Kinh nghiệm hướng dẫn dùng bất đẳng thức côsi nghịch đảo trong giải toán

s

giáo dục V O T O

trờng tHPT S

3 B O TH NG

*********(*********

Sáng kiến kinh nghiệm
Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh phơng pháp sử
dụng bất đẳng thức cô-si dạng nghịch đảo

Ngời thực hiện

:

O KHNH LINH
Ch c v : Hi u tr ng

Năm 2011.


A- Phần mở đầu
I/ Lý do chọn đề ti:
Trong thời kỳ đổi mới của đất nớc thì một trong những yêu cầu của nền
giáo dục là phải tạo ra một lớp ngời mới, năng động sáng tạo. Họ sẵn sàng tiếp
nhận cái mới, những tinh hoa tri thức khoa học của nhân loại, áp dụng một cách
khoa học vào thực tiễn đất nớc. Vậy làm thế nào để phát huy đợc tính chủ động
sáng tạo của học sinh đây là một trong những yêu cầu trớc mắt, nhằm tập dợt

khả năng sáng tạo của học sinh ngay từ khi còn ngồi trên ghế nhà trờng.
Hiện nay sách giáo khoa môn toán mới đợc biên soạn theo hớng đổi mới,
phơng pháp dạy học hiện nay là: Tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh,
khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm hình thành cho học sinh t duy tích
cực độc lập sáng tạo nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề rèn luyện
khả năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm
vui và hứng thú học tập cho học sinh. Sách giáo khoa mới có những bài toán mở,
mục có thể em cha biết nhằm khơi dậy và định hớng cho các em sự sáng tạo.
Tuy nhiên sự hớng dẫn chỉ bảo tận tình của ngời thày là rất cần thiết.
Nội dung kiến thức về bất đẳng thức đợc trình bày trong chơng trình
PTTH - Đại số 10 . Đây là một phần kiến thức hay nhng khó đối với học sinh về
Bất đẳng thức Cô-Si . Nhằm giới thiệu học sinh tìm tòi, khám phá và sử dụng nó.
Vậy để giúp các em làm việc này thì trớc hết ngời thày phải nghiên cứu, hớng
dẫn về mặt phơng pháp, cung cấp và hớng dẫn cho học sinh thực hiện trên các
bài toán điển hình cơ bản tạo cho học sinh tiền đề để các em tự học, tự nghiên cứu.
Đứng trớc yêu cầu trên tôi xin trình bày một phần nhỏ trong chơng trình
dạy về bất đẳng thức đó là: "Hớng dẫn học sinh một số phơng pháp sử dung bất
đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo"

2


II- Mục đích nghiên cứu:
Chỉ ra một số phơng pháp cơ bản để áp dụng bất đẳng thức Cô-Si dạng
nghịch đảo để giải một số bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị.
Hớng dẫn học sinh sử dụng vào giải toán chứng minh bất đẳng thức và tìm
cực trị (đối với học sinh khá giỏi ) .
III- Phơng pháp nghiên cứu
+Chứng minh bất đẳng thức Cô-Si : Trờng hợp với hai số không âm.
+áp dụng đối với hai số dơng có dạng nghịch đảo.

+Phân loại một bài tập điển hình và xây dựng phơng pháp giải nhờ áp dụng
bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo .
+Tham khảo ý kiến đồng nghiệp và nhà trờng.
+áp dụng vào việc giảng dạy cho học sinh.
+Rút kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy để tiếp tục hoàn thiện vào các năm
sau.
IV- Phạm vi v đối tợng nghiên cứu
+Nghiên cúu bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo và các bài toán áp dụng .
+Chọn các bài toán thích hợp cho việc giảng dạy cho học sinh lớp 10 diện khá,
giỏi.

B - phần nội dung
I/Bất đẳng thức Cô-Si:
1/Bất đẳng thức Cô-Si (Đối với hai số không âm)
+Với hai số không âm a và b ta có :

a+b
ab
2

(1)

Bất đẳng thức này còn gọi là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình
nhân do nhà toán học Cô-Si (Cauchy) ngừời Pháp (1789-1857) nghiên cứu.
+Chứng minh:
Với hai số a và b không âm ta có :
( a b )2 0

ỳ a 2 ab + b 0
ỳ a + b 2 ab Ta có điều phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy ra ỳ a = b .

3


2/Bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo
+Ta có :

x y
+ 2 Với x.y > 0
y x
y
x
và b =
là hai số dơng ta có :
y
x

Thật vậy : áp dụng (1) với a =
x y
+ 2
y x

x y
. =2
y x

Ta có điều phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy ra
ỳ

*Chú ý: a =

x y
=
ỳ x2 = y2 ỳ x = y
y x

(Vì x và y cùng dấu )

x
y
là hai số nghịch đảo của nhau .
và b =
y
x

II/ áp dụng :
Để áp dụng bất đẳng thức trên ta cần biến đổi làm xuất hiện các biểu thức có
dạng nghịch đảo " hon ton" hoặc không hon ton tuỳ thuộc vào cái đích mà
bài toán cần đạt tới . Vậy biến đổi nh thế nào ? có những phơng pháp nào ?.
1/Phong pháp biến đổi đồng nhất:
a, Một số bài toán đơn giản ta chỉ cần thực hiện phép tính nhân hoặc chia.....là
xuất hiện dạng nghịch đảo.
+Bài toán 1: Cho a ; b ; c là các số dơng , CM rằng :
a
b
c
(1 + )(1 + )(1 + ) 8
b
c
a
b

c

Giải: Ta có VT = (1 + +
c
a

(1)

c
a a
+ )(1 + )
a
b c

b
c

b
a

a
b

c
b

a
c

= 1+ + + + + + +1

a
b

b
a

a
c

c
a

b
c

c
b

= 2+( + )+( + )+( + )
2+2

a b
a c
b c
. + 2 . + 2 . = 2 + 2 + 2 + 2 = 8 = VP
b a
c a
c b

Ta có điều phải chứng minh, dấu đẳng thức sảy ra ỳ a = b = c .

4


* Với phơng pháp trên mời các em làm tiếp bài toán sau:
+Bài toán 2: Cho a ; b ; c là các số dơng , CM rằng :
1 1 1
(a + b + c)( + + ) 9 .
a b c

* Bài này mời các em tự thực hiện .
+Bài toán 3: Cho x là số dơng, tìm GTNN của :
A=

x2 + 2x + 4
.
x

-Nhận xét: Với x dơng ta chỉ cần thực hiện phép chia tử cho mẫu là xuất hiện
dạng nghịch đảo.
-Giải: Có : A =

x2 2x 4
4
+
+ = x+ +2
x
x x
x
4
x

4
x

Ta có : x + 2 x. = 4
x+

Nên

4
+26
x

Hay A 6 dấu đẳng thức sảy ra ỳ x =

4
x

ỳ x = 2 (vì x > 0 )
Vậy Amin = 6

ỳ x = 2.

+Bài toán 4: Cho a, b, c là các số thực dơng thoả mãn a + b +c = 1. Chứng minh
rằng:

a + bc b + ca c + ab
+
+
2.

b+c
c+a
a+b

- Nhận xét: Có a + bc = a(a + b + c) + bc = (a + b)(c + a)
Tơng tự có b + ca = (b + a)(b + c)
c + ab = (c + a)(c + b) do đó ta có:
VT =

(a + b)(a + c) (b + a )(b + c) (c + a)(c + b)
+
áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có
+
b+c
c+a
a+b

(a + b)(a + c) (b + a )(b + c)
2(a + b)
+
b+c
c+a

5


(a + b)(a + c) (c + a)(c + b)
+
2( a + c )
b+c

a+b
(b + a )(b + c) (c + a )(c + b)
+
2(b + c)
a+c
a+b

Vậy 2. VT 4(a + b + c) = 4 hay VT 2 ĐPCM Đẳng thức xảy ra ỳ a = b = c =

1
3

* Mời các em làm tiếp bài toán sau:
+Bài toán4 : Tìm GTNN của :
B=

x 2 + 15 x + 16
3x

C=

4 x 4 + 16 x 3 + 56 x 2 + 80 x + 356
.
x2 + 2x + 5

(với x dơng ) .

Gợi ý : Thực hiện phép chia đa thức ta đợc :
C = 4.( x 2 + 2 x + 5) +

256
.
x + 2x + 5
2

b, Đôi khi chúng ta phải "tách" , "nhân trộn" rồi chia mới xuất hiện đợc dạng
nghịch đảo.
+Bài toán5 : Tìm GTNN của :
D=

( x 2 + 16 x + 48)( x 2 + 12 x + 27)
x2

-Nhận xét: Nếu chia ngay thì D = ( x +

(với x là số dơng ) .

48
27
+ 16)( x +
+ 12) Sau đó áp dung (1) thì
x
x

dấu bằng không thể xảy ra vì x không đồng thời bằng

48
27
và
. Nên ta phải tìm

x
x

cách "co bằng" hai số 48 và 27 . May thay cả hai đa thức trên tử đều phân tích
đợc thành nhân tử !.
-Giải : Ta có :
D=
=

( x + 12)( x + 3)( x + 9)( x + 4)
x.x
( x 2 + 15.x + 36)( x 2 + 13.x + 36)
x.x

6


= (x +

36
36
+ 15)( x +
+ 13)
x
x

Việc làm tiếp theo là rất đơn giản !

+Bài toán 6 : Tìm GTNN của :
E=

( x 2 + 11x + 30)( x 2 + 22 x + 120)
(với x là số dơng )
x2

* Bài này mời các em tự thực hiện .
2/Phơng pháp thêm bớt :
a/ Ta có thể thêm và bớt cùng một số vào biểu thức rồi biến đổi làm xuất hiện dạng
nghịch đảo.
. +Bài toán 1 : Tìm GTNN của :
A=

x
5
+
1 x x

( Với 0 < x < 1 ) .

Nhận xét: Điều kiện 0 < x < 1 chỉ làm cho A xác định và các hạng tử đều dơng.
Phải làm xuất hiện nhân tử (1 - x) Trên tử của số hạng thứ hai
Ta có

Giải :

Ta có

5
5(1 x)
5 =

x
x

Ta có : A =

x
5
+ 5+5
1 x x

=

5 5x
x
+5
+
1 x
x

x
x 5(1 x)
5(1 x)
+
2
=2 5
.
x
x
1 x
1 x

Nên A 2 5 + 5

dấu đẳng thức sảy ra ỳ

x
5(1 x)
=
1 x
x

ỳ x2 = 5( 1 - x )2
........... ỳ x =
Vậy A min = 2 5 + 5

ỳx=

5 5
.
4

+Bài toán 2 : Tìm GTNN của :

7

5 5
4


B=

2
1
+
( Với 0 < x < 1 )
1 x x

Nhận xét: Phải đồng thời làm xuất hiện nhân tử x trên tử và nhân tử (1 - x )
dới mẫu.
Có

2x
2
2 =
1 x
1 x

Còn
Giải : Ta có B =
=
Ta có

1
1 x
1 =
x
x
1
2
2 + 1+ 3

1 x
x
2x 1 x
+
+3
x
1 x

2x 1 x
2x 1 x
+
2
.
=2 2
1 x
x
1 x x

Nên có B 2 2 + 3 dấu đẳng thức sảy ra ỳ

2x
1 x
=
1 x
x

......... ỳ x = 2 1
Vậy B min =

2 2 +3

ỳ x = 2 1 .

Bài3: Cho a ; b ; c ; d là các số dơng CM rằng :
1
1
1
3
+
+

a(b + 1) b(c + 1) c(a + 1) abc + 1

+Hớng dẫn:
abc + 1 abc + 1 abc + 1
+ 1 +
+ 1 +
+ 1 6
(1)
a(b + 1) b(c + 1) c(a + 1)
a +1
b(c + 1) b + 1
c(a + 1) c + 1
a(b + 1)

+
+
+
+
+

6


b + 1 b(c + 1)
c + 1 c(a + 1)
a + 1
a(b + 1)
a +1
a(b + 1) b + 1
b(c + 1) c + 1
c(a + 1)
6
+
+
+
+
+



a + 1 b(c + 1)
b + 1 c(a + 1)
c + 1
a(b + 1)
.........

8


*Tơng tự học sinh có thể giải bài toán sau:

+Bài toán 4 : Tìm GTNN của :
4
x +1

C = 3x +
D=

(với x > - 1 )

2
x
+
2 x 1

( với x > 1 )


x2
E = ( x + 1) +
+ 2
x +1

2

2

x2 + 2x + 2
Hớng dẫn : E = ( x + 1) +

x +1

( với x 1 )

2

2

1
= ( x + 1) + ( x + 1) +
x + 1


2

2

= 2( x + 1) 2 +

1
+2
( x + 1) 2

b, Nhiều khi việc thêm bớt phải dựa trên việc xác định điểm rơi (điểm cực trị).
Bài1: Cho a ; b ; c ; d là các số dơng CM rằng :
a 2 b2 c2 d 2
+ + +
a+b+c+d
b
c
d

a

Nhận xét: Nhận thấy dấu bằng xảy ra khi a = b = c = d .
Khi ấy :
Giải :

Ta có

Tơng tự ta có

a2
=b
b

:
:

...........

a2
a2
.b = 2a
+b 2
b
b
b2
+c
c

2b

c2
+d
d

2c

d2
+a
a

2d

9


Nh vậy :
Hay

a2 b2 c2 d 2
+
+
+
+ a + b + c + d 2(a + b + c + d )
b
c
d
a
a 2 b2 c2 d 2
+ + +

a+b+c+d
b
c
d
a

Ta có điều phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy ra ỳ a = b = c = d .
Bài2: Cho a ; b ; c là các số dơng CM rằng :
a2
b2
c2
a+b+c
.
+
+

b+c c+a a+b
2

Nhận xét : Nhận thấy dấu bằng xảy ra khi a = b = c .

Giải :

Khi ấy :

a2
b+c
........
=
b+c

4

Ta có :

a2
b+c
a2 b + c
+
2
.
=a
b+c
4
b+c 4

Tơng tự ta có :

Vậy có :
Hay :

b2
a+c
+

a+c
4

b

c2

a+b
+

a+b
4

c

a2
b2
c2
a+b+c
+
+
+
a+b+c
b+c a+c a+b
2
a2
b2
c2
a+b+c
.
+
+

b+c c+a a+b
2

Ta có điều phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy ra ỳ a = b = c .

* Bằng cách trên mời các em làm tiếp bài toán sau :
Bài3: Cho a ; b ; c là các số dơng . CM rằng:
a 3 b3 c3
a,
+
+
ab + ac + bc.
b
c
a

b,

bc ac ab
+
+
a+b+c .
a
b
c

10


3, Phơng pháp tách :
Phơng pháp này đợc áp dụng cho loại bài : tởng nh đã có thể áp dụng đợc (1)
ngay, nhng dấu bằng lại không thể xảy ra. Do vậy trớc hết chúng ta phải xác
định đợc điểm rơi đế tách một cách hợp lý thì mới áp dụng đợc . Loại bài tập
này khá phổ biến , ta sẽ dành nhiều thời lợng hơn cho loại bài tập này.

Bài 1 : Cho a 10; b 100; c 1000 Tìm GTNN của :
1
a

1
b

1
c

A = a+b+c+ + + .
Nhận xét: Với GT trên thì chúng ta phải quan tâm đến và "tiêu hoá" hết lợng
1 1 1
+ +
a b c

Dự đoán điểm rơi là : a = 10 ; b = 100 ; c = 1000 .
Khi đó :

1
1
1
a 1
b
.
; =
; =
=
a 100 b 10000 c 1000000

HD giải: Có A =

99a
a
1 9999b
b
1 999999c
c
1
+(
+ )+
+(
+ )+
+(
+ )
100 100 a 10000 10000 b 1000000 1000000 c



a 1 9999.100
b
c
1
1 999999.1000
99.10
.
. +
. +
+2
+2

+2
1000000
1000000 c
10000
10000 b
100
100 a

=

99 2 9999
2
999999
2
= ......
+ +
+
+
+
10 10 100 100
1000
1000

Bài 2: Cho x ; y là hai số dơng thoả mãn : x + y = 1 . Tìm GTNN của:
B = (x 2 +

1
1
)( y 2 + 2 ) .
2

y
x

Nhận xét : Ta có B = x 2 y 2 +

1
+2
x y2
2

Với GT trên ta cần tiêu hoá hết lợng x2y2
Dự đoán điểm rơi là : x = y =

1
2

11


x2 y2 =

Khi đó

Giải : Ta có B = ( x 2 y 2 +
Có x 2 y 2 +

1
1
= .
2 2

16
256 x y

255
1
)+
2 2
256 x 2 y 2
256 x y

1
1
1
2 x2 y2.
=
2 2
2 2
8
256 x y
256 x y

Và ( x + y ) 2 4 xy ỳ
1
8

Vậy B +

1
4
xy

ỳ

1
16
x y2
2

255
.16 + 2 = ....
256

Bài 3: Cho a ; b ; c là các số dơng thoả mãn : a + b + c
1
a

1
b

3
Tìm GTNN của:
2

1
c

A = a+b+c+ + + .
Nhận xét: Với GT trên thì chúng ta phải quan tâm đến và "tiêu hoá" hết lợng
1 1 1
+ +

a b c

Dự đoán điểm rơi là a = b = c =
1
a

1
b

1
a

1
a

1
2

khi đó

1
1
1
= 4a; = 4b; = 4c
a
b
c

1
c

Giải : Có A = (4a + ) + (4b + ) + (4c + ) 3(a + b + c)
Ta có : 4a + 2 4a. = 4
Tơng tự có : 4b +

1
b

4

1

c

4

4c +

Còn - 3 ( a+b+c )
Vậy A
Amin =

9
2

15
1
dấu đẳng thức xảy ra ỳ a = b = c =
2
2

15
2

ỳ a=b=c=

1
2

12


Bài 4: Cho a ; b ; c là các số dơng thoả mãn :
1
a

1
b

1 1 1
+ + 6 Tìm GTNN của:
a b c

1
c

A = a+b+c+ + + .
Nhận xét: Với GT trên thì chúng ta phải quan tâm đến và "tiêu hoá" hết lợng
a + b +c
Dự đoán điểm rơi là a = b = c =

Giải :Ta có:
Tơng tự

1
2

khi đó

a+

1
1
2 a.
=1
4a
4a

b+

1

4b

1

c+

1

4c

1

a=

1
1
1
;c =
;b =
4c
4b
4a

9
3 1 1 1
( + + )
2
4 a b c

Còn
Vậy

A

Amin =

15
1
dấu đẳng thức xảy ra ỳ a = b = c =

2
2
15
2

1
2

ỳ a=b=c= .

*Nhận thấy : Bài 3 và Bài 4 chỉ là một vì với các số dơng a ; b ; c ta có :
1 1 1
(a + b + c)( + + ) 9
a b c

Nên : a + b + c

1 1 1
+ + 6
a b c

3
ỳ
2

Tuy nhiên mỗi bài lại phải có cách tách khác nhau .Ta sẽ có bài toán mới nếu ta
thay giả thiết là : a ; b ; c là các số dơng thoả mãn:
a2 + b2 + c2

3

4

13


5

2a + 3b 2

5

2b + 3c
2

5

2c + 3a 2


Hoặc:

Hoặc :

5
2
2
3a + 2b 4

5
2

2
3b + 2c
4

5
2
2
3c + 2a 4


Bài 5 : Cho x ; y là hai số dơng thoả mãn : x 2 + y 2 = 1 Tìm GTNN của:
1
y

1
x

C = (1 + x)(1 + ) + (1 + y )(1 + )
x
y

1
x

y
x

1
y

Nhận xét : C = x + y + + + + + 2
Với GT trên thì chúng ta phải quan tâm đến và "tiêu hoá" hết lợng : x + y
Dự đoán điểm rơi là : x = y =
Giải: Ta có : C = ( x +
Có: x +
Tơng tự : y +

2
1
1
khi đó : x = ; y =
2y
2x
2

1
1
x y 1 1 1
) + (y + ) + ( + ) + ( + ) + 2
2 x y
2y
2x
y x

1
1
2 x.
= 2
2x
2x

1

2y

2

x y
+ 2
y x
1
1 1 1
( + )
=
2 x y
xy

Vậy

1
4

2

x y

2

2
= 2
x + y2
2

C 4 + 3 2 ........

Bài 5 : Cho x ; y là hai số dơng thoả mãn : x + y 6
6
x

D = 3x + 2 y + +

Tìm GTNN của:

8
y

Nhận xét: Với GT trên thì chúng ta phải quan tâm đến và "tiêu hoá" hết lợng
6 8
+
x y

14


Rõ ràng với x = y = 3 không giải quyết đợc vấn đề, phải chăng x y ?
6 3 y 8
= x; =
x 2 2 y

Thử tới x = 2 ; y = 4 thì ổn . Khi đó :
D=

Giải : Ta có

3
6 y 8
3
( x + y) + x + + +
2
2
x 2 y

3 6
3
y 8
D .6 + 2
x. + 2 . = ... = 19 dấu đẳng thức xảy ra ỳ x = 2 ; y = 4
2 x
2 y
2

Vậy Dmin = 19 ỳ x = 2 ; y = 4 .
Bài 7: Giả sử x1 và x2 là các nghiệm của phơng trình : x2 - 4x +7 - m = 0 (1)
với m là tham số . Tìm GTLN của : P = x1 x 2

1
.
7 x2 x2

Nhận xét: Trớc hết ta phải tìm m để (1) có nghiệm , đó cũng là cơ sở để xác
định điểm rơi .
Giải : Ptrình (1) có nghiệm ỳ 0
ỳ 47 + m 0 ỳm 3
Khi đó theo Vi-et ta có : x1x2 = 7 - m
Nên : P = 7 m
Ta có : m +

1
1
= 7 (m + )
m
m

1 1 10
1
1
8
1 8
= m + ( m + ) .3 + 2 m. =
3
9 m
9
9
m 9
m

dấu đẳng thức xảy ra ỳ m = 3 ( T/m điều kiện)
Nên P = 7 m

Vậy Pmax =

1
1
10 11
= 7 (m + ) 7
=
3
3
m
m

11
ỳ m = 3.
3

*Tơng tự mời các em giải các bại tập:
Bài 8: Cho : a 5; ab 20; abc 60 CM rằng :
a, a + b + c 12
b, a 2 + b 2 + c 2 50
Bài9: Cho :a ; b ; c là độ dài ba cạnh của một tam giác thoả mãn :
15


a 5; ab 20; abc 60 . CMrằng : a = 5 ; b = 4 ; c = 3

Bài 10 : Cho : a 3; b 4; abc 24
CMrằng : a + b + c 9
4/ Phơng pháp đặt ẩn phụ:
Phơng pháp này đợc áp dụng cho các bài toán phải thông qua phép đặt ẩn

phụ và biến đổi mới xuất hiện dạng nghịch đảo.
Bài toán 1: Cho a ; b ; c là độ dài ba cạnh của một tam giác. tìm GTNN của:
A=

Hd : Đặt

Khi đó

4a
9b
16c
+
+
b+ca a +c b a +bc

b + c - a = 2x

thì có : x , y , z dơng và a = y + z

a + c - b = 2y

b=z+x

a + b - c = 2z

c =x+y

2. A = 4.

=(

y+z
z+x
x+ y
+ 9.
+ 16.
x
y
z

4 y 9x
4 z 16 x
9 z 16 y
)+( +
)
+ )+( +
x
y
x
z
y
z

................

Bài toán2: Cho a ; b ; c là các số dơng . CMrằng :
P=

25a 16b
c

>8 .
+
+
b+c c+a a+b

HDẫn: Đặt : b + c = 2x
c + a = 2y
a + b = 2z
Ta có : a = -x + y + z ; b = x y + z ; c = x + y z
và x ; y ; z
là các số dơng .
25( x + y + z ) 16( x y + z ) x + y z
+
+
2x
2y
2z
25( x + y + z ) 16( x y + z ) x + y z
+
+
=> 2 P =
x
y
z
25 y 16 x
25 z x
16 z y
)+(
= 42 + (
+

+ )+(
+ )
x
y
x
z
y
z

Khi đó ta có : P =

>
Bài 3: Cho a ; b ; c là các số dơng . CMrằng :
a
b
c
3
+
+

2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b 4

16


Hớng dẫn: Đặt x = 2a+b+c; y = 2b+c+a; z = 2c+a+b thì suy ra:
x; y; z là các số dơng và:
3x (y+z) = 4a; 3y (x+z) = 4b; 3z (x+y) = 4c.
a
b

c
ta có:
+
+
2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b
3x ( y + z ) 3 y ( x + z ) 3z ( x + y)
+
+
4T =
x
y
z
x y
x z
y z
=9( + )( + )( + )
y x
z x
z y
= ..............

Từ đó với T =

*Bằng cách tơng tự mời các em giải bài toán sau:
Bài 4: Cho a ; b ; c là các số dơng . CMrằng :
3
a
b
c
+

+
.
b+c c+a a+b 2

III .Hớng khai thác mở rộng:
1/Hớng1: Sử dụng các BĐT hệ quả
a/ Ta có :
ỳ
ỳ
ỳ
ỳ

a b
+ 2 với a . b dơng .
b a
a
b
+1+ +1 4
b
a
a+b a+b
+
4
b
a
1 1
(a + b)( + ) 4
a b
1 1
4

(2)
+
a b a+b

b/ Tổng quát hoá bài toán ta có:
1
a

1
b

1
c

+ (a + b + c)( + + ) 9 với a , b , c là các số dơng.
+ (a1 + a 2 + ....... + a n )(

1
1
1
+
+ ....... + ) n 2 .với mọi ai > 0 ; i = 1;2;;n .
a1 a 2
an

c/áp dụng giải các bài tập:
Bài tập 1: Cho a ; b là hai số dơng thoả mãn điều kiện : a + b = 1 .
1
1
+ 2

.
ab a + b 2
2
3
B=
+ 2
.
ab a + b 2
1
2
C= 2
+
+ 4ab.
2
ab
a +b

Tìm GTNN của: A =

17


Bài tập 2 : Cho a ; b ; c là 3 số dơng . CMrằng :
1
1
1
1 1 1 1
+
+
( + + ).

2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c 4 a b c
1
1
1
1
1
1
.
b,
+
+

+
+
a + 3b b + 3c c + 3a a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b
a,

Bài tập 3:CMrằng : Với a ; b ; c là ba cạnh của một tam giác thì :
1
1
1
1 1 1
+
+
2( + + ). với p là nửa chu vi .
p a p b p c
a b c

Bài tập 4: Cho a ; b ; c là 3 số dơng thoả mãn : a + b + c 3 CMrằng:
1

1
1
3
+
+
.
a +1 b +1 c + a 2
1
1
1
3
b,
+
+
.
1 + ab 1 + bc 1 + ca 2
a,

Bài tập 5: Cho a ; b ; c là 3 số dơng thoả mãn : a + b + c 1 CMrằng:
1
1
1
+ 2
+ 2
9.
a + 2bc b + 2ca c + 2ab
2

Bài tập 6: Cho a ; b ; c là 3 số dơng thoả mãn :

1 1 1
+ + = 4 CMrằng:
a b c

1
1
1
+
+
1.
2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c

Bài tập 7: Cho a ; b ; c là 3 số dơng thoả mãn : a 2 + b 2 + c 2 3 Tìm GTNN:
P=

1
1
1
+
+
1 + ab 1 + ac 1 + bc

Bài tập 8: Cho a ; b ; c là 3 số dơng thoả mãn : a + b + c = 1 CMrằng:
3
2
+ 2
14
ab + ac + bc a + b 2 + c 2

Bài tập 9: a) Cho a 3 . Tìm GTNN của A = a

b) Cho 0 a

1
a

3
1
Tìm GTNN của B = 2a +
2
b

Bài tập 10: Cho a ; b là 2 số dơng thoả mãn : a + b =
P=

2009
Tìm GTNN của:
2008

2008
1
+
2008
a

Bài tập 11: Cho a ; b ; c là 3 số dơng thoả mãn : Tìm GTNN của:
A=

a
b
c

b+c c+a a+b
+
+
+
+
+
b+c c+a a+b
a
b
c

18


c/Triển khai đề ti
Trong việc giảng dạy bộ môn toán, ở mỗi đơn vị kiến thức mở , tôi luôn hớng
dẫn học sinh theo hớng : mở rộng, tổng quát hoá, tìm hớng áp dụng kiến thức .
Đặc biệt trong phần kiến thức về bất đẳng thức , xác định đây là phần kiến thức
khó đối với học sinh , nhng nó rất quan trọng trong việc rèn khả năng t duy sáng
tạo , phát triển khả năng tự học tự nghiên cú cho học sinh .Tôi đã triển khai theo
từng bớc ,đối với từng đối tợng học sinh .

D/Kết quả đạt đợc
Với việc triển khai đề tài này thì bớc đầu tôi đã thu đợc một số kết quả
đáng khích lệ:
+ Học sinh đã tự tin và chủ động hơn trong việc học phần kiến thức này.
+ Đa số các em đã tự giải quyết đợc các bài toán về BĐT và các bài toán có
liên quan trong chơng trình.
+ Các em ở đối tợng khá, giỏi đã giải đợc các bài toán trong các sách tham
khảo.

+ Khích lệ hơn nữa khả năng chủ động sáng tạo trong việc học tập bộ môn.

E /Kết luận
Trong việc dạy và học nhất là đối với môn toán thì việc tổ chức cho học sinh
chủ động sáng tạo trong việc nắm bắt và vận dụng kiến thức là rất quan trọng .Sau
đó việc hớng dẫn cho học sinh tự học, tự nghiên cứu là rất cần thiết. Cho nên ở
mỗi đơn vị kiến thức nhất là đối với phần kiến thức mở trớc hết ngời dạy phải
đầu t thời gian tìm tòi nghiên cứu kiến thức, tìm phơng pháp hớng dẫn cho học
sinh học tập một cách tích cực chủ động. Có nh vậy thì việc dạy và học mới đạt
hiệu quả cao, và trớc hết là rèn cho học sinh những phẩm chất của ngời lao động
mới năng động sáng tạo.
Tuy nhiên với kinh nghiệm bản thân còn hạn chế, tôi mong nhận đợc các ý kiến
đóng góp của tất cả các bạn .
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Phong Hải ,ngy 20/3/2011
Ngời thực hiện đề ti
Đào Khánh Linh

19