Một số mối liên quan giữa biến đổi laplace với hàm gamma

2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN THỊ PHƯƠNG

MỘT SỐ MỐI LIÊN QUAN GIỮA
BIẾN ĐỔI LAPLACE VỚI HÀM GAMMA

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải tích

Người hướng dẫn khoa học. TS NGUYỄN VĂN HÀO

Hà Nội - 2013


LỜI CẢM ƠN
Nhân dịp luận văn được hoàn thành tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
tới TS. Nguyễn Văn Hào đã tận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình thực
hiện luận văn này.

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, các thầy cô trong khoa Toán
Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã động viên giúp đỡ và tạo điều kiện
thuận lợi để tác giả có điều kiện tốt nhất trong suốt quá trình học tập, thực
hiện đề tài và nghiên cứu khoa học.

Do thời gian và kiến thức có hạn nên luận văn không tránh khỏi những hạn
chế và thiếu sót nhất định. Tác giả xin chân thành cảm ơn những ý kiến đóng

góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn học viên để luận văn hoàn thành
như hiện nay.

Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Tác giả

Trần Thị Phương


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào khóa luận tốt
nghiệp “Một số mối liên quan giữa biến đổi Laplace với hàm Gamma”
được hoàn thành bởi sự nhận thức của chính bản thân tác giả và không trùng
với bất kỳ khóa luận nào khác.

Trong quá trình làm khóa luận tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà
khoa học với sự tôn trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Tác giả

Trần Thị Phương


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1. Số phức và mặt phảng phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3. Lý thuyết tích phân phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Chương 2. Biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.1. Định nghĩa và ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.2. Tính chất cơ bản của biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.3. Biến đổi Laplace ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.3.1. Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.3.2. Một số phương pháp tìm hàm gốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.4. Tích chập của biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.4.1. Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.4.2. Ảnh của tích chập qua biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

iii


Chương 3. Một số mối liên quan giữa biến đổi Laplace với hàm Gamma
30
3.1. Khái niệm về hàm Gamma và một số tính chất cơ bản . . . . . .

30

3.2. Một số mối liên quan giữa biến đổi Laplace với hàm Gamma

35

3.2.1. Biến đổi Laplace của một số hàm nhận được qua hàm Gamma .

35

3.2.2. Mối liên quan của hàm gamma với biến đổi Laplace về chuỗi. . .

37

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài. Biến đổi Laplace là một biến đổi tích phân và cùng
với biến đổi Fourier là hai biến đổi rất hữu ích và thường được sử dụng trong
việc giải các bài toán trong lĩnh vực vật lý. Qua biến đổi Laplace, các phép
toán giải tích phức tạp như đạo hàm, tích phân được đơn giản hóa thành
các phép toán đại số (giống như cách mà hàm logarit chuyển một phép toán
nhân các số thành phép cộng các logarit của chúng).
Hàm Gamma là một hàm có nhiều tính chất đăc biệt đem lại nhiều ứng
dụng trong các nghành khoa học khác nhau. Qua tiếp cận với lý thuyết biến

đổi Laplace và hàm Gamma, được sự định hướng của người hướng dẫn tôi
đã chọn đề tài “Một số mối liên quan giữa biến đổi Laplace với hàm
Gamma” để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp. Khóa luận được cấu trúc
thành 3 chương.
Chương 1. Chúng tôi trình bày một số kiến thức căn bản nhất về lý
thuyết hàm biến phức, cần thiết cho mục đích nghiên cứu về biến đổi Laplace
và nghiên cứu mối quan hệ của phép biến đổi này với hàm Gamma.
Chương 2. Trong chương này, chúng tôi trình bày một cách hệ thống về
khái niệm biến đổi Laplace, các tính chất cơ bản của phép biến đổi này cùng
một số phép toán giải tích liên quan đến biến đổi này.
Chương 3. Đây là phần chính của khóa luận, ở đây chúng tôi trình bày
lý thuyết về hàm Gamma và mối liên quan giữa biến đổi Laplace với hàm
Gamma, cụ thể là biến đổi Laplace của một số hàm nhận được qua hàm
Gamma và mối liên qua của hàm Gamma với biến đổi Laplace của chuỗi.

1


2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu. Luận văn nghiên cứu
về mối liên quan giữa biến đổi Laplace với hàm Gamma.

3. Phương pháp nghiên cứu.
Đọc sách, nghiên cứu tài liệu.
Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.

4. Dự kiến đóng góp của đề tài. Trình bày một cách hệ thống về phép
biến đổi Laplace, hàm Gamma và mối liên quan giữa chúng.

2

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1. Số phức và mặt phảng phức
Số phức là số có dạng z = x + iy; với x, y ∈ R và i là đơn vị ảo mà i2 = −1.
Ta gọi x là phần thực và y là phần ảo, được ký hiệu lần lượt bởi
x = Rez, y = Imz.
Tập hợp các số phức được ký hiệu bởi C. Tập hợp các số phức C được đồng
nhất với mặt phẳng R2 bởi phép tương ứng
C→R
z = x + iy → (x, y)
Một cách tự nhiên người ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo. Phép cộng và
phép nhân các số phức được thực hiện một cách thông thường như các phép
toán trên tập hợp số thực với lưu ý rằng i2 = −1. Ta có
3


z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i (y1 + y2 )
và
z1 .z2 = (x1 + iy1 ) (x2 + iy2 )
= (x1 x2 − y1 y2 ) + i (x1 y2 + x2 y1 ) .
Với mỗi số phức z = x + iy, ta xác định modul của số phức z là số được xác
định bởi
|z| =

x2 + y2 .

Số phức liên hợp của số phức z = x + iy được ký hiệu là z¯ = x − iy. Không
khó khăn ta kiểm tra được

Rez =

z + z¯
z − z¯
, Imz =
2
2i

và
z2 = z.¯z,

z¯
1
= 2 ; với z = 0.
z
z

Số phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng cực z = r.eiθ với r > 0 và θ ∈ R
được gọi là argument của số phức z (argument của số phức z được xác định
một cách duy nhất với sự sai khác một bội nguyên của 2π) và
eiθ = cosθ + isinθ .
Bởi vì eiθ = 1 nên r = |z| và θ là góc hợp bởi chiều dương của trục Ox và
nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi qua điểm z. Cuối cùng ta lưu ý
rằng nếu z = r.eiθ và ω = s.eiϕ thì
z.ω = r.s.ei(θ +ϕ) .
4


1.2. Hàm chỉnh hình
Định nghĩa 1.2.1 Cho hàm f (z) xác định trên miền D. Cho z một số gia ∆z

sao cho z + ∆z ∈ D. Nếu tồn tại giới hạn
f (z) = lim
∆z→0

f (z + ∆z) − f (z)
,
∆z

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm phức của hàm f (z) tại điểm z và ký hiệu
df(z)
là f (z) hoặc
. Như vậy
dz
f (z) = lim
∆z→0

f (z + ∆z) − f (z)
.
∆z

Hàm f (z) có đạo hàm phức tại điểm z cũng được gọi là khả vi phức hay Ckhả vi tại z.
Ví dụ 1.2.1 Hiển nhiên z = 1 và theo quy nạp ta có ngay (zn ) = n.zn−1 . Từ
đó, nếu
f (z) = a0 zn + a1 zn−1 + ... + an−1 z + an
thì
f (z) = n.a0 .zn−1 + (n − 1).a1 .zn−2 + ... + an−1 .
Định nghĩa 1.2.2 Hàm f (z) được gọi là chỉnh hình tại z0 ∈ D nếu tồn t ại
số r > 0 sao cho f (z) là C- khả vi tại mọi z ∈ S(z0 , r). Nếu hàm f (z) chỉnh
hình tại mọi z ∈ D thì nó được gọi là chỉnh hình trên D.
1

Ví dụ 1.2.2 Hàm chỉnh hình trên tập mở bất kỳ trong C không gian chứa
z

5


điểm gốc và f = −

1
. Thật vậy ta có
z2

1
1
−
f (z + h) − f (z)
f (z) = lim
= lim z + h z
h→∞
h→∞
h
h
1
1
= lim −
= − 2.
h→∞
z.(z + h)
z
Ví dụ 1.2.3 Hàm z¯ không chỉnh hình. Thật vậy ta thấy

f (z + h) − f (z) z + h − z¯ h¯
=
= .
h
h
h
Ta thấy ngay, khi h → 0 trên trục thực thì tỷ số trên có giới hạn bằng 1, còn
khi h → 0 trên trục ảo thì tỷ số trên có giới hạn bằng −1. Vậy, khi h → 0
giới hạn trên không tồn tại.
∞

Định lý 1.2.1. Giả sử chuỗi ∑ cn .zn có bán kính hội tụ là R > 0. Khi đó
n=0

tổng f (z) của chuỗi là một hàm chỉnh hình trên D và
∞

f (z) = ∑ n.cn .zn .
n=1
∞

Chứng minh. Trước hết ta chứng tỏ chuỗi ∑ n.cn .zn cũng có bán kính hội
n=1
∞

tụ là R. Thật vậy, chuỗi ∑ n.cn .zn−1 hội tụ nếu và chỉ nếu chuỗi
n=1
∞

z. ∑ n.cn .z

n−1

∞

=

n=1

∑ n.cn .zn

n=1

hội tụ. Do đó chuỗi có bán kính hội tụ là
1
lim

n→∞

n

|n.cn |

=

1
√
lim n n. lim

n→∞

n→∞

Lấy z0 tùy ý mà z0 < R. Đặt
6

n

|cn |

=

1
lim

n→∞

n

|cn |

= R.


f (z0 + ∆z) − f (z0 )
− S(z0 ).
∆z

δ (z0 , ∆z) =

Để hoàn thành chứng minh ta chứng minh rằng lim δ (z0 , ∆z) = 0.
∆z→0

Chọn r sao cho |z0 | < r < R. Xét ∆z đủ bé sao cho |z0 + ∆z| < r ta thấy

∑

cn .(z0 , ∆z)n − cn .zn0
− n.cn .zn−1
0
∆z

∑

(z0 + ∆z)n−1 + (z0 + ∆z)n−2 + ... + zn−1
− n.zn−1
.cn
0
0

∞

δ (z0 , ∆z) =

n=0
∞

=

n=0

∞

=

∑ δn .(z0 , ∆z).

n=0

Chú ý rằng
|δn (z0 , ∆z)| ≤ |cn | |z0 + ∆z|n−1 + |z0 + ∆z|n−2 . |z0 | + ... + |z0 |n−1 + n.zn−1
0
< 2.n.cn .rn−1
∞

Bởi vì chuỗi số ∑ 2.n.cn .rn−1 hội tụ nên với ∀ε > 0, ∃N = N(ε) sao cho
n=0
∞
ε
∑ 2.n.cn .rn−1 < .
2
n=N

Mặt khác ta có
N−1

lim

N−1

lim δn (z0 , ∆z)

∑ δn (z0 , ∆z) = ∑ ∆z→0

∆z→0 n=1

n=1
N−1

=

∑

lim

n=1 ∆z→0

cn .(z0 + ∆z) − cn .zn0
− n.cn .zn0
∆z

Do đó, với ∆z đủ bé ta có
N−1

ε
∑ δn .(z0 , ∆z) < .
2
n=1

Từ đó, với ε > 0 đủ bé ta nhận được đánh giá
7

= 0.


N−1

∞

n=0

n=N

|δ (z0 , ∆z)| ≤ ∑ δn (z0 , ∆z) + ∑ δn (z0 , ∆z) <

ε ε
+ = ε.
2 2

Nhận xét 1.2.1 Bằng phép biến đổi t = z − z0 , z0 = 0 chuỗi ∑ an .(z − z0 )n
n≥0

được quy về chuỗi ∑ an

.t n

nên ta có định lý sau

n≥0

Định lý 1.2.2. Tổng của chuỗi lũy thừa ∑ an .(z − z0 )n là hàm chỉnh hình
n≥0

trong hình tròn hội tụ |z − z0 | < R của chuỗi đó và đạo hàm f (z) được tìm
theo công thức
f (z) = ∑ an .n.(z − z0 )n−1 .
n≥1

1.3. Lý thuyết tích phân phức
Định nghĩa 1.3.1 Cho hàm f (z) xác định trên đường tròn trơn từng khúc γ.
Chia γ thành n phần nhỏ bởi các điểm chia η0 ,η1 ,. . . ,ηn (η0 là điểm đầu và
ηn là điểm cuối của đường cong). Chọn tùy ý điểm ηv∗ và lập tổng
n−1

Sn =

∑ f (η0∗ ).(ηv+1 − ηv ).

(1.1)

v=0

Nếu khi n → ∞ mà max |ηv+1 − ηv | → 0 tồn tại giới hạn của tổng (1.1) không
phụ thuộc vào cách chia cung γ thành các cung nhỏ và cách chọn các điểm
ηv∗ thì giới hạn đó được gọi là tích phân của hàm f (z) trên cung γ và ký hiệu
là
n−1

f (z)dz =
γ

f (ηv∗ ).(ηv+1 − ηv ).

∑
max|ηv+1 −ηv |→0
lim

(1.2)

v=0

Nếu đặt f (z) = u(x, y) + i.v(x, y) và ηv+1 − ηv = ∆xv + i.∆yv thì tổng tích
n−1

phân (1.1) có thể viết Sn = ∑ [u(ηv∗ ) + i.v(ηv∗ )].(∆xv + i.∆yv )
v=0

8


n−1

=

∑

[u(ηv∗ ).∆xv − v(ηv∗ ).∆yv ] + i.

v=0

n−1

∑ [u(ηv∗ ).∆yv + v(ηv∗ ).∆xv ].

(1.3)

v=0

Trong đó ηv∗ = (xv∗ , y∗v ). Phần thực và phần ảo của (1.3) là tổng của hai tích
phân đường loại hai
udx − vdy và udy + vdx
γ

γ

Như vậy, nếu f (z) liên tục trên γ thì tích phân (1.2) tồn tại và
f (z)dz = udx − vdy + i. udy + vdx
γ

γ

γ

Một số tính chất cơ bản
1. Nếu γ + và γ − là đường cong ê lấy theo hai chiều ngược nhau thì
f (z)dz = −
γ−

f (z)dz.
γ+

2. Giả sử f (z) và g(z) là hai hàm khả tích trên γ. Khi đó, hàm
c1 f (z) + c2 g(z); c1 , c2 ∈ C

cũng là hàm khả tích trên γ và
[c1 f (z) + c2 g(z)] .dz = c1 . f (z)dz + c2 . g(z)dz.
γ

γ

γ

3. Giả sử γ = γ1 + γ2 . Khi đó ta có
f (z)dz =
γ

f (z)dz +
γ1

f (z)dz.
γ2

4. Nếu l là độ dài cung γ thì
f (z)dz ≤ | f (z)| dz ≤ l. max f (z).
γ

γ

9


5. Nếu z = ϕ(η) là hàm giải tích ánh xạ 1-1 đường cong τ lên đường
cong γ = ϕ(τ) thì
f (z)dz =

γ

f (ϕ(η)).ϕ (η).dη.
τ

Đặc biệt, nếu z = z(t),t ∈ [a, b] là phương trình của đường cong γ = ϕ(τ)
thì
b

f (z)dz =

f (z(t)).z (t).dt.
a

γ

Nếu tồn tại 1 hàm chỉnh hình g trong miền D chứa γ sao cho
g (z) = f (z), ∀z ∈ γ
thì g được gọi là một nguyên hàm của hàm f . Giả sử z = z(t),t ∈ [a, b] là
phương trình của γ thì ta có
b

f (z)dz =
γ

g (z)dz =

g (z(t)).z (t).dt.
a

γ
b

d [g(z(t))] = g(z(b)) − g(z(a)).

=
a

Vậy
f (z)dz = g(B) − g(A); B = z(b), A = z(a).

(1.4)

γ

Từ công thức (1.4) ta thấy g là hàm đơn trị và γ là đường cong đóng thì
b

f (z).dz = g(B) − g(A).
a

10


Chương 2

Biến đổi Laplace
2.1. Định nghĩa và ví dụ
Định nghĩa 2.1.1 Giả sử f là hàm biến thục hoặc phức của biến t > 0 và s
là tham số thực hoặc phức. Biến đổi Laplace của hàm f được xác định và ký

hiệu bởi
∞

F(s) = L ( f (t)) = e−st f (t)dt
0
τ

e−st f (t)dt.

= lim

(2.1)

τ→∞
0

Biến đổi Laplace của hàm f (t) được gọi là tồn tại nếu tích phân (2.1) hội tụ
trong miền nào đó. Trường hợp tích phân trên phân kỳ thì ta nói không tồn
tại biến đổi Laplace xác định đối với hàm f .

11


Ký hiệu L( f ) được sử dụng cho biến đổi Laplace của hàm f , và tích phân
trên là tích phân Riemann thông thường với cận vô tận. Hàm F(s) được gọi
là hàm ảnh của biến đổi Laplace. Phép biến đổi Laplace được gọi là thực
hay phức nếu biến số s của hàm ảnh F(s) là thực hay phức.

Tham số s thuộc một miền nào đó trên đường thẳng thực hoặc trong mặt
phẳng phức. Chúng ta sẽ chọn s thích hợp sao cho tích phân (2.1) hội tụ.

Trong toán học cũng như trong kỹ thuật, miền của biến s đóng một vai trò
hết sức quan trọng. Tuy nhiên, trong một trường hợp đặc biệt, khi các phương
trình vi phân giải được, miền của tham số s thường không cần xét đến. Khi
biến s là phức ta thường sử dụng ký hiệu s = x + iy. Ký hiệu L là biến đổi
Laplace, nó tác động lên hàm f = f (t) và sinh ra một hàm mới theo biến s
là hàm F(s) = L ( f (t)).
Ví dụ 2.1.1 Nếu f (t) ≡ 1 với mọi t ≥ 0, thì
∞
−st

L ( f (t)) =

e

.1dt = lim
τ→∞

e−st
−s

0

τ

= lim
0

τ→∞

e−sτ 1

+
−s
s

(2.2)

Trường hợp s là số thực dương thì ta nhận được ngay
1
L(1) = , s > 0.
s

(2.3)

Nếu s ≤ 0 thì tích phân sẽ phân kỳ và dĩ nhiên không có lời giải của biến đổi
Laplace.
Nếu s là biến phức với Re(s) > 0 thì bằng tính toán tương tự ta cũng có
1
L(1) = . Thật vậy, để có thể kiểm tra tính toán trên đây, ta cần đến công
s
thức Euler
eiθ = cos θ + i sin θ , θ ∈ R.
12

(2.4)


Dĩ nhiên, ta có eiθ = 1. Chúng ta cần chứng tỏ (có thể bỏ qua đi dấu trừ
cũng như những cận lấy tích phân để đơn giản hóa sự tính toán)
est dt =

est
,
s

(2.5)

với số phức tùy ý s = x + iy khác 0. Để thấy điều này, theo công thức Euler
chúng ta có nhận xét rằng
est dt = e(x+iy)t dt = ext cos ytdt + i ext sin ytdt.
Tích phân từng phần đối với hai tích phân trên ta được
est dt

ext
= 2
[(x cos yt + y sin yt) + i(x sin yt − y cos yt)] .
x + y2

Ta biểu diễn vế phải của (2.5) như sau
est
e(x+iy)t
ext (cos yt + i sin yt) (x − iy)
=
=
s
x + iy
x2 + y2
ext
= 2
[(x cos yt + y sin yt) + i (x sin yt − y cos yt)] .
x + y2

Như vậy đẳng thức (2.5) được chứng minh. Thêm nữa, chúng ta cũng thu
được đẳng thức (2.3) với tham số phức s nếu lấyRe(s) = x > 0. Bởi vì
lim |e−sτ | = lim e−xτ e−iyτ = lim e−xτ = 0
τ→∞

τ→∞

τ→∞

nên ta nhận được giới hạn trong (2.3) Sử dụng kết quả trên đây, chúng ta có
thể tính được L(cos ωt) và L(sin ωt), với ω là số thực.
Ví dụ 2.1.2 Trước hết ta tính
e(iω−s)t
L(eiωt ) = e−st eiωt dt = lim
τ→∞ iω − s
0
∞

τ

=
0

1
.
s − iω

Bởi vì x = Re(s) > 0 nên lim eiωt e−sτ = lim e−xt = 0.
τ→∞
τ→∞

1
Tương tự ta tính được L(e−iωt ) =
.
s + iω
13


Sử dụng tính chất tuyến tính của phép biến đổi Laplace L và các tích phân
là toán tử tuyến tính, ta suy ra
L(eiωt ) + L(e−iωt )
eiωt + e−iωt
=L
2
2

= L(cos ωt).

Do đó
L(cos ωt) =

1
2

1
1
+
s − iω s + iω

=

s
.
s2 + ω 2

(2.6)

Hoàn toàn tương tự
L(sin ωt) =

1
2i

1
1
−
s − iω s + iω

=

ω
(Re(s) > 0) .
s2 + ω 2

(2.7)

Định nghĩa 2.1.2 Một hàm f được gọi là gián đoạn nhảy (gián đoạn loại
một) tại điểm t0 nếu tồn tại và hữu hạn cả hai giới hạn
lim f (t) = f (t0− ), lim f (t) = f (t0+ ),

t→t0−

t→t0+

nhưng
f (t0− ) = f (t0+ ).
1
có điểm gián đoạn tại t = 3, nhưng không là
t −3
điểm gián đoạn nhảy tại đó vì lim f (t) = ∞.

Ví dụ 2.1.3 Hàm f (t) =

t→3

Ví dụ 2.1.4 Hàm

f (t) =






t2
e 2 khi t > 0
−



 0 khi t < 0

có điểm gián đoạn nhảy tại t = 0 và nó liên tục tại các điểm còn lại.
Định nghĩa 2.1.3 Một hàm f được gọi là liên tục từng khúc trên đoạn [0, ∞)
nếu thỏa mãn các điều kiện dưới đây
14


(i) Tồn tại giới hạn lim = f (0+ );
t→0+

(ii) f liên tục trên mọi đoạn (0, b) trừ ra lại một số hữu hạn điểm
τ1 , τ2 , ..., τn trong (0, b) mà chúng là các điểm gián đoạn nhảy.
Từ định lý Weierstrass chúng ta nhận được kết quả hiển nhiên sau đây
Mệnh đề 2.1.1 Hàm f liên tục từng khúc trên đoạn [0, ∞) thì bị chặn trên
mỗi đoạn con, nghĩa là tồn tại các hằng số Mi > 0 sao cho
| f (t)| ≤ Mi ;
với mỗi i = 1, 2, ..., n − 1 và với mọi t ∈ [τi , τi+1 ].
Định nghĩa 2.1.4 Một hàm f có bậc mũ α nếu tồn tại hằng số M > 0 và một
số α sao cho
| f (t)| ≤ Meαt ; với một số t ≥ t0 .
Rõ ràng hàm mũ f (t) = eat có bậc mũ α = a, trong khi f (t) = t n có bậc mũ
α với mọi α > 0 và mọi n ∈ N. Các hàm bị chặn sint, cost và tan−1t có bậc
2

mũ 0 trong khi đó e−t có bậc mũ −1. Tuy nhiên, hàm et không có bậc mũ.

Lưu ý rằng nếu β > α thì bậc mũ α kéo theo bậc mũ β vì eαt ≤ eβt với mọi
t > 0. Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra một lớp lớn các hàm mà đối với chúng tồn
tại biến đổi Laplace.
Định lý 2.1.1. Nếu f liên tục từng khúc trên đoạn [0, ∞) và có bậc mũ α thì
biến đổi Laplace tồn tại và hội tụ tuyệt đối với Re(s) > α.

Chứng minh. Trước hết ta có
| f (t)| ≤ M1 eαt ; với một số t ≥ t0 và một số thực α.

15


Hơn nữa, hàm f liên tục từng khúc trên đoạn [0,t0 ] do đó bị chặn trên đoạn
đó. Khi đó tồn tại số dương M2 sao cho
| f (t)| ≤ M2 ; với mọi t ∈ [0,t0 ]..
Bởi vì hàm eαt có một cực tiểu dương trên đoạn [0,t0 ], nên ta có thể chọn
được một hằng số dương đủ lớn M sao cho
| f (t)| ≤ M.eαt ; với mọi t > 0.
Do đó
τ

τ

e−st f (t) dt ≤ M
0

e−(x−α)t dt
0

Me−(x−α)t
=
−(x − α)
=

M
−

x−α

τ

0
Me−(x−α)τ

x−α

.

Cho τ → ∞ và lưu ý rằng Re(s) = x > α ta suy ra
τ

e−st f (t) dt ≤
0

M
.
x−α

(2.8)

Do đó, tích phân Laplace hội tụ tuyệt đối với Re(s) > α.
Ví dụ 2.1.5 Xét hàm f (t) = eαt , với α là số thực. Đó là hàm liên tục trên
[0, ∞) và có bậc mũ α. Khi đó
e−(s−α)t
L(eαt ) = e−st eαt dt = e−(s−α)t dt =
−(s − α)
0

0
∞

∞

τ

=
0

1
.
s−α

với Re(s) > α.
Ví dụ 2.1.6 Áp dụng tích phân từng phần đối với hàm f (t) = t(t ≥ 0) liên
16


tục và có bậc mũ ta nhận được
∞

te−st dt

L(t) =
0

1
= L(1), Re(s) > 0
s

1
= 2.
s
Lấy tích phân từng phần hai lần như trên ta nhận được
L(t 2 ) =

2
, Re(s) > 0.
s3

Bằng quy nạp ta có thể chứng tỏ được công thức
n!

L(t n ) =

sn+1

, Re(s) > 0.

(2.9)

với n = 0, 1, 2,. . . .

Chúng ta ký hiệu lớp L là tập hợp các hàm nhận giá trị thực hoặc phức xác
định trên khoảng (0, ∞) mà biến đổi Laplace tồn tại với giá trị nào đó của s.
Ta cũng thấy rằng khi F(s) = L ( f (t)) tồn tại với một giá trị nào đó s0 thì
nó cũng sẽ tồn tại với mọi giá trị s mà Re(s) > Re(s0 ). Theo định lý (2.1.1)
các hàm liên tục từng khúc trên (0, ∞) có bậc mũ thuộc lớp L. Tuy nhiên có
những hàm thuộc lớp L không thỏa mãn một hoặc cả hai điều kiện này. Các
ví dụ dưới đây cho ta thấy điều đó

2

2

Ví dụ 2.1.7 Xét hàm f (t) = 2tet cos(et ). Ta thấy hàm này liên tục trên
(0, ∞) nhưng không có bậc mũ. Tuy nhiên biến đổi Laplace của nó
∞

2

L ( f (t)) = 2tet cos et
0

17

2

dt,


tồn tại vì bằng phương pháp tích phân từng phần ta suy ra
∞
t2

L ( f (t)) = e−st sin e

∞
0

te−st sin et

+s

2

dt

0

= − sin(1) + s Lsin

et

2

, viRe(s) > 0.

Biến đổi Laplace cuối cùng tồn tại bởi định lý (2.1.1). Do đó, chúng ta có
một hàm liên tục không có bậc mũ nhưng vẫn có một biến đổi Laplace.
Một ví dụ khác là hàm
1
f (t) = √ .
t

(2.10)

Người ta tính được biến đổi Laplace của nó khi xét đến hàm gamma. Trong
khi hàm đó có bậc mũ α = 0 (| f (t)| ≤ 1,t > 1) nhưng nó không liên tục
từng khúc trên [0, ∞) vì f (t) → ∞ khi t → 0+ .

2.2. Tính chất cơ bản của biến đổi Laplace
Tính chất tuyến tính
Giả sử f1 ∈ L với Re(S) > α và f2 ∈ L với Re(s) > β .
Khi đó c1 f1 + c2 f2 ∈ L với Re(s) > max {α, β } và
L (c1 f1 + c2 f2 ) = c1 L ( f1 ) + c2 L ( f2 )

(2.11)

với các hằng số tùy ý c1 và c2 .
Chứng minh. Tính chất này của biến đổi Laplace được suy ra từ định nghĩa
và tính chất tuyến tính của tích phân

18


∞

e−st (c1 f1 + c2 f2 )dt

L (c1 f1 + c2 f2 ) =
0

∞

∞
−st

= c1

e

e−st f2 dt

f1 dt + c2

0

0

= c1 L ( f 1 ) + c2 L ( f 2 ) .
Ví dụ 2.2.1 Hàm cosin hyperbolic
eωt + e−ωt
cosh(ωt) =
2
mô tả đường cong của hai cáp treo giữa hai giá. Bởi tính chất tuyến tính, ta
có
1
L(eωt ) + L(e−ωt )
2
1
1
1
=
+
2 s−ω s+ω
s
= 2
.
s − ω2

L (cosh(ωt)) =

Tương tự ta cũng nhận được
L (cosh(ωt)) =

s
.
s2 + ω 2

Ví dụ 2.2.2 Cho f (t) = a0 + a1t + ... + ant n là một đa thức bậc n. Khi đó
∞

∞

k!

k=1

k=1

sk+1

L ( f (t)) = ∑ ak L t k = ∑ ak

19

.