Phương pháp tính gần đúng tích phân

Lời cảm ơn
Trong suốt thời gian học tập tại Khoa Toán – Trường Đại học Sư
Phạm Hà Nội 2, được sự dạy dỗ và chỉ bảo tận tình của các thầy giáo, cô
giáo, em đã tiếp thu được nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm và
phương pháp học tập mới, bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa
học.
Qua đây, em xin chân thành cảm ơn toàn thể các thầy giáo, cô giáo
trong Khoa Toán – những người đã giúp đỡ, chăm lo và dìu dắt chúng
em trưởng thành như hôm nay.
Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới
thầy: Tiến sỹ Nguyễn Văn Hùng, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo
và đóng góp nhiều ý kiến quý báu trong suốt thời gian em thực hiện khóa
luận này.

Sinh viên
Nguyễn Thị Ngân

1


Lời cam đoan
Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy
giáo Nguyễn Văn Hùng cùng với sự cố gắng của bản thân em trong quá
trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận, em có tham khảo tài liệu của
một số tác giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo).
Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên
cứu của bản thân, không trùng với kết quả của tác giả khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Sinh viên
Nguyễn Thị Ngân

2


Mục lục
Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Mục lục
Lời nói đầu ............................................................................................. 1
Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị.......................................................... 2
A. SAI SỐ ............................................................................................. 2
1.1 Số gần đúng và sai số ....................................................................... 2
1.2 Các quy tắc tính sai số ...................................................................... 3
1.3 Sai số tính toán và sai số phương pháp ............................................. 5
B. ĐA THỨC NỘI SUY ....................................................................... 5
1.4 Đa thức nội suy Lagrange. ................................................................ 7
C. TÍCH PHÂN .................................................................................. 14
1.5 Tích phân ....................................................................................... 14
Chương 2: Giải gần đúng tích phân ...................................................... 16
2.1 Mở đầu ........................................................................................... 16
2.2 Công thức hình thang ..................................................................... 16
2.3 Công thức Simpson ........................................................................ 21
2.4 Công thức Newton – Cotes ............................................................. 27
2.5 Công thức Chebysev....................................................................... 31
2.6 Công thức Gauss ............................................................................ 34
2.7 Giải gần đúng tích phân bội bằng phương pháp Monte – Carlo ...... 38
Chương 3: Ứng dụng ............................................................................ 41
Kết luận................................................................................................ 49
Tài liệu tham khảo ................................................................................ 50

3


Lời nói đầu
Toán học bắt đầu từ nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc
từ thực tiễn. Cùng với thời gian, toán học ngày càng phát triển và chia
thành hai lĩnh vực: Toán học lý thuyết và toán học ứng dụng. Khi nói
đến toán học ứng dụng không thể không nhắc đến Giải tích số.
Giải tích số là một môn khoa học nghiên cứu cách giải gần đúng
các phương trình, các bài toán xấp xỉ hàm số, các bài toán tối ưu. Sự ra
đời và phát triển của Giải tích số đã góp phần quan trọng trong việc tạo
ra các thuật giải các bài toán thực tế như: các bài toán ngược trong lĩnh
vực thăm dò, chuẩn đoán, nhận dạng…
Ngày nay, với sự phát triển của Tin học thì các kiến thức của Giải
tích số càng trở nên rất cần thiết. Chúng ta đang được chứng kiến xu thế
song song hóa đang diễn ra trong tất cả các lĩnh vực của Giải Tích số. Để
tiết kiệm bộ nhớ trong máy tính, người ta đã đề xuất những phương pháp
hữu hiệu xử lí hệ lớn, thưa như kĩ thuật ném ma trận, kĩ thuật tiền xử lí
ma trận…
Trong thực tế, nhiều khi ta phải tính tích phân xác định của hàm số
khi không biết nguyên hàm của nó, nếu dùng định nghĩa thì độ chính xác
đạt được không cao mà vẫn phải thực hiện một khối lượng tính toán lớn.
Ngoài ra, trong nhiều trường hợp, hàm số chỉ được cho dưới dạng bảng
nên khái niệm nguyên hàm trở nên vô nghĩa. Tuy nhiên, Giải tích số đã
cung cấp cho chúng ta những phương pháp đơn giản nhất để tính được
gần đúng tích phân xác định mà độ chính xác không kém bao nhiêu.
Vì vậy, với niềm yêu thích bộ môn Giải tích số em đã lựa chọn đề
tài cho khóa luận tốt nghiệp của em là “ Phương pháp giải gần đúng tích
phân”.
Khóa luận này bao gồm 3 chương:

Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Giải gần đúng tích phân
Chương 3: Bài tập

4


CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
A. SAI SỐ
1.1 Số gần đúng và sai số
1.1.1 Số gần đúng – Sai số tương đối và sai số tuyệt đối
∗

Ta gọi x là số gần đúng của số
với x ∗ . Hiệu số ∆= |

∗

− | được gọi là sai số thực của x vì không biết

∗

được giá trị đúng của

nếu x không sai khác nhiều so

nên không thể xác định được ∆

Mặt khác ta có thể tìm được số ∆ ≥ 0 sao cho |
∆

ọ à

=

∆
ọ à
| |

Suy ra ∆ = | |.

ố

ệ đố
ố ươ

∗

− | ≤ ∆ . Khi đó:

ủ
đố

ủ

là công thức thể hiện được mối liên hệ giữa sai

số tương đối và sai số tuyệt đối.
1.1.2 Quy tròn số và sai số quy tròn
a, Hiện tượng quy tròn số

Khi gặp một số có quá nhiều số đằng sau dấu phẩy, người ta bỏ đi
một vài chữ số ở cuối, việc làm đó được gọi là quy tròn số.
Mỗi khi quy tròn số, ta tạo ra một sai số mới gọi là sai số quy tròn
tuyệt đối.
b, Sai số quy tròn tuyệt đối
∗

Gọi x là sai số gần đúng của
số

sao cho | −
Vì |

∗

−

|≤

|≤|

∗

là số quy tròn của x. Thế thì

được gọi là sai số quy tròn của
− |+| −

tròn số thì sai số tuyệt đối tăng thêm
Gọi x là số gần đúng của

sao cho | −

và

∗

và

|≤

5

|≤∆ +

.

nên ta thấy khi làm

.
là số quy tròn của x. Thế thì số


1.1.3 Cách viết số gần đúng
a, Chữ số có nghĩa
Chữ số có nghĩa là tất cả các chữ số khác không, kể cả số không
nếu nó kẹp giữa hai chữ số khác không hoặc nó đại diện cho hàng được
giữ lại.
Chẳng hạn 0,000014060 có năm chữ số có nghĩa là 1;4;0;6;0.
b, Chữ số đáng tin
Mọi chữ số thập phân x đều có thể biểu diễn dưới dạng

=±
trong đó

. 10

là những số nguyên từ 0 đến 9
∗

Gọi x là chữ số gần đúng của

với sai số tuyệt đối ∆ . Thế thì

được gọi là chữ số chắc hay chữ số đáng tin nếu ∆ ≤ 0,5. 10 và nếu
∆ ≥ 0,5. 10 thì

là chữ số đáng nghi.

c, Cách viết số gần đúng
∗

Gọi x là chữ số gần đúng của

với sai số tuyệt đối ∆ . Thế thì có

hai cách viết số gần đúng x.
Cách 1:

± ∆ hoặc (1 ±

)

Cách 2: Viết theo quy ước mọi chữ số có nghĩa của x đều là chữ số
đáng tin.
1.2 Các quy tắc tính sai số
1.2.1 Mở đầu
Xét hàm số u của hai biến x và y có dạng
số về x;y. Hãy lập công thức tính sai số về u.
Ta kí hiệu ∆ , ∆ , ∆ là các số gia của x;y;u.
,

,

là các vi phân của x;y;u.

∆ , ∆ , ∆ là các sai số tuyệt đối của x;y;u.

6

= ( , ). Cho biết sai


Vì |

∗

− | ≤ ∆ nên ta luôn có |∆ | ≤ ∆ .
∆ ≤∆ .

Ta phải tìm ∆ để có |∆ | ≤ ∆
=

1.2.2 Sai số của tổng

+

Ta có ∆ = ∆ + ∆ suy ra ∆ ≤ |∆ | + |∆ | nên ∆ ≤ ∆ + ∆
= ∆ + ∆ để có |∆ | ≤ ∆

Ta chọn ∆

Do đó ta có quy tắc: Sai số tuyệt đối của một tổng bằng tổng các
sai số tuyệt đối của các số hạng.
Chú ý
ế

=

−

ớ

à

ù

ấ

ℎì

=

∆ +∆
∆
=
| |
| − |

Cho nên | − | rất bé thì sai số tương đối là rất lớn. Vì vậy, trong
tính toán người ta tìm mọi cách để tránh phải trừ các số gần nhau.
=

1.2.3 Sai số của tích
Ta có ∆ ≈

=

+

≈ ∆ + ∆

Suy ra |∆ | ≤ | ||∆ | + | ||∆ | ≤ | |∆ + | |∆
Suy ra ∆ = | |∆ + | |∆
đó
Tức là

=

| |∆ + | |∆
∆
∆

∆
=
=
+
=
| |
| || |
| | | |
=

=

+

+

Vậy sai số tương đối của một tích bằng tổng các sai số tương đối
của các thừa số của tích.
Đặc biệt ta có

(

1.2.4 Sai số của thương

)

=
=

với n nguyên dương

, ≠

Tương tự như trường hợp tích ta có quy tắc: Sai số tương đối của một
thương bằng tổng các sai số tương đối của các số hạng:

7

⁄

=

+


1.2.5 Công thức tổng quát
ℎ

1.3

= ( ,

,…,

)

ó ∆ =

=

∆

∆
1
=
=
| | | | | |

=

.∆ =

.∆

.∆ =

ln

1
| |

.∆

.∆

Sai số tính toán và sai số phương pháp
Khi giải gần đúng một bài toán phức tạp ta phải thay bài toán đã

cho bằng một bài toán đơn giản hơn có thể giải được thông qua việc thực
hiện các phép tính thông thường bằng tay hay bằng máy tính điện tử.
Phương pháp này thay bài toán phức tạp bằng bài toán đơn giản gọi là
phương pháp gần đúng.

Sai số của phương pháp gần đúng tạo ra gọi là sai số phương pháp.
Để giải bài toán đơn giản ta phải thực hiện các phép tính thông
thường, ta luôn phải quy tròn các kết quả không gian. Sai số tạo bởi tất
cả các lần quy tròn như vậy gọi là sai số tính toán.
Sai số cuối cùng là tổng hợp của hai loại sai số phương pháp và sai
số tính toán.
Chú ý
Sai số tổng hợp cuối cùng có phần của sai số phương pháp và sai
số tính toán.Vì vậy, phải chú ý điều chỉnh sao cho sai số cuối cùng nhỏ
hơn sai số cho phép.
B. ĐA THỨC NỘI SUY
Trong thực tế, nhiều khi ta phải tìm hàm y = f(x), chỉ biết giá trị y
tại các điểm x ∈ [a, b] (i = 0,1, … . , n).Cũng có trường hợp biểu thức
giải tích f(x) đã cho quá cồng kềnh. Khi đó dùng phép nội suy ta có thể

8


dễ dàng tính được f tại bất kì

∈ [ , ] mà độ chính xác không kém bao

nhiêu.
Ngoài ý nghĩa lịch sử ra, đa thức đại số thường được dùng trong
phép nội suy vì lí do đơn giản sau: các phép toán cộng, trừ, nhân, đạo
hàm, tích phân dễ dàng được thực hiện trên đa thức. Hơn nữa nếu P(x) là
đa thức, còn c là hằng số thì P(cx) và P(x + c) cũng là đa thức.
Bài toán đặt ra như sau: Cho các mốc nội suy
a ≤ x < x < ⋯ < x ≤ b.
Hãy tìm đa thức bậc m: P (x) =

a x sao cho

P (x ) = y ≔ f(x ) (i = 0, n)
Ý nghĩa hình học của bài toán nội suy là: hãy xây dựng đường
cong đại số y = P (x) đi qua các điểm cho trước (x , y ) (i = 0, n).
Như vậy ta cần xác định (m + 1) hệ số a (i = 0, n) từ hệ phương
trình tuyến tính sau:
a x = y (i = 0, n) (1.1)
Dễ thấy nếu m < n (m > n) hệ nói chung vô nghiệm (vô định). Khi
m = n, hệ (1.1) có định thức Vandermonde.
1 x x
… x
… x
△= 1 x x
=
… … … … …
1 x x
… x

x −x

≠0

Suy ra phương trình (1.1) có nghiệm duy nhất.
Để giải bài toán đã cho ta phải giải hệ (1.1), như vậy sẽ rất khó
khăn và phức tạp.
Sau đây ta sẽ trình bày cách xây dựng đa thức nội suy mà không
cần giải hệ (1.1), gọi là đa thức nội suy Lagrange.

9


1.4. Đa thức nội suy Lagrange
1.4.1. Công thức nội suy Lagrange
Tìm đa thức

( ) có bậc n, sao cho
( , = 0, ).

=
Ta có:
( )=

( − )…( −
( − )…( −

)( −
)( −

( )=

( ),

)…( − )
.
)…( − )

Đặt

=

=

( = 0, ).

Như vậy, P(x) là đa thức nội suy (duy nhất) cần tìm.
Nếu các mốc nội suy cách đều, tức là

ℎì đặ

−
−
ℎ

≔

( )=
(

(

= ℎ ( = 0, − 1)
ℎ

+ ℎ) =

+ ℎ) =

=

(−1)
−

+ ℎ,

đượ

( − 1) … ( − )
!

( − 1) … ( − )
!

(−1)
−

1.4.2 Sai số của phép nội suy
a) Sai số phương pháp
Giả sử, P(x) là đa thức nội suy bậc n của hàm f(x), tức là
( ) = ( ) ( = 0, ) . Ta cố định giá trị
cách ước lượng sai số
≠

( = 0, ) vì

∈ [ , ] tùy ý và tìm

( ) = ( ) − ( ). Dĩ nhiên chỉ cần xét

( ) = 0 ( = 0, ).

10


| ( )| = | ( ) − ( )| ≤
đó

( + 1)!

|( −
(

= sup

)…( −

)(

)|

)

b) Sai số tính toán
Giả sử thay vì biết các giá trị đúng
trị gần đúng

= ( ), ta chỉ biết các giá

. Khi đó, thay vì đa thức nội suy

( )=

( )
,
( − ) ( )

( )=

( )
( − ) ( )

Ta có

Giả sử

−

≤ ∆ , khi đó sai số tính toán

|∆ | =

−

≤

∆

( )
.
( − ) ( )

Nếu các mốc nội suy cách đều và ∆
|∆ | ≤

≤

| ( − 1) … ( − )|
!

( = 0, ) thì
| − |

1.4.3. Chọn mốc nội suy
a) Đa thức Chebysev
( ) ≔ cos[ arccos ] (| | ≤ 1)
Đặt
∓sin sin

= arccos

và ta có cos( ± 1) = cos cos

, ta được cos( + 1) + cos( − 1) = 2 cos

hay:
( )=2
Nghiệm của

( )−

( )

( ) là:
= cos

2 +1

11

( = 0, − 1)

∓


à ự

ó max| ( )| = 1 , đạ

ị ủ

| |

( = 0, )

= cos

ạ

Trong tất cả các đa thức bậc n với hệ số đầu bằng 1, đa thức
( )⁄2

Chebysev

có độ lệch (so với 0) nhỏ nhất trên đoạn [-1, 1].

Nghĩa là, nếu
( )=

+

+ ⋯+

Thì
max| ( )| ≥ max
| |

| |

| ( )|
1
=
2
2

b) Chọn mốc nội suy
Trong trường hợp

= −1; = 1 ta lấy mốc nội suy

là nghiệm

( ). Khi đó, ước lượng tốt nhất của phép nội

của đa thức Chebysev
suy là:

| ( ) − ( )| ≤
đó

( + 1)!

( )=( −

| ( )| ≤

)…( −

2 ( + 1)!
)=

( )
2

Trong trường hợp a < b bất kì, ta dùng phép thế biến

=

đưa đoạn [a,b] về đoạn [-1,1]. Ước lượng tốt nhất của phép nội suy trong
trường hợp này là:
| ( ) − ( )| ≤

( − )
( + 1)! 2

1.4.4 Sai phân
 Giả sử

∶

→

là một hàm số cho trước và ℎ =

Ta gọi sai phân cấp 1 của f(x) là đại lượng
∆ ( ) = ( + ℎ) − ( ).
Tỷ sai phân cấp một của f(x) là

12

∆ ( )
.
ℎ

≠ 0.


Một cách tổng quát
( ) ≔ ∆[∆

∆

( )]( ≥ 1), ∆

( ) ≔ ( ).

 Các tính chất của sai phân
1)

∆ là toán tử tuyến tính, nghĩa là:
∀ ,

∈

;∀ ,

⇒ ∆(

)= ∆ + ∆

+

2)

Nếu c = const thì ∆ = 0.

3)

∆ (

4)

Nếu P(x) là đa thức bậc n thì theo công thức Taylor

) = !ℎ ;

∆ (

)=0 (

∆ ≔ ( + ℎ) − ( ) =

5)

( + ℎ) =

6) ∆

( )=

∆

()

( )

∆ ( )

(−1)

( + ( − )ℎ)

[ , ] và ( , + ℎ) ⊂ [ , ], khi đó

∈

7) Giả sử

ℎ
!

> ).

( )

=

( )(

+ ℎ),
∈ (0,1)
ℎ
1.4.5. Một số quy tắc nội suy hàm số trên lưới đều
1.4.5.1 Quy tắc xác định sai phân
Giả sử hàm y = f(x) cho dưới dạng bảng
cách đều :

−

( ≥ 0) khi đó sai phân được xác

=ℎ=

định như sau:
∆

=

−

=

∆

=

= ( ) tại các mốc

∆

(−1)

13


1.4.5.2. Các quy tắc nội suy
a) Công thức nội suy Newton tiến
<

Mốc nội suy được sắp xếp theo thứ tự

<⋯<

.

Tìm đa thức nội suy dưới dạng
( )=

( −

+

( −

…+
Đổ

−
ℎ

=

ế

,

)+

=

( −

)( −

)…+ ( −

+ ℎ,

)+⋯

)

đượ

( − 1)
∆
1!
2!
( − 1) … ( − + 1)
+
∆
!

(

+ ℎ) =

+

(

+

∆

+

)(

)
ℎ
( + 1)!

+⋯
+

( − 1) … ( − )

b) Công thức nội suy Newton lùi
>

Mốc nội suy sắp xếp theo thứ tự giảm dần

>⋯>

Tìm đa thức nội suy dưới dạng:
( )=

=
(

−
ℎ

)+

( −

…+
Đặ

( −

+

⇒

=

+ ℎ) =

( −

)( −
+ ℎ,

)( −

)…( −

(

+

)

đượ

( + 1)
∆
1!
2!
( + 1) … ( + − 1)
+
∆
!
+

)+

∆

+

)(

)
ℎ
( + 1)!

+ ⋯+

+

( + 1) … ( + )

Giả sử các mốc nội suy được sắp xếp như sau:
=

+ ℎ ( = 0, ±1, ±2, … , ± )

14

.


c) Công thức Gauss I
Đa thức nội suy tìm dưới dạng “tiến, lùi”:
( )=

( −

+

Đặ

( −

+

)+

( −

)( −

)( −

)( −

)+⋯+
)+

…( −

)( −

)…( −

…( −

)( −

)( −

−
ℎ

=

( )= (

,

−

(

(

)

)( −

)

…

…

)

ó:

+ ℎ) =

+

1!

∆

+

( − 1)
∆
2!

( + 1) ( − 1)
∆
3!

+

( + 2)( + 1) ( − 1)( − 2)
∆
5!
( +

−

)…( −

+

+

)+..

+

+

( + 1) ( − 1)( − 2)
∆
4!

+

+ ⋯+

− 1) … ( + 1) ( − 1) … ( −
(2 )!

+ 1)

∆

d) Công thức nội suy Gauss II
Tìm công thức nội suy dưới dạng “lùi, tiến”:
( )=

+

( −

( −
)( −

+

( −

)( −

+

( −

)( −

…+

Đổ

)+

−

…( −

)+

…( −

)…

ế

=

−

ℎ

,

(

)( −
)+

)( −
)

)( −

…( −

( −

)

)( −

)…( −

đượ :

15

)+⋯
)( −

)( −

)…

)( −

)…


( + 1)
∆
+
1!
2!
( + 1) ( − 1)
( + 2)( + 1) ( − 1)
+
∆
+
∆
3!
4!
( + − 1) … ( + 1) ( − 1) … ( − + 1)
…+
∆
(2 − 1)!

( )= (

+

+ ℎ) =

( + )( +

+

∆

+

− 1) … ( + 1) ( − 1) … ( −
(2 )!

+ 1)

+⋯
+
∆

e) Công thức nội suy Stirling
−
ℎ
Lấy trung bình cộng hai công thức Gauss I,II ta được công thức Stirling
=

Đặ

( )= (

+
+
+
+

+ ℎ) =

(

− 1) ∆
3!

(

− 1)(
5!

(

− 1 )(
(

+

+∆
2

∆
1!
(

+

− 2 )∆

+∆
2

+

2!

− 1)
∆
4!

+∆
2

(

+

+

+
− 1 )(
6!

− 2 ) … ( − ( − 1) ) ∆

(2 − 1)!

− 1 ) … ( − ( − 1) )
∆
(2 )!

∆

+∆
2

−2 )

∆
(

+⋯
)

+

.

f)Công thức nội suy Bessel
( )= (

+ ℎ) =

+
2

+

−

1
∆
2

+

( − 1) ∆
( − 1⁄2) ( − 1)
+∆
+
∆
2!
2
3!
( − 1)( + 1)( − 2) ∆
+∆
+
+
4!
2
( − 1⁄2) ( − 1)( + 1)( − 2)
+
∆
+⋯
5!

+

16

+


C.TÍCH PHÂN
1.5. Tích phân
1.5.1 Định nghĩa
Cho hàm số f liên tục trên K và ; là hai số bất kì thuộc K. Nếu
F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số ( ) − ( ) được gọi là
tích phân của f từ a đến b, và í ℎ ệ ∫

( )

Người ta còn dùng kí hiệu ( )| để chỉ hiệu số ( ) − ( ). Như
vậy, nếu F là một nguyên hàm của f trênK thì
( )
( )

ì

à

= ( )|
ê ℎà

ộ

( )

ấ

ì ủ

ê

ó:

( )

=

Người ta gọi hai số ; là hai cận tích phân, số a là cận dưới, số b
là cận trên, f là hàm số dưới dấu tích phân, f(x)dx là biểu thức dưới dấu
tích phân, và x là biến số lấy tích phân.
1.5.2 Tính chất của tích phân
Giả sử các hàm số ;

liên tục trên K và a;b;c là ba số bất kì thuộc K.

Khi đó ta có:
1)

2)

( )

( )

=0

=−

( )

17


3)

4)

5)

( )

( )

+

[ ( ) + ( )]

. ( )

=

=

=

( )

18

( )

( )

, ớ

( )

+

∈


CHƯƠNG 2: GIẢI GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
2.1 Mở đầu
Thông thường, nếu ta biết được nguyên hàm của hàm số f(x) là
F(x) thì tích phân :
=

( )

= ( ) − ( ).

Trong thực tế, nhiều khi ta phải tính tích phân xác định của hàm số

mà không biết nguyên hàm của nó. Nếu dùng định nghĩa tích phân
I = lim

→

∑

f(x )∆x thì tổng Darbour hội tụ rất chậm, do đó để đạt

được độ chính xác không cao ta vẫn phải thực hiện một khối lượng tính
toán lớn. Ngoài ra, trong nhiều trường hợp, hàm f(x) chỉ được cho dưới
dạng bảng, vì vậy khái niệm nguyên hàm trở nên vô nghĩa.
Phương pháp đơn giản nhất để tính gần đúng tích phân xác định là
thay f(x) bằng đa thức nội suy P(x), sau đó đặt:
I=

f(x)dx ⋍

P(x)dx

2.2 Công thức hình thang
2.2.1 Xây dựng công thức
( )

í ℎ

Ta chia đoạn [a,b] thành n phần bằng nhau với các điểm chia
x = a + ih (i = 0, n); h = (b − a)/n.

19

Thay diện tích hình thang cong bằng diện tích hình thang vuông
(xem hình dưới).

ℎ

Ta được:
f(x)dx =

y +y
h.
2

Tương tự, ta có
f(x)dx =

f(x)dx ⋍

h.

y +y
2

Như vậy
f(x)dx ≃

b−a
(y + 2y + … + 2y
2n

+ y ) (2.1)

a) Sai số phương pháp
Sai số địa phương.
Thực chất của việc thay

f(x)dx ≃

y +y
h
2

là xấp xỉ hàm f(x) trên đoạn [x , x ] bằng đa thức nội suy bậc nhất:
f(x) ≃ P (x) =

y (x − x ` ) y (x − x )
+
x − x
x −x

20


Sai số của phép nội suy tuyến tính là:
|R (x)| =

f (ξ)
M
(x − x )(x − x ) ≤ |(x − x )(x − x)|

2
2

trong đó M = sup{|f (x)|P: x ∈ [x , x ]}. Dễ thấy
r ≔

≤

fdx −

M
2

y +y
h ≤
2

|R (x)| ≤

(x − x ) (x − x)dx =

Mh
12

b) Sai số toàn phần.
Mh
M(b − a)
=
h
12

12
Sai số tính toán sẽ trình bày chung cho các công thức cầu phương
r = n.

(tính gần đúng tích phân).
2.2.3 Các bài toán
Bài toán 1
Bằng phương pháp hình thang, với việc chia đoạn [1,5] thành 4
phần bằng nhau, tính:
=
Giải
Chia đoạn [1;5] thành n = 4 đoạn con bằng nhau, h = 1,0 ta tính ra
bảng sau:

21


1

X

1
1
1
2
1
3
1
4
1

5

1,0
2,0
3,0
4,0
5,0

Áp dụng công thức hình thang ta được
I⋍

5−1
1 1 1 1
101
1+ + + +
=
2×4
2 3 4 5
60

Vì f’’(x) = 2x

nên f’’(x)≤ 2 (∀x ∈ [1,5])và như vậy:

2×4
2
× 1 = ⋍ 0.66
12
3
Như vậy, so với giá trị của tích phân thì việc giải gần đúng tích

r=

phân này nhờ công thức hình thang sẽ cho sai số tương đối là 0.66
Bài toán 2
Bằng phương pháp hình thang, với việc chia đoạn [0;1] thành 10
phần bằng nhau, tính:
4
3

=

Giải
Chia đoạn [1;2] thành n = 10 đoạn con bằng nhau, h = 0,1 ta tính ra
bảng sau:

22


X

4
3

1,0

0,235237573

1,1

-0,042524179

1,2

-0,342149651

1,3

-0,630763705

1,4

-0,863685734

1,5

-0,989992496

1,6

-0,963305142

1,7

-0,757226093

1,8

-0,382396917

1,9

0,100773007

2,0

0,581803489

Áp dụng công thức hình thang ta được:
=

4
3

=

0,1
. [(
2

) + 2(

+

+

+⋯+

)]

= −0,446275037

Bài toán 3
Bằng phương pháp hình thang, với việc chia đoạn [0;1] thành 10
phần bằng nhau, tính:
2
3

=

Giải
Chia đoạn [0;1] thành n =10 đoạn con bằng nhau, h = 0,1 ta tính
được bảng sau:

23


X

2
3

0,0

0,000000000

0,1

0,000666666

0,2

0,005333383

0,3

0,018001944

0,4

0,042692576

0,5

0,083526771

0,6

0,145003653

0,7

0,232737369

0,8

0,355237759

0,9

0,528261046

1,0

0,786842889

Áp dụng công thức hình thang ta được
=

2
3

=

0,1
[(
2

+

) + 2(

+

+⋯+

)]

= 0,180488261
2.3 Công thức parabol (Simpson)
2.3.1 Xây dựng công thức
( )

í ℎ

Chia đoạn [a,b] thành 2n phần bằng nhau với bước h = (b-a)/2n.
Trên mỗi đoạn [x

, x ], (i = 1, n) ta thay f(x) bằng đa thức nội suy

bậc hai (parabol) với các mốc nội suy x

24

,x

,x


f(x) ⋍ P (x) = y
(x − x
(x
−x

+y

)(x − x )
+
)(x
−x )

)(x − x )

(x − x
+y
)(x
(x − x
−x )

)(x − x
)
)(x − x
)

h
P (x)dx = (y
3

+y )

f(x)dx ≃

Đặt

Vì

(x − x
(x
−x

fdx =

h

(y
3

fdx ≃

+ 4y

+y )

+ 4y

nên ta có công thức sau:
fdx ≃

b−a
(y + 4y + 2y + ⋯ + 4y
6n

+ y ).

(2.2)

2.3.2 Sai số phương pháp
Sai số địa phương
Xét hàm F(t) ≔ Φ(t) −

Φ(t) =

t
h

Φ(h)(0 ≤ t ≤ h),

trong đó

t
f(x)dx − [f(x − t) + 4f(x ) + f(x + t)]
3

Dễ thấy F(0) = F(h) = 0 ; F’(0) = F’’(0) = 0, còn
F ( ) (t) = −

t ( )
60t
f (x + t) − f ( ) (x − t) −
Φ(h),
3
h

Hay
F ( ) (t) = −

2t ( )
90
f (ξ) + Φ(h) ,
3
h

(2.3)

Trong đó ξ ∈ (x − t, x + t).
Áp dụng định lý Rolle ta có: do F(0) = F(h) = 0 nên tìm được
t ∈ (0, h) để F’’(t ) = 0. Tiếp theo F’(0) = F’(t ) = 0, ta tìm được

25