Tài liệu Ánh xạ liên tục trên không gian topo docx

z











Ánh xạ liên tục trên không gian topo

Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình

- 3 -
Chương 1
ÁNH XẠ LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN TÔPÔ
TỔNG QUÁT
A. Kiến thức chuẩn bị:
1. Định nghĩa tôpô:
Cho tập X ≠ Ø. Một họ

các tập con của X được gọi là một tôpô trên X nếu nó thỏa
mãn đồng thời các điều kiện sau:
a) X


và Ø


;
b) Hợp tùy ý các tập thuộc

là thuộc

;
c) Giao hữu hạn các tập thuộc

cũng thuộc

.
Một tập X được trang bị một tôpô tr ên nó được gọi là một không gian tôpô, kí hiệu
(X,


).
Nếu chỉ ký hiệu không gian tôpô l à X thì ta ngầm hiểu rằng trên X đã được trang bị
một tôpô nào đó.
2. Tập mở, tập đóng, lân cận:
Cho không gian tôpô (X,

).
a) Mọi tập thuộc

được gọi là tập mở; tập có phần bù là tập mở gọi là tập đóng.
b) Với mỗi điểm x

X, tập V

X được gọi là lân cận của x nếu tồn tại tập mở G
trong X sao cho x

G

V.
Nhận xét: G là tập mở khi và chỉ khi nó là lân cận của mọi điểm thuộc nó.
c) Họ tất cả các lân cận của điểm x được gọi là hệ lân cận của x, ký hiệu V
x
.
Họ B
x

V
x
được gọi là một cơ sở lân cận của điểm x nếu


V

V
x
,

B

B
x
sao
cho x

B

V.
3. Các loại điểm, phần trong, bao đóng:
Cho không gian tôpô (X,

), x

X và tập A

X.
a) Các loại điểm:
Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình
- 4 -
- x gọi là điểm trong của A nếu tồn tại tậ p mở G sao cho x


G

A.
- x gọi là điểm ngoài của A nếu tồn tại tập mở G sao cho x

G

X \ A.
- x gọi là điểm biên của A nếu

V

V
x
, V

A ≠ Ø, và V

(X \ A) ≠ Ø.
- x gọi là điểm dính của A nếu

V

V
x
, V

A ≠ Ø.
- x goi là điểm cô lập của A nếu


V

V
x
: V

A = Ø. Nếu A = X thì x là điểm cô
lập của A nếu tập {x} l à tập mở.
b) Phần trong của tập A, ký hiệu l à int A hoặc
o
A
, là tập tất cả các điểm trong của A.
Nói cách khác, phần trong của A là tập mở lớn nhât chứa trong A.
c) Bao đóng của tập A, ký hiệu
A
, là tập đóng bé nhất trong X chứa A.
4. Tập hợp trù mật, không gian khả ly:
a) Trong không gian tôpô X, t ập con A của X được gọi là trù mật trong X nếu
A
= X.
Nếu int
A
= Ø thì A gọi là tập thưa ( hay tập không đâu trù mật).
b) Không gian tôpô (X,

) là không gian khả ly nếu tồn tại một tập A

X sao cho A
không quá đếm được và
A

= X, tức là A trù mật trong X.
5. Tập thuộc phạm trù::
Không gian tôpô X g ọi là thuộc phạm trù thứ nhất nếu X bằng hợp đếm đ ược các tập
không đâu trù mật.
Không gian không thu ộc phạm trù thứ nhất gọi là thuộc phạm trù thứ hai.
6. Không gian T
1
, T
2
và không gian chuẩn tắc:
a) Không gian tôpô X được gọi là T
1
- không gian nếu hai điểm x, y khác nhau bất k ì
của X đều có một lân cận của x không chứa y v à một lân cận của y không chứa x.
b) Không gian tôpô X đư ợc gọi là không gian Hausdorff (hay T
2
- không gian) nếu bất
kì hai điểm khác nhau x, y

X đều tồn tại một lân cận U của x v à lân cận V của y sao
cho U

V = Ø.
c) Không gian tôpô X được gọi là không gian chuẩn tắc (hay T
4
– không gian) nếu X
là T
1
– không gian và với hai tập đóng bất k ì A, B không giao nhau c ủa X luôn tồn tại các
tập mở U và V sao cho A


U, B

V và U

V = Ø.
7. Không gian tôpô t ổng, tích, thương:
Cho
 
I
X


 )( , là họ các không gian tôpô.
Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình
- 5 -
a) Tổng:
Đặt X =


X
I

. Xét họ

= {G

X: G



X



,



I}. Khi đó,

là một tôpô
trên X và (X,

) là không gian tôpô t ổng của họ không gian tôpô đ ã cho, ký hiệu
X=

I
X


.
Nếu họ
 
I
X


rời nhau từng đôi th ì tổng gọi là tổng trực tiếp, ký hiệu X =



X
I
 .
Ký hiệu XXi 

: , )x(

i = x, là phép nhúng chính t ắc.
b) Tích Descartes:
Đặt X =

I
X


và

 XX : là phép chiếu (hay ánh xạ tọa độ thứ  ).
Gọi

là tôpô yếu nhất để tất cả các phép chiếu

 liên tục (định nghĩa ánh xạ li ên
tục sẽ được trình bày sau trong ch ương này). Khi đó, (X,

) gọi là không gian tôpô tích
của họ không gian đ ã cho.
c) Không gian thương:
Cho không gian tôpô (X,


) và một quan hệ tương đương R trên X. K ý hiệu X/R là
tập thương của X theo quan hệ t ương đương R. Xét ánh x ạ

: X

X/R xác định bởi

(x) =
x
, với
x
là lớp tương đương chứa x. Khi đó,

gọi là phép chiếu chính tắc và dễ
thấy

là toàn ánh.
Trên X/R, dễ thấy họ


= {V

X/R:

-1
(V)


} là một tôpô và là tôpô mạnh nhất
để


liên tục.
Khi đó, (X/R,


) gọi là không gian thương c ủa không gian X theo quan hệ t ương
đương R.
B. Các vấn đề về ánh xạ liên tục.
1.1. Định nghĩa ánh xạ liên tục:
Cho hai không gian tôpô (X, τ
X
), (Y, τ
Y
) và ánh xạ f: X

Y. Khi đó, f được gọi là
liên tục tại điểm x
0

X nếu với mỗi lân cận W của f(x
0
)

Y, tồn tại lân cận V của x
0
sao cho f(V)

W.
Nếu f liên tục


x

X thì f được gọi là liên tục trên X.
Nếu f: (X,
X

)

(Y,
Y

) là ánh xạ liên tục thì ta còn nói ánh x ạ f là (
X

,
Y

)- liên
tục.
Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình
- 6 -
1.2.Các định lý và tính chất:
Với mỗi x, ký hiệu B
x
là cơ sở lân cận của x. Khi đó, ta có định lý sau:
Định lý 1.2.1: Ánh xạ f: X

Y liên tục tại x khi và chỉ khi

W


B
f(x)
, tồn tại
V

ß
x
sao cho f (V)

W.
Chứng minh:
Giả sử f liên tục tại x, và W

B
f(x)
. Vì W là một lân cận của f(x) nên tồn tại lân cận U
của x sao cho f(U)

W. Mà B
x
là cơ sở lân cận của x nên có V

B
x
sao cho V

U, do
đó f(V)


f(U)

W.
Ngược lại, gọi G là một lân cận của f(x) 

W

B
f(x)
: W

G.
Theo giả thiết,

U

B
x
: f(U)

W f(U)

G f liên tục tại x. 
Định lý 1.2.2: Cho (X, τ
X
), (Y, τ
Y
) là hai không gian tôpô. Ánh x ạ f: X

Y liên tục

tại điểm x

X khi và chỉ khi với mọi lân cận W của f(x) th ì f
-1
(W) là lân cận của x.
Chứng minh:
Giả sử f liên tục tại x và W là lân cận của f(x). Khi đó tồn tại lân cận V của x sao cho
f(V)

W  V

f
-1
(W)  f
-1
(W) là lân cận của x.
Ngược lại, gọi W là lân cận của f(x). Theo giả thiết, f
-1
(W) là lân cận của x. Đặt
V= f
-1
(W) thì V là lân cận của x và f(V) = f( f
-1
(W))

W  f liên tục lại x. 
Định lý 1.2.3: Cho ánh xạ f: (X, τ
X
)


(Y, τ
Y
). Khi đó, các mệnh đề sau là tương
đương:
a) f liên tục trên X.
b) Nghịch ảnh của mỗi tập mở trong Y l à tập mở trong X.
c) Nghịch ảnh của mỗi tập đóng trong Y l à tập đóng trong X.
d)

A

X f(
A
)

)(Af
.
e)

B

Y 
)(
1
Bf


f
-1
(

B
).
f)

B

Y  f
-1
(int B)

int f
-1
(B).
Chứng minh:
Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình
- 7 -
a)  b): Giả sử G

τ
Y
(tức G mở trong Y), G ≠ Ø. Với mỗi x

f
-1
(G) thì f(x)

G,
do G là tập mở nên G là lân cận của f(x). Mà f liên tục nên tồn tại lân cận V của x sao cho
f(V)


G x

V

f
-1
(G)  f
-1
(G) là lân cận của x.
Vậy, f
-1
(G) là lân cận của mọi điểm thuộc nó n ên f
-1
(G) là tập mở.
b) c): Gọi F là tập đóng trong Y  Y\F là tập mở trong Y  f
-1
(Y\F) = X\ f
-1
(F)
là tập mở trong X  f
-1
(F) đóng trong X.
c)  d):

A

X, ta có f
-1
(
)(Af

) là tập đóng trong X.
Vì f(A)

)(Af
nên A

f
-1
(
)(Af
)

A

f
-1
(
)(Af
) f(
A
)

f (f
-1
(
)(Af
))

)(Af
d)  e):


B

Y, ta có: f(
)(
1
Bf

)

))((
1
Bff


B

)(
1
Bf


f
-1
(
B
).
e)  f):

B


Y f
-1
(int B) = f
-1
(Y\
BY \
) = X\f
-1
(
BY \
).
Mà
)(\
1
BfX

=
)\(
1
BYf


f
-1
(
BY \
) (do e)
Nên X\f
-1

(
BY \
)

X\
)(\
1
BfX

= int f
-1
(B).
Vậy, f
-1
(int B)

int f
-1
(B).
f)  a):

x

X, gọi W là lân cận mở của f(x).
Theo giả thiết ta có: x

f
-1
(W) = f
-1

(int W)

int f
-1
(W).
Nếu đặt V = int f
-1
(W) thì V là lân cận của x và f(V)

W. Do đó, f liên tục trên X. 
Nhận xét 1.2.1:
a)Từ định lý 1.2.3 ta có thể phát biểu lại định lý 1. 2.2 như sau: “Ánh xạ f: X

Y liên
tục tại điểm x

X khi và chỉ khi với mọi lân cận mở W của f(x) thì f
-1
(W) là lân cận mở
của x”.
b) Nếu f:(X,
X

)

(Y,
Y

) là ánh xạ liên tục thì với mọi tôpô


trên X mà


X

thì ánh xạ f: (X,

)

(Y,
Y

) cũng liên tục.
Thật vậy, với x

X gọi W là lân cận mở của f(x). Vì f là (
X

,
Y

)- liên tục nên f
-1
(W)

X

 f
-1
(W)



 ánh xạ f là (

,
Y

)-liên tục.
Ví dụ 1.1: Cho X là không gian tôpô r ời rạc, Y là không gian tôpô tùy ý. Khi đó, mọi
ánh xạ f: X

Y đều liên tục. Thật vậy, nếu G là tập mở trong Y thì f
-1
(G)

X, mà X
rời rạc nên f
-1
(G) mở trong X.
Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình
- 8 -
Ví dụ 1.2: Nếu X là không gian tôpô b ất kỳ và Y là không gian tôpô thô thì m ọi ánh xạ
f: X

Y đều liên tục vì

A

X, A ≠ Ø thì f(
A

) =
)(Af
= X ( do đó f(
A
)

)(Af
).
Ví dụ 1.3: Trên tập X trang bị hai tôpô τ
1
và τ
2
. Ánh xạ đồng nhất f: (X, τ
1
)

(X, τ
2
) liên tục khi và chỉ khi τ
1
≥ τ
2
(hay τ
1

τ
2
).
Thật vậy, vì ánh xạ đồng nhất f:(X,
2


)

(X,
2

) liên tục nên theo nhận xét 1.2.1
nếu τ
1
≥ τ
2
thì ánh xạ đồng nhất f: (X, τ
1
)

(X,τ
2
) cũng liên tục. Điều ngược lại là hiển
nhiên.
Ví dụ 1.4: Ánh xạ hằng f: X

Y (y
0
cố định trong Y) là ánh xạ liên tục vì với
x

y
0
mọi lân cận W của y
0

thì f
-1
(W) = X là lân cận của x

x

X.
Định lý 1.2.4: Cho ba không gian tôpô (X, τ
X
), (Y, τ
Y
), (Z, τ
Z
) và hai ánh xạ liên tục
f: X

Y, g: Y

Z. Khi đó ánh xạ tích h = g
o
f: X

Y cũng liên tục.
Chứng minh:
Giả sử V mở trong Z  g
-1
(V) mở trong Y  h
-1
(V) = f
-1

[g
-1
(V)] mở trong X. Do đó,
h liên tục. 
Nhận xét 1.2.2: Giả sử X là không gian tôpô, R là t ập số thực với tôpô tự nhi ên ( tôpô
tự nhiên trên R là tập các khoảng mở của R ). Khi đó, các ánh x ạ f: X

R được gọi là
các hàm số. Theo định lý 1.2.1, f liên tục tại x
0

X khi và chỉ khi

ε > 0,

lân cận V của
x
0
sao cho

x

V thì | f(x) – f(x
0
) | < ε.
Đặt biệt, nếu X = R th ì ta được hàm số f: R

R. Khi đó, f liên tục tại x
0


R khi và
chỉ khi

ε >0,

δ >0 sao cho

x

R thỏa | x – x
0
| < δ thì | f(x) – f(x
0
) | < ε. Đây là định
nghĩa quen thuộc về hàm liên tục trong giải tích cổ điển đối với h àm một biến thực.
Định lý 1.2.5: Cho f,g: X

R là các hàm số liên tục. Khi đó, các hàm | f |, -f, f

g,
f.g, min{f, g}, max{f, g} là liên tục. Nếu g(x) ≠ 0

x

X thì
g
f
cũng liên tục.
Chứng minh:
a) Gọi h: R → R là hàm số xác định bởi h(x) = |x|. Khi đó, | f | = h

o
f là hợp của hai
hàm liên tục nên | f | liên tục.
b) Do f liên tục nên

x

X,

ε > 0,

lân cận V của x sao cho

x’

V ta có |f(x’) –
f(x)| < ε  |(-f)(x’) – (-f )(x)| = |-f(x’) + f(x)| = | f(x’) – f(x)| < ε. Do đó, -f liên tục.
Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình
- 9 -
c) Đặt φ = f + g.

x

X và

ε > 0, ta có:
Vì f liên tục nên

lân cận V của x sao cho


x’

V: |f(x’) – f(x)| <
2

.
Vì g liên tục nên

lân cận V’ của x sao cho

x’

V’: |g(x’) – g(x)| <
2

.
Đặt V = U

U’ thì V cũng là một lân cận của x v à

x’

V ta có:
| φ(x’) – φ(x)| ≤ | f(x’) – f(x)| + |g(x’) – g(x)| <
2

+
2

= ε.

Vậy, φ = f +g liên tục.
d) Vì f liên tục và –g liên tục nên f – g = f + (-g) liên tục.
e) Đặt

= f.g.

x

X và

ε > 0, ta có:
Vì f liên tục nên

lân cận V của x sao cho

x’

V: |f(x’) – f(x)| <
)'(.2
Vx
sup xg



.
Vì g liên tục nên

lân cận V’ của x sao cho

x’


V’: |g(x’) – g(x)| <
|)(|2 xf

.
 |

(x’) -

(x)| = | f(x’).g(x’) – f(x).g(x) |
= | f(x’).g(x’) – f(x).g(x’) + f(x).g(x’) – f(x).g(x) |
= | g(x’).( f(x’) – f(x)) + f(x).(g(x’) – g(x)) |

|g(x’)|.|f(x’) – f(x)| + |f(x)|.|g(x’) – g(x)|
< |g(x’)|.
)'(.2
Vx
sup xg



+ |f(x)|.
|)(|2 xf

<
2

+
2


=

.
Vậy,

liên tục.
f) Tính liên tục của min{f, g}và max{f, g} được suy ra từ các đẳng thức sau:
min{f, g}=
2
)()( xgxf 
-
2
|)()(| xgxf 
,
max{f, g}=
2
)()( xgxf 
+
2
|)()(| xgxf 
.
g) Nếu g(x)

0

x

X, để chứng minh
g
f

liên tục, ta chỉ cần chứng minh
g
1
liên
tục.
Do g liên tục và |g(x)| > 0

x

X nên với mỗi x
0

X tồn tại lân cận V của x
0
và
M > 0 sao cho

x

V thì |g(x)|

M.
Mặt khác, g liên tục 


> 0,

lân cận U của x
0
sao cho


x

U,
Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình
- 10 -
|g(x) – g(x
0
)| < M
2
.

.
Đặt V’ = V

U. Khi đó V’ là lân c ận của x
0
, và

x

V’, ta có:
|
)(
1
xg
-
)(
1
0

xg
| = |
)().(
)()(
0
0
xgxg
xgxg 
| <
MM
M
.
2

=

.
Vậy,
g
1
liên tục, do đó
g
f
. 
Bổ đề Urysohn: Cho X là một không gian chuẩn tắc; A v à B là hai tập con đóng rời
nhau của X. Khi đó, tồn tại hàm liên tục f: X

[0, 1] sao cho f(x) = 0

x


A và f(x) = 1

x

B.
Định lý 1.2.6: Gọi {(X
α
,


)}
α

I
là họ các không gian tôpô. Khi đó,

α

I, phép
nhúng chính tắc:
a). i
α
: X
α


I
X



là ánh xạ liên tục.
b). i
α
: X
α



X
I

là vừa mở vừa đóng.
Chứng minh:
a). Gọi

là tôpô trên

I
X


. Khi đó,

G


,
1


i
(G)= G

X
α



. Do đó, i
α
liên
tục.
b). Giả sử U mở trong X
α
. Khi đó, U

X
α
= U



, U

X
β
= Ø

β ≠ α. Do đó,
U


X
α




α

I. Vậy, i
α
(U) = U mở trong


X
I

.
Bây giờ, giả sử F đóng trong X
α
. Xét tập G =


X
I

\F. Vì G

X
α

= X
α
\F



và
G

X
β
= X
β

β ≠ α nên G mở trong


X
I

. Suy ra, i
α
(F) = F đóng trong


X
I

. 
Hệ quả 1.2.1: Mỗi tập X

α
là vừa mở vừa đóng trong


X
I

.
Định lý 1.2.7: Ánh xạ f:

I
X



Y liên tục nếu và chỉ nếu f
o
i
α
liên tục

α

I.
Chứng minh:
Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình
- 11 -
Hiên nhiên nếu f liên tục thì f
o
i

α
liên tục

α

I.
Ngược lại, giả sử mọi f
o
i
α
liên tục và G là một tập mở tùy ý của Y. Ta có:
f
-1
(G)

X
α
=
1

i
(f
-1
(G)) = ( f
o
i
α
)
-1
(G)




(do f
o
i
α
liên tục)
 f
-1
(G) mở trong

I
X


.
Vậy, f liên tục. 
Định lý 1.2.8: Với mọi α, phép chiếu



I
XX


 :
là ánh xạ mở.
Chứng minh:
Giả sử G là tập mở tùy ý của


I
X


. Lấy a


 (G). Khi đó, tồn tại x

G sao cho

 (x) = a. Do G mở nên

i
U

(i = 1, 2,…, n ) mở trong X
i

sao cho
x

V =

n
i 1
1
i



(
i
U

)

G.
Từ đó, a


 (V)


 (G). Và:

 (V) =



Do đó,

 (V) là tập mở trong X

và

 (G) là tập mở. 
Định lý 1.2.9: Ánh xạ f: Z



I
X


liên tục khi và chỉ khi


o
f liên tục



I.
Chứng minh:
Hiển nhiên, nếu f liên tục thì


o
f cũng liên tục



I.
Ngược lại, giả sử


o
f liên tục




I. Giả sử G là tập mở trong

I
X


. Khi đó, G
=
1


(U), với U



,

nào đó thuộc I. Và ta có:
f
-1
(G) = f
-1
(
1


(U)) = (



o
f)
-1
(U) là tập mở trong Z (vì


o
f liên tục). 
Định lý 1.2.10: Cho không gian tôpô (X,

) và một quan hệ tương đương R trên X.
Khi đó, ánh xạ f: X/R

Y liên tục nếu và chỉ nếu f
o

liên tục. Trong đó,

: X

X/R
là phép chiếu chính tắc.
Chứng minh:
i
U

nếu

=
i


, i = 1, 2,…, n
X

nếu

≠
i

, i = 1, 2,…, n
Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình
- 12 -
Nếu f liên tục thì hiển nhiên f
o

liên tục.
Ngược lại, giả sử f
o

liên tục. Khi đó,

G mở trong Y thì

-1
(f
-1
(G)) mở trong X.
Theo định nghĩa tôpô trên X/R thì f
-1
(G) mở trong X/R. Do đó, f liên tục. 

1.3. Phép đồng phôi:
Định nghĩa 1.3.1: Cho hai không gian tôpô X và Y. Ánh x ạ f: X

Y được gọi là
một phép đồng phôi nểu f là song ánh, f liên tục và f
-1
liên tục.
Ví dụ 1.3.1: Ánh xạ đồng nhất từ không gian tôpô X v ào chính nó là một phép đồng
phôi.
Nhận xét 1.3.1: Từ định nghĩa nếu f là một phép đồng phôi th ì f
-1
cũng là một phép
đồng phôi.
Định nghĩa 1.3.2: Hai không gian tôpô g ọi là đồng phôi với nhau nếu tồn tại một
phép đồng phôi từ không gian n ày vào không gian kia.
Nhận xét 1.3.2: Theo ví dụ 1.3.1 thì một không gian tôpô bất k ì luôn đồng phôi với
chính nó.
Định nghĩa 1.3.3: Cho ánh xạ f: (X, τ
X
)

(Y, τ
Y
). Khi đó, f được gọi là ánh xạ mở
( đóng) nếu với mọi tập A mở ( đóng) trong X th ì f(A) là tập mở ( đóng) trong Y.
Định lý1.3.1: Cho f: (X, τ
X
)

(Y, τ

Y
) là song ánh liên t ục. Khi đó các khẳng định
sau là tương đương:
a) f là một phép đồng phôi;
b) f là ánh xạ mở;
c) f là ánh xạ đóng.
Chứng minh:
a)  b): Gọi G là tập mở trong X. Vì f là phép đồng phôi nên f
-1
liên tục, do đó
f(G) = ( f
-1
)
-1
(G) là tập mở trong Y  f là ánh xạ mở.
b)  c): Giả sử F là tập đóng trong X  X\F là tập mở trong X. Do f là ánh xạ mở
nên f(X\F) = f(X)\f(F) = Y\ f(F) là tập mở trong Y  f(F) là tập đóng trong Y  f là ánh
xạ đóng.
Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình
- 13 -
c)  a): Do f là song ánh liên tục nên ta chỉ cần chứng minh f
-1
liên tục. Gọi F là tập
đóng bất kỳ trong X. Do f là ánh xạ đóng nên f(F) là tập đóng trong Y  ( f
-1
)
-1
(F) là tập
đóng trong Y. Theo đ ịnh lý 1.2.3  f
-1

liên tục. 
Định lý 1.3.2: Ánh xạ f: X

Y là phép đồng phôi khi và chỉ khi f liên tục và có một
ánh xạ liên tục g: Y

X sao cho f
o
g = 1
Y
và g
o
f = 1
X
. Ở đây, 1
X
và 1
Y
tương ứng là các
ánh xạ đồng nhất từ X v ào Y và từ Y vào X.
Chứng minh:
Nếu f là phép đồng phôi thì g = f
-1
. Ngược lại, nếu có ánh xạ li ên tục g: Y

X sao
cho f
o
g = 1
Y

và g
o
f = 1
X
. Ta chứng minh f là song ánh:
- Giả sử ta có f(x
1
) = f(x
2
)  g(f(x
1
)) = g(f(x
2
))  g
o
f(x
1
) = g
o
f(x
2
)  x
1
= x
2
 f là
đơn ánh.
-

y


Y thì g(y)

X, đặt x = g(y) ta có f(x) = f(g(y)) = f
o
g(y) = y  f là toàn ánh.
Khi f là song ánh thi ánh x ạ g xác định như trong định lý hiển nhiên là ánh xạ ngược
của f.
Vậy f là song ánh có ánh xạ ngược liên tục nên nó là phép đồng phôi. 
Ví dụ 1.3.2: Ánh xạ f: R

(-1; 1), f(x) =
||1 x
x

là phép đồng phôi.
Thật vậy, ta có f liên tục. Xét ánh xạ g: (-1; 1)

R xác định bởi g(x) =
||1 x
x

, dễ
thấy g liên tục và f
o
g, g
o
f là các ánh xạ đồng nhất. Do đó, f là phép đồng phôi.
1.4. Thác triển liên tục.
Định nghĩa 1.4: Với ánh xạ liên tục f: M


Y từ không gian con M của không gian
tôpô X vào không gian tôpô Y, t ồn tại ánh xạ liên tục F: X

Y sao cho F|
M
= f, thì F
được gọi là thác triển liên tục của f trên X; f được gọi là thác triển liên tục được trên X.
Ta đã biết rằng nếu ánh xạ f: X

Y liên tục thì ánh xạ thu hẹp của f trên không gian
con M của X ( f |
M
: M

Y) cũng liên tục. Ngược lại, nếu như ta có ánh xạ f: M

Y
liên tục thì vấn đề đặt ra là có tồn tại hay không một ánh xạ li ên tục F: X

Y sao cho
F|
M
= f.
Dựa vào bổ đề Urysohn, định lý sau đây sẽ cho ta một kết quả về sự tồn tại của thác
triển liên tục.
Định lý 1.4.1 (Tietze – Urysohn): Giả sử f là hàm thực liên tục, giới nội trên không
gian con đóng M c ủa không gian chuẩn tắc X. Khi đó, tồn tại h àm thực F liên tục trên X
sao cho F|
M

= f và
Xx
sup

|F(x)| =
Mx
sup

| f(x)|.
Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình
- 14 -
Chứng minh:
Đặt c =
Mx
sup

| f(x)|.
Nếu c = 0 thì F

0 là hàm cần tìm.
Nếu c > 0, ta chỉ ra h àm h
1
liên tục trên X sao cho:
1). |h
1
(x)|

3
c
(


x

X)
2). |f(x) – h
1
(x)|

3
2
c (

x

M)
Ta đặt: A = {x

M: f(x)

3
c

}, B = {x

M: f(x)

3
c
}.
Vì f liên tục trên M nên A và B đóng trong M  A, B đóng trong X (v ì M đóng trong

X)  theo bổ đề Urysohn tồn tại h àm h: X

[0,1] sao cho h(x) = 0 (

x

A) và h(x) =
1 (

x

B).
Và dễ thấy hàm h
1
(x) =
3
2
c







2
1
)(xh
(


x

X) thỏa mãn các điều kiện 1) và 2).
Tương tự, ta lại áp dụng khẳng định tr ên đối với hàm f – h
1
, tồn tại hàm h
2
liên tục trên
X sao cho:
1’). |h
2
(x)|

3
1
.
3
2
c (

x

X)
2’). | f(x) – h
1
(x) – h
2
(x)|

2

3
2






c (

x

M)
Bằng quy nạp, ta được dãy hàm {h
n
} liên tục trên X thỏa mãn:
1”). |h
n
(x)|

3
1
.
1
3
2








n
c (

x

X)
2”). | f(x) -


n
i
i
xh
1
)( |

n






3
2
c (


x

M)
Từ 1”) suy ra chuỗi hàm


1
)(
i
i
xh
hội tụ đều trên X. Gọi F(x) là tổng của chuỗi hàm
đó. Vì h
n
liên tục trên X và chuỗi hội tụ đều trên X nên F liên tục trên X.
Từ 2”) suy ra F(x) = f(x) (

x

M). Do đó,
Xx
sup

|F(x)|

Mx
sup

| f(x)| (*)
Mặt khác,


x

X, |F(x)|



1
)(
i
i
xh

3
1
c










1
1
3
2

n
n
= c =
Mx
sup

| f(x)|

Xx
sup

|F(x)|

Mx
sup

| f(x)| (**)
Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình
- 15 -
Từ (*) và (**) suy ra:
Xx
sup

|F(x)| =
Mx
sup

| f(x)|. 
Hệ quả 1.4: Giả sử f là hàm thực liên tục trên không gian con đóng M c ủa không gian
chuẩn tắc X. Khi đó, tồn tại h àm thực F liên tục trên X sao cho F |

M
= f.
Chứng minh:
Gọi

: R

(-1,1) là một phép đồng phôi (

được xác định nh ư trong ví dụ 1.3.2).
Khi đó,

o
f: M → (-1,1) là hàm liên t ục, bị chặn trên M nên theo đ ịnh lý Tietze –
Urysohn tồn tại hàm liên tục F
1
: X

[-1,1], F
1
|
M
=

o
f.
Thấy, tập A =
1
1


F
({-1,1}) là tập con đóng trong X, không giao v ới M. Do đó, theo bổ
đề Urysohn, tồn tại hàm liên tục g: X

[0,1] sao cho g(x) = 1 (

x

M), g(x) = 0
(

x

A).
Khi đó, hàm F
2
(x) = g(x).F
1
(x) là hàm liên tục và là thac triển của hàm

o
f.
Đặt F =

-1
o
F
2
. Và F là hàm cần tìm. 
Định lý 1.4.2: Giả sử M là không gian con trù m ật của X, f: M


Y là ánh xạ liên
tục, Y là không gian Hausdorff. Khi đó, n ếu tồn tại thác triển li ên tục F của f trên X thì F
là duy nhất.
Chứng minh:
Gọi F
1
là một thác triển liên tục khác của f trên X. Khi đó, F(x) = F
1
(x) = f(x)

x

M.
Đặt A = {x

X: F(x) = F
1
(x)}. Dễ thấy A là tập đóng (bài tập 5 chương 1) và A

M.
Vì M trù mật trong X nên ta có: X =
M

A  A = X, hay F
1

F.
Vậy, F nếu tồn tại thì duy nhất. 
Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình

- 16 -
BÀI TẬP CHƯƠNG 1
Bài 1.Cho A là tập con của X. Hàm f: X

R xác định bởi f(x) =



.
Chứng minh rằng f liên tục tại x
0

X khi và chỉ khi x
0

b(A), với b(A) là biên của A.
▪ Giải:
). Giả sử f liên tục tại x
0

X. Nếu x
0

b(A) thì

lân cận V của x
0
ta có V

A ≠ Ø và

V

(X\A) ≠ Ø. Do đó, với

=
2
1
, ta có:
+ Nếu x
0

A thì lấy x
1

V

(X\A). Khi đó, | f(x
1
) – f(x
0
)| = 1 >
2
1
 f không liên tục
tại x
0
.
+ Nếu x
0


A thì lấy x
2

V

A. Khi đó, | f(x
2
) – f(x
0
)| = 1 >
2
1
 f không liên tục tại
x
0
.
Vậy, x
0

b(A).
). Giả sử x
0

b(A). Khi đó, tồn tại một lân cận mở V của x
0
sao cho V

A hoặc
V


(X\A)  f là hàm hằng trên V  f liên tục tại x
0
. 
Bài 2. Cho f: X

Y là một song ánh liên tục. Chứng minh rằng: nếu X không có điểm
cô lập thì Y cũng không có điểm cô lập.
▪ Giải:
Giả sử y
0
là điểm cô lập của Y  {y
0
} là tập mở trong Y. Do f l à song ánh nên

! x
0

X sao cho f(x
0
) = y
0
 f
-1
({y
0
}) = {x
0
}. Do f liên tục nên {x
0
} là tập mở trong X

 x
0
là điểm cô lập của X ( mâu thuẫn ).
Vậy, Y không có điểm cô lập. 
Bài 3. Cho f là toàn ánh từ tập X vào không gian tôpô (Y,
Y

). Đặt


= {f
-1
(B)| B

Y

}.
Khi đó


là một tôpô trên X.
1 nếu x

A
0 nếu x

A.