Tiếp tuyến của các đường cong cônic

Trường đại học sư phạm hà nội 2
khoa toán
-----****-----

Trần Huy Mạnh

Tiếp tuyến của các đường cônic
Tóm tắt Khoá luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành: Hình học
Giáo viên hướng dẫn:
Phan hồng trường

Hà Nội -2007

1


Lời nói đầu
Trong chương trình toán phổ thông trung học mới được thực hiện từ năm
2006, phương pháp toạ độ trong mặt phẳng được đưa vào hình học lớp 10. Tiếp
tuyến của các đường cônic xét trước đây trong hình học 12 được trình bày nhờ
khái niệm đạo hàm và tiếp tuyến với đồ thị hàm số, đã chưa được đề cập tới trong
chương “Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng” trong hình học 10. Vậy nhằm
để gới thiệu với các em học sinh lớp 10 về khái niệm tiếp tuyến của các đường
cônic, cũng như phương pháp để xác định tiếp tuyến của các đường cônic nên
em đã chọn đề tài:
“Tiếp tuyến của các đường cônic”
Và thực hiện đề tài trên cơ sở đưa ra khái niệm tiếp tuyến của ba đường
cônic ((E), (H), (P)) chỉ dựa vào phương trình đại số và các tính chất hình học
của ba đường này.
Đây là lần đầu tiên em làm quen với việc NCKH. Nên bản thân em dù đã

rất cố gắng nhưng sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được
sự góp ý, nhận xét, đánh giá của thầy cô và bạn đọc.
Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô trong
khoa, trong tổ, đặc biệt là sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của Thầy Phan Hồng
Trường đã giúp em hoàn thành khoá luận này.

2


Mục lục
Lời nói đầu

Trang

Mục lục

2

Chương 1: tiếp tuyến của đường elip

3

1.1. Elip

3

1.2. Tiếp tuyến của đường elip

3

1.3. Phương trình tiếp tuyến của đường elip

5

A. Cách xác định

5

B. Các ví dụ

7

C. Bài tập đề nghị

10

Chương 2:tiếp tuyến của đường hypebol

12

2.1. Hypebol

12

2.2. Tiếp tuyến của đường hypebol

13

2.3. Phương trình tiếp tuyến của đường Hypebol

14

A. Cách xác định

14

B. Các ví dụ

16

C. Bài tập đề nghị

20

Chương 3: tiếp tuyến của đường parabol

21

3.1. Parabol

21

3.2. Tiếp tuyến của đường parabol

22

3.3. Phương trình tiếp tuyến của đường parabol

23

A. Cách xác định

23

B. Ví dụ

25

C. Bài tập đề nghị

28

Chương 4: Bài tập thêm

29

4.1. Kiến thức cơ bản

29

4.2. Bài tập

30

A. Elip

30

B. Hypebol

33

3


C. Parabol

34

Chương 1: tiếp tuyến của đường elip
1.1. elip

1.1.1. Định nghĩa đường elip
Cho hai điểm cố định F1 và F2 với F1F2  2c (c>0). Đường elip (còn gọi là
elip) là tập hợp các điểm M sao cho MF1  MF2  2a , trong đó a là số cho trước
lớn hơn c. Kí hiệu elip bởi (E)
Hai điểm F1 , F2 gọi là các tiêu điểm của elip. Khoảng cách 2c được gọi là
tiêu cự của elip.
1.1.2. Phương trình chính tắc của elip
Cho elip (E) như trong định nghĩa trên. Ta chọn hệ trục toạ độ Oxy gốc là
y
trung điểm của đoạ thẳng F F và F nằm trên tia Ox.
1 2

Điểm M  x, y    E  

2

x2 y 2


 1 (1)
a 2 b2

( b  a  c ) .(1) được gọi là phương trình
2

2

2

.
F1

O

.

x

F2

chính tắc của elip đã cho.
Lưu ý: Elip (E) :

x2 y 2

 1,  b  a  0  có hai tiêu điểm F1 , F2 nằm trên
a 2 b2

trục lớp Oy

1.2. Tiếp tuyến của đường elip

1.2.1. Định nghĩa
Cho elip (E) và đường thẳng d. Đường thẳng d được gọi là tiếp tuyến của
elip (E) nếu d và (E) có một điểm chung duy nhất.
Khi đó ta cũng nói d tiếp xúc với (E) hay d và (E) tiếp xúc nhau. Điểm
chung duy nhất của d và (E) gọi là tiếp điểm
1.2.2. Định lí

4


Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E):

x2 y 2

 1 và đường thẳng
a 2 b2

d: Ax+By+C=0 (A2+B2>0).
Điều kiện cần và đủ để đường thẳng d và elip (E) tiếp xúc nhau là:
A2a2+B2b2=C2
Chứng minh:
Xét hệ phương trình tạo bởi d và (E) là
 x2 y 2
 2  2 1
(I)
b
a
 Ax  By  C  0



Vì A2+B2>0 nên A  0 hoặc B  0, không mất tính tổng quát giả sử B  0.
Khi đó rút y từ (2) thay vào (1), ta được:
B2b2x2+a2(-Ax-C)2=a2b2B2

 (B2b2+A2a2)x2+2a2ACx+a2c2-a2b2B2=0 (3)
Đường thẳng d tiếp xúc với elip (E) khi và chỉ khi hệ (I) có nghiệm duy
nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất. Suy ra
 '  0  C 2  A2a 2  B 2b2

Nhận xét :
Mặc dù lời giải trên vai trò của x và y là bình đẳng, nhưng sự bình đẳng
này không được xem xét một cách đầy đủ trong suốt quá trình giải. Vì vậy theo
hướng trên ta nhận được lời giải đúng nhưng không đẹp.
Để khắc phục được tình trạng trên, chúng ta sử dụng phương pháp sau:
Viết lại hệ (I) dưới dạng:

 x 2  y 2
      1
 a   b 

aA  x   bB  y   C  0
 
  a 
b

5

Đặt

 x  aX

 y  bY

Ta được:

 X 2  Y 2  1T 

aAX  bBY  C  0  d 
Khi đó hệ có nghiệm duy nhất  d tiếp xúc (T)  d(O,d)=1 (O là tâm đường
tròn (T))  A2a2+B2b2=C2
Như vậy ta có một lời giải hoàn toàn mới, trong lời giải trên sự bình đẳng của
x và y được duy trì trong suốt quá trình giải .
Hệ quả 1: Đường thẳng y=kx+m là tiếp tuyến của (E) khi và chỉ khi
k2a2+b2=m2
x2 y 2
Hệ quả 2. Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E): 2  2  1 . Phương trình tiếp
a
b

tuyến với (E) tại M0(x0,y0) thuộc (E) có dạng:
d0:

x0 x y0 y
 2 1
a2
b

Chứng minh:
Hiển nhiên đường thẳng d0 đi qua M0(x0,y0). Mặt khác
2
2
 x0  2  y0  x0 y0
a  2   b  2   2  2 1.
b
a 
b  a

2

Theo định lí 1.2.2, đường thẳng

x0 x y0 y
 2  1  0 tức d0, là tiếp tuyến của
a2
b

elip (E). Vậy d0 là tiếp tuyến của elip (E) tại M0(x0,y0) thuộc (E).
Phương pháp thành lập phương trình d0 dạng trên gọi là phương pháp phân
đôi toạ độ.

6


1.3. phương trình tiếp tuyến của đường elip

A. Cách xác định
x2 y 2

Cho elip (E): 2  2  1
a
b

Để lập phương trình tiếp tuyến d của elip (E) ta có thể lựa chọn một trong
hai cách sau:
Cách 1: Ta thực hiện các bước sau:
b1, Dựa vào điều kiện K ta giả sử đường thẳng d có phương trình
d: Ax+By +C=0
b2, Xác định điều kiện tiếp xúc của d và (E)
b3, Kết luận về tiếp tuyến đó
Chú ý. Điều kiện K thường gặp là:
1. Tiếp tuyến đi qua một điểm M cho trước, khi đó:
a. Nếu M0(x0,y0) thuộc (E) ta có ngay phương trình tiếp tuyến
bằng phương pháp phân đôi toạ độ
b. Nếu M0(x0,y0) không thuộc (E) ta giả sử
d : A(x-x0)+B(y-y0)=0 (A2+B2>0)

 d: Ax+By – (Ax0+By0)=0 (2)
2. Tiếp tuyến có hệ số góc cho trước
a. Tiếp tuyến song song với đường thẳng  : Ax  By  C  0 .
Khi đó d: Ax+By+C’=0
b. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  : Ax  By  C  0 .
Khi đó d: Bx-Ay+C’=0
c. Tiếp tuyến có tạo với đường thẳng  một góc  . Khi đó linh hoạt
vận dụng công thức

u.v

cos    , với u, v thứ tự là vectơ chỉ phương của d và  .

u.v

7


tan  

k1  k2
, với k1, k2 thứ tự là hệ số góc của d và  .
1  k1k2

Cách 2. Đi tìm tiếp điểm rồi sử dụng phương pháp phân đôi toạ độ để giải
Ta thực hiên theo các bước sau:
b1, Giả sử M0(x0,y0) là tiếp điểm, khi đó phương trình tiếp tuyến có
x0 x y0 y
 2  1 (1)
a2
b

dạng:

x02 y02
Điểm M0(x0,y0) thuộc (E) nên 2  2  1 (2)
a
b

b2, Sử dụng điều kiện K của giả thiết ta thiết lập thêm một phương trình
theo x0, y0 (3).
b3, Giải hệ tạo bởi (2) và (3) ta được toạ độ điểm M0 , từ đó thay vào (1) ta
được phương trình tiếp tuyến cần xác định.

Nhận xét: Trong những trường hợp riêng cách 2 tỏ ra hiệu quả hơn

B. Các ví dụ
x2 y 2

 1 . Viết phương trình tiếp tuyến của (E)
VD1. Cho elip (E):
8
2

đi qua điểm M(2,1).
Giải
Nhận xét rằng điểm M(2,1) thuộc elip, do đó phương trình tiếp
tuyến d của (E) có dạng
d:

2 x 1y
 1 d : x  2y  4  0
8
2

VD2. Cho điểm M(3,-4) và elip (E):

x2 y 2

1.
9
4

a. Chứng minh rằng: Qua M có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến

(E).
b. Xác định phương trình hai tiếp tuyến và lập phương trình

8


đường thẳng đi qua hai tiếp điểm của (E) với hai tiếp tuyến trên.
Giải
a. Với M(3,-4) và elip (E):

x2 y 2

 1 . Ta có PM
9
4

E

 5  1  M nằm

ngoài (E). Suy ra qua M có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến (E).
b. Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1. Đường thẳng d qua M có dạng d: A(x-3)+B(y+4)=0

 d: Ax+By-3A+4B=0
Đường thẳng d là tiếp tuyến của elip (E) khi và chỉ khi
9 A2+4B2= (-3A+4B)2

 12B2-24AB=0
B  0


B  2A
Với B=0 ta được tiếp tuyến d1: x-3=0 và toạ độ của điểm M1 là nghiệm
của hệ

 x2 y 2
 1 x  3
 

 M 1  3,0 
9
4

y

0

x  3  0


Với B=2A ta được tiếp tuyến d2: x+2y+5=0 và toạ độ của điểm M2 là

nghiệm của hệ

9

 x2 y 2
x



1
 

 9 8
5

 M2   , 
9
4


 5 5
x  2 y  5  0  y   8


5

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm M1, M2 là:

M1M 2 : x  3 y  3  0 .
Cách 2. Gọi M0(x0,y0) là tiếp điểm của (E) với tiếp tuyến d cần tìm. khi đó
M0(x0,y0) thuộc (E) khi và chỉ khi
trình

d:

x02 y02

 1 (1) và đường thẳng d có phương
9

4
x0 x y0 y

1
9
4
9


Vì M thuộc d nên

3x0 4 y0

 1  x0  3 y0  3 .(*) Thay vào (1) ta
9
4

 9 8
M1  3,0  , M 2   ,  
 5 5

được

Với M1  3,0 ta được tiếp tuyến d1: x-3=0 .

 9 8
Với M 2   ,   ta được tiếp tuyến d2: x+2y+5=0
 5 5
Nhận xét rằng toạ độ hai tiếp điểm đều thoả mãn phương trình (*). Do đó
phương trình đường thẳng đi qua hai tiếp điểm có dạng x-3y-3=0

Nhận xét. Với đòi hỏi của bài toán trên việc lựa chọn cách giải 2 lời giải đơn
giản hơn.
x2 y 2

 1 . Viết phương trình tiếp tuyến d của
VD3. Cho elip (E):
16 9

(E) biết :
a. Tiếp tuyến song song với đường thảng  : x  2 y  6  0
b. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  : x  y  0
Giải
a.Gọi d là tiếp tuyến của (E) song song với đường thẳng
 : x  2y  6  0

d song song với đường thẳng  : x  2 y  6  0 nên có phương trình
d : x  2y  C  0

C  52
d là tiếp tuyến của (E) nên suy ra 1.16+4.9=C2  
C   52

Vậy ta có hai tiếp tuyến là d1 : x  2 y  52  0 , d 2 : x  2 y  52  0 thoả
mãnn yêu cầu bài toán
b. Gọi d là tiếp tuyến của (E) vuông góc với đường thẳng
:x  y  0
10


d vuông góc với đường thẳng  : x  y  0 nên có phương trình

d :x yC 0

C  5
d là tiếp tuyến của (E) nên suy ra 1.16+1.9=C2  
C  5
Vậy ta có hai tiếp tuyến d1 : x  y  5  0 , d2 : x  y  5  0 thoả mãnn yêu
cầu bài toán.
x2 y 2

 1 . Biết tiếp
VD4. Viết phương trình tiếp tuyến của elip (E) :
9
4

tuyến tạo với đường thẳng  : 2 x  y  0 một góc 450.
Giải
Giả sử tiếp tuyến d của (E) có hệ số góc k. Khi đó phương trình của
đường thẳng d có dạng:

d: y=kx+m  kx-y+m=0

d tạo với đường thẳng  một góc 450 nên suy ra

tan 450 

2k
2k

1
1  2k

1  2k

1

k

 2  k   1  2k   
3

 k  3
1
ta được phương trình đường thẳng d1: x-3y+3m=0
3
m  5
2 
d1 là tiếp tuyến của (E) khi 1.9+9.4=9m
 m   5

Với k 

Vậy ta được hai tiếp tuyến d1,1: x-3y+3 5 =0, d1,2: x-3y-3 5 =0
Với k=-3 ta được phương trình đường thẳng d2: 3x+y-m=0
 m  85
d2 là tiếp tuyến của (E) khi 9.9+1.4=m2  
 m   85

Vậy ta được hai tiếp tuyến d2,1: 3x+y+ 85 =0, d2,2: 3x+y- 85 =0

11

Kết luận. Tồn tại bốn tiếp tuyến d1,1, d1,2, d2,1, d2,2 tới (E) thoả mãn yêu cầu
bài toán.

C. Bài tập đề nghị
1. Cho elip (E):

x2 y 2

 1 . Lập phương trình tiếp tuyến của (E), biết
25 16

tiếp tuyến tạo với đường thẳng  : 2 x  y  0 một góc 450
Đáp số:

d1,1 : 3x  2 y  13  0 d 2,1 : 3x  y  241  0
;
d1,2 : 3x  2 y  13  0 d 2,2 : 3x  y  241  0

x2 y 2

 1 . Viết phương trình tiếp tuyến của (E)
2. Cho elip (E):
9
4

biết
a. Tiếp tuyến qua điểm A(3,0).
b. Tiếp tuyến đi qua B(4,2).
c. Tiếp tuyến song song với đường thẳng  : x  y  6  0

d. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  : 2 x  y  2  0
Đáp án: a. x-3=0; b. y-2=0 và 16x-7y-50=0; c. x-y- 41 =0 và
x-y+ 41 =0: d. x+2y+5=0 và x+2y-5=0
x2 y 2

 1 . Biết tiếp tuyến
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (E):
9 16

tạo với đường thẳng  : x  2 y  0 một góc 600.

12


Chương2: tiếp tuyến của đường hypebol
2.1. Hypebol

2.1.1 Định nghĩa đường Hypebol
Cho hai điểm cố định F1 và F2 với F1F2  2c (c>0). Đường hypebol (còn
gọi là hypebol) là tập hợp các điểm M sao cho MF1  MF2  2a , trong đó a là số
cho trước nhỏ hơn c. Khí hiệu hypebol bởi (H)
Hai điểm F1 , F2 gọi là các tiêu điểm của hypebol.
Khoảng cách 2c được gọi là tiêu cự của hypebol.

.
.

M

.

F2

F1

2.1.2. Phương trình chính tắc của hypebol
Cho hypebol (H) như trong định nghĩa trên. Ta chọn hệ trục toạ độ Oxy
gốc là trung điểm của đoạ thẳng F1F2 và F2 nằm trên tia Ox.
x2 y 2
Điểm M  x, y    H   2  2  1 (1)
a
b

.

F1(c,0)

13

.
.

M(x,
y)

O

F2(c,
0)

Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của hypebol
Gốc toạ độ O là tâm đối xứng của hypebol
Ox, Oy là hai trục đối xứng của hypebol
Trục Ox (chứa hai tiêu điểm) gọi là trục thực, trục Oy gọi là trục ảo của
hypebol. Người ta cũng gọi đoạn thẳng nối hai đỉnh của hypebol là trục thực,
khoảng cách 2a giữa hai đỉnh là độ dài trục thực, 2b gọi là độ dài trục ảo
Hypebol gồm hai phần nằm hai bên trục ảo, mỗi phần gọi là một nhánh
của hypebol.
Hai đường thẳng bx+ay=0 và bx-ay=0 là hai đường tiệm cận của
hypebol
y 2 x2
Lưu ý: Với hypebol cho bởi phương trình 2  2  1 thì Oy là trục thực
b
a
2.2. Tiếp tuyến của đường Hypebol

2.2.1. Định nghĩa
Cho hypebol (H) và đường thẳng d. Đường thẳng d gọi là tiếp tuyến của
hypebol (H) nếu d không song song với các tiệp cận của (H) và d có một điểm
chung duy nhất với (H).
Khi d là tiếp tuyến của (H), ta cũng nói d tiếp xúc với (H) hay d và (H) tiếp
xúc nhau. Điểm chung duy nhất của d và (H) gọi là tiếp điểm.
2.2.2. Định lí
x2 y 2
Trong mặt phẳng Oxy cho hypebol (H): 2  2  1 . Và đường thẳng
a
b

d: Ax+By+C=0 (A2+B2>0).

Điều kiện cần và đủ để đường thẳng d và hypebol (H) tiếp xúc nhau là:
A2a2- B2b2=C2
Chứng minh:
Do d không song song với các tiệm cận nên suy ra a 2 A2  b2 B 2  0

14


Đường thẳng d tiếp xúc với (H) khi và chỉ khi hệ sau :
 x2 y 2
 11
 
(I)  a 2 b
có nghiệm duy nhất và a 2 A2  b2 B 2  0 .
 Ax  By  C  0  2 

Do A2+B2>0 không mất tổng quát ta giả sử B  0 , từ (2) ta suy ra y 
Thế vào (1) ta được
2
B 2b 2 x 2  a 2  Ax  C   a 2b 2 B 2

 Ax  C
B

  B2b2  A2a2  x2  2a2 ACx  a2b2 B2  a2C 2  0 (3)
Hệ (I) có nghiêm duy nhất và a 2 A2  b2 B 2  0 khi và chỉ khi (3) có
nghiệm duy nhất a 2 A2  b2 B 2  0
Suy ra

 '  a 4 A2C 2   a 2b 2 B 2  a 2C 2  B 2b 2  a 2 A2   0

 A2 a 2  B 2b 2  C 2

Hệ quả 1. Điều kiện cần và đủ để đường thẳng d: y=kx+m tiếp xúc với (H) là:
k2a2- b2=m2.
Hệ quả 2 . Cho hypebol (H):
M0(x0,y0) thuộc (H) có dạng: d0:

x2 y 2

 1 . Khi đó tiếp tuyến với (H) tại
a 2 b2

x0 x y0 y
 2 1
a2
b

Chứng minh:
Hiển nhiên d0 đi qua M0(x0,y0). Mặt khác
2

2

x02 y02
 x0 
2  y0 
a  2   b  2   2  2 1
a 
b  a b
2

Theo định lí 2.2.2, đường thẳng

x0 x y0 y
 2  1  0 tức d0, là tiếp tuyến của
a2
b

hypebol (H). Vậy d0 tiếp xúc với (H) tại M0(x0,y0) thuộc (H)
Phương pháp tìm ra phương trình đường thẳng d0 có dạng trên gọi là
phương pháp phân đôi toạ độ

15


2.3. phương trình tiếp tuyến của đường Hypebol

A. Cách xác định
x2 y 2
Cho hypebol (H): 2  2  1 . Để xác định phương trình tiếp tuyến của
a
b

(H) ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1. Ta thực hiện theo các bước sau:
b1, Dựa vào điều kiện K của giả thiết, ta giả sử được đường thẳng d có
d : Ax  By  C  0

phương trình

b2, Giải điều kiện tiếp xúc A2a2- B2b2=C2
b3, Kết luận về tiếp tuyến d
Chú ý: Điều kiện K thường gặp là:
1. Tiếp tuyến đi qua một điểm M cho trước, khi đó:
a. Nếu M0(x0,y0) thuộc (H) ta có ngay phương trình tiếp tuyến bằng
phương pháp phân đôi toạ độ
b. Nếu M0(x0,y0) không thuộc (H) ta giả sử
d : A(x-x0)+B(y-y0)=0 (A2+B2>0)

 d: Ax+By – (Ax0+By0)=0 (2)
2. Tiếp tuyến có hệ số góc cho trước
a. Tiếp tuyến song song với đường thẳng  : Ax  By  C  0 .
Khi đó

d: Ax+By+C’=0

b. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  : Ax  By  C  0 .
Khi đó

d: Bx-Ay+C’=0
c.Tiếp tuyến có tạo với đường thẳng  một góc  . Khi đó linh

hoạt vận dụng công thức


u.v

cos    , với u, v thứ tự là vectơ chỉ phương của d và  .
u.v

16


tan  

k1  k2
, với k1, k2 thứ tự là hệ số góc của d và  .
1  k1k2

Cách 2. Đi tìm tiếp điểm rồi sử dụng phương pháp phân đôi toạ độ để giải
Ta thực hiên theo các bước sau:
b1, Giả sử M0(x0,y0) là tiếp điểm, khi đó phương trình tiếp tuyến có
dạng

d0:

x0 x y0 y
 2  1 (1)
a2
b

x02 y02
Điểm M0(x0,y0) thuộc (H) nên 2  2  1 (2)
a
b

b2, Sử dụng điều kiện K của giả thiết ta thiết lập thêm một phương
trình theo x0, y0 (3).
b3, Giải hệ tạo bởi (2) và (3) ta được toạ độ điểm M0 , từ đó thay vào
(1) ta được phương trình tiếp tuyến cần xác định.

B. Các ví dụ
y2
 1. Xác định phương trình tiếp tuyến của
VD1. Cho hypebol (H): x 
2
2



(H) đi qua M 2, 6



Giải:





Dễ dàng kiểm tra được điểm M 2, 6 thuộc (H), khi đó sử dụng
phương pháp phân đôi toạ độ, ta được phươnng trình tiếp tuyến của (H) tại M là:
d : 2x 

6
y  1  d : 4x  6 y  2  0 .
2

VD2. Cho đường thẳng  và hypebol (H) có phương trình:
 : x  y  2007  0

x2 y 2
H :  1
8
4

a. Lập phương trình tiếp tuyến của (H) song song với 

17


b. Lập phương trình tiếp tuyến của (H) vuông góc với 
Giải:
a. Ta có thể chọn một trong hai cách sau:
Cách 1. Đường thẳng d song song với  có phương trình:
d :x yC 0

d là tiếp tuyến của (H) khi :

C  2
1.8  1.4  C 2  
C  2
Với C=2 ta có tiếp tuyến d1: x-y+2=0.
Với C=-2 ta có tiếp tuyến d2: x-y-2=0.
Vậy tồn tại hai tiếp tuyến d1 và d2 tới (H) thoả mãnn yêu cầu bài toán.
Cách 2. Giả sử tiếp điểm cần tìm là M0(x0,y0), khi đó phương trình tiếp
tuyến có dạng:
d:

x0 x y0 y


 1  x0 x  2 y0 y  8  0 (1)
8
4

M 0  x0 , y0    H  

Đường thẳng d//  khi và chỉ khi

x02 y02

 1 (2)
8
4

x0 2 y0

 x0  2 y0 (3)
1
1

Giải hệ phương trình tạo bởi (2) và (3) ta được:

  x0  4

  y0  2   M1  4,2 
  x  4  M  4, 2 
 2
 0
  y0  2
Với M1  4,2 thay vào (1) ta được tiếp tuyến d1: x-y-2=0

Với M 2  4, 2 thay vào (1) ta được tiếp tuyến d2: x-y+2=0
Vậy tồn tại hai tiếp tuyến d1 và d2 tới (H) thoả mãnn yêu cầu bài toán

18


Nhận xét: Nếu ta chọn cách 2 thì từ (3) ta có ngay phương trình đường
thẳng đi qua hai điểm M1, M2 tức là: M1M 2 : x  2 y  0 . Tuy nhiên khi bài toán
không đòi hỏi tới tiếp điểm thì cách 2 lại trở lên cồng kềnh, dễ gây nhầm lẫn khi
giải toán.
b. Ta cũng có thể lựa chọn một trong hai cách giải sau
Cách 1. Đường thẳng d   có phương trình: d : x  y  C  0
Đường thẳng d tiếp xúc với (H) khi và chi khi

C  2
1.8  1.4  C 2  
C  2
Với C=2 ta có tiếp tuyến d1: x+y+2=0.
Với C=-2 ta có tiếp tuyến d2: x+y-2=0.
Vậy tồn tại hai tiếp tuyến d1 và d2 tới (H) thoả mãnn yêu cầu bài toán.
Cách 2. Giả sử tiếp điểm cần tìm là M0(x0,y0), khi đó phương trình tiếp
tuyến có dạng:
d:

x0 x y0 y

 1  x0 x  2 y0 y  8  0 (1)
8
4

M 0  x0 , y0    H  

x02 y02

 1 (2)
8
4

Đường thẳng d   khi và chỉ khi:

x0 2 y0

 x0  2 y0 (3)
1
1

Giải hệ phương trình tạo bởi (2) và (3) ta được:

  x0  4

  y0  2   M1  4,2 

 x  4
 M 2  4, 2 
 0
  y0  2
Với M1  4,2 thay vào (1) ta được tiếp tuyến d1: x+y+2=0
Với M 2  4, 2  thay vào (1) ta được tiếp tuyến d2: x+y-2=0
Vậy tồn tại hai tiếp tuyến d1 và d2 tới (H) thoả mãnn yêu cầu bài toán
19

VD3. Cho hypebol (H) có phương trình  H  :

x2 y 2

 0 . Viết phương
16 9

trình tiếp tuyến của (H) biết:
a. Tiếp tuyến đi qua điểm A(2,1).
b. Tiếp tuyến tạo với đường thẳng  : 2 x  y  2007 một góc 450
Giải:
a. Đường thẳng d qua A(2,1) có phương trình:

d : A x  2  B  y  1  0  Ax  By  2 A  B  0
d là tiếp tuyến của (H) khi và chỉ khi:

16 A2  9 B 2   2 A  B 

2

 6 A2  2 AB  5B 2  0

1  31
B
A 
6



1  31
B
A 
6

Với A 

1  31
B ta được tiếp tuyến
6





d1 : 1  31 x  6 y  8  2 31  0
Với A 

1  31
B ta được tiếp tuyến
6





d2 : 1  31 x  6 y  8  2 31  0
Vậy tồn tại hai tiếp tuyến d1 và d2 tới (H) thoả mãnn yêu cầu bài toán.
b. Giả sử tiếp tuyến d có hệ số góc k. Khi đó:

1

k

2k
tan 45 

3

1  2k
 k  3
0

20


Với k 

1
ta có phương trình tiếp tuyến
3
1
d1 : y  x  m  x  3 y  3m  0
3

d1 là tiếp tuyến của (H) khi và chỉ khi: 1.16-32=(3m)2 phương trình này
vô nghiệm
Với k  3 ta có phương trình tiếp tuyến

d2 : y  3x  m  3x  y  m  0

d2 là tiếp tuyến của (H) khi và chỉ khi:
 m  135
2
2 
3 .16-1.9=m
 m   135
Với m  135 ta được tiếp tuyến d2,1 : 3x  y  135  0
Với m   135 ta được tiếp tuyến d2,2 :3x  y  135  0
Vậy tồn tại hai tiếp tuyến d 2,1 và d 2,2 tới (H) thoả mãnn yêu cầu bài toán.

C. Bài tập đề nghị
x2 y2
 1. Lập phương trình tiếp tuyến của (H),
1. Cho hypebol  H  : 
9 16

biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng  : x  3 y  2007  0 một góc 450
Đáp số:3x-y- 65 =0 và 3x-y+ 65 =0



2. Lập phương trình tiếp tuyến của  H  : 4 x 2  y 2  4 tại M 2,  12



Đáp án: 8 x  12 y  4  0
3. Cho hypebol  H  :

x2 y 2


 1 . Lập phương trình tiếp tuyến của (H),
100 64

biết
a. Tiếp tuyến đi qua điểm A(1,-1).
b. Tiếp tuyến song song với đường thẳng 1 :3x  2 y  2007  0 .
21


c. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 2 : 5x  10 y  2007  0 .
Đáp án: b. 3x  2 y  2 161  0 và 3x  2 y  2 161  0
c. 2 x  y  4 21  0 và 2 x  y  4 21  0

Chương 3: tiếp tuyến của parabol
3.1. Parabol

3.1.1. Định nghĩa đường parabol
Cho một điểm F cố định và một đường thẳng  cố định không đi qua F.
Tập hợp các điểm M cách đều F và  được
gọi là đường parabol (hay parabol).Khi hiệu (P)
Điểm F được gọi là tiêu điểm của Parabol.
Đường thẳng  được gọi là đường chuẩn

.
. F.
M



của parabol.

Khoảng cách từ F đến  được goị là tham số tiêu của
parabol
3.1.2. Phương trình chính tắc của parabol
Cho parabol với tiêu điểm F và đường chuẩn  , kẻ FP vuông góc với 
( P  ), đặt FP=p (tham số tiêu). Ta chọn hệ toạ độ Oxy sao cho O là trung điểm

p   p 
của của FP và điểm F nằm trên tia Ox. Như vậy ta có: F  ,0  , P   ,0  và
2   2 
phương trình của đường thẳng  là x 

p
0.
2

Điểm M  x, y    P   y 2  2 px (p>0) (1)

22

y

.
P.
.
F
O
M

x

Phương trình (1) được gọi là phương trình
chính tắc của parabol.
Từ phương trình chính tắc ta nhận thấy:
Parabol nằm về phía phải trục Oy
Nhận Ox làm trục đối xứng.
Parabol cắt Ox tại O và đó cũng là điểm duy nhất của trục Oy thuộc
Parabol. Gốc toạ độ O gọi là đỉnh của parabol.
Chú ý: Ngoài phương trình có dạng chính tắc (1), parabol còn có các dạng
phương trình sau: y2=-2px (p<0); x2=2py (p>0); x2=-2py (p<0).
3.2. Tiếp tuyến của đường parabol

3.2.1. Định nghĩa
Cho parabol (P) và đường thẳng d. Đường thẳng d được gọi là tiếp tuyến
của parabol (P) nếu d không song song với trục của (P) và d có điểm chung duy
nhất với (P).
Khi d là tiếp tuyến của parabol (P), ta cũng nói d tiếp xúc với (P) hay d và
(P) tiếp xúc nhau.
3.2.2. Định lí
Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P): y2=2px (p>0). đường thẳng d:
Ax+By+C=0 là tiếp tuyến của parabol (P) khi và chỉ khi:
pB2=2AC.
Chứng minh:
Do d không song song với trục của parabol (P) suy ra A  0

 y 2  2 px(1)
Ta xét hệ phương trình 
(I)
Ax


By

C

0(2)

Đường thẳng d tiếp xúc với parabol (P) khi và chỉ khi hệ (I) có nghiệm
duy nhất và A  0 . Từ phương trình (2) ta suy ra x 

23

 By  C
, thế vào (1) ta
A


được Ay2+2pBy+2pC=0 (3). Vậy d tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi (3) có nghiệm
duy nhất và A  0 . Tức là

 '  p2 B2  2 pAC  0  pB 2  2 AC
Hệ quả 1: Đường thẳng d: y=kx+m tiếp xúc với parabol (P) khi và chỉ khi
p=2km.
Chú ý: Bằng cách chứng minh tương tự đối với các parabol có dạng:
(P1): y2=-2px d tiếp xúc với (P1) khi và chỉ khi pB2  2 AC .
(P2): x2=2py d tiếp xúc với (P2) khi và chỉ khi pA2  2BC .
(P3): x2=-2py d tiếp xúc với (P3) khi và chỉ khi pA2  2BC .
Hệ quả 2. Cho parabol (P): y2=2px (p>0), đường thẳng d0 tiếp xúc với
parabol (P) tại M0(x0,y0)  P  khi và chỉ khi d0 có phương trình dạng
d0: y0y=p(x+x0).
Chứng minh:

Viết lại phương trình của d0 : px-y0y-px0=0.
Dễ thấy d0 đi qua M0(x0,y0) , mặt khác
p   y0   py02  p  2 px0   2 p  px0  .
2

Theo định lí 3.2.2 ta suy ra d0 là tiếp tuyến của (P). Vậy d0 tiếp xúc với
parabol (P) tại M0(x0,y0)
Chú ý: Bằng cách tương tự đối với các parabol có dạng:
(P1): y2=-2px tiếp tuyến tại M0(x0,y0)  P1  có dạng
d: y0y=-p(x+x0).
(P2): x2=2py tiếp tuyến tại M0(x0,y0)  P2  có dạng
d: x0x=p(y+y0).
(P3): x2=-2py tiếp tuyến tại M0(x0,y0)  P3  có dạng
d: x0x=-p(y+y0).

24


3.3. phương trình tiếp tuyến của đường parabol

A. Cách xác định
Cho parabol (P): y2=2px. Để xác định phương trình tiếp tuyến của (P) ta
có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1. Ta thực hiện theo các bước sau:
b1, Dựa vào điều kiện K của giả thiết, ta giả sử được đường thẳng d có
phương trình d : Ax  By  C  0
b2, Giải điều kiện tiếp xúc dựa vào dạng của Parabol
b3, Kết luận về tiếp tuyến d
Chú ý: Điều kiện K thường gặp là:
1. Tiếp tuyến đi qua một điểm M cho trước, khi đó:

a. Nếu M0(x0,y0) thuộc (P) ta có ngay phương trình tiếp tuyến bằng
phương pháp phân đôi toạ độ
b. Nếu M0(x0,y0) không thuộc (P) ta giả sử
d : A(x-x0)+B(y-y0)=0 (A2+B2>0)

 d: Ax+By – (Ax0+By0)=0 (2)
2. Tiếp tuyến có hệ số góc cho trước
a. Tiếp tuyến song song với đường thẳng  : Ax  By  C  0 .
Khi đó d: Ax+By+C’=0
b. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  : Ax  By  C  0 .
Khi đó d: Bx-Ay+C’=0
c. Tiếp tuyến có tạo với đường thẳng  một góc  . Khi đó linh hoạt
vận dụng công thức

u.v

cos    , với u, v thứ tự là vectơ chỉ phương của d và  .
u.v

tan  

k1  k2
, với k1, k2 thứ tự là hệ số góc của d và  .
1  k1k2

25