Không gian afin ơclit 4 chiều

                                                                        

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Đinh Văn Thủy, các thầy cô 
trong tổ Hình học – Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, cùng 
các bạn sinh viên khoa Toán đã nhiệt tình giúp đỡ em hoàn thành khóa 
luận tốt nghiệp của mình.  Khóa luận không  thể tránh khỏi những thiếu 
sót, em rất mong nhận được sự góp ý, bổ sung của các thầy cô, cùng các 
bạn sinh viên để khóa luận thực sự hoàn chỉnh, có ý nghĩa trong học tập 
và nghiên cứu Hình học và thực tiễn. 
Tôi mong Khóa luận này sẽ giúp đỡ một cách thiết thực cho các 
độc giả và xin chân thành cảm ơn những góp ý của các bạn về các thiếu 
sót. 
Em xin chân thành cảm ơn! 
 
Hà Nội, ngày tháng năm
Sinh viên thực hiện 
 
 
Vi Thị Thảo
 
 


                                                                        

LỜI CAM ĐOAN

Đề cương khóa luận của tôi với chủ để: “KHÔNG GIAN AFIN – 
ƠCLIT BỐN CHIỀU” đã được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại 

học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của thầy Đinh Văn Thủy, các 
thầy  cô  trong  tổ  Hình  học,  các  bạn  sinh  viên  khoa  Toán.  Tôi  xin  cam 
đoan Khóa luận của tôi không trùng lặp hoặc sao chép của bất kì ai. 
Nếu sai, tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. 
 
Hà Nội, ngày

tháng năm

Sinh viên thực hiện 
 
 
 
Vi Thị Thảo
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


                                                                        

MỤC LỤC 
Trang 

MỞ ĐẦU ......................................................................................  1 
1. Lý do chọn đề tài .............................................................. 1 
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài ........................................ 1 
3. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài ....................................... 1 
4. Phương pháp nghiên cứu .................................................. 2 
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ..................................... 2 
6. Ý nghĩa lý luận và thực tiễn .............................................. 2 
NỘI DUNG .................................................................................... 3  
Chương 1: Cơ sở lý luận ................................................................. 3 
 

1.1. Không gian afin ............................................................. 3 

 

1.2. m-phẳng ........................................................................ 3 

 

1.3. Siêu mặt bậc hai ............................................................ 4 

 

1.4. Không gian Ơclit ........................................................... 5 

Chương 2: Không gian Ơclit 4 chiều .............................................. 6 
2.1. Định nghĩa ..................................................................... 6 
2.2. Mục tiêu trực chuẩn- tọa độ trực chuẩn ......................... 6 
2.3. Các phẳng trong không gian Ơclit E4  ............................ 7 
Chương 3: Siêu mặt bậc 2 trong E4  ...............................................34 

3.1. Định nghĩa ....................................................................34 
3.2. Dạng chính tắc  siêu mặt bậc 2 trong En  .......................34 
3.3. Phương trình và siêu phẳng kính chính .........................37 
3.4. Siêu cầu siêu phẳng đẳng phương .................................42 
KẾT LUẬN ...................................................................................49 
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................50 


                                                                        

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Chúng ta đã được học về không gian afin-ơclit 2 chiều và 3 chiều 
trong  trường  trung  học  phổ  thông.  Và  lên  đại  học,  ta  lại  tiếp  tục  được 
nghiên cứu về không gian afin-ơclit n chiều. Một vấn đề nảy sinh trong 
tôi là các không gian với n > 3, chẳng hạn n = 4 có điều gì giống và khác 
so với không gian 2 và 3 chiều? Do đó, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo 
Đinh Văn Thủy tôi đã chọn: “Không gian afin - Ơclit 4 chiều” làm đề tài 
khóa luận tốt nghiệp của mình. Đây là một đề tài mới, chắc chắn không 
tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tôi rất mong nhận được nhưng ý kiến 
đóng góp của quý thầy cô và các bạn sinh viên để đề tài này được hoàn 
thiện hơn. 
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài 
-  Đề  tài khóa luận nghiên cứ những đặc trưng cơ bản của không 
gian afin –  Ơclit bốn chiều:  các khái niệm cơ  bản của  các phẳng  trong 
không gian afin – Ơclit bốn chiều. 
-  Xây  dựng  hệ  thống  bài  tập  trong  không  gian  afin  –  Ơclit  bốn 
chiều. 
3. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
-  Nghiên  cứu  lý  thuyết  của không gian  afin  –  Ơclit  trong  trường 

hợp tổng quát, áp dụng với n = 4. 
-  Chỉ  ra  dạng  của  các  phẳng  trong  không  gian  afin  -  Ơclit  bốn 
chiều. 
-  Nghiên  cứu  các  tính  chất  của  các  phẳng  trong  không  gian  afin 
oclit 4 chiều, m – phẳng trong không gian afin - Ơclit bốn chiều. 
- Xây dựng hệ thống bài tập của không gian afin - Ơclit bốn chiều. 

 

1


                                                                        

4. Phương pháp nghiên cứu 
- Phương pháp đọc sách. 
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Không gian afin – ơclit 4 chiều
6. Ý nghĩa lý luận và thực tiễn
Khóa  luận nghiên  cứu và thể hiện cụ thể không gian  afin  -  Ơclit 
bốn chiều và các tính chất của nó, bổ sung thêm các hiểu biết về không 
gian  afin  –  Ơclit  4  chiều,  so  sánh  với  không  gian  afin  –  Ơclit  hai,  ba 
chiều đã biết. Từ đó ta hiểu sâu sắc hơn về hình học nhiều chiều. 
 

 

2

                                                                        

NỘI DUNG
Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN

1.1. Không gian afin
Định nghĩa: cho tập hợp A khác rỗng mà các phần tử của nó gọi 
là điểm. Cho V là một không gian vectơ trên trường K và cho ánh xạ F: 


A  A  V  được  kí  hiệu  là  F(M,N)= MN   với  các  điểm  M,N  thuộc  A  và 


vectơ  MN  thuộc V. 
Bộ ba (A,F,V) gọi là không gian afin nếu 2 tiên đề sau được thỏa 
mãn: 


i)Với mọi điểm  M thuộc A và mọi vectơ  u  thuộc V có duy nhất 
 
điểm N  A sao cho:  MN = u . 






ii)Với mọi ba điểm M,N,P thuộc A ta luôn có:  MN  NP  MP  
Khi đó ta nói rằng không gian afin (A,F,V) liên kết với không gian vectơ 
V trên trường K và được gọi tắt là không gian afin A trên trường K. 

Không gian afin A gọi là n chiều nếu dim V = n. KH: dim A = n hay An  
1.2. m-phẳng


Cho không gian afin A liên kết với không gian vectơ Ơclit  A . Gọi 




I là một điểm của A và    là một không gian con của  A . Khi đó tập hợp 




những điểm M  A sao cho  IM      được gọi là cái phẳng Ơclit  đi 


qua I và có phương là   . 




 = {M  E | IM      } được gọi là cái phẳng (gọi tắt là “phẳng”) 


qua I và có phương là    


Nếu    có số chiều bằng m thì  gọi là phẳng m chiều hay còn gọi 
là m- phẳng. 

 

 

3


                                                                        

Như vậy: 0- phẳng chính là một điểm 
1- phẳng là đường thẳng 
2- phẳng là mặt phẳng 
(n-1)- phẳng là siêu phẳng 
1.3. Siêu mặt bậc hai
Trong An tập các điểm thỏa mãn phương trình:  
4

4

i , j 1

i 1

 aij xi x j  2 ai xi  a0  0 (*) với aij = aji; i,j= 1, 4 . aij > 0 

được gọi là siêu mặt bậc hai. 
- Tâm:  Cho (S) là siêu mặt bậc hai , gọi I là tâm của (S) nên chọn 
I làm gốc tọa độ thì phương trình của (S) có dạng: xtAx+a0=0 
M(S) thì M’ đối xứng M qua gốc tọa độ cũng thuộc (S) hay I 
là tâm đối xứng của (S). 

+) I là tâm của (S) có phương trình (*) khi và chỉ khi tọa độ I là 
nghiệm của hệ phương trình:   Ax + a = 0    với A = (aij) ; a = (ai) 
- Phương tiệm cận-đường tiệm cận

Phương  tiệm  cận:  vectơ  c  (c1 , c2 ,......, cn ) gọi  là  phương  tiệm  cận 
 
của siêu mặt bậc hai (S) với phương trình (*) nếu  c  0 và  ct Ac  0  
Đối với siêu mặt bậc hai có tâm duy nhất, một đường thẳng đi qua 
tâm gọi là đường tiệm cận của siêu mặt bậc hai đó nếu phương của nó là 
phương tiệm cận và nó không cắt siêu mặt bậc hai. 
- Điểm kì dị: Nếu I là tâm của (S) và I(S) thì I được gọi là điểm 
kì dị 
Ax  a  0

I là điểm kì dị tọa độ là nghiệm  

t
a x  a0  0

 

-  Tiếp tuyến: đường  thẳng d(S) hoặc  d(S)  tại hai điểm  trùng 
nhau thì được gọi là tiếp tuyến của (S). 

 

4


                                                                        

-  Siêu tiếp diện: Nếu B thuộc (S) và B là điểm không kì dị thì các 
tiếp tuyến tại B của (S) tạo thành một siêu phẳng. Siêu phẳng này gọi là 
siêu tiếp diện của (S) tại điểm B. 
1.4. Không gian Ơclit
Không gian Ơclit  là một  loại  không  gian afin  liên  kết  với không 
gian vectơ Ơclit hữu hạn chiều. Kí hiệu: E 
Không gian vectơ Ơclit liên kết với nó được ký hiệu là VE hoặc  E
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

5


                                                                        

Chương 2
KHÔNG GIAN ƠCLIT 4 CHIỀU

2.1 Định nghĩa:
Không  gian  Ơclit  4  chiều  là  một  không  gian  afin  liên  kết  với 


không gian vectơ Ơclit 4 chiều. Kí hiệu : E4 và  E 4  là nền của nó. 
2.2 Mục tiêu trực chuẩn – Tọa độ trực chuẩn. 
a) Mục tiêu trực chuẩn.
   

Mục tiêu afin ( 0, e1 , e2 , e3 , e4 ) của không gian Ơclit 4 chiều E4 được 
   

gọi là mục tiêu trực chuẩn nếu cơ sở ( e1 , e2 , e3 , e4 ) của không gian vectơ 
Ơclit 4 chiều là cơ sở trực chuẩn. Tức là: 

 

Khi i ≠ j 
Khi i = j 

ei .  e j  = ij =  0  
1

b) Tọa độ trực chuẩn
Tọa độ của một điểm thuộc E4 đối với một mục tiêu trực chuẩn gọi 
là tọa độ trực chuẩn của điểm đó đối với mục tiêu đã cho. 

c) Khoảng cách giữa 2 điểm.
Cho  2  điểm  M,  N  của  không  gian  Ơclit E4.  Khoảng  cách giữa  2 
điểm đó: 




d(M, N) =  MN  =  MN 2  
Chú ý:
a) d(M, N) = d(N, M). 
b, d(M, N) ≥ 0 và d(M, N) = 0  M  N 
c) d(M, N) + d(N, P) ≥ d(M, P) với  3 điểm bất kỳ M, N, P. 
d) Nếu M, N, P là 3 điểm phân biệt thì điểm N thuộc đoạn thẳng 
MP 

 

6


                                                                        

 (M, N) + d(N, P) = d(M, P). 
e) M(x1,x2,x3,x4), N(y1,y2,y3,y4)  E4 
4

d(M, N) = 

(y  x )
i

2

i

 

i 1

2.3 Các phẳng trong không gian Ơclit E4
2.3.1. Định nghĩa.




Gọi I là một điểm của E4 và    là một không gian con của  E 4. Khi 




đó tập hợp những điểm M  A sao cho  IM      được gọi là cái phẳng 


Ơclit  đi qua I và có phương là   . 




 = {M  E | IM      } 


được gọi là cái phẳng (gọi tắt là “phẳng”) qua I và có phương là    


Nếu    có số chiều bằng m thì  gọi là phẳng m chiều hay còn gọi 
là m- phẳng 
Như vậy trong không gian ơclit 4 chiều có:  
+ 0- phẳng chính là một điểm 
+ 1- phẳng là đường thẳng 
+ 2- phẳng là mặt phẳng 
+ 3- phẳng là siêu phẳng 
2.3.2. Phương trình tham số của các phẳng trong E4.


Cho mục tiêu R = {0, ei }14  và m-phẳng  = (I, W) 
   
Tọa độ I ( b1', b2' , b3' , b4' ) / R và giả sử { a1 ,  a 2 ,  a 3 ,  a 4 } là cơ sở trên W 










Khi đó:  a i  =  a1i .e1  +  a2i .e2  +  a3i .e3  +  a4i .e4 . 


M = (x1, x2, x3, x4)     IM   W 

 

7


                                                                        

 x  a t  b'
1
1
 a1 
 1
 

'
b
 x2  b1t  b2
Phương trình đường thẳng:  
    Với ma trận A =   1   có: 
c
 x3  c1t  b3'
 1 


 d1 
 x4  d1t  b4'

 

 

 

 

 

 

 

Rank A=1 

 x  a t  a t  b'
11
2 2
1
 a1 a2 
 1



'
b1 b2 
 x2  b1t1  b2t2  b2

Phương trình mặt phẳng:  
Với ma trận B =      có: 

c c
 x3  c1t1  c2t2  b3'
 1 2 

 d1 d 2 
 x4  d1t1  d 2t2  b4'

Rank B=2 
 x  a t  a t  a t  b'
1 1
2 2
3 3
1
 1

'
x  bt b t b t b
Phương trình siêu phẳng:   2 1 1 2 2 3 3 2  
 x3  c1t1  c2t2  c3t3  b3'

 x4  d1t1  d 2t2  d3t3  b4'
 a1 a2 a 3 


b1 b2 b3 

Với ma trận C =               
c c2 c3

 1


d
d
d
 1 2 3

 

có Rank C = 3 

2.3.3 Phương trình tổng quát của các phẳng trong E4
Từ các phương trình tham số của các phẳng nêu trên ta có thể viết 
phương  trinh  tổng  quát  của  các  phẳng  bằng  cách  khử  tham  số.  Khi  đó 
phương trình tổng quát có dạng như sau: 


Phương trình của siêu phẳng dạng:     
ax  by  cz  dv  e  0  

 

 

8


                                                                        



Phương trình của mặt phẳng dạng:   
ax  by  cz  dv  e  0
 

a ' x  b ' y  c ' z  d ' v  e '  0



Phương trình của đường thẳng  dạng:    
ax  by  cz  dv  e  0

a ' x  b ' y  c ' z  d ' v  e '  0  
a " x  b " y  c " z  d "v  e"  0


2.3.4 Vị trí tương đối của 2 phẳng trong E4
a) Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Cho 2 đường thẳng có phương trình như sau: 
 x  a t  b'
 x  a t '  b"
1
1
2
1
 1
 1


x  b t  b2'
x  b t '  b2"

( d1 ):  2 1
                      ( d 2 ):  2 2
 
'
'
"
 x3  c1t  b3
 x3  c2t  b3


 x4  d1t  b4'
 x4  d 2t '  b4'



Khi đó:  a  (a1 , b1 , c1 , d1 )  và  a1  (a2 , b2 , c2 , d 2 )  lần lượt là các vectơ 

cơ sở của ( d1 ) và ( d 2 ) 
V d1 , V d2  lần lượt là phương của ( d1 ) và ( d 2 ) 




d
x
 V 1  x  x1a
Vậy ta có:   

 
 x ' V d2  x '  x2 a1





 


d1  d2  x.x '  0  x1a.x2 a1  0  x1 x2 .aa1  0  aa1  0  

V d  V d  {0}
 
d1 , d 2  chéo nhau  
 d1  d2  

tức là: 
 
   {a , a1}  

 

1

độc lập tuyến tính 

9

2

                                                                        

 a t  b'  a t '  b"
1
2
1
 1

'
'
"
b1t  b2  b2t  b2
 vô nghiệm 
  Hệ phương trình  (I):  
c1t  b3'  c2t '  b3"

 d1t  b4'  d 2t '  b4"





d2
 d1
d1 , d 2  cắt nhau   V  V  {0}  
 d1  d2  

 
     tức là:       {a, a1}  

độc lập tuyến tính 

                       Hệ phương trình  (I) có nghiệm duy nhất 
 
 

d1 // d2  {a, a1}  phụ thuộc tuyến tính. Tức là:  a  ka1  


d1  d2  d1 // d 2  và  d1  d 2  

b) Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (R) có phương trình như sau: 
 x  a t  a t  b'
11
2 2
1
 x1  at  b1
 1


'
 x2  b1t1  b2t2  b2
 x2  bt  b2
(d):  
               (R):    
 
 x3  c1t1  c2t2  b3'
 x3  ct  b3


 x  dt  b
4
 4
 x4  d1t1  d 2t2  b4'


Vectơ  u   a, b, c, d   là vectơ cơ sở của phương của (d) 


2  vectơ  v  (a1 , b1 , c1 , d1 )   và  r  (a2 , b2 , c2 , d 2 )   là  2  vectơ  cơ  sở  của 

phương của (R) 
Gọi  V d ,V R  lần lượt là phương của d và R 
Ta có: 



x V d  x  x1.u



 
R
y V  y  y1.v  y2 .r


uv  0







 (d)(R) x. y  0  ( x1u ).( y1v  y2 r )  0  x1 y1uv  x1 y2ur  0  
 
ur  0

 

10


                                                                        

  

độc lập tuyến tính 
{u , v , r }

  at  b1  a1t1  a2t2  b1'
  

{u , v , r }
 (d) &(R) chéo nhau   
 bt  b2  b1t1  b2t2  b2'   vô nghiệm  
d  R  

'
 ct  b3  c1t1  c2t2  b3



  dt  b4  d1t1  d 2t2  b4'



 (d) // (R)   u  t.v  s.r  

Nhận xét: Trong E4 có trường hợp một đường thẳng và một mặt 
phẳng chéo nhau. Điều này không xảy ra trong E3 
  
độc lập tuyến tính 
{u , v , r }

(d) cắt (R)   
 
d  R  
  
{u , v , r }
độc lập tuyến tính 

  at  b  a t  a t  b'

  bt  b2  b1t1  b2t2  b2'  

'
 ct  b3  c1t1  c2t2  b3

  dt  b4  d1t1  d 2t2  b4'
1

1 1

2 2

1

có nghiệm  

c) Vị trí tương đối giữa đường thẳng và siêu phẳng
 x1  at  e1

x  bt  e2
Đường thẳng (d):   2
  
 x3  ct  e3
 x  dt  e
 4
4

 x  a t  a t  a t  b'
1 1
2 2
3 3
1
 1

'
x  bt  b t  b t  b
Siêu phẳng (S):   2 1 1 2 2 3 3 2  
 x3  c1t1  c2t2  c3t3  b3'


 x4  d1t1  d 2t2  d3t3  b4'

Ta  cũng  xét  tương  tự  như  các  trường  hợp  trên  để  đường  thẳng 
chéo nhau với siêu phẳng, cắt siêu phẳng và song song với siêu phẳng. 

 

11


                                                                        

Để  tiện  cho  việc  xét  vị  trí  vuông  góc giữa  đường  thẳng  với  siêu 
phẳng ta sẽ đưa phương trình tham số của đường thẳng và siêu phẳng về 
phương trình tổng quát bằng cách khử tham số. Khi đó phương trình của 
chúng cón dạng: 
a ' x  b ' y  c ' z  d ' v  e '  0

(d):   a " x  b " y  c " z  d " v  e "  0     (S): px+qy+gy+hz+k=0 
 a "' x  b "' y  c "' z  d "' v  e "'  0


Khi đó:  V d ,V S  lần lượt là phương của d và S 

u  ( p, q, g , h)  là vectơ pháp tuyến của của siêu phẳng (S). Do đó 



mọi vectơ  x  mà  x.u  0 đều thuộc  V S  

Từ phương trình tổng quát của (d) ta có hệ vectơ: 

v  (a ', b ', c ', d ')

 r  (a ", b ", c ", d ")  
 s  (a '", b "', c "', d "')

hệ vectơ này tạo nên hệ vectơ độc lập tuyến tính làm cơ sở của phương 
  
bù vuông góc với  V d . Ta xét:  v.u; r .u ; s .u  

 
Nếu:   v.u  0  v  u  

 
r .u  0  r  u  

 
s .u  0  s  u  
  

Khi đó các vectơ   v ; r ; s  đều vuông góc với vectơ pháp tuyến  u  
  
của  siêu  phẳng  (S)  nên  v ; r ; s  V S   với  dim  V S =3.  Do  đó  V S   bù 

vuông góc với  V d . Và 2 cái  phẳng bù vuông  góc với nhau thì  có  một 
điểm chung duy nhất. 
d) Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng
Xét 2 mặt phẳng () và (’) có phương trình như sau: 

 

12


                                                                        

 x  a t  a t  b'
 x  a't '  a ' t '  b"
11
2 2
1
1 1
2 2
1
 1
 1


'
'
'
'
'
"
 x2  b1t1  b2t2  b2
 x2  b1t1  b2t2  b2
(): 
                   (’):  
 

 x3  c1t1  c2t2  b3'
 x3  c1't1'  c2' t2'  b3"


 x4  d1t1  d 2t2  b4'
 x4  d1't1'  d 2't2'  b4"

'
Gọi  V  ,V   lần lượt là phương của () và (’) 


u  (a1 , b1 , c1 , d1 ) ;  v  (a2 , b2 , c2 , d2 )   là  2  vectơ  cơ  sở  của  V   

 
 x  au  bv V   



'
r  (a1', b1', c1', d1' ) ;  s  (a2' , b2' , c2' , d2' )  là 2 vectơ cơ sở của   V   
  
 y  cr  ds V  '  

 ()  (’) x. y  0  
   
' 
 
{u , v , r , s }
độc lập tuyến tính 
V  V   0

 () & (’) chéo nhau   

 
(

)

(

')




( )  ( ')  




   
' 
 
{u , v , r , s }
V  V   0
 () cắt (’)  

 
( )  ( ')  I
( )  ( ')  I




độc lập tuyến tính 


 



 () // (’)  x  ky  (a.u  b.v )  k (c.r  d .s )  

Nhận xét: Trong  E 3  không có trường hợp 2 mặt phẳng cắt nhau 
tại  1  điểm,  mà  nếu  cắt  thì  chúng  cắt  nhau  theo  1  đường  thẳng.  Nhưng 
trong  E 4  thì có trường hợp 2 mặt phẳng cắt nhau tại một điểm duy nhất. 
e) Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và siêu phẳng 
Ta cũng xét tương tự như các ý trên. Ở đây ta chỉ xét sự giao nhau 
của chúng. 
Xét phương trình của mặt phẳng ():   
ax  by  cz  dv  e  0
 

 a ' x  b ' y  c ' z  d ' v  e '  0

 

13


                                                                        

Phương trình của siêu phẳng (S):  a " x  b " y  c " z  d " v  e "  0  
Ta  thấy  ()  cắt  (S)  theo  một  đương  thẳng.  Với  đường  thẳng  đó 
thỏa mãn hệ phương trình: 
ax  by  cz  dv  e  0

a ' x  b ' y  c ' z  d ' v  e '  0  
a " x  b " y  c " z  d "v  e"  0


Vậy: Mặt phẳng mà cắt siêu phẳng thì cho ta một đường thẳng 
f) Vị trí tương đối giữa 2 siêu phẳng
Xét 2 siêu phẳng có phương trình lần lượt như sau: 
(P):  ax  by  cz  dv  e  0                      
(Q):  a ' x  b ' y  c ' z  d ' v  e '  0  
 (P)(Q): 
Ta có 2 siêu phẳng này mà cắt nhau thì cho ta một mặt phẳng có 
phương trình như sau: 
ax  by  cz  dv  e  0
 

 a ' x  b ' y  c ' z  d ' v  e '  0

Vậy 2 siêu phẳng cắt nhau theo một mặt phẳng. 
 (P) // (Q)  

a b c d
    
a' b' c' d '

 (P)  (Q)  

a b c d e
     
a' b' c' d ' e'

Bài tập: 
Bài 1: Trong  E 4  với tọa độ trực chuẩn (x1, x2, x3, x4) cho cái phẳng 
 có hệ phương trình: 
x1   x 2   x 3   x 4     0


 x1   x 2   x 3   x 4    1      0  
 3x   x   3x   x  2   0
2
3
4
 1

 

14


                                                                        

Viết phương trình cái phẳng  đi qua giao điểm I = (1, 4, 4, 1) và 
bù trừ trực giao với  
Giải:





Phương    là    =    và    xác định bởi hệ phương trình: 




 x1   x 2   x 3   x 4    0

 x1   x 2   x 3   x 4    0  
3x   x   3x   x    0
2
3
4
 1





Đặt   a  = (1, 1, 1, 1),  b  = (1, -1, 1, -1),  c  = (3, -1, 3, -1). 


  











Ta có:    = < a ,  b ,  c > = < a ,  b > vì :  c =  a  + 2 b  
Do đó phương trình tham số của  là: 
 1
 1
1 
 x1 
 
 
 
 
 x2   = t  1  + t  1  +   4   
1
2
 1
 1
 4
 x3 
 
 
 
 
 x4 
 1

 1
1 
 x1  t1  t2  1

x  t t  4
Hay là:   2 1 2
 
 x3  t1  t2  4
 x  t  t 1
 4 1 2

(1) 
(2) 
(3) 
(4) 

 Lấy (1) – (3) ta được : x1 - x3  = -3 
Lấy (2) – (4) ta được : x2 - x4  =  3 
 
phương trình tổng quát của(): 
                                                      
 x1  x3  3  0
 

 x2  x4  3  0

Bài 2: Trong  E 4  viết phương trình tổng quát của m-phẳng  có số 
chiều  bé  nhất  chứa  điểm  M(-1,0,2,2)  và  có  phương  chứa  các  vectơ 



a(2,1,4,4), b(0,0,7,7)  
 

 

15


                                                                        

Giải:
 
Ta  thấy  { a , b }  là  một  hệ  vectơ  độc lập tuyến  tính  nên  chúng  có 

thể dùng làm cơ sở cho phương của cái phẳng có số chiều bé nhất thỏa 
mãn điều kiện: 



X  E 4  MX  t1a  t2b
 x1  1 
 2
0 


 
 
x 0
1
0

  2   t1    t2    
 4
7 
x 2
 3

 
 
 7 
 4 
 x4  2 
 x1  1  2t1

x  t
 2 1
 x3  2  4t1  7t2
 x  2  4t  7t
1
2
 4

(1) 
(2) 
(3) 
(4) 

Từ (1) và (2) ta có:  x1  2x 2  1  0  
Từ (3) và (4) ta có:  x3  x4  
 x1  2x 2  1  0

Vậy phương trình tổng quát của phẳng cần tìm là:  

 x3  x4  0

 

Bài 3: Trong  E 4  với mục tiêu trực chuẩn đã cho ta xét vị trí tương 
đối của 2 cái phẳng P và Q lần lượt cho bởi phương trình tham số của 
chúng như sau:
 x1  2  v

x  1  4v  3u
P:   2
 
 x3  3v  u
 x  5  11v  3u
 4

 

 

 x1  2t

x 3
Q:   2
 
 x3  1  3t
x  2  t
 4

Giải:
Gọi  Vp  và  Vq  lần  lượt  là  phương  của  P  và  Q.  Dựa  vào  phương 
trình tham số của chúng ta tìm được các vectơ cơ sở của Vp và Vq ta có 
thể viết phương trình tham số của P như sau: 

 

16


                                                                        

 x1  2 
1 
0 


 
 
 x2  1   = v   4   + u  3   
 x3  0 
3 
1 


 
 
 x4  5
11

3 



Gọi  a  = (1, 4, 3, 11) và  b  = (0, 3, 1, 3) 
 

Các vectơ  a ,  b  là một hệ độc lập tuyến tính và ta có: 








x  Vp  x1 a  + x2 b  =  x . 

Tương tự, phương trình tham số của Q có thể viết: 
 x1  0 
 2


 
 x2  3   = t   0   
 x3  1 
 3


 

 1
 x4  2 

Gọi  c  = (2, 0, 3, -1) là vectơ cơ sở của Vq  và ta có: 



q

y   V    y  = y1 c . 

 









Ta cần xét tích  x . y  với  x  Vp và  y   Vq 
 



x . y  = (x1 a  + x2 b ). y1 c  
 

 

= x1y1 a . c  + x2 y1 b . c  
 

Ta có:  a . c  = 2 + 0 + 9 – 11 = 0 
 

b . c  = 0 + 0 + 3 – 3   = 0 
 

Vậy  x . y = 0 do đó Vp  Vq (1). 
+ Xét: P  Q: 
Giả  sử các điểm  chung nếu  có là các điểm  M (x1, x2, x3, x4) ứng 
với các giá trị tương ứng của các tham số u, v, t trong hệ phương trình 
sau: 

 

17


                                                                        

2  v  2t


 1  4v  3u  3
 

3v  u  1  3t


5  11v  3u  2  t


2t  v  2  0


4v  3u  2  0
  
 
 3v  u  3t  1  0
11v  3u  t  3  0


 

Hệ phương trình trên vô nghiệm. 
Vậy P và Q không có điểm chung tức là P  Q =  (2) 
Từ (1) và (2) ta kết luận 2 cái phẳng đó chéo nhau và  vuông góc 
với nhau. 
Bài 4: Trong E4 với mục tiêu trực chuẩn cho trước xét vị trí tương 
đối của 2 cái phẳng R và S lần lượt cho bởi phương trình tổng quát của 
chúng như sau: 
R: x1 - x2 + 3x3 + x4  - 3 = 0 
x1  x2  3


S:  4 x1  x2  x3  0  
2 x  x  x  0
2

4
 1

Giải:


Gọi Vr và Vs lần lượt là phương của R và S. Ta có  a  = (1, -1, 3, 1) 


 

là vectơ pháp tuyến của siêu phẳng R. Do đó mọi vectơ  x  mà  x . a  = 0 
đều  thuộc    Vr.  Từ  phương  trình  tổng  quát  của  S  ta  có  hệ  vectơ

 


b  (1,1,0,0)
 
c  (4,1, 1,0)  
 
 d  (2,1,0, 1)

Tạo nên một hệ vectơ độc lập tuyến tính làm cơ sở của phương bù 
vuông góc với Vs. Ta xét: 
 





 





 



b . a  = 1 – 1 + 0 + 0 = 0   b  a  

c . a  = 4 – 1 – 3 + 0 = 0   c  a . 


d . a  = 2 – 1 + 0 – 1 = 0   d  a  

 

18


                                                                        
  



Vậy các vectơ  b ,  c ,  d  đều vuông góc với vectơ pháp tuyến  a  của 
 



siêu phẳng R nên  b , c ,  d   Vr với dim Vr = 3. Do đó Vr  bù vuông góc 
với Vs. Như vậy R và S là 2 cái phẳng bù vuông góc với nhau nên chúng 
có 1 điểm chung duy nhất M. 
Tìm tọa độ của M : Giải hệ phương trình 
x1  x2


4 x1  x2  x3


2 x1  x2  x4

 x  x  3x  x
2
3
4
 1

3
3
 
0
3

(1) 
(2) 
(3) 

(4) 

(3)  (4)  3x1  3x 3  3 
3
1
   4x3 = 6  x3 =    x1 =    
2
2
(2)  (1)  3x1  x 3  3
1
2

7
2

Thay x1 =    vào (1) ta có: x2 =   
1
2

7
2

5
2

Thay x1 =  , x2 =   vào (3) ta có: x4 =   
1 7 3 5
2 2 2 2

Vậy M(  , , , )= R  S. 

Bài 5: Trong  E 4  xét vị trí tương đối của 2 cái phẳng P và Q cho 
bởi phương trình của chúng sau đây: 
3x1  5x 2  2x 3  2x 4  7  0

P:  

-4x1 +7x 2 +4x 3  4x 4  10  0

            

4x1  9x 2  3x 3  7x 4  14  0

Q:  


2x1 -6x 2 -3x 3  2x 4  10  0

 

Giải: 
 3x1  5x 2  2x 3  2x 4  7  0

-4x +7x 2 +4x 3  4x 4  10  0
Xét hệ phương trình:   1
 
4x1  9x 2  3x 3  7x 4  14  0
 2x -6x -3x  2x  10  0
1
2
3

4


Giải hệ phương trình ta được nghiệm ( x1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 )=(1,2,0,0) 

 

19


                                                                        

Từ  đó  ta  kết  luận  2  mặt  phẳng  cắt  nhau  tại  một  điểm  duy  nhất 
(điều này không xảy ra trong  E 3 ) 
2.3.5 Khoảng cách giữa 2 cái phẳng – Khoảng cách từ 1 điểm đến 1
siêu phẳng trong E4. 
a)Khoảng cách giữa 2 cái phẳng.
Định nghĩa: Trong không gian Ơclit E4, khoảng cách giữa 2 cái 
phẳng  và  là số inf d(M, N) với M   và N  . 
  d(, ) = inf d(M, N) với M   và N  . 
 
+ Nếu    ≠   thì d(, ) = 0 
+ Nếu    =   thì d(, ) > 0 
Đường vuông góc chung của 2 cái phẳng:
Đường thẳng  gọi là đường vuông góc chung của 2 cái phẳng  
và  nếu  vuông góc với cả  và , đồng thời  cắt  và . 
Định lý: Gọi  là đường vuông góc chung của 2 cái phẳng  và  
nếu  cắt  và  lần lượt tại I và J thì d(, ) = d(I, J). 
Chứng minh:  Giả  sử  đường  vuông  góc  chung    cắt    và    lần 
lượt tại I và J với M  , N   ta có: 













 2





MN  =  MI  +  IJ  +  JN  = ( MI  +  JN ) +  IJ . 
 2



 2





  MN =   MI  JN  +   IJ  +  2 IJ .( MI  +  JN ) 

 

 

Vì   IJ .  MI = 0  và  IJ . JN  = 0 nên 
 2



 2

 2

 2

 2

MN =   MI  JN  + IJ    hay  MN  ≥   IJ  

Vậy: d(M, N) ≥ d(I, J) hay d(, ) = d(I, J). 
Định lý: Nếu 2 cái phẳng  và  chéo nhau thì chúng có đường 
vuông góc chung duy nhất. 

 

20


                                                                        






Chứng minh: Theo giả thiết ta có    =   và      O  






Xét tổng      và gọi    là không gian con bù trực giao với tổng 








     trong  E n .  Lấy P      và Q    thì vectơ  PQ   được phân tích 1 
cách duy nhất dưới dạng: 
 
  



PQ  =  u  v  với  u       và  v     . Giả sử : 






 

u  =      với  x      và  y     . Lấy các điểm I và J lần lượt 








trên  và  sao cho:  PI  = x   và  JQ  =  y  thì I  , J  . 














Vì  IJ =  IP  +  PQ  +  QJ  = -  x  +  PQ  -  y  














Hay:  PQ  =  IJ  +   x + y . 








Do đó:  IJ  =  v      nghĩa là  IJ     và  IJ     . Vì  và  không 
có điểm chung nên I không trùng với J. Vậy đường thẳng  đi qua I và J 
là đường vuông góc chung của 2 cái phẳng  và . 
Nếu ngoài  còn có ’ là đường vuông góc chung của  và  lần 
lượt cắt  và  tại I’ và J’ thì: 








 



IJ =  II '  +  I ' J '  +  J ' J  =  I ' J '  + ( II ' + J ' J ) 
 2

 2



 2







Do đó:  IJ =  II '  +  I ' J '  J ' J  vì  I ' J '   ( II '  +  J ' J ) 




Mặt khác ta có: d(, ) =  IJ , d(, ) =  I'J'  










Do đó:  II '  +  J ' J  =  O  tức là:  II '  =  J ' J  
 
I  I '
'
Vậy:  II '  =  J ' J            II  JJ '  0  
  ’ 
 J  J '

















     ={ O } 

 

21


                                                                        

Hệ quả 1:  Nếu điểm  I  không thuộc phẳng  thì qua I  có đưởng 
thẳng duy nhất vuông góc với  và cắt  tại J. Giao điểm J đó gọi là hình 
chiếu vuông góc của điểm I trên phẳng . Khi đó có d(I, ) = d(I, J). 








Hệ quả 2:  Nếu    //    tức là :    =  và        thì với I   
đường thẳng đi qua điểm I và vuông góc với  sẽ là vuông góc chung với 
chung của  và . Ta có: d(, ) = d(I, ) với bất kì I  . Trong trường 
này qua mỗi điểm I   có một đường vuông góc chung và như vậy ta sẽ 

có vô số đường vuông chung của  và . 
b) Khoảng cách từ một điểm đến một siêu phẳng trong E4.
Trong E4, đối với mục tiêu trực chuẩn cho trước, siêu phẳng  có 
phương trình: 
a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a0 = 0 




Gọi    là phương của siêu phẳng . Ta xét  n  = (a1,  a2, a3,  a4).Và 




nhận thấy rằng vectơ  n  trực giao với   . 
Thật vậy: 
Với một điểm bất kì P   và giả sử P =  (p1, p2, p3, p4)  
4

Ta có:    ai pi  a0  0  

(1) 

i 1
4

Với M (x1, x2, x3, x4)   Ta có:   ai xi  a0  0 :  (2) 
i 1

 

4





Từ (1) và (2)    ai ( xi  pi )  0    n . PM  = 0. Với  PM     . 
i 1



Khi đó ta gọi  n  là vectơ pháp tuyến của siêu phẳng  
- Tìm khoảng cách từ một điểm đến một siêu phẳng. 
Trong E4 giả sử đối với mục tiêu trực chuẩn cho trước siêu phẳng 
 có phương trình: a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a0 = 0 

 

22