Một số phương pháp xây dựng borno cơ bản

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
********

PHẠM THỊ LAN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG BORNO CƠ BẢN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học

TS. TRẦN VĂN BẰNG

Hà Nội - 2013



LỜI CẢM ƠN
Để có thể hoàn thành được bài khóa luận tốt nghiệp này, em xin
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Trần Văn Bằng - Người thầy đã trực
tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập tại
trường cũng như trong quá trình hoàn thành khóa luận tốt nghiệp. Đồng
thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Giải tích, các thầy cô
trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 và Ban chủ nhiệm
khoa Toán đã tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành khóa luận tốt
nghiệp của mình.
Trong khuôn khổ có hạn của một bài khóa luận do điều kiện về mặt thời
gian, do trình độ có hạn và đây cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học
nên bài khóa luận của em cũng không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót

nhất định. Vì vậy, em rất mong nhận được những góp ý của quý thầy cô
và bạn đọc.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Phạm Thị Lan

i


LỜI CAM ĐOAN

Dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của thầy Trần Văn Bằng thì
khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và
nghiên cứu. Để hoàn thành được bản khóa luận tốt nghiệp này em đã có
sử dụng một số tài liệu tham khảo của các nhà khoa học.
Em xin khẳng định kết quả của đề tài "Một số phương pháp xây dựng
borno cơ bản" không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.
Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Phạm Thị Lan

ii


Mục lục

MỞ ĐẦU

v

1 Kiến thức chuẩn bị

1

1.1. Không gian véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2. Một số khái niệm liên quan đến borno . . . . . . . . . . . .

3

2 Một số phương pháp xây dựng borno cơ bản
2.1. Borno đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9
9

2.2. Borno tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3. Borno cảm sinh: Không gian borno con . . . . . . . . . . . 14
2.4. Borno sinh bởi một họ tập con . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5. Giới hạn xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5.1. Họ xạ ảnh borno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5.2. Borno giới hạn xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6. Borno cuối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.7. Borno thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.8. Giới hạn quy nạp borno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.8.1. Họ quy nạp borno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.8.2. Borno giới hạn quy nạp

. . . . . . . . . . . . . . . 22

2.9. Tổng trực tiếp borno: Borno hữu hạn chiều . . . . . . . . . 22

iii


2.9.1. Tổng trực tiếp borno . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.9.2. Borno tổng trực tiếp và borno tích . . . . . . . . . 23
2.9.3. Tổng trực tiếp là giới hạn quy nạp đặc biệt

. . . . 24

2.9.4. Borno hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.9.5. Không gian con bù borno

. . . . . . . . . . . . . . 24

2.10. Sự ổn định của tính chất tách . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.11. Tập đóng borno: Tính chất tách của thương borno . . . . . 27
2.12. Không gian véctơ borno tách liên kết

. . . . . . . . . . . . 29

KẾT LUẬN

31

TÀI LIỆU THAM KHẢO

32

iv


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Ra đời từ đầu thế kỷ 20 đến nay Giải tích hàm đã đạt được nhiều
thành tựu quan trọng và trở thành chuẩn mực trong việc nghiên cứu và
trình bày các kiến thức toán học. Giải tích hàm đã được đưa vào chương
trình Đại học như một phần bắt buộc, tuy nhiên với lượng thời gian có
hạn chúng ta khó có thể nghiên cứu sâu vào một vấn đề nào đó. Trong
giải tích hàm thì lý thuyết topo đã và đang phát triển rất sâu rộng và gần
đây có xuất hiện thêm một lý thuyết mới có tên là lý thuyết Borno. Cụ
thể lý thuyết Borno là lý thuyết "đối ngẫu" với lý thuyết Topo, trong khi
lý thuyết topo được xây dựng xuất phát từ khái niệm tập mở (hay lân
cận) thì lý thuyết borno lại được xây dựng xuất phát từ khái niệm tập bị
chặn.Tuy nhiên hướng nghiên cứu về 2 lý thuyết này là tương đối giống
nhau. Sau khi đưa ra khái niệm topo người ta tiếp tục đi xây dựng các
khái niệm cơ bản khác như: khái niệm topo đầu xác định bởi họ ánh xạ,
topo cuối xác định bởi họ ánh xạ, topo cảm sinh, không gian topo con,
không gian topo tích, không gian topo thương và tổng trực tiếp các không
gian topo. Tương tự như vậy sau khi đưa ra khái niệm borno và các khái
niệm khác có liên quan đến borno người ta cũng đi xây dựng các khái niệm
trên gắn với borno. Dưới góc độ của một sinh viên sư phạm khoa Toán với
mong muốn có được sự hiểu biết về lý thuyết borno đặc biệt là các cách

xây dựng một borno mới từ những borno đã biết gắn với các phương pháp
xây dựng không gian cơ bản trong giải tích hàm nên em đã chọn đề tài
"Một số phương pháp xây dựng borno cơ bản" làm khóa luận tốt
nghiệp đại học của mình. Bố cục của khóa luận bao gồm 2 chương:


Chương 1: Khóa luận trình bày một số khái niệm cơ bản trong không
gian véctơ và một số khái niệm liên quan tới borno.
Chương 2: Khóa luận trình bày một số phương pháp xây dựng borno
cơ bản từ những borno đã biết.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứ về lý thuyết borno.
- Nghiên cứu về một số phương pháp xây dựng borno cơ bản.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Tập chung nghiên cứu về borno và các phương pháp xây dựng borno
cơ bản từ những borno đã biết.
4. Phương pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu, phân tích, so sánh và tổng hợp kiến thức.

vi


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1.

Không gian véctơ

Định nghĩa 1.1. Cho I = ∅ là một tập chỉ số sắp thứ tự và có định

hướng. Tức là trên I được trang bị một quan hệ thứ tự và với mỗi cặp
(i, j) ∈ I × I thì đều tồn tại k ∈ I : k ≥ i, k ≥ j .
Định nghĩa 1.2. Giả sử (Ei )i∈I là một họ các không gian véctơ xác định
trên trường K. Giả sử với mỗi cặp (i, j) ∈ I × I : i ≤ j tồn tại ánh xạ
tuyến tính uji : Ei −→ Ej sao cho họ các ánh xạ tuyến tính (uji ) thỏa
mãn các điều kiện đây:
(i) Với mỗi i ∈ I , uii : Ei −→ Ei là ánh xạ đồng nhất trên Ei .
(ii) Với mỗi i, j, k ∈ I : i ≤ j ≤ k ta có uki = ukj ◦ uji .
Khi đó họ (Ei , uji ) được gọi là họ quy nạp các không gian véctơ.
Định lý 1.1. Giả sử (Ei , uji ) là một họ quy nạp các không gian véctơ xác
định trên trường K. Khi đó tồn tại một không gian véctơ E trên K và các
ánh xạ tuyến tính ui : Ei −→ E thỏa mãn các điều kiện sau đây:
(i) ui = uj ◦ uji , ∀i ≤ j .
(ii) Với mỗi không gian véctơ F bất kỳ và họ các ánh xạ tuyến tính
vi : Ei −→ F sao cho vi = vj ◦ uji , ∀i ≤ j thì tồn tại duy nhất một ánh xạ
tuyến tính v : E −→ F thỏa mãn: vi = v ◦ ui , ∀i ∈ I .
Khi đó E là duy nhất, sai khác một đẳng cấu với F và E được gọi là giới
hạn quy nạp của họ quy nạp các không gian véctơ (Ei , uji ).
Định nghĩa 1.3. Giả sử (Ei )i∈I là một họ các không gian véctơ xác định
1


trên trường K. Giả sử với mỗi cặp (i, j) ∈ I × I : i ≤ j tồn tại ánh xạ
tuyến tính pij : Ej −→ Ei và họ các ánh xạ tuyến tính (pij ) thỏa mãn các
điều kiện sau:
(i) Với mỗi i ∈ I, pii là ánh xạ đồng nhất trên Ei .
(ii) Với mỗi i, j, k ∈ I : i ≤ j ≤ k ta có pik = pij ◦ pjk .
Khi đó họ (Ei , pij ) được gọi là họ xạ ảnh các không gian véctơ.
Định lý 1.2. Giả sử (Ei , pij ) là một họ xạ ảnh các không gian véctơ xác
định trên trường K. Khi đó tồn tại một không gian véctơ E trên K và các

ánh xạ tuyến tính pi : E −→ Ei thỏa mãn các điều kiện sau đây:
(i) pi = pij ◦ pj , ∀i ≤ j .
(ii) Với mỗi không gian véctơ F bất kỳ và họ các ánh xạ tuyến tính
qi : F −→ Ei sao cho qi = pij ◦ qj , ∀i ≤ j thì tồn tại duy nhất ánh xạ
tuyến tính q : F −→ E thỏa mãn: qi = pi ◦ q, ∀i ∈ I .
Khi đó không gian véctơ E là duy nhất, sai khác một đẳng cấu với không
gian véctơ F và E được gọi là giới hạn xạ ảnh của họ xạ ảnh các không
gian véctơ (Ei , pij ).
Định nghĩa 1.4. Giả sử E là một không gian véctơ xác định trên trường
K và A ⊂ E . Khi đó ta nói:
(i) A là một tập tròn nếu ∀λ ∈ K : |λ| ≤ 1 thì ta có λA ⊂ A.
(ii) A là một tập lồi nếu ∀λ, µ ∈ R+ : λ + µ = 1 thì ta có λA + µA ⊂ A.
(iii) A là một tập đĩa nếu A vừa lồi, vừa tròn.
(iv) Bao tròn (tương ứng: bao lồi, tương ứng: bao đĩa) của tập A là một
tập tròn (tương ứng: tập lồi, tương ứng: tập đĩa) nhỏ nhất chứa A.
Mệnh đề 1.1. Giả sử E là không gian véctơ xác định trên trường K và
A ⊂ E . Khi đó bao lồi của A trong E là tập:
n

n

λi xi , λi ≥ 0, xi ∈ A, ∀i = 1, n,

coA =
i=1

λi = 1 .
i=1

Mệnh đề 1.2. Cho E là một không gian véctơ xác định trên trường K.

Khi đó bao tròn của tập A ⊂ E là tập hợp có dạng:
λA.
|λ|≤1

Định nghĩa 1.5. Giả sử E là một không gian véctơ xác định trên trường
K. Một nửa chuẩn trên E là một ánh xạ p : E −→ R thỏa mãn 3 tiên đề
2


sau:
(i) ∀x ∈ E ⇒ p(x) ≥ 0.
(i) ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K ⇒ p (λx) = |λ|p(x).
(ii) ∀x, y ∈ E ⇒ p(x + y) ≤ p(x) + p(y).
Định nghĩa 1.6. Giả sử E là một không gian véctơ xác định trên trường
K và p là một nửa chuẩn trên E . Khi đó cặp (E, p) được gọi là không gian
véctơ nửa chuẩn.

1.2.

Một số khái niệm liên quan đến borno

Định nghĩa 1.7. Cho X là một tập hợp bất kỳ. Một borno trên X là một
họ các tập con của X thỏa mãn 3 tiên đề:
(i) ß phủ X . Tức là, X =
B.
B∈ß

(ii) ß có tính chất lưu giữ tập con. Tức là, nếu A ∈ ß, B ⊂ A thì B ∈ ß.
(iii) ß ổn định đối với phép hợp hữu hạn.
n

Tức là, nếu B1 , B2 , ..., Bn ∈ ß thì

Bi ∈ ß.
i=1

Ví dụ 1.1. Cho X là một tập hợp bất kỳ. Khi đó ß = P(X) là một borno
trên X và ß được gọi là borno tầm thường trên X .
Ví dụ 1.2. Gọi ß là họ tất cả các tập con bị chặn trong R2 . Tức là
ß = A ⊂ R2 : ∃M > 0 : ||x|| ≤ M, ∀x ∈ A . Khi đó ß là một borno trên
R2 và được gọi là borno thông thường trên R2 đối với chuẩn trong R2 .
Định nghĩa 1.8. Cho X là một tập hợp bất kỳ và ß là một borno trên
X . Khi đó cặp (X, ß) được gọi là một tập borno. Các phần tử của ß được
gọi là các tập con bị chặn.
Định nghĩa 1.9. Một cơ sở của borno ß trên X là một họ con ß0 của ß
sao cho với mọi phần tử của borno ß đều chứa trong một phần tử của ß0 .
Ví dụ 1.3. Cho X là một tập hợp bất kỳ và ß = P(X) là một borno trên
X . Khi đó cơ sở của borno ß là ß0 = {X}.
Chứng minh. Vì ß = P(X) ⇒ ∀A ∈ P(X) ⇒ A ⊂ X . Vậy ß0 = {X} là
một cơ sở của borno ß.
3


Định nghĩa 1.10. Giả sử X là một không gian véctơ xác định trên trường
K và ß là một borno trên X . Khi đó borno ß được gọi là borno véctơ (hay
borno tương thích với cấu trúc véctơ) nếu ß ổn định đối với 3 phép toán
sau:
(i) Phép cộng. Tức là, ∀A, B ∈ ß ⇒ A + B ∈ ß.
(ii) Phép vị tự. Tức là, ∀A ∈ ß, ∀λ ∈ K ⇒ λA ∈ ß.
(iii) Phép lấy bao tròn. Tức là, ∀A ∈ ß ⇒

λA ∈ ß.
|λ|≤1

Định nghĩa 1.11. Cho X là một không gian véctơ xác định trên trường
K và ß là một borno trên X . Khi đó cặp (X, ß) được gọi là không gian
véctơ borno.
Định nghĩa 1.12. Cho X là một không gian véctơ xác định trên trường
K và ß là một borno véctơ trên X . Khi đó ß được gọi là borno véctơ lồi
nếu ß ổn định đối với phép lấy bao lồi. Tức là, nếu A ∈ ß thì coA ∈ ß.
Định nghĩa 1.13. Giả sử X là một không gian véctơ xác định trên trường
K và ß là một borno véctơ lồi trên X . Khi đó cặp (X, ß) được gọi là không
gian véctơ borno lồi.
Định nghĩa 1.14. Không gian véctơ borno (X, ß) được gọi là không gian
véctơ borno tách (hay ß tách) nếu {0} là không gian véctơ con bị chặn duy
nhất của X .
Ví dụ 1.4. Giả sử E là một không gian véctơ xác định trên trường K và
p là một nửa chuẩn trên E . Một tập con A ⊂ E được gọi là bị chặn theo
nửa chuẩn p nếu p(A) bị chặn trong R theo borno thông thường.
Khi đó họ ß tất cả các tập con bị chặn trong E theo nửa chuẩn p lập thành
một borno lồi trên E và được gọi là borno chính tắc của không gian nửa
định chuẩn (E, p). Borno này là borno tách khi và chỉ khi p là một chuẩn.
Chứng minh. Ta có ß = {A ⊂ E : ∃M > 0 : p(x) ≤ M, ∀x ∈ A}.
(1) Ta chứng minh ß là một borno.
(i) ß phủ E . Thật vậy ta có:

{x} ⊂

E=
x∈E

B.
B∈ß

4


(ii) ß có tính chất lưu giữ tập con.Tức là, giả sử ∀A ∈ ß, B ⊂ A ta phải
chứng minh: B ∈ ß.
Thật vậy, ∀x ∈ B ⊂ A ⇒ x ∈ A, A bị chặn trong E
⇒ p(A) bị chặn trong R ⇒ p(x) ≤ M (với M là một số nào đó).
⇒ p(x) ≤ M, ∀x ∈ B ⇒ p(B) bị chặn trong R
⇒ B bị chặn trong E hay B ∈ ß.
(iii) ß kín đối với phép hợp hữu hạn. Tức là, giả sử B1 , B2 , ..., Bn ∈ ß ta
n

Bi ∈ ß.

phải chứng minh:
i=1

Thật vậy, vì Bi ∈ ß, ∀i = 1, n ⇒ p(Bi ) bị chặn trong R, ∀i = 1, n
⇒ p(x) ≤ Mi , ∀x ∈ Bi (với Mi là một số nào đó).
Đặt M = max Mi ⇒ Mi ≤ M, ∀i = 1, n.
1≤i≤n

n

Mặt khác, ∀x ∈

Bi ⇒ ∃i0 : x ∈ Bi0 , mà Bi0 ∈ ß

i=1

n

n

⇒ p(x) ≤ Mi0 ≤ M, ∀x ∈
n

⇒

Bi ⇒ p(
i=1

n

Bi bị chặn trong E ⇒
i=1

Bi )-bị chặn trong R

i=1

Bi ∈ ß.
i=1

Vậy ß là một borno.
(2) Ta chứng minh ß là một borno véctơ.
(i) ß ổn định đối với phép cộng. Tức là, giả sử ∀A, B ∈ ß ta phải chứng
minh: A + B ∈ ß.

Thật vậy, ∀(x + y) ∈ (A + B), x ∈ A, y ∈ B .
Vì x ∈ A, A ∈ ß ⇒ p(x) ≤ M (với M là một số nào đó).
Tương tự, vì y ∈ B, B ∈ ß ⇒ p(y) ≤ N (với N là một số nào đó).
Khi đó ta có: p(x + y) ≤ p(x) + p(y) = M + N = P
⇒ p(x + y) ≤ P, ∀(x + y) ∈ (A + B) ⇒ A + B ∈ ß.
(ii) ß ổn định đối với phép vị tự. Tức là, giả sử ∀A ∈ ß, ∀λ ∈ K ta phải
chứng minh: λA ∈ ß.
Thật vậy, ∀(λx) ∈ λA, x ∈ A.
Vì x ∈ A, A ∈ ß ⇒ p(x) ≤ M (với M là một số nào đó).
⇒ p(λx) = |λ|p(x) ≤ |λ|.M = N, ∀x ∈ A.
⇒ λA bị chặn trong E hay λA ∈ ß.
(iii) ß ổn định đối với phép lấy bao tròn. Tức là, giả sử ∀A ∈ ß ta phải

5


λA ∈ ß.

chứng minh:
|λ|≤1

Thật vậy, ∀x ∈

λA ⇒ ∃λ0 : |λ0 | ≤ 1, ∃y ∈ A : x = λ0 y .
|λ|≤1

Vì y ∈ A, A bị chặn trong E ⇒ p(y) ≤ M (với M là một số nào đó).
⇒ p(x) = p(λ0 y) = |λ0 |p(y) ≤ p(y) ≤ M ⇒ p(x) ≤ M, ∀x ∈
λA.
|λ|≤1

⇒

λA bị chặn trong E hay ⇒
|λ|≤1

λA ∈ ß.
|λ|≤1

Vậy ß là một borno véctơ.
(3) Ta chứng minh ß là một borno lồi. Tức là ß ổn định đối với phép lấy
bao lồi.
Thật vậy, giả sử ∀A ∈ ß ta phải chứng minh: coA ∈ ß.
n

∀x ∈ coA ⇒ x =

n

λi xi , λi ≥ 0, xi ∈ A :
i=1

λi = 1.
i=1

Vì xi ∈ A, A bị chặn trong E ⇒ p(xi ) ≤ M, ∀i = 1, n (với M là một số
nào đó). Khi đó ta có:
n

n

λi xi ) ≤

p(x) = p(
i=1

n

λi p(xi ) ≤
i=1

λi M
i=1

⇒ p(x) ≤ M, ∀x ∈ coA ⇒ coA bị chặn trong E hay coA ∈ ß.
Vậy ß là borno lồi.
(4) Cuối cùng ta đi chứng minh: ß là borno tách ⇔ p là một chuẩn.
Điều kiện cần: Giả sử ß là borno tách ta phải chứng minh: p là một chuẩn.
Đặt A = {x ∈ E : p(x) = 0}, ta sẽ đi chứng minh A là không gian con
của E . Thật vậy, ∀x, y ∈ A ⇒ p(x) = 0, p(y) = 0
⇒ 0 ≤ p(x + y) ≤ p(x) + p(y) = 0 + 0 = 0, ∀x, y ∈ A
⇒ p(x + y) = 0, ∀x, y ∈ A ⇒ x + y ∈ A (1). Tương tự,
∀x ∈ A, ∀λ ∈ K ⇒ p(x) = 0 ⇒ p(|λx|) = |λ|p(x) = 0
⇒ λx ∈ A, ∀λ ∈ K, ∀x ∈ A (2). Do đó từ (1), (2) suy ra A là không gian
con của E . Mặt khác, ß là borno tách ⇒ A = {0}.
Tức là nếu p(x) = 0 ⇒ x = 0. Do đó p là một chuẩn.
Điều kiện đủ: Giả sử p là một chuẩn ta phải chứng minh ß là borno tách.
Thật vậy, giả sử A là không gian con bị chặn bất kỳ của E . Vì A là không
gian con nên ∀x ∈ A, ∀λ ∈ K thì ta có λx ∈ A. Mặt khác, vì A bị chặn
trong E ⇒ p(λx) ≤ M (với M là một số nào đó).

6


M
, ∀x ∈ A, ∀λ ∈ K.
|λ|
Cho λ → ∞ ⇒ p(x) = 0, ∀x ∈ A.
Vì p là một chuẩn ⇒ x = 0, ∀x ∈ A ⇒ A = {0}.
Vậy ß là borno tách.
⇒ |λ|p(x) ≤ M ⇒ p(x) ≤

Định nghĩa 1.15. Cho X, Y là các tập borno. Khi đó ta nói ánh xạ
u : X −→ Y là ánh xạ bị chặn nếu u ánh xạ mọi tập bị chặn trong X
thành tập bị chặn trong Y .
Định nghĩa 1.16. Giả sử X, Y là các không gian véctơ borno. Khi đó ta
nói ánh xạ u : X −→ Y là ánh xạ tuyến tính bị chặn nếu u vừa là ánh xạ
tuyến tính vừa là ánh xạ bị chặn.
Định nghĩa 1.17. Cho E là một không gian véctơ borno. Dãy (xn ) trong
E được gọi là hội tụ theo borno tới 0 nếu tồn tại một tập con tròn, bị chặn B
của E và một dãy (λn ) các vô hướng tiến tới 0 sao cho xn ∈ λn B, ∀n ∈ N.
Sự hội tụ theo borno còn được gọi là sự hội tụ theo Mackey.
M
Ký hiệu là: xn −
→ 0.
M
Dãy (xn ) được gọi là hội tụ theo borno tới x ∈ E nếu dãy (xn − x) −
→ 0.
M
Ký hiệu là: xn −
→ x.

Mệnh đề 1.3. Giả sử E là một không gian véctơ borno và (xn ) là một
dãy trong E . Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
(i) Dãy (xn ) hội tụ theo borno tới 0.
(ii) Tồn tại một tập tròn, bị chặn B ⊂ E và một dãy giảm (αn ), αn → 0
sao cho xn ∈ αn B, ∀n ∈ N.
(iii) Tồn tại một tập tròn, bị chặn B ⊂ E sao cho: ∀ε > 0, ∃N (ε) sao cho
xn ∈ εB, ∀n ∈ N.
Nếu borno của E là borno lồi thì (i), (ii), (iii) còn tương đương với khẳng
định sau:
(iv) Tồn tại một đĩa bị chặn B ⊂ E sao cho (xn ) chứa trong không gian
nửa chuẩn EB và hội tụ tới 0 trong EB .
Mệnh đề 1.4. Không gian véctơ borno E là tách khi và chỉ khi mọi dãy
hội tụ theo borno trong E đều có giới hạn duy nhất.
Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử E là không gian tách, (xn ) ⊂ E hội
7


M

M

tụ theo borno tới 2 phần tử x và y . Tức là, xn −
→ x, xn −→ y
M
M
⇒ xn − xn −→ x − y . Đặt zn = xn − xn , z = x − y ⇒ zn −→ z
M
M
⇒ zn − z −→ 0 hay z − zn −→ 0. Khi đó, tồn tại một tập con tròn, bị chặn
B ⊂ E và một dãy các vô hướng (λn ) tiến tới 0 sao cho:

z − zn ∈ λn B, ∀n > 1. Do đó z ∈ λn B, ∀n > 1 (vì zn = 0). Giả sử
nếu z = 0 ⇒ đường thẳng sinh bởi z (hay không gian con sinh bởi Kz )
chứa trong B , mà B ⊂ E . Điều này mâu thuẫn với giả thiết E là không
gian tách (tức là, {0} là không gian con bị chặn duy nhất của E ). Do đó
z = 0 ⇒ x − y = 0 ⇒ x = y . Vậy giới hạn của mọi dãy (xn ) hội tụ theo
borno là duy nhất.
Điều kiện đủ: Giả sử giới hạn của mọi dãy hội tụ theo borno là duy nhất.
Giả sử tồn tại z = 0, z ∈ E sao cho không gian Kz bị chặn. Khi đó, tồn
1
tại một tập bị chặn B ⊂ E : z ∈
B, ∀n > 1.
n
M
Suy ra, dãy (zn = z) hội tụ tới 0. Mặt khác, rõ ràng zn = z −
→ z . Do đó
theo tính duy nhất của giới hạn thì z = 0 (mâu thuẫn với z = 0). Như
vậy, không tồn tại z ∈ E, z = 0 sao cho không gian con Kz bị chặn.
Tức là E là không gian tách.

8


Chương 2

Một số phương pháp xây dựng
borno cơ bản
Chương này trình bày các phương pháp cơ bản để xây dựng một
borno mới từ những borno đã biết gắn với các phương pháp xây dựng
không gian cơ bản trong giải tích hàm.

2.1.

Borno đầu

Định lý 2.1. Cho I = ∅ là một tập chỉ số, (Xi , ßi )i∈I là một họ các tập
borno và X là tập hợp bất kỳ. Giả sử với mỗi i ∈ I, ui : X −→ Xi là ánh
xạ cho trước. Gọi ß là họ tất cả các tập con A của X có các tính chất sau
đây: "Với mỗi i ∈ I, ui (A) bị chặn trong Xi ". Khi đó:
(i) ß là một borno trên X , và là borno thô nhất trên X sao cho mỗi ánh
xạ ui đều bị chặn.
(ii) Nếu X là không gian véctơ và với mỗi i ∈ I, Xi là không gian véctơ, ßi
là borno véctơ (tương ứng: borno lồi) trên Xi , ui là ánh xạ tuyến tính thì ß
là borno véctơ (tương ứng: borno lồi) trên X .
Chứng minh. Ta có ß = {A ⊂ X : ui (A) ∈ ßi , ∀i ∈ I}.
(1) Ta chứng minh ß là một borno trên X .
(i) Với mỗi tập borno (Y, ß) bất kỳ thì tập một điểm {y} ∈ ß, y ∈ Y .
Thật vậy, vì ß phủ Y nên Y =
B.
B∈ß

9


Khi đó, với mỗi {y} ∈ Y ⇒ ∃B0 ∈ ß: y ∈ B0 . Mà ß có tính chất lưu giữ
tập con nên nếu y ∈ B0 ∈ ß ⇒ {y} ∈ ß, ∀y ∈ Y .
Do đó, ∀x ∈ X ta có {x} ∈ ß.
Thật vậy, vì ui {x} = {ui (x)} (do ui là ánh xạ). Mà (Xi , ßi ) là các tập
borno ⇒ {ui (x)} ∈ ßi , ∀i ∈ I ⇒ ui {x} ∈ ßi , ∀i ∈ I
⇒ {x} ∈ ß. Vậy X = {x} hay ß phủ X .
x∈ß

(ii) Giả sử A ∈ ß, B ⊂ A ta phải chứng minh: B ∈ ß.
Thật vậy, ∀A ∈ ß ⇒ ui (A) ∈ ßi , ∀i ∈ I .
Mặt khác, B ⊂ A ⇒ ui (B) ⊂ ui (A), ∀i ∈ I . Mà ßi là các borno nên ßi có
tính chất lưu giữ tập con ⇒ ui (B) ∈ ßi , ∀i ∈ I ⇒ B ∈ ß.
Vậy ß có tính chất lưu giữ tập con.
n

(iii) Giả sử A1 , ..., An ∈ ß ta phải chứng minh:

Aj ∈ ß. Thật vậy, ta có
j=1

n

n

ui

Aj
j=1

ui (Aj ). Vì Aj ∈ ß, ∀j = 1, n ⇒ ui (Aj ) ∈ ßi , ∀i ∈ I .

=
j=1

Mà ßi là các borno do đó ßi kín đối với phép hợp hữu hạn
n

⇒

n

ui (Aj ) ∈ ßi , ∀i ∈ I hay ui
j=1
n

⇒

Aj

∈ ßi , ∀i ∈ I .

j=1

Aj ∈ ß. Tức là ß kín đối với phép hợp hữu hạn.
j=1

Vậy ß là một borno trên X .
(2) Ta đi chứng minh ß là borno thô nhất trên X sao cho các ánh xạ ui
đều bị chặn.
Giả sử ß1 là một borno bất kỳ trên X để chứng minh ß là borno thô nhất
trên X ta phải chứng minh: ß1 ⊂ ß.
Thật vậy, ∀B ∈ ß1 , vì ui là ánh xạ bị chặn với mỗi i ∈ I nên
⇒ ui (B) ∈ ßi , ∀i ∈ I ⇒ B ∈ ß ⇒ ß1 ⊂ ß.
Vậy ß là borno thô nhất trên X .
(3) Tiếp theo, ta giả sử ui : X −→ Xi là các ánh xạ tuyến tính và ßi là
các borno véctơ, ∀i ∈ I thì borno ß là một borno véctơ.
(i) Ta đi chứng minh ß ổn định đối với phép cộng. Tức là, giả sử A, B ∈ ß

ta phải chứng minh: A + B ∈ ß.
Thật vậy, vì A, B ∈ ß ⇒ ui (A) ∈ ßi , ui (B) ∈ ßi , ∀i ∈ I .

10


Ta có: ui (A + B) = ui (A) + ui (B) (vì ui là ánh xạ tuyến tính, ∀i ∈ I ).
Mặt khác, vì ßi là borno véctơ, ∀i ∈ I ⇒ ßi ổn định đối với phép cộng
⇒ ui (A) + ui (B) ∈ ßi , ∀i ∈ I ⇒ ui (A + B) ∈ ßi , ∀i ∈ I .
⇒ A + B ∈ ß. Vậy ß ổn định đối với phép cộng.
(ii) Ta đi chứng minh ß ổn định đối với phép vị tự.
Tức là, giả sử ∀A ∈ ß, ∀λ ∈ K ta phải chứng minh: λA ∈ ß.
Thật vậy, ta có: ui (λA) = λui (A) (vì ui là ánh xạ tuyến tính, ∀i ∈ I ). Mà
ßi là borno véctơ ⇒ ßi ổn định đối với phép vị tự, ∀i ∈ I
⇒ λui A ∈ ßi , ∀i ∈ I ⇒ ui (λA) ∈ ßi , ∀i ∈ I
⇒ λA ∈ ß, ∀A ∈ ß, ∀λ ∈ K. Vậy ß ổn định đối với phép vị tự.
(iii) Ta chứng minh ß ổn định đối với phép lấy bao tròn. Tức là, giả sử
∀A ∈ ß ta phải chứng minh:
λA ∈ ß. Thật vậy, ta có:
|λ|≤1

ui (

λA) =

|λ|≤1

ui (λA) =
|λ|≤1

λui (A).
|λ|≤1

Vì A ∈ ß ⇒ ui (A) ∈ ßi , ∀i ∈ I , mà ßi là các borno véctơ nên ßi ổn định
đối với phép lấy bao tròn, ∀i ∈ I . Do đó

λui (A) ∈ ßi , ∀i ∈ I ⇒ ui (

λA) ∈ ßi , ∀i ∈ I ⇒

|λ|≤1

|λ|≤1

λA ∈ ß.
|λ|≤1

Tức là ß ổn định đối với phép lấy bao tròn.
Vậy ß là một borno véctơ.
(4) Cuối cùng ta đi chứng minh: Nếu ßi là các borno véctơ lồi thì ß cũng
là một borno véctơ lồi. Tức là ta phải chứng minh: ß ổn định đối với phép
lấy bao lồi.
n

Thật vậy, ∀x ∈ coA ⇒ x =

n

λj xj , λj ≥ 0, xj ∈ A,
j=1

n

Ta có: ui (

λj = 1.
j=1

n

λj ui (xj ). Mặt khác A ∈ ß ⇒ ui (A) ∈ ßi , ∀i ∈ I .

λj xj ) =

j=1

j=1

Mà ui (xj ) ∈ ui (A), ∀i ∈ I ⇒ ui (xj ) ∈ ßi , ∀i ∈ I (vì ßi có tính chất lưu
giữ tập con).
n

⇒ ui (
j=1

n

λj ui (xj ) ∈ co(ui (A)).

λj xj ) =

j=1

Vì ui (A) ∈ ßi mà ßi là borno lồi ⇒ co(ui (A)) ∈ ßi , ∀i ∈ I .
Mặt khác ui (coA) = co(ui (A)) ∈ ßi , ∀i ∈ I ⇒ ui (coA) ∈ ßi , ∀i ∈ I .
11


⇒ coA ∈ ß. Tức là ß ổn định đối với phép lấy bao lồi.
Vậy ß là một borno véctơ lồi trên X .
Định nghĩa 2.1. Borno ß trên X xác định bởi Định lý 2.1 được gọi là
borno đầu trên X xác định bởi các ánh xạ ui .
Mệnh đề 2.1. Với các ký hiệu trong Định lý 2.1 ta đặt:
−1
u−1
i (ßi ) = ui (Ai ) : Ai ∈ ßi , ∀i ∈ I . Khi đó họ ß0 =

i∈I

ui−1 (ßi ) là một

cơ sở của borno đầu ß trên X xác định bởi các ánh xạ ui .
Chứng minh. Theo định nghĩa để chứng minh ß0 là một cơ sở của borno ß
ta phải chứng minh: ß0 ⊂ ß và với mọi phần tử của ß đều chứa trong một
phần tử của ß0 .
Thậy vậy, giả sử ∀B ∈ ß0 ⇒ ∃Bi ∈ ßi : B =
u−1
i (Bi ).

⇒ uk (B) = uk (
i∈I

u−1
i (Bi ))

⊂

uk (u−1
k (Bk ))

i∈I

(vì
i∈I

−1
u−1
i (Bi ) ⊂ uk (Bk ))

⇒ uk (B) ⊂ uk (u−1
k (Bk )) ⊂ Bk , ∀k ∈ I .
Mà Bk ∈ ßk , ßk có tính chất lưu giữ tập con
⇒ uk (B) ∈ ßk , ∀k ∈ I ⇒ B ∈ ß. Do đó ß0 ⊂ ß.
Tiếp theo ta đi chứng minh: Mọi phần tử của ß đều chứa trong một phần
tử của ß0 .
Thật vậy, ∀A ∈ ß ⇒ ui (A) ∈ ßi , ∀i ∈ I .
⇒ ∃Bi ∈ ßi : ui (A) = Bi , ∀i ∈ I ⇒ A ⊂ u−1
i (Bi ), ∀i ∈ I .
⇒A⊂
u−1
u−1

i (Bi ), mà
i (Bi ) ∈ ß0 ⇒ A ∈ ß0 .
i∈I

i∈I

Như vậy với mọi phần tử của ß đều chứa trong một phần tử của ß0 .
Do đó ß0 là một cơ sở của borno ß trên X .
Mệnh đề 2.2. Giả sử Y là một tập borno, X được trang bị với borno đầu
xác định bởi các ánh xạ ui . Khi đó ánh xạ u : Y −→ X bị chặn ⇔ ui ◦ u
bị chặn, với mỗi i ∈ I .
Chứng minh. Điều kiện cần: Ta có u : Y −→ X và ui : X −→ Xi
⇒ ui ◦ u : Y −→ Xi . Giả sử u là ánh xạ bị chặn ta phải chứng minh: ui ◦ u
là ánh xạ bị chặn.
Thật vậy, giả sử ∀A ∈ ßY ⇒ u(A) ∈ ßX (vì u bị chặn).

12


⇒ ui (u(A)) ∈ ßXi , ∀i ∈ I (vì ui bị chặn, ∀i ∈ I ) hay ui (u(A)) ∈ ßi , ∀i ∈ I .
⇒ (ui ◦ u)(A) ∈ ßi , ∀i ∈ I ⇒ ui ◦ u bị chặn.
Điều kiện đủ: Giả sử ui ◦ u bị chặn ta phải chứng minh u bị chặn.
Thật vậy, giả sử ∀A ∈ ßY ⇒ (ui ◦ u)(A) = ui (u(A)) ∈ ßi , ∀i ∈ I .
⇒ u(A) ⊂ u−1
i (Bi ), Bi ∈ ßi , ∀i ∈ I .
⇒ u(A) ⊂
u−1
i (Bi ) ∈ ß0 ⇒ u(A) ∈ ß0 .
i∈I

Mà ß0 ⊂ ß và borno ß có tính chất lưu giữ tập con nên u(A) ∈ ß.
Vậy u là ánh xạ bị chặn.

2.2.

Borno tích

Định nghĩa 2.2. Cho I = ∅ là một tập chỉ số, giả sử (Xi , ßi )i∈I là họ
các tập borno. Đặt X =
Xi là tích của các tập Xi . Với mỗi i ∈ I , gọi
i∈I

pi : X −→ Xi là phép chiếu chính tắc từ X lên Xi . Khi đó borno tích trên
X là borno đầu trên X xác định bởi các ánh xạ pi .
Tập hợp X được trang bị borno tích được gọi là tích borno của các tập
borno (Xi , ßi )i∈I ·
Mệnh đề 2.3. Với các ký hiệu trong Định nghĩa 2.2. Khi đó borno tích
trên X có một cơ sở gồm các tập hợp có dạng B =
Bi trong đó
i∈I

Bi ∈ ßi , ∀i ∈ I .
Chứng minh. Đặt ß0 =

ßi và gọi borno tích trên X là borno ß.
i∈I

⇒ ß = {A ⊂ X : pi (A) ∈ ßi , ∀i ∈ I}. Khi đó ta phải chứng minh: ß0 là
một cơ sở của borno ß trên X . Mà theo định nghĩa để chứng minh ß0 là cơ
sở của borno ß ta phải chứng minh: ß0 ⊂ ß và với mọi phần tử của borno

ß đều chứa trong một phần tử của ß0 .
Thật vậy, ∀B ∈ ß0 ⇒ ∃Bi ∈ ßi : B =
Bi
i∈I

⇒ pi (B) = pi (

Bi ) = Bi ∈ ßi , ∀i ∈ I

i∈I

⇒ pi (B) ∈ ßi , ∀i ∈ I ⇒ B ∈ ß. Do đó ß0 ⊂ ß.
Tiếp theo ta đi chứng minh: Mọi phần tử của ß đều chứa trong một phần
tử của ß0 .
13


Thật vậy, ∀A ⊂ X, A ∈ ß ⇒ pi (A) ∈ ßi , ∀i ∈ I
⇒ ∃Ai ∈ ßi : pi (A) = Ai , ∀i ∈ I . Đặt B =
Ai ⇒ B ∈ ß0 .
i∈I

Mặt khác, vì pi (A) = Ai , ∀i ∈ I ⇒ A ⊂

Ai (do pi là phép chiếu) hay
i∈I

⇒ A ⊂ B . Như vậy, ∀A ∈ ß ⇒ A ⊂ B, B ∈ ß0 .
Do đó ß0 =
ßi là một cơ sở của borno đầu ß trên X .

i∈I

Nhận xét 2.1. Nếu Xi là các không gian véctơ và X là không gian véctơ
tích của các không gian véctơ Xi thì khi đó phép chiếu pi : X −→ Xi là
ánh xạ tuyến tính với mỗi i ∈ I . Do đó theo Định lý 2.1 thì borno tích là
borno véctơ (tương ứng: borno véctơ lồi) nếu tất cả các borno ßi là borno
véctơ (tương ứng: borno véctơ lồi).

2.3.

Borno cảm sinh: Không gian borno con

Định nghĩa 2.3. Giả sử (X, ß) là một tập borno, Y là một tập con của
X và cho u : Y −→ X là phép nhúng chính tắc. Khi đó borno cảm sinh
trên Y bởi (X, ß) là borno đầu trên Y xác định bởi ánh xạ u.
Định nghĩa 2.4. Tập Y được trang bị borno cảm sinh bởi (X, ß) được
gọi là tập borno con của (X, ß).
Nhận xét 2.2. Nếu (X, ß) là không gian véctơ borno thì borno cảm sinh
trên Y là một borno véctơ và Y được gọi là không gian borno con của X .
Mệnh đề 2.4. Với các ký hiệu trong Định nghĩa 2.3. Khi đó họ:
{A ∩ Y : A ∈ ß} là một cơ sở của borno cảm sinh trên Y bởi (X, ß).
Chứng minh. Gọi ß0 là borno cảm sinh trên Y bởi (X, ß).
⇒ ß0 = {A ⊂ Y : u(A) ∈ ß}. Đặt ß1 = {A ∩ Y : A ∈ ß}.
Khi đó, ta phải chứng minh: ß1 là một cơ sở của borno ß0 . Mà theo định
nghĩa để chứng minh ß1 là một cơ sở của borno ß0 ta phải chứng minh:
ß1 ⊂ ß0 và với mọi phần tử của ß0 đều chứa trong một phần tử của ß1 .
Thật vậy, ∀A ∈ ß1 ⇒ ∃B ∈ ß : A = B ∩ Y .
Vì A = B ∩ Y ⊂ Y ⇒ A ⊂ Y . Mặt khác, ta có:
u(A) = u(B ∩ Y ) ⊂ u(B) ∈ ß (vì B ∈ ß và u là phép nhúng)
14

⇒ u(A) ∈ ß (vì ß có tính chất lưu giữ tập con).
Như vậy ta có A ⊂ Y, u(A) ∈ ß ⇒ A ∈ ß0 . Do đó ß1 ⊂ ß0 .
Tiếp theo ta đi chứng minh mọi phần tử của ß0 đều chứa trong một phần
tử của ß1 .
Thật vậy, ∀A ∈ ß0 ⇒ A ⊂ Y, u(A) ∈ ß.
Vì u(A) ∈ ß ⇒ ∃B ∈ ß : u(A) = B .
Đặt C = B ∩ Y . Khi đó A ⊂ C và C ∈ ß1 .
Vậy ß1 = {A ∩ Y : A ∈ ß} là một cơ sở của borno ß0 trên X .

2.4.

Borno sinh bởi một họ tập con

Định nghĩa 2.5. Cho I = ∅ là một tập chỉ số, X là một tập hợp bất
kỳ và (ßi )i∈I là một họ các borno trên X . Với mỗi i ∈ I , gọi ui là ánh xạ
đồng nhất của X lên (X, ßi ). Khi đó giao của các borno ßi là borno đầu
trên X xác định bởi các ánh xạ ui .

ßi là một cơ sở của borno đầu trên X xác định

Mệnh đề 2.5. Rõ ràng
i∈I

bởi các ánh xạ ui trong Định nghĩa 2.5. Hơn nữa nếu X là một không gian
véctơ và với mỗi i ∈ I, ßi là borno véctơ (tương ứng: borno véctơ lồi) thì
giao các borno cũng là một borno véctơ (tương ứng: borno véctơ lồi).
Chứng minh. Thật vậy, ta có giao của các borno ßi là borno đầu trên X
xác định bởi các ánh xạ ui . Tức là,

ßi = {A ⊂ X : ui (A) ∈ ßi , ∀i ∈ I}.
i∈I

Khi đó, ß0 =

ßi là một cơ sở của borno
i∈I

ßi .
i∈I

ßi là borno đầu trên X nên theo Định lý 2.1 thì họ

Thật vậy, vì
i∈I

ß0 =
i∈I

u−1
i (ßi ) là một cơ sở của borno

ßi . Mặt khác, vì ui là ánh xạ
i∈I

đồng nhất trên (X, ßi ) nên u−1
i (ßi ) = ßi , ∀i ∈ I . Do đó, ß0 =

ßi . Hơn nữa, vì

sở của borno
i∈I

ßi là cơ
i∈I

ßi là borno đầu trên X xác định bởi
i∈I

ánh xạ ui . Do đó theo Định lý 2.1 thì nếu X là không gian véctơ và với
mỗi i ∈ I, ßi là borno véctơ (tương ứng: borno véctơ lồi) thì giao của các
borno cũng là một borno véctơ (tương ứng: borno véctơ lồi).

15


Định nghĩa 2.6. Giả sử X là một tập (tương ứng: không gian véctơ) và
cho A là một họ các tập con của X . Khi đó borno sinh bởi A (tương ứng:
borno véctơ sinh bởi A , tương ứng: borno lồi sinh bởi A ) là giao của tất
cả các borno (tương ứng: borno véctơ, tương ứng: borno lồi) chứa A.
Nhận xét 2.3. Cho X là một tập hợp bất kỳ, khi đó luôn tồn tại một
borno chứa A là borno ß = P (X) gồm tất cả các tập con bị chặn của X .
Nếu X là một không gian véctơ thì borno này là borno lồi.

2.5.

Giới hạn xạ ảnh

2.5.1.

Họ xạ ảnh borno

Định nghĩa 2.7. Cho I = ∅ là một tập chỉ số định hướng. Giả sử (Xi , uij )
là một họ xạ ảnh của các tập hợp được đánh số bởi I sao cho với mỗi
i ∈ I, Xi là một tập borno với borno ßi . Khi đó họ (Xi , uij ) được gọi là họ
xạ ảnh của các tập borno nếu các ánh xạ uij : Xj −→ Xi bị chặn, ∀i ≤ j .
Ví dụ 2.1. Cho I = {1, 2, 3}, X1 = R3 , X2 = R2 , X3 = R và gọi ß1 , ß2 , ß3
lần lượt là các borno thông thường trên X1 , X2 , X3 .
Xét cặp chỉ số (1, 2) khi đó tồn tại các ánh xạ tuyến tính (uij ) trong đó

u12 : X2 −→ X1
(x, y) −→ (x, y, 0)
u13 : X3 −→ X1
x −→ (x, 0, 0)
u23 : X3 −→ X2
x −→ (x, 0)
và gọi uii : Xi −→ Xi là ánh xạ đồng nhất trên Xi , ∀i = 1, 3.
Khi đó họ (Xi , uij ) là họ xạ ảnh của các tập Xi .
Thật vậy, ta chỉ cần kiểm tra điều kiện u13 = u12 ◦ u23 .
Ta có (u12 ◦ u23 )(x) = u12 (u23 (x)) = u12 (x, 0) = (x, 0, 0) = (u13 )(x)
16


⇒ (u13 )(x) = (u12 ◦ u23 )(x), ∀x ⇒ u13 = u12 ◦ u23 .
Tiếp theo để chứng minh (Xi , uij ) là họ xạ ảnh của các tập borno ta phải
chứng minh uij : Xj −→ Xi là các ánh xạ bị chặn, ∀i ≤ j .
Thật vậy, vì Xi là các tập borno ⇒ ánh xạ đồng nhất của một tập borno
bất kỳ là ánh xạ bị chặn.Tức là, uii : Xi −→ Xi là ánh xạ bị chặn,
∀i = 1, 3. Do đó ta chỉ còn phải chứng minh: u12 , u13 , u23 là các ánh xạ bị
chặn.

(+) Ta chứng minh: u12 : X2 −→ X1 là ánh xạ bị chặn.
Ta có ß2 = {A ⊂ R2 : ∃M > 0 : ||x|| ≤ M, ∀x ∈ A}. Khi đó, ∀A ∈ ß2
⇒ A bị chặn trong X2 ⇒ ∃M > 0 : ||x|| ≤ M, ∀x ∈ A.
⇔ ∃M > 0 : x21 + x22 ≤ M, ∀x = (x1 , x2 ) ∈ A. Mặt khác, ta có:
||u12 (x1 , x2 )|| = ||(x1 , x2 , 0)|| = x21 + x22 ≤ M, ∀x ∈ A.
⇒ ||u12 (x1 , x2 )|| ≤ M, ∀x = (x1 , x2 ) ∈ A ⇒ u12 (A) bị chặn trong X1 .
Do đó u12 là ánh xạ bị chặn.
(+) Tương tự ta đi chứng minh: u13 : X3 −→ X1 là ánh xạ bị chặn.
Ta có ß3 = {A ⊂ R : ∃N > 0 : |x| ≤ N, ∀x ∈ A}.
Khi đó, ∀A ∈ ß3 ⇒ A bị chặn trong X3 ⇒ ∃N > 0 : |x| ≤ N, ∀x ∈ A.
Mặt khác, ta có:
√
||u13 (x)|| = ||(x, 0, 0)|| = x2 + 02 + 02 = |x| ≤ N, ∀x ∈ A.
⇒ ||u13 (x)|| ≤ N, ∀x ∈ A ⇒ u13 (A) bị chặn trong X1 .
Do đó u13 là ánh xạ bị chặn.
(+) Cuối cùng ta chứng minh: u23 : X3 −→ X2 là ánh xạ bị chặn.
Thật vậy, ∀A ∈ ß3 ⇒ A bị chặn trong X3 ⇒ ∃M > 0 : |x| ≤ M, ∀x ∈ A.
Khi đó ta có:
||u23 (x)|| = ||(x, 0)|| = |x| ≤ M, ∀x ∈ A.
⇒ ||u23 (x)|| ≤ M, ∀x ∈ A ⇒ u23 (A) bị chặn trong X2 .
Tức là, u23 là ánh xạ bị chặn.
Như vậy họ tất cả các ánh xạ (uij ) đều là ánh xạ bị chặn, ∀i ≤ j .
Do đó họ (Xi , uij ) là họ xạ ảnh của các tập borno.
Định nghĩa 2.8. Nếu Xi là các không gian véctơ borno (tương ứng: không
gian véctơ borno lồi) và tất cả các ánh xạ uij đều là ánh xạ tuyến tính bị
chặn thì họ (Xi , uij ) được gọi là họ xạ ảnh của các không gian véctơ borno
(tương ứng: họ xạ ảnh của các không gian véctơ borno lồi).

17