Định lý cayley hamilton và ứng dụng

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
******

MẠC ANH VĂN

LIÊN HỢP CỦA KHÔNG GIAN
C  A, B 

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: GIẢI TÍCH

HÀ NỘI- 2013


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA: TOÁN
******

MẠC ANH VĂN

LIÊN HỢP CỦA KHÔNG GIAN
C  A, B 

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: GIẢI TÍCH

Người hướng dẫn khoa học
TS. BÙI KIÊN CƯỜNG

HÀ NỘI- 2013


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Lời cảm ơn

Khóa luận này của em đã đươc hoàn thành với sự chỉ bảo, hướng
dẫn tận tình của thầy giáo - tiến sĩ Bùi Kiên Cường.
Qua đây em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo tiến sĩ Bùi Kiên Cường, người đã trực tiếp tạo điều kiện và giúp đỡ em
trong suốt thời gian làm khóa luận. Đồng thời em xin gửi lời cảm ơn
chân thành tới các thầy cô giáo trong tổ giải tích, cũng như các thầy cô
giáo trong khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất để
em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

MẠC ANH VĂN

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Lời cam đoan

Khóa luận tốt nghiệp này của em được hoàn thành dưới sự hướng
dẫn tận tình của thầy giáo - tiến sĩ Bùi Kiên Cường, cùng với đó là sự cố
gắng của bản thân.
Trong quá trình nghiên cứu, em đã tham khảo và kế thừa những
thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học và các nhà nghiên cứu với sự
trân trọng và lòng biết ơn.
Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả của riêng bản thân,
không có sự trùng lặp với đề tài nghiên cứu của các tác giả khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

MẠC ANH VĂN


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2
MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU .................................................................................... 1
CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ ......... 3

1.1.Không gian định chuẩn, không gian Banach .................................. 3
1.2.Không gian C  a, b  ....................................................................... 9
1.3.Hàm có biến phân bị chặn ........................................................... 10
1.4.Tích phân Riemann-Stieltjes........................................................ 11
CHƯƠNG 2: LIÊN HỢP CỦA KHÔNG GIAN C  a, b  ...................... 15
2.1.Định lí biểu diễn cho phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên C[a,b] .. 16
2.2.Quan hệ tương đương giữa các hàm có biến phân bị chặn ........... 20
2.3.Chuẩn hóa các hàm biến phân bị chặn ......................................... 24
2.4. Liên hợp của không gian C  a, b  ............................................... 26
KẾT LUẬN.......................................................................................... 28
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................... 29


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Giải tích hàm là một ngành toán học được xây dựng vào nửa đầu
thế kỉ XX nhưng hiện nay hầu như được xem như là một ngành toán học
cổ điển. Nội dung của nó là sự hợp nhất của những lí thuyết tổng quát
xuất phát từ việc mở rộng một số khái niệm và kết quả của Giải tích, Đại
số, Phương trình vi phân…
Trong quá trình phát triển từ đó đến nay, Giải tích hàm đã tích luỹ
được một nội dung hết sức phong phú. Những phương pháp và kết quả
rất mẫu mực của giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán
học có liên quan và có sử dụng đến những công cụ của Giải tích. Ngoài
ra, nó còn có những ứng dụng trong vật lí lí thuyết và trong một số lĩnh
vực khoa học khác.

Sự xâm nhập ấy một mặt mở ra những chân trời rộng lớn cho các
ngành toán học nói trên, mặt khác nó còn đòi hỏi ngành Giải tích hàm
phải đúc kết những kết quả của những ngành toán học riêng rẽ để trong
chừng mực nào đó đề ra những mẫu toán học tổng quát và trừu tượng.
Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn
giải tích hàm, em đã chọn đề tài “Liên hợp của không gian C  a, b  ” làm
đề tài khoá luận tốt nghiệp. Nghiên cứu đề tài này chúng ta có thể thấy
được định lý cần và đủ của không gian liên hợp C  a, b  . Thông qua đó
thấy được vai trò quan trọng của nó trong nhiều vấn đề giải tích và ứng
dụng vào các lĩnh vực khác của toán học nói riêng và các lĩnh vực khoa
học khác nói chung.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu lí thuyết về định lý của không gian liên hợp C  a, b  và
một số ứng dụng để thấy được vai trò quan trọng của nó trong nhiều vấn

1


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

đề giải tích và ứng dụng vào các lĩnh vực khác của toán học nói riêng và
các lĩnh vực khoa học khác nói chung.
3. Đối tượng và nhiệm vụ nghiên cứu
Các kiến thức liên quan đến không gian tôpô, không gian metric,
không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian C  a , b  , hàm có
biến phân bị chặn, tích phân Riemann-Stieljes.
4. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng kết hợp các phương pháp nghiên cứu: nghiên cứu lí luận,

phân tích, tổng hợp, so sánh…
5. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các kiến thức liên quan đến định lý của không gian
liên hợp C  a, b  và một số ứng dụng của nó.
6. Bố cục luận văn
Phần mở đầu.
Nội dung khoá luận gồm hai chương:
Chương 1: Một số khái niệm và kết quả chuẩn bị
Chương 2: Liên hợp của không gian C  a, b 
Kết luận.

2


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ
1.1.Không gian định chuẩn, không gian Banach
1.1.1. Không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.1. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến
tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P cùng với một
ánh xạ từ X vào tập số thực R , kí hiệu là . thỏa mãn các tiên đề chuẩn
sau đây:
1) (x  X ), x  0, x  0  x  0;
2) (x  X ), (  P ),  x   x ;
3) (x, y  X ), x  y  x  y .
Số x gọi là chuẩn của véc tơ x . Ta kí hiệu không gian định chuẩn l X

Ví dụ 1.1. Cho không gian véctơ l2 . Đối với véctơ bất kỳ x  ( xn )  l2 ta
đặt:


x 

x

2

n

n 1

thì đây chính là một chuẩn trên l2 . Không gian chuẩn tương ứng kí hiệu
là l2 .
Định nghĩa 1.2: Ta nói chuẩn . 1 và . 2 trên không gian véctơ X là
tương đương nếu tồn tại hằng số C1, C2 thỏa mãn:
C1 . 1  . 2  C 2 . 1 .

3


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Chú ý:
Trong một không gian hữu hạn chiều, mọi chuẩn đều tương đương
nhau. Các chuẩn tương đương cùng sinh một tôpô. Điều này không còn

đúng trong không gian vô hạn chiều.
Định nghĩa 1.3: Một phép đẳng cấu giữa hai không gian tuyến tính định
chuẩn là một song ánh tuyến tính bị chặn.
Hai chuẩn . 1 và . 2 là tương đương  ánh xạ
id : ( X , . 1 )  ( X , . 2 )

là một đẳng cấu ( id liên tục và ánh xạ

ngược cũng liên tục).
Ví dụ 1.2
Mỗi không gian Hilbert tách được (tức tồn tại một cơ sở Hilbert
đếm được) đều đẳng cấu với l2 .
1.1.2. Không gian Banach
Định nghĩa 1.4: Một không gian Banach là một không gian tuyến tính
định chuẩn đầy đủ (tức là mọi dãy cơ bản đều hội tụ về một điểm nào đó
của không gian ấy).
Ví dụ 1.2
a) Không gian Hilbert là không gian Banach.
b) LP ( X , d  ) ,1  p   là không gian Banach.
Định nghĩa 1.5: (Toán tử tuyến tính bị chặn)
Một ánh xạ tuyến tính bị chặn (hay toán tử bị chặn) T giữa hai
không gian tuyến tính định chuẩn ( X 1 , . 1 ) và ( X 2 , . 2 ) là một ánh xạ
tuyến tính thỏa mãn  c  0 sao cho:
 x  X 1 , Tx

2

 c  Tx 1 .

Như đã biết từ trước đó, T bị chặn  T liên tục  T liên tục tại

một điểm.

4


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Ta định nghĩa chuẩn của toán tử là:
T  sup Tx 2 .
x 1 1

Bổ đề 1.1: Chuẩn của toán tử cũng là một chuẩn trên không gian
L( X , Y ) tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y.

Chứng minh:
Trước hết, ta chứng minh bất đẳng thức tam giác. Vì

. 2 là một

chuẩn nên ta có:

(T  S ) x

2

 Tx  Sx

 sup T x  Sx

x

 sup ( T x

2

1
1

 Tx

2

x

1
1

2

 Sx 2 ,
 Sx

2

2

)

Mà

sup ( T x
x 1 1

 Sx 2 )  sup T x

2

2

x 1 1

 sup Sx
x 1 1

 sup (T  S ) x 2  sup Tx 2  sup Sx
x 1 1

x 1 1

x 1 1

2

.

2

 T S  T  S .
Tiếp theo, ta chứng minh aT  a . T .
Thật vậy, ta có:

aT  sup aTx 2 .
x 1 1

Vì . 2 là một chuẩn nên: aTx 2  a Tx 2 . Mặt khác, với số dương
bất kì a thì sup a   a.sup 
 , do đó:

aT  sup aTx 2  sup a Tx
x 1 1

 a sup Tx
x 1 1

x 1 1

2

2

 a T .

Cuối cùng, ta chứng minh T  0  T  0 . Nói cách khác, ta phải
chứng minh Tx = 0 x  X1 . Ta thấy, T  0   x 1  1, Tx 2  0 . Theo

5


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

tính chất tuyến tính thì  x  X 1 , Tx 2  0 . Nhưng do . 2 là một chuẩn
nên Tx  0 , x  X1 . Do đó T  0 .
Định lý 1.1: Nếu Y là một không gian Banach thì L( X , Y ) cũng là một
không gian Banach.
Chứng minh :
Rõ ràng L( X , Y ) là không gian tuyến tính định chuẩn. Cho An là
dãy Cauchy các hàm trong L( X , Y ) khi đó:
An  Am  0 khi m, n  .
n , m 

Suy ra,  x  X ,  An ( x )  là dãy Cauchy. Do đó nó tồn tại giới hạn,
giả sử là A( x) . Khi đó ánh xạ x  A( x ) tuyến tính là điều rõ ràng. Bây
giờ, ta chứng minh tính bị chặn:
A( x) y  lim An ( x)  lim sup An . x
n 

X

Nhưng  An n N là dãy Cauchy. Do đó nó bị chặn đều bởi hằng số

C . Do đó, Ax  C . x X .
Vậy A  L( X , Y ) .
Cuối cùng, ta chứng minh rằng nó chính là giới hạn của dãy An :
( An  A)( x)  lim ( An  Am )( x )
m

 lim sup An  Am . x
m 

  (1) x

Vậy An  A

L ( X ,Y )

X

X

do An là dãy Cauchy.

 0 . Định lý được chứng minh.

6


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

1.1.3. Định lý Hahn-Banach
Định lý 1.2: Cho một phiếm hàm tuyến tính f xác định trên một không
gian con M của một không gian véctơ thực X . Nếu có một hàm dưới
tuyến tính  xác định trong X sao cho (x  M ) f ( x)   ( x) thì phải có
một phiếm hàm tuyến tính F ( x ) xác định trong toàn thể X sao cho:
1) F là khuếch của f , nghĩa là: (x  M ) F ( x)  f ( x) .
2) (x  X ) F ( x)   ( x) .
Hệ quả 1.1: Một phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên một

không gian con M của không gian định chuẩn X bao giờ cũng có thể
khuếch thành một phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên X , mà có
F  f .

Hệ quả 1.2: Cho không gian định chuẩn X . Với mỗi phần tử khác không

x0  X tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên toàn
không gian X sao cho f ( xo )  xo và f  1 .
1.1.4. Không gian liên hợp
Định nghĩa 1.6 : Cho X là một không gian định chuẩn. Không gian liên
hợp (hay còn gọi là không gian đối ngẫu) của X , ký hiệu X * là tập hợp
tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X .
Định lý 1.3 : (Định lý Riesz) Cho H là một không gian Hilbert thực. Khi
đó, với mọi

F H

thì tồn tại duy nhất hàm

cho F ( x )  f , x , x  H . Hơn nữa f  F .
Trường hợp đặc biệt ta coi H * là H . Ví dụ:
a) ( L2 )  L2 .
*

b)  l2   l2 .

7

f  H sao












