Vận dụng tư tưởng của G.polya nhằm xác định và luyện tập cho học sinh một số hoạt động tìm tòi lời giải các bài toán của các lớp cuối cấp trung học cơ sở

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHAN THỊ NGUYỆT

VẬN DỤNG TƯ TƯỞNG CỦA G. POLYA NHẰM XÁC ĐỊNH
VÀ LUYỆN TẬP CHO HỌC SINH MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG
TÌM TÒI LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỦA CÁC LỚP CUỐI
CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Nghệ An, 2012


2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHAN THỊ NGUYỆT

VẬN DỤNG TƯ TƯỞNG CỦA G. POLYA NHẰM XÁC
ĐỊNH VÀ LUYỆN TẬP CHO HỌC SINH MỘT SỐ HOẠT
ĐỘNG TÌM TÒI LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỦA CÁC LỚP
CUỐI CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.10

Người hướng dẫn khoa học:
GS.TS. ĐÀO TAM

Nghệ An, 2012


3


4

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Viết tắt

Viết đầy đủ

ĐC

Đối chứng

GSP

Geometer’s Sketchpad

GQVĐ

Giải quyết vấn đề

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

NLGT

Năng lực giải toán

NXB

Nhà xuất bản

THCS

Trung học cơ sở

TN

Thực nghiệm

MỤC LỤC


5

Trang
MỞ ĐẦU

1

Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1 Các hoạt động trong dạy học giải bài tập toán

6
6

1.2 Tư tưởng sư phạm của G. Polya trong DH giải các bài tập toán
1.3 Các hoạt động chủ yếu của HS trong dạy học giải bài tập toán
theo quan điểm của G. Polya

46

1.4 Kết luận chương

46

Chương 2. THỰC TRẠNG DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN
THEO HƯỚNG LUYỆN TẬP CÁC HOẠT ĐỘNG KHẮC SÂU
TƯ TƯỞNG SƯ PHẠM CỦA G. POLYA
2.1

Mục tiêu khảo sát

2.2 Công cụ khảo sát
2.3 Đánh giá thực trạng
2.4 Kết luận
Chương 3. MỘT SỐ BIỆN PHÁP LUYỆN TẬP CHO HỌC SINH

CÁC HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN THEO
TƯ TƯỞNG CỦA G. POLYA

24

47
47
47
47
54
55

3.1 Các phương thức tìm tòi lời giải các bài toán theo quan điểm
của G. Polya

55

3.2 Một số định hướng sư phạm trong việc xây dựng biện pháp

73

3.3 Một số biện pháp sư phạm tìm tòi lời giải các bài toán theo
quan điểm của G. Polya

73

3.4 Kết luận chương
Chương 4. THỰC NGHIÊM SƯ PHẠM
4.1 Xác định mục đích thực nghiệm
4.2 Tường trình quá trình thực nghiệm

112
113
113
113

4.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm
4.4 Kết luận chung về thực nghiệm
KẾT LUẬN

118
123

TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC

125

124
128


6


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Những định hướng đổi mới về phương pháp dạy học đã được thể hiện

trong các Nghị quyết: Nghị quyết hội nghị lần thứ IV BCH trung ương Đảng
Cộng sản Việt Nam (khóa IV, 1993) nêu rõ: Mục tiêu giáo dục đào tạo phải
hướng vào việc đào tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo, có năng
lực giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đó mà góp phần tích cực thể
hiện mục tiêu lớn của đất nước.
Về phương pháp giáo dục và đào tạo, Nghị quyết Hội nghị lần thứ II
BCH TW Đảng cộng sản Việt Nam (khóa VIII, 1997) đã đề ra:"Phải đổi mới
phương pháp đào tạo, khắc phục lối truyền đạt một chiều, rèn luyện thành nếp
tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng những phương pháp tiên
tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời
gian tự học, tự nghiên cứu".
Điều 24, Luật giáo dục (1998) quy định: “Phương pháp giáo dục phổ
thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, tư duy sáng tạo của học
sinh,... bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức
vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho
học sinh.”
Môn Toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung
của giáo dục phổ thông. Môn Toán góp phần phát triển nhân cách. Cùng với
việc tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo những tri thức và rèn luyện kỹ năng
Toán học cần thiết, môn Toán còn có tác dụng góp phần phát triển năng lực
trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa,... rèn
luyện những đức tính, phẩm chất của người lao động mới như tính cẩn thận,
chính xác, tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ.
Để người học đạt được những vấn đề nêu trên thì việc dạy học toán ở
trường phổ thông không đơn thuần là dạy kiến thức mà cần phải dạy cho học
sinh các hoạt động toán học cụ thể là những bước tiến hành, những phương


2

pháp để giải một bài toán từ đó giúp các em có lòng yêu thích môn Toán và
hứng thú để các em tự khám phá tìm tòi lời giải bài toán một cách khoa học.
Nhưng trong thực tế thì khi đứng trước một bài toán nhiều học sinh còn
đang gặp phải lúng túng như:
* Không hiểu rõ bài toán: Đâu là ẩn? Đâu là dữ kiện? Đâu là điều kiện?
* Không xây dựng được chương trình giải cho bài toán: Không biết vận
dụng kiến thức liên quan nào để giải bài toán, không nắm được mối quan hệ
giữa các yếu tố khác nhau của bài toán, giữa cái biết và cái chưa biết.
* Không thực hiện được chương trình giải toán: không biết sắp xếp
trình tự lời giải của bài toán, điều gì cần chứng minh trước, điều gì cần chứng
minh sau...
* Không thử lại cách giải, không nghiên cứu sâu lời giải.
Từ những lúng túng mà học sinh gặp phải đã nêu trên nếu học sinh
không khắc phục vượt qua dẫn đến chán nản từ đó niềm đam mê cũng như
khả năng phát triển trí tuệ bị lụi dần. Nhưng nếu người học vượt qua được
những khó khăn đó thì khả năng phát triển trí tuệ về tư duy Toán học, sự sáng
tạo và niền đam mê khám phá toán học được tăng lên gấp bội.
Khi xem xét nghiên cứu tư tưởng của G. Polya về dạy học giải bài toán
như thế nào chúng tôi thấy rằng có nhiều nội dung phản ánh trong tư tưởng
này, thể hiện tư tưởng của phương pháp dạy học tích cực. Nếu việc nghiên
cứu khai thác việc tích hợp tư tưởng này với các tư tưởng của dạy học phát
hiện tìm tòi kiến thức mới trong các phương pháp dạy học hiện đại thì sẽ góp
phần nâng cao hiệu quả dạy học giải bài toán ở trường THCS.
Với những lý do nêu trên, tôi chọn đề tài “Vận dụng tư tưởng của G.
Polya nhằm xác định và luyện tập cho học sinh một số hoạt động tìm tòi lời
giải các bài toán của các lớp cuối cấp THCS” làm đề tài nghiên cứu khoa học
của mình.
2. Mục đích nghiên cứu

3

Cụ thể hóa tư tưởng của G. Polya để xác định các dạng hoạt động tìm
tòi lời giải các bài toán của các lớp cuối cấp THCS nhằm hướng người học
vào hoạt động chủ động tự giác tích cực và từ đó góp phần nâng cao hiệu quả
trong dạy học toán ở trường THCS.
3. Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận và thực tiễn nhằm xác định các hoạt động tìm tòi lời
giải các bài toán và đề ra các phương thức để rèn luyện các hoạt động nói
trên.
4. Giả thuyết khoa học
Từ việc nghiên cứu quan điểm của G. Polya trong dạy học giải bài tập
Toán ở trường phổ thông, chúng tôi cho rằng có thể vận dụng quan điểm đó
nhằm xác định được một số dạng hoạt động tìm tòi lời giải các bài toán đồng
thời đề xuất các phương thức để luyện tập các hoạt động đó nhằm góp phần
nâng cao hiệu quả dạy học toán ở trường THCS.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu tư tưởng của G. Polya trong dạy học giải bài tập toán.
- Nghiên cứu các phương pháp dạy học tích cực làm sáng tỏ thêm tư
tưởng của G. Polya.
- Nghiên cứu một số vấn đề tâm lý học và triết học liên hệ với tư tưởng
của G. Polya.
- Nghiên cứu về cơ sở lý thuyết hoạt động liên hệ với tư tưởng của G.
Polya.
- Nghiên cứu về việc đề xuất các dạng hoạt động.
- Nghiên cứu các phương thức luyện tập các dạng hoạt động.
6. Phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu một số vấn đề tâm lý học và triết học gắn với tư tưởng
của G. Polya.
- Nghiên cứu về nội dung và phương pháp dạy học toán ở trường

THCS.


4

- Phạm vi khảo sát thực tiễn dạy học ở các trường THCS trong huyện
Trảng Bom, tỉnh Đồng Nai.
7. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các nhóm phương pháp nghiên cứu thường dùng trong khoa
học giáo dục.
- Phương pháp nghiên cứu luận.
- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn, điều tra, khảo sát thực tế.
- Thực nghiệm sư phạm.
- Xử lý số liệu thực tiễn và thực nghiệm bằng phương pháp thống kê
toán học.
8. Đóng góp của luận văn
- Hệ thống hóa các vấn đề gắn với tư tưởng của G. Polya nhằm xác
định và luyện tập cho học sinh một số hoạt động tìm tòi lời giải các bài toán
của các lớp cuối cấp THCS thành một tài liệu tham khảo về chuyên môn.
- Đề xuất một quy trình vận dụng lý thuyết tư tưởng của G. Polya về
giải bài toán như thế nào vào thiết kế và tổ chức quá trình dạy học môn Toán
ở các lớp cuối cấp THCS.
9. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn có 4
chương.
Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1. Các hoạt động trong dạy học giải bài tập toán
1.2. Tư tưởng sư phạm của G. Polya trong dạy học giải các bài tập toán
1.3. Các hoạt động chủ yếu của HS trong dạy học giải bài tập toán theo
quan điểm của G. Polya

1.4. Kết luận chương 1
Chương 2. Khảo sát đánh giá
2.1. Mục tiêu khảo sát.
2.2. Công cụ khảo sát.


5

2.3. Đánh giá thực trạng.
2.4. Kết luận.
Chương 3. Một số biện pháp luyện tập cho học sinh các hoạt động tìm tòi
lời giải các bài toán theo tư tưởng của G. Polya
3.1. Các phương thức tìm tòi lời giải các bài toán theo quan điểm của
G. Polya
3..2. Một số định hướng sư phạm trong việc xây dựng biện pháp.
3.3. Một số biện pháp sư phạm tìm tòi lời giải các bài toán theo quan
điểm của G. Polya.
3.4. Kết luận
Chương 4. Thử nghiệm sư phạm
4.1. Xác định mục đích thực nghiệm.
4.2. Tường trình quá trình thực nghiệm.
4.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm.
4.4. Kết luận.


6

Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Các hoạt động trong dạy học giải bài tập toán
1.1.1. Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học theo hướng hoạt

động hóa người học
Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán. Điều căn bản là
bài tập có vai trò giá mang hoạt đông của HS. Thông qua giải bài tập, HS phải
thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định
nghĩa, định lý, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp,
những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học, những hoạt động trí tuệ
chung và những hoạt động ngôn ngữ. Qua đó cho thấy hoạt động của HS liên
hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học, vì vậy vai trò
của bài tập toán học được thể hiện trên ba phương diện sau:
Thứ nhất: trên phương diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trường
phổ thông là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó
thể hiện ở mức độ đạt mục tiêu. Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện những
chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học Toán cụ
thể là:
* Hình thành, cũng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau
của quá trình dạy học, kể cả những kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn.
* Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy, hình
thành những phẩm chất trí tuệ;
* Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm
chất đạo đức của người lao động mới.
Thứ hai: Trên phương diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là
giá mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, là một phương tiện
cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó được
trình bày trong phần lý thuyết.
Thứ ba: Trên phương diện phương pháp dạy học, bài tập Toán học là
giá mang hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ


7

sở đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác. Khai thác tốt những bài tập như
vậy sẽ góp phần tổ chức cho HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự
giác, tích cực, chủ động và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao
lưu.
1.1.2. Tiếp cận lý thuyết hoạt động
Hướng tiếp cận hoạt động là một cuộc cách mạng thực sự trong tâm lý
học nói chung, trong nghiên cứu sự hình thành và phát triển của tư duy, trí tuệ
cá nhân nói riêng. Lý thuyết hoạt động được hình thành từ những năm 1930,
đạt đỉnh cao vào những năm 1970. Đại diện cho cách tiếp cận này thể hiện
qua các công trình của các nhà tâm lý học Nga như: L. X. Vưgotxki và A. N.
Leonchiev, X. L. Rubinstein, P. Ia. Galperin,...
Hướng tiếp cận hoạt động tìm cách khắc phục những thiếu sót của các
cách tiếp cận trước đây, bằng cách khai thác triệt để thành tựu của triết học duy
vật biện chứng và lịch sử, lấy triết học này làm nền tảng phương pháp luận cho
việc nghiên cứu tâm lý, tư duy con người. Luận điểm cơ bản ở đây là: Con
người làm ra chính bản thân mình bằng lao động và hoạt động xã hội. Toàn bộ
đời sống tâm lý, ý thức của con người là sự phản ánh thực tiễn đời sống vật
chất của nó. Tâm lý ý thức được hình thành và được biểu hiện qua hoạt động,
mà trước hết là lao động sản xuất và hoạt động xã hội. Vì vậy muốn nghiên
cứu tâm lý, tư duy của con người một cách khách quan, tất yếu phải bắt đầu từ
nghiên cứu toàn bộ đời sống (cấu trúc, lịch sử phát sinh hình thành và phát
triển) của hoạt động thực tiễn của con người. Công việc chủ yếu của các nhà
tâm lý học là phân tích các dạng hoạt động trong đời sống thực tiễn, xã hội của
chúng; phát hiện các quy luật hình thành và chuyển hóa từ dạng hoạt động vật
chất bên ngoài thành dạng hoạt động tâm lý bên trong và ngược lại, từ trong ra
ngoài. Chỉ có thể trên cơ sở hiểu biết đầy đủ và sâu sắc các quy luật hình thành
và chuyển hóa đó; hiểu biết các yếu tố liên quan và chi phối quá trình này, thì
khi đó các nhà tâm lý mới có hy vọng hiểu biết, kiểm soát, điều chỉnh việc hình
thành tâm lý, tư duy con người. Như vậy, chìa khóa để nghiên cứu trí tuệ, theo

8

hướng tiếp cận hoạt động là tìm hiểu sự hình thành hoạt động trí tuệ từ hoạt
động thực tiễn, vật chất bên ngoài. Tuy nhiên, việc nghiên cứu này không
giống các nhà hình thái học quan sát, mô tả hành vi trí tuệ của con vật hay của
trẻ em theo kiểu “ở đây và bây giờ”. Các nhà tâm lí học hoạt động nghiên cứu
trí tuệ trong toàn bộ đời sống hiện thực của nó. Từ nghiên cứu chức năng, cấu
trúc của nó đến nguồn gốc, nội dung xã hội, lịch sử phát sinh, hình thành và
phát triển. Ở mức độ nhất định, cách tiếp cận hoạt động gần giống tiếp cận phát
sinh trí tuệ của J.Piaget. Cả hai cách tiếp cận đều quan tâm và đề cao thao tác,
hành động trí tuệ của cá nhân, đều tìm hiểu và xác lập quá trình phát sinh, phát
triển trí tuệ của trẻ em. Điểm khác nhau cơ bản giữa hai cách tiếp cận này là ở
chỗ, tiếp cận phát sinh chủ yếu dựa theo các nguyên tắc sinh học và lôgic học
để xác lập quy luật phát sinh về mặt lôgic - tâm lí của trí tuệ. Vì vậy, mặt cảm
xúc và nội dung xã hội của nó bị bỏ qua. Mối quan hệ giữa chủ thể với môi
trường xã hội được quy về quan hệ vật lý. Trong khi đó mặt văn hóa - xã hội
của các quan hệ này mới thực sự ảnh hưởng tới chiều hướng và phương thức
phát sinh, phát triển trí tuệ của trẻ em trong các nền văn hóa khác nhau và
chúng là nội dung chính của học thuyết lịch sử - văn hóa về sự phát triển tâm lí
người do L. X.Vưgotxki sáng lập.
Theo cách tiếp cận hoạt động, việc nghiên cứu tâm lí, trí tuệ phải dựa
trên các nguyên tắc phương pháp luận triết học duy vật lịch sử và biện chứng:
nguyên tắc gián tiếp và nguyên tắc lịch sử - phát sinh. Từ các nguyên tắc
phương pháp luận này, các nhà tâm lí học hoạt động đã sử dụng nhiều phương
pháp khách quan để phân tích, mô tả, hình thành trí tuệ cho trẻ em. Kết quả là
hàng loạt vấn đề nan giải trong tâm lí học về trí tuệ đã được giải quyết, đặc biệt
là việc chủ động tổ chức, định hướng, điều khiển, điều chỉnh trẻ em hoạt động
để qua đó hình thành và phát triển trí tuệ của mình. Có thể nêu vắn tắt một số
thành tựu mà lí thuyết hoạt động đã đạt được.

Trí tuệ của trẻ em được hình thành bằng chính hoạt động của nó. Mỗi giai
đoạn phát triển của trẻ có nhiều hoạt động. Trong đó, có hoạt động chủ đạo, là


9

hoạt động có vai trò chủ yếu đối với sự phát triển trí tuệ và của các hoạt động
khác trong giai đoạn đó. Sự phát triển trí tuệ của trẻ em phụ thuộc trước hết vào
hoạt động nào giữ vai trò chủ đạo trong từng giai đoạn. Vì vậy, hình thành và
phát triển trí tuệ của trẻ em gắn liền với việc hình thành hoạt động chủ đạo trong
mỗi giai đoạn phát triển của nó.
1.1.3. Quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học toán
Vận dụng những thành tựu của lý luận dạy học hiện đại trên thế giới,
đặc biệt là lý thuyết hoạt động vận dụng vào dạy học và một số quan điểm của
dạy học kiến tạo, dạy học khám phá, các nhà nghiên cứu giáo dục Việt Nam
đã nêu bật được bản chất của công cuộc đổi mới phương pháp dạy học ở Việt
Nam. Điển hình là trong cuốn “Phương pháp dạy học môn Toán” của Giáo sư
Nguyễn Bá Kim đã chỉ rõ:
“Phương pháp dạy học cần hướng vào việc tổ chức cho người học học
tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng
tạo’’.
Định hướng này nêu bật bản chất của đổi mới phương pháp dạy học là
học tập trong hoạt động và bằng hoạt động, hay nói gọn: hoạt động hóa người
học.
Theo Giáo sư Nguyễn Bá Kim, mỗi nội dung dạy học đều liên hệ với
những hoạt động nhất định. Trước hết đó là những hoạt động đã được tiến
hành trong quá trình lịch sử hình thành và ứng dụng những tri thức được bao
hàm trong nội dung này, cũng chính là những hoạt động để người học có thể
kiến tạo và ứng dụng những tri thức trong nội dung đó. Tất nhiên, còn phải kể
tới cả những hoạt động có tác dụng củng cố tri thức, rèn luyện những kỹ năng

và hình thành những thái độ có liên quan. Ông cũng đã chỉ ra rằng, phát hiện
được những hoạt động như vậy trong một nội dung là vạch được một con
đường để người học chiếm lĩnh nội dung đó và đạt được những mục tiêu dạy
học khác, cũng đồng thời là cụ thể hóa được mục tiêu dạy học nội dung đó và
chỉ ra được một cách kiểm tra xem mục tiêu dạy học đó có đạt được hay


10

không và đạt đến mức độ nào. Cho nên điều căn bản của phương pháp dạy
học là khai thác những hoạt động như trên tiềm tàng trong mỗi nội dung để
đạt được mục tiêu dạy học. Quan điểm này thể hiện rõ nét mối liên hệ giữa
mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học. Nó hoàn toàn phù hợp với luận
điểm cơ bản của giáo dục học cho rằng con người phát triển trong hoạt động
và học tập diễn ra trong hoạt động.
Từ định hướng học tập trong hoạt động và bằng hoạt động, phân tích
các thành phần của hoạt động về mặt lý luận và thực tiễn, từ đó rút ra các
thành tố cơ sở của phương pháp dạy học. Các thành tố cơ sở của phương
pháp dạy học thể hiện các tư tưởng chủ đạo của quan điểm hoạt động trong
phương pháp dạy học toán.
* Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động
thành phần tương thích với nội dung và mục tiêu dạy học;
* Gợi động cơ cho các hoạt động học tập;
* Dẫn dắt học sinh kiến tạo tri thức, đặc biệt là tri thức phương pháp
như phương tiện và kết quả của hoạt động;
* Phân bậc hoạt động là căn cứ điều khiển quá trình dạy học
Cũng như các môn khác, quá trình dạy học môn toán có hai loại hoạt
động: hoạt động của thầy và hoạt động của trò, trong đó thầy giữ vai trò điều
khiển, còn trò là chủ thể quá trình học tập theo hướng tự giác, tích cực chủ
động và sáng tạo. Trong quá trình dạy học nảy sinh nhiều mối quan hệ giữa

thầy với cá nhân trò, giữa thầy với tập thể trò, giữa cá nhân học sinh với học
sinh
Trong quá trình dạy học người thầy phải giúp đỡ học sinh đạt được
mục đích, sự giúp đỡ đó phải đúng lúc, đúng nơi và kịp thời.
Theo G. Polya “Tốt nhất là giúp học sinh một cách tự nhiên. Thầy giáo
phải đặt địa vị mình là một học sinh, nghiên cứu trường hợp đặc biệt của anh
ta, cố gắng xem anh ta hiểu gì, đặt một câu hỏi hay hướng dẫn một bước suy
luận mà học sinh có thể tự mình nghĩ ra được.” ([24], tr. 14)


11

Bên cạnh đó môn Toán phát triển nhân cách, trí tuệ, tư duy sáng tạo rèn
luyện những đức tính, phẩm chất đạo đức của người lao động cũng như tính
cẩn thận, tính chính xác, tính phê phán, tính sáng tạo. Để đạt được điều đó cần
phải trải qua một quá trình liên tục, xuyên suốt và lâu dài bởi vì môn toán là
một bộ môn khoa học tự nhiên. Vấn đề mà chúng tôi đề cặp ở đây là mục đích
dạy học toán ở trường phổ thông hiện nay là học sinh chủ động, tích cực và
sáng tạo. Do đó người giáo viên phải định hướng và có phương pháp dạy học
theo hướng tích cực để giúp học sinh đạt được mục đích là giải quyết được
các bài toán mà học sinh gặp phải một cách khoa học. Theo G. Polya thì cho
rằng: “Một trong những mục đích quan trọng nhất của chương trình toán ở
phổ thông là ở chỗ phát triển ở học sinh bản lĩnh giải các bài toán”
Chính vì những điều đã nêu trên nên chúng ta có thể xem hoạt động
trọng tâm trong dạy học toán là thể hiện ở người học hình thức và cách giải
các bài toán. Qua đó dần dần hình thành cho học sinh một thói quen ăn sâu
vào tiềm thức một phương pháp hay một quy trình giải toán theo trình tự bốn
bước của G. Polya cho bất kỳ một dạng toán nào. Theo G. Polya muốn giải
một bài toán phải lần lượt:
+ Hiểu rõ bài toán.

+ Xây dựng một chương trình.
+ Thực hiện chương trình.
+ Khảo sát lời giải đã tìm được.
1.1.4. Động cơ hoạt động theo tư tưởng của G. Polya.
Cũng theo G. Polya cho rằng “một trong những mục đích quan trọng
nhất của chương trình toán ở phổ thông là ở chỗ phát triển ở học sinh bản lĩnh
giải các bài toán” ([24], tr. 252)
Mục đích: Mục đích của động cơ hoạt động theo ông thì HS phải tự
thấy mình có nhu cầu phải khám phá và giải quyết một mâu thuẫn nào đó nảy
sinh.


12

Nội dung: Nội dung của hoạt động thì ông cho rằng HS cần phải giải
quyết triệt để những mâu thuẫn đó, những vấn đề đặt ra, cụ thể khi đứng trước
một bài toán thì phải giải bài toán và phải hiểu được ý nghĩa của bài toán. Từ
đó HS có thể khái quát hóa, tương tự hóa hay liên tưởng để xây dựng một bài
toán mới trên cơ sở bài toán đã cho.
Trong dạy học toán vấn đề gợi động cơ không hẳn là giáo viên đặt ra
một vấn đề, một bài toán cụ thể để người học tiếp nhận nó mà nó phải diễn ra
xuyên suốt trong quá trình dạy học.
Mặt khác theo G. Polya trong dạy học toán là “cần phải dạy cho thanh
niên suy nghĩ” ([25], tr. 252), điều đó có nghĩa là người giáo viên không phải
là nguồn thông tin mà cần phải làm cho HS phát triển tư duy tiếp nhận thông
tin và xử lý thông tin theo suy nghĩ của mình một cách khoa học. Từ đó hình
thành cho HS một thói quen luôn thể hiện bản lĩnh suy nghĩ tích cực của mình
khi đứng trước một vấn đề, một bài toán để đi đến tìm hướng giải quyết vấn
đề đó.
Mặt khác G. Polya cũng cho rằng “trong việc giải các bài toán là một

phần không thể tách ra khỏi được khỏi hoạt động của con người” ([24], tr.
156]).
Thật vậy khi đứng trước một bài toán thì những suy nghĩ của HS trong
việc giải toán phải được thể hiện ở những dạng hoạt động như: nhận dạng và
thể hiện, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ
biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn
ngữ.
1.1.4.1. Gợi động cơ mở đầu
Theo G. Polya cho rằng “khát vọng giải được bài toán, ngay tự bản
thân nó, đã là một nhân tố có lợi, bởi vì, cuối cùng chính đây là nhân tố dẫn ta
đến lời giải và chắc chắn sẽ là động lực cho những suy nghĩ của chúng ta”
([25], tr. 215)
Nhưng khi đứng trước một bài toán cụ thể thì việc gợi động cơ mở đầu


13

không hẳn là đi tìm một tri thức mới mà đi tìm một lời giải, một đáp số nằm
trong phạm vi đã học từ đó phát triển lên phương pháp, cách giải mới.
Đối với người GV việc gợi động cơ mở đầu giúp học sinh định hướng
để giải bài toán là rất quan trọng, và ngay cả người học việc gợi động cơ mở
đầu có tác động đến quyết định mình có thể giải được hay không giải được
bài toán này. Từ đó niềm đam mê toán học mới thâm nhập vào suy nghĩ của
HS.
Đối với G. Polya thì việc gợi động cơ mở đầu của ông thật là nhẹ nhàng
nhưng nó mang đầy ý nghĩa. Khi đứng trước một bài toán thì theo ông người
học phải định hướng cho mình một suy nghĩ, một mục đích, một hành động
cụ thể rõ ràng như:
“- Tôi phải bắt đầu từ đâu? Hãy bắt đầu với đầu đề bài toán.
- Tôi có thể làm gì? Phải thấy được toàn bộ bài toán, càng rõ ràng,

sáng sủa càng tốt. Lúc này đừng quan tâm đến những chi tiết.
- Làm như thế, tôi được lợi gì? Bạn phải hiểu bài toán, làm quen với nó,
phải thấm bài toán. Sự chú ý vào bài toán sẽ làm cho trí nhớ thêm mạnh, và
chuẩn bị cho việc tập hợp những vấn đề có liên quan.” ([24], tr . 49).
Tóm lại chúng tôi hiểu rằng gợi động cơ là làm cho học sinh có ý thức
về ý nghĩa của những hoạt động và của đối tượng hoạt động. Gợi động cơ
nhằm làm cho những mục tiêu sư phạm biến thành những mục tiêu của cá
nhân học sinh, chứ không phải là sự vào bài, đặt vấn đề một cách hình thức.
“Có thể gợi động cơ mở đầu xuất phát từ thực tế hoặc từ nội bộ toán
học” theo Pietzsch 1980 (tr.5) trích theo Nguyễn Bá Kim ([13], tr. 143).
Vấn đề mà chúng tôi quan tâm là việc gợi động cơ mở đầu xuất phát từ
thực tế không phải bao giờ cũng thực hiện được bởi vì khi nêu cần chú ý đến
các điều kiện sau:
- Vấn đề đặt ra phải đảm bảo tính chân thực, đương nhiên có thể đơn
giản hóa vì lý do sư phạm trong trường hợp cấn thiết.
- Việc nêu vấn đề không đòi hỏi quá nhiều tri thức bổ sung.


14

- Con đường từ lúc nêu cho tới khi giải quyết vấn đề càng ngắn càng
tốt.
Chính vì những vấn đề nêu trên nên khi gợi động cơ xuất phát từ thực
tế thì chúng ta nên đặt vào vị trí một phân môn hay đầu một chương.
Bên cạnh đó việc gợi động cơ từ nội bộ Toán học là nêu lên vấn đề toán
học, xuất phát từ nhu cầu toán học, xây dựng khoa học theo phương thức và
hoạt động toán học, nhờ vậy giúp người học tiếp cận và hiểu được sự phát
triển của Toán học một cách hiểu rất tự nhiên và rõ ràng vấn đề.
Ví dụ: Phát triển từ tập N sang tập Z:
5 – 3 = 2 Vậy ta có thực hiện được phép toán 3 – 5 trong tập N không?

Với cách gợi động cơ mở đầu như thế phải đi tìm và hướng đến một tập
số mới một tri thức hoàn toàn mới.
1.1.4.2. Gợi động cơ trung gian
Gợi động cơ trung gian theo tư tưởng của G. Polya khi bắt tay vào giải
toán đó chính là biến đổi bài toán. Theo ông thì việc biến đổi bài toán là một
bước rất cần thiết và quan trọng, ông khẳng định rằng: “Trong thực tế ta
không thể nào có được tiến bộ mà không biến đổi bài toán.” ([24], tr. 211).
Như vậy khi đứng trước một bài toán HS thường gặp phải những khó
khăn như không biết bắt đầu từ đâu? Và làm như thế nào để giải được bài
toán thì GV cần phải giúp đỡ và định hướng để HS tìm được cách giải bài
toán. Sự giúp đỡ đó bằng những lời khuyên và câu hỏi trong bảng của G.
Polya như “Bạn có thể nghĩ ra một bài toán giống với bài toán của bạn nhưng
dễ làm hơn không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng?... Có
thể thay đổi ẩn, hay các dữ kiện hay cả hai nếu cần thiết, sao cho ẩn mới và
các dữ kiện mới được gần nhau hơn không?” ([24], tr. 225)
Gợi động cơ trung gian là gợi động cơ cho những bước trung gian hoặc
cho những hoạt động tiến hành trong những bước đó để đạt được mục tiêu.
Gợi động cơ trung gian có ý nghĩa to lớn đối với sự phát triển năng lực độc
lập giải quyết vấn đề.


15

Trong quá trình giải toán gợi động cơ trung gian là ta đi tìm một bài
toán mới mà bài toán đó chính là cơ sở là chỗ dựa để giải bài toán ban
đầu.Theo G. Polya thì: “cũng dễ nghĩ ra các bài toán mới, miễn là chúng ta đã
có ít nhiều kinh nghiệm về những phương pháp biến đổi như: tổng quát hóa,
xét trường hợp riêng, trường hợp tương tự, khai triển và tổ hợp lại. Xuất phát
bài toán đã giải, ta có thể tìm những bài toán mới.” ([24], tr. 96)
Những cách thường dùng để gợi động cơ trung gian là:

- Hướng đích.
- Quy lạ về quen.
- Xét tính tương tự.
- Xét sự biến thiên và sự phụ thuộc.
1.1.4.3. Gợi động cơ kết thúc
“Nhiều khi ngay từ đầu hoặc trong khi giải quyết vấn đề, ta chưa thể
làm rõ tại sao lại học nội dung này, tại sao lại thực hiện hoạt động kia. Những
câu hỏi này phải đợi mãi về sau mới được giải đáp hoặc giải đáp trọn vẹn.
Như vậy là người ta đã gợi động cơ kết thúc, nhấn mạnh hiệu quả của nội
dung hoặc hoạt động đó với việc giải quyết vấn đề đặt ra” ([13], tr. 15)
Theo G. Polya thì sau khi giải xong bài toán tìm ra đáp số kết quả của
bài toán không phải là kết thúc, mà theo ông thì động cơ kết thúc là phải nhìn
nhận, đánh giá lại quy trình giải toán và từ đó xây dựng lên một số bài toán
khác tương tự. Để HS làm được điều đó thì gợi động cơ kết thúc trong quá
trình giải toán G. Polya dùng những câu hỏi và lời khuyên như: “Bạn có thể
thử lại kết quả đó không? Bạn có thể thử lại lập luận đó không? Bạn có thể
thấy được kết quả bằng một cách khác không? Bạn có thể dùng kết quả và
phương pháp đã tìm ra cho một bài toán khác không?” ([24], tr.30)
Mặt khác chúng ta cũng có thể hiểu rằng trong hoạt động Toán học thì
gợi động cơ kết thúc là hoàn tất công việc giải quyết một vấn đề, một bài toán
mà ta đã tìm ra được đáp số, kết quả của bài toán yêu cầu. Nhưng nhiều khi


16

việc gợi động cơ kết thúc ở trường hợp này lại là sự chuẩn bị gợi động cơ mở
đầu cho những trường hợp tương tự sau này.
1.1.5. Dạy học giải bài tập toán theo hướng tiếp cận giải quyết vấn đề gắn
với tư tưởng của G. Polya
1.1.5.1. Bản chất, các thành tố đặc trưng của phương pháp dạy học PH và

GQVĐ
Dạy học PH và GQVĐ là kiểu dạy có nét đặc trưng là giáo viên trực
tiếp tạo ra những tình huống có vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện ra vấn
đề, hoạt động tự giác và tích cực để GQVĐ. Thông qua đó mà lĩnh hội tri
thức, rèn luyện kỹ năng và đạt được các mục đích học tập khác.
Đặc trưng cơ bản của phương pháp dạy học PH và GQVĐ là tình
huống có vấn đề, ứng với một mục tiêu xác định, những thành phần chủ yếu
của của một tình huống bao gồm: Nội dung của môn học hoặc chủ đề, tình
huống khởi đầu, hoạt động trí tuệ của học sinh trong việc trả lời câu hỏi hoặc
giải quyết vấn đề, kết quả hoặc sản phẩm của hoạt động, đánh giá hiệu quả.
Đặc trưng thứ 2 là: Quá trình dạy học theo phương pháp PH và GQVĐ
được chia thành những “thao tác”, những giai đoạn có tính mục đích chuyên
biệt, học sinh hoạt động tích cực, tận lực huy động tri thức và khả năng của
mình để giải quyết vấn đề.
Đặc trưng thứ 3 là: Mục đích dạy học không chỉ làm cho học sinh lĩnh
hội được kết quả của quá trình giải quyết vấn đề, mà còn ở chỗ làm cho họ
phát triển khả năng tiến hành những quá trình như vậy. Quá trình dạy học
theo phương pháp giải quyết vấn đề bao gồm nhiều hình thức tổ chức đa dạng
lôi cuốn người học tham gia cùng tập thể, động não, tranh luận dưới sự dẫn
dắt, gợi mở, cố vấn của thầy.
Dạy học giải quyết vấn đề tạo ra trước học sinh những tình huống có vấn
đề làm cho các em học sinh ý thức được, thừa nhận và giải quyết những tình
huống này trong quá trình hoạt động chung của học sinh và giáo viên. Ngoài ra
dạy học giải quyết vấn đề không những đặt ra những vấn đề nhận thức và lôi


17

cuốn học sinh vào công việc nhận thức tích cực mà còn phải giúp đỡ họ thông
hiểu các biện pháp của hoạt động nhận thức nhằm tiếp thu kiến thức mới và

nắm vững những biện pháp đó. Nét bản chất của dạy học giải quyết vấn đề
không phải là sự đặt ra câu hỏi mà là tạo thành tình huống có vấn đề.
1.1.5.2. Dạy học giải quyết vấn đề nhìn theo tư tưởng của G. Polya
Một lần nữa chúng tôi xin nhắc lại lời nhận xét của G. Polya “Một
trong những mục đích quan trọng nhất của chương trình Toán ở phổ thông là
ở chỗ phát triển ở học sinh bản lĩnh giải các bài toán.” ([25], tr. 252).
Như vậy theo ông dạy học giải quyết vấn đề trong quá trình dạy học
Toán là người GV đưa ra những tình huống có vấn đề như các bài toán, các
định lý, điều khiển HS phát hiện ra vấn đề, hoạt động tự giác và tích cực để
tìm phương pháp giải quyết những vấn đề. Thông qua đó mà lĩnh hội tri thức,
rèn luyện kỹ năng và đạt được các mục đích học tập khác
Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá
trình phát triển, phương pháp dạy học giải quyết vấn đề đã dựa vào quy luật
trên. Mỗi vấn đề được gợi cho HS học tập chính là một yêu cầu nhiệm vụ
nhận thức với kiến thức và kinh nghiệm sẵn có. Nếu giải quyết được mâu
thuẫn thì chủ thể có thêm một kiến thức mới. Và như thế HS phát triển thêm
một bước trên con đường tự hoàn thiện mình, sẵn sàng tiếp nhận mâu thuẫn
khác ở mức độ cao hơn.
Khi bắt tay vào giải toán có nghĩa là chúng ta đang giải quyết những
mâu thuẫn tồn tại trong bài toán đó. Trước hết để giải quyết những mâu thuẫn
đó thì chúng ta cần phải tiếp cận những mâu thuẫn đó.Theo G. Polya việc tiếp
cận đó theo ông thì: “Một trong những bộ phận chủ yếu trong công việc người
giải là thiết lập những mối tiếp cận giữa bài toán và kinh nghiệm bản thân đã
tích lũy. Người giải có thể thử phát hiện những mối tiếp cận này” “từ trong”
hay từ ngoài.” ([25], tr. 225).
Theo chúng tôi thì khi đã tìm ra được những mâu thuẫn của vấn đề thì
công việc giải quyết vấn đề sẽ nhẹ nhàng hơn. Nhưng theo G. Polya thì việc


18

giải quyết những mâu thuẫn khác với việc tiếp cận chúng. Theo ông thì quy
tắc giải quyết vấn đề được thể hiện như: “Cái dễ hơn đi trước cái khó, cái
quen thuộc đi trước cái xa lạ hơn, Đối tượng có nhiều điểm gắn với bài toán
đang xét, đi trước đối tượng có ít điểm hơn.” ([25], tr. 245).
Dạy học giải quyết vấn đề là lấy lý thuyết hoạt động làm cơ sở, do đó
theo các nhà tâm lý học, con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh
nhu cầu tư duy, tức là khi đứng trước một khó khăn về nhận thức cần phải
khắc phục, một tình huống gợi vấn đề.
Theo quan điểm của G. Polya trong dạy học Toán vấn đề mà người
thầy đưa ra đó là các bài toán và người học cần phải giải quyết vấn đề đó
bằng nổ lực của bản thân, bằng suy nghĩ và tư duy tự mình khám phá ra vấn
đề một cách tích cực để đi đến đạt được mục đích. Điều đó được thể hiện qua
lời khuyên của ông: “Khát vọng và quyết tâm giải được bài toán là nhân tố
chủ yếu của quá trình giải mọi bài tập. Một bài toán bạn định giải, mà bạn đã
hiểu quá rõ về nó, thì đó chưa hoàn toàn là một bài toán đối với bạn. Bài toán
đó chỉ thực sự trở thành bài toán của bạn, thực sự thu hút tâm trí bạn, lúc bạn
quyết tâm giải đến cùng và khao khát giải được.” ([25], tr. 215)
Dạy học giải quyết vấn đề phù hợp với nguyên tắc tự giác và tích cực
vì nó khêu gợi được hoạt động học tập mà chủ thể được hướng đích, gợi động
cơ trong quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề.
Theo quan điểm của G. Polya trong dạy học Toán thì cần phải có ý chí
và nghị lực, ở đây ông khuyên đối với người GV và học sinh cần phải thể
hiện được “quyết tâm, hy vọng, thành công”. Theo ông thông qua việc học
toán ngoài việc rèn luyện phát triển tư duy cho HS còn phải rèn luyện cho họ
một ý chí một nghị lực vượt qua mọi khó khăn. “Đừng tưởng rằng giải một
bài toán chỉ là một công việc hoàn toàn của trí óc; ở đây, sự quyết tâm đóng
một vai trò quan trọng… Nhưng muốn giải quyết vấn đề khoa học đúng đắn,
cần có một nghị lực để lao động lâu dài gian khổ, để vượt qua những thất
vọng chua cay.” ([24], tr.183)

19

1.1.5.3. Tình huống có vấn đề
Tình huống có vấn đề đó là trở ngại về trí tuệ của con người khi con
người chưa biết cách giải thích sự kiện, hiện tượng, quá trình của thực tế, khi
họ chưa đạt được mục đích bằng cách thức hành động quen thuộc. Tình
huống có vấn đề trong dạy học Toán là những bài toán mà giáo viên đưa ra
phải đảm bảo đúng hệ thống đúng chương trình và phải phù hợp với từng đối
tượng HS. Mặt khác khi vấn đề đưa ra phải làm cho người học cảm thấy vấn
đề đó không quá xa lạ, cũng như không quá quen thuộc để HS còn có hứng
thú khám phá và giải quyết vấn để đạt được mục đích và mong muốn của
mình, từ đó tạo niềm tin vào khả năng giải toán của mình. Để đạt được điều
đó thì theo G. Polya cho rằng: “HS trước hết phải hiểu bài toán, nhưng như
thế chưa đủ, mà còn phải ham thích giải bài toán đó. Nếu như người HS còn
có chỗ chưa hiểu hay chưa ham thích, thì không phải bao giờ anh ta cũng có
lỗi, bài toán phải được chọn lọc, không khó quá cũng không dễ quá và cần
phải bỏ thời gian nào đó để trình bày bài toán được tự nhiên và lý thú.” ([24],
tr. 19).
Trong quá trình đưa ra tình huống có vấn đề thì G. Polya luôn chú
trọng về nhu cầu nhận thức của người học và gây niềm tin khả ở năng vào
người học.
* Nhu cầu nhận thức:
Theo ông thì tình huống có vấn đề phải phản ánh được tâm trạng ngạc
nhiên của HS khi nhận ra mâu thuẫn nhận thức, khi đụng chạm đến vấn đề,
HS phải cảm thấy cần thiết, thấy có nhu cầu giải quyết vấn đề đó. Khi đứng
trước một bài toán thì người học cần phải định hướng cho mình và phải tự
mình đưa ra những vấn đề cần phải giải quyết như lời khuyên của G. Polya
“tôi phải bắt đầu từ đâu? Tôi có thể làm gì? Làm như vậy tôi được lợi gì?”

([ 24], tr. 50). Nếu người học thể hiện được những suy nghĩ đó thì thì chắc
chắn nhu cầu nhận thức về việc phải giải quyết bài toán là điều cần thiết và sẽ