bài giảng hệ phương trình vi phân cấp 1

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
ĐỊNH NGHĨA
F
1
(t,x
1
,x
2
,…, x
n
, x
1
’,x
2
’,…,x
n
’) = 0
….
F
n
(t,x
1
,x
2
,…, x
n
, x
1
’,x
2
’,…,x

n
’) = 0
Hệ tổng quát
x
1
’ = f
1
(t,x
1
,x
2
,…, x
n
)
….
x
n
’ = f
n
(t,x
1
,x
2
,…, x
n
)
Hệ chính tắc
t : biến
x
1

, x
2
, …, x
n
: ẩn hàm
BÀI TOÁN CAUCHY
x
1
’ = f
1
(t,x
1
,x
2
,…, x
n
)
………………………
x
n
’ = f
n
(t,x
1
,x
2
,…, x
n
)
Tìm nghiệm hệ

Thỏa điều kiện
x
1
(t
0
) = α
1
…………
x
n
(t
0
) = α
n
Hệ n ptvp cấp 1 tương đương 1 ptvp cấp n nên hệ
nghiệm có n hằng số tự do.
PHƯƠNG PHÁP KHỬ
' '( ) 2
' '( ) 3

= = +


= = − + −


t
t
x x t y e
y y t x y e

B
1
: xây dựng một ptvp cấp n theo 1 hàm chọn trước.
B
2
: giải ptvp cấp n vừa tìm được và rút về hệ với (n – 1)
hàm
Vd:
(1)
(2)
' 3 ' 2 3 '
' 2 ' 2
t t t
t t
y x y e y y e y e
x y e x y e
 
′′ ′′
= − + − = − − + −
 
⇒ ⇒
 
= + = +
 
 
(3)
(3) " 3 ' 2 2⇔ − + = −
t
y y y e
Tt cấp 2 hệ số hằng

2
1 2
2⇔ = + +
t t t
y C e C e te
(2) ' 3⇒ = − + −
t
x y y e
2
1 2
2 (4 3)
t t t
C e C e t e= + + −
2
1 2
2
1 2
2
2( 1) 3( 2 )
= − −
− + + + + −

t t
t t t t t
C e C e
t e C e C e te e
2
1 2
2
1 2

2 (4 3)
2

= + + −


= + +


t t t
t t t
x C e C e t e
y C e C e te
Cách khử cho hệ 2 pt (tuyến tính)
1. Lấy đạo hàm pt (1) theo t được (3)
2. Thay y’ từ pt (2) vào (3) được (4)
3. Rút y từ (1) thay vào (4)
4. Pt kết quả là pt cấp 2 theo ẩn hàm x và biến t
1 1 1
2 2 2
( )
( )
x a x b y f t
y a x b y f t
′
= + +


′
= + +


(1)
(2)
Nếu xuất phát từ pt (2), ta có pt cấp 2 theo y
( ) 3
( ) 2 4
t
x t x y e
y t x y t

′
= + +

′
= + +

Ví dụ:
(1)
(2)
Đạo hàm pt (1) theo t
3
t
x x y e
′′ ′ ′
= + +
( )
(2)
43 2
t
x x ex y t

′′ ′
⇒ = + ++ +
( )
(1)
3 32 4
t t
x x x e ex x t
′′ ′
⇒ = + + − + +
′
−
7 10 3
t
x x x e t
′′ ′
⇒ − + = − +
7 10 3
t
x x x e t
′′ ′
− + = − +
5 2
1 2
3 1 7
4 10 100
t t t
x C e C e e t= + − + +
5 2
1 2
5 2

1 2
3
3 1
5 2
4 10
3 1 7
3
4 10 100


t
t t t
t t t t
y x x e
C e C e e
C e C e e t e
′
= − −
= + − +
 
− + − + + −
 ÷
 
5 2
1 2
1 3 11
2
2 10 100
t t t
C e C e e t= − + − −

HỆ PTVP TUYẾN TÍNH CẤP 1 HỆ SỐ HẰNG
1
( )
( )
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
M
n
x t
x t
1
( )
( )
′
 
 ÷
 ÷
 ÷
′
 
M
n
x t
x t
1
( )
( )

 
 ÷
 ÷
 ÷
 
M
n
f t
f t
X’(t) = AX(t) + F(t)
11 1
1
: ma traän vuoâng caáp n
 
 ÷
=
 ÷
 ÷
 
L
L L L
L
n
n nn
a a
A
a a
(Hệ ẩn hàm )
' '( ) 2
1/

' '( ) 3
t
t
x x t y e
y y t x y e

= = +


= = − + −


( )
( )
( )
x t
X t
y t
 
=
 ÷
 
0 2
1 3
A
 
=
 ÷
−
 

( )
t
t
e
F t
e
 
=
 ÷
 ÷
−
 
Ví dụ
2
sin
1 1 2
( ) 2 4 1 ( ) ,
0 3 2
ln
t
t t
X t X t t
e t
+
 
 
 ÷
 ÷
⇔ = +
 ÷

 ÷
 ÷
 ÷
−
 
−
 
( )
( ) ( )
( )
x t
X t y t
z t
 
 ÷
=
 ÷
 ÷
 
2
' 2 sin
2 / ' 2 4
' 3 2 ln
t
x x y z t t
y x y z t
z y z e t
= + + + +



= + + +


= − + −

PP TRỊ RIÊNG GIẢI HỆ THUẦN NHẤT
X’ = AX
A chéo hóa được
( ⇔ ∃ P: P
-1
AP = D (chéo) )
⇔ X’ = PDP
-1
X
⇔ P
-1
X’ = DP
-1
X
Đặt Y = P
-1
X:
⇔ Y’ = DY
1 1 1
2 2 2
0 0
0 0

0 0
n n n

y y
y y
y y
λ
λ
λ
′
    
    
′
    
=
    
    
′
    
K
K
K
1 1 1
2 2 2
0 0
0 0

0 0
n n n
y y
y y
y y
λ

λ
λ
′
    
    
′
    
=
    
    
′
    
K
K
K
2 2
1 1
2
1

( ) ( )
( ) ( )
.
( ) ( )
n n n
y t y t
y t y t
y t y t
λ
λ

λ
=


=
′
′
′

⇔



=

X = PY
1
2
1
2
1
2

( )
( )
( )
n
t
t
t

n k
y t
y t
y
C e
C e
C et
λ
λ
λ



⇔
=

=
=



11 12 1
1 1
2 21 22 2 2
1 2


n
n
n n

n n nn
P P P
x y
x P P P y
x y
P P P
 
   
 
   
 
   
=
 
   
 
   
   
 
K
K
K
1
2
1
11 12 1
1
2 21 22 2
2
1 2

n
t
n
t
n
t
n
n n nn
n
C e
P P P
x
x P P P
C e
x
P P P
C e
λ
λ
λ
 
 
 
 
 
 
 

 
 
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
K
K
K
1
2
1
11 12 1
1
2 21 22 2
2
1 2



n
t
n

t
n
t
n
n n nn
n
C e
P P P
x
x P P P
C e
x
P P P
C e
λ
λ
λ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
=
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
K
K
K
1
P
2
P
n
P
1 2
1 1 2 2
n
t
t t
n n
X C Pe C P e C P e
λ
λ λ
= + + +L
1 2
1 2
1 2
11 1 12 2 1 2

21 1 22 2 2 2
1 1 2 2 2




n
n
n
t
t t
n
t
t t
n
t
t t
n n nn
P C e P C e P C e
P C e P C e P C e
P C e P C e P C e
λ
λ λ
λ
λ λ
λ
λ λ
 
 
 

=
 
 
 
 
K
K
K
Định lý: Hệ X’ = AX(t), ma trận A có n giá trị riêng thực
λ
1
, λ
2
… λ
n
(kể cả trị riêng bội), và n vector riêng P
1
, P
2
,
… , P
n
độc lập tuyến tính
⇒ Nghiệm tổng quát của pt thuần nhất:
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
1 2
1
, , ,
k

n
T
t
n k k
k
X t x t x t x t c e P
λ
=
= =
∑
K
CẤU TRÚC NGHIỆM TỔNG QUÁT HỆ X’ = AX
1 2
2 1 2
2
(1)
3
x x
x x x
′
=


′
= − +

0 2
,
1 3
A

 
=
 ÷
−
 
( ) ( )
2
det 3 2P A I
λ λ λ λ
= − = − +
1 1
2
1, ,
1
P
λ
 
= =
 ÷
 
Trị riêng và VTR của A:
1 2
1
2, ,
1
P
λ
 
= =
 ÷

 
Nghiệm tổng quát:
1
2
1 2
2
2 1
1 1
t t
x
X C e C e
x
 
   
= = +
 ÷
 ÷  ÷
   
 
(2)
1 1 2 3
2 1 2 3
3 1 2 3
2
2
2 2 4
x x x x
x x x x
x x x x
′

= + +


′
= + +


′
= + +

A
2
1 1 2
1 1 2 (6 ) 0
2 2 4
A I
λ
λ λ λ λ
λ
−
− = − = − =
−
1
2
0
6
λ
λ
=


⇔

=

1 1 2
1 1 2
2 2 4
X X
 
 ÷
′
⇔ =
 ÷
 ÷
 
1
( ) 0A I P
λ
− =
1
2
3
1 1 2
1 1 2 0
2 2 4
p
p
p
 
 

 ÷
 ÷
⇔ =
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
Chọn vector riêng:
1 2
1 2
1 , 0
0 1
P P
   
 ÷  ÷
= − =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
   
1
2 2
3
5 1 2
( ) 0 1 5 2 0
2 2 2
p
A I P p

p
λ
−
 
 
 ÷
 ÷
− = ⇔ − =
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
−
 
 
Chọn VTR:
( )
3
1 1 2
T
P =
1 1
1 1 2 2
,,
t t
X e P X e P
λ λ
= =
3
1

k k
k
X C X
=
⇒ =
∑
6
1 2 3
1
6
2 1 3
6
3
2 3
2
2
t
t
t
C C C e
x
x C C e
x
C C e
 
+ +
 
 ÷
 ÷
⇔ = − +

 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
− +
 
2
6
3 3 2
t
t
X e P e P
λ
= =
0 6
1 3
0
2
1 2
1 0
0 1
1
1
2
t t t
C eC e C e
   
 ÷  ÷

= − + +
 ÷  ÷
 ÷
 
 ÷
 ÷
 ÷


   
÷
−

( )
1 1 2
2 1 2
( ) 3
2
( ) 2 4

′
= + +

′
= + +

t
x t x x e
x t x x t
3 1

2 4
A
 
=
 ÷
 
2 1
3
t
F
t
+
 
=
 ÷
 
Chéo hóa A
1 1
1 2
P
 
=
 ÷
−
 
2 0
0 5
D
 
=

 ÷
 
1
2 / 3 1/ 3
1/ 3 1/ 3
P
−
−
 
=
 ÷
 
Đặt :
1 1
1
2 2
2 / 3 1/ 3
1/ 3 1/ 3
y x
Y P X
y x
−
−
   
 
= ⇔ =
 ÷
 ÷  ÷
 
   

Hệ viết lại theo y
1
, y
2
1
Y DY P F
−
′
= +
1 1
2 2
2
2
3 3
5
1
3 3
t
t
t
e
y y
y y
t
e
 
−
′  ÷
   
⇔ = +

 ÷
 ÷  ÷
′
   
 ÷
+
 
1
2
2 / 3 1/ 3
3 3
1/ 3 1/ 3 1
3 3
t
t
t
t
e
e
P F
t
t
e
−
 
−
 ÷
−
 
 

= =
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
 ÷
+
 
2
1 1
5
2 2
2 1
3 6 12
1 1
12 15 75
t t
t t
t
y e C e
t
y e C e

= − + + +

⇒


= − − + +


X PY⇒ =
1 1
2 2
1 1
1 2

x y
hay
x y
   
 
=
 ÷
 ÷  ÷
−
 
   
1 1
2 2
2
2
3 3
1
5
3 3
t
t
t
y y e

t
y y e

′
= + −

⇔


′
= + +

Cấu trúc nghiệm hệ tt không thuần nhất
X = X
0
+ X
r
X
0
: nghiệm tổng quát hệ pt thuần nhất
X’(t) = AX(t)
X
r
: nghiệm riêng hệ pt không thuần nhất
Cấu trúc nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất
X
0
= C
1
X

1
+ C
2
X
2
+ …+ C
n
X
n
{ X
k
, k = 1, ,n }: hệ nghiệm độc lập tuyến tính của (1)
(1)
PP biến thiên hằng số tìm X
r
C’
1
(t)X
1
+ …+ C’
n
(t)X
n
= F(t)C
i
tìm từ hệ pt:
( )
0 1 1 2 2
1
k

n
t
k k n n
k
X t C e P C X C X C X
λ
=
= = + + +
∑
L
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 2r n n
X t C t X C t X C t X
= + + +
L