Độ đo xác suất trên không gian metric

Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

TRƢỜNG ĐẠI HọC SƢ PHẠM Hà NỘI 2
KHOA TOÁN
********************

VŨ TRƢỜNG GIANG

ĐỘ ĐO XÁC SUẤT
TRÊN KHÔNG GIAN METRIC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

hà nội – 2009
Vũ Trường Giang

2

K31B CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ của các thầy
cô giáo cùng các bạn sinh viên, khóa luận của em đến nay đã được hoàn

thành. Em xin bày tỏ long biết ơn sâu sắc của mình đến thầy giáo Nguyễn
Trung Dũng đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn
thành khóa luận này.
Em xin trân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô trong
khoa và các thầy cô trong tổ Toán ứng dụng trường Đại học Sư phạm Hà Nội
2, sự động viên, giúp đỡ, đóng góp ý kiến của bạn bè đã dành cho em trong
suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận.
Do thời gian có hạn và chưa có kinh nghiệm trong công tác nghiên cứu
khoa học nên khóa luận của em không tránh khỏi những thiếu xót. Rất mong
nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn để khóa luận của em
được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2009
Sinh viên

Vũ Trường Giang

Vũ Trường Giang

3

K31B CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

LờI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp đại học này là thành quả của
riêng cá nhân tôi, nó không trùng lặp với bất kì đề tài nào đã được công bố.

Nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.

Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2009
Sinh viên

Vũ Trường Giang

Vũ Trường Giang

4

K31B CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2
mục lục

Lời nói đầu .................................................................................................. 3
Chƣơng 1. Kiến thức chuẩn bị .................................................................. 6
1.1. Tập Borel ...................................................................................... 6
1.2. Độ đo xác suất Borel.................................................................... 8
1.3. Sự hội tụ yếu của độ đo ................................................................ 15
1.4. Metric Prokhorov .......................................................................... 20
Chƣơng 2. Định lý Riesz và định lý Prokhorov........................................ 29
2.1. Định lý Prokhorov ........................................................................ 29
2.2. Định lý Riesz ................................................................................ 38
2.3. Định lý Riesz trong không gian không compact .......................... 44
Kết luận ....................................................................................................... 50

Tài liệu tham khảo ..................................................................................... 51

Vũ Trường Giang

5

K31B CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2
lời nói đầu

Toán ứng dụng là một ngành toán học có ý nghĩa rất to lớn và chiếm
một vị trí quan trọng. Nó là cầu nối để đưa những kết quả được nghiên cứu
trên lý thuyết của giải tích, đại số, hình học vào ứng dụng trong các ngành
khoa học khác và thực tế cuộc sống.
Lý thuyết xác suất là một bộ môn có ứng dụng rất rộng rãi trong các
ngành khoa học tự nhiên, khoa học xã hội và thực tế cuộc sống. Nó là công cụ
để giải quyết các vấn đề chuyên môn của nhiều lĩnh vực như kinh tế, sinh học,
tâm lý – xã hội. Do đó bộ môn này được đưa vào giảng dạy ở hầu hết các
trường đại học, cao đẳng.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về bộ môn xác suất em đã chọn đề
tài: “Độ đo xác suất trên không gian metric”. Nghiên cứu đề tài này giúp
chúng ta có cơ hội tìm hiểu sâu hơn về độ đo xác suất trên không gian metric
tổng quát và trên một số không gian đặc biệt.
Nội dung của khóa luận bao gồm
Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị.
Trong chương này trình bày về khái niệm và các tính chất của tập

Borel, độ đo xác suất Borel, sự hội tụ yếu của độ đo và metric Prokhorov.
Chƣơng 2: Định lý Prokhorov và định lý Riesz
Nội dung của chương nay là định lý Prokhorov, định lý Riesz và định
lý Riesz trong không gian không compact.

Vũ Trường Giang

6

K31B CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Chƣơng 1. kiến thức chuẩn bị
1.1.Tập Borel
Định nghĩa 1.1
Cho  X, d  là không gian metric.   đại số Borel B  B  X  là   đại số
nhỏ nhất trong X mà có chứa tất cả các tập con mở của X. Các phần tử của B
được gọi là tập Borel của X.
Định nghĩa 1.2
Không gian metric  X, d  được gọi là tách được nếu nó có tập con đếm
được trù mật, tức là tồn tại x1, x2,... trong X sao cho  x1, x2 ,...  X ( A - bao
đóng của A là tập đóng nhỏ nhất chứa A trong X.
Bổ đề 1.1. Nếu X là không gian metric tách được, khi đó trùng với   đại số
sinh bởi tất cả các các hình cầu mở (hoặc đóng) của X.
Chứng minh. Kí hiệu
A    đại số sinh bởi các hình cầu mở (hoặc đóng) của X.

Hiển nhiên A  B .
Giả sử D là tập đếm được trù mật trong X. U  X là mở. Với x U , lấy

r  0 , r  sao cho B x, r   U ( B x, r  là hình cầu mở hoặc đóng với tâm
là

x

và

bán

kính

r)

và

lấy

yx  D  B x, r / 3 .

Khi

đó

x  B yx , r / 2  B x, r  . Đặt rx  r / 2 . Khi đó
U  B yx , rx  : x  U

Vũ Trường Giang

7

K31B CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

là hợp đếm được. Thành ra U  A suy ra B  A .
Bổ đề 1.2. Cho  X, d  là không gian metric tách được. C  B là đếm được.
Nếu C tách rời các hình cầu đóng với các điểm, nghĩa là với mọi hình cầu
đóng B và x  B thì tồn tại C C sao cho B  C và x  C , khi đó   đại số
sinh bởi C là   đại số Borel.
Chứng minh.
Hiển nhiên   C  B , trong đó   C là   đại số sinh bởi C . Lấy B là
hình cầu đóng trong X . Khi đó B  C  C: B  C là giao của đếm được
các phần tử của   C . Theo bổ đề trên ta nhận được B    C .
Định nghĩa 1.3
Nếu f : S T và AS, AT tương ứng là   đại số trong S và T, khi đó f
được gọi là đo được nếu

f 1  A   x  S: f  x   A AS với mọi A AT .
Mệnh đề 1.1. Cho  X, d  là không gian metric. B  X  là   đại số nhỏ nhất
sao cho với mọi hàm (giá trị thực) liên tục trên X là đo được.

Vũ Trường Giang

8

K31B CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

1.2. Độ đo xác suất Borel
Định nghĩa 1.4.
Cho  X, d  là không gian metric. Một độ đo Borel hữu hạn trên X là ánh
xạ  : B  X  [0, ) sao cho
1. μ     0 ,
2. A1, A2,... B rời nhau  μ

 A   


i 1

i


i 1

μ  Ai  ,

3.   X  1.
Bổ đề 1.3. Cho X là không gian metric và  là độ đo hữu hạn trên X. Cho

A1, A2 ,... là dãy các tập Borel. Khi đó ta có

(1) Nếu A1  A2  ... và A   i 1 Ai , thì   A  limn   An  .


(2) Nếu A1  A2  ... và A   i 1 Ai , thì   A  limn   An  .


Bổ đề 1.4. Nếu  là một độ đo Borel hữu hạn trên X và A là một họ các tập
Borel rời nhau của X, khi đó có nhiều nhất đếm được các phần tử của A có
độ đo μ khác 0.

m  1, đặt Am   A  A :   A  1/ m . Với mọi

Chứng minh. Với

A1, A2,...Am phân biệt ta có



k



  X      Ai     A1     A2   ...    Ak   k / m ,
 i 1



Do đó Am có nhiều nhất m  X  phần tử. Vậy

Vũ Trường Giang

9

K31B CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2


A A :   A  0   A
m1

m

là đếm được.
Ví dụ. Nếu  là một độ đo Borel trên  , khi đó   t   0 với mọi t trừ nhiều
nhất đếm được t  .
Mệnh đề 1.2. Mọi độ đo Borel hữu hạn trên X là chính quy, tức là với mọi

BB .

  B  sup  C : C  B, C ®ãng ( chÝnh quy trong)
 inf  U  : U  B, U më

(chÝnh quy ngoµi).

Chứng minh. Tập R được xác định bởi

A R 

  A  sup  C : C  A, C ®ãng vµ
  A  inf  U  : U  A, U më.

Ta chứng tỏ rằng R chứa các tập Borel. Bước 1: R là  _đại số: R . Giả
sử

AR

và   0 . Lấy C đóng và U mở với C  A  U

và

  A    C     A   U    . Khi đó U c  Ac  Cc , U c đóng, Cc mở
và

  Ac     X    A    X     C      Cc    ,

  Ac     X    A    X    U      U c    .
Do đó Ac  R .
Giả sử A1, A2,...R và   0 . Với mỗi i lấy

Vũ Trường Giang

10

K31B CN Toán

Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Ui mở, Ci đóng với
Ci  A  Ui ,

 Ui     Ai   2i  ,   Ai     Ci   2i  / 2.
Khi đó

 C  A  U ,  U
i

i

i

i



i









i

i

i

là mở và







 i 1







i 1



  Ui      Ai     Ui \  Ai 


i

i


 
    Ui \ Ai      Ui \ Ai 
 i 1
 i 1




i 1

i 1

    Ui     Ai     2i    .

 
 k 
Hơn nữa    Ci   limk    Ci  , do đó với k đủ lớn nào đó,
 i 1 
 i 1 
k

 
 k 
   Ci      Ci    / 2 . Khi đó C  i 1 Ci  i 1 Ai , C đóng và

 i 1 
 i 1 



















   Ai     C     Ai      Ci    / 2
 i 1



 i 1 
 i 1 




    Ai \  Ci    / 2
i 1
 i 1



     Ai \ Ci     / 2
 i 1



    Ai \ Ci    / 2
i 1

Vũ Trường Giang

11

K31B CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2


     Ai     Ci     / 2   / 2   / 2   .
i 1

Do đó




i 1

Ai  R . Vậy R là  _đại số

Bước 2. R chứa tất cả các tập mở. Ta chứng tỏ rằng R chứa tất cả các tập
mở.

Giả

sử

A X

là

đóng.

Un   x  X : d  x, A  1/ n   x  X : a  A ví i d  a, x   1/ n ,
Khi đó Un là mở, U1  U2  ... , và





Đặt

n  1,2,... .

Ui  A , do A là đóng. Do đó

i 1

  A  limn  Un   infn  Un  . Như vậy
  A  inf  U  : U  A,U më  inf  Un     A .
n

Do đó AR .
Kết luận: R là  _đại số mà chứa tát cả các tập mở, do đó R  B .
Hệ quả 1.1. Nếu  vµ  là các độ đo hữu hạn trên không gian metric X và

  A    A với mọi A đóng (hoặc A mở), khi đó    .
Định nghĩa 1.5. (Độ đo Radon)
Một độ đo Borel hữu hạn  trên X được gọi là độ đo Radon nếu với mọi

  0 tồn tại tập compact K  X sao cho   X \ K    , hay nói cách khác

  X    X   .
Hệ quả 1.2. Nếu  là độ đo Radon trên không gian metric X, khi đó

  A  sup  K  : K  A, K _compact

Vũ Trường Giang

12

K31B CN Toán

Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

với mọi tập Borel A trong X.
Chứng minh. Với mỗi   0 lấy tập compact K sao cho   X \ K    .
Khi đó

  A  K     A \ Kc     A    Kc     A  
và

  A  K   sup  C : C  K  A, C ®ãng
 sup  K  : K  A, K compact,

Vì mọi tập con đóng chứa trong tập compact là compact. Kết hợp lại ta có
điều phải chứng minh.
Hiển nhiên, nếu  X, d  là một không gian metric compact, khi đó mọi độ đo
Borel hữu hạn trên X là độ đo Radon. Không gian metric tách được đầy đủ đôi
khi được gọi là không gian Polish.
Định lý 1.1. Nếu  X, d  là không gian metric tách được đủ, khi đó mọi độ đo
Borel hữu hạn trên X là độ đo Radon.
Bổ đề 1.5. Nếu  X, d  là không gian metric đủ, khi đó một tập đóng K trong

X là compact khi và chỉ khi hoàn toàn bị chặn, tức là với mọi   0 tập K bị
phủ bởi hữu hạn hình cầu (mở hoặc đóng) bán kính bé hơn hoặc bằng  .
Chứng minh. ] Hiển nhiên: phủ K bởi tất cả  -hình cầu với tâm trong K
có phủ con hữu hạn.

Vũ Trường Giang

13

K31B CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

] Giả sử  xn n là một dãy trong K. Với mỗi m 1 có hữu hạn 1 / m -hình
cầu phủ K, ít nhất một trong số chúng chứa xn với n nhiều vô hạn. Với m 1
lấy hình cầu B1 với bán kính  1 sao cho N1  n : xn  B1 là vô hạn, và lấy
n1  N1 .

Lấy

hình

cầu

B2

với

bán

kính

 1/ 2

sao

cho

N2  n  n1 : xn  B2  B1 là vô hạn, và lấy n2  N2 . Lấy B3 , bán kính
 1 / 3, N3  n  n2 : xn  B3  B2  B1 là vô hạn, n3  B3 . Và cứ tiếp tục như

vậy.

 

Theo cách đó xnk

k

 

là dãy con của  xn n và vì xnl  Bk với mọi l  k , xnk

 

dãy Cauchy. Do X là không gian đủ, xnk

k

k

là

hội tụ trong X và do K đóng, giới

hạn thuộc K. Như vậy  xn n có dãy con hội tụ và K là compact.
Chứng minh định lý 1.1. Ta chứng minh rằng với mọi   0 tồn tại tập
compact K sao cho   X \ K    . Giả sử D  a1, a2 ,... là một tập con đếm
được trù mật của X. Khi đó với mỗi   0 ,

  X   limn 



n
k1




k1

B ak ,   X . Do đó



B ak ,  với mọi   0 . Cho   0 , khi đó với mọi

m 1 tồn tại nm sao cho
 nm

   B ak ,1/ m     X   2 m .

 k1

Đặt
 nm

K   B ak ,1/ m .
m1 k1

Vũ Trường Giang

14

K31B CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khi đó K là đóng và với mỗi   0 ,
nm

nm

k1

k1

K   B ak ,1/ m   B ak , 

nếu ta chọn m  1/  . Vậy theo bổ đề K là compact. Hơn nữa
nm
nm
 
  

  X \ K       X \  B ak ,1/ m       X \  B ak ,1/ m 
k1
k1
  m1 

 m1


 nm
   m
     X      B ak ,1/ m     2    .


m1 
 k1
  m1


Vũ Trường Giang

15

K31B CN Toán

Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

1.3. Sự hội tụ yếu của độ đo
Cho  X, d  là không gian metric và kí hiệu

Cb  X   f : X   : f lµ liªn tôc vµ bÞchÆ
n .
Mọi f  Cb  X là khả tích với độ đo Borel hữu hạn bất kì trên X.
Định nghĩa 1.6 Cho , 1, 2 ,... là các độ đo Borel hữu hạn trên X. Ta nói
rằng  i i hội tụ yếu tới  nếu

 fd   fd
i

khi i   với mọi f  Cb  X .

Kí hiệu i   . (Có nhiều nhất một giới hạn  như vậy, điều đó được kéo
theo từ việc metric hóa bởi metric Prokhorov, mà sẽ được đề cập tới ở phần
tiếp theo.)
Định lí 1.2 Cho  X, d  là không gian metric, , 1, 2 ,... là các độ đo Borel
xác suất trên X . Các khẳng định sau đây là tương đương.
(a) i  
(b)

 gd

i

  gd với mọi gUCb  X   { f : X   : f là liên tục

đều và bị chặn}
(c) limsupi  i  C    C với mọi C  X đóng
(d) liminfi  i U    U  với mọi U  X mở
(e) i  A    A với mọi tập Borel A trong X với   A  0 .

(A  A \ A0 ).
Chứng minh.  a   b là hiển nhiên
Vũ Trường Giang

16

K31B CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

 b   c : Giả sử C là tập đóng khác rỗng. Đặt Um  x : d  x, C  1/ m ,
m 1. (Trong đó d  x, A  inf aA d  x, a nếu A   và “ d  x,    ”.) Khi
đó Umc là đóng và
inf d  x, y  1/ m

c
xC,yUm

Do đó tồn tại fm UCb  X với 0  fm  1 trên X , fm  1 trên C, và fm  0

trên U . (Thật vậy fm 
c
m



d x,Umc



d x,U

c
m



  d  x, C

là hàm cần tìm.) Vì

i  C   1C di   fmdi ,
từ giả thuyết (b) ta có
limsup i  C  limsup  fmdi   fmd   1Um d   Um  .
i 

Vì





i 

Um  C (từ C là đóng) ta thấy

m1

  C  lim  Um   limsup i  C .
m

i 

 c   d : Sử dụng phần bù



    1  limsup  U 
 1   U     X    U    U  .

liminf i U   liminf i  X   i U c
i 

i 

c

c

i 

i

c

 d   c : Tương tự

Vũ Trường Giang

17

K31B CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

 c   d   e :

Trường ĐHSP Hà Nội 2

A0  A  A, A0 là mở và A là đóng, như vậy theo (c) và

(d)

   

limsup i  A  limsup i A   A    A  A
   A    A    A ,

 

 

liminf i  A  liminf i A0   A0    A \ A
   A    A    A ,

Do đó i  A    A .

 e   a : Cho

g Cb  X . Giả sử ta có

 fd   fd
i

đúng với các hàm

đơn giản; ta muốn hàm g gần đúng có được  gdi   gd .
Đặt

  E   x : g x   E    g1  E  , E là tập Borel trong  .
Khi đó  là độ đo Borel hữu hạn (độ đo xác suất) trên  và nếu ta lấy

a   g  , b  g  , khi đó    \  a, b   0 . Do  là hữu hạn, tồn tại nhiều
nhất đếm được  với     0 . Do đó với   0 , tồn tại t0 ,..., tm  sao
cho
(i)

a  t0  t1  ....  tm  b ,

(ii)

t j  t j 1   , j  1,..., m,

(iii)

 t j   0 , tức là   x : g x   t j   0 , j  0,..., m.

 





Đặt

Vũ Trường Giang

18

K31B CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Aj  x  X : t j 1  g x   t j   g1 [ t j 1, t j )  , j  0,..., m.
Khi đó Aj B  X với mọi j và X   j 1 Aj . Hơn nữa
m

Aj  x : t j 1  g x   t j  ( vì đây là tập đóng và chứa Aj ),
Aj0  x : t j 1  g x   t j  ( vì đây là tập mở chứa trong Aj ),
Như vậy


 

   x : g x   t     x : g x   t   0  0.

  Aj    A j \ Aj0    x : g x   t j 1 hoÆ
c g x   t j 
j 1

j

Do đó theo (e), i  Aj     Aj  khi i   với j  1,..., m. Đặt
m

h   t j 1 Aj ,
j 1

khi đó h x   g x   h x    với mọi x  X . Do đó

 gd    gd     g  h  d    hd     g  h  d    hd 
  g  h d    hd    hd    g  h d 
j

j

j

j

  j  X  

Điều

đó

 gd 

i

kéo

theo

j

 t    A     A      X 
m

j 1

j 1

i

j

j

limsupi  gd i   gd   2 .

Vậy

  gd  khi i  

Vũ Trường Giang

19

K31B CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Nhận xét. Điều kiện các độ đo xác suất , 1, 2 ,... trong định lí trên có thể
thay thế bởi điều kiện là độ đo Borel hữu hạn sao cho i  X     X  khi

i  .

Vũ Trường Giang

20

K31B CN Toán

Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

1.4. Metric Prokhorov
Cho  X, d  là không gian metric. Kí hiệu

P  P  X  tất cả các độ đo xác suất trên X .
Ta có định nghĩa về sự hội tụ yếu trong P . Định nghĩa với , P ,

dP   ,   inf   0:   A    A    vµ   A    A    A B  X  ,
trong đó

A   x : d  x, A    nếu A   và    với mọi   0 .
( ở đây d  x, A  inf d  x, a : a  A .) Hàm dP được gọi là metric Prokhorov
trên P (cảm sinh bởi d) mà sẽ được kiểm chứng ở định lý tiếp theo. Nếu X là
tách được, khi đó sự hội tụ theo metric chính là sự hội tụ yếu trong P .
Định lý 1.3. Cho  X, d  là không gian metric.
(1) dP là metric trên P  P  X  .
(2) Cho , 1, 2,...P . Khi đó dP  i ,    0 kéo theo i   .
Chứng minh. (1) Với mọi   1 thuộc vào tập hợp của định nghĩa công thức
của dP , như vậy cận dưới đúng được xác định. Hiển nhiên dP  ,   0 và

dP  ,   dP  ,   với mọi , P .

dP  ,    0: Giả sử  P . Với mọi tập Borel A và   0 , A  A , như
vậy   A    A    , do đó dP  ,     , từ đó dP  ,    0 .

Vũ Trường Giang

21

K31B CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

dP  ,   0     : Nếu dP  ,   0 , khi đó tồn tại một dãy  n  0 sao

 

 

cho   A   An   n và   A   An   n với mọi n . Do A   n An ,

 

 

điều đó kéo theo   A   A và   A   A . Đặc biệt ,   A    A với
mọi tập đóng A và vì vậy    ( theo hệ quả 1.1).
Bất đẳng thức tam giác: Cho , , P . Cho   0 sao cho

  A    A    ,   A    A   với mọi AB
và   0 sao cho

  A    A    ,   A    A    với mọi AB .
Khi đó với AB

 A      
  A    A        A      
  A    A     


 

 

Bây giờ chú ý rằng  A   A  .( Thật vậy, x   A   d  x, A    

y  A : d  x, y  

và

y  A  a A : d  y, a   ,

như

vậy

d  x, a  d  x, y  d  y, a     , và x  A   .) Hiển nhiên ta cũng có

A 

 

 A   . Do đó với mọi AB ,

  A    A        ,

  A    A        .

Vũ Trường Giang

22

K31B CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Do đó theo định nghĩa, dP  ,      . Để ý rằng cận dưới đúng của  là

dP   ,  và cận dưới đúng của  là dP  ,  . Như vậy lấy cận dưới đúng của

   thu được
dP  ,   dP  ,   dP ,  .
(1) đã được chứng minh.
(2) Giả sử rằng dP  i ,    0 khi i   . Khi đó tồn tại  i  0 với

i  A    A    i và   A  i  A   i với mọi AB . Do đó với
i

i

AB ,

  

limsup i  A  limsup  Ai   i
i 

i 

 



 

 lim  Ai   A .
i 

Đặc biệt với mọi tập đóng C  X , limsupi  i  C    C và vì vậy

i  .
Định lý 1.4. Nếu

 X, d 

là không gian metric tách được, khi đó với mọi

, 1, 2,...P  X ta có
i   khi và chỉ khi dP  i ,    0 .

Để chứng minh định lý này ta cần một bổ đề về sự tồn tại của phủ đặc biệt với
các hình cầu nhỏ.

Vũ Trường Giang

23

K31B CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Bổ đề 1.6. Cho  X, d  là không gian metric tách được và  là một độ đo
Borel hữu hạn trên X. Khi đó với mỗi   0 tồn tại đếm được các hình cầu
mở (hoặc đóng) B1, B2 ,... sao cho


B  X,
i 1

i

bán kính của Bi là nhỏ hơn  với mọi i ,

  Bi   0 với mọi i.
Chứng minh. Giả sử D là tập đếm được trù mật trong X . Cho x  D . Đặt

S x, r   y  X : d  y, x   r  . Ta thấy rằng biên của hình cầu mở hoặc đóng

tâm tại x và bán kính r chứa trong S x, r  .   0 cho trước, họ

S  S x, r  :  / 2  r    là rời nhau và vì thế có nhiều nhất đếm được các
phần tử có độ đo  lớn hơn 0. Do S là không đếm được, tồn tại r   / 2, 
sao cho   S x, r    0 . Theo cách này ta thấy với mỗi x  D có một hình cầu
mở (hoặc đóng) B x, r  tâm tại x

với bàn kính r   / 2,  và

  B x, r    0 . Do D là trù mật nên các hình cầu là một phủ của X , và do D
là đếm được nên ta có đếm được các hình cầu B1, B2 ,...
Chứng minh định lý 1.4. ] đã được chứng minh

] Cho   0 . Ta muốn chỉ ra rằng tồn tại N sao cho với mọi i  N ta
có dP  i ,     bằng cách chỉ ra i  B    B    và   B  i  B   
với mọi BB .

Vũ Trường Giang

24

K31B CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Lấy   0 với    / 3 và sử dụng bổ đề trên ta có các hình cầu mở
B1, B2 ,... với bán kính   / 2 sao cho




j 1

 

Bj  X và  Bj  0 với mọi j.

Xác định k sao cho

 k 
   Bj   1   .
 j 1 
Chú ý rằng họ các tập hợp mà có thể xây dựng được bởi tổ hợp các hình cầu
B1,..., Bk



A   Bj : J  1,..., k ,
 jJ

là một họ hữu hạn. Ta sẽ coi họ này như các tập Borel tùy ý. Với mỗi AA ,
A  B1  ...  Bk , do đó   A    B1   ...    Bk   0 . Vì i   , ta

có i  A    A với mọi AA . Xác định N sao cho

i  A    A   với mọi i  N và mọi AA .
Khi đó trong trường hợp đặc biệt i

 B     B     1 2
k

j 1

k

j

j 1

j

với

mọi i  N .
Bây giờ giả sử BB cho trước. Coi B gần đúng với tập hợp

A  Bj : j 1,..., k sao cho Bj  B   A .
Ta thấy
• A  B   x : d  x, B    vì đường kính của mỗi Bj là   ,

Vũ Trường Giang

25

K31B CN Toán

Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

k

• B   B   j 1 Bj    B 

 

 B 
k

j 1

c

j


  A 

 B 
k

j 1

c

j

k

vì B   j 1 Bj

  j 1 B  Bj   A ,
k

• i  A    A   với mọi i  N ,


• 




k

 j 1 Bj



c



   , i 





k

 j 1 Bj

   2 với mọi i  N .
c

Do đó với mọi i  N

  k c 
  B    A      Bj      A    i  A  2
  j 1  


 i  B   2  i  B    ,
  k c 
i  B  i  A  i    Bj    i  A  2    A  3
  j 1  


   B   3    B    .
Điều này đúng với mọi BB , như vậy dP  i ,     với mọi i  N .
Mệnh đề 1.3. Cho  X, d  là không gian metric tách được. Khi đó P  P  X 
với metric Prokhorov dP là tách được.
Chứng minh. Giả sử D  a1, a2 ,... là tập đếm được trù mật trong X . Đặt
k



M  1 a1  ...   k ak : 1,..., k     0,1,  j  1, k  1,2,... .
j 1



Vũ Trường Giang

26

K31B CN Toán