Sức bền vật liệu_Chương 6_Xoắn

Trần Minh Tú – Đại học Xây dựng

ThángMinh
01/2015
Trần
Tú, Nghiêm Hà Tân
– ĐHXD
CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 1
Email:



MỤC LỤC
CHƯƠNG 6 – THANH CHỊU XOẮN THUẦN TÚY
6.1. Khái niệm – Nội lực
6.2. Ứng suất trong thanh tròn chịu xoắn
6.3. Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn
6.4. Điều kiện bền, điều kiện cứng, ba bài toán cơ bản
6.5. Bài toán siêu tĩnh
6.6.* Thế năng biến dạng đàn hồi của thanh chịu xoắn
6.7.* Xoắn thanh có mặt cắt ngang hình chữ nhật
6.8.* Lò xo hình trụ bước ngắn

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 2


6.1. Khái niệm – Nội lực
Thanh chịu xoắn thuần tuý là thanh mà trên các mặt cắt
ngang của nó chỉ tồn tại một thành phần ứng lực là mômen

xoắn Mz nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục thanh.

Ví dụ: Các trục truyền động, các thanh
kết cấu trong không gian,…
Ngoại lực gây xoắn: mômen xoắn tập
trung, mômen xoắn phân bố, ngẫu lực
trong mặt cắt ngang
Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 3


6.1. Khái niệm – Nội lực
Ví dụ về các thanh chịu xoắn thuần tuý:

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 4


6.1. Khái niệm – Nội lực
Ví dụ về các thanh chịu xoắn thuần tuý:

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 5


6.1. Khái niệm – Nội lực
Ví dụ về các thanh chịu xoắn thuần tuý:

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 6


6.1. Khái niệm – Nội lực
 Cách xác định nội lực:
Phương pháp mặt cắt.

 Quy ước dấu của Mz:
Nhìn từ bên ngoài vào
mặt cắt ngang, nếu Mz
có chiều thuận chiều
kim đồng hồ thì nó
mang dấu dương và
ngược lại.

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 7


6.2. Ứng suất trong thanh tròn chịu xoắn
Thí nghiệm: Trước khi cho thanh chịu
xoắn, kẻ trên bề mặt thanh:
- Hệ những đường thẳng song song
với trục thanh
- Hệ những đường tròn vuông góc
với trục thanh

→ Tạo thành một lưới ô vuông
- Các bán kính trên các mặt cắt
ngang ở 2 đầu thanh
Quan sát biến dạng:
- Các đường song song với trục
thanh nghiêng đều một góc γ so với
phương ban đầu
- Các đường tròn vẫn vuông góc với
trục thanh; khoảng cách giữa chúng
không đổi
- Các bán kính vẫn thẳng và có độ
dài không đổi
Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 8


6.2. Ứng suất trong thanh tròn chịu xoắn
Các giả thiết về biến dạng:
Giả thiết 1: Giả thiết về mặt cắt ngang phẳng
(Bernoulli)
Mặt cắt ngang trước biến dạng là phẳng và vuông
góc với trục thanh, sau biến dạng vẫn phẳng và
vuông góc với trục thanh.

Jacob Bernoulli
(1654-1705)

Giả thiết 2: Giả thiết về các bán kính
Các bán kính trước và sau biến dạng vẫn thẳng và

có độ dài không đổi.
Chú ý: Ứng xử của vật liệu tuân theo Định luật
Hooke (ứng suất tỷ lệ thuận với biến dạng)
Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

Robert Hooke
(1635 -1703)

CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 9


6.2. Ứng suất trong thanh tròn chịu xoắn
Công thức tính ứng suất tiếp
• Giả thiết 1

→ εz = 0
→ σz = 0
• Giả thiết 2

→ εx = εy = 0
→ σx = σy = 0
→ Trên mặt cắt ngang chỉ có ứng
suất tiếp
Ứng suất tiếp τ có phương vuông
góc với bán kính, cùng chiều
mômen xoắn nội lực.

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 10

6.2. Ứng suất trong thanh tròn chịu xoắn
Công thức tính ứng suất tiếp
 Ta tìm công thức tính ứng suất tiếp tại
điểm cách tâm O một khoảng là ρ.
 Từ công thức Định luật Hooke cho biến
dạng góc:
G – Mô-đun đàn hồi trượt của vật liệu (đã biết)
γ – Biến dạng góc → γ = ? → Pt biến dạng?
 Để viết pt biến dạng (pt động học), người
ta đưa ra các khái niệm sau:
 Góc xoắn giữa hai tiết diện cách nhau L, ký
hiệu là φ
 Góc xoắn tỷ đối: góc xoắn giữa hai tiết diện
cách nhau 1 đơn vị dài, ký hiệu là θ
Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 11


6.2. Ứng suất trong thanh tròn chịu xoắn
Công thức tính ứng suất tiếp

Tĩnh học:
Động học:
Định luật Hooke:

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

Đặt

Góc xoắn tỷ đối

CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 12


6.2. Ứng suất trong thanh tròn chịu xoắn
Phân bố ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang
Ứng suất tiếp τ phân bố bậc nhất theo khoảng cách ρ
đến tâm và đạt cực đại trên chu vi.

: Mô-men chống xoắn của mặt cắt ngang

Với tiết diện tròn đặc:
Với tiết diện hình vành khuyên:

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 13


6.2. Ứng suất trong thanh tròn chịu xoắn
Trạng thái ứng suất trong thanh tròn chịu xoắn
 Các phân tố với các mặt song song và
vuông góc với trục (phân tố a) ở trạng
thái ứng suất trượt thuần túy.
 Phân tố nghiêng một góc bất kỳ (phân
tố b) ở trạng thái ứng suất phẳng (tồn
tại cả ứng suất pháp và ứng suất tiếp

trên các mặt).
 Xét phân tố nghiêng 45o so với trục
thanh (phân tố c):

→ Đây là phân tố chính, chịu ứng suất
kéo trên 2 mặt và chịu ứng suất nén
trên 2 mặt.
Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 14


6.2. Ứng suất trong thanh tròn chịu xoắn
Trạng thái ứng suất trong thanh tròn chịu xoắn
 Vật liệu dẻo: độ bền trượt kém,
thường bị phá hủy do cắt → Khi
chịu xoắn, mẫu vật liệu dẻo bi phá
hủy tại mặt cắt có ứng suất tiếp lớn
nhất – mặt cắt ngang.
 Vật liệu giòn: chịu kéo yếu hơn chịu cắt → Khi chịu xoắn, mẫu vật
liệu giòn bi phá hủy theo phương có ứng suất kéo lớn nhất – nghiêng
45o so với trục thanh.
 Vật liệu có thớ (gỗ): bị phá hủy theo phương ngang thớ khi chịu xoắn.

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 15


6.3. Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn

Đã có:

Charles Augustine de Coulomb
(1736 -1806)

Góc xoắn (góc xoay) giữa hai tiết diện cách nhau L là:
G – Mô-đun đàn hồi trượt của vật liệu; Còn gọi là mô-đun Coulomb
Ip – Mômen quán tính độc cực của tiết diện
GIp – Độ cứng xoắn của thanh
Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 16


6.3. Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn
• Thanh có

• Thanh có
đoạn:

:

trên từng

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 17

6.3. Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn
Ví dụ 6.1:
Cho trục tròn có tiết diện thay đổi chịu
tác dụng của mômen xoắn ngoại lực
như hình vẽ.
1. Vẽ biểu đồ mômen xoắn nội lực.
2. Xác định trị số ứng suất tiếp lớn
nhất.
3. Tính góc xoắn của tiết diện C.

M=5kNm;
G=8×103kN/cm2
Biết

a=1m;

D=10cm;

GIẢI:
1. Vẽ biểu đồ mômen xoắn nội lực
Dùng phương pháp mặt cắt tính
mômen xoắn trên từng đoạn thanh:

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 18


6.3. Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn
Ta có biểu đồ mômen xoắn nội lực

như hình vẽ
2. Xác định trị số ứng suất tiếp lớn
nhất

3. Góc xoắn của tiết diện C

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 19


6.4. Điều kiện bền, điều kiện cứng, ba bài toán cơ bản
 Điều kiện bền:
: Dùng thực nghiệm tìm τo
: Dùng thuyết bền 3
: Dùng thuyết bền 4

 Điều kiện cứng:
Nếu [θ] cho bằng o/m → đổi ra rad/m
Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 20


6.4. Điều kiện bền, ba bài toán cơ bản
 Ba bài toán cơ bản:
Từ công thức của điều kiện bền và điều kiện cứng, có 3
dạng bài toán cơ bản:
 Kiểm tra điều kiện bền, điều kiện cứng:

 Tìm kích thước của tiết diện theo điều kiện bền, điều kiện cứng:
Tiết diện
tròn đặc

 Tìm giá trị tải trọng cho phép theo điều kiện bền, điều kiện cứng:

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 21


6.5. Bài toán siêu tĩnh

 Hệ siêu tĩnh là hệ mà ta không thể xác định được hết
các phản lực liên kết và nội lực trong hệ nếu chỉ nhờ vào
các phương trình cân bằng tĩnh học.

 Số ẩn số > Số phương trình cân bằng
→ Cần viết thêm phương trình bổ sung
→ Phương trình tương thích về biến dạng

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 22


6.5. Bài toán siêu tĩnh
Ví dụ 6.2:
Cho thanh có tiết diện thay đổi
chịu xoắn như hình vẽ. Vẽ biểu đồ

mômen xoắn nội lực.

GIẢI:
1. Giả sử phản lực tại ngàm A và
C có chiều như hình vẽ. Pt cân
bằng:
→ Bài toán siêu tĩnh
2. Pt tương thích về biến dạng:

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 23


6.5. Bài toán siêu tĩnh
Dùng phương pháp mặt cắt

Ta có biểu đồ mômen xoắn nội lực
như hình vẽ.

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 24


6.6.* Thế năng biến dạng đàn hồi của thanh chịu xoắn
 Thế năng biến dạng đàn hồi:

Ta có dV = dA dz

Thanh tiết diện không đổi chịu mômen xoắn
không đổi:

 Thế năng biến dạng đàn hồi riêng u do
ứng suất tiếp gây ra:

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 25