Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối xác suất

Chương 2.
BIẾN NGẪU NHIÊN
VÀ HÀM PHÂN PHỐI
Bài 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM
& CÁC TÍNH CHẤT
1.1. Khái niệm 1:
Biến ngẫu nhiên là một biến số mà
giá trị nó nhận là một số mà ta không nói
trước được. Tức là giá trị biến số này nhận
là một số ngẫu nhiên.
Ví dụ 1: Gieo một con xúc sắc thì giá trị

mà nó nhận có thể là 1; 2; 3; 4; 5; 6, nhưng
không có giá trị nào có thể nói trước được.
Vậy nếu ta gọi X là số chấm xuất hiện
trên mặt con xúc sắc thì X là một biến ngẫu
nhiên.
1.2. Định nghĩa 1:
Gọi là tập hợp tất cả các biến cố sơ
cấp trong một phép thử. Ánh xạ X từ
vào R được gọi là biến ngẫu nhiên.
Ω
Ω

Tức là phép đặt tương ứng một biến cố
sơ cấp A với một số thực X(A) gọi là một
biến ngẫu nhiên.
Ví dụ 1: Gieo một con xúc sắc. Tập các
biến cố sơ cấp là
{ }

1 2 3 4 5 6
; ; ; ; ;A A A A A AΩ =
Ánh xạ
:
( )
i i
X R
A X A i
Ω →
=a
Là một biến ngẫu nhiên.

Ví dụ 2: Trong hộp có 10 bi trong đó có 3
bi đỏ và 7 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên 3 bi từ
hộp. Với A
i
là biến cố
chọn 3 bi mà có đúng i bi đỏ. Ánh xạ
{ }
0 1 2 3
; ; ;A A A AΩ =
:
( )
i i
X R
A X A i
Ω →
=a
Là một biến ngẫu nhiên.
Để cho đơn giản ta chỉ cần gọi X là số bi đỏ

chọn ra được trong số 3 bi đã chọn, thì X là
biến ngẫu nhiên.

Ví dụ 3: Gọi X là khỏang thời gian mà một
bóng đèn (hay một thiết bị nào đó ) bị hỏng.
X là một đại lượng ngẫu nhiên.
X có thể nhận các giá trị từ 0 cho đến vô
cùng
1.3. Phân lọai biến ngẫu nhiên:
Biến ngẫu nhiên mà nó nhận là các giá
trị đếm được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc.
Chẵng hạn ví dụ 1, 2

Biến ngẫu nhiên mà nó nhận là các giá
trị không đếm được gọi là biến ngẫu nhiên
liên tục.
Chẵng hạn ví dụ 3.
1.4. Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu
nhiên rời rạc:
Là bảng gồm hai dòng: dòng trên ghi
những giá trị mà X nhận, dòng dưới ghi xác
suất mà X nhận giá trị đó.


X
1 2 n
x x x
1 2 n
p p p
X

P
Trong đó
[ ]
i i
p p X x= =
Ví dụ 1:
Gọi X là số chấm xuất hiện trên mặt
khi gieo một con xúc sắc. Ta có bảng phân
phối xác suất như sau:
X 1 2 3 4 5 6
p
X
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Ví dụ 2: Trong hộp có 10 sản phẩm trong
đó có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm. Chọn
ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ hộp. Gọi X là số
chính phẩm chọn ra được.
Lập bảng phân phối xác suất của X.
X có thể nhận các giá trị 0; 1; 2 với xác suất
như sau:
[ 0]p X = =
2
4
2
10
2
15
C
C

=
1 1 2
6 4 6
2 2
10 10
8 1
[ 1] ; [ 2]
15 3
C C C
p X p X
C C
= = = = = =


X
0 1 2
2 8 1

15 15 3
X
P
Từ đó ta có bảng phân phối xác suất
của X là:
1.5. Tính chất của bảng phân phối xác suất:
[ ] [ ]
i
i
a x b
p a X b p X x
≤ <

≤ < = =
∑
i)
1
[ ] 1
n
i
i
p X x
=
= =
∑
ii)

1.6. Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu
nhiên rời rạc:
Là hàm số có miền xác định là R và
được xác định theo công thức sau:
( ) [ ] [ ]
i
i
x x
F x p X x p X x
<
= < = =
∑
Ví dụ 1: Gọi X là số chấm xuất hiện trên
mặt khi gieo một con xúc sắc. Lập hàm
phân phối xác suất của X

Ta có bảng phân phối xác suất của X

X 1 2 3 4 5 6
p
x
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Từ công thức
( ) [ ] [ ]
i
i
x x
F x p X x p X x
<
= < = =
∑
ta có hàm phân phối của X

0 1
1
1 2
6
1 1
2 3
6 6
1 1 1
( ) 3 4
6 6 6
1 1 1 1
4 5
6 6 6 6

1 1 1 1 1
5 6
6 6 6 6 6
1 1 1 1 1 1
6
6 6 6 6 6 6
x
x
x
F x x
x
x
x


≤


< ≤



+ < ≤



= + + < ≤




+ + + < ≤



+ + + + < ≤



+ + + + + >



Ví dụ 2: Một người dùng 3 viên đạn bắn
vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng mục
tiêu là 0,6. Người này bắn đến khi hoặc
hết đạn hoặc trúng mục tiêu mới thôi. Gọi
X là số viên đạn bị tiêu hao.
a/ Tìm bảng phân phối của X.
b/ Tìm hàm phân phối xác suất của X.
c/ Tính P[1≤X<4].

1.7. Định nghĩa biến ngẫu nhiên liên tục:
Giá trị của X lấp đầy khoảng (a;b) nào
đó.
a, b có thể vô hạn.
Ví dụ: Nếu quan sát nhiệt độ X tại một
thời điểm trong ngày thì ta có X là ĐLNN
liên tục.
Đối với biến ngẫu nhiên liên tục không
thể dùng bảng phân phối xác suất. Ta có

định nghĩa sau.

1.8. Định nghĩa hàm mật độ (hay hàm mật
độ phân phối xác suất) của biến ngẫu nhiên
liên tục:
Hàm f được gọi là hàm mật độ của
biến ngẫu nhiên liên tục X nếu:
) ( ) 0
) ( ) 1.
i f x
ii f x dx
+∞
−∞
≥
=
∫

Ví dụ: Giả sử một máy (thiết bị) nào đó, ta
mở tại thời điểm t=0, còn tại thời điểm
ngẫu nhiên t nó bị hỏng.
Gọi X là thời điểm nó bị hỏng, X là
biến ngẫu nhiên liên tục. Hàm mật độ phân
phối xác suất của X là:
0
( )
0 0
x
e x
f x
x

λ
λ
−

≥
=

<

Trong đó
0
λ
>

( ) 0f x ≥
(hiển nhiên)
0
( ) 1
0
x x
f x dx e dx e
λ λ
λ
+∞ +∞
− −
−∞
+∞
= = =
∫ ∫
Ví dụ 2: Tìm a để hàm số f(x) sau đây là

hàm mật độ của một biến ngẫu nhiên liên
tục.
3
0 1
( )
0 (0,1)
ax x
f x
x

≤ ≤
=

∉


1.9. Định nghĩa hàm phân phối xác suất của
biến ngẫu nhiên liên tục:
Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có
hàm mật độ là f(x). Hàm phân phối xác suất
của X được định nghĩa như sau:
x
X
F (x) p[X x] f (t)dt
−∞
= < =
∫
Ví dụ: Tìm hàm phân phối của biến ngẫu
nhiên liên tục X có hàm mật độ trong ví dụ1

Hàm f(x) được gọi là hàm mật độ phân phối
xác suất.
2.2.2 Hàm phân phối xác suất
Hàm phân phối xác suất của ĐLNN liên tục
X có hàm mật độ phân phối xác suất f(x) được
định nghĩa
2.2.3 Một số tính chất cơ bản
i. liên tục và
x
X
F (x) f (x)dx
−∞
=
∫
X
f (x) F (x), x
′
= ∀ ∈¡
X
F (x)


VD 2.7: ĐLNN liên tục X có hàm phân phối
xác suất
Tìm a và hàm mật độ f(x) của X.
ii. f (x)dx 1
+∞
−∞
=
∫

b
a
iii. P[a X b] P[a X b]
P[a X b] P[a X b] f (x)dx
≤ ≤ = < ≤
= ≤ < = < < =
∫
2
X
0, x 0
F (x) ax , x (0,3)
1, x 3
≤


= ∈


≥


VD 2.8: ĐLNN liên tục X có hàm mật độ phân
phối xác suất
a) Viết hàm phân phối xác suất của X.
b) Tính
0, x 0
x, 0 x 1
f (x)
2 x, 1 x 2
0, 2<x

≤


< ≤

=

− < ≤



1
P[X ]
2
<

2.3 Một số luật phân phối
2.3.1 Loại rời rạc
2.3.1.1 Phân phối siêu bội
* Mô hình bài toán: Cho tập hợp gồm N
phần tử, trong đó có phần tử có tính chất
A. Lấy ngẫu nhiên n phần tử (không hoàn lại).
Gọi X là số phần tử có tính chất A trong n
phần tử lấy ra. Lập luật phân phối của X.

A
N
A
X H(N,N ,n)∈

* Định nghĩa: Ta nói X có phân phối siêu
bội với xs tương ứng
VD 2.9: Từ nhóm 9 nhà bác học, trong đó
có 5 nhà vật lý và 4 nhà toán học, chọn ngẫu
nhiên 3 nhà bác học để thành lập hội đồng.
Tính xs để trong 3 nhà bác học này có đúng 1
nhà toán học.
A A
k n k
N N N
n
N
C C
P[X k] , k 0,1, ,n
C
−
−
= = =

2.3.1.2 Phân phối nhị thức:
* Dãy phép thử Bernoulli
Là dãy n phép thử thỏa 3 điều kiện
+ các phép thử độc lập với nhau.
+ trong mỗi phép thử, ta chỉ quan tâm đến
bc A nào đó. Nếu A xảy ra thì phép thử gọi là
thắng lợi, ngược lại phép thử gọi là thất bại.
+ xs xuất hiện A trong mỗi phép thử là như
nhau và .
X B(n;p)∈
P(A) p=

P(A) 1 p= −

VD 2.10: Gieo 10 lần một con xúc xắc và xem
mặt 6 có xuất hiện không?
Ở đây n=10, A=“xuất hiện mặt 6 chấm”.
* Mô hình phân phối nhị thức: Giả sử X là số
lần xuất hiện bc thắng lợi A trong dãy n phép
thử Bernoulli, với P(A)=p. Hãy tìm luật phân
phối của X.

1 5
p P(A) , q .
6 6
= = =