậy
max p = 211.

min p = 2 .
Ví dụ 10.
Tìm k để dãy : k +1, k+2,....., k+9, k+10 có nhiều số nguyên tố nhất .
Giải :
Trong 10 số liên tiếp luôn có 5 số chẵn ( trong đó có nhiều nhất một số
nguyên tố là 2) . Vậy có không quá 6 số nguyên tố .
* Với k=0 thì từ 1 đến 10 có 4 số nguyên tố ( 2,3,5,7) .
* Với k=1 thì từ 2 đến 11 có 5 số nguyên tố ( 2,3,5,7,11) .
* Với k >1 thì từ 3 trở đi không có số chẵn nào nguyên tố , trong 5 số lẻ liên tiếp có
một số là bội của 3 do đó trong dãy có ít hơn 5 số nguyên tố .
Vậy với k=1 thì dãy có nhiều số nguyên tố nhất .
D. Bài tập tự luyện .
Tìm số nguyên tố lớn nhất không vợt quá 98 có dạng p3 + 2 .
IV Phơng trình DIOPHANTE .
A. Lí thuyết cơ bản .
1.Định nghĩa .
Một phơng trình có nhiều ẩn số với tất cả các hệ số đều là những số nguyên
và ta phải tìm nghiệm nguyên của nó đợc gọi là phơng trình DIOPHANTE .
Nói chung phơng trình DIOPHANTE có nhiều nghiệm nguyên nên ta còn gọi là phơng trình vô định .
Ví dụ : 7x + 4y = 10 .
x2+y2 = z2
x3 7y2 = 1 ....
2.Phơng trình bậc nhất .
2.1.Phơng trình bậc nhất hai ẩn .
Sinh viên : Nguyễn

Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin. K48

10

Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS
2.1.1. Định nghĩa .
Phơng trình bậc nhất hai ẩn là phơng trình có dạng : ax + by = c trong đó a,b,c là
những số nguyên , a và b đồng thời khác 0 .
2.1.2. Một số tính chất .
* Phơng trình ax + by = c có nghiệm nguyên khi và chỉ khi (a,b)=1 .
* Nếu phơng trình ax + by = c có một nghiệm nguyên (x 0,y0) thì nó có vô số
nghiệm nguyên dạng :
x = x 0 + bt
trong đó t Z .

y = y 0 at

2.2. Phơng trình bậc nhất n ẩn (n>2).
Phơng trình bậc nhất n ẩn (n>2) là phơng trình có dạng :
a0+ a1x1+a2x2+......+anxn =0 trong đó ai Z ( i = 0,1,..,n) .
Phơng trình bậc nhất n ẩn (n>2) có nghiệm nguyên khi và chỉ khi các hệ số a i đôi
một nguyên tố cùng nhau .
2.3. Định lí lớn Fermat.
Fermat đã chứng minh đợc rằng : Với mọi số tự nhiên n >2 thì phơng trình x2
+ y2=z2 không có nghiệm nguyên dơng .
x = m( p 2 q 2 )

Khi n = 2 thì nghiệm tổng quát của phơng trình là : y = 2mpq
z = m( p 2 + q 2 )


trong đó m, p, q là những số nguyên bất kì , (p,q)=1 , p,q chẵn lẻ khác nhau .
B. Phơng pháp tìm cực trị với phơng trình DIOPHANTE.

Nh trên đã trình bày, phơng trình DIOPHANTE là phơng trình vô định, thậm
chí nhiều phơng trình cha tìm ra lời giải tổng quát. Do phạm vi khuôn khổ đề tài
nên tôi không chuyên sâu vào phép giải phơng trình mà chỉ giới hạn với một khoảng
nguyên của ẩn để tìm max, min theo dữ kiện đề bài và chỉ với những phơng trình
đơn giản. Phơng pháp giải chung cho những bài toán đơn giản này là từ dữ kiện đề
bài ta thiết lập phơng trình rồi sử dụng tính chất chia hết hoặc đồng d thức hoặc
kiến thức liên phân số để tìm nghiệm riêng hoặc nghiệm tổng quát. Trên khoảng
nguyên xác định ta tìm đợc max , min thoả mãn đề bài.
C. Bài tập áp dụng
Ví dụ 11.
Có ba ngời đi câu cá. Trời đã tối nên họ bỏ cá trên bờ sông rồi mỗi ngời tìm
một nơi để ngủ. Ngời thứ nhất thức dậy đếm số cá thấy chia 3 thì thừa 1 nên ném 1
con xuống sông rồi xách 1/3 về nhà. Ngời thứ 2 thức dậy tởng hai bạn còn ngủ, đếm
số cá chia 3 thấy thừa 1 con nên ném 1 con xuống sông rồi xách 1/3 về nhà. Ngời
thứ 3 thức dậy tởng mình dậy sớm nhất đếm số cá chia 3 thấy thừa 1 con nên ném 1
con xuống sông rồi xách 1/3 về nhà. Hỏi họ câu đợc nhiều nhất bao nhiêu con cá
biết số cá không vợt quá 170 con.
Giải :
Gọi số cá câu đợc của ba ngời là x và y là số cá còn lại khi cả ba đã lấy đi
phần của mình thì ta có phơng trình :
Sinh viên : Nguyễn Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin. K48
11


Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS
2 2 2

( x 1) 1 1 = y 8 x 27 y = 38 ( x,y N và x<170) .
3 3 3

áp dụng thuật toán Euclide ta có nghiệm riêng là : x0 = (-10) . 38 = -380, y0
= (-3).38 = -144
x = 380 + 27t
( t Z)

y = 144 + 8t

Do x < 170 nên t lớn nhất là 20 khi đó x = 160 , y = 16 .
Vậy số cá lớn nhất ba ngời câu đợc là 160 con .
Ví dụ 12.
Tìm số tự nhiên x nhỏ nhất sao cho x 9, x+1 25 và x+2 4 .
Giải :
Do x 9, x+1 25 nên u,v N : x = 9u , x+1 = 25v 25v-9u = 1 . Phơng trình
này có nghiệm tổng quát là v = 4 + 9t , u = 11 + 25t
x = 99 + 225t ( t N) .
Ta lại có : x + 2 = 4k 101 + 225t = 4k t= -101 + 4k x = -22626 + 900k
Do t > 0 nên k 26 min x = 774 khi k = 26 .
Ví dụ 13.
Tìm số nghiệm nguyên dơng lớn nhất của phơng trình :
1 1 1
1
+ + =
.
x y z 1991

Giải :
0<

Với mọi bộ (x,y,z) thoả mãn phơng trình ta giả sử 0 < x y z thì :

1 1 1
1 1 1 1
1
3
< + + =
1991 < x 3.1991 nghĩa là x lấy một số hữu
z y x
x x y z 1991 x

hạn giá trị không nhiều hơn 2.1991 . Với mỗi giá trị của x ta có :
1
1 1 1 2
2.1991x
= + y
2 2.1991 .
1991 x y z y
x 1991

Với x,y đã biết thì có nhiều nhất là một giá trị tơng ứng của z .
Vậy có nhiều nhất là 23.1991 nghiệm .
D. Bài tập tự luyện .
Bài số 1.
Trong các số tự nhiên từ 200 đến 500 tìm số lớn nhất , số nhỏ nhất chia cho
4, 5, 7 lần lợt có d là 3, 4, 5.
Bài số 2.
Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia nó cho 7, 5, 3, 11 thì đợc d tơng
ứng là 3, 2, 1, 9.
V- một số bài toán cực trị khác .
Ví dụ 14.

Tìm GTLN, GTNN của tích xy biết x và y là các số nguyên dơng thoả mãn :
x+y = 2005 .
Giải :
Sinh viên : Nguyễn

Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin. K48

12


Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS
Ta có 4xy = (x+y)2 (x-y)2 = 20052 (x-y)2 .
Giả sử x > y ( không thể có x = y) . Ta có : xy lớn nhất x-y nhỏ nhất ; xy nhỏ
nhất x-y lớn nhất .
Do 1 y < x 2004 nên 1 x y 2003 . Ta có min(x-y) = 1 x = 1003 ; y=1002 .
max (x-y) = 2003 x = 2004; y=1 .
Do đó : max(xy) = 1005006 x=1003; y =1002 .
min(xy) = 2004 x=2004 ; y= 1 .
Ví dụ 15.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2+4y biết rằng x,y là các số tự nhiên
và A không phải là số chính phơng .
Giải :
Vì A không chính phơng nên A >1 .
* Xét A = 2 ta có 2 = x 2+4y nên x chẵn. Khi đó vế phải chia hết cho 4, vế trái
không chia hết cho 4 nên loại .
* Xét A=3 ta có : 3 = x 2+4y nên x lẻ. Khi đó vế phải chia 4 d 1, vế trái chia 4 d 3
nên loại .
* Xét A = 5 ta có : 5 = x2 + 4y , tồn tại x, y thoả mãn đẳng thức trên nh x= 3 ,
y=-1 .
Vậy GTNN của A là 5 .

Ví dụ 16.
Cho dãy (1) gồm 50 số hạng : 20 +12; 20 + 22 ; 20 + 32 ;....; 20 +492; 20 + 502.
Xét dãy (2) gồm 49 số là ƯCLN của mỗi số hạng của dãy (1) , không kể số
hạng cuối cùng với số hạng đứng liền sau nó trong dãy ấy. Tìm số lớn nhất trong
dãy thứ (2).
Giải :
Ta có : 49 số số hạng đầu của dãy (1) có dạng : 20 + n 2 ( n=1,2,..,49). Gọi d
là số bất kì của dãy (2) , d =ƯCLN(20 + n2, 20 + (n+1)2).
Ta có : (20 + n2 + 2n +1) - (20 + n2) d 2n+1 d 2(20+n2)-n(2n+1) d
40-n d 2(40-n)+(2n+1) d 81 d .
Do đó d 81 . Với d = 81 ta có 40 n 81. Do n {1,2,3,...,49} nên n = 40 .
Vậy số lớn nhất trong dãy (2) là 81, đó là ƯCLN(20 + 402, 20 + 412) .
Ví dụ 17.
Tìm số chính phơng lớn nhất biết rằng nếu xoá hai chữ số tận cùng của nó
( hai chữ số này không cùng bằng 0 ) , thì ta đợc một số chính phơng .
Giải :
Gọi số chính phơng cần tìm là n2 ta có : n2 = 100A +b ( A là số trăm , 1 b 99 ).
Theo đề bài , 100A là số chính phơng nên A là số chính phơng.
Đặt A = a2 ( a N ) . Ta cần tìm GTLN của a.
Ta có : n2 >100a2 n >10a n 10a+1 .
Do b 99 nên 20a +1 99 a 4 .
Ta có : n2 = 100a2 + b 1600 + 99 = 1699 . Kiểm tra lại :
422 = 1764 , 412 = 1681 .
Số chính phơng lớn nhất phải tìm là 1681 = 412 .
Sinh viên : Nguyễn

Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin. K48

13

Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS

Cực trị đại số

Chơng III :

I. Phơng pháp sử dụng tam thức bậc hai
Dạng 1: Biểu thức có dạng tam thức bậc hai
Tổng quát : Cho tam thức bậc hai : P = ax2 + bx + c (a 0)
2
b
b2
2 b

P = a x + x ữ+ c = a x + ữ + c
a
2a
4a


2

b

= ax + ữ + k
2a


b2

k = c 4a ữ



2

b

+ a > 0 : ax + ữ > 0 P k
2a

b
Vậy minP = k , khi x =
2a
2
b

+ a < 0 : ax + ữ < 0 P k
2a

b
Vậy maxP = k, khi x=
2a
2
Ví dụ 1 : Tìm GTNN của A = x 5x + 1
2
2
5
25

5 21
21

Ta có : A = x ữ + 1
= x ữ
2
4
2
4
4

21
5
Vậy minA =
khi x = .
4
2
Ví dụ 2: Tìm GTLN của B = 1 + 6x 3x2
Giải: Ta có
B = 3(x 2 2x) + 1 = 3(x 1)2 + 1 + 3
= 3(x 1)2 + 4 4
Vậy maxB = 4 , tại x = 1.
Dạng 2: Đa thức bậc cao
- Biến đổi đa về dạng đa thức bậc 2 ( đặt ẩn phụ,)
Ví dụ 3 : Tìm GTNN của :
a)
A = x(x 3)(x 4)(x 7)
b)
B = (x + 8)4 + (x + 6)4
Giải:

Ta có : A = (x2 7x)( x2 7x + 12)
Đặt y= x2 7x + 12, khi đó :
Sinh viên : Nguyễn

Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin. K48

14


Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS
A = (y 6)(y + 6) = y2 36 36
x1 = 1
Vậy minA = - 36 x 2 7x + 6 = 0
x2 = 6
4
4
b)
B = (x + 8) + (x + 6)
Đặt y = x + 7 , ta có:
B = (y + 1)4 + (y 1)4 = 2y4 + 12y2 + 2 2
Vậy minB = 2 , tại y = 0 x= - 7
Dạng 3: Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai
- Biến đổi mẫu thức thnàh dạng tam thức bậc hai
- Sử dụng tính chất a b thì

1 1
, với a, b cùng dấu.
a b

Ví dụ 4 : Tìm giá trị nhỏ nhất của

2
A=
6x 5 9x 2
Giải:
2
2
=
Ta có: A = 2
9x 6x + 5 (3x 1)2 + 4
Ta thấy (3x 1)2 0 nên (3x 1)2 + 4 4 . Do đó
1
1
2
2
1


A
2
2
(3x 1) + 4 4
(3x 1) + 4 4
2
1
1
3x 1 = 0 x =
Vậy minA =
2
3
Dạng 4: Phân thức có mẫu là bình phơng của một nhị thức

Ví dụ 5 : Tìm GTNN của :
3x 2 6x + 17
G= 2
x 2x + 5
Giải : Ta có:
3x 2 6x + 17 3(x 2 2x + 5) + 2
2
G= 2
=
=
3
+
x 2x + 5
x 2 2x + 5
x 2 2x + 5
2
7
=3+

2
(x 1) + 4
2
7
Vậy minG =
khi x = 1.
2
Dạng 5 : Các phân thức dạng khác
Ví dụ 6 : Tìm GTLN, GTNN của biểu thức :
3 4x
C= 2

x +1
Giải:
Sinh viên : Nguyễn

Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin. K48

15


Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS
* Tìm GTLN :
x 2 4x + 4 x 2 1 (x 2)2
= 2
1 1
x2 + 1
x +1
Vậy minC = - 1 khi và chỉ khi x = 2.
* Tìm GTNN:
Viết C dới dạng :
4x 2 + 4 4x 2 4x 1
(2x + 1)2
C=
=4 2
4
x2 + 1
x +1
1
Vậy maxC = 4 khi và chỉ khi x =
2
II.Phơng pháp tìm cực trị dựa vào luỹ thừa bậc chẵn.

- Biến đổi hàm số y = f(x) sao cho :
2n
* y = M [ g(x)] , n Z +
yM
Do đó ymax=M khi và chỉ khi g(x) = 0
2k
* y = m + [ h(x)] , k Z +
ym
Do đó ymin= m khi và chỉ khi h(x) = 0
Ví dụ 7 : Tìm GTNN của hàm số:
y = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)
Giải : Ta có:
2
y = (x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x + 4) (x + 5x + 4) + 2
= (x2 + 5x + 4)2 +2(x2 + 5x + 4) + 1 1
= (x2 + 5x + 4 + 1)2 1 = (x2 + 5x + 5) 1
y 1
Ta viết C dới dạng : C =

5 5
2
Ví dụ 8 : Tìm GTLN và GTNN của biểu thức S = x6 + y6 biết x2 + y2 = 1
Giải :
Ta có: x 2 + y 2 = 1 y 2 = 1 x 2
Vậy ymin = - 1 khi x2 + 5x + 5 = 0 x =

2

1 1
1

S = x + (1 x ) = 3 x 2 ữ +

2 4
4

1
1
2
Vậy ymin =
tại x2 =
x=
4
2
2
2
2
2
Mặt khác, x + y = 1 x 1 1 x 1
6

2 3

2

1

S đạt giá trị max x 2 ữ đạt max x = 1 hoặc x = 0
2

2
1 1
S max = 3 ữ + = 1 .
2 4
Sinh viên : Nguyễn

Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin. K48

16


Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS
Ví dụ 9 : Tìm GTNN của biểu thức :
A = 2x2 + 2xy + y2 2x + 2y +1
Giải: Ta có thể viết A dới dạng :
4
A = (x + y + 1)2 + (x 2)2 4
x 2 = 0
x = 2
A min = 4 khi và chỉ khi

x + y + 1 = 0
y = 3
Ví dụ 10 .
Tìm min của C = x x 2006 .
Giải :
Để C tồn tại thì ta phải có : x 2006 (*) .Ta có :
C = x x 2006 = x 2006

1

2

x 2006 +

1 8023
+
4
4

8023 8023

4
4
1
8027
x 2006 = x =
. ( thoả (*)) .
2
4

= ( x 2006 )2 +
Vậy min C =

8023
4



Ví dụ 11.
Tìm min của E = x2 +2y2 2xy 4y + 5 .

Giải :
Tập xác định của E là R2 .Ta có :
E = x2 + 2y2 2xy 4y + 5 = ( x y)2 + (y 2)2 + 1 .
Vì ( x y)2 0 x,y và (y 2)2 0 y nên E 1 x,y .

x y = 0
x = y

x=y=2 .
y

2
=
0
y
=
2



Dấu = xảy ra khi

Vậy minE = 1 khi x=y=2 .
Ví dụ 12.
Tìm min của F = x2 + 2y2 + 3z2 2xy + 2xz 2x 2y 8z + 2012 .
Giải :
Tập xác định của F là R3 .
Ta có : F = ( x- y + z - 1)2 + ( x + z - 2)2 + ( z - 1)2 + 2006 .
Vì :
( x y + z 1)2 0 x,y,z.

( x + z 2)2 0 x,z và ( z 1)2 0 , z nên F 2006 x,y,z.

x y + z 1 = 0
x = 1


y = 1 .
Dấu = xảy ra khi x + z 2 = 0
z 1 = 0
z = 1



Vậy min F = 2006 x=y=z=1 .
Ví dụ 13.
Sinh viên : Nguyễn

Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin. K48

17


Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS
Tìm min của G =
Giải :

2
.
6x 5 9x 2

2
2
2
= 2
=
. Do (3x-1)2 0
2
2
6x 5 9x
9x 6x + 5 (3x 1) + 4
1
1
2
2 1
( 3x-1)2+4 4 x



=
(3x 1)2 + 4 4
(3x 1)2 + 4 4
2
1
G
2
1
1
min G =
3x 1 = 0 x = .
2

3
Ta có : G =

x

Ví dụ 14.

3x 2 8x + 6
Tìm min của H = 2
.
x 2x + 1
Giải :
Tập xác định của H là R\ {1} .

(2x 2 4x + 2) + (x 2 4x + 4)
(x 2)2
=2+
2
Ta có : H =
x 2 2x + 1
(x 1)2
min H = 2 x= 2

Ví dụ 15 .
Tìm max , min của I =
Giải :
* Tìm min I .

3 4x
.

x2 + 1

x 2 4x + 4 x 2 1 (x 2)2
Ta có : I =
= 2
1 1 . Min I = -1
x2 + 1
x +1

x=2 .

* Tìm max I .

4x 2 + 4 4x 2 4x 1
(2x + 1)2
Ta có : I =
=4 2
4 .Max I = 4
x2 + 1
x +1



x=

.
Ví dụ 16.
Tìm min của K = x3 + y3 + xy biết rằng x + y = 1 .
Giải :
Ta có : K = (x + y)(x2 xy + y2) + xy = x2 xy + y2 + xy = x2 + y2 .

Có nhiều cách giải ở đây , ví dụ :

1
2

K = x2 + (1-x)2 = 2(x )2 +
Ví dụ 17 .
Sinh viên : Nguyễn

1 1
1
1
1
. Min K = khi x = y = .
2 2
2
2
2

Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin. K48

18

1
2


Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS
Tìm min của L = x2 + y2 + z2 biết rằng x + y + z = 3 .
Giải: Ta có :

x + y + z = 3 ( x+ y + z)2 9 x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx ) = 9
L + 2(xy + yz + zx ) = 9 (*) .
Ta luôn có : x2 + y2 + z2 xy + yz + zx x,y,z , dấu = khi x=y=z nên từ (*) suy ra:
3L 9 L 3 min L = 3 khi x=y=z = 1 .
C . bài tập tự luyện .
Bài số 1 .
Tìm max ( min ) của mỗi biểu thức sau :
a) A = x2 5x + 1 .
b) B = 1 x2 + 3x .
Bài số 2 .
Tìm min của mỗi biểu thức sau :
a) C = ( x 1)(x 3 )(x2 4x + 5) .
b) D = x2 2xy + 2y2 + 2x 10y + 17 .
Bài số 3 .
Tìm max của biểu thức sau :
E = xy + yz + xz biết x + y + z =12 .
Bài số 4 .
Tìm max ( min ) của mỗi biểu thức sau :

3x 2 6x + 17
a) F =
;
x 2 2x + 5
27 12x
b) G =
;
x2 + 9
8x + 3
c) H =
.

4x 2 + 1

III.Phơng pháp tìm cực trị theo tính chất giá trị tuyệt
đối.
A . Lí thuyết cơ bản .
Ta biết rằng : với A , B là những biểu thức đại số thì :
i) A + B A + B
ii) A B A + B
Dấu bằng xảy ra khi A.B 0 .
B. bài tập áp dụng
Ví dụ 18.
Tìm min của A = x 2 + x + 8 .
Giải :
Ta có : A = x 2 + x + 8 = 2 x + x + 8 2 x + x + 8 = 10 .
Suy ra minA = 10 khi (2-x)(x+8) 0 8 x 2 .
Sinh viên : Nguyễn

Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin. K48

19


Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS
Ví dụ 19.

x + 2(1 + x + 1) x + 2(1 x + 1) .

Tìm max của B =

Giải :

Tập xác định của B là x -1 (*) .
Ta có :
B=

=

2

( x + 1 + 1) ( x + 1 1)2
x +1 +1

x +1 1

x +1 +1 x +1 +1 = 2

Suy ra max B = 2 khi ( ( x + 1 + 1)( x + 1 1) 0 x 0 (thoả mãn *) .
C . Bài tập tự luyện .
Bài số 1 .
Tìm max của biểu thức :
a) C = a + 3 4 a 1 a + 3 + 4 a 1
b) D = x 2 4012x + 2006 2 x 2 + 4014x + 20072
Bài số 2 .
Tìm min của biểu thức :
a) E = x 2 + 64 16x + x 2
b) F =

x 2 4x + 4 + x 2 x +

1
.

4

IV.Phơng pháp tìm cực trị dựa vào tập giá trị hàm.
A.Lí thuyết cơ bản .
Ta đã biết : phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có nghiệm nếu
= b 2 4ac 0 .
Nếu biểu thức A =

f(x)
xác định trên miền D có thể quy về dạng
g(x)

f(A)x2 + g(A)x + k = 0 (1) ( k là một số thực ) thì rõ ràng với mỗi x thuộc tập nguồn
D thoả (1) sẽ cho một ảnh h(A) của tập đích E của A . Vì vậy bằng cách gián tiếp
dựa vào điều kiện có nghiệm của phơng trình (1) ta sẽ xác định đợc tập đích E và
do đó chỉ ra giới hạn miền giá trị của A hay chỉ ra maxA , minA.
Ví dụ 20 : Tìm giá trị max và min của biểu thức
x 2 + 6x + 1
x2 + 1
Giải:
x 2 + 6x + 1
Đặt y =
TXĐ: R ( vì x 2 + 1 0, x )
2
x +1
Gọi y0 là một giá trị của hàm. Phơng trình :
Sinh viên : Nguyễn

Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin. K48

20


Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS
x 2 + 6x + 1
có nghiệm
x2 + 1
y 0 (x 2 + 1) = x 2 + 6x + 1 có nghiệm
(y 0 1)x 2 6x + y 0 1 = 0 có nghiệm
* y 0 = 1 x = 0 : thích hợp.
* y 0 1: , = 9 (y 0 1)2 0 (y 0 1)2 9
y 0 1 3 3 y 0 1 3 2 y 0 4
y0 =

Vậy
Ví dụ 21.

Giải :

y min = 2

y max = 4

x2 x + 1
Tìm max , min của A = 2
.
x + x +1
Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phơng trình sau có nghiệm :
a=

x2 x + 1
x2 + x + 1

(1)

(a 1)x2 + (a + 1)x + (a 1) = 0 ( Do x2 +x +1 > 0 x ) . (2)

* Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0 .
* Nếu a 1 thì để (2) có nghiệm ta cần có :

0 (a + 1)2 4(a 1)2 0
1
(3a 1)(a 3) 0 a 3(a 1) .
3
(a + 1)
a +1
1
=
Với a = hoặc a=3 thì nghiệm (2) là : x =
.
2(a 1) 2(1 a)
3
1
Với a = thì x = 1 , với a=3 thì x = -1 .
3
1
Kết hợp hai trờng hợp trên ta có : min A = x = 1 ; maxA = 3 x=-1 .
3
Ví dụ 22.

x 2 3x + 5
Tìm max , min của B =
.
x2 x

Giải :
Điều kiện để B có nghĩa là x 0;x 1 (*) .
2
x
3x + 5
B nhận giá trị m phơng trình m =
(1) có nghiệm .
x2 x

(1) (m 1)x2 (m 3)x 5 = 0 (2) .
Sinh viên : Nguyễn

Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin. K48

21


Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS
* Nếu m=1 x = 2,5
* Nếu m 1 thì để (2) có nghiệm ta cần có :

0 (m 3)2 + 20(m 1) = m 2 + 14m 11 0
m 7 2 15 hoặc m 7 + 2 15 .
5 15
Với m = 7 2 15 thì x =

;
2

5 + 15
.
2
Kết hợp hai trờng hợp trên và điều kiện (*) ta có :
Với m = 7 + 2 15 thì x =

maxB = 1 khi x = 2,5 ; min B = 7 2 15 khi x=

5 15
.
2

C. Bài tập tự luyện .
Tìm max , min của những biểu thức sau :
2x 2 16x + 41
a) C = 2
;
x 8x + 22
4x 2 6x + 1
b) D =
;
(2x 1)2
x
c) E =
.
(x + 10)2
V.Phơng pháp tìm cực trị sử dụng bất đẳng thức Côsi .

A. Lí thuyết cơ bản .
Cho n số không âm : a1 , a2 , a3 , ..., an thì ta luôn có :
a + a + a 3 + ... + a n n
a1a 2 a 3 ..a n .
- Dạng 1 : 1 2
n
- Dạng 2 : a1 + a 2 + a 3 + .... + a n n n a 1a 2 a 3 ....a n
a + a + a 3 + .. + a n n
) a 1a 2 a 3 ...a n .
- Dạng 3 : ( 1 2
n
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = a3 = ...= an .
Từ đây ta dễ dàng suy ra :
i) Nếu a1 . a2 . a3 . ... an = A không đổi thì a1 + a 2 + a 3 + ... + a n n n A và do đó :
min a1 + a 2 + a 3 + ... + a n = n n A khi a1 = a2 = a3 = ...= an .
ii) Nếu a1 + a2 + a3 + ...+ an = B không đổi thì
B
khi a1 = a2 = a3 = ...= an .
n
B. Bài tập áp dụng .
Ví dụ 23.

n

a1a 2 a 3 ...a n

B
và do đó :
n

max n a1a 2 a 3 ...a n =

Sinh viên : Nguyễn

Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin. K48

22


Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS
Cho a.b.c = 1 . Tìm min của A = (a2 + b2)(b2 + c2)(c2 + a2) .
Giải :
Theo BĐT Cô- si ta có :
a 2 + b 2 2 ab 0
2
2
b + c 2 bc 0 dấu bằng xảy ra khi a = b = c .
2
2
c + a 2 ca 0
2 2 2
Suy ra A = (a2 + b2)(b2 + c2)(c2 +a2) 8 a b c = 8
Vậy min A = 8 a=b=c=1 .
Ví dụ 24 .
a,b,c,d > 0

Cho 1
, tìm max a.b.c.d ?
1
1

1
+
+
+

3
1 + a 1 + b 1 + c 1 + d
Giải :
Từ giả thiết và theo BĐT Cô-si ta có :
bcd
1
1
1
1
b
c
d
33
(1
) + (1
) + (1
)=
+
+
(1 + b)(1 + c)(1 + d)
1+ a
1+ b
1+ c
1+ d 1+ b 1+ c 1+ d

Tơng tự :

1
acd
33
0 ;
1+ b
(1 + c)(1 + d)(1 + a)
1
abd
33
0
1+ c
(1 + b)(1 + d)(1 + a)

1
abc
33
0 .
1+ d
(1 + a)(1 + b)(1 + c)
Nhân vế với vế 4 BĐT trên ta đợc :
1
81
1

abcd
.
(1 + a)(1 + b)(1 + c)(1 + d) (1 + a)(1 + b)(1 + c)(1 + d)
81

1
Vậy max(abcd) =
khi a = c = b = d .
81
Ví dụ 25 .
4
Với a>b 0 , tìm min của B = a +
.
(a b)(b + 1)2
Giải . Ta có :
4
b +1 b +1
4
= (a b) +
+
+
1
B= a+
2
(a b)(b + 1)
2
2
(a b)(b + 1)2
4 4 (a b)

b +1 b +1
4
1 = 4 1 = 3 .
2
2 (a b)(b + 1)2

Sinh viên : Nguyễn

Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin. K48

23


Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS
Vậy minB = 3 khi a = 2; b = 1 .
Ví dụ 26 .
a 3

ab c 2 + bc a 3 + ca b 4
Cho b 4 . Tìm max C =
.
2 2
c 2

Giải . Ta có :
ab
ab (c 2) + 2 abc
ab c 2 =
(c 2)2
=
2
2
2
2 2
bc

bc (a 3) + 3 abc
bc a 3 =
(a 3)3
=
2
2
3
2 3
ca
ca (b 4) + 4 abc
ca b 4 =
(b 4)4
=
2
4
4
2 4
1
1
1
+
+
Từ các BĐT trên suy ra : C
.
2 2 2 3 2 4
c 2 = 2
c = 4
1
1
1

+
+ .
Dấu bằng khi a 3 = 3 a = 6 . Vậy max C =
2 2 2 3 4
b 4 = 4
b = 8


Ví dụ 27 .
a
b
c
+
+
Cho a,b,c là 3 số dơng bất kỳ . Tìm min của D =
b+c c+a a+b
Giải :
a
b
c
) + (1 +
) + (1 +
)
Ta có : D + 3 = (1 +
b+c
c+a
a+b
a+b+c a+b+c a+b+c

=
+
+
b+c
c+a
a+b
1
1
1
2D + 6 = 2(a + b + c)(
+
+
)
b+c c+a a+b
1
1
1
= [ (b + c) + (c + a) + (a + b)]
+
+
9 ( theo Cô-si)
b + c c + a a + b
3
3
2D + 6 9 D
. Vậy min D = khi a = b = c .
2
2
Ví dụ 28 : Cho các số dơng a, b, c thoả mãn a +b +c = 1. Tìm GTLN của :
1 1

1
P = 1 + ữ 1 + ữ 1 + ữ
a
b
c

Giải: Ta có:
1 1 1 1
1
1
1
P =1+ + + + + + +
a b c ab bc ca abc
Sinh viên : Nguyễn

Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin. K48

24


Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS
áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dơng ta có:
1
1
a + b + c 3 3 abc abc 3
33
3
abc

(1)

2

1
1
1
1
2
Mặt khác :
+ + 33
ữ 3
ab bc ca
abc
1 1 1
1
+ + 33
3
a b c
abc
Vậy P 1 + 3 + 32 + 33 = (1 + 3)3 = 64 min P = 64 khi a =b =c =

1
3

Ví dụ 29 : Tìm min của biểu thức :
1
1

G = 1 + ữ 1 + ữ với x, y là các số thực dơng thoả mãn x+ y = 1
x

y

1 x +1 x + x + y
y
=
=2+
Ta có : 1 + =
x
x
x
x
1 y +1 y + x + y
x
1+ =
=
=2+
y
y
y
y
x y
1
1
x
y

G = 1 + ữ 1 + ữ = 2 + ữ 2 + ữ = 4 + 2 + ữ+ 1 4 + 4 + 1 = 9
x
y
y

x

y x
1
Vậy minG = 9 khi
x=y=
2
Ví dụ 30: Tìm GTLN của :
f(x) = (2x 1)(3 5x)
Giải: áp dụng BĐT Côsi ta có :
2
5
f(x) = (2x 1)(3 5x) = 5x ữ(3 5x)
5
2
2

2 1
5
2 1 1 1
. 5x ữ(3 5x) = . . =
5 4
2
5 4 4 40
1
1
Vậy maxf =
tại x= .
40
20

Ví dụ 31: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
a3
b3
trong đó a, b là các số thực dơng thoả mãn ab=1.
A=
+
1+ b 1+ a
Giải: : áp dụng BĐT Côsi và giả thiết a> 0, b > 0 và ab=1 ta có:

Sinh viên : Nguyễn

Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin. K48

25