Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp m

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

LỜI CẢM ƠN

Sau thời gian cố gắng làm việc, dưới sự hướng dẫn tận tình của
thạc sỹ Trần Thị Hoa Lý, khóa luận của em đã hoàn thành. Em xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc tới cô Trần Thị Hoa Lý người đã giúp đỡ hướng dẫn em
trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và làm khóa luận này.
Em cũng xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Giáo dục
chính trị, cùng các thầy cô giáo trong khoa đã tạo điều kiện thuận lợi giúp em
trong thời gian viết khóa luận.

Tạ Thị Ngọc Tuyết

1

Lớp K32D Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận với đề tài : “ Một số giải pháp đẩy mạnh phát triển ngoại
thương trong giai đoạn hiện nay”, là kết quả nghiên cứu của cá nhân tôi dưới
sự hướng dẫn của Thạc sỹ Trần Thị Hoa Lý. Tôi cam đoan rằng khóa luận tốt
nghiệp của mình không trùng với kết quả của các công trình nghiên cứu đã

công bố trước đó

Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2010
Sinh viên thực hiện:

Vương Thị Thúy Lệ

Tạ Thị Ngọc Tuyết

2

Lớp K32D Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

MỤC LỤC
Phần mở đầu ………………………………………………………………1
Phần nội dung chính……………………………………………………….5
Chương 1: Lý luận cơ bản về ngoại thương ……………………………. .5
1.1 Khái niệm ngoại thương………………………………………………5
1.2 Vai trò của ngoại thương ……………………………………………...7
1.3 Quan điểm của Đảng ta về ngoại thương ……………………………16
1.4 Kinh nghiệm phát triển ngoại thương ở một số nước trên thế giới …16
Chương 2 Thực trạng ngoại thương ở Việt Nam hiện nay ………………20
2.1 Những thành tựu và hạn chế của ngoại thương ở nước ta hiện nay …20
2.2 Nguyên nhân của ngoại thương ở nước ta hiện nay ………………….34
Chương 3: Một số giải pháp đẩy mạnh phát triển ngoại thương ở Việt Nam

hiện nay ………………………………………………………………….38

Phần kết luận ………………………………………………………………46
Danh mục tài liệu tham khảo ……………………………………………….47

Tạ Thị Ngọc Tuyết

3

Lớp K32D Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

LỜI MỞ ĐẦU
Toán học là một môn khoa học gắn liền với thực tiễn. Sự phát triển của
toán học được đánh dấu bởi những ứng dụng của toán học vào việc giải quyết
các bài toán thực tiễn. Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp rất nhiều
bài toán có liên quan đến phương trình đạo hàm riêng. Tuy ra đời khá muộn
so với các ngành toán học khác nhưng phương trình đạo hàm riêng đã nhanh
chóng khẳng định được vị trí và tầm quan trọng của mình trong khoa học nói
chung và toán học nói riêng.
Quá trình nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng được khởi đầu
bởi việc nghiên cứu những phương trình đạo hàm riêng thường gặp trong lĩnh
vực vật lý và cơ học. Chẳng hạn như phương trình Laplace, phương trình
truyền sóng, phương trình truyền nhiệt…Đó là các phương trình đại diện cho
các lớp phương trình thuộc loại Elliptic, Hyperbolic và Parabolic. Để có thể
nghiên cứu dễ dàng hơn về nghiệm của các bài toán biên của các phương trình

đạo hàm riêng thì đầu tiên chúng ta cần phân loại chúng. Chính vì lý do đó mà
em đã chọn đề tài: “Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp
m”.
Khóa luận gồm 4 chương:
 Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị
 Chương 2: Một số bài toán vật lý dẫn đến các phương trình đạo
hàm riêng
 Chương 3: Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai
 Chương 4: Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp m.

Tạ Thị Ngọc Tuyết

4

Lớp K32D Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Chƣơng 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Khái niệm đạo hàm riêng
Giả sử e1, e2 ,..., en là cơ sở chính tắc trong không gian  n , U là một tập hợp
mở trong  n và f : U   là một hàm số của n biến số, x  ( x1,..., xn ) U .
Giới hạn
lim
t 0

f ( x  tei )  f ( x)
t

nếu nó tồn tại thì được gọi là đạo hàm riêng thứ i của hàm f tại x hay đạo
hàm riêng theo biến xi của hàm f tại x và ký hiệu là Di f ( x) hay

f
( x)
xi

hoặc f xi ( x) .
Nếu hàm f có tất cả các đạo hàm riêng Di f ( x) (i  1,2,..., n) tại mọi điểm

x U và các đạo hàm riêng này là những hàm liên tục trên U thì ta nói rằng
f thuộc lớp C 1 trên U ký hiệu là f  C1 (U ) .

1.2. Không gian hàm
- Phần tử   (1,..., n )  n được gọi là đa chỉ số. Cấp của  là:

  1   2  ...   n .
- Ký hiệu:


 u
D u  1 2
.
x1 x2 ...xnn


Tạ Thị Ngọc Tuyết

5

Lớp K32D Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2


Ví dụ: +   (1,0,...,0) thì D u 

u
.
x1

 3u
+   (0,1,2,...,0) thì D u 
.
x2x32


k

- Với k  1,2,3,... ta ký hiệu D u là tập hợp tất cả các đạo hàm riêng cấp k
của u.

D k u  {D u /   k} .
- Ta có  là miền trong  n tức là một tập mở liên thông. Ký hiệu C k () là

tập hợp tất cả các hàm có đạo hàm liên tục đến cấp k trong miền  ,

0 k .
1.3. Khái niệm phƣơng trình đạo hàm riêng tuyến tính
- Phương trình vi phân đạo hàm riêng là phương trình liên hệ giữa ẩn hàm

u( x1, x2 ,..., xn ) , các biến độc lập ( x1, x2 ,..., xn ) và các đạo hàm riêng của nó.
Nó có dạng:

u
u
ku
F ( x1, x2 ,..., xn , u, ,..., ,..., k1 kn ,...)  0 .
x1 xn x1 ...xn
Cấp của phương trình là cấp cao nhất của đạo hàm riêng của u, có mặt trong
phương trình, chẳng hạn:
+ Phương trình cấp một của hàm 2 biến có dạng

F ( x, y , u ,

u u
, )  0.
x y

+ Phương trình cấp hai của hàm 2 biến có dạng

u u  2u  2u  2u
F ( x, y, u, , , 2 ,
,
)0

x y x xy y 2

Tạ Thị Ngọc Tuyết

6

Lớp K32D Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

- Phương trình đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính nếu như nó tuyến tính
với ẩn hàm và tất cả các đạo hàm riêng của nó.
Ví dụ: Phương trình tuyến tính cấp 2 của hàm 2 biến u  u ( x, y ) có dạng

 2u
 2u
 2u
u
a( x, y) 2  2b( x, y)
 c( x, y) 2  d ( x, y)
x
xy
y
x
 e( x, y )

u

 f ( x, y )u  g ( x, y )
y

trong đó a, b, c, d , e, f , g là các hàm đã cho.

1.4. Hàm ẩn
1.4.1. Định nghĩa
Giả sử hai biến x   n , y   m liên hệ với nhau bởi một phương trình dạng
F ( x, y )  0 trong đó F :  n   m   m là một hàm đã cho. Nếu với mỗi giá

trị x U   n có tương ứng một và chỉ một y V   m sao cho F ( x, y )  0
thì ta nói hệ thức F ( x, y )  0 xác định một hàm ẩn f : U  V sao cho
F ( x, f ( x))  0 với x U .

+ Ví dụ: Từ hệ thức x5  y5  1 ta xác định được y  5 1  x5 . Ta nói rằng
y  5 1  x5 là hàm ẩn xác định từ hệ thức đã cho.

1.4.2. Định lý về hàm ẩn
Giả sử U là tập mở trong  n   m và f  ( f1,..., f m ) : U   m , f  C1 (U ) ,
(a, b) U và f (a, b)  f (a1,..., an , b1,..., bm )  0 .

Tạ Thị Ngọc Tuyết

7

Lớp K32D Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

 fi

(
a
,
b
)

Giả sử M là ma trận vuông cấp m 

y
j

1i , j m
Khi đó nếu det M  0 thì tồn tại một tập mở A   n chứa a và một tập mở

B   m chứa b sao cho đối với bất kỳ x  A có duy nhất g ( x)  B thỏa mãn
điều kiện f ( x, g ( x))  0 . Hàm g : A  B là khả vi và g  a   b .

Tạ Thị Ngọc Tuyết

8

Lớp K32D Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Chƣơng 2
MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÝ DẪN ĐẾN CÁC PHƢƠNG TRÌNH
ĐẠO HÀM RIÊNG
2.1. Phƣơng trình dao động của dây
Xét sợi dây nhỏ căng thẳng theo chiều trục 0x . Khi sợi dây dao động, ta
nghiên cứu quy luật dao động của nó. Giả thiết sợi dây có lực căng T, trọng
lượng xấp xỉ bằng 0 và khi dao động các phần tử vật chất của sợi dây chuyển
động thẳng góc với trục 0x .
+ Độ lệch của các phần tử vật chất tại điểm M so với vị trí cân bằng của nó là:
u  u ( x, t ) .

+ Tại t  t0 thì u  u( x, t0 )  f ( x) .
 2u
u
Giả thiết u ( x, t ) và
rất nhỏ khiến 2  0 .
x
x

- Xét một đoạn dây bất kỳ giới hạn bởi 2 điểm M 1, M2 với hoành độ x1, x2 .

 M là:
Khi đó dộ dài của đoạn dây M
1
2
x2

l    1  u x2 dx  x2  x1  l ,

x1

 M khi ở vị trí cân bằng.
với l là độ dài đoạn M
1
2
Do đó theo định lý Húc thì T = T0 = const.
+ Gọi p ( x, t ) là ngoại lực tác động vào dây,  ( x) là tỉ trọng dài của sợi dây.
Theo nguyên lý vật lý ta có u thỏa mãn phương trình:
 2u
 2u
 ( x) 2  T0 2  p( x, t ) .
t
x

(2.1.1)

Đây là phương trình dao động của dây.

Tạ Thị Ngọc Tuyết

9

Lớp K32D Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

+ Nếu dây đồng chất, tức là  = const thì phương trình (2.1.1) trở thành:
2
 2u
2  u
a
 f ( x, t )
t 2
x 2

với a 

T0



, f ( x, t ) 

1



(2.1.2)

p ( x, t ) .

+ Nếu không có ngoại lực tác động, nghĩa là p( x, t )  0 thì (2.1.2) trở thành:
2
 2u
2  u
a

t 2
x 2

(2.1.3)

- Các điều kiện bổ sung
+ Điều kiện ban đầu

 u ( x,0)  0 ( x)

u
 t ( x,0)  1 ( x)

x

(2.1.4)

+ Điều kiện biên
 Dây hữu hạn: x  0, L , ta có điều kiện

u (0, t )  1 (t )

u (l , t )  2 (t )

t 0

(2.1.5)

 Sợi dây nửa vô hạn: x 0,   thì ta có điều kiện
u (0, t )   (t )

t 0

(2.1.6)

 Sợi dây vô hạn: x   ,   thì điều kiện được mô tả bằng dáng
điệu của nghiệm khi x   .
- Bài toán tìm nghiệm của phương trình (2.1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu
(2.1.4) ( không có điều kiện biên ) được gọi là bài toán Côsi của phương trình
(2.1.1); Còn bài toán với điều kiện (2.1.4), (2.1.5) được gọi là bài toán hỗn
hợp của phương trình (2.1.1).

Tạ Thị Ngọc Tuyết

10

Lớp K32D Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

2.2. Phƣơng trình dao động của màng
Xét màng mỏng khi cân bằng nằm trong mặt phẳng x0y. Giả thiết màng
mỏng, không cưỡng lại sự uốn, trọng lượng nhỏ so với lực căng trên mặt, do
đó bỏ qua trọng lượng.
+ Giả thiết màng dao động ngang, độ lệch của điểm M(x,y) trên màng là:
u  u ( x, y , t )

Hơn nữa, giả thiết dao động của màng là nhỏ,

 2u
 2u
0.

0
,
y 2
x 2

+ Xét mảnh  bất kỳ của màng, khi nó ở vị trí cân bằng giới hạn bởi biên
tuyến l . Khi màng dao động mảnh  chuyển thành   giới hạn bởi biên
tuyến l  .
Diện tích của màng   bằng:

    1  u x2  u y2 dxdy   dxdy   .




Do đó suất căng của màng không thay đổi khi màng dao động.
Gọi T là suất căng mặt ngoài,  ( x, y ) là tỉ trọng mặt của màng, p(x,y,t) là
ngoại lực tác động vào màng.
+ Xét màng   , theo nguyên lý vật lý ta có u ( x, y, t ) thỏa mãn phương trình:

 ( x, y)

 2u
 2u  2u


T
(

)  p( x, y, t )
t 2
x 2 y 2

(2.2.1)

Đây là phương trình dao động của màng.
+ Phương trình (2.2.1) còn được viết dưới dạng:
2
 2u
 2u
2  u

a
(

)  f ( x, y, t )
t 2
x 2 y 2

với a 

T



;

f 

Tạ Thị Ngọc Tuyết

(2.2.2)

p



11

Lớp K32D Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

+ Nếu không có ngoại lực hay p( x, y, t )  0 ta có phương trình thuần nhất:
2
 2u
 2u 
2 u
a  2  2 
t 2
y 
 x

(2.2.3)

 u ( x, y,0)  0 ( x, y)

u
 t ( x, y,0)  1 ( x, y)

(2.2.4)

- Điều kiện bổ sung
+ Điều kiện ban đầu

+ Điều kiện biên

u( x, y, t ) |( x, y )L   ( x, y, t )

(2.2.5)

* Nhiều quy luật vật lý và cơ học khác cũng đưa đến phương trình tương tự
với (2.1.3) và (2.2.3). Chẳng hạn như:
+ Quy luật dao động dọc của 1 thanh đàn hồi đồng chất cũng biểu diễn bởi
phương trình (2.1.3)
2
 2u
2  u
a
.
t 2
x 2

+ Quy luật dao động nhỏ của chất khí lý tưởng với một số giả thiết vật lý xác
định trong hiện tượng truyền âm biểu diễn bởi phương trình
2
 2u
 2u  2u
2  u
 a ( 2  2  2 ),
2
t
x y z

(2.2.6)

trong đó ( x, y, z ) là tọa độ phần tử khí; u ( x, y, z, t ) là độ lệch áp suất khí ở
điểm ( x, y, z ) tại thời điểm t so với áp suất lúc bình thường tại ( x, y, z ) .
Những phương trình (2.1.3), (2.2.3) và (2.2.6) thường được gọi là những
phương trình truyền sóng. Hệ số a trong các phương trình ấy là vận tốc truyền
sóng.

Tạ Thị Ngọc Tuyết

12

Lớp K32D Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

2.3. Phƣơng trình truyền nhiệt trong môi trƣờng đẳng hƣớng
- Xét 1 vật thể rắn, ta gọi u ( x, y, z, t ) là nhiệt độ của nó tại điểm ( x, y, z ) và
thời điểm t.
Vật được coi là đẳng hướng nếu tại điểm ( x, y, z ) xác định, hệ số truyền nhiệt k
chỉ phụ thuộc ( x, y, z ) mà không phụ thuộc vào phương của mảnh S .
- Xét 1 thể tích V bất kỳ giới hạn bởi 1 mặt kín trơn S. Xét sự thay đổi nhiệt
lượng trong thể tích V trong khoảng thời gian t .
Gọi c( x, y, z ) là nhiệt dung,  ( x, y, z ) là tỉ khối của vật thể tại ( x, y, z ) ,
F ( x, y, z, t ) là mật độ nguồn nhiệt trong vật thể tại ( x, y, z ) và tại thời điểm t.

Theo định luật vật lý ta có u ( x, y, z, t ) thỏa mãn phương trình sau:

c ( x , y , z )  ( x, y , z )


u
 div(k .gradu )  F ( x, y, z , t )
t

(2.3.1)

Đây là phương trình truyền nhiệt trong vật thể đẳng hướng không thuần nhất.
+ Nếu vật thể thuần nhất thì c,  , k là các hằng số và (2.3.1) được viết dưới
dạng
2
u
 2u  2u
2  u
 a ( 2  2  2 )  f ( x, y, z, t )

t
x y
z

với a 

k
,
c

f ( x, y , z , t ) 

(2.3.2)

F ( x, y , z , t )
.
c

+ Nếu trong vật thể không có nguồn nhiệt hay F ( x, y, z, t )  0 thì (2.3.2) trở
thành:

u 2  2u  2u  2u
 a ( 2  2  2 ).
t
x y z

Tạ Thị Ngọc Tuyết

13

(2.3.3)

Lớp K32D Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

+ Nếu u  u ( x, y, t ) chẳng hạn xét sự truyền nhiệt trong một bản phẳng mỏng
thì (2.3.3) có dạng:

u 2  2u  2u
a ( 2  2) .
t
x y

(2.3.4)

+ Nếu u  u ( x, t ) chẳng hạn xét sự truyền nhiệt trong 1 thanh thẳng, nhỏ thì
(2.3.3) có dạng:
2
u
2  u
a
.
t
x 2

(2.3.5)

- Điều kiện bổ sung:
+ Điều kiện ban đầu: u ( x, y, z,0)   ( x, y, z ) .
+ Điều kiện biên: u( x, y, z, t ) |( x, y , z )S   ( x, y, z, t ) .

2.4. Phƣơng trình Laplace
- Phương trình truyền nhiệt trong môi trường đẳng hướng và không có nguồn
nhiệt có dạng (2.3.3):
2
u
 2u  2u
2  u
a ( 2  2  2)
t
x y z

Giả sử sau t , u  u ( x, y, z, t ) ta có

u
 0 . Khi đó (2.3.3) có dạng:
t

 2u  2u  2u
 2  2 0
2
x y z

(2.4.1)

Phương trình (2.4.1) được gọi là phương trình Laplace.

Điều kiện biên: u |S   ( P)

(2.4.2)

- Xét 1 số bài toán:
+ Bài toán Dirichlet

Tạ Thị Ngọc Tuyết

14

Lớp K32D Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

  2u  2u  2u
 2  2  2 0
y
z
 x

u |S   ( P )

+ Bài toán Newmann

  2u  2u  2u



0

 x 2 y 2 z 2

u

|S   ( P )

n


với n là pháp tuyến của S.
- Phương trình Laplace (2.4.1) còn gặp khi nghiên cứu chuyển động dừng của
chất lỏng không nén được.

+ Giả sử chuyển động của chất lỏng là chuyển động thế, v( x, y, z ) tại điểm

( x, y, z ) là 1 vectơ thế, hay tồn tại  ( x, y, z ) thỏa mãn:


v( x, y, z )   grad .

(2.4.3)



+ Đối với chất lỏng thuần nhất không nén được, ta có: divv  0
Từ đó, theo (2.4.3) ta có


 2  2  2
divgrad  0  2  2  2  0 .
x
y
z

(2.4.4)

Vậy hàm  ( x, y, z ) của chuyển động dừng nói trên thỏa mãn phương trình
Laplace.

Tạ Thị Ngọc Tuyết

15

Lớp K32D Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Chƣơng 3
PHÂN LOẠI PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP 2
3.1. Phân loại phƣơng trình tuyến tính cấp hai trong trƣờng hợp hai biến
Xét phương trình:

a( x, y)uxx  2b( x, y)uxy  c( x, y)u yy  F ( x, y, u, ux , u y )  0 (3.1.1)
2

Đặt   b  ac .

3.1.1. Định nghĩa 1
Phương trình (3.1.1) thuộc loại:
(1) Elliptic tại điểm (x,y) nếu tại đó ta có   0 .
(2) Hyperbolic tại điểm (x,y) nếu tại đó   0 .
(3) Parabolic tại điểm (x,y) nếu tại đó   0 .
Nếu phương trình (3.1.1) tại mọi điểm trong một miền G đều thuộc cùng một
loại thì phương trình ấy thuộc loại đó trong miền G.
Ví dụ 1 : Tìm các miền elliptic, parabolic và hyperbolic của phương trình

   x  uxx  2 xyuxy  y 2u yy  0

(1)

theo tham số  .
Giải
2
2
2
2
Xét   ( xy)  (  x) y  ( x  x   ) y . Gọi E, P, H lần lượt là

các miền ellliptic, parabolic, hyperbolic của phương trình (1).
* Trường hợp y = 0.

Tạ Thị Ngọc Tuyết

16

Lớp K32D Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Ta có   0 , khi đó phương trình (1) thuộc loại parabolic với x ¡ . Suy
ra, miền P= ( x,0) | x¡

.

* Trường hợp y  0 .
2
2
Vì   ( x  x   ) y nên biệt thức  cùng dấu với: f ( x)  x2  x   .

Ta đi xét dấu của  thông qua dấu của f ( x) . Ta có  x  1  4 .

1
1 2
1
2
+  x  0    . Khi đó f ( x)  x  x   ( x  ) .
4
2
4
1




0

x




2
Do đó 
  0  x   1


2

+ x  0   

1
. Khi đó f ( x)  0 x   .
4

+ x  0   

1
. Khi đó
4

 0 x

1  1  4

2


1  1  4
x 
2
   0  
1  1  4
x 

2

 0

1  1  4
1  1  4
x
2
2

Tóm lại:
+ Với  

1
thì miền P =
4




1
2

 1

( ; y ) | y  ¡   ( x;0) | x  ¡
 2


;




Miền H = ( x, y ) | x   ; y  0; x, y  ¡  .

Tạ Thị Ngọc Tuyết

17

Lớp K32D Toán


Khóa luận tốt nghiệp

+ Với  

Trường ĐHSP Hà Nội 2

1

thì miền H = ( x, y ) | y  0; x, y  ¡
4

Miền P = ( x, 0) | y  ¡
+Với  

;

.

1
thì
4

 1  1  4
; y) | y  ¡
miền P= (
2


  1  1  4
; y) | y  ¡
  (
2
 


  ( x;0) | x  ¡  ;




 
1  1  4   1  1  4
;    ;
  
Miền H = ( x, y) | x, y  ¡ ; y  0; x   ;
2
2


 
 

1  1  4 1  1  4 


;
) .
Miền E = ( x, y) | x, y  ¡ ; y  0; x  (
2
2





3.1.2. Tính bất biến của loại phƣơng trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2
Loại của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai (3.1.1) không thay
đổi qua phép đổi biến không suy biến.

Chứng minh
   ( x, y )
Giả sử có phép đổi biến 
   ( x, y )

với  ( x, y) ,  ( x, y) là những hàm khả vi liên tục 2 lần và
D( , )
 0.
D ( x, y )

(3.1.2)

Khi đó, ta có:
+ ux  u  x  ux
+ u y  u  y  u y

Tạ Thị Ngọc Tuyết

18

Lớp K32D Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

+ uxx  u  x  2u  x x  u x  u  xx  u xx
2

2

+ uxy  u  x y  u ( x y   yx )  ux y  u  xy  u xy
2
2
+ u yy  u  y  2u  y y  u y  u  yy  u yy

Thay vào (3.1.1) ta có:

a1 ( , )u  2b1 ( , )u  c1 ( , )u  M ( ,, u, u , u )  0 . (3.1.3)
Trong đó


a1  a x2  2b x y  c y2

b1  a x x  b( x y   y x )  c y y

c1  a x2  2b x y  c y2

 D( , ) 
2
2
2
Ta có 1  b1  a1c1  (b  ac)( x y   y x )   

 D( x, y) 

(3.1.4)
2

Do (3.1.2) nên ta có  và 1 cùng dấu. Vì vậy, loại của phương trình (3.1.1)
không thay đổi khi ta làm phép thế biến nói trên.
3.1.3. Bổ đề 1
Nếu z   ( x, y ) là một nghiệm riêng nào đó của phương trình

az x2  2bz x z y  cz y2  0

(3.1.5)

Thì hệ thức  ( x, y )  C với C là một hằng số bất kỳ, xác định cho ta nghiệm
tổng quát của phương trình vi phân thường

ady 2  2bdxdy  cdx2  0 .

(3.1.6)

Ngược lại, nếu  ( x, y )  C là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
thường (3.1.6) thì hàm z   ( x, y ) là nghiệm của phương trình (3.1.5).
Chứng minh:

Tạ Thị Ngọc Tuyết

19

Lớp K32D Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

 Ta cần chứng minh nếu z   ( x, y ) thỏa mãn (3.1.5) thì hệ thức

 ( x, y )  C xác định cho ta ẩn hàm y(x) thỏa mãn phương trình vi phân:
ay2  2by  c  0

(3.1.6’)

Thật vậy, theo giả thiết ta có

a x2  2b x y  c y2  0
Hay a(

x 2

)  2b( x )  c  0
y
y

(3.1.7)
(3.1.8)

Nhưng theo định lý về hàm ẩn, hàm y(x) xác định từ hệ thức

 ( x, y )  C
có đạo hàm: y( x)  

x
.
y

(3.1.9)

Thay (3.1.9) vào (3.1.8) ta có:

ay2  2by  c  0
Khi đó ta có điều phải chứng minh.

 Giả sử  ( x, y )  C là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thường
(3.1.6) ta cần chứng minh z   ( x, y ) là nghiệm riêng của phương trình
(3.1.5) hay ta cần chứng minh (3.1.7) được thỏa mãn tại bất kỳ điểm ( xo , yo )
nào trong miền xác định của  ( x, y ) .
Thật vậy, lấy điểm ( xo , yo ) bất kỳ kể trên và đặt:

 ( xo , yo )  Co
Ta có  ( x, y )  C là nghiệm tổng quát của (3.1.6) có nghĩa là ẩn hàm y ( x )
xác định từ hệ thức  ( x, y )  C thỏa mãn (3.1.6) với bất kỳ giá trị nào của
hằng số C.
Xét ẩn hàm y ( x ) xác định từ hệ thức  ( x, y)  C0 .

Tạ Thị Ngọc Tuyết

20

Lớp K32D Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Theo giả thiết, với ẩn hàm đó thì (3.1.6) hoặc (3.1.6’) được thỏa mãn tại

( xo , yo ) . Nhưng theo (3.1.9) ta có:
y( x0 )  

 x ( x0 , y0 )
 y ( x0 , y0 )

Từ đó thay vào (3.1.6’) ta được:
a(

 x ( x0 , y0 ) 2
 (x , y )
)  2b x 0 0  c  0
 y ( x0 , y0 )
 y ( x0 , y0 )

 a x2 ( x0 , y0 )  2b x ( x0 , y0 ) y ( x0 , y0 )  c y2 ( x0 , y0 )  0

Do đó (3.1.7) thỏa mãn tại ( xo , yo ) hay z   ( x, y ) là nghiệm của phương
trình (3.1.5). Từ đó ta có điều phải chứng minh.
* Phương trình (3.1.6) được gọi là phương trình các đường đặc trưng của
(3.1.1). Các đường cong tích phân  ( x, y )  C của nó gọi là các đường đặc
trưng của (3.1.1).
3.1.4. Đƣa phƣơng trình (3.1.1) về dạng chính tắc
Dựa vào dấu biệt thức   b 2  ac của (3.1.6) ta xét các trường hợp sau:
a) Trường hợp phương trình (3.1.1) thuộc loại hyperbolic
  b2  ac  0

1. Giả sử a  0 . Ta có phương trình (3.1.6) hay (3.1.6’) có 2 nghiệm thực đối
với y :


b
 y1 


b
 y2 


b 2  ac
a

(3.1.10)

b  ac
a
2

Giải hai phương trình này, ta có hai họ nghiệm

Tạ Thị Ngọc Tuyết

21

Lớp K32D Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

y  f1 ( x, C1 )
y  f 2 ( x, C2 )

(3.1.11)

với C1, C2 là các hằng số bất kỳ.
Khi đó, hai họ nghiệm (3.1.11) biểu diễn dưới dạng:

1 ( x, y )  C1
2 ( x, y )  C2

(3.1.12)

Theo bổ đề 1 thì 1 ( x, y) và  2 ( x, y) là các nghiệm riêng của các phương
trình (3.1.5).
Từ (3.1.10) ta có y1  y2  


(1 )x
(1 )y

(1 )x
( )
 2 x
(1 )y
(2 )y

(2 )x
D (1 , 2 )
0
 0 hay
(2 )y
D ( x, y )

  1 ( x, y )
Đặt 
  2 ( x, y )

(3.1.13)

Khi đó phương trình (3.1.1) được đưa về dạng (3.1.3) với a1  0, c1  0 .
Hơn nữa, do b12  a1c1  0 nên b1  0 . Chia 2 vế của (3.1.3) cho b1 , ta được
phương trình có dạng:

u  F1* ( , , u, u , u )

(3.1.14)

2. Giả sử a  0 , c  0 . Khi đó, xét ẩn hàm x của biến y nghĩa là x  x( y ) và
thay thế (3.1.6’) ta có phương trình các đường đặc trưng của (3.1.1) là:
a  2bx  cx2  0

(3.1.6’’)

Làm tương tự như phần 1 ta vẫn đi đến dạng (3.1.14).
3. Giả sử a  0 , c  0 . Khi đó b 2  ac  0  b  0 . Chia 2 vế (3.1.1) cho b ta

được:

uxy  F * ( x, y, u, ux , u y )

Tạ Thị Ngọc Tuyết

22

Lớp K32D Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Tức cũng có dạng (3.1.14).
Như vậy dạng (3.1.14) được gọi là 1 dạng chính tắc của phương trình loại
hyperbolic (3.1.1).
   
Ta tiếp tục đổi biến 
    

Thì phương trình (3.1.14) có thể viết dưới dạng:

u  u  ( ,  , u, u , u )

(3.1.15)

Dạng (3.1.15) cũng được gọi là 1 dạng chính tắc khác của phương trình loại
hyperbolic (3.1.1).

Sau đây, ta sẽ xét một số ví dụ minh họa
Ví dụ 2: Phân loại phương trình sau và đưa về dạng chính tắc

uxx  7uxy  12u yy  ux  2u y  3u  0

(2)

Giải
2

1
 7
Xét       12   0 nên phương trình (1) thuộc loại hyperbolic.
4
 2
Xét phương trình các đường đặc trưng:

 y  3
y2  7 y  12  0  
 y  4

(*)
(**)

Giải (*) ta có y  3x  C1  C1  3x  y  1 ( x, y) .
Giải (**) ta có y  4 x  C2  C2  4x  y  2 ( x, y) .

   1 ( x, y )  3x  y
Đặt 
  2 ( x, y )  4 x  y

Nhận thấy

D( , ) 3 4

 1  0 .
D ( x, y ) 1 1

+ ux  u  x  ux  3u  4u
+ uxx  3(u  x  ux )  4(u  x  ux )

Tạ Thị Ngọc Tuyết

23

Lớp K32D Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

 3(3u  4u )  4(4u  3u )  9u  24u  16u
+ u y  u  y  u y  u  u
+ u yy  u  y  u y  u  y  u y  u  2u  u
+ uxy  u  x  ux  u x  ux  3u  7u  4u
Thay vào phương trình (1) ta được

9u  24u  16u 7(3u  7u  4u ) +12(u  2u  u ) 3u  4u
2(u  u )  3u  0
 u  u  2u  3u  0  u  u  2u  3u  0 .

Ví dụ 3: Phân loại và đưa về dạng chính tắc phương trình sau

 2  sin x  uxy  5u y  ux  u  0

(3)

Giải
Ta có   (2  sin x)2  0 do đó phương trình (2) thuộc loại hyperbolic.
Chia 2 vế của phương trình (2) cho (2  sin x) ta được:
u xy  (

5
1
1
)u y  (
)u x  (
)u  0 (3’)
2  sin x
2  sin x
2  sin x

1
1



x

y


x    
2
2

Đặt 
y   
  1 x  1 y

2
2

1
+ ux  u x  u  x  (u  u )
2
1
1
+ uxy  (u y  u  y  u y  u  y )  (u  u )
2
4
1
+ u y  u y  u  y  (u  u )
2

Tạ Thị Ngọc Tuyết

24

Lớp K32D Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Thay vào (3’) ta được
1
5
1
1
(u  u ) + 1 [
] (u  u ) + [
] (u  u )
4
2 2  sin(   )
2 2  sin(   )

 u  u  [

u
0
2  sin(   )

10
2
](u  u )  [
](u  u )
2  sin(   )
2  sin(   )



4u
0
2  sin(   )

b) Trường hợp phương trình (3.1.1) thuộc loại Elliptic
  b 2  ac  0

Giả thiết a,b,c là những hàm giải tích đối với x,y. Do   0 nên phương trình
(3.1.6) cho ta 2 nghiệm phức:

y 

bi 
a

Tích phân phương trình này ta có tích phân tổng quát:
  ( x, y)  C
 * ( x, y )  C


Với  * ( x, y) là đại lượng phức liên hợp của  ( x, y ) . Ta có  ( x, y ) và

 * ( x, y) là nghiệm của phương trình (3.1.5).
    ( x, y)
Đặt 
*
   ( x, y )
theo (3.1.4) ta có:
 a1  a x2  2b x y  c y2  a x2  2b x y  c y2  0


2
2
*2
*
*
*2
c1  a x  2b x y  c y  a x  2b x y  c y  0

Đặt   Re ( x, y)

   Im ( x, y )

Tạ Thị Ngọc Tuyết

25

Lớp K32D Toán