Ôn tập tiếp tuyến của các đường cô nic

TIẾP TUYẾN CỦA CÁC ĐƢỜNG CÔNIC
Tiếp tuyến đối với đƣờng tròn:
Dạng 1: Lập phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng tròn
PHƢƠNG PHÁP:
Cho đƣờng tròn (C) có tâm I(a,b) và bán kính R.
Để lập phƣơng trình tiếp tuyến (d) của đƣờng tròn (C) thỏa mãn điều kiện
K, ta có thể làm nhƣ sau:
Cách 1:
-Dựa vào điều kiện K ta giả sử đƣợc đƣờng thẳng (d) có phƣơng trình:
(d): Ax+By+C=0
- (d) là tiếp tuyến của (C) <=> d(I,(d))=R
- Kết luận về tiếp tuyến (d)
Chú ý: Các điều kiện K thƣờng gặp:
Tiếp tuyến đi qua điểm M cho trƣớc, khi đó:
Nếu M(x
o
,y
o
)

(C) (tức là P
M/(C)
=0),ta có ngay:
(d): qua M(x
o
,y
o
)
vtpt IM(x
o
-a,y

o
-b)
<=>(d):(x
o
-a)(x-x
o
)+(y
o
-b)(y-y
o
)=0
<=>(d)):(x
o
-a)(x-a)+(y
o
-b)(y-b)=R
2
(Phân đôi tọa độ)
Nếu P
M/(C)
<0 <=> M ở trong (C) => không tồn tại tiếp tuyến kẻ từ M tới
(C)
Nếu P
M/(C)
>0 <=> Mở ngoài (C) => tồn tại 2 tiếp tuyến kẻ từ M tới (C). Ta
đƣợc (d) đi qua M có phƣơng trình:
(d): A(x-x
o
)+B(y-y
o

)=0 <=> (d): Ax+By-Ax
o
-By
o
=0
Tiếp tuyến song song với đƣơng thẳng (

): Ax+By+C=0, khi đó:
(d): Ax+By+D=0
Tiếp tuyến vuông góc với đƣờng thẳng (

): Ax+By+C=0, khi đó:
(d): Bx-Ay+D=0
Tiếp tuyến có hệ số góc k, khi đó:
(d): y=kx+m
Tiếp tuyến tạo với đƣờng thẳng (

) một góc

, khi đó ta sử dụng hai công
thức:
ba
ba.
cos 

, với a,b lần lƣợt là vtcp của (d), (

)
21
21

1
tan
kk
kk




, với k
1
,k
2
lần lƣợt là hệ số góc của (d), (

)
Cách 2: tìm tiếp điểm rồi sử dụng phƣơng pháp phân đôi tọa độ:
Giả sử M(x
o
,y
o
) là tiếp điểm, khi đó:
Phƣơng trình tiếp tuyến có dạng:
(d): x.x
o
+y.y
o
-a(x+x
o
)-b(y+y
o

)+c=0 (1) (hoặc (x-a)(x
o
-a)+(y-b)(y
o
-
b)=R
2
)
Điểm M

(C) có dạng: x
o
2
+y
o
2
-2ax
o
-2by
o
+c=0 (2) (hoặc (x
o
-a)
2
+(y
o
-
b)
2
=R

2

Sử dụng thêm điều kiện K của giả thiết, ta thiết lập thêm một phƣơng
trình theo x
o
,y
o
(3)
Giải hệ tạo bởi (2),(3) ta đƣợc tọa độ tiếp điểm rồi thay vào phƣơng
trình (1) ta đƣợc phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm.
Dạng 2: Lập phƣơng trình tiếp tuyến chung của hai đƣờng tròn
PHƢƠNG PHÁP:
Cho hai đƣờng tròn
(C) có tâm là I(a,b) và có bán kính R
(C’) có tâm là I’(a’,b’) và có bán kính R’
Để lập phƣơng trình tiếp tuyến chung ta làm nhƣ sau:
Giả sử (d): Ax+By+C=0, với A
2
+B
2
>0 là tiếp tuyến chung của (C) và (C’).
Thiết lập điều kiện tiếp xúc của (d) với (C), (C’)
d(I,(d))=R
d(I’,(d))=R’
kết luận về tiếp tuyến chung (d)
chú ý:
Nếu (C)và (C’) ngoài nhau sẽ có 4 tiếp tuyến chung.
Nếu (C)và (C’) tiếp xúc ngoài sẽ có 3 tiếp tuyến chung
Nếu (C)và (C’) cắt nhau sẽ có 2 tiếp tuyến chung
Nếu (C)và (C’) tiếp xúc trong sẽ có 1 tiếp tuyến chung

Nếu (C)và (C’) nằm trong nhau sẽ không có tiếp tuyến chung
Tiếp tuyến của elip
Định lí:
Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E) và đƣờng thẳng (d) có phƣơng trình:
1:)(
2
2
2
2

b
y
a
x
E
& (d): Ax+By+C=0, với A
2
+B
2
>0
Điều kiện cần và đủ để (d) tiếp xúc với (E) là:
A
2
a
2
+B
2
b
2
=C

2

Dạng 1: Lập phƣơng trình tiếp tuyến của (E)
Để lập phƣơng trình tiếp tuyến của (E) thỏa mãn điều kiện K
 Cách 1:Dựa vào điều kiện K ta giả sử đƣờng thẳng (d) có phƣơng trình :
(d): Ax+By+C=0
(d) là tiếp tuyến của (E) <=> A
2
a
2
+B
2
b
2
=C
2

Kết luận về tiếp tuyến (d)
Chú ý:
Nếu M(x
o
,y
o
)

(E) (tức là P
M/(E)
=1), ta có ngay:
1
..

:)(
2
0
2
0

b
yy
a
xx
d
(Phân đôi tọa độ)
Nếu P
M/(E)
<1 <=> M ở trong (E) => không tồn tại tiếp tuyến kẻ từ M tới (E)
Nếu P
M/(E)
>1 <=> M ở ngoài (E) => tồn tại 2 tiếp tuyến kẻ từM tới (E)
Ta đƣợc (d) đi qua M có phƣơng trình :
(d): A(x-x
o
)+B(y-y
o
)=0
 Cách 2: Tìm tiếp điểm rôi sử dụng phân đôi tọa độ(Giống với đƣờng
tròn)
Dạng 2: Lập phƣơng trình tiếp tuyến chung:
Giả sử (d): Ax+By+C=0 là tiếp tuyến chung của (C) và (C’)
Thiết lập điều kiện tiếp xúc của (d) với (C) và (C’)
Kết luận về tiếp tuyến chung (d)

Tiếp tuyến của Hypebol:
Định lí: Trong mặt phẳng Oxy, cho (H) và đƣờng thẳng (d) có phƣơng
trình:
1:)(
2
2
2
2

b
y
a
x
H
& (d): Ax+By+C=0, với A
2
+B
2
>0
Điều kiện cần và đủ để (d) tiếp xúc với (H) là:
A
2
a
2
-B
2
b
2
=C
2

Lập phƣơng trình tiếp tuyến của (H)
 Cách 1: Dựa vào điều kiện K ta giả sử đƣờng thẳng (d) có phƣơng trình :
(d): Ax+By+C=0
(d) là tiếp tuyến của (H) <=> A
2
a
2
-B
2
b
2
=C
2

Kết luận về tiếp tuyến (d)
 Cách 2: Tìm tiếp điểm sử dụng phƣơng pháp phân đôi tọa độ(Giống với
đƣờng tròn và (E)
Tiếp tuyến của Parabol:
Định lí: Trong mặt phẳng Oxy, cho (P) và đƣờng thẳng (d) có phƣơng
trình:
pxyP 2:)(
2

& (d): Ax+By+C=0, với A
2
+B
2
>0
Điều kiện cần và đủ để (d) tiếp xúc với (P) là:

pB
2
=2AC
Lập phƣơng trình tiếp tuyến của (P)
 Cách 1: Dựa vào điều kiện K ta giả sử đƣờng thẳng (d) có phƣơng trình :
(d): Ax+By+C=0
(d) là tiếp tuyến của (P) <=> pB
2
=2AC
Kết luận về tiếp tuyến (d)
 Cách 2: Tìm tiếp điểm sử dụng phƣơng pháp phân đôi tọa độ(Giống với
đƣờng tròn và (E),(H))