Đề Kiểm tra HK II Có đáp án chi tiết(Tham khảo)

TRƯỜNG THPT BA BỂ
TỔ TOÁN - TIN

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II - LỚP 11
I. MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU:
Cần đạt được các mức độ đạt theo chuẩn KTKN chương trình toán học kỳ II
lớp 11 ban cơ bản. Yêu cầu cần đạt được:
1. Kiến thức:
- Giới hạn của hàm số, của dãy số; Hàm số liên tục;
- Định nghĩa đạo hàm, ý nghĩa hình học của đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm
của hàm số và đạo hàm của hàm số hợp;
- Quan hệ vuông góc trong không gian: Hai đường thẳng vuông góc, đường
thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc;
- Góc trong không gian: Góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và
mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng;
- Khoảng cách: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách
giữa đường thẳng và mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song và
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
2. Kỹ năng:
- Tính được giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số tại một điểm, giới hạn
tại vô cực;
- Biết và xét tính liên tục của hàm số tại một điểm;
- Biết vận dụng các quy tắc tính đạo hàm và tính được đạo hàm của hàm số
đạo hàm của hàm số hợp; Lập được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
khi biết một số yếu tố cho trước;
- Chứng minh được đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng
vuông góc với nhau; Xác định được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng; tính
được khoẳng cách từ một điểm đến mặt phẳng.
3. Tư duy, thái độ:
- Rèn luyện được tư tuy lôgic, tổng hợp, hệ thống;
- Học sinh tích cực, chủ động, sáng tạo trong học tập.

II. HÌNH THỨC KIỂM TRA:
Kiểm tra tự luận

1


III. MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA:
Chủ đề hoặc mạch
kiến thức, kỹ năng

Mức độ nhận thức
Thông
hiểu

Nhận biết
Giới hạn

Vận dụng

Giới hạn
Câu1a,b
của dãy số,
hàm số
1.0
Hàm số
liên tục

Khả
năng cao
hơn

2
1.0

Câu2

1
1.0

Đạo hàm

Đạo hàm

Câu3a,b

1.0
Câu3c

1.0
Phương
trình tiếp
tuyến
Quan hệ
vuông
góc

Câu4a

1.0
Câu4b

1.0

Chứng
minh
vuông góc

3
2.0
2
1.0

Câu5a

2.0
1

1.5

Góc

1.5
Câu5b

1
1.0

Khoảng
cách

Câu5c

1.0
1

1.5
Tổng

2

5

4

1.0

4.5

2

1.5
11

4.5

10


BẢNG MÔ TẢ NỘI DUNG
Câu 1a:

Biết và tính giới hạn của dãy số dạng phân thức hữu tỉ

Câu 1b:

Biết và tính giới hạn một bên của hàm số dạng phân thức hữu tỉ

Câu 2:

Hiểu và xét tính liên tục của hàm số cho bởi nhiều công thức tại một
điểm

Câu 3a,b:

Hiểu và tính được đạo hàm của hàm số dạng tích ( tích của hai hàm đa
thức) và hàm số dạng phân thức hữu tỉ

Câu 3c:

Biết vận dụng tính được đạo hàm của hàm số hợp

Câu 4a:

Hiểu và viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đa thức
( hoặc phân thức) tại một điểm

Câu 4b:

Vận dụng viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đa thức ( hoặc
phân thức) khi biết hệ số góc cho trước

Câu 5a:

Hiểu và chứng minh được đường thẳng vuông góc với đường thẳng,
đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Câu 5b:

Vận dụng tính góc hợp bởi đường thẳng và mặt phẳng

Câu 5c:

Vận dụng tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

3


IV. NỘI DUNG ĐỀ KIỂM TRA:

Đề số 1

Câu 1 (1,0 điểm) Tính các giới hạn sau:
a) lim

2n2 + n − 1

b) lim+

n3 + 3n2 − 8n + 1

x →1

x +2
x −1

Câu 2 (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số

 x2 − 3x + 2

f ( x) =  x −1
−1


khi x ≠ 1

tại xo = 1

khi x = 1

Câu 3 (2,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau
x +3
2
a) y = ( −2 x + 1) x + 3
b) y =
1 − 2x

(

)

π
8
c) y = sin  2 x + ÷
3


3x + 1
có đồ thị ( C )
1− x
Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) trong các trường hợp:
a) Tại tiếp điểm A ( 2; −7 )
b) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : 2 x + 2 y − 5 = 0

Câu 4 (2,0 điểm) Cho hàm số y =

Câu 5 (4,0 điểm) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,
SA ⊥ ( ABCD ) và SA = a 6
a) Chứng minh BD ⊥ SC , ( SBD ) ⊥ ( SAC )
b) Tính góc giữa SC và ( ABCD )

c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBD ) .

4


Câu 1 (1,0 điểm) Tính các giới hạn sau:
4

a) lim

n − 5n

b) lim

3n − 8n 4

x →2 −

x −3
x −2

Đề số 2

Câu 2 (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số

 x 2 + 3x + 2

g( x) =  x + 2
4


khi x ≠ −2

tại xo = −2

khi x = −2

Câu 3 (2,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau
3 − 2x
2

a) y = 2 x + x ( 1 − x )
b) y =
x −1

(

)

c) y = cos 1 − 2 x 2

x2 − x + 2
có đồ thị ( C )
x −1
Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) trong các trường hợp:
a) Tại tiếp điểm M ( 2;4 )
b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : 2 x + 2 y + 5 = 0

Câu 4 (2,0 điểm) Cho hàm số y =

Câu 5 (4,0 điểm) Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông ở A
·
và ở B . Có AD = 2 BC = 2 AB = 2 a, SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a 2, ADC
= 450 .
Gọi I là trung điểm của AD .
a) Chứng minh BC ⊥ ( SAB ) , ( SCD ) ⊥ ( SAC )
b) Tính góc giữa SC và ( ABCD )
c) Tính khoảng giữa SD và AB .

5

V. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Câu

Đáp án

2 1
1
+ 2− 3
2n + n − 1
0
n n
n
=
lim
=
=0
a lim 3
3 8
1
1
n + 3n2 − 8n + 1
1+ − 2 + 3
n n
n
x +2
lim
= +∞ ( vì x − 1 > 0 khi x → 1+ )
+
b x →1 x − 1

Thang
điểm

2

1

( x − 1) ( x − 2 ) = lim x − 2 = −1
x2 − 3x + 2
lim f ( x ) = lim
= lim
(
)
x →1
x →1
x →1
x →1
x −1
x −1
f ( 1) = −1

2

3

0.5

0.5

0.5
0.25

f ( x ) = f ( 1) nên hàm số f ( x ) liên tục tại x = 1
Ta có: xlim
o
→1

0.25

a

y ' = −2 x 2 + 3 + 2 x ( −2 x + 1) = −2 x 2 − 6 − 4 x 2 + 2 x

0.25

b

y ' = −6 x 2 + 2 x − 6
( 1 − 2 x ) + 2 ( x + 3) = 1 − 2 x + 2 x + 6
y' =
( 1 − 2x ) 2
( 1 − 2x) 2

(

y' =

)

7

0.25
0.25

0.25

( 1 − 2x ) 2
'

c

 
π 
π

y ' = sin  2 x + ÷ .8sin 7  2 x + ÷
3 
3

 

0.5

'

4

a

π
π
π



y ' =  2 x + ÷ .cos  2 x + ÷.8sin 7  2 x + ÷
3
3
3



π 
π

y ' = 16.sin 7  2 x + ÷cos  2 x + ÷
3
3


3 ( 1 − x ) + ( 3 x + 1)
4
y' =
=
(1− x)2
(1− x)2
Hệ số góc: k = y ' ( 2 ) =

4

( 1 − 2)

2

=4

0.25
0.25
0.5
0.25

Phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm A ( 2; −7 ) là: y = 4 x − 15

0.25

b Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : 2 x + 2 y − 5 = 0 nên

0.25

6


tiếp tuyến có hệ số góc k = 1
Gọi ( xo ; yo ) là toạ độ tiếp điểm. Ta có:

 xo = −1
2
=
1

⇒
1
−
x
=
4
⇒
(
)

o
2
1
−
x
 xo = 3
( o)
Với xo = −1 ⇒ yo = −1 . Ta có PTTT: y = x
Với xo = 3 ⇒ yo = −5 . Ta có PTTT: y = x − 8
4

y ' ( xo ) = k ⇒

0.25
0.25
0.25

S

(Hình vẽ)

5

0.5

H
B

A
O
D

a

C

BD ⊥ AC 
 ⇒ BD ⊥ ( SAC ) ⇒ BD ⊥ SC
BD ⊥ SA 

BD ⊥ ( SAC ) 

 ⇒ ( SBD ) ⊥ ( SAC )
BD ⊂ ( SBD ) 


0.5
0.5

Do SA ⊥ ( ABCD ) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt

b phẳng ( ABCD ) . Khi đó, góc giữa SC và mặt phẳng ( ABCD ) là góc
·
.
SCA

·
=
Ta có: tan SCA

SA a 6
·
=
= 3 ⇒ SCA
= 60 0
AC a 2

0.5

0.5

Gọi { O} = AC ∩ BD . Kẻ AH ⊥ SO , khi đó:
c

AH ⊥ SO



 ⇒ AH ⊥ ( SBD ) ⇒ d ( A, ( SBD ) ) = AH
AH ⊥ BD ( BD ⊥ ( SAC ) ) 


AO =

a 2
, SA = a 6 và ∆SAO vuông tại A. Ta có:
2

7

0.75
0.75


1
AH 2

=

1
SA2

+

1
AO2

Vậy d ( A, ( SBD ) ) =

=

1
6a2

+

2
a2

=

13
6a 2

⇒ AH =

a 78
13

a 78
13

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM( Đề 2)
Câu

Đáp án
8

Thang
điểm

4

a

1

b

2

lim

n − 5n
3n − 8n 4

lim

x →2 −

= lim

1−

5

n3 = − 1
3
8
−8

3
n

0.5

x −3
= +∞ ( vì x − 2 < 0 khi x → 2 − )
x −2

0.5

( x + 1) ( x + 2 )
x 2 + 3x + 2
lim g ( x ) = lim
= lim
x →−2
x →−2
x →−2
x+2
x+2
= lim ( x + 1) = −1

0.5

f ( −2 ) = 4

0.25

x →−2

3

a

b

f ( x ) ≠ f ( −2 ) nên hàm số g ( x ) gián đoạn tại x = −2
Ta có: xlim
o
→−2

0.25

y ' = ( 4 x + 1) ( 1 − x ) − 2 x 2 + x = 4 x − 4 x 2 + 1 − x − 2 x 2 − x

0.25

(

y ' = −6 x 2 + 2 x + 1
−2 ( x − 1) − ( 3 − 2 x ) −2 x + 2 − 3 + 2 x
y' =
=
2
( x − 1)
( x − 1) 2

y' =
c

y' =
a

=

0.25
0.25

( x − 1) 2

y' = −

y' =

0.25

−1

y' = −

4

)

(

1 − 2x

2

−4 x

2 1 − 2x

2

2 x 1 − 2 x2
1 − 2x2

) sin
'

1 − 2x2

0.5

sin 1 − 2 x 2

0.25

sin 1 − 2 x 2

0.25

( 2 x − 1) ( x − 1 ) − ( x 2 − x + 2 )
( x − 1)

2

=

2x2 − 2x − x + 1 − x2 + x − 2

( x − 1) 2

2

x − 2x − 1

0.5

( x − 1) 2

Hệ số góc: k = y ' ( 2 ) =

22 − 2.2 − 1

( 2 − 1)

2

= −1

Phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M ( 2;4 ) là: y = − x + 6
9

0.25
0.25

b

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng d : 2 x + 2 y + 5 = 0 nên
tiếp tuyến có hệ số góc k = −1
Gọi ( xo ; yo ) là toạ độ tiếp điểm. Ta có:

 xo = 0
y ' ( xo ) = k ⇒
= −1 ⇒ 3 xo 2 − 4 xo = 0 ⇒ 
2
 xo = 4
( x o − 1)

3
Với xo = 0 ⇒ yo = −2 . Ta có PTTT: y = − x − 2
4
22
26
Với xo = ⇒ yo =
. Ta có PTTT: y = − x +
3
3
3
2 x o 2 − 2 xo − 1

0.25

0.25

0.25

0.25

S
H

(Hình vẽ)

0.5
I

A

D

B
C

5
a

BC ⊥ AB 
 ⇒ BC ⊥ ( SAB )
BC ⊥ SA 
·
CI ⊥ AD tại I và ADC
= 450 nên vuông cân tại C
Ta có: CD ⊥ AC

Mặt khác: CD ⊥ SA . Từ đây suy ra: CD ⊥ ( SAC )

CD ⊥ ( SAC ) 

 ⇒ ( SCD ) ⊥ ( SAC )
CD ⊂ ( SCD ) 

Do SA ⊥ ( ABCD ) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt
b phẳng ( ABCD ) . Khi đó, góc giữa SC và mặt phẳng ( ABCD ) là góc
·
.
SCA

c

·
Tam giác ∆SAC vuông cân tại A , nên SCA
= 450
Kẻ AH ⊥ SD . Mặt khác AB ⊥ ( SAD ) ⇒ AB ⊥ AH

0.5

0.5

0.5
0.5

⇒ d ( AB, SD ) = AH

0.75

SA = a 2, AD = 2a , và ∆SAD vuông tại A. Ta có:

0.75

10


1
AH 2

=

1
SA2

+

1
AD 2

Vậy d ( AB, SD ) =

=

1
2a2

+

1
4a2

=

3
4a 2

⇒ AH =

2 3
a
3

2 3
a
3

Lưu ý: Nếu học sinh giải theo cách giải khác mà kết quả đúng thì vẫn cho điểm theo
thang điểm trong đáp án

TRƯỜNG THPT BA BỂ

Đề số 1

KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2010-2011
Môn: Toán – Khối 11
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề

11

Câu 1 (1,0 điểm) Tính các giới hạn sau:
a) lim

2n2 + n − 1

b) lim+

n3 + 3n2 − 8n + 1

x →1

x +2
x −1

Câu 2 (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số

 x2 − 3x + 2

f ( x) =  x −1
−1


khi x ≠ 1

tại xo = 1

khi x = 1

Câu 3 (2,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau
x +3

2
a) y = ( −2 x + 1) x + 3
b) y =
1 − 2x

(

)

π
8
c) y = sin  2 x + ÷
3


3x + 1
có đồ thị ( C )
1− x
Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) trong các trường hợp:
a) Tại tiếp điểm A ( 2; −7 )
b) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : 2 x + 2 y − 5 = 0

Câu 4 (2,0 điểm) Cho hàm số y =

Câu 5 (4,0 điểm) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,
SA ⊥ ( ABCD ) và SA = a 6
a) Chứng minh BD ⊥ SC , ( SBD ) ⊥ ( SAC )
b) Tính góc giữa SC và ( ABCD )

c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBD ) .

-----------------Hết----------------Học sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên học sinh:…………………………………………

TRƯỜNG THPT BA BỂ

Đề số 2

KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2010-2011
Môn: Toán – Khối 11
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề

12


Câu 1 (1,0 điểm) Tính các giới hạn sau:
a) lim

n 4 − 5n

b) lim

3n − 8n 4

x →2 −

x −3
x −2

Câu 2 (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số

 x 2 + 3x + 2

g( x) =  x + 2
4


khi x ≠ −2

tại xo = −2

khi x = −2

Câu 3 (2,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau
3 − 2x
2
a) y = 2 x + x ( 1 − x )
b) y =
x −1

(

)

c) y = cos 1 − 2 x 2

x2 − x + 2
Câu 4 (2,0 điểm) Cho hàm số y =
có đồ thị ( C )
x −1
Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) trong các trường hợp:

a) Tại tiếp điểm M ( 2;4 )
b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : 2 x + 2 y + 5 = 0
Câu 5 (4,0 điểm) Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông ở A
·
và ở B . Có AD = 2 BC = 2 AB = 2 a, SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a 2, ADC
= 450 .
Gọi I là trung điểm của AD .
a) Chứng minh BC ⊥ ( SAB ) , ( SCD ) ⊥ ( SAC )
b) Tính góc giữa SC và ( ABCD )
c) Tính khoảng giữa SD và AB .
-----------------Hết----------------Học sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên học sinh:…………………………………………

13