hình thành kỹ năng giải toán bất phương trình mũ và bất phương trình logarit cho học viên lớp 12 gdtx thông qua các dạng toán cụ thể

MỞ ĐẦU....................................................................................................................................2
1. Lý do chọn đề tài....................................................................................................................2
+ Kết quả thu được như sau: .........................................................................................................9
Câu hỏi 1: Anh (chị) có hiểu nội dung kiến thức phần: Bất phương trình mũ và bất phương
trình logarit không ?.......................................................................................................................9
A. Rất hiểu: 02( 6.5%) ....................................................................................................................9
B. Bình thường: 5(16,2%)...............................................................................................................9
C. Khó hiểu: 24(77,3%)...................................................................................................................9
A. Rất thích: 03(9.7%)....................................................................................................................9
B. Bình thường: 13(41,9%)............................................................................................................9
C. Không thích: 15(48,4%).............................................................................................................9
A. Rất cần: 22(70,9%).....................................................................................................................9
B. Không cần: 02(6,5%).................................................................................................................9
C. Không quan tâm: 7(22,6%)........................................................................................................9
TT...................................................................................................................................................10
Các câu hỏi.....................................................................................................................................10
Số GV..............................................................................................................................................10
được hỏi..........................................................................................................................................10
Số GV

chọn.................................................................................................................................10

Tỉ lệ.................................................................................................................................................10
(%)..................................................................................................................................................10

1


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là môn khoa học có vị trí quan trọng trong trường phổ thông. Nó là công

cụ để học các môn học khác, đặc biệt là những môn khoa học tự nhiên, kỹ thuật và có
nhiều ứng dụng vào thực tiễn.
Qua thực tiễn dạy học toán tác giả thấy HV còn rất lúng túng và khó khăn khi giải
các bài toán. Nhiều em giải bài toán nào thì biết bài toán đó, chưa có kĩ năng vận dụng,
phát huy kiến thức đã học, trong nhiều trường hợp chưa biết phân loại, nhận dạng bài
toán, chưa đưa ra được phương pháp giải với từng dạng cụ thể.
- Một số kiến thức Toán học được HV áp dụng có phần tùy tiện gây những sai lầm
nghiêm trọng trong khi làm bài.
- Trong quá trình giảng dạy, giáo viên chưa gắn những kiến thức cần xây dựng,
củng cố cho HV với các bài toán cụ thể, do vậy khi gặp các bài toán tương tự các em
có rất nhiều khó khăn khi tiếp cận phương pháp giải quyết bài toán.
Hưởng ứng cuộc vận động đổi mới phương pháp dạy học ở tất cả các cấp trong
ngành giáo dục với định hướng: “Dạy học tập trung vào người học”; phương pháp dạy
học cần hướng vào việc tổ chức cho người học học tập trong hoạt động và bằng hoạt
động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo. Định hướng này có thể gọi tắt là học tập
trong hoạt động và bằng hoạt động, hay ngắn gọn hơn là hoạt động hoá người học.
Cụ thể trong môn Toán: Đổi mới phương pháp dạy học Toán theo hướng tích cực
hoá hoạt động học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm hình
thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến
thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học
sinh.
Chủ đề bất phương trình có vị trí quan trọng trong chương trình môn Toán THPT.
Kiến thức và kỹ năng về chủ đề này có mặt xuyên suốt từ đầu cấp đến cuối cấp.
Những kiến thức về bất phương trình còn là chìa khoá để giải quyết nhiều vấn đề
thuộc hầu hết các chủ đề kiến thức về Đại số, Giải tích và Hình học, đặc biệt là Hình
học giải tích. Vì vậy bên cạnh việc giảng dạy các kiến thức lý thuyết về chủ đề bất
phương trình một cách đầy đủ theo quy định của chương trình, việc hình thành kỹ
năng giải bất phương trình mũ và bất phương trình logarit cho học sinh có ý nghĩa

2

quan trọng trong việc nâng cao chất lượng dạy học nhiều nội dung môn Toán ở Trung
tâm GDTX.
Xuất phát từ những lý do trên tôi lựa chọn đề tài
Hình thành kĩ năng giải toán “Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit”
cho học viên lớp 12GDTX thông qua các dạng toán cụ thể.
2. Mục đích nghiên cứu
Xác định các kĩ năng cơ bản và đề xuất các dạng toán cụ thể để hình thành kĩ năng
giải toán bất phương trình mũ và bất phương trình logarit cho HV lớp 12 GDTX.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Nghiên cứu lí thuyết về kĩ năng, kĩ năng giải toán và con đường hình thành kĩ
năng giải toán
- Nghiên cứu nội dung bất phương trình mũ và bất phương trình logarit, điều tra
thực trạng dạy học chủ đề này ở Trung tâm GDTX.
- Đề xuất dạng toán cụ thể nhằm hình thành kĩ năng giải bài toán bất phương trình
mũ và bất phương trình logarit.
- Thử nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi của đề tài.
4. Giả thuyết khoa học:
Nếu chỉ ra được các kĩ năng cơ bản, phân loại từng dạng toán cụ thể và thực hiện
tốt giải pháp đã đề xuất thì có thể giúp HV hình thành được các kĩ năng giải toán bất
phương trình mũ và bất phương trình logarit, góp phần nâng cao chất lượng học toán
cho HV lớp 12 GDTX.
5. Phương pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu lý luận:
+ Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục liên quan đến đề tài.
+ Các tài liệu vể nội dung bất phương trình mũ và bất phương trình logarit.
- Quan sát, điều tra:
+ Quan sát điều tra tình hình thực tiễn giảng dạy nội dung hàm số lũy thừa, hàm số
mũ và hàm số logarit ở Trung tâm GDTX. Dự giờ, tổng kết rút kinh nghiệm việc dạy

học nội dung này.
- Phương pháp thử nghiệm sư phạm:
+ Nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của giải pháp đã đề xuất.

3


PHẦN 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Kĩ năng và kĩ năng giải toán.
1.1.1 Kĩ năng.
Trong tâm lý học, kĩ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành động nào đó
nhằm đạt một mục đích trong những điều kiện nhất định. Nếu tạm thời tách kiến thức
và kĩ năng để xem xét riêng thì kiến thức thuộc phạm vi nhận thức, thuộc khả năng
“ biết ”, còn kĩ năng thuộc phạm vi hành động, thuộc khả năng “ biết làm”.
Theo [1, Tr. 548]: “KN là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn, trong
đó khả năng được hiểu là: Sức đã có (về một mặt nào đó) để thực hiện một việc gì”
KN là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết có được để đạt được
mục đích , KN còn có thể đặc trưng như toàn bộ các thói quen nhất định; KN là khả
năng làm việc có phương pháp ”. G.Polya đã khẳng định rằng: “ Trong Toán học, KN
là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như các phân tích có phê
phán các lời giải và chứng minh nhận được KN trong toán học quan trọng hơn nhiều
những kiến thức thuần túy, so với thông tin trơn ” [3. Tr. 99]
Như vậy ta thấy: có nhiều cách phát biểu khác nhau về KN, do đó khó có thể đi
đến một khái niệm chung về KN. Tuy nhiên trong các cách phát biểu về KN, vẫn có
thể tìm ra những điểm chung, đó là nói đến cách thức, thủ thuật và trình tự thực hiện
các thao tác hành động để đạt được mục đích đã định. Khi nói đến khả năng là nói đến
triển vọng và kết quả khi hành động sẽ diễn ra. Khi nói đến KN là nói đến sự nắm
vững cách thức thực hiện các thao tác, trình tự thực hiện các thao tác. Vậy ta có thể
hiểu về KN như sau:
KN là khả năng biết vận dụng những kiến thức, kinh nghiệm đã có một cách hợp

lý, phù hợp với điều kiện thực tiễn cho phép để thực hiện có kết quả một hành động
hay một hoạt động nào đó. Nói đến KN là nói đến cách thức, thủ thuật và trình tự
thực hiện các thao tác hành động để đạt được mục đích đã định. KN được hình thành
và phát triển dựa trên kiến thức, nó tiếp tục giúp củng cố kiến thức và có thể phát triển
thành kĩ năng mới phù hợp với sự phát triển trí tuệ và rộng hơn là phù hợp với yêu
cầu của cuộc sống. KN chính là kiến thức trong hành động, nó hình thành và phát
triển trong hoạt động và bằng hoạt động.

4


1.1.2. Kĩ năng giải toán.
KN giải toán là khả năng vận dụng các kiến thức Toán học để giải các bài tập Toán
học(tìm tòi, suy đoán, suy luận, chứng minh...).
KN giải toán dựa trên cơ sở của tri thức toán học bao gồm: kiến thức, kĩ năng,
phương pháp. HV sau khi nắm vững lý thuyết, trong quá trình luyện tập, củng cố, đào
sâu kiến thức thì kĩ năng được hình thành, phát triển, đồng thời nó cũng góp phần củng
cố, cụ thể hóa tri thức Toán học.
Kĩ năng toán học được hình thành và phát triển thông qua việc thực hiện các hoạt
động toán học và các hoạt động học tập trong môn Toán. Kĩ năng có thể được rút
ngắn, bổ sung, thay đổi trong quá trình hoạt động.
Sự trừu tượng hóa trong Toán học diễn ra trên nhiều cấp độ, cần rèn luyện cho HV
nhừng kĩ năng trên những bình diện khác nhau:
+ Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán: Là sự thể hiện mức độ
thông hiểu tri thức Toán học. Một người hiểu những tri thức Toán học sẽ vận dụng
được để làm toán.
+ Kĩ năng vận dụng tri thức toán học vào các môn học khác : Kĩ năng trên bình
diện này thể hiện vai trò công cụ của Toán học đối với những môn học khác, điều này
thể hiện tính liên môn giữa các môn học trong nhà trường, đòi hỏi người GV dạy Toán
cần có quan điểm tích hợp trong việc dạy học bộ môn.

+ Kĩ năng vận dụng Toán học vào đời sống: Đây là mục tiêu quan trọng của môn
Toán, nó cho HV thấy rõ mối liên hệ giữa Toán học và đời sống.
1.2. Con đường hình thành kĩ năng giải toán cho HV trung học phổ thông.
" Giải toán là một nghệ thuật được thực hành giống như bơi lội, trượt tuyết hay
chơi đàn vậy. Có thể học được nghệ thuật đó, chỉ cần bắt chước theo những mẫu mực
đúng đắn và thường xuyên thực hành ” - Descartes – Leibnitz
Theo các tác giả V.A.Krutetski, N.D. Levitop, AV. Petropxki, Nguyễn Ngọc
Quang thì việc hình thành một KN nào đó gồm ba bước:
- Nhận thức đầy đủ về mục đích, cách thức và điều kiện hành động.
- Quan sát theo mẫu, làm thử theo mẫu.
- Luyện tập cách thức hành động theo đúng yêu cầu, điều kiện của nó nhằm đạt
được mục đích đề ra.

5


Trong thực tế giảng dạy, khi hình thành KN ở HV, việc phân chia rạch ròi theo các
giai đoạn nói trên là rấ khó. Chẳng hạn khi khai triển hành động giải toán, HV chưa
hẳn đã nắm vững tri thức về hành động đó, mà chính trong quá trình thực hiện hành
động, các em dần dần nắm vững các tri thức cần thiết. Chứng tỏ giữa tri thức và KN là
hai mặt không thể tách rời của hành động học. Lí luận dạy học cũng xác định cách dạy
của GV sẽ ảnh hưởng sâu sắc đến cách học của HV. Như vậy cách học của HV chịu
ảnh hưởng sâu sắc bởi cách dạy của GV. Cũng như các KN khác, KN giải toán cũng
được hình thành qua bắt chước và tập luyện. Để KN giải toán được rèn luyện và vận
dụng trong quá trình nhận thức, trước hết HV phải thấy rõ tác dụng của những KN
thành phần, mối quan hệ giữa chúng trong việc giải quyết một bài toán cũng như qui
trình thực hiện. Một cách tổng quát học là một KN cụ thể đòi hỏi phải thỏa mãn những
nhu cầu sau:
- Giải thích: HV cần phải hiểu vì sao thực hiện KN đó như vậy, cùng với các thông
tin cơ bản khác.

- Làm chi tiết: HV cần phát hiện một cách chính xác cái mà ta trông chờ các em
phải làm và phải làm như thế nào, đây là cách làm chi tiết mà HV thường học tốt nhất
khi được xem giới thiệu như qua trình diễn hoặc nghiên cứu tình huống. Cách đó cung
cấp mô hình thức hành tốt để bắt chước hoặc tiếp thu một cách cụ thể.
- Sử dụng: HV cần sử dụng, thực hành KN đó.
- Kiểm tra và tự hiệu chỉnh: Tất nhiên việc thực hành của HV cần được tự các em
hiệu chỉnh và cũng thường được GV kiểm tra và hiệu chỉnh.
- Ghi nhớ: HV cần có cái hỗ trợ để ghi nhớ, VD: Phiếu ghi, sách, băng ghi âm...
- Ôn lại và sử dụng lại: Là cần thiết để đảm bảo nội dung học tập không bị quên.
- Đánh giá: Việc học phải được kiểm tra trong điều kiện thực tế nếu muốn để cả
người học và người dạy yên tâm về nội dung học.
- Thắc mắc: Người học luôn đòi hỏi có cơ hội để thắc mắc, nêu câu hỏi.
Dù ta đang học một KN thực hành cụ thể hay một KN trí tuệ (kể cả một KN ngôn
ngữ) thì gần như phải trải qua những thành phần trên, nếu muốn việc học thành công.
VD: Khi dạy học hình thành KN giải phương trình mũ, phương trình logarit thì các
thành phần kể trên có thể hiểu như sau:

6


- Giải thích: KN này được thực hiện dựa trên các kiến thức về hàm số mũ, logarít,
các kiến thức về phương trình đại số thông thường.
- Làm chi tiết: HV cần phải tìm ra dạng của phương trình rồi mới có được phương
pháp giải thích hợp.
- Sử dụng: HV cần đọc dạng phương trình, sử dụng KN biến đổi toán học (mũ hóa,
logarít, đặt ẩn phụ) để giải phương trình .
- Kiểm tra và tự hiệu chỉnh: HV phải tự biết kiểm tra đánh giá trong quá trình biến
đổi phương trình và trình bày lời giải .
- Ghi nhớ: Để hỗ trợ ghi nhớ phải dùng phiếu học tập, vở ghi, dụng cụ học tập.
- Ôn lại và sử dụng lại: Quá trình hình thành KN giải phương trình mũ, logarít trên

đã giúp HV ôn lại các KN cũ, hình thành KN mới, củng cố, khắc sâu kiến thức.
- Đánh giá: Kết quả đúng sai giúp HV đánh giá việc học.
- Thắc mắc: HV có thể thắc mắc khi chưa hiểu tường minh các bước thực hiện giải.
Khi dạy các KN, điều quan trọng là không dạy quá nhiều cùng một lúc. Sẽ tốt nhất
nếu mỗi bài tập phức tạp được chia thành một chuỗi các bước đi, các bước đó được
học một cách tách biệt nhau. Rồi mỗi bước đó được thực hành chậm rãi, chính xác cho
đến khi nào đạt được tốc độ cần thiết, sau đó các bước đi có thể xâu chuỗi lại để làm
nên bài tập phức tạp.
Để học được một KN, HV cần biết phải có khả năng làm gì và làm như thế nào cho
tốt, làm thế nào sẽ tốt nhất; các em phải biết tại sao cách làm này chưa hiệu quả, cách
làm kia sẽ tốt nhất. Các em phải có cơ hội thực hành (sử dụng), được kiểm tra và hiệu
chỉnh việc thực hành đó. Thực tế, bộ nhớ có thể xảy ra hiện tượng quên, do đó người
học cần có phương tiện để ghi nhớ và cơ hội ôn lại nội dung đã học, sử dụng lại khi
cần. Tất nhiên việc học của các em cần được đành giá và các em cần được nêu câu hỏi,
nêu những thắc mắc.
1.3. Thực trạng dạy và học nội dung “bất phương trình mũ và bất phương trình
logarit” ở Trung tâm GDTX.
- Về tài liệu hướng dẫn dạy học:
+ SGK, SGV rất ít đề cập đến PPDH nội dung này.
+ Tài liệu bồi dưỡng GV đã có nhưng chưa đủ, việc vận dụng cụ thể của nhiều
GV còn có những hạn chế nhất định.

7


- Thực tế dạy và học ở Trung tâm GDTX cho thấy quá trình tiếp thu kiến thức và
vận dụng kiến thức còn gặp khó khăn như:
+ HV chưa nắm vững được khái niệm
+ Khi sử dụng các hệ thức còn ít chú ý đến điều kiện liên quan
+ Không có phương pháp chung hay một thuật toán tổng quát để làm.

+ Chưa có những kĩ năng biến đổi như biến đổi tương đương, biến đổi hệ quả.
+ Chưa biết sử dụng các phương pháp đặc biệt hóa, khái quát hóa...
- Một số khó khăn và sai lầm của HV khi giải toán nội dung bất phương trình mũ
và bất phương trình logarit.
Khi giải bài toán, HV thường mắc phải nhiều sai lầm khác nhau và nguyên nhân
dẫn đến những sai lầm cũng khác nhau. HV sẽ học kém đi nếu GV không chú ý giúp
HV nhận ra được sai lầm (nếu có) sau mỗi bài tập, mỗi bài kiểm tra; cần phân tích
được những nguyên nhân chính dẫn đến các sai lầm đó. “Con người phải biết học ở
những sai lầm và những thiếu sót của mình” - G.Polya
Người GV khi giảng dạy cần coi trọng việc tổ chức cho HV phát hiện và sửa chữa
những sai lầm trong lời giải bài toán.
Sau đây tác giả xin nêu một số những khó khăn và sai lầm của HV trong việc giải
toán bất phương trình mũ và bất phương trình logarit.
+ Tìm sai TXĐ của hàm số mũ và logarit: Bài toán tìm TXĐ của hàm số là
bài toán cơ bản trong nội dung này, HV thường hay gặp khó khăn và mắc sai lầm
trong quá trình tìm TXĐ của hàm số. Nguyên nhân là HV chưa nắm chắc các bước
biến đổi toán học cũng như khả năng kết hợp các điều kiện một cách triệt để và chính
xác.
+ Kết luận sai giá trị cần tìm của tham số khi gặp các phương trình hoặc
bất phương trình mũ và bất phương trình logarit có chứa tham số.
+ Diễn đạt sai yêu cầu của bài toán mới.
VD: Với bài toán tìm m để bất phương trình:

m.9 x + (m + 1).3x + 2m − 3 ≥ 0 ∀x > 0
Sau khi đặt t = 3x (t > 0) , có HV phát biểu:
Yêu cầu của bài toán trở thành tìm m để bất phương trình:

8

m≥

3−t
= f ( t ) có nghiệm t > 1 .
t +t +2
2

Sai lầm của HV do không phân biệt được khái niệm “có nghiệm” và khái niệm “đúng
với mọi”.
+ Việc giảng dạy trong thực tế nội dung này còn tùy thuộc vào mỗi GV, một số
GV chỉ dành nhiều thời gian vào những tiết dự giờ thao giảng, chú trọng đến việc
chấm điểm, chưa khuyến khích HV chủ động, sáng tạo trong học tập.
Phương tiện, thiết bị dạy học còn quá nghèo nàn, ... Do đó cũng không thuận lợi
cho việc áp dụng PPDH mới , nên cũng ảnh hưởng đến thái độ học tập, HV thụ động,
tính tự giác không cao,...
Để đánh giá chính xác thực trạng dạy - học nội dung này, tác giả đã phát phiếu
thăm dò đối với GV và HV ở Trung tâm GDTX tinh Bắc Kạn:
- Câu hỏi phỏng vấn đối với HV lớp 12 học chương trình toán ban cơ bản:
Câu hỏi 1: Em có hiểu nội dung kiến thức phần: Bất phương trình mũ và bất phương
trình logarit không ?
Câu hỏi 2: Em có thích giải các bài tập nội dung này không?
Câu hỏi 3: Có cần thiết phải điều chỉnh cách học và dạy nội dung trên để các em có
thể giải tốt các bài tập trong phần này không?
- Đối với 31 HV ở lớp 12 Trung tâm GDTX tỉnh Bắc Kạn.
+ Kết quả thu được như sau:
Câu hỏi 1: Anh (chị) có hiểu nội dung kiến thức phần: Bất phương trình mũ và bất
phương trình logarit không ?
A. Rất hiểu: 02( 6.5%)

B. Bình thường: 5(16,2%)

C. Khó hiểu: 24(77,3%)

Câu hỏi 2: Anh (chị) có thích giải các bài tập nội dung này không?
A. Rất thích: 03(9.7%)

B. Bình thường: 13(41,9%)

C. Không thích: 15(48,4%)

Câu hỏi 3: Có cần thiết phải điều chỉnh cách học và dạy nội dung trên để các em có
thể giải tốt các bài tập trong phần này không?
A. Rất cần: 22(70,9%)
- Đối với giáo viên

B. Không cần: 02(6,5%)

+ Kết quả thu được như sau:

9

C. Không quan tâm: 7(22,6%)


Bảng 1. Tổng hợp kết quả điều tra GV ở một số trung tâm GDTX và Trường THPT
thuộc tỉnh Bắc Kạn về thực trạng giảng dạy nội dung bất phương trình mũ và bất
phương trình logarit.
TT
1

2

3
4

Các câu hỏi
Nội dung bất phương trình mũ và bất phương trinh
logarit là nội dung dễ dạy?
Trong thực tế giảng dạy thầy cô có thường xuyên suy
nghĩ và vận dụng những biện pháp giúp học sinh hình
thành kĩ năng giải bài tập nội dung này không?
HV yêu thích và ít gặp khó khăn khi giải bài tập nội
dung bất phương trình mũ và bất phương trình logarit?
Cần biên soạn tài liệu hướng dẫn cho GV giảng dạy nội
dung trên tại tỉnh Bắc Kạn.

Số GV

Số GV

Tỉ lệ

được hỏi

chọn

(%)

7

1

14,3%

7

2

28,6%

7

1

14,3%

7

6

85,7%

- Kết quả điều tra đã phản ánh sát thực những đánh giá và nhận xét đã trình bày ở trên,
phù hợp với những thuận lợi và khó khăn của GV và HV.

10


PHẦN 2. BIỆN PHÁP THỰC HIỆN
2.1. Biện pháp thực hiện

Phần 2 của đề tài tác giả đề xuất dạng toán cụ thể giúp HV hình thành KN giải toán
bất phương trình mũ và bất phương trình logarit cho HV lớp 12 GDTX.
Các dạng toán được đề xuất dựa trên nguyên tắc: Bám sát chương trình SGK Toán
lớp 12 (cơ bản); kiến thức phù hợp với đối tượng HV mà đề tài hướng tới. Các dạng
toán phải có tính khả thi khi đề tài được áp dụng trong thực tế giảng dạy.
Mỗi dạng toán cụ thể tác giả đề xuất đều có cấu trúc chung như sau:
1. Xác định các kiến thức cơ bản cho từng dạng toán.
2. Xác định kĩ năng cơ bản của từng dạng toán.
3. Phương pháp chung để giải từng dạng toán đó.
4. Đưa ra các bài tập vận dụng.
5. Cung cấp thêm một số bài tập để giáo viên rèn luyện cho HV.
2.1.1. Hình thành kĩ năng giải bất phương trình mũ và bất phương trình logarit.
2.1.1.1. Kiến thức cơ bản.
- Điều kiện xác định của hàm số mũ, hàm số logarit.
- Tính đơn điệu của hàm số mũ, hàm số logarit.
- Các tính chất của hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit.
- Kiến thức giải bất phương trình đại số thông thường.
2.1.1.2. Kĩ năng cơ bản.
- Kĩ năng tìm TXĐ của hàm số.
- Kĩ năng khảo sát sự đồng biến, nghịch biến của hàm số mũ, hàm số logarit.
- Kĩ năng biến đổi các biểu thức có chứa hàm số mũ, hàm số logarit.
- Kĩ năng giải bất phương trình bậc nhất, bậc hai,...
* Chú ý: Bài toán bất phương trình là bài toán tương đối khó, trong quá trình giảng
dạy, người GV có thể chia bài toán thành các dạng bài toán để HV dễ tiếp thu và có
thể nhận ra dạng và cách giải.
Khi giải một BPT ta cố gắng biến đổi nó về một BPT tương đương mà các biểu
thức mũ hay logarit cùng cơ số, sau đó lấy mũ hoá hoặc logarit hoá các vế để khử

11

biểu thức mũ hoặc logarit chứa ẩn số. đối với BPT logarit cần chú ý đặt điều kiện để
biểu thức có nghĩa.
2.1.2. Dạng 1: Sử dụng phép biến đổi tương đương:
2.1.2.1.Phương pháp chung:
1) Đối với BPT mũ ta sử dụng các phép biến đổi tương đương sau:

f(x)
g(x)
+ Dạng 1: a < a

a > 1

a > 0
 f ( x ) < g( x )
⇔
hoÆc 
 0 < a < 1
(a-1)[f ( x ) − g( x )] < 0

  f ( x ) > g( x )

f(x)
g(x)
+ Dạng 2: a ≤ a

 a > 1

  f ( x ) ≤ g( x )
a > 0

⇔ a = 1
hoÆc 

(a-1)[f ( x ) − g( x )] ≤ 0
 0 < a < 1
  f ( x ) ≥ g( x )


2) Đối với bất phương trình logarit :
a > 1
0 < a ≠ 1

 f ( x) > 0
 0 < f ( x ) < g( x )


⇔
+ Dạng 1: loga f(x) < loga g(x) ⇔ 
0 < a < 1
 g( x ) > 0

(a -1)[f ( x ) − g( x )] < 0
  f ( x ) > g( x ) > 0
 a > 1

b
 0 < f (x) < a
log
f
(

x
)
<
b
⇔
+ Dạng 2:
a
 0 < a <1
 
  f ( x ) > a b
 a > 1

b
  f (x) > a
+ Dạng 3: loga f ( x ) > b ⇔ 
0 < a <1
 
 0 < f ( x ) < a b

*)Chú ý: Cần lưu ý tới giá trị của cơ số a đối với các BPT mũ và logarit.
2.1.2.2. Bài tập vận dụng.
2

Bài 1: Giải bất phương trình sau: log x (3x - 1) > log x (x + 1) (1)
Bài giải:

12


 x > 1

 x > 1
 x > 1
 2


 x + 3 x + 2 < 0
2
 1< x <2
3x
1
>
x
+
1
1< x <2

(1) ⇔ 
⇔  0 < x < 1
⇔  0 < x < 1
⇔


0 < x <1
1/3 < x < 1
 

x
>
1/
3

3x
1
>
0



 0 < 3x - 1 < x 2 + 1   2
 x > 2 ∨ x < 1
 
 x − 3 x + 2 > 0

1
3

Vậy nghiệm của BPT là x ∈ ( ; 2) \ { 1}
+ Cũng có thể có cách trình bày khác như sau:

0 < x ≠ 1
0 < x ≠ 1
3x - 1 > 0
x ≠ 1


(1) ⇔  2
⇔  x > 1/ 3
⇔
1/ 3 < x < 2
x + 1 > 0
(x - 1)( x 2 + 3x + 2) > 0


(x - 1)(3x - 1 - x 2 - 1) > 0

1
Vậy nghiệm của BPT là x ∈ ( ; 2) \ { 1} .
3

*) Chú ý: Giải bài toán BPT bằng PP biến đổi tương đương đòi hỏi học sinh phải có
sự cẩn thận và tỉ mỉ cao, bài toán luôn yêu cầu sự chính xác, đầy đủ các điều kiện sao
cho các bước biến đổi là tương đương. Dạng bài tập này có thể rèn luyện cho HV khả
năng giải nhiều bài toán khác, đó là bài toán tìm TXĐ của hàm số, bài toán về sự biến
thiên của hàm số, bài toán giải hệ PT, BPT...
Bài 2: Giải BPT: log x (5 x 2 − 8 x + 3) > 2 (1).
Bài giải:
 x > 1
 x > 1
 2
3

 2
 4 x − 8 x + 3 > 0
x>
2

5
x
−
8
x
+

3
>
x

2
⇔  0 < x < 1
⇔
(1) ⇔ 

0 < x <1
1 < x < 3
 2
 

5
x
−
8
x
+
3
>
0

 2
5
 0 < 5 x 2 − 8 x + 3 < x 2
 2
4
x

−
8
x
+
3
<
0
 
1 3
2 5

3
2

Vậy BPT có nghiệm: x ∈ ( ; ) ∪ ( ; +∞) .
*) Chú ý: Ở bài tập 2, nhiều HV mắc phải sai lầm cơ bản, HV thường không chú ý
đến điều kiện của cơ số a nên đã vận dụng sai tính chất đơn điệu của hàm số logarit,
nhiều em giải bài tập đó như sau:

13


3

x
<
Điều kiện: 5 x − 8 x + 3 > 0 ⇔  5
x > 1
2

Khi đó:
1

x<

2
log x (5 x 2 − 8 x + 3) > 2 ⇔ 5 x 2 − 8 x + 3 > x 2 ⇔ 4 x 2 − 8 x + 3 > 0 ⇔ 
x > 3

2
1
2

3
2

Vậy BPT có nghiệm: (−∞; ) ∪ ( ; +∞) .
GV cần lưu ý cho HV sai lầm cơ bản này, lưu ý với các em rằng:

Bản chất: log a f ( x )

  a > 1

b
  f ( x ) > a
>b⇔ 
 0 < a < 1
 0 < f < a b
( x)


log a f ( x )

  a > 1

b
 < 0 f ( x ) < a
 0 < a < 1
  f > a b
 ( x)

2.1.2.3. Bài tập tham khảo:
Bài tập 1: Giải các bất phương trình sau:
a) 3x

2

+ 2x - 15

>0

c) 7x - 2 x + 2 ≤ 5.7x -2x - 1

2

+ 2x - 24

<1

d) 3

b) 5x

x +3

+3

2) x

Bài tập 2: Cho bất phương trình: ( 3 -

2

x

+1

> 84
> ( 3 - 2)3x - 1

Bài tập 3: Giải các bất phương trình sau:
2
a) log 2 x ( x − 5 x + 6) < 1

c)

lg(35 − x 3 )
>3
lg(5 − x )

b)

log 1 x + l og 4 x ≥ 1
5

2
d) x log x 27. l og 9x > x + 4

2.1.3. Dạng 2: Phương pháp logarit hóa và đưa về cùng cơ số
2.1.3.1.Phương pháp chung:

14


1) Đối với phương trình mũ để chuyến ẩn số khỏi số mũ lũy thừa ta có thể logarit
theo cùng một cơ số cả hai vế của bất phương trình:

+ Dạng 1: a f ( x )

 a > 1

  f ( x ) < log a b
< b (với b > 0 ) ⇔ 
0 < a < 1

  f ( x ) > log a b

+ Dạng 2: a f ( x )

 b ≤ 0

  f ( x ) c ã nghÜa
 b > 0

f(x)
< b (với b > 0 ) a > b ⇔     a > 1

    f ( x ) > log a b
  0 < a < 1

    f ( x ) < log a b


+ Dạng 3: a f ( x ) > b g ( x ) ⇔ lg a f ( x ) > lg b g ( x ) ⇔ f ( x ). lg a > g( x ). lg b
Hoặc có thể sử dụng logarit theo cơ số a hoặc b
2. Với BPT logarit ta sử dụng các phép biến đổi logarit đã biết.
2.1.3.2. Bài tập vận dụng.
Bài 1: Giải bất phương trình sau: 2 x > 5x
Bài giải:
+ Cách 1: Sử dụng phép biến đổi tương đương
x

5x
5
2 > 5 ⇔ x <1⇔  ÷ <1⇔ x < 0
2
2
x

x

+ Cách 2: lấy logarit cơ số 2 hai vế ta có

log2 2 x > log2 5 x ⇔ x > x log 2 5 ⇔ x(log 2 5 − 1) < 0 ⇔ x < 0
Vậy nghiệm của BPT là: x < 0
Bài 2: Giải bất phương trình sau: l og 2 x > log 3x
Bài giải:
Điều kiện: x > 0. Biến đổi BPT về dạng
log3 2<1

l og 2 x > log 3 2.log 2x ⇔ (1 − log 3 2) l og 2x > 0 ⇔ l og 2x<0 ⇔ x < 1
Vậy BPT có nghiệm là: x ∈ ( −∞;1).

15


Bài 3: Giải bất phương trình sau: 9 x + 9 x +1 + 9 x + 2 < 4 x + 4 x +1 + 4 x + 2 (1)
Bài giải:
x

9 x 21
21
 9  21
(1) ⇔ 9 (1+9 +9 ) < 4 (1+4 +4 ) ⇔ x <
⇔ ÷ <
⇔ x < log 9
4
91
91

91
4
4
x

1

2

x

1

2

Vậy nghiệm của BPT là: x < log 9
4

21
91

*) Chú ý: Trong quá trình giải bài tập, GV cần lưu ý HV chú ý đến sự biến thiên của
hàm số, bởi nó quyết định đến kết quả của bài toán. Các em thường nhầm tưởng với
bài toán giải PT đơn thuần đã biết, trong quá trình biến đổi HV không chú ý đến sự
biến thiên của hàm số dẫn đến sai lầm.
2.1.2.4. Bài tập tham khảo:
Bài tập 1: Giải các bất phương trình sau:
a) 3

x2 −4 x

<

5
3

2 x.3x −1.5x −2 > 12

b)

Bài tập 2: Giải các bất phương trình sau
a) 7.3 x +1 + 5 x + 3 ≤ 3x + 4 + 5 x + 2

b) 6 2 x + 3 < 2 x + 7.33 x −1

Bài tập 3: Giải các bất phương trình sau
a) l og3x > log 5x

l oga (35 - x3 )
>3
b)
l oga (5 - x)

2.1.4. Dạng 3: Sử dụng Phương pháp đặt ẩn phụ
Đây là cách chủ yếu khi giải BPT mũ, logarit, có rất nhiều bài tập được giải bằng
phương pháp này, Mục đích của PP này là chuyển các bài toán đã cho về BPT đại số
quen thuộc đặc biệt là BPT bậc hai hoặc các hệ BPT, PP này có thể theo các bước như
sau:
2.1.4.1. Phương pháp chung.
ϕ(x)

+ Bước 1: f (a

) > 0 hoÆc f(log aϕ (x)) > 0 . Đặt

t = aϕ ( x ) hoÆc t= log aϕ(x)
tìm TXĐ của t khi x biến thiên trên tập xác định của BPT
+ Bước 2: Giải BPT theo ẩn t

16


+ Bước 3: Từ giá trị của t kết hợp với TXĐ của x đưa ra kết luận nghiệm
2.1.4.2. Bài tập vận dụng.
Bài 1: Giải bất phương trình sau: 4 x − 4.2 x + 3 < 0 (1)
Bài giải:
Đặt t = 2x , t > 0

(1) ⇔ t 2 − 4t + 3 < 0 ⇔ 1 < t < 3 ⇔ 1 < 2 x < 3 ⇔ 0 < x < log 2 3
Vậy nghiệm của bất phương trình là: 0 < x < log 2 3
3
 32 
4
2  x 
2
log
x
log
Bài 2: Giải bất phương trình sau:
÷+ 9 log 2  2 ÷ < 4 log 1 x (2)

2
1 
8 
x 
2 
2

Bài giải:
Điều kiện: x > 0

 x3 
 32 
log 24 x - log 22-1  ÷+ 9 log 2  2 ÷ < 4 log 22−1 x
x 
 8 

⇔ log24 x - [log2 x 3 - log2 8]2 + 9[log 2 32 - log 2 x 2 ] < 4log 22 x
⇔ log24 x-[log2 x 3 - 3]2 + 9[5 - 2log 2 x ] < 4log 22 x
Đặt t = log 2 x ; t > 0 ta được:

t 4 - (3t - 3)2 + 9(5 - 2t) < 4t 2 ⇔ t 4 -13t 2 + 36 < 0 ⇔ 4 < t 2 < 9
1
1
 −3 < l og2 x < -2
 −3 < t < −2

⇔
⇔
⇔ 8

4

2 < t < 3
 2 < l og2 x < 3
4 < x < 8

1 1
) ∪ (4; 8)
8 4

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: x ∈ ( ;
2.1.4.3. Bài tập tham khảo:
Bài tập 1:Giải bất phương trình sau:
a) 52x + 1 > 5x + 4

c) 5x - 3x+1 > 2(5x - 1 -3x - 2 )

b) 9x - 2.3x -15 > 0

d) 2 x + 2 - 2 x + 3 -2 x + 4 > 5x + 1 -5x + 2

Bài tập 2: Giải các bất phương trình sau:
a) 4 x - 2 x+1 +4 x

2

≤ 0

2
3

c) log3 x - log2 (8x)log3x + log2 x < 0

17


2
b) 9x - 2(x + 5).3x +9(2x + 1) ≥ 0 d) log2 x - (x + 1)log 2 x + 2x - 2 > 0
x
Bài tập 3: cho bất phương trình: log 2 (2 + 2) + 2m log 2x +2 2 - 3 > 0

a) Giải bất phương trình với m = - 2
b) Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x
2
Bài tập 4: Giải bất phương trình sau: log3 x + (x - 2)log 3 x + 3x -15 ≤ 0

ĐS:

1
≤ x≤3
27

2.1.5. Dạng 4: Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ.
2.1.5.1. Phương pháp chung.
Bài toán này thường có dạng: “ Tìm m để BPT thỏa mãn điều kiện K?”. Với những
bài tập khác nhau ta có những hướng giải khác nhau, nhưng nhìn chung ta có thể thực
hiện theo ba bước:
+ Bước 1(Điều kiện cần): Giả sử điều kiện K được thỏa mãn, từ đó tìm được m.
+ Bước 2(Điều kiện đủ): Thử kết quả m tìm được vào BPT xem điều kiện K có thỏa
mãn không.
+ Bước 3: Kết luận.

2.1.5.2. Bài tập vận dụng.
Bài 1: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm duy nhất:

1
2

x

≥ 1 + m2

(1)

Bài giải:
+ Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm là x = x0 ⇒ − x0 cũng là nghiệm của (1)
Vậy (1) có nghiệm duy nhất khi x0 = − x0 ⇔ x0 = 0 . Thay x0 = 0 vào (1) ta có

1 ≥ 1 + m 2 ⇔ m 2 ≤ 0 ⇔ m = 0 . Đó chính là ĐK cần để BPT có nghiệm duy nhất
+ Điều kiện đủ: Giải sử m = 0 khi đó (1) có dạng

1
2

x

x

≥ 1 ⇔ 2 ≤ 1 ⇔ x ≤ 0 ⇔ x = 0 là nghiệm duy nhất .Vậy với m = 0 BPT có

nghiệm duy nhất
Bài 2: Tìm điều kiện m để bất phương trình:

lg (2 + x )(4 − x ) ≤ lg( x 2 − 2 x + m) (1) nghiệm đúng với mọi x ∈ (−2;4)

18


Bài giải:

(2 + x )(4 − x ) ≤ x 2 − 2 x + m (2)

Bất phương trình tương đương với:

Để (1) nghiệm đúng với mọi x ∈ (−2;4) ⇔ (2) nghiệm đúng với mọi x ∈ ( −2;4)
+ Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm ∀x ∈ (−2;4) ⇒ x = 1 là nghiệm của (1). Khi
đó:

3 ≤ m − 1 ⇔ m ≥ 4 đó là điều kiên cần để BPT nghiệm đúng ∀x ∈ (−2;4)
+ Điều kiện đủ: giả sử m ≥ 4 , áp dụng bất đẳng thức Côsi cho VT của (2) ta được

VT = (2 + x )(4 − x ) ≤

(2 + x ) + (4 − x )
=3
2

Biến đổi VP của (2)về dạng: VP = x 2 − 2 x + m = ( x − 1)2 + m − 1 ≥ 3

⇒ (2 + x )(4 − x ) ≤ x 2 − 2 x + m
Vậy với m ≥ 4 bất phương trình nghiệm đúng ∀x ∈ (−2;4) .
2.1.5.3. Bài tập tham khảo:

Bài tập 1: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm duy nhất:
a) 2 x −1 ≤ 1 + m 2

b) log m2 +1 (2 − x 2 + 1) ≥ (m − 1)2

Bài tập 2: Tìm m để tập nghiệm bất phương trình sau:

2 2 x − m2 x +1 > 1 − 2 x

chứa đoạn [-2; 0].
2.1.6. Dạng 5: Sử dụng phương pháp đánh giá.
2.1.6.1. Phương pháp chung.
Bài toán này đòi hỏi cao về kiến thức cũng như khả năng tư duy của HV, thực tế
bài toán không có một phương pháp nhất định nào để giải. HV cần dựa vào khả năng
tư duy và những kiến thức toán học của mình để giải bài tập.
2.1.6.2. Bài tập vận dụng.
Bài 1: Giải bất phương trình sau: 3x

2

−1

+ ( x 2 − 1)3x +1 ≥ 1

Bài giải:
Xét hai trường hợp

19

(1)

3x −1 < 1
2
2
⇒ 3x −1 + ( x 2 − 1)3x +1 < 1 ⇒ (1) VN
+ x −1 < 0 ⇔ x < 1 ⇒  2
x +1
( x − 1)3 < 0
2

3x −1 ≥ 1
2
x
−
1
≥
0
⇔
x
≥
1
⇒
⇒ 3x −1 + ( x 2 − 1)3x +1 ≥ 1
+
 2
x +1
( x − 1)3 ≥ 0
2

2

⇒ (1) cã nghiÖm x ≥ 1
Vậy bất phương trình có nghiệm x ≥ 1
2
2
Bài 2: Giải bất phương trình sau: log 2 (x +1) + 2log x2 +1 (2x +1) + 4log 2x2 +1 2 ≥ 6

Bài giải:
Điều kiện x ≠ 0
2
2
Ta có: log 2 (x +1); log x2 +1 (2x +1) ; log 2x2 +1 2 > 0

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

VT = log 2 (x 2 +1) + 2log x2 +1 (2x 2 +1) + 4log 2x2 +1 2
≥ 3 3 8log2 (x 2 +1).log x2 +1 (2x 2 +1).log 2x2 +1 2 = 6 = VP
Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ≠ 0
*) Chú ý: Bài tập 2 nếu HV sử dụng cách giải thông thường thì lời giải sẽ phức tạp, ở
đây bài toán đã cho HV thấy được một đường lối giải BPT rất hiệu quả. Trong quá
trình giải BPT, các em cần đọc kĩ đề bài, nhớ lại một số bất đẳng thức cơ bản đã biết,
xem với bài tập này, ta có thể áp dụng được các bất đẳng thức đó hay không.
2.1.6.3. Bài tập tham khảo:
2
Bài tập 1: Giải bất phương trình sau: 4 x +x+1 - 2 x+2 + 1 ≤ 0
Bài tập 2: Giải bất phương trình sau:
2
2
a) log3 (x +2) + log x2 +2 (x +1) + log x2 +1 3 ≥ 3

b) logx + 1 (2x) ≤ 1 - log 2 x
2

2

Bài 3: Giải bất phương trình sau: 2sin x +2 cos x ≤ 2(sinx+cosx)
ĐS: x =

π
+ 2 k, k ∈ ¢
4

20


PHẦN 3. THỬ NGHIỆM SƯ PHẠM
3.1. Mục đích thử nghiệm.
Kiểm tra tính khả thi và tính hiệu quả của các dạng toán đã đề xuất.
3.2. Nội dung thử nghiệm.
Tiến hành dạy một số tiết bài tập bất phương trình mũ và bất phương trình
logarit theo các dạng toán đã đề xuất ở phần 2, kiểm tra đánh giá kết quả.
3.3. Đối tượng thử nghiệm.
Đối tượng thử nghiệm là HV lớp 12 - Trung tâm GDTX tỉnh Bắc Kạn, mức độ
học lực là trung bình và yếu.
3.4. Kiểm tra đánh giá.
Đề
TRUNG TÂM GDTX TỈNH BẮC KẠN
PHÒNG BD&DVH

Câu 1: Cho bất phương trình mũ sau 1,5
a/ x < 0

b/ x > 2

ĐỀ KIỂM TRA (Thời gian 15 phút)

Môn: Toán

2 x +1

3
>
2

3 x −1

hãy chọn phương án đúng.

b/ x < 3

Câu 2: Cho bất phương trình mũ sau 2 x−1 ≤

1
hãy chọn phương án đúng.
2

1
2
Câu 3: Giải bất phương trình logarit sau: log 4 (2 − x) > 2

a/ x ≤ 0

b/ x ≤

b/ x ≥ 0

Đáp án
Câu 1: b ; Câu 2: a
2 − x > 0

Câu 3: log 4 (2 − x) > 2 ⇔ 

2 − x > 4

2

(2đ)

x < 2
⇔
 x < −14

(2đ)

⇔ x < −14

(2đ)

x ≤ 1,5

21

x ≤1


Kết quả kiểm tra:
Điểm

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Khá, giỏi
Trung bình trở lên
Yếu, kém
Điểm trung bình

Lớp thực nghiệm 12 GDTX
Tần số

Tần suất

(n = 31)

0
1
3
3
7
6
4
6
1
0
11
25
7

(%)
0
3.2
9.7
9.2
22.6
19.4
12.9
19,4
3.2
0
35.5
80.6
22.6
5.8

Qua quá trình thực nghiệm và từ kết quả của bài kiểm tra HV cho thấy rằng:
- Sử dụng các dạng toán cụ thể đã xây dựng ở phần 2 của đề tài vào thực tế là
có tính khả thi.
- Khi GV sử dụng các dạng toán này trong quá trình giảng dạy đã phát huy tốt
tính tích cực, chủ động của HV, lôi cuốn HV vào hoạt động học tập tự giác, tích cực
độc lập và sáng tạo, giúp HV hình thành và rèn luyện hiệu quả kĩ năng giải bài toán
bất phương trình mũ và bất phương trình logarit.
- Qua thực nghiệm đã kiểm tra được tính khả thi, hiệu quả của đề tài.

22


KẾT LUẬN
Qua quá trình nghiên cứu, đề tài đã thu được những kết quả chính sau đậy:
1- Làm rõ khái niệm KN, KN giải toán và con đường hình thành KN.
2- Đề tài đã nêu bật vai trò, vị trí, chức năng của hệ thống bài tập cũng như sự
quan trọng của việc hình thành KN giải toán cho HV nói chung và HV lớp 12 GDTX
nói riêng trong quá trình dạy học toán.
3- Đã đề xuất được các dạng bài tập cụ thể theo chủ đề kiến thức, đề tài đã đưa
ra các kiến thức, kĩ năng cơ bản và qui trình giải, cuối cùng là một số ví dụ áp dụng và
các bài tập tương tự để HV có thể tự luyện tập.
4- Kết quả thử nghiệm sư phạm đã chứng tỏ những đề xuất của đề tài là có
tính hiệu quả và khả thi, giả thuyết khoa học của đề tài là chấp nhận được và mục đích
nghiên cứu đã hoàn thành.
Với những kết quả trên, hy vọng những vấn đề đã được trình bày trong đề tài có
thể dùng làm tài liệu tham khảo cho các đồng nghiệp đang giảng dạy toán lớp
12 GDTX, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học toán.

23

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Phan Văn Các (1992), Từ điển Hán – Việt, NXBGD.
[2] Hướng dẫn giáo viên thực hiện chương trình, SGK lớp 12 môn Toán, NXBGD,
2008.
[3] Theo G.Polya,(1976), Sáng tạo Toán học, NXBGD
[4] G.Polya: Giải bài toán như thế nào? NXBGD, 1997.
[5] Trần Bá Hoành: Đổi mới phương pháp dạy học, chương trình và SGK, NXB
ĐHSP, 2006.
[6] Nguyễn Bá Kim: Phương pháp dạy học môn Toán, NXB ĐHSP, 2006.
[7] Bùi Văn Nghị: Vận dụng lý luận dạy học trong dạy học môn Toán ở trường phổ
thông (Bài giảng chuyên đề Cao học Toán - K17) ĐHSP Hà Nội, 2008.
[8] Lê Anh Tuấn: Phát huy tính tích cực của học sinh qua môn Toán ( Bài giảng
chuyên đề giảng dạy CH Toán – K17), ĐHSP Hà nội, 2008.

24