Luận án tiến sĩ toán học:Ứng dụng phương pháp điểm bất động của Lê THị Phương Ngọc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
-------------------------

LÊ THỊ PHƯƠNG NGỌC

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM BẤT ĐỘNG
TRONG SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2007


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
-------------------------

LÊ THỊ PHƯƠNG NGỌC

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM BẤT ĐỘNG
TRONG SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số :
1. 01. 01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. LÊ HOÀN HOÁ

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2007

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả và
số liệu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ
một công trình nào khác.

Tác giả luận án
Lê Thị Phương Ngọc


LỜI CÁM ƠN
Tôi vô cùng biết ơn PGS. TS. Lê Hoàn Hoá, Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học
Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Thầy đã giảng dạy, hướng dẫn và tận tình giúp đỡ tôi về
mọi mặt trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy thật sự là Người Cha nghiêm khắc
của tôi trong việc chỉ bảo và rèn luyện cho tôi những đức tính cần có của người làm khoa
học.
Tôi biết ơn sâu sắc TS. Nguyễn Thành Long, Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học
Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Tp. HCM, về sự giúp đỡ tận tình và sự chỉ bảo vô cùng quý
báu cũng như rất nghiêm khắc của Thầy cho tôi trong nghiên cứu khoa học. Thầy đã cho
tôi cơ hội để tham gia đề tài nghiên cứu Khoa học Cơ bản và sinh hoạt học thuật theo các
hướng nghiên cứu mà Thầy đang chủ trì, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành tốt luận
án.
Tôi xin phép bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các Nhà Khoa học là các thành viên
trong các Hội đồng chấm luận án tiến só cấp Bộ môn và cấp Nhà nước, là các chuyên gia
Phản biện độc lập và chính thức của luận án, đã cho tôi những nhận xét, đánh giá và bình
luận quý báu cùng với những chỉ bảo, đề nghị quan trọng tạo điều kiện để tôi hoàn thành
luận án một cách tốt nhất.
Tôi kính gửi đến Quý Thầy Cô trong và ngoài Trường Đại học Sư phạm Thành phố

Hồ Chí Minh đồng kính gửi đến Ban Tổ chức các hội nghị khoa học về Toán học lời cám
ơn trân trọng, trong suốt thời gian qua, tôi luôn nhận được sự giúp đỡ của Quý Thầy Cô
trong học tập, trong nghiên cứu cũng như cho tôi điều kiện thuận lợi để tìm kiếm tài liệu và
tham dự các hội nghị khoa học.
Tôi kính gửi đến Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Tin học, Bộ môn
Toán Giải tích và Phòng Khoa học Công nghệ - Sau Đại học của Trường Đại học Sư phạm
Thành phố Hồ Chí Minh, đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập và bảo vệ luận
án, những lời cám ơn chân thành và trân trọng.
Tôi chân thành và trân trọng cám ơn Quý Thầy Cô và các chuyên viên ở Vụ Đại
học và Sau Đại học của Bộ Giáo dục và Đào tạo đã tận tình giúp đỡ tôi hoàn tất các thủ
tục quan trọng trong quá trình bảo vệ luận án.
Tôi kính gửi đến Ban Giám hiệu, Ban Chấp hành Công Đoàn Trường, Ban Chủ
nhiệm Khoa Tự nhiên và các Phòng Ban khác của Trường Cao đẳng Sư phạm Nha Trang,
nơi tôi giảng dạy, đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi về vật chất cũng như tinh thần để tôi
hoàn thành tốt các nhiệm vụ của nghiên cứu sinh, những lời cám ơn sâu sắc và trân trọng.
Tôi thành thật cám ơn các Anh Chị đồng nghiệp và các Người thân của tôi đã giúp
đỡ tôi về mọi mặt. Gia đình tôi cũng là nguồn động viên to lớn của tôi.
Tôi thật sự kính trọng và biết ơn sâu sắc tất cả những Người đã chỉ bảo, quan tâm,
động viên và giúp đỡ tôi về mọi mặt.
Nghiên cứu sinh
Lê Thị Phương Ngọc


Bảng các ký hiệu đã sử dụng

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU
Chương 1: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ KIỂU KRASNOSEL'SKII VÀO PHƯƠNG
TRÌNH TÍCH PHÂN

1
10

1.1 Giới thiệu

10

1.2 Định lý điểm bất động kiểu Krasnosel'skii

11

1.3 Sự tồn tại nghiệm

14

1.4 Nghiệm ổn định tiệm cận

22

1.5 Tính compact, liên thông của tập hợp nghiệm

28

1.6 Một trường hợp tổng quát

35

Chương 2: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ KIỂU LERAY - SCHAUDER VÀ
NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO VÀO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM CẤP

HAI CÓ CHẬM

47

2.1 Giới thiệu

47

2.2 Các kiến thức chuẩn bị

48

2.3 Khảo sát bài toán giá trị biên 3 điểm có đối số chậm

49

2.4 Khảo sát bài toán giá trị biên "hỗn hợp" có đối số chậm

61

2.5 Khảo sát bài toán giá trị đầu có đối số chậm

67

Chương 3: ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO VÀO BÀI TOÁN HỖN
HP CHO PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN CHỨA TOÁN TỬ
KIRCHHOFF

75

3.1 Giới thiệu

75

3.2 Các không gian hàm và kết quả chuẩn bị

78

3.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

81

3.4 Sự hội tụ cấp hai với f = f(r, u), B = B(z)

95

3.5 Khai triển tiệm cận của nghiệm theo một tham số bé

107

KẾT LUẬN

123

Danh mục công trình của tác giả

126

Tài liệu tham khaûo

127


BẢNG CÁC KÝ HIỆU ĐÃ SỬ DỤNG
Tập hợp các số tự nhiên.
Tập hợp các số tự nhiên khác 0.
Tập hợp các số thực.
Tập hợp các số thực không âm.
Không gian Euclide thực n-chiều.
Biên của Ω.
Bao đóng của Ω.
Bao lồi của M .
Tích Đềcác của hai tập hợp A và B.
Khơng gian vectơ X với họ nửa chuẩn đếm được |.|n .
Không gian metric X với metric d.
Không gian Banach E với chuẩn |.|.
Chuẩn trên không gian Banach X.
Không gian đối ngẫu của X.
Không gian các hàm số thực liên tục trên đoạn [a, b].
Không gian các hàm số thực khả vi liên tục trên đoạn [a, b].
Không gian gồm các hàm số u : Ω → R liên tục trên Ω,
Ω là tập mở trong Rn .
C m (Ω)
Không gian các hàm số u ∈ C 0 (Ω) sao cho Dα u ∈ C 0 (Ω),
với mọi đa chỉ số α, |α| ≤ m.
m
Không gian các hàm số u ∈ C m (Ω) sao cho Dα u bị chặn
C (Ω)
và liên tục đều trên Ω, với mọi đa chỉ số α, |α| ≤ m.
C([a, b]; E)

Không gian các hàm liên tục u : [a, b] → E.
C(R+ ; E)
Không gian các hàm liên tục u : R+ → E.
f : X → Y, f |A
Ánh xạ thu hẹp của ánh xạ f trên tập A ⊂ X.
1
L [a, b]
Không gian các hàm số thực x(t) sao cho
|x(t)| khả tích Lebesgue trên [a, b].
Lp (0, T ; X), 1 ≤ p ≤ ∞ Không gian các hàm đo được u : (0, T ) → X sao cho

N
N∗
R
R+
Rn
∂Ω
Ω
coM
A×B
(X, |.|n )
(X, d)
(E, |.|)
· X
X
C[a, b]
C 1 [a, b]
C 0 (Ω) ≡ C(Ω)

u

u + f (t, ut , u (t)) = 0

u(t) ≡ u(r, t)
u (t) = ut (t) = u(t)
˙
u (t) = utt (t) = u(t)
ă
ur (t) = u(t)
urr (t)

Lp (0,T ;X)

=

T
0

u(t)

p
X dt

1/p

< ∞ với 1 ≤ p < ∞,

u L∞ (0,T ;X) = ess sup0Phương trình vi phân hàm cấp hai được xét trong chương 2,
u là ẩn hàm theo t, ut là hàm có đối số chậm,
u , u lần lượt chỉ đạo hàm cấp 1, đạo hàm cấp 2 của u theo t.

Hàm theo hai biến r, t xét trong chương 3,
∂u
(r, t),
∂t
∂2u
(r, t),
∂t2
∂u
(r, t),
∂r
∂2u
(r, t).
∂r2
Kết thúc chứng minh.
Kết luận của chương.


1

MỞ ĐẦU
Lý thuyết điểm bất động là một trong những lý thuyết quan trọng của
Giải tích, với rất nhiều thành tựu mà nổi bật là các nguyên lý điểm bất động
Brouwer (1912), Banach (1922) và Schauder (1930).
Nguyên lý điểm bất động Brouwer được Brouwer chứng minh dựa trên lý
thuyết bậc tôpô của ánh xạ liên tục trong không gian hữu hạn chiều. Đây
cũng là một định lý được xem là thành tựu sớm nhất của tôpô đại số và làm
nền móng cho các hướng nghiên cứu tiếp theo của nhiều nhà Toán học, dẫn
đến các kết quả cơ bản khác. Định lý điểm bất động Schauder chính là một
mở rộng của nguyên lý điểm bất động Brouwer cho không gian vô hạn chiều
(áp dụng cho không gian Banach). Một mở rộng khác là định lý Tychonoff

(1935, áp dụng cho không gian vectơ tôpô lồi địa phương),v.v. Định lý điểm
bất động Brouwer còn được mở rộng cho ánh xạ đa trị bởi các nhà Toán
học như Kakutani (1941), Bohnenblust và Karlin (1950), Ky Fan (1960/61).
Năm 1929, ba nhà Toán học Knaster, Kuratowski và Mazurkiewicz đã chứng
minh một kết quả quan trọng, Bổ đề KKM, đem đến một cách chứng minh
đơn giản nguyên lý điểm bất động Brouwer và đặc biệt hơn nữa, bổ đề KKM
và nguyên lý điểm bất động Brouwer là hai kết quả tương đương nhau. Từ
sự xuất hiện của bổ đề KKM, cùng những kết quả sâu sắc trong các cơng
trình nghiên cứu của Ky Fan làm nền tảng, lý thuyết KKM hình thành, phát
triển và được sử dụng rộng rãi như một cơng cụ hữu ích cho lý thuyết điểm
bất động của ánh xạ đa trị, lý thuyết biến phân, toán kinh tế, v.v.
Với việc chỉ ra tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ co trong không
gian mêtric đầy đủ và thiết lập được một dãy lặp hội tụ về điểm bất động
đó, nguyên lý điểm bất động Banach cùng các hệ quả và các mở rộng của nó
đã được vận dụng rất phổ biến và thành công trong chứng minh tồn tại duy
nhất nghiệm và tính xấp xỉ nghiệm của các bài tốn thuộc nhiều lĩnh vực
của giải tích.
Trên cơ sở nghiên cứu ứng dụng của các định lý điểm bất động và tìm cách
mở rộng chúng để giải các bài tốn trong các lớp không gian khác nhau, lý
thuyết điểm bất động được phát triển không ngừng thành một lý thuyết đa
dạng, phong phú bao gồm nhiều định lý điểm bất động của các ánh xạ như
ánh xạ co, nén, ánh xạ không giãn, ánh xạ tăng, v.v., cùng nhiều mở rộng


2

của các nguyên lý điểm bất động cho ánh xạ đa trị, trong mối liên hệ chặt
chẽ với nguyên lý biến phân Ekland, nguyên lý min-max, lý thuyết KKM, lý
thuyết bậc tôpô, v.v., tổng quan về các vấn đề này có thể tìm thấy trong các
tài liệu như [12, 17, 18, 44] và trong nhiều cơng trình nghiên cứu của các nhà

Toán học mà tiêu biểu là S. Park [48, 50, 54], S. Park, Đ. H. Tân [51, 52], S.
Park , B.G. Kang [49], L.A.Dung, Đ. H. Tân [15].
Chính từ sự phát triển đó, cùng với các tác động tích cực của các lý thuyết
khác, mà lý thuyết điểm bất động luôn được xem là công cụ quan trọng trong
việc nghiên cứu định lượng và định tính nhiều lớp phương trình xuất phát từ
vật lý học, hố học, sinh học, cơ học. Việc ứng dụng lý thuyết điểm bất động
để chứng minh tồn tại nghiệm của các phương trình vi phân và tích phân
được mở đầu bằng những kết quả nổi tiếng của Picard và Peano vào cuối thế
kỷ 19, trong đó xét bài tốn Cauchy cho phương trình vi phân với vế phải
thoả mãn điều kiện Lipschitz (định lý Picard) hoặc điều kiện liên tục (định
lý Peano). Ứng với hai bài toán này, hai định lý điểm bất động của Banach
và Schauder thật sự là công cụ hữu hiệu.
Nguyên lý ánh xạ co của Banach: [17]
Cho (M, ρ) là không gian metric đầy đủ và T : M → M là ánh xạ co,
nghĩa là: Tồn tại k ∈ [0, 1) sao cho ρ(T x, T y) ≤ kρ(x, y), ∀x, y ∈ M. Khi đó
T có duy nhất một điểm bất động x∗ ∈ M. Hơn nữa với mỗi x0 ∈ M cho
trước, dãy lặp {T n x0 } hội tụ về x∗ .
Định lý Schauder: [25]
Cho K là tập con khác rỗng, lồi, đóng của khơng gian Banach E và T :
K → K là ánh xạ liên tục sao cho bao đóng T (K) của T (K) là tập compact.
Khi đó T có ít nhất một điểm bất động.
Kết hợp hai định lý đó, Krasnosel’skii đã chứng minh được:
Định lý Krasnosel’skii: [61]
Cho M là tập con khác rỗng, lồi, đóng và bị chặn của khơng gian Banach X.
Giả sử U : M → X là ánh xạ co và C : M → X là toán tử compact, nghĩa là:
C liên tục và C(M ) chứa trong một tập compact, sao cho U (x) + C(y) ∈ M,
∀x, y ∈ M. Khi đó U + C có điểm bất động.
Sau khi xuất hiện định lý Krasnosel’skii, người ta đã xét đến sự tồn tại
nghiệm của các phương trình tích phân chứa tổng hai số hạng với các hàm
dưới dấu tích phân tương ứng thoả điều kiện Lipschitz và điều kiện liên

tục, mở ra nhiều cơng trình nghiên cứu về các định lý điểm bất động kiểu


3

Krasnosel’skii và ứng dụng, chẳng hạn như [3, 4, 7, 8, 13, 21, 53].
Áp dụng định lý Schauder, lý thuyết bậc và lý thuyết dựa trên các ánh
xạ cốt yếu - "Topological Transversality", Leray và Schauder đã chứng minh
các định lý điểm bất động kiểu Leray-Schauder, trong đó nguyên lý về sự loại
trừ phi tuyến cho ánh xạ compact "Nonlinear alternative" là công cụ quan
trọng để thiết lập các nguyên lý tồn tại nghiệm của một số bài toán giá trị
biên [46].
Các ứng dụng cụ thể khác của các định lý điểm bất động trong việc nghiên
cứu tính giải được của các lớp phương trình như phương trình vi phân, tích
phân, đạo hàm riêng đã được trình bày trong nhiều tài liệu, chẳng hạn như
[12, 17, 18, 25, 46, 61], trong các cơng trình khoa học cơng bố trên nhiều tạp
chí của rất nhiều tác giả, như: Abdou [1], Avramescu [3, 4], Burton [7, 8],
Henriquez [20], Liu, Naito, N.V. Minh [28], Pavlakos, Stratis [55], Raffoul [13],
cịn có thể tìm thấy nhiều cơng trình khác đăng trên các tạp chí Tốn học
trong và ngoài nước đã sử dụng phương pháp điểm bất động để chứng minh
tồn tại nghiệm. Để dễ truy cập, chúng tôi xin nêu các bài số 06/2000, 24/2001,
71/2002, 04/2003, 22/2004, 79/2005, hay 3, 8, 13, 19, 21, 22, 24, 34, 36, 57
thuộc Vol. 2006, v.v., trong "Electronic J. Differential Equations" làm ví dụ,
ở đó các định lý ánh xạ co, định lý Schauder, định lý Krasnosel’skii trên một
nón, định lý Darbo, v.v., được áp dụng. Ngồi ra, cịn có các tạp chí chun
về lĩnh vực này mới được xuất bản gần đây, chẳng hạn như "Fixed Point
Theory and Applications" năm 2004 của nhà xuất bản Hindawi, "Journal of
Fixed Point Theory and Applications" năm 2007 của nhà xuất bản Springer.
Chính vì vậy, đề tài luận án của chúng tơi nghiên cứu là cần thiết và có ý
nghĩa về mặt lý thuyết và áp dụng.

Trong luận án này, chúng tôi áp dụng phương pháp điểm bất động kết
hợp với lý luận về tính compact thơng dụng để khảo sát sự tồn tại nghiệm
và các vấn đề liên quan đến nghiệm cho ba bài tốn thuộc lý thuyết phương
trình tích phân, vi phân và đạo hàm riêng sau đây:
- Phương trình tích phân phi tuyến dạng Volterra;
- Bài tốn giá trị biên và giá trị đầu cho phương trình vi phân hàm cấp
hai có đối số chậm;
- Bài tốn hỗn hợp cho phương trình sóng phi tuyến chứa tốn tử Kirchhoff
trên màng tròn đơn vị.
Sau đây là phần giới thiệu tổng qt về ba bài tốn nói trên.


4

1. Bài tốn thứ nhất đề cập đến phương trình tích phân phi tuyến dạng
Volterra:
t

x(t) = q(t) + f (t, x(t)) +

V (t, s, x(s))ds
0

(0.0.1)

t

G(t, s, x(s))ds, t ∈ R+ ,

+

0

ở đây E là không gian Banach với chuẩn |.|, R+ = [0, ∞), q : R+ → E;
f : R+ × E → E; G, V : ∆ × E → E được giả sử là các hàm liên tục và
∆ = {(t, s) ∈ R+ × R+ , s ≤ t}.
Trường hợp E = Rd và hàm V (t, s, x) tuyến tính theo biến thứ ba, phương
trình (0.0.1) đã được nghiên cứu bởi Avramescu và Vladimirescu [4]. Các tác
giả đã áp dụng một định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii trong [3, Định
lý K” ’] để chứng minh sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của phương trình
tích phân:
t

x(t) = q(t) + f (t, x(t)) +

V (t, s)x(s)ds
0

(0.0.2)

t

G(t, s, x(s))ds , t ∈ R+ ,

+
0

q : R+ → Rd ; f : R+ × Rd → Rd ; V : ∆ → Md (R), G : ∆ × Rd → Rd được giả
sử là liên tục, ∆ = {(t, s) ∈ R+ × R+ , s ≤ t} và Md (R) là tập hợp các ma
trận thực cấp d × d.
Trường hợp (0.0.1) có f = 0 và V (t, s, x(s)) = V (s, x(s)), sự tồn tại nghiệm

của phương trình đã được nghiên cứu bởi Hóa và Schmitt [21], cũng bằng
cách sử dụng một định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii.
Phương trình (0.0.1) có tính tổng qt hơn cho lớp phương trình tích phân
phi tuyến dạng Volterra được xét trong [4, 21]. Để thu được sự tồn tại nghiệm
và tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận, chúng tôi đã chứng minh một định lý
kiểu Krasnosel’skii làm công cụ kết hợp với việc sử dụng định lý Banach
trong không gian Fréchet và giải các bất phương trình tích phân Volterra
phi tuyến. Kết quả này chứa các kết quả tương ứng trong [4, 21] như các
trường hợp riêng và đã được công bố trong [N4]. Một ví dụ minh hoạ về sự
tồn tại nghiệm và tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của (0.0.1) trong không
gian Banach E = C[0, 1], trong đó f = 0, V (t, s, x) khơng tuyến tính theo
biến thứ ba, cho thấy kết quả đạt được mạnh hơn kết quả trước đó.


5

Ngoài ra, áp dụng định lý Krasnosel’skii - Perov về tính compact và liên
thơng của tập các điểm bất động, chúng tơi nghiên cứu tính compact và liên
thơng của tập nghiệm hay cịn gọi là tính chất Hukuhara-Kneser. Kiểu cấu
trúc này của tập nghiệm cũng được nghiên cứu trong [5, 11, 43, 58, 59] dựa
trên định lý Aronszajn hoặc định lý về tính compact và liên thơng của tập
các điểm bất động được nêu bởi Deimling, [12, tr. 212].
Kết quả thu được ở đây chứa đựng một kết quả đã công bố trong [N3] như
một trường hợp riêng, ứng với q = 0, f = 0, V (t, s, x(s)) = V (s, x(s)), và đã
gửi công bố trong [N8].
Nhờ tính chất của tập liên thơng trong khơng gian Banach ([25, tr.316]),
tính liên thơng của tập nghiệm của (0.0.1) có một ý nghĩa quan trọng. Đó là,
nếu (0.0.1) có hai nghiệm phân biệt thì sẽ có một lực lượng continuum các
nghiệm khác nhau. Về điều này, một ví dụ minh hoạ được trình bày, trong
đó nêu ra được 3 nghiệm phân biệt.

Mặt khác, sự mở rộng của bài toán đang xét cũng được nghiên cứu. Chúng
tôi chứng tỏ sự tồn tại nghiệm của phương trình:
t

x(t) = q(t) + f (t, x(t), x(π(t))) +

V (t, s, x(s), x(σ(s)))ds
0

(0.0.3)

t

G(t, s, x(s), x(χ(s)))ds , t ∈ R+

+
0

và với π(t) = t, hay nói cách khác f (t, x(t), x(π(t))) = f (t, x(t)) sự tồn tại
nghiệm ổn định tiệm cận, đồng thời tính compact, liên thông của tập nghiệm
của (0.0.3) cũng được chỉ ra. Kết quả này đã trình bày trong [N4, N8].
2. Bài tốn thứ hai đề cập đến phương trình vi phân hàm cấp hai có chậm:
u + f (t, ut , u (t)) = 0,

0 ≤ t ≤ 1,

(0.0.4)

ở đây f : [0, 1] × C × R → R là hàm liên tục, với một trong những điều kiện
biên

u0 = φ,
u0 = φ,

u(1) = u(η),

(0.0.5)

u(1) = α[u (η) − u (0)],

(0.0.6)

hoặc với điều kiện đầu
u0 = φ,

u (0) = 0,

(0.0.7)

trong đó φ ∈ C = C([−r, 0]; R), 0 < η < 1, α ∈ R.
Bài toán giá trị biên cho phương trình vi phân thường hoặc phương trình


6

vi phân hàm đã được nhiều tác giả nghiên cứu bằng các phương pháp khác
nhau trong đó có sử dụng phương pháp điểm bất động, chúng tôi xin giới
thiệu các tác giả của [19, 39, 45, 46, 57, 62] và các tài liệu tham khảo nêu ra
ở đó.
Trong [45], Ntouyas chứng minh sự tồn tại nghiệm cho phương trình vi
phân hàm

d
[x (t) − g(t, xt )] = f (t, xt , x (t)),
dt
x0 = φ, x(1) = η,

0 ≤ t ≤ 1,

ở đây f : [0, 1] × C × Rn → Rn , g : [0, 1] × C → Rn là các hàm liên tục,
φ ∈ C, η ∈ Rn .
Trong [62], sự tồn tại nghiệm, sự duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên
tục của nghiệm vào một tham số thực α của bài toán sau đây đã được Bo
Zhang thiết lập
Λ(t)x (t)) = f (t, xt , x (t)),
x0 = φ,

0 ≤ t ≤ T,

Ax(T ) + Bx (T ) = v,

trong đó Λ(t) là một ma trận thực cấp n × n phụ thuộc liên tục theo t trên
[0, T ], A và B là các ma trận hằng cấp n × n, v ∈ Rn , φ ∈ C = C [−r, 0]; Rn .
Và gần đây, Ma [39] và Yong-Pin Sun [57] đã nghiên cứu bài toán giá trị
biên
u + f (t, u) = 0, 0 < t < 1,
ở đây f : [0, 1] × R → R là hàm liên tục, liên kết với một trong những điều
kiện biên
u(0) = 0, u(1) = αu(η),
hoặc
u (0) = 0, u(1) = αu (η).
Các bài tốn cho phương trình vi phân hàm cấp hai có chậm: (0.0.4)(0.0.5), (0.0.4)- (0.0.6) là các bài tốn ba điểm biên ở một dạng khác, có thể

xem đó là một mở rộng của [39, 57] - f chứa thêm thành phần có chậm, trên
cơ sở dạng bài tốn có chậm được nêu trong [45, 62].
Ở các bài báo [45, 62], các tác giả đã nghiên cứu bài tốn có chậm với vế
trái tổng quát hơn và với điều kiện biên dạng khác. So với [45]- chỉ xét vấn


7

đề tồn tại nghiệm, và [62]- xét sự tồn tại duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc
liên tục của nghiệm cho bài tốn hai điểm biên, thì vấn đề chúng tơi nghiên
cứu ở đây có phần đa dạng hơn. Tiếp thu ý tưởng và kỹ thuật trong các bài
báo nói trên, ngoài nghiên cứu về tồn tại nghiệm bằng cách áp dụng định lý
Leray-Schauder, chúng tơi cịn đề cập đến sự tồn tại duy nhất nghiệm - bằng
cách áp dụng nguyên lý ánh xạ co và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm cho
bài toán ba điểm biên (0.0.4)- (0.0.5) và bài toán giá trị đầu (0.0.4)- (0.0.7).
Sự tồn tại nghiệm của bài toán giá trị biên hỗn hợp (0.0.4)- (0.0.6) cũng được
thiết lập. Ngoài ra, tiếp tục sử dụng định lý Krasnosel’skii - Perov, chúng tơi
nghiên cứu tính chất Hukuhara-Kneser của tập hợp nghiệm của bài toán giá
trị đầu. Tồn bộ các kết quả này đã được cơng bố trong [N2].
3. Bài toán thứ ba là bài toán hỗn hợp cho phương trình sóng phi tuyến
chứa tốn tử Kirchhoff:

utt − B t, ||u||2 , ||ur ||2 , ||ut ||2 (urr + 1 ur )

0
0
0
r




= f (r, t, u, u ),
0 < r < 1, 0 < t < T,
r
(0.0.8)
 limr→0+ √rur (r, t) < +∞, ur (1, t) + hu(1, t) = 0,




u(r, 0) = u (r), u (r, 0) = u (r),
0
t
1
trong đó hằng số h > 0, u

2
0

1

=

r |u(r, t)|2 dr,

0
1

ur 2
0

1
2

r |ur (r, t)| dr,

=
0

ut 2
0

r |ut (r, t)|2 dr

=
0

và các hàm số B, f, u0 , u1 là cho trước.
Đây là một sự tiếp nối của các cơng trình nghiên cứu về phương trình sóng
như [6, 14, 23, 32, 33, 35, 36, 37, 38, 40, 47]. Trong các cơng trình này, các tác
giả đã sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin kết hợp với phương pháp điểm
bất động và lý luận về tính compact thơng dụng để chứng minh sự tồn tại
và duy nhất nghiệm của bài toán. Sự tồn tại nghiệm địa phương được chứng
minh dựa vào định lý Schauder và nói chung chưa được trình bày tường minh.
Bài tốn (0.0.8) được xét gồm hai phần. Phần thứ nhất về tồn tại và duy
nhất nghiệm được nghiên cứu bằng phương pháp tương tự trên nhưng ở bước
xấp xỉ tuyến tính (hoặc khơng tuyến tính khi xét một trường hợp riêng) thì
được thực hiện theo nguyên lý ánh xạ co, thu được nghiệm duy nhất trên

8

toàn đoạn [0, T ]. Trường hợp tổng quát, chúng tôi thu được một dãy lặp hội
tụ mạnh (cấp một) về nghiệm của bài tốn trong các khơng gian hàm Sobolev
có trọng thích hợp. Để có được sự hội tụ và đánh giá sai số là cấp hai, chúng
tôi đã xét một trường hợp riêng và xây dựng một dãy lặp phi tuyến. Phần
thứ hai chỉ ra một khai triển tiệm cận theo một tham số nhiễu xuất hiện ở
các số hạng phi tuyến thuộc vế phải và vế trái của phương trình sóng đến
một cấp phụ thuộc vào cấp của tính trơn của dữ kiện. Kết quả nhận được
tổng quát tương đối các kết quả trong [14, 33, 36, 37, 38] và được công bố
trong [N5, N6], gửi công bố trong [N7].
Cấu trúc của luận án gồm phần mở đầu, 3 chương chính (1-3), kết luận,
danh mục các cơng trình của tác giả luận án và tài liệu tham khảo. Kết quả
chúng tôi thu được ở trên cho ba bài tốn sẽ được trình bày lần lượt trong
các chương 1, 2 và 3 với nội dung tóm tắt như sau:
Chương 1 trình bày một định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii và định
lý này được áp dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm và sự tồn tại nghiệm
ổn định tiệm cận của phương trình tích phân dạng Volterra. Kết quả đạt
được mạnh hơn những kết quả trước đó, điều này được minh họa bởi một ví
dụ, đồng thời vẫn còn đúng trong trường hợp tổng quát. Mặt khác, tính chất
Hukuhara-Kneser của phương trình tích phân nói trên cũng được đề cập và
một ví dụ được nêu ra về phương trình có nhiều hơn hai nghiệm.
Trong chương 2, áp dụng định lý điểm bất động Leray-Schauder về sự loại
trừ phi tuyến và nguyên lý ánh xạ co, chúng tôi chứng minh sự tồn tại, sự
duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm của bài toán ba điểm
biên cho phương trình vi phân hàm cấp hai có đối số chậm. Cũng với phương
pháp này, sự tồn tại nghiệm của bài toán giá trị biên với điều kiện biên hỗn
hợp và bài toán giá trị đầu cho phương trình đang xét cũng được nghiên cứu.
Đối với bài tốn giá trị đầu, sự duy nhất nghiệm, sự phụ thuộc liên tục của
nghiệm cũng được thiết lập và hơn nữa, với các điều kiện đã cho, tập nghiệm

không chỉ khác rỗng, mà cịn là tập compact và liên thơng.
Chương 3 xét bài tốn giá trị biên-ban đầu cho phương trình sóng phi
tuyến chứa tốn tử Kirchhoff. Trước hết, bài tốn được liên kết với một dãy
quy nạp tuyến tính mà sự tồn tại nghiệm địa phương được chứng minh bằng
phương pháp Galerkin, nguyên lý ánh xạ co và lý luận về tính compact thơng
dụng trong các khơng gian Sobolev có trọng thích hợp. Từ đó, tính giải được
và giải được duy nhất của bài toán được thiết lập. Tiếp theo, chúng tôi sẽ


9

đặt các điều kiện để thu được một thuật giải lặp cấp hai hội tụ. Sau hết là
khai triển tiệm cận theo tham số bé ε đến cấp N + 1 cho nghiệm yếu của bài
tốn.
Tồn bộ các kết quả nêu ra trong luận án được công bố trong [N2-N6] và
gửi cơng bố trong [N7, N8]. Ngồi ra, các nội dung và phương pháp nghiên
cứu của luận án cũng được thể hiện, vận dụng cho các phương trình dạng
khác và đã được công bố trong [N1, N9, N10].
Một phần kết quả của luận án và các kết quả liên quan đã được báo cáo
trong các hội nghị:
- Hội nghị khoa học khoa Toán-Tin học ĐHSP Tp. HCM, 22/12/2002.
- The International Conference on Differential Equations and Applications,
HCM City 22-25/08/2004.
- Hội nghị tồn quốc lần thứ hai về Ứng dụng Tốn học, Hà Nội 2325/12/2005.


Chương 1
ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ KIỂU KRASNOSEL’SKII
VÀO PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN
1.1

Giới thiệu.

Trong chương này, chúng tơi xét phương trình tích phân Volterra phi
tuyến:
t

x(t) = q(t) + f (t, x(t)) +

V (t, s, x(s))ds
0

(1.1.1)

t

G(t, s, x(s))ds, t ∈ R+ ,

+
0

ở đây E là không gian Banach với chuẩn |.|, R+ = [0, ∞), q : R+ → E;
f : R+ × E → E; G, V : ∆ × E → E được giả sử là các hàm liên tục và
∆ = {(t, s) ∈ R+ × R+ , s ≤ t}.
Chương này gồm 6 mục. Trong mục 1.2, một định lý điểm bất động kiểu
Krasnosel’skii được chứng minh. Áp dụng định lý này, các mục 1.3, 1.4 dành
cho việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận
của (1.1.1). Cuối mục 1.4 chúng tôi trình bày một ví dụ minh hoạ các kết
quả thu được khi các điều kiện đặt ra là đúng. Trong mục 1.5, với các giả
thiết như ở mục 1.3, tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình (1.1.1) được

chứng tỏ là tập hợp compact, liên thơng. Một ví dụ về phương trình (1.1.1)
có nhiều hơn hai nghiệm cũng được nêu. Cuối cùng, trong mục 1.6, một sự
mở rộng của bài tốn đang xét cũng được nghiên cứu. Chúng tơi chứng tỏ sự
tồn tại nghiệm của phương trình:
t

x(t) = q(t) + f (t, x(t), x(π(t))) +

V (t, s, x(s), x(σ(s)))ds
0

t

G(t, s, x(s), x(χ(s)))ds , t ∈ R+

+
0

10

(1.1.2)


11

và với π(t) = t, sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận đồng thời tính compact,
liên thơng của tập nghiệm của (1.1.2) cũng được trình bày. Kết quả thu được
là tổng quát hơn các kết quả tương ứng trong [4, 21].
Phần lớn nội dung của chương đã được công bố trong [N4], riêng kết quả về
cấu trúc tập nghiệm thì được cơng bố trong [N3] như một trường hợp riêng

và gửi công bố trong [N8].

1.2

Định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii.

Các định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii, như ([3, Định lý K” ’]) và
([21, Định lý 3]), là sự mở rộng của định lý Krasnosel’skii. Một trong những
hướng mở rộng định lý Krasnosel’skii là thay thế không gian Banach bởi một
không gian tổng quát hơn, chẳng hạn là khơng gian Fréchet. Đó là khơng
gian vectơ tơpơ lồi địa phương X với tôpô được sinh ra bởi một metric d bất
biến qua một phép tịnh tiến và (X, d) là đầy đủ. Một cách thuận lợi để xây
dựng không gian Fréchet là dựa trên khái niệm nửa chuẩn [3, 10, 12, 60]. Mỗi
một không gian vectơ X với một họ nửa chuẩn |.|n đếm được có tính chất:
∀x ∈ X, x = 0, ∃n ∈ N∗ , |x|n = 0, sẽ là một không gian metric đầy đủ với
metric
∞
|x − y|n
d(x, y) =
2−n
1 + |x − y|n
n=1
và ta có X, |.|n ) là không gian Fréchet. Trong không gian này, định lý Banach
được phát biểu như sau:
Định lý Banach trong không gian Fréchet: ([3, Định lý B])
Cho (X, |.|n ) là một khơng gian Fréchet, M ⊂ X đóng và U : M → M là
ánh xạ co, nghĩa là:
∀n ∈ N∗ , ∃kn ∈ [0, 1), ∀x, y ∈ M, |U x − U y|n ≤ kn |x − y|n .
Khi đó U có duy nhất một điểm bất động.
Kết hợp hai định lý ([3, Định lý K” ’]) và ([21, Định lý 3]), chúng tôi thu được

định lý sau:
Định lý 1.2.1. Giả sử (X, |.|n ) là không gian Fréchet và U, C : X → X là
hai toán tử thoả mãn các điều kiện sau:


12

(i) U là toán tử co, ứng với họ nửa chuẩn ||.||n tương đương với họ nửa
chuẩn |.|n .
(ii) C hoàn toàn liên tục nghĩa là C liên tục và biến các tập bị chặn thành
tập compact tương đối.
(iii)

|Cx|n
|x|n →∞ |x|n

lim

= 0, ∀n ∈ N∗ .

Khi đó U + C có điểm bất động.
Chứng minh định lý 1.2.1. Trước hết ta chú ý rằng, từ điều kiện (i), toán
tử (I − U )−1 được xác định và liên tục. Hai họ nửa chuẩn ||.||n , |.|n tương
đương nên tồn tại các số thực K1n , K2n > 0 sao cho
K1n ||x||n ≤ |x|n ≤ K2n ||x||n , ∀n ∈ N∗ .
Suy ra
(a) Tập hợp {|x|n , x ∈ A} bị chặn khi và chỉ khi {||x||n , x ∈ A} bị chặn,
với A ⊂ X, ∀n ∈ N∗ ;
(b) Với mọi dãy (xm ) trong X, với mọi n ∈ N∗ , vì
lim |xm − x|n = 0 ⇔ lim ||xm − x||n = 0,

m→∞

m→∞

nên (xm ) hội tụ về x ứng với |.|n khi và chỉ khi (xm ) hội tụ về x ứng với
||.||n .
Từ đó (ii) cũng được thoả mãn ứng với (X, ||.||n ). Mặt khác, ta cũng có:
K1n ||Cx||n
||Cx||n
|Cx|n
||Cx||n
K2n ||Cx||n
≤ K1n
≤
≤ K2n
≤
,
K2n ||x||n
|x|n
|x|n
|x|n
K1n ||x||n
∀x ∈ X, ∀n ∈ N∗ .
|Cx|n
|x|n →∞ |x|n

Suy ra lim

= 0 tương đương với

||Cx||n
||x||n →∞ ||x||n

lim

= 0.

Bây giờ ta chứng minh U + C có điểm bất động.
Với mỗi a ∈ X, ta định nghĩa toán tử Ua : X → X bởi Ua (x) = U (x) + a.
Dễ thấy rằng Ua là tốn tử co và do đó, với mỗi a ∈ X, Ua có duy nhất một
điểm bất động, ký hiệu là φ(a), thế thì
Ua (φ(a)) = φ(a) ⇔ U (φ(a)) + a = φ(a) ⇔ φ(a) = (I − U )−1 (a).


13
m
Gọi u0 là điểm bất động của U. Với mỗi x ∈ X, xét UC(x) (u0 ), m ∈ N∗ ở đây
m
m−1
m−1
UC(x) (y) = UC(x) (UC(x) (y)) = U (UC(x) (y)) + C(x), ∀y ∈ X.

Với mỗi n ∈ N∗ cố định, với mọi m ∈ N∗ , ta có
m
||UC(x) (u0 ) − u0 ||n
m−1
= ||UC(x) (UC(x) (u0 )) − U (u0 )||n
m−1
m−1

m−1
≤ ||UC(x) (UC(x) (u0 )) − U (UC(x) (u0 ))||n + ||U (UC(x) (u0 )) − U (u0 )||n
m−1
≤ ||C(x)||n + kn ||UC(x) (u0 ) − u0 ||n ,

từ đó bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được với mọi m ∈ N∗ ,
m
m−1
||UC(x) (u0 ) − u0 ||n ≤ (1 + kn + ... + kn )||C(x)||n

≤ α||C(x)||n ,
trong đó α =

1
1−kn

(1.2.1)

> 1. Như đã nói ở trên, (iii) được thoả mãn ứng với

(X, ||.||n ), nên với số

1
4α

> 0, tồn tại M > 0, (ta chọn M > ||u0 ||n ) sao cho

||x||n > M ⇒ ||Cx||n <

1

||x||n .
4α

Chọn một hằng số dương r1n > M + ||u0 ||n . Thế thì, với mọi x ∈ X, có hai
trường hợp sau xảy ra.
Trường hợp 1: ||x − u0 ||n > r1n .
Vì ||x||n + ||u0 ||n ≥ ||x − u0 ||n > r1n > M + ||u0 ||n ⇒ ||x||n > M , nên
1
1
||x||n ≤
||x − u0 ||n + ||u0 ||n
4α
4α
1
1
<
||x − u0 ||n + ||x − u0 ||n =
||x − u0 ||n .
4α
2α

||Cx||n <

(1.2.2)

Trường hợp 2: ||x − u0 ||n ≤ r1n .
Do điều kiện (ii) cũng đúng ứng với ||.||n , ta suy ra rằng có một hằng số
dương β sao cho
||Cx||n ≤ β.
(1.2.3)

Ta tiếp tục chọn r2n > αβ. Đặt
Dn = {x ∈ X : ||x − u0 ||n ≤ r2n }, D =

Dn .
n∈N∗


14

Khi đó u0 ∈ D và D là tập con lồi đóng và bị chặn của X.
Với mỗi x ∈ D và với mỗi n ∈ N∗ , ứng với hai trường hợp trên, ta thấy:
Nếu ||x − u0 ||n ≤ r1n thì bởi (1.2.1), (1.2.3) ta có
m
||UC(x) (u0 ) − u0 ||n ≤ α||C(x)||n

≤ αβ < r2n .

(1.2.4)

Nếu r1n < ||x − u0 ||n ≤ r2n thì bởi (1.2.1), (1.2.2) ta lại có
m
||UC(x) (u0 ) − u0 ||n ≤ α||C(x)||n
1
1
≤ α r2n = r2n < r2n .
2α
2

(1.2.5)

m
Ta thu được UC(x) (u0 ) ∈ D với mọi x ∈ D.
m
Hơn nữa, do UC(x) là toán tử co, dãy UC(x) (u0 ) hội tụ về điểm bất động duy
nhất φ(C(x)) của UC(x) , khi m → ∞, ta suy ra được φ(C(x)) ∈ D, ∀x ∈ D.
Như vậy, (I − U )−1 C(D) ⊂ D.
Áp dụng định lý Schauder, toán tử (I − U )−1 C có điểm bất động trong D, đó
cũng chính là điểm bất động của U + C trong D. Định lý 1.2.1 được chứng
minh.

1.3

Sự tồn tại nghiệm.

Giả sử X = C R+ ; E) là không gian gồm tất cả các hàm liên tục từ R+
vào E. Trên X xét họ nửa chuẩn
|x|n = sup {|x(t)|}, n ≥ 1.
t∈[0,n]

Khi đó X, |x|n ) là khơng gian metric đầy đủ với metric
∞

2−n

d(x, y) =
n=1

|x − y|n
1 + |x − y|n

và X, |x|n ) là không gian Fréchet.
Xét trên X một họ nửa chuẩn khác là ||x||n được định nghĩa như sau:
||x||n = |x|γn + |x|hn , n ≥ 1,


15

ở đây
|x|γn = sup {|x(t)|}, |x|hn = sup {e−hn (t−γn ) |x(t)|},
t∈[0,γn ]

t∈[γn ,n]

γn ∈ (0, n) và hn > 0 là các số tuỳ ý. Hai họ nửa chuẩn |x|n , ||x||n là tương
đương vì
e−hn (n−γn ) |x|n ≤ ||x||n ≤ 2|x|n , ∀x ∈ X, ∀n ≥ 1.
Ta thiết lập các giả thiết sau:
(A1 ) Tồn tại một hằng số L ∈ [0, 1) sao cho
|f (t, x) − f (t, y)| ≤ L|x − y|, ∀x, y ∈ E, ∀t ∈ R+ .
(A2 ) Tồn tại một hàm liên tục ω1 : ∆ → R+ thoả mãn
|V (t, s, x) − V (t, s, y)| ≤ ω1 (t, s)|x − y|, ∀x, y ∈ E, ∀(t, s) ∈ ∆.
(A3 ) G là hoàn toàn liên tục sao cho G(t, ., .) : I × J → E liên tục đều theo
t trên mỗi đoạn bị chặn tuỳ ý của [0, ∞), với bất kỳ các tập bị chặn
I ⊂ [0, ∞) và J ⊂ E; nghĩa là: Trên mỗi đoạn bị chặn tuỳ ý của [0, ∞),
với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0, sao cho với mọi t1 , t2 cùng thuộc đoạn bị
chặn đó,
|t1 − t2 | < δ ⇒ |G(t1 , s, x) − G(t2 , s, x)| < ε, ∀(s, x) ∈ I × J.
(A4 ) Tồn tại một hàm liên tục ω2 : ∆ → R+ sao cho
|G(t, s, x)| − ω2 (t, s)
= 0,

|x|
|x|→∞
lim

đều theo (t, s) trên mỗi tập con bị chặn tuỳ ý của ∆.
Định lý 1.3.1. Giả sử (A1 ) − (A4 ) đúng. Khi đó phương trình (1.1.1) có ít
nhất một nghiệm trên [0, ∞).
Chứng minh định lý 1.3.1. Chứng minh gồm các bước 1 − 4.
Bước 1. Trên X, xét phương trình
x(t) = q(t) + f (t, x(t)), t ∈ R+ .
Khi đó ta có bổ đề sau.

(1.3.1)


16

Bổ đề 1.3.2. Giả sử (A1 ) đúng. Khi đó phương trình (1.3.1) có một nghiệm
duy nhất.
Chứng minh. Từ giả thiết (A1 ), toán tử Φ : X → X được định nghĩa bởi
Φx(t) = q(t) + f (t, x(t)), x ∈ X, t ∈ R+
là ánh xạ co với hệ số co là L trên không gian Fréchet X, |.|n ). Áp dụng
định lý Banach, Φ có duy nhất một điểm bất động ξ ∈ X. Bổ đề được chứng
minh.
Bằng phép đổi biến x = y + ξ, ta có thể viết phương trình (1.1.1) dưới dạng
y(t) = Ay(t) + By(t) + Cy(t), t ∈ R+ ,

(1.3.2)

ở đây

Ay(t) = q(t) + f (t, y(t) + ξ(t)) − ξ(t),
t

By(t) =

V (t, s, y(s) + ξ(s))ds,
0
t

Cy(t) =

G(t, s, y(s) + ξ(s))ds.
0

Bước 2. Đặt U = A + B. Từ các giả thiết (A1 ), (A2 ) ta suy ra rằng với mọi
t ∈ R+ , với mọi y, y ∈ X,
t

|U y(t) − U y(t)| ≤ L|y(t) − y(t)| +

ω1 (t, s)|y(s) − y(s)|ds.
0

Do đó, tương tự như chứng minh của [4, Bổ đề 3.1 (2)], ta sẽ chứng minh
được U là toán tử kn −co, tương ứng với họ nửa chuẩn ||.||n . Thật vậy, ta cố
định một số nguyên dương tuỳ ý n ∈ N∗ .
Với mọi t ∈ [0, γn ] với γn ∈ (0, n) sẽ được chọn sau, ta có
t

|U y(t) − U y(t)| ≤ L|y(t) − y(t)| +

ω1 (t, s)|y(s) − y(s)|ds
0

≤ (L + ω1n γn )|y − y|γn ,
ở đây
ω1n = sup {ω1 (t, s) : (t, s) ∈ ∆n },
∆n = {(t, s) ∈ [0, n] × [0, n], s ≤ t}.


17

Suy ra
|U y − U y|γn ≤ (L + ω1n γn )|y − y|γn .

(1.3.3)

Với mọi t ∈ [γn , n], tương tự, ta cũng có
γn

|U y(t) − U y(t)| ≤ L|y(t) − y(t)| + ω1n

|y(s) − y(s)|ds
0

(1.3.4)

t

|y(s) − y(s)|ds.

+ ω1n
γn

Từ (1.3.4) và chú ý đến các bất đẳng thức
0 < e−hn (t−γn ) < 1, ∀t ∈ [γn , n], hn > 0,
( hn > 0 cũng được chọn sau) ta thu được
|U y(t) − U y(t)|e−hn (t−γn ) ≤ L|y(t) − y(t)|e−hn (t−γn ) + ω1n γn |y − y|γn
t

|y(s) − y(s)|e−hn (t−γn ) ds

+ ω1n
γn

≤ L|y − y|hn + ω1n γn |y − y|γn
t

|y(s) − y(s)|e−hn (s−γn ) ehn (s−t) ds

+ ω1n
γn

≤ L|y − y|hn + ω1n γn |y − y|γn
t

ehn (s−t) ds

+ ω1n |y − y|hn
γn

≤ L|y − y|hn + ω1n γn |y − y|γn +

ω1n
|y − y|hn .
hn

Suy ra
|U y − U y|hn ≤ L +

ω1n
)|y − y|hn + ω1n γn |y − y|γn .
hn

(1.3.5)

Kết hợp (1.3.3)-(1.3.5), ta có
||U y − U y||n ≤ L + 2γn ω1n )|y − y|γn + L +

ω1n
)|y − y|hn
hn

≤ kn ||y − y||n ,
trong đó kn = max{L + 2γn ω1n , L +
0 < γn < min{

ω1n
hn }.

Chọn

1−L
ω1n
, n}; hn >
,
2ω1n
1−L

(1.3.6)


18

thì kn < 1. Khi đó (1.3.6) dẫn đến U là toán tử kn −co tương ứng với họ nửa
chuẩn ||.||n .
Bước 3. Chứng minh C : X → X là hoàn toàn liên tục. Trước hết, ta
chứng tỏ C liên tục. Với mỗi y0 ∈ X, giả sử (ym )m là dãy trong X sao cho
lim ym = y0 .
m→∞

Cố định n ∈ N∗ . Đặt K = {(ym + ξ)(s) : s ∈ [0, n], m ∈ N}. Khi đó K là
compact trong E. Thật vậy, lấy (ymi + ξ)(si ))i là một dãy tuỳ ý trong K.
Không mất tính tổng qt, có thể giả sử rằng lim si = s0 và
i→∞

lim ymi + ξ = y0 + ξ.

i→∞

Ta có
|(ymi + ξ)(si ) − (y0 + ξ)(s0 )|
≤ |(ymi + ξ)(si ) − (y0 + ξ)(si )| + |(y0 + ξ)(si ) − (y0 + ξ)(s0 )|
≤ |ymi − y0 |n + |(y0 + ξ)(si ) − (y0 + ξ)(s0 )|,
điều này chứng tỏ lim (ymi + ξ)(si ) = (y0 + ξ)(s0 ) trong E. Nghĩa là K
i→∞

là compact trong E. Với bất kỳ > 0, vì G liên tục trên tập compact
[0, n] × [0, n] × K, nên tồn tại số δ > 0 sao cho với mọi u, v ∈ K, |u − v| < δ,
|G(t, s, u) − G(t, s, v) <

n

, ∀s, t ∈ [0, n].

Mặt khác lim ym = y0 , nên có số nguyên dương m0 sao cho với mọi m > m0 ,
m→∞

|(ym + ξ)(s) − (y0 + ξ)(s)| = |ym (s) − y0 (s)| < δ, ∀s ∈ [0, n].
Suy ra rằng với mọi t ∈ [0, n], với mọi m > m0 ,
t

|Cym (t) − Cy0 (t)| ≤

|G(t, s, (ym + ξ)(s)) − G(t, s, (y0 + ξ)(s)|ds < ,
0

nên |Cym − Cy0 |n < , với mọi m > m0 , và như thế tính liên tục của C được
chứng minh.
Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng C ánh xạ mỗi tập bị chặn thành tập

compact tương đối. Để kiểm tra một tập con của X là compact tương đối,
chúng tôi xin nhắc lại điều kiện sau.
Bổ đề 1.3.3. ([22, Mệnh đề 1])
Giả sử X = C R+ ; E) là không gian Fréchet được định nghĩa như trên


19

và A là tập con của X. Với mỗi n ∈ N∗ , giả sử Xn = C([0, n]; E) là không
gian Banach gồm tất cả các hàm liên tục u : [0, n] → E, với chuẩn ||u|| =
sup {|u(t)|} và An = {x|[0,n] : x ∈ A}.
t∈[0,n]

Tập hợp A trong X là compact tương đối nếu và chỉ nếu với mọi n ∈ N∗ ,
An đẳng liên tục trong Xn và với bất kỳ s ∈ [0, n], tập hợp An (s) = {x(s) :
x ∈ An } compact tương đối trong E.
Đây là mệnh đề được phát biểu trong [22] nhưng không được chứng minh
chi tiết. Chứng minh bổ đề 1.3.3 như sau, trong đó có sử dụng định lý AscoliArzela ([26]):
Cho E là không gian Banach với chuẩn |.| và S là tập con compact của
một không gian metric . Giả sử CE (S) là không gian Banach gồm tất cả các
ánh xạ liên tục từ S vào E với chuẩn ||x|| = sup{|x(s)|, s ∈ S}.
Tập hợp A trong CE (S) là tập compact tương đối khi và chỉ khi A đẳng
liên tục và với mọi s ∈ S, tập hợp A(s) = {x(s) : x ∈ A} compact tương đối
trong E.
Chứng minh. Giả sử rằng với mỗi n ∈ N∗ , An đẳng liên tục trong Xn và với
mọi s ∈ [0, n], tập hợp An (s) = {x(s) : x ∈ An } compact tương đối trong E.
Lấy (xk )k là một dãy tuỳ ý trong A. Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại một dãy
con hội tụ của (xk )k .
Trong không gian Banach Xn = C([0, n]; E), do An đẳng liên tục và với mọi
s ∈ [0, n], An (s) = {x(s) : x ∈ An } là compact tương đối trong E nên áp

dụng định lý Ascoli-Arzela ([26]) ta có An là tập compact tương đối trong
Xn .
Với n = 1, vì A1 là tập compact tương đối trong không gian Banach X1 =
(1)
C([0, 1]; E) nên tồn tại một dãy con của (xk )k , được ký hiệu là (xk )k sao cho
(1)

(xk |[0,1] )k → x1 trong X1 , khi k → ∞.
Với n = 2, cũng vì A2 là tập compact tương đối trong khơng gian Banach
(1)
(2)
X2 = C([0, 2]; E) nên tồn tại một dãy con của (xk )k , ký hiệu là (xk )k sao
cho
(2)
(xk |[0,2] )k → x2 trong X2 , khi k → ∞.
Bởi tính duy nhất của giới hạn, ta dễ thấy rằng x2 |[0,1] = x1 .