vận dụng bất đẳng thức tìm gtln - gtnn và giải phương trình

Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình
PHẦN MỞ ĐẦU
Trang
1
Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình
I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Có thể nói trong chương trình toán ở bậc trung học phổ thông thì phần kiến
thức về bất đẳng thức là khá khó. Nói về bất đẳng thức thì có rất nhiều bất đẳng
thức được các nhà Toán học nổi tiếng tìm ra và chứng minh. Đối với phần kiến thức
này thì có hai dạng bài tập là chứng minh bất đẳng thức và vận dụng bất đẳng thức
để giải các bài toán có liên quan.
Là một sinh viên ngành toán tôi không phủ nhận cái khó của bất đẳng thức và
muốn tìm hiểu thêm về các úng dụng của bất đẳng thức để phục vụ cho việc giảng
dạy toán sau này. Do đó tôi chọn đề tài “Vận dụng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất và giải phương trình” để tìm hiểu thêm. Khi vận dụng bất đẳng
thức để giải các bài toán dạng này thì có rất nhiều bất đẳng thức để chúng ta vận
dụng. Ở đây tôi chỉ giới hạn trong ba bất đẳng thức là bất đẳng thức Côsi,
Bunhiacopski và bất đẳng thức vectơ. Trong đề tài này tôi trình bày cách vận dụng
ba bất đẳng thức trên để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và giải phương trình để
rèn luyện khả năng vận dụng bất đẳng thức để giải toán và qua đó có thể tích lũy
được kinh nghiệm trong giải toán để giảng dạy sau này.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Mục tiêu chính của đề tài này là tổng hợp các bài toán tìm giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất và giải phương trình bằng bất đẳng thức chủ yếu vận dụng ba bất đẳng
thức nói trên. Qua đây tôi hi vọng sẽ đưa ra đầy đủ các dạng vận của các bất đẳng
thức nói trên.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Đối tượng của đề tài là ba bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski và bất đẳng thức
vectơ cùng với các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và các phương trình. Đề
tài này chủ yếu xoay quanh ba đối tượng trên bên cạnh đó tôi cũng giới thiệu và
chứng minh một số bất đẳng thức thông dụng khác.

IV. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Phạm vi của đề tài này chỉ xoay chủ yếu vào ba bất đẳng thức đã nêu trên để
giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và giải phương trình.
VI. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Tìm và tham khảo tài liệu, sưu tầm phân tích và bài tập giải minh họa, tham
khảo ý kiến của cán bộ hướng dẫn
Trang
2
Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình
PHẦN NỘI DUNG
Trang
3
Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Phần 1: SƠ LƯỢC VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
1.1. Định nghĩa bất đẳng thức
Cho hai số thực
ba,
bất kỳ, ta định nghĩa:

0>−⇔> baba
1.2. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức
•
cbcaba ±>±⇔>
•
bacbca >⇔+>+
•
bcacba >−⇔+>
•
ba >
dc >

fdbeca ++>++⇒
fe >
•
ba >
và
mbmam >⇒> 0
•
ba >
và
mbmam <⇒< 0
•
0>> ba
0>> dc
bdac >⇒
•
0>> ba

nn
ba >⇒

Ν∈∀
n

ba >⇒
1.3. Một số bất đẳng thức cơ bản
1.3.1. Bất đẳng thức chứa trị tuyệt đối
baba +≤+
dấu “=” xảy ra
0≥⇔ ab

baba −≤−
nn
aaaaaa +++≤+++
2121
1.3.2. Bất đẳng thức Côsi
Cho hai số dương a, b ta có:
abba 2≥+
Dấu “=” xảy ra
ba =⇔
Tổng quát: cho n số không âm
( )
1 2
, , , 2
n
a a a n ≥
, ta luôn có:

1 2
1 2

.
n
n
n
a a a
n a a a
n
+ + +
≥
Dấu “=” xảy ra

1 2

n
a a a⇔ = = =
Mở rộng: Cho n số dương
( )
1 2
, , , 2
n
a a a n ≥
và n số
1 2
, , ,
n
α α α
dương
có:
1 2
1
n
α α α
+ + + =
. Thì:
1 2
1 2 1 1 2 2
.
n
n n n
a a a a a a
α

α α
α α α
≤ + + +
Dấu “=” xảy ra
1 2

n
a a a⇔ = = =
1.3.3. Bất đẳng thức Bunhiacopski
Trang
4
Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Bất đẳng thức Bunhiacopski:
Cho hai bộ số a, b và c, d ta có:
( )
( )( )
2222
2
dcbabdac ++≤+
Dấu “=” xảy ra
d
b
c
a
=⇔
Tổng quát: Cho n số
1 2 1 2
, , , và , , ,
n n
a a a b b b

tùy ý ta có:
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2

n n n n
a b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + +
Dấu “=” xảy ra
1 2
1 2

n
n
aa a
b b b
⇔ = = =
Mở rộng:
Cho m bộ số, mỗi bộ gồm n số không âm:
( )
( )
, , 1,2, ,
i i i
a b c i m=
Khi đó ta có:
( )
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2
1 1 1 2 2 2

m
m m m
m m m m m m m m m
m m m
a a a b b b c c c
a b c a b c a b c
+ + ≤
≤ + + + + + + + + +
Dấu “=” xảy ra
1 1 1 2 2 2
: : : : : : : : :
n n n
a b c a b c a b c⇔ = = =
1.3.4. Bất đẳng thức Bernuolli
Cho
1
−>
a
và
N
∈
r
:
• Nếu
1
≥
n
thì

( )
naa
n
+≥+ 11
dấu “=” xảy ra
0
=⇔
a
hoặc
1
=
n
• Nếu
1
<<
na
thì
( )
naa
n
+<+ 11
1.3.5. Bất đẳng thức vectơ
•
vuvu ≤
•
vuvu +≤+
•
vuvu −≥−
•
wvuwvuwvu ++≥++≥++

Trang
5
Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Phần 2: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ HOẶC BIỂU THỨC
2.1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ
2.1.1. Định nghĩa
Cho biểu thức
1 2
P( , , , )
n
x x x
( hàm số
1 2
( , , , )
n
f x x x
), xác định trên D
- Nếu
1 2
P( , , , ) M
n
x x x
≤
(hoặc
1 2
( , , , ) M
n
f x x x
≤

)
1 2
( , , , ) D
n
x x x
∀ ∈
và
1 2
( , , , ) D
n
x x x
∃ ∈
sao cho:
1 2
P( , , , ) M
n
x x x
=

thì M gọi là giá trị lớn nhất của
1 2
P( , , , )
n
x x x
(hoặc
1 2
( , , , )
n
f x x x
). Kí hiệu là maxP hoặc P

max
(
1 2
max ( , , , )
n
f x x x
hoặc
1 2 max
( , , , )
n
f x x x
).
- Nếu
1 2
P( , , , ) m
n
x x x
≥
( hoặc
1 2
( , , , ) m
n
f x x x
≥
) thì m gọi là giá trị nhỏ
nhất của
1 2
P( , , , )
n
x x x

( hàm số
1 2
( , , , )
n
f x x x
). Kí hiệu là minP hoặc P
min
(min
1 2
( , , , )
n
f x x x
hoặc
1 2 min
( , , , )
n
f x x x
).
2.1.2. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức (hàm số) bằng
phương pháp vận dụng bất đẳng thức
Đối với việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức (hàm số) thì
có thể kể đến các phương pháp sau: phương pháp khảo sát, phương pháp đánh giá
thông thường và phương pháp sử dụng bất đẳng thức. Trong các phương pháp nêu
trên thì phương pháp sử dụng các bất đẳng thức có thể coi là một trong những
phương pháp thông dụng và hiệu quả nhất để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
biểu thức và hàm số. Đối với phương pháp này, ta sử dụng các bất đẳng thức thông
dụng như: bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski, Schwartz, Bernouli, bất đẳng thức
vectơ… để đánh giá biểu thức P (hoặc hàm số
1 2
( , , , )

n
f x x x
), từ đó suy ra giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cần tìm.
Phương pháp này, như tên gọi của nó, dựa trực tiếp vào định nghĩa của giá trị
lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức và hàm số. Lược đồ chung của phương pháp này
có thể miêu tả như sau:
- Trước hết chứng minh một bất đẳng thức có dạng
1 2
P ( , , , ) D
n
x x x
α
≥ ∀ ∈
với bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (hoặc
1 2
P ( , , , ) D
n
x x x
α
≤ ∀ ∈
đối với bài toán tìm
giá trị lớn nhất), ở đây P là biểu thức hoặc hàm số xác định trên D.
- Sau đó chỉ ra một phần tử
01 02 0
( , , , ) D
n
x x x ∈
sao cho
01 02 0

P( , , , )
n
x x x
α
=
.
Tùy theo dạng của bài toán cụ thể mà ta chọn một bất đẳng thức thích hợp để áp
dụng vào việc tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất.
Do phạm vi của đề tài, ở đây chỉ giới thiệu phương pháp sử dụng ba bất đẳng
thức là: Côsi, Bunhiacopski và phương pháp bất đẳng thức vectơ.
Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
3
2
( )f x x
x
= +
(
0x
>
)
Trang
6
Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Giải:
Ta có:
3
2 2 2 2
5
3 3 6

5
1 1 1 1 1 1 1 5
( ) 5
3 3 3 3
27
f x x x x x
x x x
 
= + + + + ≥ =
 ÷
 
( BĐT Côsi)
Dấu “ =” xảy ra
2 5
5
3
1 1
3 3
3
x x x
x
⇔ = ⇔ = ⇔ =
Vậy Min
( )
f x
=
5
5
27
tại

5
3x
=
2.2. BÀI TẬP
2.2.1. Sử dụng bất đẳng thức Côsi
Lưu ý: Để biết được bài toán nào sử dụng bất đẳng Côsi ta cần chú ý đến các
thành phần của hàm số hoặc biểu thức. Nếu nó có dạng tích hoặc là tổng của hai
phần không âm và đặc biệt sau khi vận dụng bất đẳng thức Côsi thì xuất hiện biểu
thức của giả thiết ban đầu và đưa được về hằng số thì ta có thể sử dụng bất đẳng
thức Côsi để đánh giá để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Bài 1: Cho ba số thực dương
cba ,,
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:



















+++=
a
c
c
b
b
a
111 P
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

b
a
b
a
21
≥+

c
b
c
b
21
≥+
a
c
a
c
21

≥+
Suy ra
88111 =≥+++


















abc
abc
a
c
c
b
b
a
Hay

8P
≥
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1=== cba
Vậy
8P
min
=
Bài 2: Cho ba số thực
0,,
≥
cba
thỏa
2
1
1
1
1
1
1
≥
+
+
+
+
+
cba
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
M abc=

Giải:
Ta có:
2
1
1
1
1
1
1
≥
+
+
+
+
+
cba
cba
+
−
+
−≥
+
⇒
1
1
1
1
2
1

1
Trang
7
Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình

c
c
b
b
acba
+
+
+
≥
+
⇔
+
−+
+
−≥
+
⇔













111
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:
( )( )
cb
bc
c
c
b
b
++
≥
+
+
+
11
2
11

( ) ( )
1
2
1 1 1
bc
a b c
⇒ ≥
+ + +
(1)
Tương tự, ta có:
( )( )
ca
ac
b
++
≥
+
11
2
1
1
(2)
( )( )
ba
ab
c
++
≥
+
11

2
1
1
(3)
Từ (1) , (2) và (3) nhân vế với vế ta được:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
1 1 1
8
1 1 1
1 1 1
a b c
a b c
a b c
   
 ÷ ÷ ÷
   
≥
+ + +
+ + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
8
1 1 1 1 1 1
abc
a b c a b c
⇔ ≥
+ + + + + +
Suy ra:

1
8
M abc
= ≤
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

1 1 1 1
1 1 1 2
a b c
a b c
= = ⇔ = = =
+ + +
(thỏa điều kiện ban đầu)
Vậy
1
8
M
max
=
tại
1
2
a b c= = =
Cách khác:
Từ giả thiết ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1 2 1 1 1b c a c a b a b c+ + + + + + + + ≥ + + +

( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 1 1 1a b c ab bc ac a b c⇔ + + + + + + ≥ + + +

1 2abc ab bc ac⇔ ≥ + + +
(1)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
3 3 3
4
2 4 2abc ab bc ac a b c+ + + ≥
(2)
Từ (1) và (2) ta được:
3 3 3
4
1 4 2 1 8a b c abc≥ ⇒ ≥
hay
1
M
8
abc= ≤

Trang
8
Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1
2
2
abc ab bc ac a b c= = = ⇔ = = =
Vậy M
max
=
1

8
tại
1
2
a b c= = =
Bài toán tổng quát:
Cho
1 2
, , , 0
n
a a a >
thỏa mãn :
1
1
1
1
n
i
i
n
a=
≥ −
∑
+
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1 2
M .
n
a a a=
Lập luận như trên ta được M

max

2
n
=
tại
1 2
1

1
n
a a a
n
= = = =
−
Bài 3: Cho hàm số
2
4
4 4
( ) 1 1 1f x x x x= − + − + +

xác định trên
{ }
D R : 1 1x x
= ∈ − ≤ ≤
. Tìm giá trị lớn nhất của
( )f x
trên D.
Giải:
Áp dụng bất thức Côsi ta có:

2
4
4 4

1 1
1 1 . 1
2
x x
x x x
− + +
− = − + ≤
(1)
4 4

1 1
1 1 .1
2
x
x x
− +
− = − ≤
(2)
4 4

1 1
1 1 .1
2
x
x x
+ +

+ = + ≤
(3)
Từ (1), (2), (3) cộng vế theo vế ta được:
D
( ) 1 1 1
x
f x x x
∀ ∈
≤ + + + −
(4)
Nhận thấy (4) xảy ra khi và chỉ khi (1), (2) và (3) đồng thời xảy ra khi và chỉ
khi
0x
=
.
Lại áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

( )

1 1
1 1 .1
2
x
x x
+ +
+ = + ≤
(5)
( )

1 1

1 1 .1
2
x
x x
+ −
− = − ≤
(6)
Từ (5), (6) đưa đến:
1 1 2 1 1 1 3x x x x
+ + − ≤ ⇔ + + + − ≤
(7)
Trang
9
Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Dấu “=” ở (7) xảy ra khi và chỉ khi ở (5) và (6) đồng thời xảy ra khi và chỉ
khi
0x
=
.
Từ (4) và (7) suy ra
( ) 3 Df x x≤ ∀ ∈
.
Ta lại có
à 0 D
(0) 3, vf
∈
=
. Do đó: max
( )f x
= 3.

Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số thực sau:
1 1
( )
1
f x
x x
= +
−
với
0 1x< <
Giải:
Ta có:
1 1 1 1 1 1
( )
1 1 1 1
x x x x
f x
x x x x x x x x
   
 ÷  ÷
   
− −
= + = + + − + −
− − − −

1
2
1
x x
x x

−
= + +
−
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:
2
1 1
( ) 2 . 2 4
1 1
x x x x
f x
x x x x
+
− −
= + ≥ + =
− −
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1 1
1 2
x x
x
x x
−
= ⇔ =
−
Vậy
min ( ) 4f x =
tại
1
2
x =

Bài 5: Cho ba số thực dương
, ,a b c
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
a b c
b c c a a b
= + +
+ + +
Giải:
Đặt:
, , x b c y c a z a b= + = + = +

( )
1
2
a b c x y z⇒ + + = + +
Và
, ,
2 2 2
y z x z x y x y z
a b c
+ − + − + −
= = =
(*)
Từ đó ta có:
1
P 3
2 2 2 2
y z x z x y x y z y z z x x y

x y z x y z
 
 ÷
 
+ − + − + − + + +
= + + = + + −
Trang
10
Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình

1
3
2
y x z x z y
x y x z y z
 
   
 
 
 ÷  ÷
 ÷
 
   
 
= + + + + + −


[ ]
3
2

1
2 2 2 3
2
=≥ + + −
( Bất đẳng thức Côsi)
Dấu “=” xảy ra
y x
x y
z x
x y z
x z
z y
y z

=



⇔ = ⇔ = =



=


Từ (*) ta có
a b c= =
Vậy
min
3

P
2
=
với mọi số thực dương
, ,a b c
thỏa
a b c= =
.
Bài 6: Cho ba số thực dương
, ,a b c
thỏa:
1a b c+ + =
. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức
( ) ( ) ( )
S abc a b b c c a= + + +
Giải:
Áp dụng BĐT Côsi cho ba số dương, ta có:
3 3
3 1 3a b c abc abc+ + ≥ ⇔ ≥
(1)
Và
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
3a b b c c a a b b c c a+ + + + + ≥ + + +
( ) ( ) ( )
3
2 3 a b b c c a⇔ ≥ + + +
(2)
Từ (1) và (2) nhân vế với vế ta được:

( ) ( ) ( )
3
3
2 9 9 Sabc a b b c c a≥ + + + =
3
8 9 S
8
S
729
⇔ ≥ ⇔ ≤
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1
3
a b c= = =
Vậy
ax
8
S
729
m
=
Trang
11
Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
2
( ) 1 2
2
x
f x x x= + − −

trên miền
1
D R : 1
2
x x
 
= ∈ − ≤ ≤
 
 
.
Giải:
Nhận thấy D là miền xác định của
( )f x
.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
( )
( )
2
2 2
1 1 2
1 2 1. 1 2 D
2
x x
x x x x x
+ − −
− − = − − ≤ ∀ ∈
Do đó:
( )
2
1 1 2

( )
2 2
x x
x
f x
+ − −
≤ +

2
( ) 1f x x⇔ ≤ −
Từ đó suy ra:
( ) 1 Df x x≤ ∀ ∈
Mặt khác để dấu “=” xảy ra thì
2
2
1 1 2
1 1 0 D
1
1
2
x x
x x
x


= − −

− = ⇔ = ∈




− ≤ ≤

Ta lại có:
(0) 1f =
Vậy
D
max ( ) 1
x
f x
∈
=
Bài 8: Cho hàm số
( )
2
2
1 2
( ) 1 1f x x
x x
 
= + + +
 ÷
 
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của
( )f x
với
0x >
Giải:
Ta có:

( )
( )
2
2
2
1 2 1
( ) 1 1 1 1f x x x
x x x
 
   
= + + + = + +
 ÷  ÷
 
   
 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:
2
1
( ) 2 .2 16f x x
x
 
≥ =
 ÷
 
Trang
12
Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Dấu “=” xảy ra
1x
⇔ =

> 0.
Vậy
0
min ( ) 16
x
f x
>
=
tại
1x =
Bài 9: Cho ba số thức dương
, ,a b c
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

( ) ( )
1 1 1
A 1
a b c
abc a b c
a b c b c a
 
= + + + + + + − + +
 ÷
 
Giải:
Ta viết biểu thức A lại dưới dạng sau:
( )
1 1 1
A
a b c

ab bc ac a b c
b c a a b c
     
= + + + + + + + + − + +
 ÷  ÷  ÷
     
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:
2 , 2 , 2
a b c
ab a bc b ac c
b c a
+ ≥ + ≥ + ≥
Từ đó suy ra:
( )
1 1 1
A 2 2 2a b c a b c
a b c
≥ + + + + + − + +

1 1 1 1 1 1
A a b c a b c
a b c a b c
     
⇔ ≥ + + + + + = + + + + +
 ÷  ÷  ÷
     
1 1 1
2 . 2 . 2 . 6A a b c
a b c
⇔ ≥ + + =

(BĐT Côsi)
Dấu “=” xảy ra
1a b c⇔ = = =
Vậy MinA = 6 tại
1a b c= = =
Bài toán tổng quát:
Cho
( )
1 2
1 2
1 1 1
P . 1
n
n
a a a
a a a
 
= − + + + +
 ÷
 

( )
1 2
1 2
2 3 1 3 1 2 1

. . .
n
n
n n n

aa a
a a a
a a a a a a a a a
−
+ + + + − + + +
với
0 1,
i
a i n> ∀ =
Thì MinP = 2n tại
1 2
1
n
a a a= = = =
Bài 10: Cho biểu thức sau:
( )
2 2 2
3 3 3
3 3 3
1 1 1
P
ab bc ca
a b c
c a b
 
+ + +
= + + + +
 ÷
 
Tìm giá trị nhỏ nhất của P với

0, 0, 0a b c> > >
và
1abc =
Trang
13
Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Giải:
Ta có:
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
P 3
a a b b c c
b c c a a b
 
= + + + + + + +
 ÷
 

( )
4 2 5 4 2 5 5 2 4
2 2 2
3 3 3 3 3 3
a b ab b c bc a c a c
ab bc ca
c c a a b b
 
+ + + + + + + + +
 ÷
 
(1)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
6
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
6 . . . . . 6
a a b b c c a a b b c c
b c c a a b b c c a a b
+ + + + + ≥ =
(2)

4 2 5 4 2 5 5 2 4 4 2 5 4 2 5 5 2 4
6
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
6 . . . . .
a b ab b c bc a c a c a b ab b c bc a c a c
c c a a b b c c a a b b
+ + + + + ≥

4 2 5 4 2 5 5 2 4
3 3 3 3 3 3
6 6
a b ab b c bc a c a c
abc
c c a a b b
⇔ + + + + + ≥ =
(3)
2 2 2 2 2 2
3
3 . . 3 3ab bc ca ab bc ca abc+ + ≥ = =

(4)
Từ (1), (2), (3) và (4) ta có:
P 3 6 6 3 18
≥ + + + =
Dấu “=” xảy ra
1a b c⇔ = = =
Vậy P
min
= 18 tại
1a b c
= = =
Bài 11: Cho n số dương
( )
1 2 3
, , , , 2
n
x x x x n ≥
thỏa mãn
1 2
1
n
x x x+ + + =
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1 2
1 2
S .
n
a
a a
n

x x x=
,
Trong đó:
1 2 3
, , , ,
n
a a a a
là n số dương cho trước.
Giải:
Đặt
1 2

n
a a a a
= + + +
,
( )
1,2, ,
i
i
a
b i n
a
= =
thì
0
i
b >
Và
1 2

1
n
b b b+ + + =
. Áp dụng bất đẳng thức Côsi mở rộng ta có:
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
.
n
bb b
n n
n
n n
x bx x b b
x x x
a a a a a a
 
   
≤ + + +
 ÷
 ÷  ÷
   
 

( )
1 2
1 1

n

x x x
a a
≤ + + + =

1 2 1 2
1 2 1 2
1
S . .
n n
a a
a a a a
n n
a
x x x a a a
a
⇒ = ≤
Dấu “=” xảy ra
1 21 2 1 2
1 2 1 2 1 2



n n n
n n n
x x x x x
x x x x
a a a a a a a a a
+ + +
⇔ = = = ⇔ = = = =
+ + +

Trang
14
Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình

( )
1 2
1 2
1
1,2, ,
n i
i
n
x a
x x
x i n
a a a a a
⇔ = = = = ⇔ = =
Vậy
1 2
max 1 2
1
S .
n
aa a
n
a
a a a
a
=
2.2.2. Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski

Lưu ý: Để áp dụng được bất đẳng thức Bunhiacopski thì hàm số hoặc biểu
thức hoặc các biểu thức giả thiết phải có dạng tích của hai biểu thức hoặc tổng của
các biểu thức mà chúng là tích của hai thừa số. Và sau khi áp dụng bất đẳng thức
Bunhiacopski thì phải có phần đưa về biểu thức giả thiết ban đầu và đưa được về
hằng số.
Bài 1: Cho
3
, ,
4
a b c ≥ −
và
3a b c+ + =
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
P 4 3 4 3 4 3a b c= + + + + +
.
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
( )
( ) ( )
2
1. 4 3 1. 4 3 1. 4 3 1 1 1 4 3 3 3a b c a ab ac+ + + + + ≤ + + + + + + +

( )
( )
3 4 9a b c≤ + + +

( )
3 4.3 9 63≤ + =

P 4 3 4 3 4 3 3 7a b c⇒ = + + + + + ≤

Dấu “=” xảy ra
4 3 4 3 4 3
1 1 1
1 1
3
, ,
4
a b c
a b c a b c
a b c

+ + +
= =



⇔ + + = ⇔ = = =



≥ −


Vậy MinP =
3 7
tại
1a b c= = =
.
Bài 2: Cho các hằng số dương
, ,a b c

và các số dương
, ,x y z
thay đổi sao cho
1
a b c
x y z
+ + =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A x y z= + +
.
Giải:
Ta có:
a b c
a b c x y z
x y z
+ + = + +
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
( )
( )
2
2
a b c a b c
a b c x y z x y z
x y z x y z
 
 
+ + = + + ≤ + + + +
 ÷
 ÷
 

 
Trang
15
Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình
( )
2
a b c x y z⇒ + + ≤ + +
Dấu “=” xảy ra
b
a
c
y
a b c
x
z
x y z
x y z
⇔ = = ⇔ = =
(1)
Mặt khác:
1
a b c
x y z
+ + =
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
( )
x a a b c= + +
( )
y b a b c= + +

( )
z c a b c= + +
Vậy maxA =
( )
2
a b c+ +

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
4 4 4
( , , )f x y z x y z= + +
,
trên miền
( )
{ }
D , , : , , 0 và 1x y z x y z xy yz zx= > + + =
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta dược:
( ) ( )
2
2 2 2 4 4 4
1. 1. 1. 3x y z x y z+ + ≤ + +
(1)
Lại áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
( )
( ) ( ) ( )
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
xy yz zx x y z x y z x y z+ + ≤ + + + + = + +
Vì

1xy yz zx+ + =
nên:
( )
2
2 2 2
1x y z+ + ≥
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
( )
4 4 4
3 1x y z+ + ≥

1
( , , )
3
f x y z⇔ ≥
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (1) và (2) đồng thời xảy ra
2 2 2
x y z
x y z
y z x

= =

⇔

= =


kết hợp với điều kiện

1xy yz zx+ + =
Ta được:
3
3
x y z= = =
Vậy
( , , ) D
1
Max ( , , )
3
x y z
f x y z
∈
=
Trang
16
Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Bài 4: Cho các số dương
, ,a b c
thỏa
2 2 2
1a b c+ + =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
3 3 3
P
2 3 2 3 2 3
a b c
a b c b c a c a b
= + +

+ + + + + +
Giải:
Ta có:
4 4 4
2 2 2
P
2 3 2 3 2 3
a b c
a ab ac b bc ba c ca cb
= + +
+ + + + + +
(1)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai dãy số sau:
2 2 2
2 3 , 2 3 , 2 3a ab ac b bc ba c ca cb+ + + + + +
và
2 2 2
2 2 2
, ,
2 3 2 3 2 3
a b c
a ab ac b bc ba c ca cb+ + + + + +
ta có:

( )
( )
4 4 4
2
2 2 2
2 2 2

2 2 2
.
2 3 2 3 2 3
. 2 3 2 3 2 3
a b c
a b c
a ab ac b bc ba c ca cb
a ab ac b bc ba c ca cb
 
+ + ≤ + +
 ÷
+ + + + + +
 
+ + + + + + + +
( )
( )
2
2 2 2 2 2 2
P 5a b c a b c ab bc ca
 
⇔ + + ≤ + + + + +
 
(2)
Mà
2 2 2
1a b c+ + =
, từ (2) suy ra
( )
1
P

1 5 ab bc ca
≥
+ + +
(3)
Mặt khác theo bất đẳng thức Côsi ta có:

2 2
2 2 2 2 2
2 2
2
2 1
2
a b ab
b c bc ab bc ca a b c
c a ca

+ ≥

+ ≥ ⇒ + + ≤ + + =


+ ≥

Từ (3) ta có:
( )
1 1 1
P
1 5 1 5.1 6ab bc ca
≥ ≥ =
+ + + +

Dấu “=” xảy ra
3
3
a b c⇔ = = =
Vậy MinP =
1
6
Trang
17
Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Bài 5: Cho hai số dương
,a b
thỏa
0 1,0 1a b< < < <
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
2 2
1
M
1 1
a b
a b
a b a b
= + + + +
− − +
Giải:
Ta có:
2 2
2 2 2 2
1

M 1 1 2
1 1
1 1 1
2
1 1
1 1 1
2
1 1
a b
a b
a b a b
a a b b
a b a b
a b a b
= + + + + + + −
− − +
+ − + −
= + + −
− − +
= + + −
− − +
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
( ) ( ) ( )
2
1 1 1
1 1
1 1
1 1 1
1 1
1 1

a b a b
a b a b
a b a b
a b a b
 
− + − + + ≤
 ÷
− − +
 
 
≤ + +  − + − + + 
 
 
− − +
 
1 1 1 9 9 5
M 2
1 1 2 2 2a b a b
⇔ + + ≥ ⇔ ≥ − =
− − +
Dấu “=” xảy ra
1 1
1
1
1 1
3
1
a a b
a b
b a b


=


− +
⇔ ⇔ = =


=

− +

Vậy minM =
5
2
Bài toán tổng quát:
Cho
2
2 2
1 2
1 2 1 2
1
P
1 1 1
n
n n
aa a
a a a a a a
= + + + +
− − − + + +

với
0 1 1,
i
a i n< < ∀ =
Thì minP
2 1n
n
+
=
Bài 6: Cho hàm số thực
(
)
2
( ) 2007 2009f x x x= + −
. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ
nhất của
( )f x
trên miền xác định của nó.
Giải:
Ta có miền xác định của
( ) : D 2009; 2009f x
 
= −
 
Mặt khác:
(
)
2
( ) 2007 2009 ( )f x x x f x− = − + − = −
( ) là hàmf x⇒

lẻ
Trang
18
Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Và
( ) 0, D 0; 2009f x x
+
 
≥ ∀ ∈ =
 
Do đó:
D
D
max ( ) max ( )
x
x
f x f x
+
∈
∈
=
và
D
D
min ( ) max ( )
x
x
f x f x
+
∈

∈
= −
Với
Dx
+
∈
, ta có:
(
)
2
( ) 2007. 2007 1. 2009f x x x= + −
Theo bất đẳng thức Bunhiacopski thì:

( )
( )
2 2
2
2007. 2007 1. 2009 2008 2007 2009
2008 4016
x x
x
+ − ≤ + −
≤ −
Suy ra:
( ) ( )
2 2 2
( ) 2008 4016 2008. 4016f x x x x x≤ − = −
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
2 2
4016

( ) 2008. 2008.2008
2
x x
f x
+ −
≤ =
Dấu “=” xảy ra
2
2 2
2007
1 2009
2008
2007
4016
x
x
x x

= = −

⇔ ⇔ =


= −

Vậy
D
max ( ) 2008 2008
x
f x

∈
=
tại
2008x =

D
min ( ) 2008 2008
x
f x
∈
= −
tại
2008x = −
Bài 7: Cho
, , 0x y z >
thỏa mãn
1xy yz zx+ + =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
2 2 2
T
x y z
x y y z z x
= + +
+ + +
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
1 x y y z z x x y z y z x x y z= + + ≤ + + + + = + +
( )
( ) ( )

2
2
2 2 2
2T
x y z
x y z x y y z z x
x y y z z x
x y z
x y y z z x x y z
x y y z z x
 
+ + = + + + + + ≤
 ÷
 ÷
+ + +
 
 
≤ + + + + + + + = + +
 ÷
+ + +
 
( )
1 1
T
2 2
x y z⇒ ≥ + + ≥
Dấu “=” xảy ra
1
3
x y z⇔ = = =

Vậy minT =
1
2
tại
1
3
x y z= = =
.
Trang
19
Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Bài 8: Cho ba số dương
, ,a b c
thỏa mãn:
1a b c+ + =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
2 2 2
1 1 1 1
P
a b c ab bc ca
= + + +
+ +
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta được:
( )
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
2 2 2

2 2 2
2 2 2
2
1 1 1 1
100 3 3 3
1 1 1 1
9 9 9
P 7 P 1 7
a b c ab bc ca
ab bc ca
a b c
a b c ab bc ca
a b c ab bc ca
a b c ab bc ca ab bc ca
 
= + + + + + ≤
 ÷
+ +
 
 
≤ + + + + + + + +
 ÷
+ +
 
 
≤ + + + + + =  + + + 
 
 
Mà ta lại có:
( )

2
1
3
a b c ab bc ca+ + ≥ + +

Thật vậy, từ trên ta có:
( ) ( )
2
3a b c ab bc ca+ + ≥ + +
2 2 2
a b c ab bc ca⇔ + + ≥ + +
(suy ra từ bất đẳng thức Cosi)
Do đó:
( )
2
7 10
100 P 1 P
3 3
P 30
a b c
 
≤ + + + =
 
 
⇔ ≥
Dấu “=” xảy ra
1
3
a b c⇔ = = =
Vậy minP = 30 tại

1
3
a b c= = =
Bài toán tổng quát:
Cho n số dương
( )
1 2 1 2
, , , 2 và 1
n n
a a a n a a a≥ + + + =
.
Đặt
1 2 1 2 2 3 1 1
1 1 1 1 1
P =

n n n n
a a a a a a a a a a a
−
+ + + + +
+ + +
Thì
( )
3 2
2
min P
2
n n n− +
=
khi

1 2
1

n
a a a
n
= = = =
2.3. Sử dụng bất đẳng thức vectơ
Lưu ý: Để sử dụng bất đẳng thức vectơ thì biểu thức giả thiết hoặc biểu thức
cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất có dạng tổng bình phương của các số hạng hoặc
căn bậc hai của tổng bình phương hoặc là tổng của các tích của các thừa số.
Trang
20
Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Bài 1: Cho hai số thực
yx,
thỏa mãn
132 =+ yx
. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng
22
23S yx +=
Giải:
Ta có
( ) ( )
22
22
2323S yxyx +=+=
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn
6
35

2
9
3
4
2
3
,
3
2
=+=⇒






= uu
( )
35
6
2323.
6
35
.132.
232,3
2222
22
≥+⇔+=≤=+=
+=⇒=
yxyxvuyxvu

yxvyxv
Dấu “=” xảy ra
xy
yx
94
2
3
3
2
=⇔=⇔
Kết hợp với điều kiện ban đầu ta được:
35
9
,
35
4
== yx
Vậy minS =
35
6
tại
35
9
,
35
4
== yx
Bài 2: Cho
1x y z+ + =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2
P x y z= + +
Giải:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn:
( )
222
,, zyxuzyxu ++=⇒=
( )
222
,, zyxvyxzv ++=⇒=
Ta có:
222
zyxyzxyxzvuvu ++≤++⇒≤
( )
( )
( )
( )
3
1
13
2223
2222
222
2
222
222222
222
≥++⇔
=++≥++⇔
+++++≥++⇔

++≥++⇔
zyx
zyxzyx
yzxyxzzyxzyx
yzxyxzzyx
Dấu “=” xảy ra
3
1
===⇔==⇔ zyx
y
z
x
y
z
x
Vậy minP =
3
1
khi
3
1
=== zyx
Bài 3: Cho
1
22
=+ba
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
abba +++= 11A
Giải:
Trang

21
Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn:
( )
( )
21,1
1,
22
++=⇒++=
=+=⇒=
bavabv
baubau
Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
( )
22.1.1
22
=+≤+ baba
Do đó:
22 +≤v
222.11.A +≤++=≤+++== yxvuabbavu
Dấu “=” xảy ra
a
b
b
a
+
=
+
⇔
11

Kết hợp với điều kiện ban đầu
1
22
=+ ba
Suy ra:
2
2
== ba
Vậy
22A
max
+=
khi
2
2
== ba
Bài 4: Cho ba số dương
zyx ,,
và
1=++ zyx
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau
2
2
2
2
2
2
111

P
z
z
y
y
x
x +++++=
Giải:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ta chọn:
2
2
11
,
x
xu
x
xu +=⇒






=
2
2
11
,
y
yv

y
yv +=⇒








=
2
2
11
,
z
zw
x
zw +=⇒






=









++++=++⇒
zyx
zyxwvu
111
,
Áp dụng bất đẳng thức
wvuwvu ++≥++
ta có:
( )
2
2
2
2
2
2
2
2
111111









+++++≥+++++
zyx
zyx
z
z
y
y
x
x
(1)
Nhận thấy:
( ) ( ) ( )
+++−++=








+++++
22
2
2
8081
111
zyxzyx
zyx
zyx

2
111








+++
zyx
(2)
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta được:
Trang
22
Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình
( ) ( )
≥








++++≥









+++++
zyx
zyx
zyx
zyx
111
9.2
111
81
2
2

81.2
1
3.3.9.2
3
3
=≥
xyz
xyz
(3)
Từ (2) và (3) ta có:
( )

828081.2
111
2
2
=−≥








+++++
zyx
zyx
Và do (1) nên:
82
111
P
2
2
2
2
2
2
≥+++++=
z
z
y

y
x
x
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
3
1
=== zyx
Vậy
82P
min
=
khi
3
1
=== zyx
.
Bài 5: Cho
2=++ cba
và
6=++ czbyax
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( ) ( ) ( )
2
2
2
2
2
2
161616P czcbybaxa +++++=
Giải:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ta chọn:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
106,8,4
16,4
16,4
16,4
2
2
2
2
2
2
=++⇒=++++=++
+=⇒=
+=⇒=
+=⇒=
wvuczbyaxcbawvu
czcwczcw
bybvbybv
axauaxau
Ta có:
wvuwvu ++≥++
( ) ( ) ( )
10161616aP
2
2
2

2
2
2
≥+++++=⇒ czcbybax
Giá trị nhỏ nhất của P: P
min
= 10
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
a. Có hai trong ba vectơ bằng vectơ
0
b. Có một trong ba vectơ bằng vectơ
0
Giả sử
0=u
thì
vkw =

( )
0>k

c. Không có vectơ nào bằng vectơ
0
Trang
23
Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình






>
=++
===
⇒









=++
=++
>
=
=
=
⇒







>==
>==
0,,

2
3
0
2
0,
0
0
cba
cba
zyx
czbyax
cba
mk
mczby
kbyax
kba
m
cz
by
c
b
k
by
ax
b
a
Bài 6: Cho các số dương
zyx ,,
thỏa
4=++ zxyzxy

. Tìm giá trị bé nhất của biểu
thức
444
F zyx ++=
Giải:
Trong không gian Oxyz chọn:
( )
( )
31,1,1
,,
444222
=⇒=
++=⇒=
vv
zyxuzyxu
Ta có:
222
. zyxvu ++=
Mà:
( )
22
2
vuvu ≤
( ) ( )
2
222444
3 zyxzyx ++≥++⇒
Mặt khác ta có:
zxxz
yzzy

xyyx
2
2
2
22
22
22
≥+
≥+
≥+

( )
( )
zxyzxyzyxzxyzxyzyx ++≥++⇒++≥++⇒
222222
22
= 4
Từ đó ta có:
( )
3
16
1643
4442444
≥++⇒=≥++ zyxzyx
Vậy: minF = 16 khi
13
2
±=== zyx
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1064284A

2222
+−++++++−= bbbabaaa
Giải:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn:
( )
( ) ( )
( )
( )
255,5
1061,3
42,
842,2
2
2
2
=++⇒−=++
+−=⇒−=
++=⇒−−=
+−=⇒−=
wvuwvu
bbwbw
bavbav
aauau
Trang
24
Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Ta có:
wvuwvu ++≤++
251064284
2222

≥+−++++++−⇒ bbbabaaa
Dấu “=” xảy ra
2,0
1
2
2
3
2
==⇔







=
−−
−
=
−
−
⇔ ba
ba
a
b
a
Vậy
25A
min

=
tại
2,0 == ba
Bài 8: Cho
R
∈
a
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
52134M
22
++++−= aaaa
Giải:
Ta có:
( ) ( )
4192M
22
++++−= aa
Trong mặt phẳng tọ độ Oxy chọn:
( ) ( )
( ) ( )
( )
345,3
412,1
923,2
2
2
=+⇒=+⇒
++=⇒+=
+−=⇒+−=
vuvu

avav
auau
Mà:
( ) ( )
344192
22
≥++++−⇒+≥+ aavuvu
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
5
1
=a
Vậy:
34M
min
=
khi
5
1
=a
Bài 9: Cho ba số dương
cba ,,
thỏa:
abccabcab =++
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
ca
ca
bc
bc
ab

ab
222222
222
B
+
+
+
+
+
=
Giải:
Ta có:
222222
212121
B
accbba
+++++=
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn:
Trang
25