Về môđun M CP nội xạ

MỞ ĐẦU
Môđun nội xạ là một đối tượng nghiên cứu của lý thuyết vành và
môđun. Người ta đã mở rộng khái niệm này thành khái niệm môđun
M-nội xạ, môđun tự nội xạ, môđun M-nội xạ cốt yếu, …Trên cơ sở
tương tự dựa trên yếu tố nội xạ, luận văn này tìm hiểu về khái niệm và
các tính chất của môđun M-cp-nội xạ.
Giả sử M và N là hai R-môđun. Khi đó, môđun N được gọi là Mcp-nội xạ nếu mỗi môđun con đóng M-xyclic X của M, mỗi đồng cấu f
từ X đến N có thể mở rộng tới đồng cấu từ M đến N. Môđun N được
gọi là cp- nội xạ nếu nó là R-cp-nội xạ. Rõ ràng mọi môđun M-p-nội xạ
là M-cp-nội xạ, nhưng điều ngược lại nói chung không đúng.
Luận văn dựa trên bài báo “Quasi-c-Principally injective
Modules and self-c-Principally injective Rings” của A.K.Chaturvedi,
B.M.Pandeya và A.J.Gupta, đăng trên Southeast Asian Bulletin of
Mathemmatics (2009) 33: 685-702 để tìm hiểu trình bày một cách chi
tiết về môđun M-cp-nội xạ.
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo luận văn
được chia làm hai chương.
Chương 1. Trình bày các kiến thức về tổng trực tiếp, tích trực
tiếp, môđun con cốt yếu, môđun con đóng, môđun con M-xyclic và các
điều kiện (Ci) của môđun nhằm mục đích làm cơ sở cho việc trình bày
nội dung chính của luận văn ở chương 2. Ngoài ra, chúng tôi còn trích
dẫn một số kết quả đã có dưới dạng mệnh đề nhằm phục vụ cho các
chứng minh ở phần sau.

1


Chương 2. Đây là nội dung chính của luận văn. Trong chương
này chúng tôi trình bày các kiến thức về môđun M-nội xạ, môđun Mcp-nội xạ và một số tính chất của môđun M-cp-nội xạ.
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học
Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Ngô Sỹ Tùng. Tác giả

xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn,
thầy đã tận tình chỉ bảo, dìu dắt, giúp tác giả độc lập suy nghĩ, vững tin
trong bước đầu nghiên cứu khoa học, dành cho tác giả những ý kiến chỉ
đạo quý báu để tác giả hoàn thành luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong chuyên
nghành Đại số và Lý thuyết số, Khoa Toán học, Phòng Đào tạo sau đại
học của Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy, hướng dẫn cho
chúng tôi học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Trường Đại học Sài Gòn đã giúp
đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho mỗi học viên chúng tôi học tập và nghiên
cứu theo chương trình liên kết sau đại học giữa hai trường Đại học
Vinh và Đại học Sài Gòn.
Tác giả cũng xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp đã luôn
động viên, tạo kiều kiên thuận lợi cho tác giả trong suốt thời gian học
tập và hoàn thành luận văn này.
Mặc dù đã rất cố gắng, tuy nhiên luận văn sẽ không tránh khỏi
những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự đóng góp chân thành
của quý thầy, cô giáo và các bạn. Tác giả xin chân thành cảm ơn.
Nghệ An, tháng 08 năm 2012
Tác giả

Nguyễn Thị Mai Lam

2


BẢNG KÝ HIỆU
A B

Môđun A đẳng cấu với môđun B

A M

A là môđun con của môđun M

A  M

A là môđun con cốt yếu trong M

A  M

A là hạng tử trực tiếp của M

A B

Tổng trực tiếp của A và B

 N

Tích trực tiếp của họ môđun ( N ) I

 N

Tổng trực tiếp của họ môđun ( N ) I

I
I

Phép nhúng
□

Kết thúc chứng minh

3


Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ
Trong luận văn này vành luôn giả thiết là vành có đơn vị, ký hiệu
1 và mọi môđun là môđun phải unita. Nếu không viết gì thêm ta hiểu là
môđun trên một vành R cố định nào đó.
1.1. TỔNG TRỰC TIẾP
1.1.1. Định nghĩa. Cho  Ai 

iI

R-môđun M. Khi đó nếu

là một họ tùy ý các môđun con của một

Ai thỏa mãn:

iI

Ak   Ai  0 k  I thì
iI
ik

Ai

iI

được gọi là tổng trực tiếp trong của các môđun con Ai , i  I . Kí hiệu là:
 Ai .

iI

1.1.2. Định lí (Định lí về tính phổ dụng của tổng trực tiếp). Giả sử B
là R-môđun cùng với một họ các đồng cấu  j : Aj  B , j  I . Khi đó
tồn tại đồng cấu duy nhất  :  Ai  B sao cho  p j   j , tức là biểu đồ
sau giao hoán

 Ai



B

iI

j

pj

Aj
Chứng minh. Ta chọn  : i
A  B xác định bởi  ( x)   i ( xi ) với
I i
iI

x   xi iI   Ai .

mọi

Khi

iI

đó

ta

 (ax  by)   i (axi  byi )  a i ( xi )  b i ( yi )  a ( x)  b ( y)
iI

iI

có:
với

iI

mọi a, b R và với mọi x   xi iI  i
A , y   yi iI   Ai . Vậy  là
I i
iI
một đồng cấu.

4

Dễ thấy rằng  p j ( x j )   [ x j ]   j ( x j ) với mọi x j  Aj nên  p j   j với
mọi j  I . Tiếp tục giả sử có một đồng cấu   : i
A  B sao cho
I i
jI .

mọi

với

pj   j

 j ( x j )    p j ( x j )     p j ( x j )    ( x j )




 iI



với

Khi

đó

do

mọi

jI ,

nên

 ( x)      [ xi ]    ([ xi ])   i ( xi )   ( x)
iI

với

mọi

iI

x   xi iI   Ai . Do đó  ( x)   ( x) với mọi x   Ai hay     . Vậy
iI

iI

đồng cấu  là duy nhất.

□

1.1.3. Định lí. Cho M là R-môđun và  Ai 

iI

là một họ các môđun con

của R-môđun M. Khi đó các khẳng định sau đây là tương đương.

(i)

Ai

iI

là tổng trực tiếp trong của họ  Ai 

iI

(ii) Với mọi phần tử x thuộc

Ai

iI

.

đều biểu thị được duy nhất dưới

dạng x  ai1  ai2  ...  ain , ai j  Ai j , i j  I .
(iii)

Đẳng

thức

trong

ai1  ai2  ...  ain  0

đó

ai  Ai j , i j  I , i  1,2,..., n chỉ xảy ra khi ai1  ai2  ...  ain  0 .
j

Chứng minh. (i)  (ii) Với mỗi phần tử x thuộc

Ai , tồn tại một tập

iI

hữu hạn J  I sao cho x có sự biểu thị x   ai với ai  Ai . Giả sử có
iJ

tập hữu hạn J '  I sao cho x có sự biểu thị x   ai' với ai'  Ai . Đem
iJ '

trừ theo từng vế hai biểu thị của x, ta nhận được

5

(a  ai' )  0 , trong

iJ  J '
i


đó ai  0 khi i  J ' \ J và ai'  0 khi i  J \ J ' . Như vậy với j  J  J ' thì
a j  a 'j 



iJ  J ',i  j

Bởi

Ai

iI





 i  j



(ai'  ai )  A j    Ai  .

là tổng trực tiếp của họ  Ai 

iI

, điều này kéo theo a j  a'j với

mọi j  J  J ' , tức hai biểu thị như trên của x trùng nhau.
(ii)  (iii) Ta có phần tử 0   Ai luôn có biểu thị : 0 = 0 + 0 +….+
iI

0. Do đó nếu có một biểu thị khác 0 = ai1  ai2  ...  ain , thì bởi tính duy
nhất sự biểu thị của 0 , ta phải có ai1  ai2  ...  ain  0 .




i  jI



(iii)  (i) Giả sử i  I và ai là một phần tử của Ai    Aj  . Khi đó
tồn

tại

j1 ,..., j2  I \ i

ai  a j1  a j1  ...  a jn , hay

và

a ji  Aji ,

i  1,2,..., n

sao

cho

ai  a j1  a j1  ...  a jn  0. Theo giả thiết, điều




i jI



này kéo theo ai  a j1  a j1  ...  a jn  0. Vậy Ai    Aj   0 với mọi
i  I , tức là

Ai

iI

là tổng trực tiếp trong của họ  Ai 

iI

.

□

1.1.4. Định nghĩa. Cho M là R-môđun, A là môđun con của M, kí hiệu
A  M . Khi đó A được gọi là hạng tử trực tiếp của M nếu tồn tại

môđun con B của M sao cho A  B  0 và A  B  M , khi đó M  A  B .
Ký hiệu A  M có nghĩa A là hạng tử trực tiếp của M.
Môđun M được gọi là không phân tích được nếu 0 và M là những

hạng tử trực tiếp duy nhất trong M.

6


1.2. TÍCH TRỰC TIẾP
1.2.1. Định nghĩa. Cho  Ai 

iI

là một họ tùy ý các R-môđun.

Khi đó tích Đề các  Ai  (ai ) | i  I , ai  Ai  cùng với phép cộng và phép
I

nhân với vô hướng theo thành phần:
gọi là tích trực tiếp của họ  Ai 

iI

(ai )  (bi )  (ai  bi )
là một R-môđun,
(ai )r  (ai r )

.

1.2.2. Định lí (Định lí về tính phổ dụng của tích trực tiếp).
Giả sử B là R-môđun cùng với các đồng cấu  j : B  Aj , j  I . Khi đó
tồn tại đồng cấu duy nhất  : B   Ai sao cho g j    j , tức là biểu đồ
iI

sau giao hoán



B

 Ai
i I

gj

j

Aj
Chứng minh. Ta chọn  : B   Ai xác định bởi  ( x)    j ( x)  jI với mọi
iI

x B .

Khi

đó

ta

có

 (ax  by )   i (ax  by) iI   ai ( x )  bi ( y ) iI  a  i ( x)   b  i ( y)  .
iI

iI

Do đó  (ax  by)  a ( x)  b ( y) với mọi a, b R và mọi x, y  B . Vậy
 là một đồng cấu R-đồng cấu.

Dễ thấy rằng g j  ( x)  g j   ( x)   g j   i ( x) iI    j ( x) với mọi x  B
nên g j    j với mọi j  I .
Bây giờ giả sử có một đồng cấu   : B   Ai sao cho g j     j với mọi
iI

j  I . Khi đó do  j ( x)  g j  ( x)  g j   ( x)  với mọi

7

j  I , nên


 ( x)   i ( x) iI với mọi x  B . Do đó  ( x)   ( x) với mọi x  B hay

    . Vậy đồng cấu  là duy nhất.

□

1.3. MÔĐUN CON CỐT YẾU
1.3.1. Định nghĩa. Cho M là R-môđun. A là môđun con của M. Ta nói

A là môđun con cốt yếu của M nếu với mọi môđun con B khác 0 của
M thì A  B  0 (Một cách tương đương, nếu A  B  0 thì B  0 ). Khi
đó ta cũng nói rằng M là mở rộng cốt yếu của A. Kí hiệu là A  M .
1.3.2. Ví dụ.

i)Với mọi môđun M ta có M  M .
ii) Xem vành số nguyên  như  -môđun, ta có n  , n  0 .
Thật vậy, lấy 0  A, B   , ta có A  m, B  n,

m, n  0 suy ra

mn  m và mn  nm  n . Từ đó suy ra mn  m  n . Hay A  B  0 .

Vậy n  , n  0 .
1.3.3. Tính chất.

a)

Cho

A

là

môđun

con

của

M.

Khi

đó

A  M  xR  A  0, x  0, x  M .

b) Cho A  N  M . Khi đó A  M  A  N và N  M .
c) Cho A  M và B  M thì A  B  M .
n

n

i 1

i 1

d) Ai  M i  M , Ai  M i , i  1, n thì  Ai   M i .
e) Cho A  N  M nếu N / A  M / A thì N  M .
f) Cho f : M  N là đồng cấu môđun và B  N thì f 1 ( B)  M .
g) Cho M i  M , M   M i và Ai  M i , i  I . Khi đó nếu tồn tại
iI

 Ai thì

iI

M i  i
Mi

I
iI

và i
A   M i .
I i
iI

8


Chứng minh. a)* Cho A là môđun con của M. Giả sử A  M , ta cần
chứng minh xR  A  0, x  0, x  M . Thật vậy do 0  x  M nên
0  xR  M . Mặt khác A  M nên A  xR  0 .

* Cho A là môđun con của M. Giả sử xR  A  0, x  0, x  M ,
ta cần chứng minh A  M . Lấy 0  B  M suy ra tồn tại x  B , x  0 .
Ta có A  xR  0 mà xR  B suy ra A  B  0 . Vậy A  M .

□

b) (  )Giả sử A  N  M và A  M , ta cần:
*Chứng minh A  N . Lấy X  N  M , X  0 . Do A  M nên
A  X  0 . Vậy A  N .

*Chứng minh

N  M . Lấy Y  M ,Y  0 . Do

A  M

nên

A  Y  0 . Mà A  N nên N  Y  0 . Vậy N  M .

(  )Giả sử A  N  M ; A  N và

N  M .Ta chứng minh

A  M .

Thật vậy, lấy X  M , X  0 . Do N  M nên

N  X  0 . Đặt

B  N  X  N . Do A  N nên A  B  0 suy ra A  N  X  0 do đó
A  X  0 . Vậy A  M .

□

c) Giả sử A  M và B  M ta chứng minh A  B  M .
Thật vậy, lấy X  M , X  0 . Do B  M nên B  X  0, B  X  M và
A  M suy ra A  ( B  X )  0  ( A  B)  X  0 . Vậy A  B  M .

□

d) Dùng phương pháp quy nạp theo n , ta chứng minh mệnh đề
đúng với n  2 .
Cho A1  M1  M , A2  M 2  M . Ta chứng minh A1  A2  M1  M 2 .
Lấy B  M 1  M 2 , B  0 suy ra B  M1 và A1  M 1 nên

A1  B  0 .

Đặt

X  A1  B . Lấy A2  M 2 và A2  X  0 suy ra ( A1  B)  A2  0 do đó

( A1  A2 )  B  0 . Vì vậy A1  A2  M 1  M 2 .

9

□


Chú

ý.

Trường

hợp

vô

hạn

là

không

đúng,

tức





i 1

i1

là

Ai  M i  M , Ai  M i , i  1,  thì  Ai không cốt yếu trong  M i .




n 1

i 1

Ví dụ. Ta có n  , n  0 . Nếu có  n   Ai , Ai  , i suy ra
0   (vô lý).

e) Giả sử A  N  M , N / A  M / A . Ta cần chứng minh N  M .
Lấy

X  M , X  0 . Ta chứng minh X  N  0 . Thật vậy, ta có

X  A / A  M / A.

Nếu X  A / A  0 suy ra X  A  A do đó X  A  N . Vì vậy X  N  0 .
Nếu X  A / A  0 và N / A  M / A suy ra X  A / A  N / A  0 nên tồn
tại n  A  0 sao cho n  A  x  a  A suy ra n  a  x  a  a với
a, a  A, n  N , x  X , x  A suy ra x  n  a  a  a  N do đó X  N  0 .

Vậy N  M .

□

f) Lấy X  M , X  0 .
Trường hợp 1. f ( X )  0  X  kerf  f 1 (0) mà f 1 (0)  f 1 ( B) (do
0  B ) suy ra X  f 1 (B) nên X  f 1 ( B)  X  0 . Vậy f 1 (B)  M .

Trường hợp 2.

f ( X )  0, f ( X )  N . Do

B  N

nên suy ra

B  f ( X )  0 . Do đó tồn tại b  f ( x)  0 , với b  B, x  X , x  0 . Suy ra
f ( x)  B  x  f 1 ( B )  x  X  f 1 ( B) . Vậy f 1 ( B )  M .

□

g) Trường hợp 1. Nếu I là hữu hạn I  n . Ta cần chứng minh
mệnh đề đúng với n  2 .
Cho

A1  M1 , A2  M 2

 M 1  M 2


 A1  A2  M 1  M 2

Thật

và

vậy,

A1  A2 .Ta

do

chứng

A1  M 1 , A2  M 2

A1  A2  M 1  M 2 do đó 0  M 1  M 2 . Vì vậy M 1  M 2  0 .

10

minh:
suy

ra

Xét đồng cấu

f1 ( x1  x2 )  x1 với mọi

f1 : M1  M 2  M1 sao cho

x1  x2  M1  M 2 . Ta có

f11 ( A1)  A1  M 2 . Mà A1  M 1

suy ra

A1  M 2  M 1  M 2 . (1)

Tương tự,

sao cho

f 2 : M1  M 2  M 2

x1  x2  M 1  M 2 . Ta có

f 2 ( x1  x2 )  x2

với mọi

f 21 ( A2 )  M 1  A2 . Mà A2  M 2

suy ra

M 1  A2  M 1  M 2 . (2)

(1)

Từ

và

(2)

suy

ra

 A1  M 2    M1  A2   M1  M 2  A1  A2  M1  M 2 .
Trường hợp 2: Với I bất kỳ ta chứng minh tồn tại i
M i . Lấy
I
x   M i . Khi đó có biểu thị hữu hạn: x  x1  x2  ...  xk , xi  M i suy ra
iI

k

k

k

k

tồn tại 
M i và  Ai   M i  x   M i suy ra
i 1
i 1
i 1
i 1
hay

Mi

iI

là tổng trực tiếp

Mi   Mi .

iI
iI

Lấy X  i
M i , X  0 , suy ra x  X , x  0 có biểu thị duy nhất
I
n

n

n

i 1

i 1

i 1

x  x1  x2  ...  xk , xi  M i . Do  Ai   M i nên  Ai  xR  0 . Vì
n

xR  X nên  Ai  X  0 suy ra  Ai  X  0 . Vậy  Ai   M i .
i 1

iI

iI

iI

□

1.3.4. Bổ đề Zorn. Giả sử X  0 là một tập sắp thứ tự thỏa mãn điều

kiện: Mọi xích của X đều có cận trên thế thì X có phần tử tối đại, nghĩa
là tồn tại a  X mà a  x, x  X thì a  x .
1.3.5. Mệnh đề. Cho M là R-môđun, A  M . Khi đó tồn tại T  M để
A  T  M .

Chứng minh. Gọi S   X / X  M , X  A  0 . Dùng Bổ đề Zorn ta có
S   vì 0  S .

11

Ta sắp thứ tự theo quan hệ  . Lấy một tập con sắp thứ tự tuyến tính


(toàn phần) của S là X1  X 2  ....  X n  ... . Khi đó B   X i . Ta chứng
i 1

minh B  S .
Thật

vậy,

nếu

x A B  x B  x Xk

suy

ra

x  X k  A  0 (do X k  S ) . Suy ra X  0 . Vậy mọi tập con sắp tuyến tính

có cận trên. Theo Bổ đề Zorn S có phần tử tối đại T. Suy ra A  T  0
và tồn tại A  T .
Ta chứng minh A  T  M . Lấy X  M , X  0 , bằng phương pháp
phản chứng giả sử ( A  T )  X  0 suy ra

A  X  0 . Do đó

A  (T  X )  0  T  X  S . Mà T  T  X . Điều này mâu thuẫn với

tính tối đại của T trong S. Suy ra A  T  X  0 . Vậy A  T  M .

□

1.3.6. Định nghĩa. Môđun U được gọi là đều nếu U  0 và A  B  0

với mọi môđun con khác không A, B của U. Hay nói cách khác, U là
đều nếu U  0 và mọi môđun con khác không là cốt yếu trong U.

1.4. MÔĐUN CON ĐÓNG, MÔĐUN CON M-XYCLIC
1.4.1. Định nghĩa. Cho M là R-môđun, N là môđun con của M. Khi đó

N được gọi là đóng trong M nếu N không có một mở rộng thực sự
trong M. Nói khác đi N được gọi là đóng trong M nếu với mọi môđun
con K  0 của M mà N  K thì K  N .
1.4.2. Bổ đề. Cho M là một R-môđun. Khi đó ta có

i) Cho A là môđun con tùy ý của M. Nếu A đóng trong hạng tử
trực tiếp của M thì A đóng trong M.
ii) Mọi hạng tử trực tiếp của M đóng trong M.

12


Chứng minh. i) Giả sử M  M 1  M 2 và A đóng trong M 1 . Ta chứng
minh A đóng trong M.
Thật vậy, xét phép chiếu  : M 1  M 2  M1 . Giả sử A  B  M . Ta
chứng minh A  B .
Ta có A  M1 suy ra A  M 2  0 vì 

A

là đơn cấu, do đó

A   ( A)   ( B)  M . Vì A đóng trong M1 nên  (B)  A  B suy ra
(1   )B  B suy ra (1   )B  B  0 mà ta có A  B suy ra (1   ) B  0

hay B   ( B)  M 1 . Do A đóng trong M1 nên A  B . Vậy A đóng trong
M.
ii) Giả sử A là hạng tử trực tiếp của M ta có M  A  B .
Lấy N  M sao cho A  N khi đó A  B  N  B . Từ đó 0  N  B
suy ra N  B  0 . Xét phép chiếu  : A  B  A ta có ker ( B)  0 mà
N  B  0 nên N  ker ( )  0 suy ra 

B

là đơn cấu. Vì thế N nhúng đơn

cấu vào môđun A mà A  N nên A  N . Vậy A đóng trong M.

□

1.4.3. Định nghĩa. Cho M là R-môđun phải . Môđun M được gọi là

xyclic khi và chỉ khi tồn tại một phần tử sinh. Nghĩa là
m0  M : M  m0 R  m0r | r  R .
1.4.4. Bổ đề. Cho vành R, M là R-môđun phải. Nếu M là môđun xyclic

thì M đẳng cấu với R X , với X là một môđun con nào đó của R.

Chứng minh. Xét ánh xạ
f :RM  x
r  xr

Rõ ràng f là một đồng cấu môđun. Hơn nữa f là toàn cấu. Vì vậy
theo định lý đồng cấu môđun ta có
Kerf  r | xr  0 .

R

Kerf  M

trong đó
□

13


1.4.5. Định nghĩa. Cho M là R-môđun. N là môđun con của M. N được

gọi là môđun con M-xyclic của M nếu N đẳng cấu với M / X , với một
môđun con X nào đó của M.
1.4.6. Chú ý. Môđun con đóng và môđun con M-xyclic của một môđun

là khác nhau.
i) Giả sử
F

0

F F
0

.


R =

F

0

Khi đó PR =

F F
, với F là một trường và
F 
0 F  0

,
0 
0

QR =

0 0  F 


0 
0

MR =

là môđun con

đóng của MR nhưng không là môđun con M-xyclic.
ii) Xét vành số nguyên  như  -môđun . Khi đó mỗi môđun con
của  là một môđun con  -xyclic nhưng không là môđun con đóng.

1.5. CÁC ĐIỀU KIỆN (Ci) CỦA MÔĐUN
1.5.1. Định nghĩa. Cho M là R-môđun phải. Ta xét các điều kiện sau:

(C1) Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp
của M, hay nói cách khác mọi môđun con đóng trong M là hạng tử trực
tiếp của M.
( A  M , X   M để A  X  M )
(C2) Nếu A và B là các môđun con của M đẳng cấu với nhau và
A là hạng tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M.
( A, B  M , A  B, A  M  B  M )
(C3) Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của M và A  B=0 thì
A  B cũng là hạng tử trực tiếp của M.

( A, B  M , A  B  0  A  B  M )
1.5.2. Định nghĩa.

14


i) Môđun M được gọi là liên tục (continuous) nếu thoả mãn điều
kiện (C1) và điều kiện (C2).

ii) Môđun M được gọi là tựa liên tục (quasi-continuous) nếu thoả
mãn điều kiện (C1) và điều kiện (C3).
iii) Môđun M được gọi CS-môđun (CS-modules hay Extending
modules) nếu thoả mãn điều kiện (C1).
iv) Môđun M được gọi là CMS-môđun (CMS-modules) nếu mỗi
môđun con M-xyclic đóng của M là một hạng tử trực tiếp của M.
Chú ý rằng lớp CMS-môđun lớn hơn lớp CS-môđun. Ví dụ sau
chứng tỏ CMS-môđun không phải là CS-môđun.
1.5.3. Ví dụ. Cho  và  p là hai  -môđun, trong đó  là tập các số

hữu tỉ,  là vành các số nguyên và p là số nguyên tố nào đó. Ta xem
xét  -môđun M     p . Môđun con M-xyclic đóng của M chỉ là 0,
 ,  p và M . Do đó M là CMS-môđun nhưng theo [10, ví dụ 10], M

không là CS-môđun.
1.5.4. Mệnh đề. Nếu một môđun M có điều kiện (C2). Khi đó môđun M

thỏa mãn điều kiện (C3).
Chứng minh. Cho

M1, M 2  M , M1  M 2  0 . Ta cần chứng minh:

M1  M 2   M .

*Giả sử M  M1  M1 . Xét phép chiếu  : M1  M1  M1 sao cho
 (m1  m1 )  m1 .

Khi

đó

M1  M 2  M1   M 2 .

Thật

vậy,

lấy

m1  m2  M1  M 2 . Do m2  M 2  m2  M  M 1  M 1 suy ra m2  m1  m1

nên  (m2 )  m1 . Vậy m1  m2  m1  m1  m1  m1  m1   (m2 )  M1   M 2 .
Lấy y1   ( y2 )  M1   M 2 . Với mọi

y2  M 2

Suy ra y2  m1  m1  m1  (m1)  y2 .

15

ta có

y2  M

(vì M 2  M ).


Ta

có

y1   ( y2 )  y1  m1  y1  (m1)  y2  M1  M 2 .

Vậy

ta

có

M1  M 2  M1   M 2 . (1)

*Ta có ker  M1 mà M1  M 2  0 nên M 2  ker  0 suy ra
 M là đơn cấu. Do đó   M 2   M 2 . Do M 2  M và điều kiện (C2) nên
2

 ( M 2 )  M . Vì vậy  (M 2 )  N  M

(2) và M1  M1  M . (3)

Do   M 2   M1 . Dùng luật Modula giao hai vế của (2) với M1 ta có
 (M 2 )  ( N  M1 )  M1 .

Thay M1 trên vào (3) ta được M1   (M 2 )  ( N  M1 )  M suy ra
M1   ( M 2 )  M . Do (1) nên M1  M 2  M .

□

1.5.5. Mệnh đề. Mọi hạng tử trực tiếp của CMS-môđun là một CMS-

môđun.

Chứng minh. Cho N là một hạng tử trực tiếp bất kỳ của CMS-môđun M
sao cho M  N  K với K là môđun con của M. Khi đó N là một
môđun con M-xyclic đóng của M. Giả sử rằng X là một môđun con Nxyclic đóng của N. Khi đó rõ ràng X là môđun con M-xyclic đóng của
M. Vì vậy M là CMS-môđun . Do đó X là hạng tử trực tiếp của M sao
cho M  X  L với L là môđun con của M. Vì M  X  L  N  K và X
là môđun con của N do đó X là hạng tử trực tiếp của N. Vì vậy N là
□

CMS-môđun.

16


Chương 2. MÔĐUN M – CP – NỘI XẠ
2.1. MÔĐUN M-NỘI XẠ
2.1.1. Định nghĩa. Cho M là R- môđun phải. Một môđun N được gọi
là M-nội xạ nếu với mọi môđun con X của M, mỗi đồng cấu  từ X
vào N đều mở rộng tới đồng cấu  từ M vào N, tức là  i   (trong đó i
là phép nhúng đồng nhất).
X


i

M


N

2.1.2. Mệnh đề. Cho M, N là các môđun trên cùng một vành R. Giả sử

N là M-nội xạ và A là môđun con của M . Khi đó:
i) N là A-nội xạ.
ii) N là M A -nội xạ.
Chứng minh. i) Giả sử N là M- nội xạ và A  M. Ta cần chứng minh N
là A-nội xạ. Thật vậy:
X

 Xét biểu đồ:
Với mọi X  A, với mọi đồng cấu  : X  N
Ta cần tìm  để  i   .

i

A

j

M







N

 Bổ sung vào biểu đồ phép nhúng đồng
nhất j: A  M. Do N là M-nội xạ nên tồn tại đồng cấu  : M  N là mở
rộng của đồng cấu  hay  ji   . Lấy    j thì  là cần tìm vì

 i   ji   .

17


ii) Giả sử N là M- nội xạ và A  M. Ta cần chứng minh N là M A -nội
xạ.
Thật vậy:

X

 Xét biểu đồ:

i’



'

Với mọi X A  M A , với mọi đồng cấu  : X A  N

'

X

Ta cần tìm  : M A  N là mở rộng của  ,

A

i

M

A





tức là  i   .

M

N

 Bổ sung vào biểu đồ môđun X, A; phép nhúng i ': X  M và
các toàn cấu tự nhiên  : X  X A ;  ': M  M A .
 Do N là M - nội xạ nên  ': M  N là đồng cấu mở rộng của
 ' , tức là  ' i '   ' . Ta thấy Ker   Ker ' , m  ker ta có
m  A mà A  X do đó

 (m)  A suy ra m  A  A nên

ra

m  A X A

vì thế

m  X suy

 '( m)  A  0 . Suy ra  '(m)  0

do đó

m  ker ' .

 Khi đó, lấy  : M A  N
m  A   '(m)

Ta dễ dàng kiểm tra được :  là ánh xạ và  là đồng cấu. Mặt khác
x  A  X A ,

ta

có:

 i ( x  A)   ( x  A)   '( x)   '(i '( x))   '( x)   ( x  A) . Do đó  i   . □

18


2.1.3. Mệnh đề (Tiêu chuẩn Baer tổng quát). Môđun N là M-nội xạ
khi và chỉ khi với mọi iđêan trái Rm của R, với mọi đồng cấu  từ Rm
vào N, tồn tại đồng cấu  từ R vào N sao cho  i   , trong đó i là
phép nhúng Rm vào R.
(Môđun N là M-nội xạ khi và chỉ khi N là Rm-nội xạ, với mọi m thuộc
M.)
Chứng minh. (  ) Giả sử N là M-nội xạ. Ta cần chứng minh N là Rmnội xạ.
Ta có Rm  M nên theo mệnh đề 2.2.2 ở trên ta suy ra N là Rm-nội xạ.

(  ) Giả sử N là Rm-nội xạ. Ta cần chứng minh N là M- nội xạ.
Thật vậy:
X

 Xét biểu đồ:
 X  A,  đồng cấu  : X  N



i1 A ….
1
…....
1

M



a cần tìm  là mở rộng của  , tức là  i   .
N

 Dùng bổ đề Zorn ta xét tập S = ( Ai ,i ) | X  A  M  với
 i : A1  N là mở rộng của  , i  I .

Ta thấy :

+) S   vì (X,  )  S
+)Thứ tự trong S: ( A1 , 1 )  ( A2 ,  2 ) 

A1  A2

2

là mở rộng 1

Ta kiểm tra được S thỏa mãn bổ đề Zorn. Do đó S có phần tử tối đại là

 A,  thỏa mãn X  A  M .
 Ta cần chứng minh A = M.
Thật vậy:

Giả sử A  M. Xét phần tử m  M \ A . Cho K

= r  R : mr  A . Khi đó rõ ràng mK  0 . Ta định nghĩa  : mK  N

19


cho bởi  (mk )  (mk ), k  K . Khi đó giả thiết  có thể mở rộng tới
đồng cấu  : mR  N . Bây giờ ta định nghĩa  : A  mR  N cho bởi
 (a  mr )   (a)   (mr ) . Khi đó, nếu a+mr=0 thì r  K và vì vậy
 (a)   (mr )   (a)   (mr )   (a)  (mr )   (a  mr )  0, k  K .

Nhưng khi đó cặp (A+mR,  ) mâu thuẫn với tính tối đại của (A,  ).
Do đó A = M và  : M  N là mở rộng của  .

□

2.1.4. Mệnh đề. N =  N là M- nội xạ khi và chỉ khi N là M-nội
I

xạ với mọi   I .
Chứng minh. (  ) Giả sử N là môđun nội xạ, i : X  M là phép nhúng
đồng nhất và  : X  N là một đồng cấu với   I .
Gọi  : N  N là phép nhúng chính tắc ta có  : X  N là một đồng
cấu. Do N nội xạ nên tồn tại đồng cấu  : M  N sao cho biểu đồ sau
giao hoán, nghĩa là  i   .

i

X


M





N



N

Bây giờ ta xét đồng cấu     , trong đó   : N  N là phép chiếu
chính tắc, ta có: i  (  )i    ( i)    (  )   . Điều này chứng tỏ N
là nội xạ.
(  ) Giả sử N là môđun nội xạ với   I . Xét biểu đồ giao
hoán

i

X

M





N




N

20


trong đó i là phép nhúng đồng nhất,  là đồng cấu từ X vào N,   là
phép chiếu chính tắc từ N vào N , còn  là đồng cấu có được do tính
nội xạ của N ,     i . Khi đó, theo tính chất phổ dụng của tích trực
tiếp [1, định lý 3.2], tồn tại đồng cấu  từ M vào N sao cho     ,
cụ thể với m  M :  (m)   (m) ,   I .
Ta khẳng định rằng   i . Thật vậy , với mọi x  X ta có
 ( x)    ( ( x))   i( x)    ( i( x))  i( x) ,   I suy ra  ( x)   i( x) .

Do đó   i . Điều này chứng tỏ N là nội xạ.

□

2.2. MÔĐUN M-CP-NỘI XẠ
2.2.1. Định nghĩa

i) Cho M và N là hai R-môđun phải. Khi đó môđun N được gọi là
M-p-nội xạ (M-p-injective) nếu mỗi đồng cấu  từ một môđun con Mxyclic X của M đến N có thể mở rộng tới đồng cấu  từ M vào N.
X xyclic

i

M




N

ii) Cho M và N là hai R-môđun phải. Khi đó môđun N được gọi là
M-c-nội xạ (M-c-injective) nếu mỗi đồng cấu  từ một môđun con
đóng X của M đến N có thể mở rộng tới đồng cấu  từ M vào N.
X đóng

i

M




N

21


iii) Cho M và N là hai R-môđun. Khi đó, môđun N được gọi là Mcp-nội xạ (M-cp-injective) nếu mỗi môđun con đóng M-xyclic X của
M, mỗi đồng cấu  từ X vào N có thể mở rộng tới đồng cấu  từ M
vào N. N được gọi là cp-nội xạ nếu nó là R-cp-nội xạ.
i
X đóng,xyclic

M




N

Rõ ràng mọi môđun M-p-nội xạ là M-cp- nội xạ; M-c-nội xạ là
M-cp-nội xạ, nhưng điều ngược lại nói chung không đúng.
N là M-p-nội xạ

N

là M-cp-nội xạ;

N là M-c-nội xạ

N

là M-cp-nội xạ.

2.2.2. Ví dụ .

1) Cho  là vành các số nguyên. Khi đó,  -môđun  là  -cpnội xạ nhưng không là  -p-nội xạ.
2) Cho R =
Cho

F
0

MR

0 F  F 

0 
0

=

F

0

=

F F

,


F

F F
0

,


với F là một trường.
0 F  0
,
0 
0

PR = 

0 0  F 
,
0 
0

QR = 

P  QR

0 0 
.
0 F 

và NR = 

Khi đó PR, QR, P  QR và NR là M-cp-nội xạ , nhưng không là môđun
M-c-nội xạ.
Chứng minh.

1) Cho  vành số nguyên. Theo chú ý 1.4.6(ii) mỗi

môđun con của  là một môđun con  -xyclic nhưng không là môđun
con đóng. Khi đó 2 là môđun con  -xyclic của  . Giả sử  : 2  

22


là đồng cấu sao cho  (2a)  a, 2a  2 . Giả thiết rằng có một đồng
cấu  :    sao cho biểu đồ sau giao hoán.
i

2








Khi đó ta có 1   (2)  (i(2))  2 (1) . Vô lý. Vì vậy  không thể thành
đồng cấu  . Do đó  -môđun không là  -p-nội xạ.
Theo chú ý 1.4.6 (ii) mỗi môđun con của  là một môđun con  xyclic nhưng không là môđun con đóng. Vì vậy môđun con đóng của

 chỉ có thể là 0 và  . Do đó  -môđun  là  -cp-nội xạ.
F F F
0 
0

2) Cho

MR  

□

là R-môđun phải. Khi đó P và Q là

môđun con đóng của MR. Giả sử  : Q  P là một đồng cấu sao cho
 0 (0, x ) 


0 0 

=

 0 (x,0) 


0 
0

với x  F . Rõ ràng  là một đẳng cấu. Giả
 1 (0,0) 


0 0 

thiết rằng có một đồng cấu khác không  : M  P . Khi đó  
 0 (x,0) 
với
0
0 


mọi

x F .

 a (b, c)   F


0   0
0

F F
0

,


ta

=
có

 a (b, c) 
 1 (0,0)   a (b, c)    0 (x, 0)   a (b, c)   0 (0,0) 
 
 =   
  = 



.
0 
0
  0 0  0 0    0 0   0 0   0 0 

Vì vậy ,  = 0. Điều đó có nghĩa  là đồng cấu không. Vì vậy, 
không thể mở rộng thành đồng cấu từ M đến P. Do đó, P không là M-cnội xạ.
Tương tự, QR, P  QR và NR không là môđun M-c-nội xạ.

23


Theo trên, rõ ràng rằng P và Q là môđun con đóng của M, nhưng không
là môđun con M-xyclic của M. Vì vậy, môđun con M-xyclic của M chỉ
có thể là 0 và M. Do đó PR, QR, P  QR và NR là môđun M-cp-nội xạ. □
2.2.3. Nhận xét. Trong [11], Xue đã giới thiệu khái niệm môđun với

tính chất (**). Một môđun M được gọi là thỏa mãn tính chất (**) nếu
mỗi tự đồng cấu khác không của M là một toàn cấu. Đối với một
môđun M với tính chất (**), môđun con M-xyclic chỉ là 0 và M. Vì
vậy, trong ví dụ trên rõ ràng mỗi R-môđun N là M-cp-nội xạ, nhưng
không phải là một môđun M-c-nội xạ.

24


2.3. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN M-CP-NỘI XẠ
2.3.1. Mệnh đề.
(i) Cho M là R-môđun và {Ni : i  I} một họ của R-môđun. Khi đó

iI Ni là M-cp-nội xạ nếu và chỉ nếu Ni là M-cp-nội xạ, với mỗi i  I.
(ii) Cho X là một môđun con đóng M-xyclic của một R-môđun M.
Nếu X là M-cp-nội xạ, khi đó X là một hạng tử trực tiếp của M.
(iii) Cho A, B và M là R-môđun với A đẳng cấu B. Nếu A là M-cpnội xạ, khi đó B là M-cp-nội xạ.
(iv) Cho M, N và A là R-môđun với M đẳng cấu N. Nếu A là N-cpnội xạ, khi đó A là M-cp-nội xạ.
Chứng minh. (i) Chứng minh tương tự như [9, Mệnh đề 2.2]
(ii) Cho I: X  X là đồng nhất thức và i: X  M (phép nhúng) bao
hàm thức. Vì X là M-cp-nội xạ, nên tồn tại một đồng cấu f: M  X sao
cho I = fi. Do đó, X là một hạng tử trực tiếp của M.
i
Xđóng,xyclic
I

M

f

X

(iii) Hiển nhiên.
(iv) Cho f : M  N là một phép đẳng cấu và C là một môđun con
đóng M-xyclic của M. Chúng ta có thể thấy rằng, f (C ) là N-xyclic đóng

trong N. Giả sử:  : C  A là đồng cấu, khi đó (  f 1 ) là một đồng cấu
từ f (C ) vào A, f 1 là một ánh xạ ngược từ N đến M, sao cho ff 1  I .
Vì A là N-cp-nội xạ, do đó (  f 1 ) mở rộng được thành đồng cấu
h : N  A . Chúng ta có thể chú ý rằng, có một đồng cấu hf từ M đến A

là mở rộng của  . Do đó A là M-cp-nội xạ.

25

□