Ánh xạ liên tục trong không gian metric

Ánh xạ liên tục trong không gian Metric

Nguyễn Thị Hồng Mến

LỜI CẢM ƠN
Bản khóa luận này được hoàn thành tại trường đại học Sư phạm Hà Nội
2 dưới sự chỉ bảo hướng dẫn tận tình của thầy giáo – tiến sĩ Bùi Kiên Cường.
Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy đã giúp đỡ em trong quá trình em học
tập và hoàn thành bản khóa luận: “Ánh xạ liên tục trong không gian
Metric”.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán nói chung, các
thầy cô trong tổ bộ môn giải tích nói riêng đã tạo điều kiện tốt nhất để em
hoàn thành khóa luận tốt nghiệp của mình.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 18 tháng 05 năm 2010
Sinh viên

Nguyễn Thị Hồng Mến

2


Ánh xạ liên tục trong không gian Metric

Nguyễn Thị Hồng Mến

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp này là những nghiên cứu của em dưới sự hướng
dẫn tận tình của thầy giáo – Tiến sĩ Bùi Kiên Cường. Bên cạnh đó em cũng
được sự quan tâm , tạo điều kiện của các thầy cô trong khoa Toán – Trường
Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2.

Vì vậy, em xin khẳng định nội dung đề tài: “Ánh xạ liên tục trong
không gian Metric” không có sự trùng lặp với đề tài khác.

Sinh viên
Nguyễn Thị Hồng Mến

3


Ánh xạ liên tục trong không gian Metric

Nguyễn Thị Hồng Mến

MỤC LỤC
Trang
Phần 1. MỞ ĐẦU ........................................................................................ 1

Phần 2. NỘI DUNG CHÍNH ...................................................................... 2
Chương 1. Một số khái niệm và kết quả về không gian Metric ...... 2
§1. Không gian Metric ................................................................... 2
§2. Sự hội tụ. Không gian đủ ......................................................... 5
§3. Tập hợp mở, tập hợp đóng ...................................................... 8
Chương 2. Ánh xạ liên tục trong không gian Metric ....................... 13
§1. Ánh xạ liên tục .......................................................................... 13
§2. Định lý mở rộng........................................................................ 19
§3. Hàm thực và phức liên tục ...................................................... 24
§4. Sự liên tục đều…………………………………………………26
§5. Phép đồng phôi, hai metric tương đương và phép đẳng cự...32
§6. Sự hội tụ đều của dãy hàm……………………………………35
Chương 3. Ánh xạ co và ứng dụng ..................................................... .44

§1. Ánh xạ co ................................................................................... .44
§2. Ứng dụng của ánh xạ co………………………………………49
Phần 3. KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO

4


Ánh xạ liên tục trong không gian Metric

Nguyễn Thị Hồng Mến

MỞ ĐẦU
Giải tích hàm là một ngành Toán học được xây dựng vào khoảng nửa
đầu thế kỷ XX và đến nay vẫn được xem như một ngành Toán học cổ điển.
Trong quá trình phát triển, Giải tích hàm đã tích lũy một nội dung hết sức
phong phú; những phương pháp và kết quả mẫu mực của Giải tích hàm đã
xâm nhập vào tất cả các ngành Toán học có liên quan. Chính điều đó đã mở ra
phạm vi nghiên cứu rộng lớn cho các ngành Toán học.
Với mong muốn được tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về bộ môn này
và bước đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học, em đã chọn đề tài:
“ Ánh xạ liên tục trong không gian Metric ’’ trong khóa luận tốt nghiệp của
mình.
Nội dung khóa luận gồm có:
Chương 1: Một số khái niệm và kết quả về không gian Metric.
Chương 2: Ánh xạ liên tục trong không gian Metric.
Chương 3: Ánh xạ co và ứng dụng.
Nhờ sự giảng dạy của các thầy cô trong khoa Toán, sự cố gắng học tập
nghiên cứu của bản thân và những góp ý của các bạn sinh viên mà em đã có
đủ kiến thức để hoàn thành khóa luận này. Qua đây em xin gửi lời cảm ơn

chân thành và sâu sắc tới các thầy cô giáo và các bạn sinh viên trong khoa
Toán, đặc biệt là TS Bùi Kiên Cường đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em trong
suốt quá trình làm khóa luận.
Trong quá trình thực hiên khóa luận này, mặc dù đã hết sức cố gắng,
song do điều kiện về thời gian và kiến thức có hạn nên khóa luận không tránh
khỏi những hạn chế. Em rất mong được ý kiến đóng góp của các thầy cô và
các bạn sinh viên để khóa luận được bổ sung và hoàn thiện hơn.

5


Ánh xạ liên tục trong không gian Metric

Nguyễn Thị Hồng Mến

Hà Nội, tháng 4 năm 2010

Sinh viên

Nguyễn Thị Hồng Mến

6


Ánh xạ liên tục trong không gian Metric

Nguyễn Thị Hồng Mến

Chương 1
Một số khái niệm và kết quả về không gian Metric

§1.Không gian metric
Định nghĩa 1.1.1:
Giả sử X là một tập hợp không rỗng . Ta gọi metric hay khoảng cách
d: X  X  

trong X một ánh xạ :
( x, y)  d ( x, y)

Thỏa mãn các tiên đề:
M1: d ( x, y)  0; x, y  X ; d ( x, y)  0  x  y;
( Tiên đề

M2: d ( x, y)  d ( y, x); x, y  X
giao hoán);
M3:

d ( x, y)  d ( x, z )  d ( z, y); x, y, z  X

( Tiên đề tam giác);

Ta gọi là không gian metric, một cặp (X, d), trong đó X là một tập hợp gọi là
tập hợp nền và d là một metric trong X. Khi đó một phần tử x  X còn được
gọi là một điểm và d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x, y X.

Ví dụ 1.1.1:
Cho X là một tập hợp không rỗng. Với mọi x, y X, ta đặt :
1

nếu x  y

d(x,y)=

(1.1)
0

nếu x  y

7


Ánh xạ liên tục trong không gian Metric

Nguyễn Thị Hồng Mến

Thế thì d là một metric trong X và không gian metric (X, d) còn được gọi là
không gian metric rời rạc.
Thật vậy, các tiên đề M1, M2 là hiển nhiên. Để kiểm tra M3, với các phần tử
x, y, z  X , ta xét các trường hợp:

- Nếu z bằng ít nhất một trong hai phần tử x hoặc y , không mất tính tổng
quát có thể giả sử x = z, thì do M1 ta có:
d(x, y) = d(z, y)  d(x, z) + d(z, y).
- Nếu z khác cả x và y thì :
d(x, y)  1< 2 = d(x, z) + d(z, y).
Do đó, tiên đề M3 thỏa mãn, vậy d là một metric.

Định lý 1.1.2:
Trong không gian metric (X, d), ta có :
1)Bất đẳng thức tam giác mở rộng :
d ( x0 , xn )  d ( x0 , x1 )  d ( x1 , x2 )  ...  d ( xn 1 , xn ).

Với mọi x j  X ( j  0,1, 2,..., n);
2)Bất đẳng thức tứ giác: Với các phần tử bất kì x, y, u, v  X
d ( x, y )  d (u, v)  d ( x, u )  d ( y, v).

(1.2)

Chứng minh:
Ta dễ dàng chứng minh 1) bằng quy nạp nhờ bất đẳng thức tam giác.
Chứng minh 2)
Với bất kì x, y, u, v

X, theo 1) ta có:
d(x, y)  d(x, u) + d(u, v) + d(v, y).

Do đó : d(x, y) - d(u, v)  d(x, u) + d(v, y).

(1.3)

Đổi vai trò giữa x, y và u, v ta nhận được :
d(u, v) – d(x, y)  d(u, x) + d(y, v).
Từ (1.3) và (1.4) và M2 ta suy ra (1.2).

8

(1.4)


Ánh xạ liên tục trong không gian Metric

Nguyễn Thị Hồng Mến

Định nghĩa 1.1.3:
Giả sử d1 , d 2 là hai metric trong cùng tập hợp X. Ta nói d1 , d 2 là hai
metric tương đương nếu  ,   0 :
 d 2 ( x, y)  d1 ( x, y)   d 2 ( x, y); x, y  X .

Khi đó, ta cũng nói rằng ( X , d1 ) và ( X , d2 ) là hai không gian metric tương
đương.

Ví dụ 1.1.4:
Trên tập hợp : X  {x  (1,  2 ,...,  k ) :  j   ;( j  1, 2,..., k )}.
Metric d trong không gian  k cùng các metric:
k

d1 ( x, y )    j   j ;
j 1

d ( x, y)  max  j   j ;
1 j  k

Với x  (1 ,  2 ,...,  k ), y  ( 1 ,  2 ,...,  k )  X ; là các metric tương đương.
Thật vậy, dễ thấy rằng với mọi x, y  X ta có:
1
d1 ( x, y)  d ( x, y)  kd  ( x, y)  k kd1 ( x, y ).
k

9

Ánh xạ liên tục trong không gian Metric

Nguyễn Thị Hồng Mến

§2. Sự hội tụ. Không gian đủ
Định nghĩa 1.2.1:
Dãy điểm ( xn ) trong không gian metric (X, d) được gọi là hội tụ tới
điểm a  X nếu d ( xn , a)  0;(n  ).
Nghĩa là :   0, n0 : d ( xn , a)   , n  n0 .
Khi đó, điểm a được gọi là giới hạn của dãy ( xn ) và kí hiệu
xn  a;(n  )

hay

lim xn  a.
n 

Ví dụ 1.2.2:
Trong không gian metric rời rạc (X, d) (ví dụ 1.1.1) : Dãy ( xn ) hội tụ
tới điểm a  X khi và chỉ khi :
  0(  1); n0 : d ( xn , a)   ; n  n0 .

Rõ ràng với metric đã cho trong không gian rời rạc thì điều này xảy ra khi và
chỉ khi d ( xn , a)  0; n  n0 ; nghĩa là xn  a; n  n0 . Vậy, trong không gian
metric rời rạc, một dãy là hội tụ khi và chỉ khi là dãy dừng.

Ví dụ 1.2.3:
Dãy điểm xn  xn (t ) hội tụ tới điểm a = a(t) trong không gian
C [a, b] là sự hội tụ đều của dãy hàm.

Định nghĩa 1.2.4 :
Dãy ( xn ) trong không gian metric (X, d) được gọi là dãy cơ bản hay
dãy Cauchy, nếu   0; n0 : m, n  n0 ta có: d ( xm , xn )   .

10


Ánh xạ liên tục trong không gian Metric

Nguyễn Thị Hồng Mến

Định lý 1.2.5:
Trong không gian Metric mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy.
Chứng minh:
Giả sử ( xn ) là dãy bất kỳ trong không gian metric (X, d) hội tụ tới a.


Theo giả thiết thì:   0; n0 : d ( xn , a)  ; n  n0 .
2



Tương tự với   0 ở trên ta có: d ( xm , a)  ; m  n0 .
2

Suy ra:
d ( xm , xn )  d ( xm , a)  d (a, xn ) 


2




2

  ; m, n  n0 .

Do đó, dãy ( xn ) là dãy Cauchy.
Điều ngược lại không đúng. Chẳng hạn tập Q các số hữu tỉ là một không gian
metric với metric xác định bởi (1.1.3) . Tuy nhiên, dãy xấp xỉ gần đúng của
2 : x1  1, 4; x2  1, 414,... là

dãy Cauchy trong Q, nhưng không hội tụ (trong Q)

Ta có định nghĩa:

Định nghĩa 1.2.6:
Không gian metric (X, d) được gọi là không gian metric đầy đủ nếu
mọi dãy cơ bản trong nó đều hội tụ.

Ví dụ 1.2.7:
Một không gian rời rạc là không gian metric đầy đủ.
Thật vậy, giả sử ( xn ) là một dãy Cauchy trong không gian rời rạc X. Theo
định nghĩa thì với mọi 0    1 tồn tại số tự nhiên n0 sao cho:
d ( xn , xn0 )    1; n  n0 .

Suy ra, d ( xn , xn )  0; n  n0 . Vậy ( xn ) là dãy dừng, do đó nó hội tụ.
0

Ví dụ 1.2.8.
Không gian C [a, b] là không gian metric đầy đủ.

11


Ánh xạ liên tục trong không gian Metric

Nguyễn Thị Hồng Mến

Thật vậy, giả sử xn  xn (t ) là dãy Cauchy trong không gian C[a, b]. Thế thì
dãy hàm {xn (t )} hội tụ đều trên [a, b ] về một hàm x0 (t ) trên [a, b]. Theo tính
chất của dãy hàm hội tụ đều thì hàm giới hạn x0 (t ) cũng là hàm liên tục trên
[a, b], suy ra xn  x0 trong không gian C[a, b].

12


Ánh xạ liên tục trong không gian Metric

Nguyễn Thị Hồng Mến

§3. Tập hợp mở. Tập hợp đóng.
Định nghĩa 1.3.1:
Giả sử (X, d) là không gian metric. Ta gọi hình cầu mở tâm a bán kính
r > 0 tập hợp :

B(a, r) = {x

Ta gọi là hình cầu đóng tâm a

X : d(x, a) < r}.

X bán kính r > 0 tập hợp

B’(a, r) = {x

X : d(x, a)  r }.

Định nghĩa 1.3.2:
Giả sử (X, d) là không gian metric , A
Điểm x

X.

A được gọi là điểm trong của tập hợp A nếu tồn tại một hình cầu

mở B(x, r)

A.

Tập hợp A được gọi là tập hợp mở nếu mọi điểm x

A đều là điểm trong của

A. Quy ước rằng  là tập hợp mở.
Tập hợp A được gọi là tập hợp đóng nếu phần bù X\A của A trong tập X là
tập hợp mở.

Định lý 1.3.2a:

Trong một không gian metric:
1.Hình cầu mở là tập hợp mở.
2.Hình cầu đóng là tập hợp đóng.
Chứng minh:
Cho không gian metric (X, d), x
1.Với điểm bất kì x

A và r > 0.

B(a, r), ta có d(x, a) < r. Đặt  = r – d(x, a).

Thế thì   0 với mọi y  B( x,  ) ta có:
d ( y, a)  d ( y, x)  d ( x, a)    d ( x, a)  r

13


Ánh xạ liên tục trong không gian Metric

Nguyễn Thị Hồng Mến

Suy ra B( x,  )  B(a, r )  x là điểm trong của B( a, r). Vậy, B(a, r) là tập hợp
mở.
2. Với bất kì x

 B’(a, r) thì d(x, a) > r, do đó  = d(x, a)- r > 0 và ta có

B( x,  )  X \ B '(a, r ).

Thật vậy, nếu giả sử ngược lại thì tồn tại y  B( x,  ) sao cho d(y, a)  r.

Khi đó : d(x, a)  d(x, y) + d(y, a) <  + r = d(x, a) là điều phi lý. Vì vậy, x
là điểm trong của X \ B’(a, r), suy ra X\ B’(a, r) là tập hợp mở, nên B’(a, r) là
tập hợp đóng.
Lớp các tập hợp mở trong không gian metric có các tính chất sau.

Định lý 1.3.2b:
Trong một không gian metric X:
1.  , X là các tập hợp mở;
2. Hợp một họ tùy ý các tập hợp mở là tập hợp mở;
3. Giao hữu hạn các tập hợp mở là tập hợp mở.
Chứng minh:
1. Hiển nhiên theo định nghĩa.
2. Giả sử {G ,   } là một họ tùy ý các tập hợp mở trong không gian metric
X và G   G
 

Khi đó, với bất kỳ x  G là mở nên tồn tại B(x, r)  G  G , suy ra x là điểm
0

0

trong của G. Vậy G là mở.
3. Ta chỉ cần chứng minh với hai tập hợp là đủ. Gải sử G j (j = 1, 2) là các tập
hợp mở và U = G1  G2
Với bất kì x

U, tồn tại các hình cầu mở B( x, rj )  G j ( j  1, 2).

Đặt r = min {r1 , r2 } , thế thì rõ ràng là B(x, r)  U .
Vậy U là mở.

14


Ánh xạ liên tục trong không gian Metric

Nguyễn Thị Hồng Mến

Tương ứng ta có các tính chất của lớp các tập hợp rỗng.

Định lý 1.3.2.c:
Trong một không gian metric X:
1. , X là các tập hợp đóng.

2. Giao một họ tùy ý các tập hợp đóng là tập hợp đóng.
3.Hợp hữu hạn tập hợp đóng là tập hợp đóng.
Chứng minh:
Suy từ định nghĩa tập hợp đóng và các công thức đối ngẫu SeMorgan:


X \   F    ( X \ F );
     


X \   F    ( X \ F );
     

Định nghĩa 1.3.3:
Cho không gian metric X, A

X.

*Ta gọi lân cận mở của tập hợp A một tập hợp mở chứa A, lân cận của A là
một tập hợp chứa trong một lân cận mở của A.
*Nếu tập hợp A chỉ gồm một điểm, tương ứng ta có khái niệm lân cận mở, lân
cận của một điểm. Hình cầu mở tâm x, bán kính > 0 còn được gọi là một
lân cận của điểm x, kí hiệu là U(x, ).
*Ta gọi phần trong của tập hợp A là tập hợp tất cả các điểm trong của A kí
hiệu là int A.
*Điểm x

X được gọi là điểm dính của A nếu với lân cận bất kì V của x thì

V  A .

*Tập hợp tất cả các điểm dính của A được gọi là bao đóng của tập hợp A, kí
hiệu là clA.

15


Ánh xạ liên tục trong không gian Metric

* Bằng ngôn ngữ lân cận, ta có thể nói: điểm x
hợp A nếu tồn tại một

Nguyễn Thị Hồng Mến

A là điểm trong của tập

lân cận (hay lân cận) U của x, U

A và nếu U là

lân cận của điểm x thì x là điểm trong của U.
Ta có thể phát biểu một số tính chất cơ bản của phần trong, bao đóng của một
tập hợp trong không gian metric. Chứng minh của các mệnh đề này hoàn toàn
như các mệnh đề tương ứng trong không gian Tô Pô.

Định lý 1.3.4:
Phần trong của tập hợp A là tập hợp mở, là hợp của mọi tập hợp mở
chứa trong A, do đó là tập hợp mở lớn nhất chứa trong A.

Hệ quả 1.3.5:
G là tập hợp mở khi và chỉ khi G = intG.
Đối ngẫu kết quả trên, ta có:

Định lý 1.3.6:
Bao đóng của tập hợp A là tập hợp đóng, là giao của mọi tập hợp đóng
chứa A, do đó là tập hợp đóng nhỏ nhất chứa A.

Hệ quả 1.3.7:
F là tập hợp đóng khi và chỉ khi F = cl F.
Trong không gian metric, ta có thể đặc trưng khái niệm điểm dính và tập hợp
đóng bởi giới hạn dãy như sau.

Định lý 1.3.8:
Cho không gian metric X, F

X.

1. Điểm x  X là điểm dính của tập hợp F khi và chỉ khi tồn tại một dãy
( xn )  F sao cho xn  x;(n  ).

2. Tập hợp F là đóng khi và chỉ khi với một dãy ( xn )  F , xn  x;(n  ) thì
x  F.

16


Ánh xạ liên tục trong không gian Metric

Nguyễn Thị Hồng Mến

Chứng minh:
1
n

1. Với mỗi số tự nhiên n = 1, 2, …, hình cầu mở B( x, ) là một lân cận
1
n

của x,. Do đó, nếu x  clF thì B( x, )  F   nên ta có thể lấy một phần
1
n

tử bất kỳ xn  B( x, )  F . Khi đó,
d ( xn , x) 

1

 0;(n  )  d ( xn , x)  0;(n  ).
n

Vậy xn  F và xn  0;(n  ).
Ngược lại, giả sử tồn tại một dãy xn  F và xn  0;(n  ).
và V là một lân cận bất kỳ của x. Từ định nghĩa lân cận tại một điểm suy ra
tồn tại n0 sao cho d ( xn , x)   . Do đó, : xn  B( x,  )  F  (V  F ).
0

0

Suy ra V  F   . Vậy x  clF.
2. Sử dụng 1) và hệ quả 1.3.7, ta suy ra điều phải chứng minh.

17


Ánh xạ liên tục trong không gian Metric

Nguyễn Thị Hồng Mến

Chương 2
Ánh xạ liên tục trong không gian Metric

§1: Ánh xạ liên tục
Định nghĩa 2.1.1:
Cho (X, dX) và (Y, dY) là hai không gian metric và A  X . Một hàm
f : A  Y được gọi là liên tục tại điểm a A nếu với   0 ; tồn tại số   0 sao

cho dY ( f ( x), f (a))   với x  A và d X ( x, a)   .

Khi f liên tục tại mọi điểm của A thì ta nói f liên tục trên A.

Chú ý 2.1.2:
(i)Nếu một số dương  thoả mãn điều kiện trên thì mọi số 1   cũng
thỏa mãn. Điều này là hiển nhiên bởi vì khi x  A và d X ( x, a)  1 cũng đúng
với x  A và d X ( x, a)   . Do đó, số  ở trên không tồn tại duy nhất.
(ii) Trong định nghĩa liên tục, ta đã không hạn chế bất kì điều gì về bản
chất của các miền A của hàm số. Có thể xảy ra a là điểm cô lập của A tức là
có một lân cận của a không chứa điểm nào khác của A ngoài a. Trong trường
hợp này, hàm f liên tục tại a không phân biệt nó được xác định như thế nào tại
các điểm khác của A. Tuy nhiên, nếu a là điểm giới hạn của A và  xn  là dãy
điểm trong A sao cho xn  x thì f ( xn )  f  a  .

18


Ánh xạ liên tục trong không gian Metric

Nguyễn Thị Hồng Mến

Định lý 2.1.3:
Cho (X, dX) và (Y,dY) là 2 không gian metric và A  X . Một ánh xạ
f : A  Y liên tục tại a  A khi và chỉ khi với mọi dãy  xn  trong A hội tụ tới a

thì dãy  f ( xn ) hội tụ tới f(a).
Chứng minh
Trước hết, giả sử rằng f : A  Y liên tục tại a  Y và cho  xn  là dãy trong
A hội tụ tới a. Ta sẽ chỉ ra rằng  f ( xn ) hội tụ tới f(a). Lấy  là số thực dương
tuỳ ý; vì f liên tục tại a nên tồn tại số   0 sao cho với x  A và d X ( x, a)  
 dY ( f ( x), f (a))   . Vì lim xn  a  số n0 sao cho n  n0  d X ( xn , a)   .

n 

f ( xn )  f ( a) .
Do đó, n  n0  d X ( f ( xn ), f (a))   . Vậy lim
n 
f ( xn )  f (a) .
Giờ ta giả sử mọi dãy  xn  trong A hội tụ tới a thoả mãn lim
n 

Ta sẽ chỉ ra f liên tục tại a.
Giả sử ngược lại, f không liên tục tại a. Khi đó tồn tại số   0 sao cho không
có số  nào thoả mãn với x  A và d X ( x, a)    dY ( f ( x), f (a))   tức là
  0; x  A sao cho d X ( xn , a) 

1
. Nhưng dY ( f ( xn ), f (a))   .
n

Dãy  xn  hội tụ tới a nhưng  f ( xn ) không hội tụ tới f(a)  mâu thuẫn.
 giả sử f không liên tục tại a là sai.

Định nghĩa 2.1.4:
Cho (X, dX) và (Y, dY) là 2 không gian metric và A  X cho f : A  Y
f ( x )  b với b  Y nếu với
và a là một điểm giới hạn của A. Ta viết lim
x a

  0,  số   0 sao cho dY ( f ( x), b)   với x  A và 0  d X ( x, a)   .

19

Ánh xạ liên tục trong không gian Metric

Nguyễn Thị Hồng Mến

*Chú ý: Trong định nghĩa giới hạn; điểm a X chỉ cần là điểm giới hạn của
f ( x)  f ( a ) .
A mà không cần thuộc A. Hơn nữa, nếu a A; ta có lim
x a

Mệnh đề 2.1.5:
Cho (X, dX) và (Y, dY); A; f và a được định nghĩa như trên.
f ( x)  b  lim f ( xn )  b với mọi dãy  xn  trong A sao cho xn  a
Khi đó lim
x a
n 
xn  a
và lim
n 

Chứng minh: tương tự trên

Bổ đề 2.1.6:
Cho f : X  Y là hàm số tuỳ ý và A  X ; B  Y
Khi đó f ( A)  B  A  f 1 ( B) .
Các tính chất tiếp theo của tính liên tục suy ra trực tiếp từ định nghĩa.

Mệnh đề 2.1.7:
Cho (X,dX) và (Y,dY) là hai không gian Metric, A  X. Cho f:

A  Y và a là một điểm giới hạn của A. Thế thì f liên tục tại a khi và chỉ khi
lim f ( x)  f ( a) .
x a

Nếu a là điểm cô lập của A thì f liên tục tại a không phân biệt nó được xác
định như thế nào tại các điểm khác của A.

Mệnh đề 2.1.8:
Một ánh xạ f của không gian metric (X, dX) và không gian metric
(Y, dY) liên tục tại a  X  với mọi   0 , tồn tại số   0 sao cho
S (a,  )  f 1 ( S ( f (a),  ))

Với S ( x, r ) là hình cầu mở tâm x, bán kính r .
Chứng minh:
Ánh xạ f : X  Y liên tục tại a  X  với mọi   0,  số   0 sao cho
dY ( f ( x), f (a))   với x thoả mãn d X ( x, a)  

20


Ánh xạ liên tục trong không gian Metric

Nguyễn Thị Hồng Mến

Tức là x  S (a,  )  f ( x)  S ( f (a),  )
Hay f ( S (a,  ))  S ( f (a),  )
Tương đương với: S (a,  )  f 1 ( S ( f (a),  ))

Định lý 2.1.9:
Một ánh xạ f : X  Y liên tục trên X khi và chỉ khi f 1 (G) là tập mở

trong X với mọi tập con mở G của Y.
Chứng minh:
Giả sử f liên tục trên X và lấy G là tập con mở của Y.
Ta chỉ ra f 1 (G) là tập mở trong X. Vì  và X là mở nên ta có thể giả sử

f 1 (G)   và f 1 (G)  X . Lấy x  f 1 (G) , thì f ( x)  G .
Vì G mở nên   0 sao cho S ( f ( x),)  G . Vì f liên tục tại x, theo mệnh
đề 2.1.8; với  này tồn tại số   0 sao cho.

S ( x, )  f 1 (S ( f ( x),  ))  f 1(G)
Vậy, mọi điểm x  f 1 (G) là điểm trong vì thế f 1 (G) mở trong X.
Đảo lại, giả sử f 1 (G) là tập mở trong X với mọi tập G mở trong Y. Lấy

x  X ; với mỗi   0 tập S ( f ( x),  ) là mở vì thế f 1 (S ( f ( x),  )) là mở trong
X. Nên x  f 1 (S ( f ( x),  )) .
Suy ra rằng tồn tại số   0 sao cho.

S ( x, )  f 1 ( S ( f ( x),  ))
Theo mệnh đề 2.1.8 thì f liên tục tại x.

Định lý 2.1.10:
Một ánh xạ f : X  Y liên tục trên X khi và chỉ khi f 1 ( F ) là tập đóng
trong X với mọi tập con đóng F của Y.
Chứng minh:

21


Ánh xạ liên tục trong không gian Metric

Nguyễn Thị Hồng Mến

Lấy F là tập con đóng của Y. Thế thì Y\F là tập mở trong Y nên f 1 (Y \ F ) là
mở trong X. Theo định lý 2.1.9.
Mà f 1 (Y \ F )  X \ f 1 ( F ) nên f 1 ( F ) là đóng trong X.
Ngược lại, giả sử f 1 ( F ) là đóng trong X với mọi tập con đóng F của Y. Thế
thì X \ f 1 ( F ) là mở trong X nên f 1 (Y \ F )  X \ f 1 ( F ) là mở trong X. Vì
mọi tập con mở của Y đều có dạng Y/F, với F là tập đóng nên theo định lý
2.1.9 thì f liên tục.

Định lý 2.1.11:
Cho (X, dX), (Y, dY) và (Z, dZ) là các không gian metric và f : X  Y ,
g : Y  Z là các ánh xạ liên tục khi đó g o f cũng là ánh xạ liên tục từ X vào Z.

Chứng minh
Lấy G là tập con mở của Z theo định lý 2.1.9 thì g 1 (G) là tập con mở
của Y và tiếp tục ta có f 1  g 1 (G)  là tập con của X.
Vì  go f 1  (G)  f 1  g 1 (G)  nên g o f liên tục.

Định lý 2.1.12:
Cho (X, dX) và (Y, dY) là 2 không gian metric và f : X  Y khi đó các
điều kiện sau là tương đương.
(i): f liên tục trên X
(ii): f 1 ( B)  f 1 ( B) với mọi tập con B của Y
(iii): f ( A)  f ( A) với mọi tập con A của X
Chứng minh
(i)  (ii): lấy B là tập con của Y. Vì B là tập con đóng của Y, nên
f 1 ( B) là đóng trong X. Hơn nữa, f 1 ( B)  f 1 ( B) nên f 1 ( B)  f 1 ( B) .

(ii)  (iii). Lấy A là tập con của X thì B = f(A) ta có

22


Ánh xạ liên tục trong không gian Metric

Nguyễn Thị Hồng Mến

A  f 1 ( B) và A  f 1 ( B)  f 1 ( B) vậy





f ( A)  f . f 1 ( B)  B  f ( A)
(iii)  (i): Lấy f là tập đóng trong Y và f 1 ( F )  F1
Theo định lý 2.1.10 thì để chỉ ra F1 đóng trong X ta chỉ ra F1  F1
Ta có f ( F1 )  f  f 1 ( F )   F  F





Nên F1  f 1 f ( F1 )  f 1 ( F )  F1

Ví dụ 2.1.13:
(i). Vì hàm x  cos x và x  sin x liên tục từ  vào  nên hàm
x  (cos x,sin x) liên tục từ  vào 

(ii). Cho X   với metric tự nhiên

Các ánh xạ:

1
1
z  cos(Im z ) và z  sin(Re z )  1
2
2
từ  vào  là liên tục

1
1

Nên ánh xạ z   cos(Im z ); z  sin(Re z )  1
2
2

từ C vào C liên tục.
(iii) Nếu (X, d) là không gian metric rời rạc thì mọi hàm f : X  Y với
Y là không gian metric tuỳ ý liên tục. Lấy a  X và S  f (a),   là một hình
cầu mở. Chọn   1 thì S (a, )  a nên f  S (a, )    f (a)  S  f (a),   .

23


Ánh xạ liên tục trong không gian Metric

Nguyễn Thị Hồng Mến

§2: Định lý mở rộng
Xét hàm f : (0; )  

f ( x) 

1
x

Không có hàm g liên tục xác định trên  0,   phù hợp với f. Nói cách khác, f
không “mở rộng” liên tục trên  0,   . Thuật ngữ “mở rộng” được định nghĩa
hình thức dưới đây.

Định nghĩa 2.2.1:
Cho X và Y là các tập tùy ý, lấy A là tập con thực sự của X.
Nếu f : A  Y thì g : X  Y là mở rộng của f nếu g(x) = f(x) với x  A ; hàm
f được gọi là hạn chế (thu hẹp) của g trên A.
Nếu X và Y là những không gian Metric, A  X và f : A  Y liên tục thì liệu
có tồn tại ánh xạ liên tục mở rộng g của f. Vấn đề này gặp nhiều trong giải
tích và đã thu hút sự chú ý của nhiều nhà Toán học. Dưới đây, ta đưa ra một
vài phương pháp mở rộng đơn giản.

Định lý 2.2.2:
Cho (X, dX) và (Y, dY) là các không gian metric và f; g : X  Y là các
ánh xạ liên tục. Khi đó tập  x  X ; f ( x)  g ( x) là tập đóng trong X.
Chứng minh:
Cho F   x  X ; f ( x)  g ( x) X \ F  x  X ; f ( x)  g ( x)
Ta sẽ chứng minh X\F là tập mở.
- Nếu X/F =  thì hiển nhiên.
- Nếu X/F ≠  thì  aX\F và f(a) ≠ g(a)

24

Ánh xạ liên tục trong không gian Metric

Nguyễn Thị Hồng Mến

Lấy r > 0 với r  dY  f ( a), g ( a) 
r
3

Với   ,  số   0 sao cho:
d X ( x, a)    dY  f ( x), f (a)  

r
r
và dY  g ( x), g (a)  
3
3

Theo BĐT tam giác, ta có:
d y  f (a), g (a)   dY  f (a), f ( x)   dY  f ( x), g ( x)   dY  g ( x), g (a) 

 dY  f ( x), g ( x)   dY  f (a), g (a)   dY  f (a), f ( x)   dY  g ( x), g (a)  

r
3

Với mọi x thoả mãn d X ( x, a)  
Vậy, với mỗi

x  S (a,  ); dY  f ( x), g ( x)  0

tức là

f ( x)  g ( x)

vì thế

S ( a,  )  X \ F

Vậy X \ F là tập mở nên F là tập đóng.

Hệ quả 2.2.3:
Cho (X, dX) và (Y, dY) là các không gian metric và f ; g : X  Y là các
ánh xạ liên tục. Nếu F   x  X ; f ( x)  g ( x) là tập trù mật trong X thì f = g.
Chứng minh:
Theo định lý 2.2.2., F là tập đóng, vì F trù mật trong X  X  F  F tức
là f(x) = g(x) với x  X .

Định lý 2.2.4:
Cho (X, dX) và (Y, dY) là các không gian metric; A là tập trù mật của X

25


Ánh xạ liên tục trong không gian Metric

Nguyễn Thị Hồng Mến

và f: A  Y . Thế thì f có một ánh xạ liên tục mở rộng g : X  Y khi và chỉ khi
với x  X là điểm giới hạn của A, giới hạn lim f ( y ) không chỉ tồn tại trong Y
yx

mà còn bằng f(x) trong trường hợp x  A . Khi mở rộng tồn tại nó là duy nhất
( lim f ( y)  f ( x) ) khi x  A tức là f liên tục trên A).
yx

Chứng minh:
Giả sử f có mở rộng liên tục g.
Xét x  X tuỳ ý là điểm giới hạn của X
Vì A trù mật nên X cũng là điểm giới hạn của A. Lấy S ( x,  ) là hình cầu tuỳ ý
chứa điểm y  X , y  x thì tồn tại S ( x,  ')  S ( x,  ) sao cho x  S ( y,  ') .
Vì A trù mật nên S ( y,  ') chứa a  A  S ( x,  ) chứa a  A và a  x .
g ( x)  lim g ( y)

Ta có:

(do g liên tục)

yx

 lim g ( y) với yA (do x là điểm giới hạn của A)
yx

 lim f ( y)

(do g là mở rộng của f)

yx

Vậy: lim f ( y) tồn tại và bằng g(x)
yx

Đảo lại; giả sử rằng với mọi điểm giới hạn x  X ; lim f ( y ) tồn tại và bằng f(x)
yx

với x  A .
Ta xác định g(x) như sau:
f ( x)

nếu x  A

lim f ( y)

nếu x  A nhưng x  A '

g ( x) 
yx

Vì A trù mật trong X nên hàm g xác định trên X ta cần chỉ ra g liên tục

26