PHÂN PHỐI xác SUẤT và hàm đặc TRƯNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
------------------

LÊ NAM TRUNG

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
VÀ HÀM ĐẶC TRƯNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Hà Nội, 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
1


------------------

LÊ NAM TRUNG

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
VÀ HÀM ĐẶC TRƯNG

Chuyên ngành:
Mã số:

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC
60.46.01.06

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS. TS. PHAN VIẾT THƯ

Hà Nội, 2015
2


Lời cảm ơn
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS. Phan
Viết Thư, người thầy đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo, định hướng nghiên cứu cho
tôi để hoàn thành luận văn này. Qua đây, tôi cũng xin chân thành cám ơn sự
giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán - Cơ - Tin học, Bộ môn Xác
suất thống kê trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội,
những người đã giúp đỡ, giảng dạy và truyền đạt kiến thức cho tác giả trong
suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, do hạn chế về thời gian thực hiện nên luận
văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả kính mong nhận được ý kiến
đóng góp quý báu của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin trân trọng cảm ơn!
Hà Nội,tháng 06 năm 2015
Lê Nam Trung

1


Mục lục
MỞ ĐẦU

4

1 TỔNG QUAN VÀ NHỮNG KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU
1.1 BIẾN NGẪU NHIÊN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Quan hệ giữa phần tử ngẫu nhiên và phân phối xác suất
1.2.2 Phân phối rời rạc và phân phối liên tục . . . . . . . . . .

.
.
.
.

5
6
7
7
11

2 HÀM PHÂN PHỐI
2.1 CẤU TRÚC HÀM PHÂN PHỐI . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM PHÂN PHỐI . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Định nghĩa và tính compact . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Khoảng cách Levy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Hội tụ của dãy tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 ỨNG DỤNG HÀM PHÂN PHỐI VÀO NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN
RỦI RO BẢO HIỂM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Các giả thiết của định lý Cramer - Lundberg. . . . . . . .
2.3.3 Phát biểu định lý Cramer - Lundberg. . . . . . . . . . . . .

2.3.4 Chú ý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14
14
17
17
22
27

3 HÀM ĐẶC TRƯNG
3.1 CÁC HÀM QUAN TRỌNG . .
3.2 HÀM ĐẶC TRƯNG . . . . . . .
3.2.1 Định nghĩa và tính chất .
3.2.2 Tính chính quy, khai triển

40
40
43
43
47

. . .
. . .
. . .
hàm

. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
đặc trưng

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

32
32
36
37
37

4 QUAN HỆ GIỮA HÀM ĐẶC TRƯNG VÀ HÀM PHÂN PHỐI 55
4.1 TÍNH QUY LUẬT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2

4.2

TÍCH CHẬP CÁC HÀM PHÂN PHỐI VÀ PHÉP NHÂN CÁC
HÀM ĐẶC TRƯNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3


MỞ ĐẦU
Hàm phân phối xác suất và hàm đặc trưng là những khái niệm nhất của lý
thuyết xác suất và thống kê toán học. Với sự ra đời của tác phẩm "Những khái
niệm cơ bản của lý thuyết xác suất"(Kolmogorov, 1933) thì những nền móng
vững chắc cho hai khái niệm trên được hình thành. Cho đến nay nhiều kết quả
liên quan đã thu được và một lý thuyết hiện đại về XSTK đã được xây dựng và
phát triển. Ý nghĩa của các khái niệm trên sẽ được trình bày trong phần Tổng
quan của chương I. Luận văn được trình bày gồm 4 chương:
Chương I: Giới thiệu tổng quan và những khái niệm cơ bản về biến ngẫu
nhiên và hàm phân phối, trong đó có đề cập đến một khẳng định quan trọng
của Kolmogorov về phân phối hữu hạn chiều.
Chương II: Trình bày về lý thuyết hàm phân phối; cấu trúc và sự hội tụ,
khoảng cách Levy và ứng dụng nghiên cứu bài toán rủi ro bảo hiểm.
Chương III: Nói về hàm đặc trưng, định nghĩa, tính chất, tính chính quy và
khai triển hàm đặc trưng.
Chương IV: Trình bày mối liên quan giữa hàm phân phối và hàm đặc trưng,
nêu tính quy luật, quan hệ giữa tích chập của hàm phân phối và phép nhân của
hàm đặc trưng.

4

Chương 1
TỔNG QUAN VÀ NHỮNG KHÁI
NIỆM MỞ ĐẦU
Trong chương này trình bày vài nét tổng quan về những vấn đề cần nghiên
cứu và những khái niệm mở đầu cần dùng cho các chương sau.
Khác với thế giới tất định, trong phạm trù ngẫu nhiên người ta làm việc với
các đại lượng lấy những giá trị ngẫu nhiên. Ta không thể coi những giá trị ngẫu
nhiên đó như giá trị của một tham số tất định biến đổi tùy ý được. Đối với một
biến ngẫu nhiên, người ta cần biết cái luật phân phối của nó. Đối với những
biến ngẫu nhiên rời rạc, ta cần biết nó có thể lấy những giá trị nào và nó lấy
mỗi giá trị đó với xác suất bao nhiêu; đối với những biến ngẫu nhiên liên tục, ta
cần biết nó lấy giá trị trong một khoảng nào đó với xác suất bao nhiêu? Những
xác suất đó thể hiện luật phân phối của các biến ngẫu nhiên. Luật phân phối
lại được biểu diễn qua hàm phân phối. Biết hàm phân phối cụ thể của một biến
ngẫu nhiên cụ thể là coi như ta xác định được biến ngẫu nhiên đó.
Ta lại có một cách khác để thể hiện luật phân phối của biến ngẫu nhiên đó
là dựa trên hàm đặc trưng. Biết được hàm đặc trưng, ta biết biến ngẫu nhiên
đó là biến ngẫu nhiên gì. Vậy vấn đề đặt ra là hàm phân phối và hàm đặc trưng
liên quan đến nhau như thế nào? Về mặt toán học, thực ra hàm đặc trưng là
một biến đổi Fourier của hàm phân phối. Ngược lại nếu biết hàm đặc trưng thì
ta tính được hàm phân phối nhờ định lý đảo của biến đổi Fourier. Trong nhiều
bài toán thực tế, sử dụng hàm đặc trưng thì thuận lợi hơn hàm phân phối. Đóng
góp vào việc xây dựng các định lý đảo có các công trình của Levy, Gurland, Gil
- Palaez, Shiely ...
Vậy trong luận văn này sau khi nêu các khái niệm mở đầu chúng tôi sẽ trình
bày 3 vấn đề:

5

1. Hàm phân phối
2. Hàm đặc trưng
3.Quan hệ giữa hàm đặc trưng và hàm phân phối.
Trong đó có trình bày một ứng dụng về nghiên cứu "bài toán rủi ro bảo
hiểm."

1.1

BIẾN NGẪU NHIÊN

Định nghĩa: Cho không gian xác suất (Ω, F, P). Không giảm tính tổng quát ta
có thể giả thiết (Ω, F, P) là không gian xác suất đủ tức là nếu A là biến cố có
xác suất 0 (P(A)=0) thì mọi tập con B ⊂ A cũng là biến cố.
1. Giả sử E là không gian metric, ánh xạ X : Ω −→ E được gọi là một biến
ngẫu nhiên với giá trị trên E nếu với mỗi tập Borel của E ta có X −1 (B) ∈ F .
2. Nếu X là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên E = Rn ta nói X là vectơ ngẫu
nhiên n - chiều.
3. Nếu X là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên tập số thực R ta nói X là biến
ngẫu nhiên.
Mệnh đề 1. a, X : Ω −→ R là đại lượng ngẫu nhiên khi và chỉ khi
X −1 (∞, x) = {ω : X(ω) < x} ∈ F, ∀§ ∈ R
b, X = (X1 , X2 , . . . , Xn ) : Ω −→ Rn là véc tơ ngẫu nhiên khi và chỉ khi mỗi tọa độ
Xk (k = 1, . . . , n) của nó là đại lượng ngẫu nhiên.

Chứng minh. Ta dễ suy ra a,. Để chứng minh b, ta xét phép chiếu πk : Rn −→
R, πk x = xk (tọa độ thứ k của x), πk liên tục nênπk đo được (đối với (B n , B 1 )).
Do đó, nếu X là véc tơ ngẫu nhiên, thì Xk = πk .X là đại lượng ngẫu nhiên.
Ngược lại, giả sử mỗi Xk là đại lượng ngẫu nhiên. Để đơn giản hơn, ta xét

trường hợp n = 2 và chú ý rằng: R2 = R × R, B 2 = B 1 × B 1 (σ - đại số tích). Khi
đó, với B1 , B2 ∈ B 1 ta có:
X −1 (B1 × B2 ) = X1−1 (B1 ) ∩ X2−1 (B2 ) ∈ A

Do đó ta có X −1 (B 2 ) ∈ A tức là X là véc tơ ngẫu nhiên.

6


1.2

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

Định nghĩa: 1. Cho X là biến ngẫu nhiên E - giá trị. Xét hàm tập µX xác định
trên σ - đại số Borel của E theo cách sau:
µX (B) = P (X −1 (B)), ∀B ∈ B.

Dễ kiểm tra được µX là một độ đo xác suất trên E. µX được gọi là phân bố xác
suất trên (E, B) của biến ngẫu nhiên X.
2. Giả sử X = (X1 , . . . , Xn ) là véc tơ ngẫu nhiên n - chiều. Hàm số F (x) =
F (x1 , x2 , . . . , xn ) xác định bởi công thức:
F (x1 , x2 , . . . , xn ) = P (X1 < x1 , X2 < x2 , . . . , Xn < xn )

được gọi là hàm phân bố xác suất của vectơ ngẫu nhiên X

1.2.1

Quan hệ giữa phần tử ngẫu nhiên và phân phối xác suất

Mệnh đề 2. Nếu ν là xác suất trong (E, ) thì tồn tại ít nhất một không gian

xác suất cơ bản (Ω, A, P) và một phần tử ngẫu nhiên E - giá trị X, sao cho ν là
phân phối của nó: PX = ν
Chứng minh. Lấy Ω = E, A = , P = ν và X là ánh xạ đồng nhất từ R lên R:
X(x) = x, ∀x ∈ R.

Khi đó,
PX (B) = P {ω : X(ω) ∈ B} = ν{x : x ∈ B}, ∀B ∈

Mệnh đề 3. Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên, thì hàm phân phối của nó:
FX (x) = P {ω : X(ω) < x}

có các tính chất sau:
1. Không giảm: FX (x1 ) ≤ FX (x2 ) với x1 ≤ x2 .
2. Liên tục bên trái : FX (x) = FX (x − 0).
3. Nhận giá trị 0 tại −∞ và 1 taị +∞:
Ngược lại, nếu cho trước hàm F (x) có ba tính chất trên thì tồn tại ít nhất một
không gian xác suất cơ bản (Ω, A, P) và một đại lượng ngẫu nhiên X sao cho F
là hàm phân phối của nó: FX = F.
7


Chứng minh. 1, Suy ra từ đẳng thức
(−∞, x2 ) = (−∞, x1 ) + [x1 + x2 ).

2, 3, suy ra từ tính liên tục của PX và từ các nhận xét:
1
) = Bn ↑ B = (−∞, x),
n
(−∞, −n) = C−n ↓ ∅, (−∞, n) = Cn ↑ (−∞, +∞)
(−∞, x −

Cuối cùng, giả sử F là hàm số có ba tính chất 1, 2, 3,. Khi đó, độ đo LebesgueStieltjes µF tương ứng là xác suất trên đường thẳng.Từ mệnh đề 2 suy ra điều
phải chứng minh.

Chú ý Phân phối PX chính là độ đo Lebesgue-Stieltjes sinh ra từ hàm phân
phối FX .
Để mở rộng mệnh đề trên cho trường hợp vec tơ ngẫu nhiên, ta phải đưa vào
Rn một quan hệ thứ tự.
Giả sử a = (a1 , . . . , an ), b = (b1 , . . . , bn ). Ta quy ước viết a < b(a ≤ b), nếu
ak < bk (ak ≤ bk ) với ∀k = 1, 2, . . . , n. Rõ ràng, với quan hệ thứ tự đó Rn trở thành
tập được sắp thứ tự một phần.Ta viết a ↑ b nếu ak ↑ bk với mọi ∀k = 1, 2, . . . , n.
Bây giờ ta nhắc lại định nghĩa của sai phân.Giả sử F (x) là hàm một biến số, sai
phân cấp 1 của F là
∆1h F (a) = F (a + h) − F (a), a ∈ R1 , h > 0.

Chính xác hơn ,ta gọi ∆1h là toán tử sai phân cấp 1 với bước h. Tiếp theo, giả sử
F (x) = F (x1 , . . . , xn ) là hàm n biến số. Đặt
∆nh F (a) = ∆1h1 . . . ∆1hn F (a1 , . . . , an ) = F (a1 + h1 , . . . , an + hn )
−

F (a1 + h1 , . . . , aj , . . . , an + hn ) +

− . . . + (−1)n F (a

F (a1 + h1 , . . . , aj , . . . , an + hn )

1 , . . . , an )

và gọi ∆nhh là toán tử sai phân cấp n với bước h = (h1 , . . . , hn ) > 0. Chẳng hạn,
với n=2 ta có:

∆nh F (a) = F (a1 + h1 , a2 + h2 ) − F (a1 , a2 + h2 ) − F (a1 + h1 , a2 ) + F (a1 , a2 ).

Ta nói F (x) là hàm n biến không giảm, nếu
∆nh F (a) ≥ 0, ∀a ∈ Rn , ∀h > 0, h ∈ Rn .

tiếp theo ta nói rằng F (x) liên tục bên trái tại x0 khi và chỉ khi F (x) liên tục
bên trái theo mỗi biến tại x0 .
Bằng những lập luận tương tự như khi chứng minh mệnh đề 3 ta có mệnh
đề sau:
8


Mệnh đề 4. Nếu X = (X1 , . . . , Xn ) là véc tơ ngẫu nhiên n chiều, thì hàm phân
phối của nó F (x) = P {ω : X < x} có các tính chất sau:
1. Không giảm;
2. Liên tục bên trái tại mỗi điểm x ∈ Rn ;
3. F (a) = 0 nếu có một ak nào đó bằng −∞,
F (a) = 1 nếu tất cả ak bằng +∞,
Nói chính xác hơn, F (x1 , . . . , xn ) tiến đến 0 khi ít nhất một trong các biến tiến
đến −∞, và tiến đến 1 khi tất cả các biến tiến đến +∞.
Ngược lại, nếu cho trước hàm F (x) có ba tính chất trên thì tồn tại ít nhất
một không gian xác suất cơ bản (Ω, A, P) và một véc tơ ngẫu nhiên n chiều sao
cho F là hàm phân phối của nó.
Định nghĩa Ta gọi F (x)(F (x)) là hàm phân phối nếu nó có ba tính chất 1, 2, 3,
trong mệnh đề 3, 4. Các mệnh đề 3, 4, chỉ rõ mối quan hệ mật thiết giữa biến
ngẫu nhiên và hàm phân phối.
Trong thực hành, ta không biết giá trị củaX(ω) tại tất cả ω mà chỉ có thể
bằng thực nghiệm tính (gần đúng) hàm phân phối X của nó. Với ý nghĩa đó,
hàm phân phối cho ta lượng tin đầy đủ nhất về đại lượng ngẫu nhiên tương ứng.
Cần chú ý rằng, nếu biết phân phối đồng thời của X1 , . . . , Xn thì cũng biết

tất cả các phân phối một chiều:
FX1 (x1 ) = FX1 ,...,Xn (x1 , +∞, . . . , +∞)
...........................................................
FXn (xn ) = FX1 ,...,Xn (+∞, . . . , +∞, xn )

Tương tự, ta có thể tính tất cả các phân phối hai chiều hoặc với số chiều lớn
hơn, chẳng hạn:
FX1 ,X2 (x1 , x2 ) = FX1 ,...,Xn (x1 , x2 , +∞, . . . , +∞).

Tuy nhiên, nếu chỉ biết tất cả các phân phối một chiều, thì nói chung không
thể xác định được phân phối đồng thời. Điều đó nói lên rằng, trong trường hợp
nhiều chiều, hàm phân phối đồng thời mới cho ta lượng tin đầy đủ về vec tơ
ngẫu nhiên.
Bây giờ, ta xét họ những đại lượng ngẫu nhiên {Xt (ω), t ∈ T } nếu T hữu
hạn, ta có véc tơ ngẫu nhiên. Chúng ta gọi họ những đại lượng ngẫu nhiên
{Xt (ω), t ∈ T } là quá trình ngẫu nhiên. Nếu T = R+ = [0, ∞) thì ta có quá trình
ngẫu nhiên với thời gian liên tục. Nếu T = {0, 1, 2, . . .} thì ta có dãy ngẫu nhiên,
hay quá trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc.
9


Giả sử{Xt (ω), t ∈ T } là quá trình ngẫu nhiên xác định trên không gian xác
suất (Ω, A, P). Hàm:
Ft1 ,...,tn (x1 , . . . , xn ) = P {ω : Xt1 < x1 , . . . , Xtn < xn }, n = 1, 2, . . . , ti ∈ T

được gọi là hàm phân phối hữu hạn chiều, hoặc là hàm phân phối của véc tơ
(Xt1 , . . . , Xtn ).

Hiển nhiên rằng họ hàm phân phối hữu hạn chiều:
{Ft1 ,...,tn (x1 , . . . , xn ) : n ≥ 1, ti ∈ T }

thỏa mãn điều kiện tương thích sau đây:
A, Ft1 ,...,tn (x1 , . . . , xn ) = Fti1 ,...,tin (xi1 , . . . , xin ),
ở đây i1 , . . . , in là hoán vị tùy ý của (1, 2, . . . , n)
B, Ft1 ,...,tn (x1 , . . . , xn ) = Ft1 ,...,tn ,tn+1 ,...,tm (x1 , . . . , xn , +∞, . . . , +∞)
Định lý 1. (Định lý Kolmogorov) Giả sử {Ft1 ,...,tn (x1 , . . . , xn ) : n ≥ 1, ti ∈ T } là
hệ thống các hàm phân phối hữu hạn chiều thỏa mãn các điều kiện 1, 2, 3, và
các điều kiện tương thích A, B. Khi đó, tồn tại không gian xác suất (Ω, A, P) và
họ đại lượng ngẫu nhiên{Xt , t ∈ T } xác định trên không gian này sao cho:
Ft1 ,...,tn (x1 , . . . , xn ) = P {ω : Xt1 < x1 , . . . , Xtn < xn }, n = 1, 2, . . . , ti ∈ T

Ta xét cách xây dựng không gian (Ω, A, P) và họ đại lượng ngẫu nhiên {Xt , t ∈ T }.
Không gian Ω gồm tất cả các hàm ω = ω(t), t ∈ T. Ký hiệu Ω = RT = t∈T Rt
Giả sử Φt1 ,...,tn (ω) là ánh xạ từ Ω vào Rn biến ω vào điểm có tọa độ (ω(t1 ), . . . , ω(tn )).
Đối với tập Borel bất kỳ S ∈ B n , tập:
A = {ω ∈ Ω, (ω(t1 ), . . . , ω(tn )) ∈ S} = Φ−1
t1 ,...,tn (S)

được gọi là tập trụ Borel đáy S.
Hệ thống C các tập, mỗi một trong chúng là tổng hữu hạn các tập trụ không
giao nhau, lập thành đại số. Chúng ta ký hiệu σ - đại số nhỏ nhất chứa C là:
A = σ(C) = B T =

Bt
t∈T

Trên mỗi tập trụ, ta đặt:
P (A) = Pt1 ,...,tn (S)

trong đó Pt1 ,...,tn là độ đo xác suất trên B n được xác định bởi Ft1 ,...,tn Nếu A ∈ C,

nó có dạng A = m
i=1 Ai là các tập trụ, ta đặt:
n

P (A) =

P (Ai )
i=1

10


Độ đo P (A) được xây dựng như trên không phụ thuộc vào cách phân tích tập
A. Nó là độ đo cộng tính hữu hạn, liên tục tại ∅ theo định lý thác triển độ đo,
nó được nới rộng duy nhất thành độ đo xác suât trên A = B T . Như vậy ta đã
xây dựng không gian (Ω, A, P). Quá trình ngẫu nhiên được xây dựng như sau:
Xt (ω) = ω(t), t ∈ T.

Hiển nhiên, họ phân phối hữu hạn chiều của nó trùng với họ hàm phân phối cho
trước:
P {ω : Xt1 < x1 , . . . , Xtn < xn } = P {ω : ω(t1 ) < x1 , . . . , ω(tn ) < xn }
= Pt1 ,...,tn {(−∞), x1 ) × . . . × (−∞, xn )} = Ft1 ,...,tn (x1 , . . . , xn )

1.2.2

Phân phối rời rạc và phân phối liên tục

•

Trường hợp một chiều Ta đã biết thì mỗi hàm phân phối F có thể biểu diễn

duy nhất dưới dạng:
F = c1 F 1 + c2 F 2 + c3 F 3 ,

trong đó, F1 là hàm phân phối bước nhảy (còn gọi là phân phối rời rạc), F2 là
hàm phân phối kỳ dị, F3 là hàm phân phối tuyệt đối liên tục (đối với độ đo
Lebesgue thông thường trên R), c1 , c2 , c3 là các hằng số không âm có tổng bằng
1. Trong thực tế chỉ gặp các hàm phân phối bước nhảy, tuyệt đối liên tục hoặc tổ
hợp lồi của hai loại vừa nói (tức là F = c1 F1 + c3 F3 , với c1 , c3 ∈ [0, 1], c1 + c3 = 1).
Định nghĩa. Ta nói đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối rời rạc (hay là đại
lượng ngẫu nhiên rời rạc), nếu hàm phân phối F của nó là hàm bước nhảy.
Giả sử {xk } là tập hợp tất cả các điểm gián đoạn của F và {pk } là các bước
nhảy tương ứng: pk = F (xk + 0) − F (xk ) khi đó ta có:
pk = PX (xk ) = P {ω : X(ω) = xk }.

Bảng sau đây được gọi là bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên
X:
X
P

=

x1 x2 . . .
p1 p 2 . . .

trong đó xk , k = 1, 2, . . . là các giá trị của X (hay là điểm tập trung khối lượng
của X) và pk , k = 1, 2, . . . là xác suất để X lấy giá trị xk (hay là khối lượng của
FX đặt tại xk ). Rõ ràng, pk , k = 1, 2, . . . có các tính chất sau:
pk > 0,

pk = 1

k

11

(1)


.
FX (x) =

(pk )

(2)

xk
Ngược lại, nếu cho trước {xk } là dãy bất kỳ và {pk } là dãy có tính chất (1) thì
vế phải của (2) xác định hàm phân phối và do đó, tồn tại đại lượng ngẫu nhiên
X tập trung tại các điểm {xk } với khối lượng tương ứng {pk }. Đặc biệt, nếu
xk = k, k = 0, 1, 2, . . .
pk = e−λ

λk
, λ > 0,
k!

thì ta gọi hàm phân phối (đại lượng ngẫu nhiên) tương ứng là phân phối (đại
lượng ngẫu nhiên) Poisson với tham số λ. Nếu xk = k, k = 0, 1, 2, . . .
pk = Cnk pk (1 − p)n−k , 0 ≤ p ≤ 1,

thì ta gọi hàm phân phối (đại lượng ngẫu nhiên) tương ứng là phân phối (đại
lượng ngẫu nhiên) nhị thức với tham số p.
Định nghĩa. Nói rằng, X có phân phối liên tục, nếu phân phối PX của nó tuyệt
đối liên tục đối với độ đo Lebesgue của đường thẳng.
Vậy, nếu X có phân phối liên tục (hay tuyệt đối liên tục), thì có đạo hàm
Radon - Nikodym:
pX (x) =

dPX (x)
dx

pX (x) được gọi là mật độ phân phối của X. nó có các tính chất sau:
+∞

pX (x) ≥ 0,

pX (x)dx = 1

(3)

−∞
x

FX (x) =

pX (u)du

(4)

−∞

Ngược lại, nếu cho trước hàm số p(x) có tính chất (3) thì vế phải của (4) xác
định một hàm phân phối và do đó tồn tại một đại lượng ngẫu nhiên nhận p(x)
làm hàm mật độ phân phối của nó. Vì vậy, hàm số có tính chất (3) được gọi là
hàm mật độ (xác suất). Đặc biệt, nếu hàm mật độ có dạng:
1
x2
p(x) = √ exp{− }
2
2π

thì ta gọi hàm phân phối (đại lượng ngẫu nhiên) tương ứng là phân phối
(đại lượng ngẫu nhiên) Gauss tiêu chuẩn. Ta sẽ dùng ký hiệu N (0, 1)(γ) để
chỉ phân phối (đại lượng ngẫu nhiên) Gauss tiêu chuẩn. Nếu X = σγ + m trong
12


đó σ > 0, m ∈ R, thì ta nói X có phân phối Gauss hay chuẩn với tham số (m, σ 2 ).
Rõ ràng mật độ của X = σγ + m có dạng:
1
1 x−m 2
p(x) = √ exp{− (
) },
2
σ
σ 2π

với X như thế, ta sẽ dùng ký hiệu N (m, σ 2 ) để chỉ hàm phân phối của nó.
Cần phải nói rằng, phân phối Gauss đóng vai trò vô cùng quan trọng trong
lý thuyết xác suất, nó thường xuyên được sử dụng trong các bài toán thực tế

của xác suất.
Nếu hàm mật độ có dạng:
pX (x) = λe−λx , x ≥ 0, pX (x) = 0, x < 0

ở đây λ là số dương, thì pX (x) được gọi là hàm mật độ của phân phối mũ với
tham số λ > 0.
Ví dụ: phân phối mũ. Giả sử có máy nào đó, người ta mở máy tại thời điểm
0, còn tại thời điểm ngẫu nhiên X nó bị hỏng. Ta tìm dạng tổng quát hàm phân
phối của X. Thông thường người ta xét hàm:
QX (x) = P {X ≥ x}

Theo mô hình đơn giản nhất, máy bị hỏng khi tải trọng vượt quá giá trị N cho
phép nào đó. Một cách hợp lý, người ta giả thiết rằng, xác suất để điều này xảy
ra trong khoảng thời gian [a, b] với điều kiện là điều này không xảy ra trước thời
điểm a, chỉ phụ thuộc vào độ dài khoảng [a, b] và với b - a bé.Xác suất này bằng:
λ(b − a) + 0(b − a). Ở đây, λ là hằng số dương.
Với ∆x bé ta có:
P {X ≥ x + ∆x} = P {X ≥ x}P {X ≥ x + ∆x, X ≥ x}
= P {X ≥ x}{1 − λ∆x − 0(∆x)}

Nói cách khác, với QX (x) = P {X ≥ x} ta nhận được:
QX (x + ∆x) − QX (x) = −(λ∆x + 0(∆))QX (x).

Với giả thiết thông thường về tính khả vi của hàm QX (x), ta có:
dQX (x)
= −λQX (x), QX (x) = ce−λx
dx

Từ giả thiết hiển nhiên QX (0) = 1, ta có:
QX (x) = e−λx , FX (x) = 1 − e−λx , x ≥ 0.

và PX (x) = FX (x) = λe−λx .
13


Chương 2
HÀM PHÂN PHỐI
Trong chương này chúng tôi phân tích những yếu tố cơ bản và sâu sắc về hàm
phân phối như cấu trúc và sự hội tụ của dãy hàm phân phối với các khái niệm
quan trọng như: khoảng cách Levy, sự hội tụ của tích phân đối với hàm phân
phối. Đồng thời chúng tôi cũng nêu lên một ứng dụng của hàm phân phối trong
bài toán bảo hiểm.

2.1

CẤU TRÚC HÀM PHÂN PHỐI

Ta ký hiệu P là lớp các hàm phân phối xác định trên R, tức là F ∈ P nếu nó
có các tính chất sau đây:
a, F (x) đơn điệu không giảm trên R;
b, F (x) liên tục trái tại mọi điểm x ∈ R;
c, F (−∞) = lim F (x) = 0, F (+∞) = lim F (x) ≤ 1.
x→−∞

x→+∞

Ta ký hiệu P là lớp con của P , gồm những hàm phân phối thỏa mãn điều
kiện bổ sung F (+∞) = 1.
Như ta biết, với mọi hàm F ∈ P tồn tại không gian xác suất (Ω, A, P ) và đại
lượng ngẫu nhiên X = X(ω) sao cho F là hàm phân phối của nó. Vì vậy ta gọi

F ∈ P là hàm phân phối xác suất. Ta ký hiệu P ∗ là tập hợp các hàm F (x), x ∈ R
thỏa mãn điều kiện a, b, còn điều kiện c, được thay bằng:
c’,0 ≤ F (x) ≤ 1, ∀x ∈ R
Hàm F ∈ P ∗ được gọi là hàm phân phối suy rộng.
* Ví dụ về những hàm phân phối.

14


Ví dụ 1. x0 là điểm tùy ý thuộc R.


với x ≤ x0 − 1,

0,
Fn (x) =

1 − n1 ,



1,

1
với x0 − n1 < x ≤ x0 − n+1
, n = 1, 2, . . .

với x > x0

Fn là hàm phân phối xác suất (∈ P0 ).

Ví dụ 2. Ký hiệu
δa (x) =

0,

với x ≤ a,

1,

với x > a,
∞

an là dãy số tùy ý cho trước, bn ≥ 0 và

bn ≤ 1 (ví dụ bn = 2−n ). Khi đó hàm

n=1

∞

bn δan (x) là hàm phân phối (∈ P)

F (x) =
n=1

Ví dụ 3. Giả sử F là hàm phân phối nào đó, {rn } là tập số hữu tỷ trên R. Hàm
∞

G(x) =

n=1

1
2n F (rn

+ x) là hàm phân phối.

Từ tính đơn điệu, không giảm và giới nội, suy ra rằng, hàm phân phối (∈ P0 )
không có nhiều hơn đếm được điểm gián đoạn bước nhảy. Vì vậy tập các điểm
liên tục của F ∈ P ∗, ký hiệu là C(F ), trù mật trong R. mặt khác do tính liên
tục trái, hàm phân phối được xác định duy nhất bởi giá trị của mình trên tập
D nào đó trù mật trong R (ví dụ D = C(F )). Đó là cơ sở trực quan hiển nhiên
của mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 5. Giả sử D là tập nào đó trù mật trong R, FD là hàm đơn điệu
không giảm bao hàm giữa 0 và 1 xác định trên D. Khi đó ∀x ∈ R tồn tại dãy
xn ∈ D, xn ↑ x, còn hàm F(x) được xác định trên R bằng hệ thức:
F (x) =

lim

xn ↑x,xn ∈D

FD (xn )

là hàm phân phối suy rộng (∈ P ∗ ).
Chứng minh. Hiển nhiên F(x) là hàm đơn điệu không giảm, bao hàm giữa 0 và
1. Ta cần chứng minh F liên tục trái tại mọi x ∈ R. Theo định nghĩa hàm F,
∀x ∈ R, ∀ε > 0, ∃x ∈ D, x < x sao cho:
F (x) − ε < FD (x ).

(1)

Từ tính đơn điệu không giảm trên D củaFD suy ra:
FD (x ) ≤ F (x)

(2)
15


Kết hợp (1) và (2)ta có:
F (x) − ε < FD (x ) ≤ F (x),

với D x < x.
Xét y : x < y < x. Hiển nhiên ta có bất đẳng thức:
F (x) − ε < FD (x ) ≤ F (y) ≤ F (x),

Cho y ↑ x, sau đó cho ε ↓ 0 ta có:
F (x) = F (x − 0).

Hàm phân phối suy rộng (∈ P ∗ ) là hàm không giảm liên tục trái trên R. Vì vậy
nó có khai triển Lebdesgue.
Định lý 2. Mỗi hàm phân phối F ∈ P ∗ được biểu diễn duy nhất ở dạng tổng
của ba hàm phân phối (∈ P ∗ ) :
F = Fd + Fad + Fs ,

trong đó Fd là hàm phân phối bậc thang dạng
Fd (x) =

p(xi )
xi

,
p(xi ) ≥ 0,

p(xi ) ≤ 1;
i

Fad là hàm phân phối tuyệt đối liên tục dạng:
x

f (y)dy

Fad =
−∞

,

∞

f (y) ≥ 0,

f (y)dy ≤ 1;

−∞

F (s) là hàm phân phối kỳ dị, tức là hàm phân phối liên tục, mọi điểm tăng của

nó thuộc tập có độ đo Lebdesgue bằng không.

16

2.2

HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM PHÂN PHỐI

2.2.1

Định nghĩa và tính compact

Trước hết ta xét ví dụ
Ví dụ 4. Giả sử ξn (ω) = − n1 , ξ(ω) ≡ 0. Khi đó
Fn (x) = P {ξn < x} =

F (x) = P {ξ < x} =

0,

với x ≤ − n1 ,

1,

với x > − n1 .

0,

với x ≤ 0,

1,

với x > 0.

Hiển nhiên Fn (x) → F (x), ∀x = 0, nhưng Fn (0) = 1
F (0) = 0.
Ví dụ trên chỉ ra rằng, tồn tại những dãy hàm phân phối Fn hội tụ về hàm
phân phối F tại mọi điểm liên tục của F, nhưng giá trị của hàm F tại điểm gián
đoạn không bằng giới hạn tại điểm này của dãy hàm phân phối Fn .
Định nghĩa. Ta nói dãy hàm phân phối {Fn } hội tụ yếu đến hàm phân phối
F (Fn , F ∈ P ∗ ) nếu:
Fn (x) → F (x), n → ∞, ∀x ∈ C(F ),

trong đó C(F) như trước đây là ký hiệu tập hợp các điểm liên tục của hàm F.
Ký hiệu Fn ⇒ F.
Chú ý rằng, lớp các hàm phân phối xác suất P0 không đóng đối với phép
chuyển giới hạn theo hội tụ yếu. Ta minh họa điều này bằng các ví dụ.
Ví dụ 5.
Fn (x) =




0,

với x ≤ −n;

1 x

( + 1),

2 n



1,

với − n < x ≤ n;
với n < x.

1
Fn (x) → F (x) ≡ , ∀x ∈ R.
2

Vì vậy Fn (x) → F, nhưng F ∈
/ P0 .
Ví dụ 6. Giả sử F0 là hàm phân phối xác suất nào đó, Fn (x) = F0 (x + n) là
dãy hàm phối xác suất. Hiển nhiên lim Fn (x) ≡ 1, ∀x ∈ R. Như vậy dãy hàm
n→∞

phân phối xác suất{Fn } hội tụ yếu đến hàm phân phối (∈ P ∗ ) đồng nhất bằng
1 trên R. Hàm giới hạn không phải là hàm phân phối xác suất.
17


Để lớp các hàm phân phối xác suất đóng đối với phép chuyển giới hạn, người
ta đưa vào khái niệm hội tụ hoàn toàn.
Định nghĩa. Dãy hàm phân phối {Fn } được gọi là hội tụ hoàn toàn đến
hàm phân phối F (Fn , F ∈ P ∗ ) nếu Fn ⇒ và Fn (±∞) → F (±∞), n → ∞. ký hiệu
Fn ⇒ F.
Hiển nhiên từ hội tụ hoàn toàn kéo theo hội tụ yếu.
Trong Định nghĩa hội tụ yếu người ta giả thiết Fn , F đều là những hàm phân
phối (∈ P ∗ ). Bây giờ giả sử dãy hàm phân phối {Fn } hội tụ trên R đến hàm F

nào đó. Hỏi rằng F có phải là hàm phân phối không? Dễ thấy rằng F chưa chắc
đã liên tục trái tại mọi điểm x ∈ R, vì vậy nói chung nó không phải là hàm phân
phối. Nhưng chỉ cần sửa đổi giá trị hàm F tại một số không nhiều hơn đếm được
điểm gián đoạn bước nhảy của F, ta sẽ có hàm phân phối F0 và Fn ⇒ F0 , trong
đó C(F0 ) = C(F ) trù mật trong R. Như vậy F trùng hầu khắp nơi với hàm phân
phối F0 và Fn ⇒ F0 . Thực ra ta có kết quả mạnh hơn, cũng với kết luận trên chỉ
cần đòi hỏi dãy hàm phân phối {Fn } hội tụ trên tập D bất kỳ trù mật trong R.
Đó là nội dung của định lý sau:
Định lý 3. Dãy hàm phân phối suy rộng {Fn } ∈ P ∗ hội tụ yếu khi và chỉ khi nó
hội tụ trên tập D trù mật trong R.
Chứng minh. Điều kiện cần.
Theo giả thiết Fn ⇒ F, tức là Fn (x) → F (x), ∀x ∈ C(F ). Tập D=C(F) trù mật
trong R.
Điều kiện đủ. Ta phải chứng minh rằng, nếu dãy hàm phân phối {Fn } hội tụ
đến hàm FD với mọi x thuộc tập D trù mật nào đó trong R, thì tồn tại hàm
phân phối F sao cho Fn ⇒ F. Đặt
FD (x) = lim Fn (x), ∀x ∈ D.
x→∞

Hiển nhiên FD là hàm đơn điệu không giảm, bao hàm giữa 0 và 1 trên D. Do
tính trù mật của D trong R có thể xây dựng hàm F (x), x ∈ R như sau:
F (x) =

lim

xn ↑x,xn ∈D

FD (xn ), ∀x ∈ R.

Theo mệnh đề 5 thì F(x) là hàm phân phối. Ta chứng minh Fn ⇒ F.

Thật vậy: ∀x ∈ C(F ) ta chọn x , x ∈ D sao cho x < x < x . khi đó ta có hệ thức:
Fn (x ) ≤ Fn (x) ≤ Fn (x ).
18


cho n → ∞ ta có:
FD (x ) ≤ lim Fn (x) ≤ lim Fn (x) ≤ FD (x ).

chú ý rằng

lim

x ↑x,x ∈D

lim

x ↓x,x ∈D

(3)

FD (x ) = F (x) và

FD (x ) =

lim

xn ↓x,xn ∈D

FD (xn ) ≤

lim

xn ↓x,xn ∈D

F (xn ) = F (x + 0).

Do đó trong (3) cho x ↑ x, x ↓ x ta nhận được:
F (x) ≤ lim Fn (x) ≤ lim Fn (x) ≤ F (x + 0)
n→∞

n→∞

Nếu x ∈ C(F ) thì F (x) = F (x + 0) = lim Fn (x).
Ta nghiên cứu tính compact của họ các hàm phân phối.
Định nghĩa. Tập hợp vô hạn các hàm phân phối {Fα , α ∈ ∧} được gọi là compact
yếu, nếu từ dãy con tùy ý của nó có thể trích ra dãy con hội tụ yếu đến hàm
phân phối nào đó.
Định lý 4. (Định lý Helly 1) Tập hợp vô hạn bất kỳ các hàm phân phối suy
rộng (∈ P ∗ ) là compact yếu.
Chứng minh. Không hạn chế tổng quát ta giả sử họ cho trước các hàm phân
phối là đếm được {Fn , n ≥ 1}. Từ định lý 3 chỉ cần chứng minh có thể trích ra
dãy con hội tụ trên tập D nào đó trù mật trong R.
Giả sử D = {xn , n ≥ 1} là tập đếm được nào đó trù mật trong R. Dãy số
{Fx1 , n ≥ 1} bị chặn, theo bổ đề Bolzano - Weierstrass thì tồn tại dãy con các
hàm phân phối {Fn1k , k ≥ 1} hội tụ tại x1 . Tương tự, từ dãy {Fn1k , k ≥ 1} trích ra
được dãy con {Fn2k , k ≥ 1} hội tụ tại x2 , x1 . tiếp tục quá trình đó, ta tìm được
dãy con {Fnm
, k ≥ 1} hội tụ tại xm , xm−1 , . . . , x1 . Dãy đường chéo {Fnkk , k ≥ 1}
k
được chứa trong mọi dãy {Fnm

, k ≥ 1} với chỉ số k ≥ m. Vì vậy nó hội tụ tại mọi
k
điểm xm ∈ D. Do định lý 3 dãy {Fnkk , k ≥ 1} hội tụ yếu đến hàm phân phối F
nào đó ∈ P ∗ .
Định nghĩa. Tập hợp vô hạn các hàm phân phối (∈ P ∗ ) {Fα , α ∈ ∧}, được gọi
là compact hoàn toàn, nếu từ mọi dãy con của nó có thể trích ra dãy con hội tụ
hoàn toàn đến hàm phân phối (∈ P ∗ ) nào đó.
Định lý 5. Tập hợp vô hạn bất kỳ các hàm phân phối {Fα , α ∈ ∧} ∈ P ∗ là
compact hoàn toàn khi và chỉ khi:
sup{V (Fα ) − Fα [a, b)} → 0
α∈∧

19


khi a → −∞, b → +∞, trong đó V (Fα ) = Fα (+∞) − Fα (−∞) là biến phân của
hàm phân phối Fα , Fα [a, b) = Fα (b) − Fα (a).
Để chứng minh định lý ta chứng minh một số bổ đề sau:
Bổ đề 1. Giả sử Fn , F ∈ P ∗ . Nếu Fn ⇒ F, thì:
a,lim Fn (−∞) ≤ F (−∞) ≤ Fn (+∞) ≤ lim Fn (+∞);
b, V (F ) ≤ lim V (Fn ).
Chứng minh. Thật vậy, do tính đơn điệu không giảm của hàm phân phối ta có:
Fn (−∞) ≤ Fn (x) ≤ Fn (+∞), ∀x ∈ R.

Với x ∈ C(F ), cho n → ∞ ta có:
lim Fn (−∞) ≤ F (x) ≤ lim Fn (+∞)

chox → ±∞, x ∈ C(F ) ta nhận được:
lim Fn (−∞) ≤ F (−∞) ≤ Fn (+∞) ≤ lim Fn (+∞).

Hệ thức a, được chứng minh, từ đó cũng suy ra b,.
Bổ đề 2. Giả sử Fn , F ∈ P ∗ . Khi đó:
Fn ⇒ F ⇔ Fn ⇒ F và V (Fn ) → V (F ).
Chứng minh. Thật vậy, điều kiện cần là hiển nhiên, điều kiện đủ trực tiếp suy
ra từ bổ đề 1.
Bổ đề 3. Giả sử Fn , F ∈ P ∗ . Khi đó:
Fn ⇒ F ⇔ Fn ⇒ F và sup{V (Fn ) − Fn [a, b)} → 0
n

khi a → −∞, b → +∞.
Chứng minh. Thật vậy, do bổ đề 2, để chứng minh điều kiện đủ, ta sẽ chứng
minh V (Fn ) − V (F ) → 0 khi n → ∞. Từ giả thiết ta có:
sup{V (Fn ) − Fn [a, b) → 0; a → −∞, b → +∞.

suy ra:∀ε > 0, ∃A, B(A < B) sao cho với a<A và b>B ta có:
ε
sup{V (Fn ) − Fn [a, b)} < .
3
n

20

(4)


Từ V (F ) − F [a, b) → 0 khi a → −∞, b → +∞. suy ra: ∀ε > 0, ∃C, D(C < D) sao
cho với a<C và b>D ta có:
ε
0 ≤ V (F ) − F [a, b) < .
3

(5)

Chọn a, b ∈ C(F ) và a < min(A, C), b > max(B, D), từ 5.4 và 5.5 ta nhận được:
|V (Fn ) − V (F )| ≤ |V (Fn ) − Fn [a, b)| + |Fn [a, b) − F [a, b)| + |F [a, b) − V (F )|
2ε
+ |Fn [a, b) − F (a, b)|.
3
Cho n → ∞, do tính tùy ý bé của ε > 0 từ hệ thức cuối cùng ta có điều phải
≤

chứng minh.
Điều kiện cần. Ta chứng minh sup{V (Fn )−Fn [a, b)} → 0 khi a → −∞, b → +∞.
n

Theo giả thiết Fn (±∞) → F (±∞) nên V (Fn ) → V (F ), tức là ∀ε > 0, ∃N1 sao
cho ∀n > N1 ta có hệ thức:
ε
|V (Fn ) − V (F )| < .
3

(6)

Vì V (F ) − F [a, b) → 0 khi a → −∞, b → +∞. suy ra ∀ε > 0, ∃A, B(A < B), A, B ∈
C(F ) sao cho:
ε
|V (F ) − F [a, b)| < ,
3

(7)

(chú ý rằng có thể chọn |A|,B lớn tùy ý).
Với A,B đã chọn, Fn [A, B) − F [A, B) → 0 khi n → ∞. Do đó ∀ε > 0, ∃N2 sao
cho ∀n > N2 ta có hệ thức:
ε
|Fn [A, B) − F [A, B)| < .
3

(8)

Với a ≤ A, b ≥ B ta có bất đẳng thức:
0 ≤ V (Fn ) − Fn [a, b) ≤ V (Fn ) − Fn [A, B)
≤ |V (Fn ) − V (F )| + |V (F ) − F [A, B| + |Fn [A, B) − F [A, B)|.

Kết hợp (6)và (7) ta có:
|V (Fn ) − Fn [a, b)| < ε

(9)

với ∀n > N = max(N1 , N2 ) và a ≤ A, b ≥ B. Với mỗi n cố định V (Fn ) − Fn [a, b) → 0
khi a → −∞, b → +∞. Do đó ∀ε > 0, ∃An , Bn (An < Bn ) sao cho:
|V (Fn ) − Fn [a, b)| < ε
21

(10)


với a ≤ An và b ≥ Bn .
Chọn A0 = min(A, A1 , A2 , . . . , AN ), B0 = min(B, B1 , B2 , . . . , BN ), từ (9) và
(10)ta có

|V (Fn ) − Fn [a, b)| < ε

với ∀n ≤ 1 và a ≤ A0 , b ≤ B0 .
Chứng minh định lý 5. Điều kiện đủ suy từ bổ đề 3 và tính compact yếu của
họ các hàm phân phối. Ta chứng minh điều kiện cần bằng phản chứng. Nếu lập
luận của định lý không đúng, thì ∃ε0 > 0 sao cho với mọi I = [a, b) ta có bất
đẳng thức:
sup |V (Fα ) − Fα [a, b)| ≥ ε0 .
α

Gọi Im = [−m, m), m = 1, 2, . . . . Khi đó tìm được dãy vô hạn các số nm : n1 <
n2 < . . . < nm . . . sao cho:
V (Fnm ) − Fnm (Im ) ≥

ε0
.
2

(11)

Do giả thiết điều kiện cần, từ dãy {nm } có thể trích ra dãy con {nm } sao cho
Fnm ⇒ F ∈ P ( ∗). Mặt khác, từ (11) ta có:
V (Fnm ) − Fnm (Im ) ≥

ε0
.
2

Gọi I = [a, b) là khoảng hữu hạn tùy ý với a, b ∈ C(F ). Khi đó với mọi m’ đủ lớn
ta có:

V (Fnm ) − Fnm (I) ≥ V (Fnm ) − Fnm (Im ) ≥

ε0
.
2

Cho m → +∞, từ bổ đề 5.1.2 suy ra
V (F ) − F (I) ≥

ε0
, ∀a, b ∈ C(F ).
2

Điều nà mâu thuẫn suy ra điều phải chứng minh.

2.2.2

Khoảng cách Levy

Ta xây dựng metric trong không gian các hàm phân phối P ∗ , sao cho hội tụ
theo metric này tương đương với hội tụ hoàn toàn của dãy hàm phân phối.
Giả sử F, G ∈ P ∗ , Ft và Gt là giao điểm của đường thẳngx + y = t với đồ thị
đã được làm liên tục của hàm F và G tương ứng.

22


Ký hiệu |Ft Gt | là khoảng cách giữa các giao điểm Ft và Gt , và đặt:
L(F, G) =

|Ft Gt |
√ .
2
−∞sup

Bổ đề sau đây sẽ chứng tỏ biểu thức trên xác định một khoảng cách, được gọi
là khoảng cách Levy giữa các hàm phân phối F và G.
Bổ đề 4. L(F,G) là metric trong không gian các hàm phân phối suy rộng P ∗ .
Chứng minh. Thật vậy, tính đói xứng L(F, G) = L(G, F ) là hiển nhiên. Từ
L(F, G) = 0 suy ra F = G. Trên đường thẳng x + y = t bất đẳng thức tam
giác
|Ft Gt | ≤ |Ft Ht | + |Ht Gt |

kéo theo bất đẳng thức
L(F, G) ≤ L(F, H) + L(H, G), ∀F, G, H ∈ P ∗ .

Bây giờ ta đặt :
ρ(F, G) = inf {h : G(x − h) − h ≤ F (x) ≤ G(x + h) + h; ∀x}
h

Khi đó dẽ thấy rằng ρ xác định một khoảng cách trong P ∗ và hơn nữa ta có bổ
đề sau:
Bổ đề 5. L(F, G) = ρ(F, G).
Chứng minh. Thật vậy, ký hiệu x là hoành độ của điểm Ft , δ = |f g| là độ dài
của đoạn |f g| hình chiếu của đoạn |Ft Gt | lên trục hoành. Do F và G có vai trò
như nhau, nên không mất tính tổng quát ta có thể chứng minh. Ta có:

F (x) ≤ |f Ft | = |gGt | − δ ≤ G(x − δ + 0) − δ ≤ G(x + δ + 0) + δ;

F (x + 0) ≥ |f Ft | = |gGt | − δ ≥ G(x − δ) − δ.

Từ (12) và (13) suy ra, nếu x ∈ C(F ), thì
G(x − δ) − δ ≤ F (x) ≤ G(x + δ + 0) + δ.

23

(13)

(12)