Phương trình vi phân cấp hai trong mặt phẳng pha

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

ĐÀO THỊ HẢI

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI
TRONG MẶT PHẲNG PHA

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học
TS. TRẦN VĂN BẰNG

Hà Nội 14- 5- 2013


LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Trần Văn Bằng Người thầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành bài
khóa luận của mình. Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong
tổ Giải tích và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt bài
khóa luận này.
Trong khuôn khổ có hạn của một bài khóa luận, do điều kiện thời gian,
do trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học cho nên
không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định. Vì vậy, em kính mong
nhận được những góp ý của các thầy cô và các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, ngày 14 tháng 05 năm 2013
Sinh viên

ĐÀO THỊ HẢI


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới sự hướng dẫn
tận tình của TS. Trần Văn Bằng.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này em đã tham khảo
một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Phương trình vi phân cấp hai
trong mặt phẳng pha” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.

Hà Nội, ngày 14 tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Đào Thị Hải


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Phương trình vi phân cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1. Phương trình khuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3. Phương trình tuyến tính có hệ số không đổi . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.4. Phương trình Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Chương 2. Phương trình vi phân cấp hai trong mặt phẳng pha . . .

8

2.1. Lược đồ pha của phương trình con lắc đơn . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2. Phương trình autonom trong mặt phẳng pha . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.3. Mô hình cơ học của hệ động lực bảo toàn x¨ = f (x) . . . . . . . .

24

2.4. Dao động tắt dần tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.5. Giảm tốc phi tuyến: chu trình giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.6. Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.7. Hệ bảo toàn phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.8. Biểu diễn đồ thị các nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58


MỞ ĐẦU
Phương trình vi phân là một phương trình toán học nhằm biểu diễn mối
quan hệ giữa một hàm chưa biết (một hoặc nhiều biến) với đạo hàm của nó

(có bậc khác nhau). Phương trình vi phân xuất hiện trên cơ sở phát triển của
khoa học kĩ thuật và những yêu cầu đòi hỏi của thực tế. Do vậy việc nghiên
cứu phương trình vi phân có ý nghĩa quan trọng. Trên thực tế số phương
trình vi phân nói chung, số phương trình vi phân cấp hai nói riêng giải được
không nhiều (xem một số lớp phương trình vi phân cấp hai giải được trong
Chương 1). Do vậy chúng ta phải có một hướng mới để nghiên cứu phương
trình vi phân, đó là hướng nghiên cứu định tính của phương trình vi phân.
Nghiên cứu định tính phương trình vi phân là tìm cách suy ra các đặc trưng
quan trọng của các nghiệm của phương trình vi phân mà không cần giải
chúng. Một trong những công cụ hình học để nghiên cứu định tính là mặt
phẳng pha. Qua mặt phẳng pha ta nhận được các tính chất quan trọng như:
điểm cân bằng, tính tăng vô hạn, tính ổn định và một số kết quả khác.
Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về phương trình vi phân cấp hai hay
cụ thể hơn là sử dụng mặt phẳng pha nghiên cứu định tính phương trình vi
phân cấp hai, em đã mạnh dạn chọn đề tài: "Phương trình vi phân cấp hai
trong mặt phẳng pha". Nội dung đề cập trong khóa luận được trình bày
trong hai chương:
Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân cấp hai
và một số lớp phương trình vi phân cấp hai giải được hoặc hạ cấp được.
Chương 2 trình bày về khái niệm mặt phẳng pha và cách sử dụng mặt phẳng
pha để nghiên cứu định tính của phương trình vi phân cấp hai.
Do là lần đầu thực tập nghiên cứu, thời gian có hạn và năng lực bản thân
còn hạn chế nên chắc chắn bài nghiên cứu này khó tránh khỏi những thiếu
sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và bạn đọc để
đề tài này hoàn chỉnh và đạt kết quả cao hơn.
1


Chương 1

Phương trình vi phân cấp
hai
Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng
F(x, y, y , y ) = 0.

(1.1)

ở đây x là biến độc lập, y(x) là hàm chưa biết và y (x), y (x) là các đạo hàm
của nó.
Nếu giải được phương trình (1.1) đối với y , nó có dạng
y = f (x, y, y ).

(1.2)

Định lý 1.1. (Sự tồn tại và duy nhất nghiệm). Cho phương trình (1.2)
∂f
∂f
Nếu f (x, y, y ),
(x, y, y ) và
(x, y, y ) liên tục trong một miền D nào đó
∂y
∂y
trong R3 và nếu (x0 , y0 , y0 ) là một điểm liên tục thuộc D thì trong một lân cận
nào đó của điểm x = x0 , tồn tại một nghiệm duy nhất y = y(x) của phương
trình (1.2) thỏa mãn các điều kiện
y|x=x0 = y0 , y |x=x0 = y0 .
2

(1.3)

Bài toán tìm nghiệm của phương trình (1.2) thỏa mãn điều kiện (1.3)
được gọi là bài toán Cauchy của phương trình (1.2).
Nghiệm tổng quát của phương trình (1.2) là hàm y = ϕ(x,C1 ,C2 ), trong đó
C1 ,C2 là các hằng số tùy ý thỏa mãn điều kiện sau:
(i) Nó thỏa mãn phương trình (1.2) với mọi C1 ,C2 ,
(ii) Với mọi (x0 , y0 , y0 ) ở đó các điều kiện của định lý tồn tại và duy nhất
nghiệm được thỏa mãn, có thể tìm được các giá trị xác định C1 =
C10 ,C2 = C20 sao cho hàm số y = ϕ(x,C10 ,C20 ) thỏa mãn
y|x=x0 = y0 , y |x=x0 = y0 .
Hệ thức Φ(x, y,C1 ,C2 ) = 0 xác định nghiệm tổng quát của phương trình
(1.2) dưới dạng ẩn được gọi là tích phân tổng quát của nó.
Nghiệm riêng của phương trình (1.2) là một hàm số y = ϕ(x,C10 ,C20 ) nhận
được bằng cách cho C1 ,C2 trong nghiệm tổng quát các giá trị xác định
C10 ,C20 . Hệ thức Φ(x, y,C10 ,C20 ) = 0 được gọi là tích phân riêng.

1.1. Phương trình khuyết
(i) Phương trình khuyết y : F(x, y , y ) = 0
Đặt p = y , ta tìm được F(x, p, p ) = 0 đó là phương trình cấp một đối với p.
(ii) Phương trình khuyết x : F(y, y , y ) = 0
d p d p dy
dp
Đặt p = y , Ta có y =
=
= p , do đó ta xem p là tham số chưa
dx
dy dx
dy
dp
biết của y. Phương trình trở thành F(y, p, p ) = 0. Đó cũng là một phương

dy
trình vi phân cấp một đối với p.
(iii) Phương trình khuyết y, y : F(x, y ) = 0
Đặt y = p, ta được F(x, p ) = 0 đó là phương trình cấp một đối với p.

3


1.2. Phương trình tuyến tính
Đó là phương trình vi phân có dạng
y + p(x)y + q(x)y = f (x)

(1.4)

trong đó p(x), q(x), f (x) là những hàm số liên tục. Phương trình được gọi
là thuần nhất nếu f (x) ≡ 0, không là thuần nhất nếu f (x) ≡ 0.
(i) Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
y + p(x)y + q(x)y = 0

(1.5)

Định lý 1.2. Nếu y1 (x) và y2 (x) là hai nghiệm của phương trình (1.5) thì
C1 y1 (x) + C2 y2 (x), trong đó C1 , C2 là hai hằng số, cũng là nghiệm của
phương trình đó.
Định nghĩa 1.1. Hai hàm số y1 (x) và y2 (x) được gọi là độc lập tuyến tính
y2 (x)
trên đoạn [a, b] nếu tỉ số
= hằng số trên đoạn đó. Trái lại hai hàm này
y1 (x)
được gọi là phụ thuộc tuyến tính.

Định nghĩa 1.2. Cho hàm số y1 (x) và y2 (x), định thức
y1

y2

y1

y2

= y1 y2 − y2 y1

được gọi định thức Wronsky của y1 (x), y2 (x) và được kí hiệu là W (y1 , y2 ).
Định lý 1.3. Nếu hai hàm số y1 (x) và y2 (x) phụ thuộc tuyến tính trên đoạn
[a, b] thì W (y1 , y2 ) = 0 trên đoạn đó.
Định lý 1.4. Nếu W (y1 , y2 ) của hai nghiệm y1 (x), y2 (x) của phương trình
tuyến tính thuần nhất (1.5) khác không tại mọi giá trị x = x0 nào đó của
đoạn [a, b], trên đó các hệ số p(x), q(x) liên tục, thì nó khác không với mọi
x trên đó.
4


Định lý 1.5. Nếu các nghiệm y1 (x), y2 (x) của phương trình (1.5) là độc lập
tuyến tính trên đoạn [a, b], thì W (y1 , y2 ) khác không tại mọi điểm của đoạn
đó .
Định lý 1.6. Nếu y1 (x), y2 (x) là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương
trình (1.5) thì nghiệm tổng quát của (1.5) là
y = C1 y1 (x) +C2 y2 (x),

(1.6)

trong đó C1 , C2 là những hằng số tùy ý.
Định lý 1.7. Nếu đã biết một nghiệm riêng y1 (x) = 0 của phương trình (1.5)
ta có thể tìm một nghiệm riêng y2 (x) của phương trình đó, độc lập tuyến tính
với y1 (x), có dạng y2 (x) = y1 (x)u(x).
(ii) Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất
y + p(x)y + q(x)y = f (x)

(1.7)

Định lý 1.8. Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (1.7)
bằng tổng nghiệm của nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương
ứng (1.5) với một nghiệm riêng nào đó của phương trình không thuần nhất
(1.7).
Định lý 1.9. (Nguyên lí chồng nghiệm). Cho phương trình
y + p(x)y + q(x)y = f1 (x) + f2 (x).
Nếu y1 (x) là một nghiệm riêng của y + p(x)y + q(x)y = f1 (x), y2 (x) là một
nghiệm riêng của y + p(x)y + q(x)y = f2 (x) thì y = y1 (x) + y2 (x) là một
nghiệm riêng của phương trình đã cho.

1.3. Phương trình tuyến tính có hệ số không đổi
(i) Phương trình thuần nhất
y + py + qy = 0
5

(1.8)


trong đó p, q là các hằng số và
k2 + pk + q = 0

(1.9)

được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (1.8).
Nếu (1.9) có hai nghiệm thực phân biệt k1 , k2 thì nghiệm tổng quát của (1.8)
là:

y = (C1 ek1 x +C2 ek2 x ).

Nếu (1.9) có nghiệm kép k1 = k2 thì nghiệm tổng quát của (1.8) là:
y = (C1 +C2 x)ek1 x .
Nếu (1.9) có nghiệm phức

k1 = α + iβ
k = α − iβ
2

thì nghiệm tổng quát của (1.8) là: y = eαx (C1 cos β x +C2 sin β x).
(ii) Phương trình không thuần nhất
y + py + qy = f (x)

(1.10)

trong đó p, q là các hằng số. Như phần trước ta đã biết phương trình (1.10)
có nghiệm tổng quát: y = y¯ + y∗ , với

y¯ là nghiệm tổng quát của phương trình (1.8)
y∗ là nghiệm riêng của phương trình (1.10)
Ví dụ 1.1. Giải phương trình y + 3y − 4y = x
Phương trình đặc trưng k2 + 3k − 4 = 0 có hai nghiệm k = 1, k = −4. Vậy
nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là

y = C1 ex +C2 e−4x .
Vế phải của phương trình có dạng eαx P1 (x), trong đó α = 0, P1 (x) = x.
α = 0 không là nghiệm của phương trình đặc trưng, vậy ta tìm nghiệm riêng
6


của phương trình có dạng Y = Ax + B.
Thế vào phương trình trên, ta được −4Ax + 3A − 4B = x
1
3
x
3
⇒ −4A = 1, 3A − 4B = 0 ⇒ A = − , B = − ⇒ Y = − − .
4
16
4 16
Nghiệm tổng quát phải tìm là
y = C1 ex +C2 e−4x −

x
3
− .
4 16

1.4. Phương trình Euler
Phương trình Euler có dạng
x2 y + axy + by = 0
ta đổi biến



x = et , x > 0
x = −et , x < 0

đặt x = et ⇒ t = lnx ⇒


yx = yt t = 1 yt
x
1
1
1
1

yxx = − yt + (ytt ) = (ytt − yt )
x2
x
x
x2
thay vào (1.11) ta thu được
dy
d2y
+
(a
−
1)
+ by = 0
d 2t
dt
là phương trình tuyến tính với hệ số không đổi.

7

(1.11)


Chương 2

Phương trình vi phân cấp
hai trong mặt phẳng pha
Trước hết ta giới thiệu khái niệm mặt phẳng pha thông qua một phương
trình cụ thể đó là phương trình dao động của con lắc đơn.

2.1. Lược đồ pha của phương trình con lắc đơn
Con lắc đơn (xem Hình 2.1) bao gồm một phần tử P khối lượng m được treo
vào một điểm cố định O bởi một sợi dây hay thanh mảnh có độ dài a, dao
động trong mặt phẳng đứng. Nếu bỏ qua ma sát và sức cản thì phương trình
chuyển động của con lắc được viết là:
x¨ + ω 2 sinx = 0,

(2.1)

trong đó, x là góc nghiêng của dây so với phương thẳng đứng, g là gia tốc
trọng trường và ω 2 = g/a.

8


Chúng ta chuyển phương trình (2.1) về dạng có chứa x˙ và x như sau:
x¨ =

d x˙ d x˙ dx
=
dt
dx dt
d 1
= ( x˙2 )
dx 2

(2.2)

Sự biểu diễn đó của x¨ được gọi là sự biến đổi năng lượng. Phương trình (2.1)
d 1
khi đó có dạng là: ( x˙2 ) + ω 2 sinx = 0.
dx 2

Hình 2.1: Con lắc đơn với độ dịch chuyển góc x.
Lấy tích phân phương trình theo biến x, ta được:
1 2
x˙ − ω 2 cosx = C,
2

(2.3)

trong đó, C là một hằng số tùy ý. Chú ý rằng, phương trình này biểu diễn
luật bảo toàn năng lượng trong mỗi chuyển động vì nếu ta nhân phương
1
trình (2.3) với ma2 thì ta được: ma2 x˙2 − mga.cosx = E,
2
trong đó, E là một hằng số tùy ý. Phương trình này có dạng:
E= động năng của P+ thế năng của P

và mỗi giá trị riêng của E tương ứng với một chuyển động tự do riêng.
Ta biểu diễn x˙ theo x từ (2.3) :
√
1
x˙ = ± 2(C + ω 2 cosx) 2 .
9

(2.4)


Đây là một phương trình vi phân cấp 1 đối với x(t). Phương trình này không
giải được qua các hàm sơ cấp cơ bản (xem [5]), nhưng ta sẽ chỉ ra rằng ta
có thể nhận được các đặc tính cơ bản của nghiệm từ phương trình (2.4) mà
không cần phải giải nó.
Ta đưa ra một biến mới y, được xác định như sau:
x˙ = y.

(2.5a)

Khi đó phương trình (2.4) trở thành:
√
1
y = ± 2(C + ω 2 cosx) 2 .

(2.5b)

Trong hệ tọa độ Đềcac Oxy, gọi là một mặt phẳng pha, ta vẽ họ các đường
cong của (2.5b) với các giá trị khác nhau của C. Ta được Hình 2.2. Nó được
gọi là lược đồ pha của bài toán, và các đường cong được gọi là các quỹ đạo
pha (hay đường cong pha). Mỗi đường cong pha được xác định bởi một

giá trị của C. Các đường cong pha đi qua (−π, 0) và (π, 0), ứng với C = ω 2 ;
các đường bên trong các đường đó ứng với −ω 2 < C < ω 2 ; còn các đường
bên ngoài thì ứng với C > ω 2 . Phương trình (2.5b) cho thấy sự tuần hoàn
với chu kì 2π theo x và được chỉ ra trên Hình 2.2.

Hình 2.2: Lược đồ pha cho phương trình con lắc đơn (2.1).
Mỗi cặp giá trị (x, y) hay (x, x),
˙ tương ứng với một điểm P trên lược đồ
được gọi là một trạng thái của hệ. Mỗi trạng thái cung cấp một vận tốc
góc x˙ = y tại mỗi góc nghiêng x cụ thể, và các giá trị này là những thứ ta có
10


thể nhận được khi quan sát con lắc dao động ở bất cứ thời điểm nào. Mỗi
trạng thái đã cho sẽ cho ta một cặp điều kiện ban đầu cho phương trình vi
phân (2.1). Do vậy, mỗi trạng thái đã cho sẽ xác định tất cả các trạng thái
sau đó; là các điểm nằm trên đường cong pha đi qua điểm P(x, y); với (x, y)
là trạng thái ban đầu đó.
Hướng, theo đó các quỹ đạo pha di chuyển theo chiều tăng dần theo thời
gian như Hình 2.2. Theo (2.5a), khi y > 0, thì x˙ > 0 , do đó x phải tăng khi
t tăng. Vì vậy, hướng quỹ đạo luôn luôn là từ trái sang phải trong nửa mặt
phẳng trên. Tương tự, hướng luôn là từ phải sang trái trong nửa mặt phẳng
dưới. Toàn bộ Hình 2.2 là lược đồ pha của phương trình (2.1).
Mặc dù không xuất hiện biến thời gian trong biểu diễn mặt phẳng pha,
nhưng chúng ta vẫn có thể xác định một số đặc trưng vật lý trong chuyển
động có thể của con lắc từ Hình 2.2. Biểu hiện đầu tiên có thể thấy là trạng
thái cân bằng vật lý của con lắc. Rõ ràng là khi con lắc treo không dao động
thì x = 0, x˙ = 0, tương ứng với điểm gốc trong Hình 2.2. Hàm theo biến thời
gian x(t) = 0 là một nghiệm hằng của phương trình (2.1), ứng với nó đường
cong pha suy biến thành tập một điểm.

Nếu con lắc treo bởi một thanh nhẹ thì có thể có vị trí cân bằng thứ hai,
nó được cân bằng tại điểm khi thanh thẳng đứng. Đó là trạng thái x = π, x˙ =
0, ứng với một nghiệm hằng khác của (2.1), nó được thể hiện bởi điểm A
trên lược đồ pha. Vẫn điều kiện vật lý đó còn được mô tả bởi trạng thái
x = −π, x˙ = 0, và được biểu diễn bởi điểm B. Tương tự như vậy các trạng
thái x = nπ, x˙ = 0, với n là số nguyên bất kì; mô tả một trong hai trạng thái
cân bằng trên. Thực tế, Hình 2.2 chỉ là một phần của lược đồ pha, và chúng
còn được lặp đi lặp lại tuần hoàn theo thời gian, do vậy ta sẽ không có tương
ứng 1 − 1 giữa trạng thái vật lý của con lắc với một điểm trên lược đồ pha.
Do các điểm O, A, B biểu diễn các trạng thái cân bằng vật lý, nên chúng
được gọi là các điểm cân bằng của lược đồ pha.
Bây giờ chúng ta xét họ các đường cong kín bao quanh điểm gốc trên

11


Hình 2.2. Các đường cong này cho thấy dao động tuần hoàn, theo đó con
lắc dao động qua lại quanh phương dọc. Biên độ dao động là giá trị lớn nhất
của x đạt được trên đường cong. Đối với các biên độ đủ nhỏ, các đường
cong đại diện cho các nghiệm “biên độ” nhỏ của phương trình con lắc (2.1).
Lúc này ta có thể lấy xấp xỉ sin x ≈ x, và (2.1) được xấp xỉ bởi phương
trình x¨ + ω 2 x = 0, có nghiệm là x(t) = Acos ωt + Bsin ωt, tương ứng với các
đường cong pha
x2 +

y2
= hằng số.
ω2

Do đó các đường cong pha gần giống elip ở trong miền biên độ nhỏ.

Các đường cong pha lượn sóng ở phía trên và phía dưới của Hình 2.2,
trên đó x˙ có dấu không đổi, và x liên tục tăng hoặc giảm, tương ứng với các
chuyển động quay tít của con lắc. Sự tăng giảm của x˙ chủ yếu là do lực hấp
dẫn, nên trên các quỹ đạo pha có x˙ rất lớn thì tác động đó là không đáng kể
nên các đường cong pha gần với các đường thẳng song song với trục x.
Tiếp theo, ta khảo sát tính ổn định của hai trạng thái cân bằng điển hình
tương ứng với điểm O và A. Nếu trạng thái ban đầu được dịch một chút khỏi
O, thì nó thuộc vào một trong các đường cong kín gần đó và con lắc dao
động với biên độ nhỏ quanh O. Do đó ta nói O là cân bằng ổn định. Nếu
trạng thái ban đầu dịch khỏi A một chút (lên trên vị trí cân bằng), thì ngay
lập tức nó rơi vào một quỹ đạo pha mang trạng thái ra xa trạng thái cân bằng
tại A, thành một dao động lớn hay một dao động quay tít (xem Hình 2.3).
Do đó, điểm cân bằng này được gọi là không ổn định.

2.2. Phương trình autonom trong mặt phẳng pha
Phương trình vi phân cấp hai tổng quát: x¨ = f (x, x,t)
˙ với điều kiện đầu
x(t0 ) và x(t
˙ 0 ), là một ví dụ về một hệ động lực. Sự tiến hóa hay các trạng
thái tương lai của hệ được cho bởi x(t) và x(t).
˙
Nói chung, các hệ động lực
12


Hình 2.3: Điểm cân bằng không ổn định của con lắc: chuyển trạng thái ban đầu
đến C.

là các bài toán giá trị ban đầu được điều khiển bởi các phương trình vi phân
thường, hay phương trình đạo hàm riêng, hoặc phương trình sai phân. Ở đây

ta chủ yếu xét hệ phi tuyến điều khiển bởi một phương trình vi phân thường.
Phương trình trên có thể được hiểu như một phương trình chuyển động
của một hệ cơ học; trong đó, x biểu thị độ dịch chuyển của phần tử có khối
lượng đơn vị, x,
˙ x¨ lần lượt biểu diễn vận tốc và gia tốc của nó, f là lực
tác động (ngoại lực), do đó phương trình này thường là biễu diễn định luật
chuyển động của Newton:
Gia tốc = Lực tác động trên một đơn vị khối lượng.
Một hệ cơ học gọi là cân bằng nếu như trạng thái không thay đổi theo
thời gian. Do đó, một trạng thái cân bằng tương ứng với một nghiệm hằng
của phương trình vi phân, và ngược lại. Một nghiệm hằng có x,
˙ x¨ đồng thời
bằng không. Chú ý rằng chỉ x˙ = 0 thì chưa đủ để xác định một hệ cân bằng:
chẳng hạn con lắc dao động và dừng khi độ lệch góc lớn nhất, nhưng nó hiển
nhiên không phải là một trạng thái cân bằng. Các nghiệm hằng đó chính là
nghiệm hằng (nếu có) của phương trình f(x, 0,t) = 0.
Ta phân biệt giữa hai loại phương trình vi phân:

13


(1) Loại autonom, ứng với f không phụ thuộc tường minh vào t;
(2) Loại không autonom ứng với f phụ thuộc tường minh vào t.
Một phương trình không autonom tiêu biểu mô tả dao động tắt dần tuyến
tính với một ngoại lực điều hòa
x¨ + kx˙ + ωo 2 x = F cos ωt,
trong đó, f (x, x,t)
˙ = −kx˙ − ω0 2 x + F cos ωt. Hệ này không có các trạng
thái cân bằng. Các trạng thái cân bằng thường không được gắn với các
phương trình không autonom, mặc dù chúng có thể xuất hiện, chẳng hạn

trong phương trình Mathieu
x¨ + (α + β cos x) = 0,
có trạng thái cân bằng tại x = 0, x˙ = 0.
Trong chương này, ta sẽ chỉ đề cập tới các hệ autonom, được cho bởi phương
trình vi phân
x¨ = f (x, x),
˙

(2.6)

trong đó t vắng mặt ở vế phải của phương trình. Để nhận được biểu diễn
trong mặt phẳng pha, ta đặt

x˙ = y
y˙ = f (x, y).

(2.7)

Đây là một hệ phương trình cấp một, tương đương với (2.6).
Trạng thái của hệ tại một thời điểm t0 bao gồm cặp số (x(t0 ), x(t
˙ 0 )), nó
có thể coi như cặp điều kiện ban đầu cho phương trình vi phân thường (2.6).
Vì vậy, trạng thái đầu sẽ xác định tất cả các trạng thái sau (hay trước) của
chuyển động riêng tự do.

14


Trong mặt phẳng pha với các trục x và y, trạng thái tại một thời điểm t0
bao gồm cặp số (x(t0 ), y(t0 )), các giá trị x, y này, tương ứng với một điểm P

trong mặt phẳng pha, cho ta một điều kiện ban đầu cho hệ phương trình vi
phân cấp một (2.7), và vì vậy xác định tất cả các trạng thái, qua đó hệ thực
hiện trong một chuyển động riêng. Các trạng thái tiếp theo cho bởi phương
trình tham số
x = x(t), y = y(t),

(2.8)

vạch ra một đường cong qua điểm đầu P : (x(t0 ), x(t
˙ 0 )), gọi là đường cong
pha hay quỹ đạo pha.
Hướng của các quỹ đạo pha nhận được từ quan hệ (2.7). Khi y > 0 thì
x˙ > 0, do đó x tăng theo thời gian; và khi y < 0, x giảm theo thời gian. Vì
vậy, các hướng sẽ từ trái sang phải ở nửa trên của mặt phẳng pha, và từ phải
sang trái ở nửa dưới của mặt phẳng pha.
Để có được mối liên hệ giữa x và t xác định các đường cong pha, ta khử
tham số t nhờ (2.7) và công thức:
y˙ dy
= .
x˙ dx
Khi đó, phương trình vi phân xác định đường cong pha là:
f (x, y)
dy
=
.
dx
y

(2.9)

Một đường cong pha riêng được xác định bằng cách yêu cầu đi qua một
điểm cụ thể P : (x, y), tương ứng với trạng thái ban đầu (x0 , y0 ), trong đó
y0 = y(x0 ).

(2.10)

Một hình vẽ đầy đủ về các đường cong pha bao gồm các mũi tên chỉ
hướng tạo thành lược đồ pha. Biến thời gian t không xuất hiện trên lược đồ
đó.
15


Các điểm cân bằng trên lược đồ pha tương ứng với các nghiệm hằng
của phương trình (2.6), hoặc của hệ tương đương (2.7). Chúng xảy ra khi
đồng thời x,
˙ y˙ bằng 0; do đó là điểm thỏa mãn:
y = 0, và f (x, 0) = 0.

(2.11)

Hình 2.4: (a) Điểm biểu diễn P trên một đoạn của đường cong pha. (b) Một
đường cong pha đóng: P đi từ A và trở về A vô hạn lần.

Các điểm cân bằng có thể được coi như đường cong pha suy biến. Tại
các điểm cân bằng ta được, từ phương trình (2.9),
dy 0
= ,
dx 0
vì vậy, chúng là các điểm kì dị của phương trình (2.9), mặc dù chúng không
là điểm kì dị của phương trình phụ thuộc thời gian (2.7).

Trong biểu diễn mặt phẳng pha, thời gian t không được chỉ rõ về định
lượng nhưng ta có thể đặc trưng bởi các yếu tố sau đây. Hình 2.4(a) cho thấy
một cung AB của đường cong pha. Giả sử rằng hệ đang ở trạng thái A tại
thời điểm t = tA . Điểm chuyển động P biểu diễn các trạng thái tại các thời
điểm t ≥ tA ; nó di chuyển dọc theo AB (từ trái qua phải trong nửa mặt phẳng
y > 0 ) khi t tăng dần, và gọi là một điểm biểu diễn trên cung AB.
Vận tốc của P dọc cung AB được cho dưới dạng từng thành phần
(x(t),
˙ y(t))
˙
= (y, f (x, y))
chỉ phụ thuộc vào vị trí P(x, y), mà không phụ thuộc vào cả t và tA (điều này
chỉ đúng đối với các phương trình autonom). Nếu tB là thời điểm P tới B, thì
16


TAB là khoảng thời gian P đi từ A tới B
TAB = tB − tA ,

(2.12)

không phụ thuộc vào thời điểm đầu tA . TAB gọi là thời gian chuyển từ A tới
B dọc theo đường cong pha.
Từ quan sát trên ta thấy, nếu x(t) là một nghiệm riêng của x¨ = f (x, x),
˙
thì họ nghiệm x(t − t1 ), với t1 là giá trị bất kì, sẽ biểu diễn cùng một đường
cong pha và cùng một điểm biểu diễn. Đồ thị của các hàm x(t), x(t − t1 ), và
của y(t) = x(t),
˙ y(t − t1 ) sẽ có hình dáng giống nhau, nhưng được dịch theo
trục thời gian một khoảng t1 , giống như cùng một hệ nhưng được mở vào

hai thời điểm khác nhau trong ngày.
Xét trường hợp khi một đường cong pha là một đường cong kín, như
trong Hình 2.4(b). Cho A là bất kỳ điểm nào trên đường cong pha, và điểm
biểu diễn P là A tại thời điểm tA . Sau một khoảng thời gian T , P trở lại A,
sau khi đi một vòng. Chu trình thứ hai của nó xuất phát từ A tại thời điểm
tA + T , nhưng vì các vị trí sau của nó chỉ phụ thuộc vào thời gian chuyển
của điểm khởi đầu, và không phụ thuộc vào thời điểm bắt đầu, nên chu trình
thứ hai sẽ mất cùng thời gian như chu trình đầu tiên, và cứ như vậy mãi. Do
vậy, một đường cong pha kín biểu diễn một chuyển động tuần hoàn theo thời
gian.
Ngược lại nói chung là không đúng, 1 đường cong pha không kín cũng
có thể biểu diễn một chuyển động tuần hoàn. Ví dụ, nghiệm theo thời gian
tương ứng với chuyển động quay tít của con lắc (Hình 2.2) là tuần hoàn.
Thời gian chuyển TAB = tB − tA của điểm biểu diễn P từ trạng thái A tới
trạng thái B dọc theo 1 đường cong pha có thể được tính theo nhiều cách:
tB

TAB =

tB

dt =
tA

(
tA

dx −1 dx
)
dt =

dt
dt

dx
=
AB x˙

dx
.
AB y(x)

(2.13)

Về nguyên tắc, ta có thể tính được, y như là một hàm của x dọc theo đường
cong pha. Chú ý rằng tích phân cuối cùng chỉ phụ thuộc vào đường cong
17


pha AB mà không phụ thuộc vào thời điểm ban đầu tA , điều này một lần
nữa khẳng định kết luận trước đó. Tích phân cuối là một tích phân đường và
được hiểu theo nghĩa thông thường.
Ví dụ 2.1. Các đường cong pha của một hệ được cho bởi họ x + y2 = C,
trong đó C là một hằng số tùy ý. Trên đường cong pha ứng với C = 1 điểm
√
biểu diễn di chuyển từ A : (0, 1) tới B : (−1, − 2). Tính TAB ?
Đường cong pha được biểu thị trong Hình 2.5. Nó cắt trục x tại điểm C :
(1, 0). Trên cung AC, y = (1 − x)1/2 và trên cung CB, y = −(1 − x)1/2 , có
TAB =

dx

dx
dx
dx
1
−1
=
+
=
+
0
1
AC y
CB y
1/2 ]
(1 − x)1/2
[−(1
−
x)
√
[−2(1 − x)1/2 ]01 + [2(1 − x)1/2 ]1−1 = 2 + 2 2.

Hình 2.5: Đường cong pha AB trên đó ta đã tính thời gian chuyển.
Sau đây chúng tôi tóm tắt các tính chất chính của phương trình autonom
x¨ = f (x, x),
˙ được biểu diễn trong mặt phẳng pha bởi hệ phương trình

x˙ = y
(2.14)
y˙ = f (x, y)
(i) Phương trình cho các đường cong pha:

dy
f (x, y)
=
.
dx
y

18

(2.15)


(ii) Hướng của đường cong pha: từ trái sang phải ở nửa mặt phẳng trên, từ
phải sang trái ở nửa mặt phẳng dưới.
(iii) Điểm cân bằng: tại điểm (x, 0) với x là nghiệm của phương trình f (x, 0) =
0; đại diện cho các nghiệm hằng.
(iv) Giao điểm với trục x: các đường cong pha cắt trục x theo các góc vuông,
ngoại trừ tại các điểm cân bằng (xem (ii)).
(v) Thời gian chuyển: thời gian chuyển của điểm biểu diễn từ điểm A đến
điểm B dọc theo một đường cong pha cho bởi tích phân đường
TAB =

dx
.
AB y

(2.16)

(vi) Đường cong pha kín: các đường cong pha kín biểu diễn các nghiệm
tuần hoàn theo thời gian.

(vii) Họ các nghiệm tuần hoàn theo thời gian: giả sử x1 (t) là một nghiệm
riêng của x¨ = f (x, x)
˙ khi đó, các nghiệm x1 (t − t1 ), với t1 bất kỳ, cho
cùng một đường cong pha và cùng điểm biểu diễn.
Ví dụ 2.2. Xây dựng lược đồ pha cho phương trình dao động điều hòa đơn
giản x¨ + ω 2 x = 0. Phương trình này xấp xỉ với phương trình con lắc có biên
độ nhỏ. Với phương trình này thì hệ (2.14) trở thành:

x˙ = y
y˙ = −ω 2 x

(2.17)

Có 1 điểm cân bằng, tại (0, 0). Các đường cong pha là các nghiệm của
(2.15):
dy
x
= −ω 2 .
dx
y
Đây là một phương trình tách biến, và ta dễ dàng có tích phân tổng quát:
19


Hình 2.6: (a)Tâm dao động điều hòa đơn giản.

(b) Nghiệm điển hình.

y2 + ω 2 x2 = C,
trong đó C là tùy ý, điều kiện C ≥ 0 để nhận được nghiệm thực. Do đó, lược

đồ pha bao gồm họ các elip đồng tâm tại gốc (Hình 2.6 (a)). Vì vậy, mọi
nghiệm đều tuần hoàn. Bằng trực giác, chúng ta thấy điểm cân bằng là ổn
định vì các đường cong pha có một điểm gần gốc thì vẫn gần gốc. Hình
2.6(b) biểu diễn một nghiệm tuần hoàn theo thời gian, ứng với một đường
cong pha kín.
Một điểm cân bằng được bao quanh trong lân cận của nó (không nhất
thiết phải trên toàn bộ mặt phẳng) bởi các đường cong kín được gọi là một
tâm. Như vậy tâm là một điểm cân bằng ổn định.
Ví dụ 2.3. Xây dựng lược đồ pha cho phương trình x¨ − ω 2 x = 0.
Hệ phương trình cấp một tương đương (2.14) là:

x˙ = y
y˙ = ω 2 x

(2.18)

Có một điểm cân bằng duy nhất (0, 0). Các đường cong pha xác định bởi
dy
x
= ω2
dx
y
Do đó, phương trình của chúng là
y2 − ω 2 x2 = C
20

(2.19)


ở đó C là hằng số tùy ý. Các đường cong pha này là các hyperbol, và các

tiệm cận của chúng y = ±ωx, (Hình 2.7).
Bất kỳ điểm cân bằng của các đường cong pha thuộc loại này trong một
lân cận của nó được gọi là một điểm yên ngựa. Đó là điểm cân bằng không
ổn định, vì chỉ một dịch chuyển nhỏ từ trạng thái cân bằng nói chung sẽ dẫn
hệ tới một đường cong pha đi ra xa khỏi trạng thái cân bằng.
Từ nay về sau, trong các lược đồ pha, các điểm cân bằng ổn định được
biểu diễn bởi một dấu chấm đặc •, còn điểm cân bằng không ổn định được
biểu diễn bởi một dấu chấm rỗng ◦.

Hình 2.7: Điểm yên ngựa: chỉ có đường MO và M O tiến về gốc.
Các phương trình vi phân trong Ví dụ 2.2 và 2.3 có thể giải x tường minh
theo t. Với Ví dụ 2.2, nghiệm tổng quát của x¨ + ω 2 x = 0 là
x(t) = A cos ωt + B sin ωt,

(2.20)

x(t) = κ cos (ωt − φ ),

(2.21)

khi đó ta được

trong đó A và B là hằng số tùy ý, κ = (A2 + B2 )1/2 và φ là góc xác định bởi
A
= cos φ ,
κ

B
= sin φ .
κ

là dao động điều hòa với biên độ κ và góc lệch pha φ là tùy ý (do A, B tùy
ý). Hình 2.6(b) cho ta một hình ảnh về nghiệm theo thời gian này: tất cả các
giá trị của φ đều sinh ra cùng một đường cong pha (xem (vii) trong phần
21