Các định lí giới hạn và ứng dụng

Khoá luận tốt nghiệp
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*****♣♣♣ *****

LẠI THỊ THANH HUỆ

CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

HÀ NỘI - 2010

Lại Thị Thanh Huệ

1

K32_CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*****♣♣♣ *****

LẠI THỊ THANH HUỆ

CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
GVC.ThS. Trần Mạnh Tiến

HÀ NỘI - 2010

Lại Thị Thanh Huệ

2

K32_CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp
LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khoá luận này, em đã nhận
được sự quan tâm giúp đỡ tận tình của các thầy cô trong tổ Toán ứng dụng nói
riêng và trong khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 nói chung cùng
với sự hỗ trợ của các các bạn sinh viên.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy Trần Mạnh Tiến,
người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt thời gian qua để em hoàn thành
được khoá luận này.
Do trình độ và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên những vấn đề mà
em trình bày trong khoá luận này sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Em
kính mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và
các bạn sinh viên để khoá luận của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên

Lại Thị Thanh Huệ

Lại Thị Thanh Huệ

3

K32_CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp
LỜI CAM ĐOAN
Khoá luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy Trần
Mạnh Tiến cùng với sự cố gắng của bản thân em. Trong quá trình nghiên cứu
và thực hiện khoá luận em có tham khảo tài liệu của một số tác giả (đã nêu
trong mục Tài liệu tham khảo).
Em xin cam đoan những kết quả trong khoá luận là kết quả nghiên cứu
của bản thân, không trùng với kết quả của tác giả khác.
Nếu sai em xin chịu trách nhiệm!

Sinh viên
Lại Thị Thanh Huệ

Lại Thị Thanh Huệ

4

K32_CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

MỤC LỤC
Trang
Mở đầu

2

Chƣơng 1. Kiến thức chuẩn bị

4

1.1. Hội tụ

4

1.2. Hàm đặc trưng

8

1.3. Bất đẳng thức Chebyshev

11

Chuơng 2. Các định lí giới hạn và ứng dụng

14

2.1. Luật số lớn

14

2.1.1. Định nghĩa

14

2.1.2. Định lí Chebyshev

14

2.1.3.Ứng dụng của luật số lớn

18

2.2. Định lí giới hạn trung tâm

20

2.2.1. Định lí

20

2.2.2. Ứng dụng của định lí giới hạn trung tâm

22

2.3. Định lí giới hạn Moivre_Laplace

30

2.3.1. Định lí

30

2.3.2. Ứng dụng của định lí giới hạn Moivre_Laplace

31

2.4. Định lí giới hạn Laplace địa phương

37

2.4.1. Định lí

37

2.4.2. Ứng dụng của định lí giới hạn Laplace địa phương

39

2.5. Định lí Poisson

40

2.5.1. Định lí

40

2.5.2. Ứng dụng của định lí Poisson

41

Bài tập áp dụng

45

Kết luận

47

Tài liệu tham khảo

48

Lại Thị Thanh Huệ

5

K32_CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp
MỞ ĐẦU
Các nhà toán học Pháp thế kỉ 17 như Pierre de Fermat (1601 – 1665),
Blaise Pascal (1623 – 1662) đã đặt nền móng đầu tiên cho lí thuyết xác suất
bởi những lời giải cho các bài toán trong các trò chơi ngẫu nhiên. Cuối thế kỉ
17, James Bernoulli (1654 – 1705), nhà toán học Thụy Sĩ, được xem như
người khởi xướng của lí thuyết xác suất với những nghiên cứu về luật yếu số
lớn đối với dãy phép thử độc lập. Pierre Simon Laplace (1749 – 1827), nhà
toán học Pháp có nhiều cống hiến cho xác suất thống kê trong lĩnh vực các
định lí giới hạn trung tâm. Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), nhà toán học

vĩ đại của Đức có các đóng góp lớn đối với xác suất thống kê: Phương pháp
bình phương cực tiểu và luật phân phối chuẩn. Andrei Kolmogrov (1903 –
1987), nhà toán học lỗi lạc của Nga, người cách mạng hoá cho lí thuyết xác
suất với hệ tiên đề xác suất hiện đại mà ông đưa ra vào đầu những năm 1930.
Không thể kể hết những tên tuổi của những nhà toán học tiên phong
cũng như các nhà toán học lỗi lạc đương đại trên lĩnh vực “lý thuyết xác
suất”.
Ngày nay, “lý thuyết xác suất” đã trở thành một nghành toán học lớn
trong nền toán học thế giới. Người ta biết đến “lí thuyết xác suất” không chỉ
vì nó là một nghành toán học chặt chẽ về lí thuyết mà nó còn có ứng dụng
rộng rãi trong nhiều nghành khoa học kĩ thuật, khoa học xã hội và nhân văn.
Đặc biệt nó gắn liền với khoa học Thống kê, một khoa học về các phương
pháp thu thập, tổ chức và phân tích các dữ liệu, thông tin định lượng.
Dưới sự hướng dẫn tận tình của GVC.ThS. Trần Mạnh Tiến cùng với
hứng thú tìm hiểu về “Lí thuyết xác suất” em đã lựa chọn đề tài “Các định lí
giới hạn và ứng dụng” để hoàn thành khoá luận tốt nghiệp của mình.

Lại Thị Thanh Huệ

6

K32_CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp
Luận văn của em trình bày một số nghiên cứu về luật số lớn, định lí
giới hạn trung tâm, định lí giới hạn Moivre_Laplace, định lí giới hạn Laplace
địa phương, định lí Poisson là những định lí giới hạn quan trọng nhất của lí
thuyết xác suất và có nhiều ứng dụng trong thực tiễn.
Với khoá luận này, em mong rằng nó sẽ là một tài liệu bổ ích cho

những ai quan tâm tới vấn đề này.

Hà Nội, tháng 5 năm 2010
Sinh viên
Lại Thị Thanh Huệ

Lại Thị Thanh Huệ

7

K32_CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp
CHƢƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Hội tụ
1.1.1. Một số định nghĩa
Cho dãy biến ngẫu nhiên  X n n1 và biến ngẫu nhiên X cùng xác định
trên không gian xác suất  , A , P 
Định nghĩa 1.1. Hội tụ theo xác suất
Dãy biến ngẫu nhiên X 1 , X 2 ,... được gọi là hội tụ theo xác suất tới biến
p
ngẫu nhiên X , kí hiệu X n 
 X nếu   0 :

lim
P X n  X     0
n 

(1.1)

Hoặc tương đương, nếu   0 :
lim
P X n  X     1
n 

(1.2)

Định nghĩa 1.2. Hội tụ hầu chắc chắn
Dãy biến ngẫu nhiên X 1 , X 2 ,... được gọi là hội tụ hầu chắc chắn tới
h.c.c
biến ngẫu nhiên X , kí hiệu X n 
 X nếu





P  :lim
X n     X    1
n 

(1.3)

Định nghĩa 1.3. Hội tụ theo phân phối.
Dãy biến ngẫu nhiên X 1 , X 2 ,... được gọi là hội tụ theo phân phối tới
d
biến ngẫu nhiên X , kí hiệu X n 

 X nếu

lim
Fn  x   F  x  , x  tập liên tục của F ( x)
n

(1.4)

nghĩa là: nếu x là điểm liên tục của hàm phân phối F ( x) của X thì

lim
P  X n  x  P  X  x
n

Lại Thị Thanh Huệ

8

(1.5)

K32_CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

1.1.2. Quan hệ giữa các dạng hội tụ
Định lí 1.1. Cho dãy biến ngẫu nhiên  X n n1 là dãy giảm và
p
h.c.c
X .

X n 
 X , khi đó X n 

Chứng minh
Đặt Yn  X n  X
p
Vì  X n n1 là dãy giảm và X n hội tụ theo xác suất, X n 
 X nên Yn cũng là
p
dãy giảm và Yn 
0 .
h.c.c
Ta đi chứng minh Yn 
 0 bằng phản chứng.

Giả sử Yn không hội tụ hầu chắc chắn tới 0.
Tức là   0 , và biến cố A A

sao cho:

P  A    0 và sup Yk     , n tuỳ ý,   A.
k n

nhưng vì Yn  là dãy giảm nên Yn    sup Yk   nên
k n

A    : Yn     

suy ra
P Yn     P  A    0, n.

p
Điều này mâu thuẫn với giả thiết Yn 
0 .

Suy ra điều giả sử sai. 
Định lí 1.2. Cho dãy biến ngẫu nhiên  X n n1 hội tụ hầu chắc chắn đến
biến ngẫu nhiên X khi và chỉ khi với   0 bất kì,





P sup X k    X      0, n  
k n

hay





P sup X n k    X      0, n  

Lại Thị Thanh Huệ

k 1

9

K32_CN Toán

Khoá luận tốt nghiệp
Chứng minh
Đặt
Z n  sup X k    X   ,n  1,2 ,...
k n

suy ra dãy  Z n n1 là dãy giảm ( khi n càng bé) về 0.
h.c.c
h.c.c
Khi đó X n 
 X khi và chỉ khi Zn 
0 .

h.c.c
p
Nhưng  Z n n1 là dãy giảm, nên Zn 
 0 tương đương với Zn 
 0 hay

tương đương với:





P sup X k    X      0, n   . 
k n

Định lí 1.3. Ta có các khẳng định sau:
h.c.c
p
i) Nếu X n 
 X thì X n 
X
h.c.c
p
Nếu  X n n1 là dãy giảm thì X n 
 X khi và chỉ khi X n 
X .

p
d
ii) Nếu X n 
 X thì X n 
X .

Chứng minh
i) Ta có

X

n



 X     sup X k  X  
k n



suy ra





0  P  X n  X     P sup X k  X    0, n  
k n

h.c.c
( do X n 
X )

p
Vậy X n 
X . 

ii) Giả sử x  R và F  x  liên tục,   0 ta có

 X  x      X n  x, X  x      X n  x, X  x   
suy ra

F  x     P X  x     P X n  x, X  x     P X n  x, X  x   

Lại Thị Thanh Huệ

10

K32_CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

mà

 X n  x, X  x      X n  x

 X n  x, X  x      X n  X   
Nên ta có
F  x     P  X n  x  P  X n  X   

 Fn  x   P  X n  X    , n

 lim Fn  x 
n 

vậy

F  x     lim Fn  x 

(1.6)

n 

Tương tự ta chỉ ra được

lim
Fn  x   F  x   

n 

(1.7)

Từ (1.6) và (1.7) ta có
F  x     limFn  x   limFn  x   F  x   

Cho   0 ta được

F  x   lim Fn  x   lim Fn  x   F  x 
n

n

Khi đó

lim Fn  x   lim Fn  x   lim Fn  x   F  x 
n

n

n

Vậy

lim Fn  x   F  x 
n

d
Hay X n 

X . 

Lại Thị Thanh Huệ

11

K32_CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp
1.2. Hàm đặc trƣng
Định nghĩa 1.4. Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X là kì vọng
toán của biến ngẫu nhiên phức eitx ,  i 2  1 và được kí hiệu là  X  t  . Tức là

 X  t   E eitx   E  cos tx   iE  sin tx  .
Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có hàm phân phối xác suất p j thì

 X  t    eitx p j    cos tx j  p j  i   sin tx j  p j
j

j

j

j

Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f ( x) thì












 X  t    eitx f  x  dx    cos tx  f  x  dx  i  sin tx  f  x  dx .
1.2.1. Các tính chất của hàm đặc trưng
i)  x  0   1
Thật vậy


 x  0    f ( x)dx  1


ii)  x  t   1
Vì eitx  1 nên








itx
itx

 e f  x  dx   e f  x  dx  1 .

iii) Nếu Y  aX  b thì Y  t   eibt . X  at 
Ta có
 it  aX  b  
itb  itaX 
  e .E  e





Y  t   E eitY   E e




suy ra

Y  t   eitb X  at 

Lại Thị Thanh Huệ

12

K32_CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp
iv) F ( x) xác định một cách duy nhất hàm đặc trưng  X  t  .

v) Nếu X 1 , X 2 ,..., X n là các biến ngẫu nhiên độc lập thì
n

 X , X ,..., X  t    X  t 
1

2

n

k 1

k

Vì các biến ngẫu nhiên X 1 , X 2 ,..., X n độc lập nên theo tính chất kì vọng toán,
ta có

 it 

X
,
X
,...,
X

n  

eitX1 .eitX 2 ...eitX n 
 1 2
 X1 , X 2 ,..., X n  t   E  e


E







n
n
itX
  E e k     X k  t 

 k 1
k 1

vi) Nếu tồn tại E X thì hàm đặc trưng  X  t  cũng tồn tại đạo hàm đến bậc
k

k tại mọi điểm t .
Hệ quả. Nếu tồn tại E X thì  X  t  sẽ có khai triển Taylor như sau
k

2
k
it 
it 



 X  t   1  m1it  m2
 ...  mk
 o t k 

2!

k!

trong đó mi  E  X i  , i  1, k .
vii) Nếu  Fn  x  là dãy hàm phân phối xác suất và n  t  là dãy các đặc
trưng tương ứng thì điều kiện cần và đủ để  Fn  x  hội tụ yếu (tức là hội tụ
tại các điểm Fn  x  liên tục ) tới hàm phân phối xác suất F ( x) là n  t  hội
tụ tại mọi t đến hàm đặc trưng   t  tương ứng với F ( x) .
1.2.2. Hàm đặc trưng của một số biến ngẫu nhiên thường gặp
Ví dụ 1.1. Cho biến ngẫu nhiên X ~ B(n, p). Tìm  X  t  .
Lời giải
Theo định nghĩa của quy luật B(n, p).
px  Cnx p x 1  p 

Lại Thị Thanh Huệ

13

n x

, x  0, n

K32_CN Toán

Khoá luận tốt nghiệp

nên

 X  t   E  eitx    eitxCnx p x 1  p 
n

n x

x 0

  Cnx  peit  1  p 
n

x

n x

x 0

  peit  1  p  

n

Vậy

 X  t    peit  1  p 

n

V í d ụ 1.2. Cho biến ngẫu nhiên X ~ Poi  . Tìm  X  t  .
Lời giải
Theo định nghĩa của quy luật Poi 

px  e .

x
x!

, x  0,1,...

nên

X t   E e

itx

 e
n

itx 

e .

x 0

x
x!

 eit 

 
 e

x

n

x!

x 0

 e .ee  e (e

it 1)

it

Vậy

X t   e (e

it 1)

.

Ví dụ 1.3. Cho biến ngẫu nhiên X ~ N (0,1). Tìm  X  t  .
Lời giải
Theo định nghĩa của quy luật N (0,1) , ta có:
2

1  x2
f  x 
e
2
nên

Lại Thị Thanh Huệ

14

K32_CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

X t   E e

itx





 e

itx




1
 
e
2





x

1
e
2



x

2



1
dx  
e
2



dx 

2

2

 itx

2



t

2

2



.e

1

 x  it 2

2

dx

2
t
e 2.

Vậy

X

2
t
2
t   e .

Ví dụ 1.4. Cho biến ngẫu nhiên X ~ N   , 2  . Tìm  X  t  .
Lời giải
Ta có

Z

X 



~ N  0,1

suy ra
X   Z   ~ N   , 2 

suy ra

X  t    Z   t   eit  .Z  t  
 2t 2

 eit  e 2

22
it   t
2
e

1.3. Bất đẳng thức Chebyshev
Định lí. Nếu X là biến ngẫu nhiên có kì vọng toán và phương sai hữu
hạn thì với mọi số dương  tuỳ ý ta đều có:

P  X  EX     1

Lại Thị Thanh Huệ

15

DX

2

(1.8)

K32_CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Chứng minh
Ta chứng minh cho trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạc, trường
hợp X là biến ngẫu nhiên liên tục được chứng minh tương tự.
Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị có thể có là x1 , x2 ,..., xn với
các xác suất tương ứng p1 , p2 ,..., pn .
Giả thiết xi  EX   với i  1, k , và xi  EX   với i  k  1, n .
Vì các biến cố để thực hiện các bất đẳng thức X  EX   và X  EX  
đối lập nhau, do đó



P  X  EX     1  P  X  EX   

Vì X là biến ngẫu nhiên rời rạc nên

DX   x1  EX  p1  ...   xk  EX  pk   xk 1  EX  pk 1 
2

2

2

...   xn  EX  pn
2

Tất cả các số hạng của tổng đều không âm. Do đó
DX   xk 1  EX  pk 1  ...   xn  EX  pn
2

2

Theo giả thiết xi  EX   với i  k  1, n ,
suy ra
2
 xi  EX    2 với i  k  1, n ,

do đó
DX   pk 1  ...  pn   2 .

Ta có tổng pk 1  ...  pn chính là xác suất
P  X  EX   

Từ đó ta có
DX  P  X  EX     2

hay

Lại Thị Thanh Huệ

16

K32_CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

P  X  EX    

DX

(1.9)

2

Thay (1.9) vào  ta được

P  X  EX     1

DX

2

Biểu thức (1.9) cũng được sử dụng như một dạng khác của bất đẳng thức
Chebyshev.
Ví dụ 1.5. Cho X là biến ngẫu nhiên có DX   2 . Lấy   k , với k  .
Tìm k để X nhận giá trị từ EX  k đến EX  k với xác suất không nhỏ
hơn 0,95.
Lời giải
Vì là biến ngẫu nhiên X có DX   2 nên theo bất đẳng thức
Chebyshev ta có   0 :

DX
P  X  EX     2

Lấy   k với k  ,  2  DX , ta được

P  X  EX  k  

2
1

 2
2 2
k
k

hay

P  X  EX  k   1 

1
k2

Từ đó ta có
P  EX  k  X  EX  k   1 

1
 0,95
k2

suy ra k 2  20 hay k  5
Vậy k  5 thì X nhận giá trị từ EX  k đến EX  k với xác suất không
nhỏ hơn 0,95.
Bất đẳng thức Chebyshev có ý nghĩa to lớn, nó được sử dụng để chứng minh
các định lí của luật số lớn.

Lại Thị Thanh Huệ

17

K32_CN Toán

Khoá luận tốt nghiệp
CHƢƠNG 2
CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG
2.1. Luật số lớn
2.1.1. Định nghĩa. Họ biến ngẫu nhiên  X n n1 được gọi là tuân theo
luật số lớn (dạng Chebyshev) nếu   0 :

1 n

1 n
P   X k   EX k     1 n   
n k 1
 n k 1


(2.1)

Hoặc tương đương nếu   0 :

1 n

1 n
P   X k   EX k     0 n   
n k 1
 n k 1


(2.2)

Tương đương với





1 n
p
X k  EX k  0 n   

n k 1
2.1.2. Định lí Chebyshev
Định lí 2.1. Nếu  X n n1 là họ biến ngẫu nhiên độc lập, có các kì vọng
toán hữu hạn và các phương sai đều bị chặn bởi hằng số C ( DX i  C, i  1, n )
thì nó tuân theo luật số lớn.
Chứng minh
Xét biến ngẫu nhiên X là trung bình số học của các biến ngẫu nhiên
nói trên
X

X 1  X 2  ...  X n
n

Tìm kì vọng và phương sai của X
1 n
 1 n
E ( X )  E   X i    EX i
 n i 1  n i 1

Lại Thị Thanh Huệ

18

K32_CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp
1 n
 1 n
D( X )  D   X i  
 DX i
 n i 1  n2 i 1

Áp dụng bất dẳng thức Chebyshev đối với biến ngẫu nhiên X
n





P X  E X    1

DX



2

 DX i

 1  i 1 2 2
n

theo giả thiết DX i  C, i  1, n do đó





P X  E X    1

nC
C
 1 2
2 2
n
n

cho n   , ta được







lim
P X  E X    lim
1

n 
n  


C 
1
n 2 

mà xác suất của một biến cố không thể lớn hơn 1, do đó





lim
P X  E X   1
n 

Vậy định lí được chứng minh.
Bản chất của định lí Chebyshev
Định lí Chebyshev chứng minh sự hội tụ theo xác suất của trung bình
số học của một số lớn các biến ngẫu nhiên về trung bình số học của các kì
vọng tương ứng.
Nói cách khác nó chứng tỏ sự ổn định của trung bình số học của một số
lớn các biến ngẫu nhiên xung quanh trung bình số học của các kì vọng toán
của các biến ngẫu nhiên ấy.
Một số ví dụ
Ví dụ 2.1. Cho họ biến ngẫu nhiên độc lập  X n , n  1 có phân phối
Xn

n

0

n

p

1
n2

n2 1
2n2

1
n2

Lại Thị Thanh Huệ

19

K32_CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Chứng minh rằng
1 n
p
X k 

 0  n    (  là hằng số thực)

n k 1

Lời giải
Từ bảng phân phối ta thấy họ  X n , n  1 không cùng phân phối. Nhưng ta tính
2
được EX n  0 , DX n  2 , n  1. Suy ra DX n bị chặn đều

Vậy theo định lí Chebyshev ta có
1 n
p
X k 
0 n  

n k 1

Vậy ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 2.2. Cho họ biến ngẫu nhiên độc lập  X n , n  1 có phân phối được xác
định như sau

P X k  2k   2

 2 k 1

P  X k  0  2

1
2k

Chứng minh rằng
1 n
p
X k 
0 n  

n k 1

Lời giải
Họ biến ngẫu nhiên độc lập  X n , n  1 có phân phối

Xk

2 k

p
2

2k

0

1
2 k 1

2

1
2k

2

1
2 k 1

Ta có
EX k  0 và DX k  EX k2  1

Lại Thị Thanh Huệ

20

K32_CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp
suy ra DX k bị chặn đều.
Vậy theo định lí Chebyshev ta có
1 n
p
X k 
0 n  

n k 1

Hệ quả 2.1. Nếu  X n , n  1 là họ biến ngẫu nhiên độc lập, có cùng kì
vọng toán

 DX

i

EX i   , i  1, n và các phương sai cũng bị chặn trên

 C, i  1, n  thì khi n   ta có

1 n
p
X i 


n i 1

(2.3)

Chứng minh
Do họ  X n , n  1 độc lập, cùng phân phối, có EX i   , i  1, n và các
phương sai cũng bị chặn trên  DX i  C, i  1, n  , nên theo định lí Chebyshev
thì họ đó tuân theo luật số lớn, do đó:

1 n

1 n
P   X i   EX i     0,  n   
n i 1
 n i 1


(2.4)

Thay EX i   , i  1, n vào (2.4) ta có

1 n

P   X i       0,  n   
 n i 1

suy ra

1 n
p
X i 
  .

n i 1
Hệ quả 2.2. (Định lí Bernoulli). Nếu Sn là số thành công trong n phép
thử Bernoulli, với xác suất thành công p,  0  p  1 thì
Sn p

 p,  n    .
n

Lại Thị Thanh Huệ

21

K32_CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Chứng minh
Đặt X k là số thành công ở phép thử thứ k , k  1.
Khi đó, do dãy phép thử Bernoulli là độc lập nên họ  X k , k  1 độc lập và
n

Sn   X k .
k 1

Các X k có cùng phân phối là

Xk

0

1

P

1 p

p

Với

EX k  p; DX k  p 1  p 
Khi đó theo hệ quả 2.1 họ  X k , k  1 tuân theo luật số lớn , nghĩa là

1 n
p
X k 

 p,  n   

n k 1
hay
Sn p

 p,  n    .
n

2.1.3. Ứng dụng của Luật số lớn
i) Luật số lớn là cơ sở để đƣa ra định nghĩa thống kê về xác suất
Giả sử tiến hành n phép thử độc lập, như nhau và theo dõi sự xuất hiện
biến cố A có liên quan.
Ta có n là số phép thử đã tiến hành, n  A là số phép thử có A xuất
hiện, tỉ số

n  A
được gọi là tần suất của A .
n

Lại Thị Thanh Huệ

22

K32_CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp
Gọi k là số lần suất hiện A ở phép thử thứ k thì họ k , k  1 là họ
độc lập các biến ngẫu nhiên cùng có phân phối rời rạc với các giá trị 0,1 với

các xác suất tương ứng 1  P  A và P  A chưa biết.
Ta có

Ek  P  A 

Dk  P  A  1  P  A  
n

n  A    k
k 1

Từ hệ quả 2.1 ta có

n  A p

 P  A ,  n    .
n

Như vậy khi số phép thử n đủ lớn ta có thể lấy tần suất của A thay cho P  A
( mà ta chưa biết).
n  A
thì giới hạn này là P  A .
n 
n

Như vậy nếu tồn tại lim

ii) Luật số lớn chính là cơ sở cho phƣơng pháp đo lƣờng trong vật
lí.
Để xác định giá trị của một đại lượng vật lí nào đó ta thường tiến hành

đo n lần và lấy trung bình số học của các kết quả đo làm giá trị thực của đại
lượng cần đo.
Thật vậy giả sử xem kết quả của n lần đo là các biến ngẫu nhiên
X 1 , X 2 ,..., X n . Đối với các biến ngẫu nhiên này có thể áp dụng hệ quả 2.1, vì

chúng độc lập với nhau, có kì vọng toán EXi   chính là giá trị thực của đại
lượng vật lí đó, các phương sai đều bị chặn trên bởi  2 là độ chính xác của
thiết bị đo ( thiết bị đo càng chính xác thì  2 càng nhỏ).
Do đó theo hệ quả 2.1 ta có
 X 1  X 2  ...  X n

lim
P
n 


Lại Thị Thanh Huệ

n



     1


23

K32_CN Toán

Khoá luận tốt nghiệp
Như vậy trung bình số học của các kết quả đo sẽ sai lệch rất ít so với giá trị
thực của đại lượng vật lí và điều đó xảy ra với xác suất gần như bằng 1.
iii) Luật số lớn còn là cơ sở cho một phƣơng pháp đƣợc áp dụng
rộng rãi trong thống kê: đó là phƣơng pháp mẫu.
Thực chất của nó là dựa vào một mẫu ngẫu nhiên khá nhỏ có thể kết
luận về toàn bộ tập hợp tổng quát của các đối tượng được nghiên cứu.
Chẳng hạn để đánh giá năng suất cây trồng của một vùng nào đó người
ta không cần phải điều tra trên toàn bộ diện tích của vùng đó mà chỉ cần dựa
vào kết quả thu hoạch của một mẫu ngẫu nhiên khá nhỏ mà vẫn đưa ra được
các kết luận đủ chính xác về năng suất cây trồng của vùng đó.
2.2. Định lí giới hạn trung tâm
2.2.1. Định lí 2.2. Cho X 1 , X 2 ,... là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có
cùng phân phối, với   EXn , 2  DXn tồn tại hữu hạn.
Đặt
Yn 

1 n
Xi
n
i 1

Khi đó ta có
lim
P 
n 


Yn  



n  a     a  , a  R


hay
 n

  X i  n

 i 1
    a  , a  R .
lim
P

a
n 
  n






Lại Thị Thanh Huệ

24

K32_CN Toán

Khoá luận tốt nghiệp
Chứng minh
Từ tính chất vii) của hàm đặc trưng ta có: Sự hội tụ của các hàm đặc
trưng cho phép suy ra sự hội tụ theo phân phối.
Vì vậy để chứng minh định lí ta cần chỉ ra rằng

lim
Z  t   Z  t  , t  R
n
n

trong đó Z n 

Yn  

n và Z ~ N (0,1).



Với mỗi n  N  ta có

1 n
1 n
 Xi  
 Xi   
Z n  n i 1
n  n i 1
n







1  Xi   

n i 1   
n

Đặt
Xi  

Ui 



suy ra
EU i  0; DU i  1, i  1,2,...

và U i , i  1,2,... là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập.
suy ra

Z  t   
n

1

n

 U

n i 1

 t 


 n

t    n
i

 U

i 1

i

 t  
 t 
 Ui 
   Ui 

i 1
 n 
 n 

n

n

( do chúng độc lập và có cùng phân phối)
 t 
 ta có
 n

Khai triển Taylor tại t  0 của Ui 

Lại Thị Thanh Huệ

25

K32_CN Toán