Sức bền vật liệu_Chương 5_Đặc trưng hình học

Trần Minh Tú – Đại học Xây dựng

Tháng
01/2015
Trần
Minh
Tú, Nghiêm Hà TânEmail:
– ĐHXD
CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 1



NỘI DUNG
CHƯƠNG 5 – ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT
CẮT NGANG
5.1. Khái niệm chung
5.2. Mômen tĩnh – Trọng tâm – Trục trung tâm
5.3. Mômen quán tính đối với một trục
5.4. Mômen quán tính độc cực
5.5. Mômen quán tính ly tâm – Hệ trục quán tính chính trung
tâm
5.6. Mômen quán tính của một số mặt cắt ngang thông dụng
5.7. Công thức chuyển trục song song
5.8. Công thức xoay trục
Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 2


5.1. Khái niệm chung

 Thanh chịu kéo-nén đúng tâm: khả năng chịu lực của thanh chỉ phụ thuộc
vào một đặc trưng hình học là diện tích A của mặt cắt ngang.
 Tuy nhiên, với nhiều kết cấu khác (chịu uốn, xoắn…), khả năng chịu lực của
kết cấu còn phụ thuộc vào hình dạng của mặt cắt ngang (đặc, rỗng…) cũng
như phương tác dụng của ngoại lực đối với mặt cắt (dầm đặt đứng hay đặt
ngang như trên hình vẽ ví dụ).
 Những đại lượng hình học ảnh hưởng đến khả năng chịu lực của kết cấu
được gọi là các đặc trưng hình học của mặt cắt ngang.
Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 3


5.2. Mômen tĩnh – Trọng tâm – Trục trung tâm
Cho hình phẳng diện tích A trong
hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ.
Xét một phân tố diện tích dA có
toạ độ (x; y).
Mômen tĩnh của diện tích A đối
với trục Ox và Oy lần lượt là:

Đơn vị: [chiều dài3] (ví dụ: m3; cm3…)
Giá trị của mô-men tĩnh có thể âm, dương hoặc bằng 0.

Khi mômen tĩnh của diện tích A đối với một trục xo nào đó
bằng 0 thì trục đó được gọi là trục trung tâm:
Các trục trung tâm đồng quy tại trọng tâm của mặt cắt.
Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 4

5.2. Mômen tĩnh – Trọng tâm – Trục trung tâm
Bài toán xác định trọng tâm
Giả sử C (xC; yC) là trọng tâm mặt cắt
ngang

Ox1y1 – hệ trục ban đầu
x0, y0 – hệ trục đi qua trọng tâm C
dA (x1; y1) trong hệ tọa độ Ox1y1
dA (x0; y0) trong hệ tọa độ Cxy
Ta có:
Tương tự, ta có:

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 5


5.2. Mômen tĩnh – Trọng tâm – Trục trung tâm
Vậy, giả sử C (xC; yC) là trọng tâm của mặt cắt ngang có diện
tích A, ta có công thức tìm toạ độ của C:

Nếu mặt cắt A được ghép bởi nhiều hình đơn giản:

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 6

5.2. Mômen tĩnh – Trọng tâm – Trục trung tâm
 Chú ý
 Chọn hệ trục toạ độ ban đầu hợp lý: Nếu hình có trục đối
xứng thì chọn trục đối xứng làm một trục của hệ trục tọa
độ ban đầu, trục còn lại đi qua trọng tâm của càng nhiều
hình đơn giản càng tốt.
 Nếu hình bị khoét thì diện tích bị khoét mang giá trị âm.

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 7


5.3. Mômen quán tính đối với một trục
Mômen quán tính của diện tích A
đối với trục Ox và Oy lần lượt là:

Đơn vị: [chiều dài4] (ví dụ: m4; cm4…)
Giá trị của mô-men quán tính luôn dương.

Nếu diện tích A được ghép từ nhiều hình đơn giản:

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 8


5.3. Mômen quán tính đối với một trục
Bán kính quán tính của diện tích
A đối với trục Ox và Oy lần lượt là:

Đơn vị: [chiều dài] (ví dụ: m; cm…)
Giá trị của bán kính quán tính luôn dương.

Bán kính quán tính của diện tích A đối với một trục đặc trưng
cho phân bố của vật liệu đối với trục đó (với cùng một diện tích
A, bán kính quán tính càng lớn thì càng có nhiều vật liệu ở xa
trục và ngược lại).

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 9


5.4. Mômen quán tính độc cực
Mômen quán tính độc cực của
diện tích A đối với điểm O là:

Đơn vị: [chiều dài4] (ví dụ: m4; cm4…)
Giá trị của mô-men quán tính độc cực
luôn dương.

Dựa vào định lý Pythagore, ta có quan hệ giữa các mô-men
quán tính:

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 10


5.5. Mômen quán tính ly tâm – Hệ trục quán tính chính trung tâm

Mômen quán tính ly tâm của
diện tích A đối với hệ trục Ox và
Oy là:

Đơn vị: [chiều dài4] (ví dụ: m4; cm4…)
Giá trị của mô-men quán tính ly tâm có thể
dương, âm hoặc bằng 0.
• Khi mômen quán tính ly tâm của mặt cắt đối với một hệ trục nào đó
bằng 0 thì hệ trục đó được gọi là hệ trục quán tính chính:
• Tại bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng của mặt cắt, ta cũng có thể xác
định được 1 hệ trục quán tính chính.
• Hệ trục quán tính chính có gốc tại trọng tâm C của mặt cắt được gọi
là hệ trục quán tính chính trung tâm.
Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 11


5.5. Mômen quán tính ly tâm – Hệ trục quán tính chính trung tâm

Nếu mặt cắt có 1 trục đối xứng thì bất cứ trục xo nào
vuông góc với trục đối xứng đó cũng lập với nó 1 hệ trục
quán tính chính Oxoy.

Trục x đi qua trọng tâm C và vuông góc với trục đối xứng
tạo thành hệ trục quán tính chính trung tâm Cxy.
Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 12


5.6. Mômen quán tính của một số mặt cắt ngang thông dụng

 Hình chữ nhật:

Đối với hệ trục Cxy đi qua trọng tâm

C của hình chữ nhật:

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 13


5.6. Mômen quán tính của một số mặt cắt ngang thông dụng

 Hình tam giác:
Đối với hệ trục Oxy có trục Ox trùng với 1 đáy của tam giác:

Nếu trục x đi qua trọng tâm C của hình tam giác:

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 14


5.6. Mômen quán tính của một số mặt cắt ngang thông dụng

 Hình tròn:
Đối với điểm O là tâm (đồng thời là trọng tâm) của hình tròn:

Do Ix = Iy và Ip = Ix + Iy ta có:
Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 15


5.6. Mômen quán tính của một số mặt cắt ngang thông dụng

 Hình vành khuyên:

Các công thức trên còn có thể được
viết dưới dạng:

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 16


5.6. Mômen quán tính của một số mặt cắt ngang thông dụng
 Thép định hình chữ I, chữ C; thép góc (đều cạnh, không đều cạnh); thép
hộp, thép ống:

Các đặc trưng hình học đã được tính sẵn và lập thành bảng, có thể được tra
cứu dựa vào số hiệu của mặt cắt.
Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 17


5.6. Mômen quán tính của một số mặt cắt ngang thông dụng
 Ví dụ bảng tra
thép hình:

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 18


5.6. Mômen quán tính của một số mặt cắt ngang thông dụng
 Ví dụ bảng tra
thép hình:

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 19


5.7. Công thức chuyển trục song song

Cho mặt cắt ngang có diện tích A
trong hệ trục toạ độ oxy. Các đặc
trưng hình học của mặt cắt ngang đó
trong hệ trục toạ độ oxy lần lượt là Sx;
Sy; Ix; Iy.
Ta sẽ xác định các đặc trưng hình
học này trong hệ trục toạ độ mới
OXY song song với hệ trục toạ độ cũ.
Ta có:

(*) (a; b) là toạ độ của gốc tọa độ cũ trong hệ trục toạ độ mới.
Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 20


5.7. Công thức chuyển trục song song
Biến đổi tương tự ta có:

→ Công thức chuyển trục song song
của mômen quán tính.

Nếu hệ trục ban đầu là hệ trục trung
tâm của mặt cắt ngang thì ta có các
công thức đơn giản:
Chú ý: dấu của khoảng cách a, b giữa các trục.
Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 21


5.8. Công thức xoay trục
Trong nhiều trường hợp, cần xác định các đặc trưng hình học
mặt cắt ngang trong hệ trục toạ độ xoay một góc nào đó so với

hệ trục ban đầu

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 22


5.8. Công thức xoay trục
Cho mặt cắt ngang có diện tích
A trong hệ trục toạ độ Oxy. Các
đặc trưng hình học của mặt cắt
ngang đó trong hệ trục toạ độ
Oxy lần lượt là Sx; Sy; Ix; Iy.
Ta sẽ xác định các đặc trưng
hình học này trong hệ trục toạ độ
mới Ouv là hệ trục Oxy quay đi
một góc α. Ta có:

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 23


5.8. Công thức xoay trục
Khai triển và sử dụng các biến
đổi lượng giác:

Đây là các công thức xoay
trục của mômen quán tính.

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 24


5.8. Công thức xoay trục

Nhận xét:
Các công thức xoay trục của mô-men quán tính hoàn toàn tương tự các công
thức của trạng thái ứng suất phẳng. Vì vậy, ta có thể áp dụng toàn bộ kết quả
của trạng thái ứng suất phẳng cho trạng thái mô-men quán tính của một mặt
cắt ngang.
 Hệ trục quán tính chính được xác
định bởi góc αo:

Vòng tròn Mohr quán tính

 Các mô-men quán tính chính cũng là
các cực trị của mô-men quán tính của
mặt cắt A:

 Bất biến của trạng thái mô-men quán tính:
Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 5: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang – 25