Chéo hoá ma trận

Khóa luận tốt nghiệp

LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa toán, các thầy
cô trong bộ môn Hình học trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp em
trong thời gian vừa qua. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và
sâu sắc tới cô Đinh Thị Kim Thuý đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em, để
em hoàn thành tốt khoá luận tốt nghiệp và quá trình học tập.
Bên cạnh đó, em muốn gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè đã tạo
mọi điều kiện để em hoàn thành khoá luận tốt nghiệp này.
Do điều kiện thời gian có hạn, nên khóa luận của em không tránh khỏi
những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và
các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 05 năm 2010
Tác giả
Nguyễn Thị Quỳnh Đông

Nguyễn Thị Quỳnh Đông

1

K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

LỜI CAM ĐOAN
Khoá luận tốt nghiệp này là kết quả của em trong thời gian học tập và
nghiên cứu vừa qua, dưới sự hướng dẫn của cô Đinh Thị Kim Thuý.
Em xin cam đoan khoá luận tốt nghiệp về đề tài ― Chéo hoá ma trận‖
không trùng với bất cứ khoá luận tốt nghiệp nào khác.

Ngƣời thực hiện
Nguyễn Thị Quỳnh Đông

Nguyễn Thị Quỳnh Đông

2

K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

MỤC LỤC
A. MỞ ĐẦU
1.

Lý do chọn đề tài

2.

Mục đích nghiên cứu

3.

Nhiệm vụ nghiên cứu

4.

Phương pháp nghiên cứu

5.

Cấu trúc luận văn
B. NỘI DUNG
Chương 1. CƠ SỞ LÍ THUYẾT
1.1. Ma trận và hạng của ma trận
1.1.1. Ma trận
1.1.2. Hạng của ma trận
1.2. Vectơ riêng – giá trị riêng
1.2.1. Không gian con bất biến
1.2.2. Vectơ riêng – giá trị riêng
1.2.3. Đa thức đặc trưng của phép biến đổi tuyến tính
1.2.4. Định lí Cayley – Hamilton, đa thức tối tiểu
1.2.5. Các phương pháp tính giá trị riêng và vectơ riêng của tự đồng cấu f
1.3. Chéo hóa ma trận của tự đồng cấu
1.4. Chéo hoá trực giao
1.4.1. Cơ sở trực chuẩn
1.4.2. Phương pháp trực giao trực chuẩn Gram – Schmidt
1.4.3. Ma trận trực giao
Chương 2. BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN
2.1. Bài toán 1
2.2. Bài toán 2
2.3. Bài tập
C. KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO

Nguyễn Thị Quỳnh Đông

3

K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Chéo hóa ma trận là một vấn đề lý thú và quan trọng của Toán học. Nó
có rất nhiều ứng dụng trong các chuyên ngành khác nhau của toán học như:
Giải tích, Hình afin,... Vì vậy đề tài ―Chéo hóa ma trận‖ là đề tài hấp dẫn đối
với nhiều lớp sinh viên yêu thích bộ môn hình học.
Đặc biệt trong quá trình học tập các môn học và bài giảng chuyên đề,
chúng em đã tiếp thu được một số kiến thức: Ma trận, định thức, hệ phương
trình tuyến tính, vectơ riêng và giá trị riêng của ma trận, cơ sở trực chuẩn, ma
trận trực giao,chéo hóa ma trận và chéo hóa trực giao…Chính những kiến
thức này đã tạo cho em niềm say mê và mong muốn tìm hiểu kĩ hơn về bài
toán chéo hóa ma trận.
Vì lý do trên và được sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của cô Đinh Thị
Kim Thúy nên em đã quyết định chọn đề tài: “ Chéo hóa ma trận”.
2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ đó hình thành tư duy
lôgic đặc thù của bộ môn.
Khắc sâu và tìm hiểu những kiến thức về chéo hóa ma trận.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số kiến thức cơ sở lí thuyết liên quan đến vấn đề chéo
hóa ma trận .
Nghiên cứu hai bài toán chéo hóa ma trận.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý luận.
Phương pháp phân tích đánh giá tổng hợp.

Nguyễn Thị Quỳnh Đông

4

K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

5. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu, luận văn gồm 2
chương:
Chương 1: Cơ sở lí thuyết.
Chương 2: Bài toán chéo hóa ma trận.

Nguyễn Thị Quỳnh Đông

5

K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

B. NỘI DUNG
CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÍ THUYẾT
1.1. Ma trận và hạng của ma trận
1.1.1. Ma trận

Định nghĩa 1.1:
Cho K là một trường tuỳ ý. Một bảng gồm mxn phần tử aij  K
(1≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) có dạng:

 a11 a12

 a21 a22
 ... ...

 am1 am 2

... a1n 

... a2 n 
... ... 

... amn 

được gọi là một ma trận kiểu (m,n). Mỗi aij được gọi là thành phần của ma
trận. Kí hiệu là : A = ( aij )mxn
Vectơ dòng ( hay hàng)  ai1 ai 2 ... ain  được gọi là dòng (hay hàng)
thứ i của ma trận A.
 a1j 


 a2j 
Vectơ cột  ...  được gọi là cột thứ j của ma trận A.


 amj 

Khi m = n thì ma trận ( aij )nxn được gọi là ma trận vuông cấp n.
Kí hiệu A= ( aij )nxn
Định nghĩa 1.2:
Hai ma trận vuông A và B cùng  Mat (n  n, K ) ta nói hai ma trận
Avà B đồng dạng nếu có một ma trận khả nghịch C  Mat (n  n, K ) sao cho

Nguyễn Thị Quỳnh Đông

6

K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

B =C-1AC.
Định nghĩa 1.3:
Ma trận A được gọi là đối xứng nếu At = A.
1.1.2. Hạng của ma trận
Định nghĩa 1.4:
Cho ma trận A có dạng :

A  (aij )mn

 a11 a12

a
a22
  21

 ... ...

 am1 am 2

... a1n 

... a2 n 
.
... ... 

... amn 



Hạng của ma trận A là hạng của hệ vectơ cột a1 ,...., an  với

 a1 j 
 
  a2 j 
aj   
 ... 
a 
 mj 

(j=1,…,n)

Kí hiệu là: r(A) hoặc rank(A).
Định lí 1.5:
Giả sử một ma trận A  (aij )  Mat (m  n, K ) . Khi đó, hạng của ma trận A
bằng cấp cao nhất của các định thức con khác không của A. Nói rõ hơn,

r(A) = k nếu có định thức con cấp k của A khác 0 và mọi định thức con cấp
lớn hơn k (nếu có) của A đều bằng không.
Nhận xét:
Định thức con cấp r của A như định lí 1.5 được gọi là định thức con cơ
sở của ma trận A.
Hệ quả 1.6:
Hạng của một ma trận bằng hạng của các vectơ hàng của nó.
Chú ý:
Một ma trận có thể có nhiều định thức con cơ sở khác nhau nhưng cấp
của chúng đều bằng hạng của ma trận đó.

Nguyễn Thị Quỳnh Đông

7

K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

* Quy tắc tính r(A) bằng định thức:
Bước 1: Bằng một cách nào đó ta tìm một định thức con Dk cấp k ≠ 0
(1 ≤ k ≤ min{n,m}).
Bước 2: Ta tính các định thức cấp k + 1 bao Dk (nếu có)
+ Nếu các định thức này cấp k + 1 này đều bằng không thì kết
luận r(A) = k.
+ Nếu tồn tại một định thức cấp r+1 khác không thì ta tính các
định thức cấp k + 2 bao Dk+1 ≠ 0 này (nếu có).
Cứ tiếp tục như vậy ta tìm được r(A).
Ví dụ 1:

Tính hạng của ma trận sau:
 1

 0

A 1
 4

 3


0
1
1
2
1

0
1
1
3
2

1

2

1
1 
0 

Lời giải:
Ta thấy

D2 

1 0
 1  0
0 1

Vì D2 ≠ 0 nên xét tiếp một định thức cấp 3 bao D2 là:

1 0 0
D3  0 1 1  1  0
4 2 3
Vì D3 ≠ 0 nên xét tiếp định thức cấp 4 bao D3 bao là:

Nguyễn Thị Quỳnh Đông

8

K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

1
0
D4 
1

4

0
1
1
2

0
1
1
3

1
2
0
1
1

Vậy r(A)=3.
* Quy tắc tính r(A) bằng phép biến đổi sơ cấp:
Bước 1: Bằng các phép biến đổi sơ cấp đưa A về dạng ma trận bậc
thang A .
Bước 2: Đếm số hàng khác không của A , số đó chính là r(A).
Ví dụ 2:
Tìm giá trị của  sao cho ma trận sau đây có hạng thấp nhất:
3


A
1


2

1 1 4

4 10 1 
7 17 3 

2 4 3

Lời giải:
Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp:
3


1

2

1 1 4
 1 7 17 3 
 1 7 17




4 10 1  L3  L1   4 10 1  3 L1  L3  L3
 4 10



 
2 L1  L4  L4
 3 1 1 4
 0 20 50
7 17 3 




2 4 3
 2 2 4 3
 0 12 30
 1 7 17 3 
 1 7 17 3 


1
L3  L3
 4 10 1   1 L3  L4  L4   4 10 1 
5




1
L4  L4


 0 4 10 1 
0

4
10
1
3




 0 4 10 1 
 0 0 0 0

3

1
5

3

Như vậy ta thấy r(A)min = 2


 0

Vậy   0 thì ma trận trên có hạng nhỏ nhất.

Nguyễn Thị Quỳnh Đông

9

K32G Toán

Khóa luận tốt nghiệp

1.2. Vectơ riêng – giá trị riêng
1.2.1. Không gian con ổn định
Định nghĩa 1.7:
Cho một không gian vectơ V trên trường K và f là một tự đồng cấu
của V. Không gian vectơ con U của V được gọi là một không gian con ổn
định đối với f ( hay một không gian f - ổn định) nếu f(U)  U.
Ví dụ 1: Đối với tự đồng cấu f: V  V bất kì, các không gian con sau

đây đều là f – ổn định: 0 ; V; Kerf ; Imf.



Xét trường hợp không gian con ổn định 1 chiều:

 
Giả sử L là không gian con f - ổn định một chiều, và   L (   0 ).



Khi đó (  ) là một cơ sở của L. Vì f(L)  L cho nên có một vô hướng   K

  
sao cho f ( )  . (   0 ).
 
Ngược lại nếu có một vectơ   0 và một vô hướng   K sao cho




f ( )   thì L  L( ) là một không gian con f - ổn định một chiều.
Ta đi tới định nghĩa sau đây:

1.2.2. Vectơ riêng và giá trị riêng
Định nghĩa 1.8:
Giả sử f là một tự đồng cấu của K-không gian vectơ V. Nếu có vectơ
 


  0 và vô hướng   K sao cho f( ) =  .  thì  được gọi là một giá
trị riêng của f còn vectơ



 được gọi là một vectơ riêng của f ứng với giá trị

riêng  .
Nhận xét :
Như vậy việc tìm các không gian con một chiều tương đương với việc
tìm các vectơ riêng.

Nguyễn Thị Quỳnh Đông

10

K32G Toán

Khóa luận tốt nghiệp

1.2.3. Đa thức đặc trưng của phép biến đổi tuyến tính
Định nghĩa 1.9:
Đa thức bậc n của một ẩn X với hệ số trong K
Pf(X)= det (f-X.idv).
được gọi là đa thức đặc trưng của tự đồng cấu f.
Định nghĩa 1.10:
Đa thức bậc n của ẩn X với hệ số trong K
PA(X)= det (A-X.En).
được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A. Nghiệm của đa thức này được
gọi là giá trị riêng của A.
Mệnh đề 1.11:
Vô hướng   K là một giá trị riêng của tự đồng cấu f: V  V nếu và
chỉ nếu  là một nghiệm của đa thức đặc trưng của f.
det (f-  .idv)= det (A-  .En).
1.2.4. Định lí Cayley- hamilton, đa thức tối tiểu
Định lí 1.12 (Cayley- hamilton )
Mỗi ma trận vuông A đều là một nghiệm của đa thức đặc trưng của
chính nó.
Chứng minh:
Gọi B(X) là ma trận phụ hợp của ma trận (A – X.En).
Vì phần bù đại số của mọi phần tử trong (A – X.En) đều là một đa thức
của X có bậc không quá (n - 1), nên ta có thể viết:
B(X) = Bn – 1 .Xn – 1 + ........+ B1.X + Bo.
trong đó Bo,...., Bn – 1 là những ma trận vuông cấp n với các phần tử
trong K (không phụ thuộc X).
Mà ta có : (A – X.En)B(X) = det (A – X.En)En = PA(X).En.
Thay X = A vào đẳng thức trên ta được :

Nguyễn Thị Quỳnh Đông

11

K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

PA(A)En = (A – A.En)B(A) = 0.B(A) = 0.
Điều đó có nghĩa là:

PA(A) = 0.

Định nghĩa 1.13:
a. Đa thức tối tiểu của ma trận A, được kí hiệu:  A  X  là đa thức với
hệ số cao nhất bằng 1 và có bậc nhỏ nhất trong những đa thức khác không
nhận A làm một nghiệm.
b. Đa thức tối tiểu của đồng cấu f được kí hiệu:  f  X  là đa thức với
hệ số bậc cao nhất bằng 1 và bậc nhỏ nhất trong những đa thức khác không
nhận f làm một nghiệm.
1.2.5 Các phương pháp tính giá trị riêng và vectơ riêng của tự đồng cấu f
a. Phương pháp định thức
Trong thực hành có thể tìm giá trị riêng và vectơ riêng của tự đồng cấu
f như sau:


Bước 1: Lấy một cơ sở (e)= ( e1 ,..., en ) trong V và tìm ma trận A của f

trong cơ sở đó .
Bước 2: Lập đa thức đặc trưng det(A-  .En) của ma trận A
Bước 3: Giải phương trình đa thức bậc n đối với ẩn λ :
det(A-  .En)= 0
Bước 4: Với mỗi nghiệm  của phương trình. Giải hệ phương trình
tuyến tính thuần nhất suy biến :
(a11   ).x1  a12 .x2  ....  a1n .xn  0

a21.x1  (a22   ).x2  ....  a2 n .xn  0

............................
a .x  a .x  ....  (a   ).x  0
22 2
nn
n
 n1 1

Với mỗi nghiệm không tầm thường (c1, c2,...,cn ) của hệ này ta có :



 = c1. e1 +...+ cn. en
là một vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng  .

Nguyễn Thị Quỳnh Đông

12

K32G Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Ví dụ 1:
  
Cho tự đồng cấu f : V  V có ma trận A trong cơ sở { e1 , e2 , e3 } của V

là:
 2 1

A=  5 3

 1 0

2

3

2 

Hãy tìm các vectơ riêng và giá trị riêng của ma trận A.
Lời giải:
Ta có phương trình đặc trưng của ma trận A là :

2
Det(A-  .E3) = 5
1

1
3  

0

2
3 =0
2  

Khai triển định thức cấp 3 ta được phương trình:

 3. 3. 10
3

2

Phương trình này có nghiệm bội :  = -1 (bội 3)
Với  = -1 ta giải hệ phương trình:
3.x1

5.x1

  x1

 x2
 2.x2

 2.x3  0
 3.x3  0
 x3  0

 x1

 

 x1

 x2  0
 x3  0

Có nghiệm không tầm thường là :( x1= a, x2= a, x3= -a) với (a  0)

  
Vậy vectơ  = a.( e1 e2  e3 ) (a  0) là các vectơ riêng của f ứng với giá
trị riêng  = -1
Ví dụ 2:
Hãy tìm giá trị riêng của ma trận vuông cấp n sau đây:

Nguyễn Thị Quỳnh Đông

13

K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

0 x x

y 0 x

A y y 0
 ... ... ...


 y y ...


...
...
...
...
...

x

x

x
... 
0 

Lời giải :
Trước hết ta đi tính định thức :
a x x ...
y a x ...
Dn  y y a ...
... ... ... ...
y y y ...

x
a
x
x

x
ya a x
0
x  0
ya a x
...
...
...
...
a
0
0
0

...
x
x
...
0
0
...
0
0
... ...
...
... y  a a  x

( Vì lấy mỗi hàng (kể từ hàng thứ 2) trừ đi cho hàng đứng trước nó).
Khai triển theo cột cuối ta được :
Dn   1

n 1

.x.  y  a 

  1 .x.  a  y 
2n

 x.  a  y 
 x.  a  y 
 x.  a  y 

 x.  a  y 

n 1

n 1

n 1

n 1

n 1

n 1

  a  x  .Dn 1

  a  x  .Dn 1

  a  x  .Dn 1
  a  x  .  x.  a  y 


 x.  a  x  .  a  y 

 x.  a  x  .  a  y 

n2

n2

n2

  a  x  .Dn  2 


  a  x  .Dn 2
2

 x.  a  x  .  a  y 
2

n 3

  a  x  .Dn 3
3

............
 x.  a  y 



n 1

  a  x  . a  y 

n2

  a  x  . a  y 
2

n 3

 ....   a  x 

n4

3
n 3
.  a  y     a  x  D3


Mà :
a
x
x
2
2
3
D3  y  a a  x

0  x.  a  y   x.  a  x  .  a  y   x.  a  x    a  x 
0
ya ax

Thay vào công thức toán ở trên ta được :

Nguyễn Thị Quỳnh Đông

14

K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Dn  x.  a  y    a  x  .  a  y    a  x  .  a  y 

n
n
x.  a  y    a  x  
  ax n
 
 
x y
n 1

n2

x.  a  y   y.  a  x 


x y
Thay a =  ta được :
n

det( A   E n ) 

 1

n

2

n 3

n 1
n
 .....   a  x     a  x 


n

.x.    y    1 . y.    x 
0
x y

 x.    y   y.    x 
n

n

n

n

n

n

x
x
hay 
 
y
 y

x
x
 n
 
y
y
y.  x
 
1 


Vậy giá trị riêng của ma trận vuông A là :

 

y.  x
1 

 

với

n

x
y

b. Phương pháp Krylow
- Trước hết xác định các giá trị riêng của ma trận A=(aij)nxn cho trước.
Xét En là ma trận đơn vị cấp n. Khi đó phương trình ẩn  sau đây là phương
trình đặc trưng của ma trận A
det (A-  .En) = 0
+ Nếu khai triển det (A-  .En) theo lũy thừa  thì ta có det (A-  .En) là
đa thức bậc n của  . Kí hiệu:D(  ) và gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A:
D(  ) = (-1)n. [  n - P1.  n-1 -…- Pn-1.  - Pn]
+ Nếu

φ(A) = ao .An + a1. An-1 + …+ an .En = 0 ta nói rằng đa thức

Nguyễn Thị Quỳnh Đông

15

K32G Toán

Khóa luận tốt nghiệp

φ(  ) = ao.  n + a1.  n-1 +…+ an-1.  + an nhận ma trận A làm nghiệm. Theo
định lí Cayley- hamilton thì đa thức đặc trưng D(λ) của ma trận A nhận A làm
nghiệm, đồng thời nó còn nhận ma trận chuyển vị của A là At là nghiệm,
nghĩa là:
D(A) = (-1)n[An - P1 .An-1 - …- Pn.En] = 0
D(At) = (-1)n[(At) - P1.(At)n—1 -…- Pn .En] = 0
Trong tập hợp các đa thức nhận A làm nghiệm sẽ tồn tại duy nhất đa
thức φ(  ) có hệ số cao nhất bằng 1 và có bậc nhỏ nhất trong các đa thức nhận
A làm nghiệm là đa thức tối tiểu của ma trận A
+ Với vec tơ bất kỳ C(o) = (C1(o),..., Cn(o)) xác định hệ véctơ bất kì
(C(i))ni=0 bởi C(i) = A. C(i-1) i = 0,…, n
Từ định lí Cayley- hamilton ta có D(A).C(o) = 0, nghĩa là :
An .C(o) + P1.An-1.C(o) + …+ Pn.En.C(o) = 0
Chú ý rằng : Ai .C(o) = C(i)

i = 1,…, n

C(n-1) + P1. C(n-2) + …+ Pn.C(o) = C(n) (1)
+ Hệ phương trình (1) là hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất
ẩn P1,…, Pn


Nếu hệ C(o),…, C(n-1) độc lập tuyến thì hệ sẽ duy nhất nghiệm

P1,…, Pn.


Nếu hệ C(o),…, C(n-1) là phụ thuộc tuyến tính và có C(o),…, C(m)

(1 ≤ m ≤ n-1) là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ này, khi đó ta không
xác định được các hệ số của đa thức D(  )mà chỉ xác định hệ số của đa thức
tối thiểu của ma trận A là:
Ψ(  ) =  m - α1.  m-1 -…- α m-1.  - αm
Từ đó ta có: Am.C(o)- α1.Am-1.C(o)- ……- α m-1.A.C(o)- αm.C(o) = 0
Vậy α1.C(m-1) + …..+ αm-1.C(1) + αm .C(o) = C(m)

Nguyễn Thị Quỳnh Đông

16

K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Đây chính là hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất ẩn là α1,...,αm
có định thức của ma trận hệ số khác không nên nó có nghiệm duy nhất là các
hệ số của đa thức Ψ(  ) đồng thời cũng là các giá trị riêng của A. Tuy nhiên
trường hợp này ta không xác định được tất cả giá trị riêng của A.
- Tiếp theo tìm các vectơ riêng của ma trận A
Giả sử hệ C(o),…, C(n-1) là hệ vectơ độc lập tuyến tính (trong trường hợp
ngược lại, chúng ta lấy C(o),…, C(m) là hệ vec tơ độc lập tuyến tính tối đại của

hệ vectơ trên). Khi đó vectơ riêng xi của ma trận A ứng với giá trị riêng λi sẽ
tìm được ở dạng sau đây:

xi = d1.C(n-1) + d2 .C(n-2) + …+ dn .C(o)


Chú ý rằng: A. xi =

 i. x

i

; C(i) = A.C(i-1) i = 1,…,n;

Từ đó rút ra:
d1 .C(n) + d2 .C(n-1) +...+ dn .C(1) =  i[d1.C(n-1) + d2.C(n-2) + …+ dn .C(o)]
Mặt khác : D(A).C(o) = 0  (-1)n. [C(n) + P1. C(n-1) + …+ Pn. C(o) ] = 0
Kết hợp hai hệ thức trên ta có:
d1.[ C(n) + P1.C(n-1) + …+ Pn.C(o)] + d2 .C(n-1) +…+ dn .C(1) =

 i.[d1.C(n-1) + d2 .C(n-2) + …+ dn . C(o)]
Từ đó ta có:
(d1.P1 -  i .d1 + d2).C(n-1) + (d1 .P2 -  i.d2 + d3).C(n-2) +….
+(d1 .Pn-1 -  i.dn-1 + dn).C(1)+ (d1 .Pn -  i.dn).C(o) = 0
Vì hệ C(o),…, C(n-1) là hệ độc lập tuyến tính nên ta có :
d1.P1  i .d1  d 2  0

d1.P2  i .d 2  d3  0

........................
d .P   .d  d  0
i
n 1
n
 1 n 1

d1.Pn  i .d n  0

Nguyễn Thị Quỳnh Đông

17

(2)

K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chọn d1 bất kì khác 0, hệ này cho di, i  1, n và từ đó tìm được các

vectơ xi .
* Tóm lại phương pháp krylov gồm các bước như sau:
Bước 1: Lấy vectơ C(o) = (C1(o),…, Cn(o)) bất kì, xác định hệ vectơ
(C(i))ni=0 bởi công thức: C(i) = A. C(i-1) i  0, n , trong đó A là ma trận biểu
thị 1 cơ sở nào đó của f .
Bước 2 : Xác định được Pi theo hệ phương trình :
C(n-1) + P1. C(n-2) + …+ Pn .C(o) = C(n)
Bước 3: Từ đó lập được đa thức đặc trưng của A là:
D(  ) = (-1)n. [  n - P1.  n-1 -…- Pn-1.  - Pn]
từ đó tính được các giá trị riêng
Bước 4: Xác định các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng dựa
vào hệ (2).
Chú ý:
Phương pháp krylov chỉ được áp dụng để tính giá trị riêng- vectơ riêng
của ma trận đối xứng.

Ví dụ 3:
Hãy xác định giá trị riêng của ma trận A và vectơ riêng ứng với giá trị
riêng theo phương pháp krylow:
3

A=  1

0

1 0

2 1

1 3 

Lời giải:
Lấy C(o) = (1, 0, 0)

 C(1) = A.C(o)

Nguyễn Thị Quỳnh Đông

3

= 1

0

1 0


2 1  . (1, 0, 0)

1 3 

18

K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

 C(1) = ( 3, 1, 0)
Tương tự ta có: C(2) = ( 10, 5, 1); C(3) = ( 35, 21, 8);
Vậy P1.C(2) + P2. C(1) + P3. C(o) = C(3)

 P1.( 10, 5, 1) + P2.( 3, 1, 0) + P3.( 1, 0, 0) = ( 35, 21, 8)

 ( 10.P1+ 3.P2 +P3 , 5.P1 + P2 , P1) = ( 35, 21, 8)


 10.P1

 5.P1

 P1  8

 3.P2
 P2

 P3  35

 21

 P1

  P2

 P3

8
 19
 12

Từ đó có đa thức đặc trưng của A là:

 3  8 2  19 12  0
 ( 1).( 2  7  12)  0
Giải phương trình trên ta được :  1 = 1;  2 = 4;  3 = 3
Vậy ma trận A có các giá trị riêng là :  1 = 1;  2 = 4;  3 = 3
Với  1 = 1, xét hệ:
 d1.P1

d1.P2

 d1.P3

 1.d1
 1.d2
 1.d3

 d2  0

 d3  0
0

 8.d1

 19.d1

 12.d1

 d1
 d2
 d3

 d2  0
 d3  0
0

Chọn d1 = 1, ta có : d2 = - 7, d3 = 12

Vậy vectơ riêng  1 có dạng :

 1 = 1.C(2) + (-7).C(1) + 12.C(o)

  1 = ( 10, 5, 1) – 7.( 3, 1, 0) +12.( 1, 0, 0)

  1 = ( 1, -2, 1)
Với  2 = 4, xét hệ :

Nguyễn Thị Quỳnh Đông

19

K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

 2 .d2
 2 .d2
 2 .d3

 d1.P1

d1.P2

 d1.P3
 8.d1

 19.d1

 12.d1

 4.d1
 4.d2
 4.d3

 d2  0
 d3  0
0
 d2  0

 d3  0
0

Chọn d1 = 1 ta có :d2 = -4, d3 = 3.

Vậy vectơ riêng  2 có dạng :

 2 = 1.C(2) + (-4).C(1) + 3.C(o)

  2 = ( 10, 5, 1) – 4.( 3, 1, 0) +3.( 1, 0, 0)

  2 = ( 1, 1, 1)
Với  3 = 3, xét hệ:
 d1.P1

d1.P2

 d1.P3
 8.d1

 19.d1

 12.d1

 3.d1
 3.d2
 3.d3
 3.d1
 3.d2
 3.d3

 d2  0
 d3  0
0
 d2  0
 d3  0
0

Chọn d1 = 1, ta có :d2 = - 5, d3 = 4.

Vậy vectơ riêng  3 có dạng :

 3 = 1.C(2) + (-5).C(1) + 4.C(o)

  3 = ( 10, 5, 1) – 5.( 3, 1, 0) +4.( 1, 0, 0)

  3 = ( -1, 0, 1)
Vậy ma trận A có các giá trị riêng là:  1 = 1;  2 = 4;  3 = 3 và các
vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng là:



 1=(1, -2, 1),  2 =( 1, 1,1),  3 =(-1, 0, 1)

Nguyễn Thị Quỳnh Đông

20

K32G Toán

Khóa luận tốt nghiệp

c. Phương pháp Leverie
Giả sử φ(  ) =  n + P1.  n-1 +…+ Pn-1.  + Pn có các nghiệm là:

 1,  2, … ,  n (kể cả nghiệm bội ).



n

Sn   ik k  0, n

Đặt:

i 1



Theo định lí Viet và nhị thức Newton ta có:
 P1

P
 2

 ...

P
 n



S1



1
 .(S2  P1.S1 )
2

(1.2.3)

1
  .(Sn  P1.Sn1  ...  Pn1.S1 )
n

Nếu φ(  ) là đa thức đặc trưng của ma trận A thì Sk chính là vết Tr(Ak)
của ma trận Ak
* Tóm lại thuật Leverie gồm các bước :





Bước 1: Tính Ak k  1, n sau đó tính vết của ma trận Ak là:
, Ak   aij( k ) n*n

n

Sk  Tr ( Ak )   aij(k)
i 1





Bước 2: Tính Pi i  1, n theo công thức (1.2.3) từ đó tính được đa
thức đặc trưng của A
Chú ý:
- Phương pháp Leverie dùng để tìm đa thức đặc trưng của ma trận A.
Từ đa thức đặc trưng đó của ma trận ta tìm các giá trị riêng và các vectơ
riêng của ma trận bằng phương pháp đã biết .
- Phương pháp Leverie là phương pháp đơn giản nhất về mặt lí tưởng
để có thể áp dụng cho mọi trường hợp.
Ví dụ 4:
Hãy tìm đa thức đặc trưng của ma trận A bằng phương pháp Leverie từ

Nguyễn Thị Quỳnh Đông

21

K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

đó xác định các giá trị riêng và vectơ riêng ứng với giá trị riêng của ma trận
A:
1


A  0

1

2 1

1 1

0 3 

Lời giải:
Ta có:

2 1  1 2 1   2 4 2 


1 1 . 0 1 1   1 1 4 


0 3   1 0 3   4 2 10 

1

A2   0

1





2 12 4 2  4 8
4 



1 1 . 1 1 4    5 1 14 



0 3   4 2 10   14 10 32 

1

A3  A. A2   0

1





3

S1  Tr ( A)   aii  1  1  3  5
i 1

3

S2  Tr ( A2 )   aii(2)  1  2  10  13
i 1
3

S3  Tr ( A3 )   aii(3)  4 1  32  35
i 1

Ta có:

 P1


 P2


 P3




 S1



1
 .(S2  P1.S1 )
2



1
  .(S3  P1.S2  P2 .S1 )
3


 P1


 P2


 P3




5



1
 .(13  25)  6
2

1
  .(35  5.13  6.5)  0
3

Vậy P1 = -5, P2 = 6, P3 = 0
Đa thức đặc trưng của ma trận A là:

 ( )   3  5. 2  6.
Các giá trị riêng của ma trận A nghiệm của phương trình:

Nguyễn Thị Quỳnh Đông

22

K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

 3  5. 2  6.  0

  0

  3
  2
1

2

3

Với  1= 0 ta xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:
(a11  1 ).x1

 a21.x1


 a31.x1
 x1



 x1

 2.x2
x2

 a12 .x2
 (a22  1 ).x2
 a32 .x2

 a13 .x3  0

a23 .x3  0
 (a33  1 ).x3  0

 x3  0
 x3  0
 3.x3  0

 x1  3.x3  0
 x2  x3  0



Hệ này có nghiệm không tầm thường là: ( -3a, a, a) (a  0)
Vậy vectơ riêng ứng với giá trị riêng  1= 0 là :


  
1 = a ( 3.e1  e2  e3 ), (a  0).
Với  2 = 3 ta xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:
(a11  2 ).x1

 a21.x1

 a31.x1
2 x1



 x1

 2.x2
 2 x2

 a12 .x2
 (a22  2 ).x2
 a32 .x2
 x3  0
 x3  0
0

 a13.x3  0
 a23.x3  0
 (a33  2 ).x3  0
x1  0
2 x2  x3  0



 

Hệ này có nghiệm không tầm thường là: ( 0, a, -2a) (a  0)
Vậy vectơ riêng ứng với giá trị riêng  2 = 3 là :



 2 = a ( e2  2e3 ), (a  0).
Với  3 = 2 ta xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:

Nguyễn Thị Quỳnh Đông

23

K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

(a11  3 ).x1

 a21.x1

 a31.x1
 x1




 x1

 2.x2
 x2

 a12 .x2
 (a22  3 ).x2
 a32 .x2
 x3  0
 x3  0
 x3  0

 a13.x3  0
 a23.x3  0
 (a33  3 ).x3  0
 x1 
 x2 



x3  0
x3  0

Hệ này có nghiệm không tầm thường là: ( -a, -a, a) (a  0)
Vậy vectơ riêng ứng với giá trị riêng  3 = 2 là :
  

 3 = a ( e1  e2  e3 ), (a  0).
1.3. Chéo hóa ma trận của tự đồng cấu
Định nghĩa 1.114:

Tự đồng cấu f của K- không gian vectơ hữu hạn chiều V được gọi là
chéo hóa được nếu ta tìm được một cơ sở V gồm những vectơ riêng của f. Nói
cách khác f chéo hóa được nếu có một cơ sở của V mà ma trận của f đối với
cơ sở đó là ma trận chéo.
Gọi A  Mat  n  n, K  là ma trận của f trong một cơ sở bất kì của V. Từ
định nghĩa ta suy ngay ra rằng f chéo hóa được nếu và chỉ nếu tồn tại một ma
trận C  Mat  n  n, K  không suy biến (detC ≠ 0) và C-1.A.C có dạng chéo
nghĩa là:
 1

0
-1
C AC = 
 ...
0


0

...

2 ...

0

0


...

... ... 

0

...

n 

Việc tìm một ma trận khả nghịch C (nếu có ) để C-1AC là một ma trận
chéo gọi là việc chéo hóa ma trận A.
Nhận xét :

Nguyễn Thị Quỳnh Đông

24

K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Giả sử A là ma trận trong một cơ sở nào đó của V thì f chéo hóa được
khi và chỉ khi ma trận A của f đồng dạng với ma trận chéo .
Định nghĩa 1.15:
Ma trận A  Mat  n  n, K  đồng dạng với ma trận chéo
B  Mat  n  n, K  thì A được gọi là ma trận chéo hóa được .

Nếu A chéo hóa được thì mọi ma trận đồng dạng với nó cũng chéo hóa
được .
Định lí 1.16:



Giả sử 1,..., m là những vectơ riêng của tự đồng cấu
f: V  V ứng với những giá trị riêng đôi một khác nhau


vectơ 1,..., m độc lập tuyến tính.

1,..., m . Khi đó hệ

Chứng minh : Định lí được chứng minh quy nạp theo m.

 
Với m =1 vectơ riêng 1  0 nên hệ gồm một vectơ 1 độc lập tuyến
tính.
Giả sử quy nạp rằng định lí được khẳng định đối với hệ gồm m -1


vectơ. Xét hệ vectơ riêng 1,..., m ứng m giá trị riêng đôi một khác nhau

1 ,..., m


 
Nếu có 1.1  2 . 2  ...  m . m  0

thì

(1)





f (1.1  2 . 2  ...  m . m )  f (0)

Suy ra:









1.1.1  2 .2 . 2  ...  mm m )  0

(2)

Nhân đẳng thức (1) với m rồi cộng vào đẳng thức (2) ta được:



1.(m  1 ).1  ...  m1.(m  m1 ). m1  0


Theo giả thiết quy nạp, hệ 1,...,m1 độc lập tuyến tính nên ta có:

1.(m  1 )  ...  m1.(m  m1 )  0

Nguyễn Thị Quỳnh Đông

25

K32G Toán