Một số tính chất liên quan đến phổ của một số phần tử trong đại số banach

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
********

ĐỖ THỊ LIÊN

MỘT SỐ TÍNH CHẤT LIÊN QUAN ĐẾN PHỔ
CỦA MỘT PHẦN TỬ TRONG ĐẠI SỐ BANACH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học

TS. TẠ NGỌC TRÍ

Hà Nội - 2013



LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Tạ Ngọc Trí đã tận
tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo
trong tổ giải tích, ban lãnh đạo và các thầy cô giáo khoa toán trường ĐHSP
Hà Nội 2 đã chỉ bảo tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình
học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 29 tháng 05 năm 2013

Sinh viên

ĐỖ THỊ LIÊN

2


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là những nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn tận tình
nghiêm khắc của thầy TS. Tạ Ngọc Trí bên cạnh đó tôi được sự quan tâm,
tạo điều kiện của các thầy cô trong khoa toán trường ĐHSP Hà Nội 2.
Vì vậy tôi xin cam đoan nội dung đề tài "Một số tính chất liên quan đến
phổ của một phần tử trong đại số Banach" không có sự trùng lặp với các
đề tài khác.
Trong khi thực hiện khóa luận này tôi đã sử dụng và tham khảo các thành
tựu của các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng.
Hà Nội, ngày 29 tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Đỗ Thị Liên

3


Mục lục
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1. Toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2. Không gian định chuẩn. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3. Định lý Hahn - Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4. Định lý Liouville. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.5. Định lý Banach - Steinhauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.6. Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Banach . .
14
1.6.1. Định nghĩa phổ của toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2. Một số định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14
15

Chương 2. Đại số Banach. Phổ của đại số Banach . . . . . . . . . . . . .

20

2.1. Đại số Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1.1. Định nghĩa Đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Định nghĩa (Đại số Banach, chuẩn đại số) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20
21

2.2. Nhóm tuyến tính tổng quát của A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.3. Phổ của một phần tử trong đại số Banach . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.4. Bán kính phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

4


LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Giải tích hàm là một ngành toán học được xây dựng vào khoảng nửa đầu
thế kỉ XX, nhưng hiện nay hầu như đã được xem là ngành toán học cổ điển.

Nội dung của nó là sự hợp nhất của những lý thuyết tổng quát xuất phát từ
việc mở rộng một số khái niệm và kết quả của giải tích, đại số. Trong quá
trình phát triển từ đó đến nay, Giải tích hàm đã tích lũy được một nội dung
hết sức phong phú, bao gồm:
- Lý thuyết các không gian trừu tượng (không gian metric, không gian
định chuẩn, không gian tôpô và không gian vectơ tôpô);
- Lý thuyết về toán tử tuyến tính;
- Lý thuyết về các bài toán cực trị, giải tích hàm phi tuyến, giải gần đúng
phương trình toán tử;
- Lý thuyết nội suy toán tử, giải tích hàm ngẫu nhiên;
...
Những phương pháp, kết quả rất mẫu mực và tổng quát của Giải tích
hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán học, có liên quan và có sử dụng
đến những công cụ giải tích và không gian vectơ. Ngoài ra nó còn có ứng
dụng trong vật lý lý thuyết và trong một số lĩnh vực kĩ thuật. Sự xâm nhập
ấy một mặt đã mở ra những chân trời nghiên cứu rộng lớn cho các ngành
toán học nói trên, mặt khác nó đề ra cho ngành giải tích hàm phải đúc kết
những kết quả của những ngành toán học riêng rẽ để trong chừng mực nào
đó đề xuất ra những mẫu toán học tổng quát và trừu tượng.
Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn này
và bước đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học, em đã chọn đề tài
"Một số tính chất liên quan đến phổ của một phần tử trong đại số Banach".
2. Mục đích nghiên cứu
Quá trình thực hiện đề tài đã giúp em bước đầu làm quen với việc nghiên
cứu khoa học và tìm hiểu sâu sắc hơn về bộ môn giải tích hàm, đặc biệt là
tìm hiểu về "Một số tính chất liên quan đến phổ của một phần tử trong đại
số Banach”.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Khóa luận tập trung nghiên cứu phổ của một phần tử trong đại số Banach
bán kính phổ một số tính chất liên quan đến phổ của phần tử đó.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đề tài này được nghiên cứu nhằm đi sâu khai thác và làm nổi bật một số
tính chất liên quan đến phổ của một phần tử trong đại số Banach.
5


5. Các phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp suy luận logic
- Phương pháp phân tích, tổng hợp và đánh giá.
6. Cấu trúc của khóa luận
Bố cục của khóa luận bao gồm 2 chương :
• Chương 1 : Một số kiến thức chuẩn bị.
• Chương 2 : Đại số Banach, phổ của đại số Banach .
Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên
khi làm khóa luận này em không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Em
mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của thầy cô và các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn!

6


Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
1.1.

Toán tử tuyến tính bị chặn

Định nghĩa 1.1.1. Cho các không gian tuyến tính X và Y trên trường P(P =
R hoặc P = C). Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi là tuyến

tính nếu ánh xạ A thỏa mãn các điều kiện:
1)(∀x , x ∈ X)A(x + x ) = Ax + Ax ;
2)(∀x ∈ X)(∀α ∈ P)A(αx) = α(Ax).
Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi toán tử A thỏa
mãn điều kiện 1) thì A gọi là toán tử cộng tính, còn khi A thỏa mãn điều kiện
2) thì A gọi là toán tử thuần nhất. Khi Y = P thì toán tử tuyến tính thường
gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.2. Cho hai không gian định chuẩn X và Y . Toán tử tuyến
tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu
(∃C ≥ 0)(∀x ∈ X)||Ax|| ≤ C.||x||.

(1.1.1)

Định nghĩa 1.1.3. Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định
chuẩn X vào không gian định chuẩn Y . Hằng số C ≥ 0 nhỏ nhất thỏa mãn
hệ thức (1.1.1) gọi là chuẩn của toán tử A và kí hiệu là ||A||.
Từ định nghĩa dễ dàng nhận thấy, chuẩn của toán tử A có các tính chất:
1)(∀x ∈ X)||Ax|| ≤ ||A||.||x||;
2)(∀ε > 0)(∃xε ∈ X)(||A|| − ε)||xε || < ||Axε ||.
7


Định lý 1.1.1. Cho toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không
gian định chuẩn Y . Ba mệnh đề sau tương đương:
1)A liên tục;
2)A liên tục tại điểm nào đó x0 ∈ X;
3)A bị chặn.
Định lý 1.1.2. Cho toán tử tuyến tính A từ không gian định chuẩn X vào
không gian định chuẩn Y . Nếu toán tử A bị chặn thì
||A|| = sup ||Ax||

||x||≤1

hoặc
||A|| = sup ||Ax||.
||x||=1

Định lý 1.1.3. Toán tử tuyến tính A ánh xạ không gian định chuẩn X lên
không gian định chuẩn Y , có toán tử ngược liên tục A−1 khi và chỉ khi
(∃α > 0)(∀x ∈ X)||Ax|| ≥ α||x||
Khi đó ||A−1 || ≤

1.2.

1
.
α

Không gian định chuẩn. Không gian Banach

Định nghĩa 1.2.1. (Định nghĩa không gian định chuẩn)
Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn)
là không gian tuyến tính X trên trường P(P = R hoặc P = C) cùng với một
ánh xạ từ X vào tập số thực R, ký hiệu là || · || và đọc là chuẩn, thỏa mãn
các tiên đề sau đây:
1)(∀x ∈ X)||x|| ≥ 0, ||x|| = 0 ⇔ x = θ (ký hiệu phần tử không là θ );
2)(∀x ∈ X), (∀α ∈ P), ||αx|| = |α| .||x||;
3)(∀x, y ∈ X), ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||.
Số ||x|| gọi là chuẩn của vectơ x. Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn
là X. Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề chuẩn.
Định lý 1.2.1. Cho không gian định chuẩn X. Đối với hai vectơ bất kỳ

x, y ∈ X ta đặt
d(x, y) = ||x − y||
(1.2.2)
Khi đó d là một metric trên X.
8


Chứng minh của định lý trên dễ dàng suy ra từ hệ tiên đề chuẩn và hệ
tiên đề tuyến tính.
Nhờ định lý (1.2.1), mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành
không gian metric với metric (1.2.2).
Định nghĩa 1.2.2. Dãy điểm (xn ) của không gian định chuẩn X gọi là hội
tụ tới điểm x ∈ X, nếu
lim ||xn − x|| = 0
n→∞

Ký hiệu
lim xn = x

n→∞

hay xn −→ x(n → ∞)
Dựa vào định nghĩa dễ dàng chứng minh một số tính chất đơn giản sau
đây:
1) Nếu dãy (xn ) hội tụ tới x, thì dãy chuẩn (||xn ||) hội tụ tới ||x||. Hay nói
cách khác, chuẩn || · || là một hàm giá trị thực liên tục theo biến x.
2) Nếu dãy điểm (xn ) hội tụ trong không gian định chuẩn X, thì dãy
chuẩn tương ứng (||xn ||) bị chặn.
3) Nếu dãy điểm (xn ) hội tụ tới x, dãy điểm (yn ) hội tụ tới y trong không
gian định chuẩn X, dãy số (αn ) hội tụ tới số α, thì

xn + yn −→ x + y(n → ∞), αn xn −→ αx(n → ∞).
Định nghĩa 1.2.3. Dãy điểm (xn ) trong không gian định chuẩn X gọi là dãy
cơ bản, nếu
lim ||xn − xm || = 0.
m,n→∞

Định nghĩa 1.2.4. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu
mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
Nhờ nguyên lý làm đầy không gian metric và metric (1.2.2) mọi không
gian định chuẩn không là không gian Banach đều có thể làm đầy thành
không gian Banach.
Người đầu tiên xây dựng lý thuyết không gian định chuẩn là Banach
(nhà toán học Ba Lan) đã chú trọng nhiều nhất các không gian đủ (đầy), nên
người ta thường gọi các không gian định chuẩn đủ là không gian Banach.
Một không gian định chuẩn X không đủ bao giờ cũng có thể bổ sung (thêm
những phần tử mới) thành một không gian Banach.

9


1.3.

Định lý Hahn - Banach

Định lý 1.3.1. (định lý Hahn - Banach thực)
Giả sử F là không gian vectơ con của không gian vectơ thực E và p là
sơ chuẩn trên E. Khi đó đối với mọi phiếm hàm tuyến tính f : F −→ R thỏa
mãn : f (x) ≤ p(x), ∀x ∈ F
Tồn tại phiếm hàm tuyến tính f : E −→ R sao cho
f (x) = f (x), ∀x ∈ F

Và
f (x) ≤ p(x), ∀x ∈ E.
Định lý 1.3.2. (định lý Hahn - Banach phức)
Giả sử F là không gian con vectơ của không gian vectơ phức E và p là
một nửa chuẩn trên E. Khi đó với mọi phiếm hàm tuyến tính phức f : E −→ C
thỏa mãn
f (x) ≤ p(x), ∀x ∈ F.
Tồn tại phiếm hàm tuyến tính f : E −→ C sao cho
f |F = f và f (x) ≤ p(x), ∀x ∈ E.
Bổ đề 1.3.1. Giả sử E là không gian vectơ phức và f : E −→ R. Khi đó f
là tuyến tính (phức) nếu và chỉ nếu f viết dưới dạng
f (x) = f1 (x) − i f1 (ix), x ∈ F
Với f1 : E −→ R là tuyến tính thực.
Chứng minh định lý (1.3.2)
Theo bổ đề trên tồn tại f1 : E −→ R tuyến tính thực sao cho
f (x) = f1 (x) − i f1 (ix), x ∈ F.
Do f1 (x) ≤ | f1 (x)| ≤ | f (x)| nên f1 (x) ≤ p(x) với mọi x ∈ F theo định lý
(1.3.1) tồn tại phiếm hàm tuyến tính thực f1 : E −→ R sao cho :
f1 |F = f1 và | f1 (x)| ≤ p(x), ∀x ∈ E.
Đặt f (x) = f1 (x) − i f1 (ix) khi đó f là tuyến tính phức và
f (x) = f1 (x) − i f1 (ix) = f (x), ∀x ∈ F.
10


Cho x ∈ E với f (x) = 0 viết f (x) = f (x) .eiθ ở đây θ là argument của f (x)
Suy ra
f (x) = e−iθ f (x) = f (e−iθ x) = f1 (e−iθ x) − i f1 (e−iθ x).
Do đó
f (x) = f1 (e−iθ x) ≤ p(e−iθ x) = p(x).
Vậy f (x) ≤ p(x) với mọi x ∈ E.

Hệ quả 1.3.1. Giả sử F là không gian con của không gian định chuẩn (thực
hoặc phức) và f là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên F. Khi đó tồn tại
phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên E sao cho
f = f và || f || = || f ||.
F

Chứng minh. Đặt p(x) = || f ||.||x||, x ∈ E.
Khi đó p là nửa chuẩn trên E thỏa mãn.
Vậy | f (x)| ≤ p(x), x ∈ F.
Theo định lý (1.3.2) thì tồn tại phiếm hàm tuyến tính f trên E sao cho
f |F = f
và
|| f || ≤ p(x), ∀x ∈ E.
Suy ra
|| f || ≤ || f ||.
Mặt khác ta có || f || ≥ || f ||. Do đó
|| f || = || f | |.

Hệ quả 1.3.2. Giả sử F là không gian con đóng của không gian định chuẩn
E và ν ∈ E\F, khi đó tồn tại f ∈ E để
f |F = 0, || f || = 1 và f (ν) = in f {||ν − y|| : y ∈ F} .
Hệ quả 1.3.3. Giả sử E là không gian định chuẩn và x ∈ E, x = 0 khi đó tồn
tại f ∈ E để f (x) = ||x|| và || f || = 1.
11


Nhận xét:
Theo định nghĩa chuẩn của ánh xạ tuyến tính liên tục
Ta có || f || = sup {| f (x)| : ||x|| ≤ 1} .
Mặt khác do hệ quả (1.3.3) ta lại có ||x|| ≤ sup {| f (x)| : || f || ≤ 1} nhưng

sup {| f (x)| : || f || ≤ 1} ≤ sup {|| f ||.||x|| : || f || ≤ 1} ≤ ||x||.
Do đó ta có kết quả sau
||x|| = sup {| f (x)| : || f || ≤ 1} .

1.4.

Định lý Liouville

Định nghĩa 1.4.1. (hàm giải tích giá trị Banach)
Giả sử D là tập mở trong K và f : D −→ E là hàm trên D với giá trị
trong không gian Banach E. Ta nói
(i) f giải tích tại λ0 ∈ D nếu
∞

f (λ ) =

∑ an (λ − λ0 )n , ∀λ : |λ − λ0 | < ρ(λ0 , ∂ D)

n=0

ở đây an ∈ E, n = 0, 1, 2, . . .
(ii) f là giải tích trên D nếu nó giải tích tại mọi λ ∈ D
Khi K = C từ giải tích được thay bởi chỉnh hình.
Định lý 1.4.1. Giả sử f : C −→ E là hàm chỉnh hình bị chặn
M = sup {|| f (z)|| : z ∈ C} < +∞
Khi đó f là hàm hằng
Chứng minh. Nếu f không phải là hàm hằng thì tồn tại z1 , z2 ∈ C để
f (z1 ) = f (z2 ). Tồn tại u ∈ E để u( f (z1 )) = u( f (z2 )) do đó u ◦ f là chỉnh
hình.
Vì |(u ◦ f )(z)| = |u( f (z))| ≤ ||u||.|| f (z)||, ∀z ∈ C.

Nên sup {|( f (z))| : z ∈ C} ≤ ||u||sup {|| f (z)|| : z ∈ C} < +∞.
Do đó u ◦ f bị chặn trên C. Theo định lý Liouville đối với hàm chỉnh
hình vô hướng u ◦ f là hàm hằng, tuy nhiên u( f (z1 )) = u( f (z2 )).
Vậy f là hằng.

12


1.5.

Định lý Banach - Steinhauss

Định nghĩa 1.5.1. Cho E và F là hai không gian định chuẩn. Họ
{ fα }α∈J ⊂ L(E, F)
được gọi là
(i) Bị chặn điểm nếu C(x) = sup {|| fα (x)|| : α ∈ J} < +∞, ∀x ∈ E.
(ii) Bị chặn đều nếu sup {|| fα || : α ∈ J} < +∞.
Định lý 1.5.1. Giả sử E là không gian Banach và F là không gian định
chuẩn. Khi đó mọi họ trong L(E, F) bị chặn điểm là bị chặn đều.
Hệ quả 1.5.1. Nếu { fn }n≥1 là dãy các ánh xạ tuyến tính từ không gian
Banach E vào không gian Banach F hội tụ điểm tới ánh xạ tuyến tính f :
E −→ F
f (x) = lim fn (x), x ∈ E
n→∞

thì f liên tục.
Hơn nữa
|| f || ≤ lim || fn ||.
n→∞

Chứng minh. Vì với mọi x ∈ E dãy { fn (x)} hội tụ nên { fn } ⊂ L(E, F) bị
chặn điểm.
Do E là Banach theo định lý trên ta có
M = sup || fn || < +∞.
n≥1

Suy ra
|| f (x)|| = lim || fn (x)|| ≤ ||x|| lim || fn || ≤ M||x||, ∀x ∈ E.
n→∞

n→∞

Vậy f là liên tục và
|| f || ≤ lim || fn ||.
n→∞

13


1.6.

Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn trong
không gian Banach

1.6.1.

Định nghĩa phổ của toán tử

Cho X là không gian định chuẩn trên trường P (P là trường số thực R
hoặc trường số phức C), A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian

X vào chính nó.
Xét phương trình dạng:
(A − λ I)x = y,

(1.6.3)

trong đó x, y ∈ X, y là phần tử đã cho, x là phần tử cần tìm, λ ∈ P, I là toán
tử đồng nhất.
Đồng thời ta xét phương trình dạng:
(A − λ I)x = 0, x ∈ X, λ ∈ P

(1.6.4)

phương trình (1.6.4) gọi là phương trình thuần nhất ứng với phương trình
(1.6.3), phương trình (1.6.3) gọi là phương trình không thuần nhất. Nhận
thấy phương trình (1.6.4) luôn có nghiệm x = θ (θ phần tử không của không
gian X). Nếu phương trình (1.6.4) có nghiệm x0 = θ với giá trị λ0 bất kì thì
λ0 gọi là giá trị riêng của toán tử A, x0 gọi là vectơ riêng của toán tử A ứng
với giá trị riêng λ0 .
Trường hợp này hiển nhiên không tồn tại toán tử ngược Rλ = (A − λ I)−1
của toán tử Aλ = A − λ I, do đó phương trình (1.6.3) vô nghiệm với mọi
y = θ . Sự tồn tại nghiệm của phương trình (1.6.3) phụ thuộc vào sự tồn tại
toán tử Rλ . Toán tử Rλ gọi là toán tử giải hay giải thức của toán tử A.
Định nghĩa 1.6.1. Giá trị chính quy λ ∈ P (hay điểm chính quy) của toán tử
A, nếu tồn tại toán tử Rλ xác định và bị chặn trên toàn không gian X. Số λ
gọi là giá trị phổ (điểm phổ) của toán tử A, nếu số λ không là giá trị chính
quy của toán tử A.
Định nghĩa 1.6.2. Tập hợp tất cả các giá trị phổ của toán tử A gọi là phổ
của toán tử A. Ta thấy phổ của toán tử A chứa tất cả các giá trị riêng của
toán tử A. Tập tất cả các giá trị riêng của toán tử A gọi là phổ điểm của toán

tử A, tập tất cả các giá trị còn lại của phổ của toán tử A gọi là phổ liên tục.

14


Ví dụ 1.1. Cho toán tử A tác dụng trong không gian Euleides n chiều Rn
xác định bởi ma trận


λ1 0 · · · 0
A =  0 λ2 · · · 0 
0 0 · · · λn
Trong đó λ j ∈ R\{0} với mọi j = 1, 2, . . . , n. Dễ dàng kiểm tra A là toán tử
tuyến tính bị chặn, tất cả các số λ j ( j = 1, 2, . . . , n) đều là giá trị riêng của
toán tử A và tất cả các số λ = λ j , ( j = 1, 2, . . . , n) đều là giá trị chính quy
của toán tử A. Vì vậy toán tử A chỉ có phổ điểm.

1.6.2.

Một số định lý

Định lý 1.6.1. Cho hai toán tử tuyến tính bị chặn A, B tác dụng trong không
gian Banach X sao cho toán tử A có toán tử ngược A−1 bị chặn và
1
||B|| <
||A−1 ||
Khi đó toán tử A + B có toán tử ngược bị chặn.
Chứng minh. Giả sử y là phần tử cố định tùy ý thuộc X. Ta xét toán tử C cho
bởi:
Cx = A−1 y − A−1 Bx

∀x, x ∈ X ta có:
d(Cx,Cx ) = ||Cx −Cx || = ||A−1 y − A−1 Bx − A−1 y + A−1 Bx ||
= ||A−1 Bx − A−1 Bx || = ||A−1 B(x − x )||
≤ ||A−1 ||.||B||.||x − x ||.
Theo giả thiết ||B|| <

1
nên ||A−1 ||.||B|| = α < 1
−1
||A ||
d(Cx,Cx ) ≤ α||x − x ||.

Hay d(Cx,Cx ) ≤ αd(x, x ), α < 1
Suy ra C là ánh xạ co trong không gian Banach X. Theo nguyên lý
Banach về ánh xạ co tồn tại duy nhất x ∈ X sao cho Cx = x
15


hay
x = Cx = A−1 y − A−1 Bx = A−1 (y − Bx)
⇒ Ax = y − Bx ⇒ (A + B)x = y.
Dễ dàng thấy rằng mọi nghiệm của phương trình (A + B)x = y đều là
điểm bất động của toán tử C.
Do đó phương trình (A + B)x = y luôn có nghiệm duy nhất với ∀y ∈ X,
suy ra toán tử A + B luôn có toán tử ngược (A + B)−1 xác định trên toàn
không gian X.
Theo nguyên lý ánh xạ mở trong không gian Banach ta cũng có
(A + B)−1 bị chặn.
Định lý được chứng minh trong [1] trang [165].
Hệ quả 1.6.1. Nếu số λ0 ∈ P là giá trị chính quy của toán tử A thì ∀λ ∈ P

1
thỏa mãn điều kiện |λ0 − λ | <
đều là giá trị chính quy của
||(A − λ0 I)−1 ||
toán tử A.
Chứng minh. Ta có:
Aλ = A − λ I = A − λ0 I + λ0 I − λ I) = A − λ0 I + (λ0 − λ )I
1
= ||(λ0 − λ )I|| = |λ0 − λ | <
||(A − λ0 I)−1 ||
Do đó các điều kiện của định lý (1.6.1) được thỏa mãn nên tồn tại toán tử
ngược Rλ = (A − λ I)−1 xác định và bị chặn trên toàn không gian X do đó
λ là giá trị chính quy của toán tử A.
Như vậy hệ quả (1.6.1) chứng tỏ tập tất cả các giá trị chính quy của toán
tử tuyến tính bị chặn A tác dụng trong không gian Banach X là một tập mở,
do đó phổ của toán tử A là một tập đóng.
Thật vậy, giả sử S(A) là tập tất cả các giá trị chính quy của toán tử A.
Lấy λ0 tùy ý thuộc S(A), ta có:
1
là một lân cận của λ0
U = λ ∈ P : |λ0 − λ | <
||(A − λ0 I)−1 ||
Theo hệ quả (1.6.1) ta có : ∀λ ∈ U thì λ là giá trị chính quy của toán tử
A nên λ ∈ S(A) suy ra U ⊂ S(A).
Như vậy (∀λ0 ∈ S(A)) (∃ lân cận U của λ0 ) U ⊂ S(A) nên S(A) là tập
mở.
Hay tập tất cả các giá trị chính quy của toán tử tuyến tính A là tập mở,
do đó phổ của toán tử A là tập đóng.
16

Định lý 1.6.2. Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Banach
X vào chính nó và số λ ∈ P thỏa mãn điều kiện |λ | > ||A||. Khi đó số λ là
giá trị chính quy của toán tử A và toán tử giải Rλ có biểu diễn được dưới
dạng:
−1 ∞
Ak
Rλ = (A − λ I)−1 =
∑ λk
λ k=0
1
1
1
A), || A|| =
||A|| < 1,
|λ |
λ
λ
(∀λ ∈ P, |λ | > ||A||) nên các điều kiện của định lý (1.6.1) được thỏa mãn,
do đó tồn tại toán tử ngược Rλ = (A − λ I)−1 xác định và bị chặn trên toàn
1
không gian X, nghĩa là số λ là giá trị chính quy của toán tử A. Vì | | < 1,
λ
1 k
1 k
và ||( A) || ≤ || A|| , (k = 0, 1, 2, . . .) nên chuỗi
λ
λ
Chứng minh. Ta có A − λ I = −λ (I −

∞

1

∑ ||( λ A)k ||

k=0

hội tụ. Từ đó và từ tính đủ của không gian I(X, X) suy ra chuỗi
Ak
∑ k
k=0 λ
∞

hội tụ trong không gian I(X, X).
Với mỗi số tự nhiên n = 1, 2, . . . ta có
n
n
Ak
A n Ak
A
Ak Ak+1
An+1
(I − ) ∑ k = ∑ k (I − ) = ∑ ( k − k+1 ) = I − n+1
λ k=0 λ
λ
λ
λ
k=0 λ
k=0 λ

An+1
A n+1
A n+1
||
≤
||
||
và
lim
||
||
= 0 nên chuyển qua giới hạn
n→∞
λ n+1
λ
λ
trong đẳng thức trên theo chuẩn của không gian I(X, X) khi n −→ ∞ ta được
vì ||

∞
∞
1
Ak
Ak
1
(I − A) ∑ k = ∑ k (I − A) = I
λ k=0 λ
λ
k=0 λ

⇒ −λ (I −

1
−1 ∞ Ak
A)(
)∑ k =I
λ
λ k=0
λ
17


Vì vậy:
Rλ = (A − λ I)−1 =

−1 ∞ Ak
∑ λk
λ k=0

Định lý được chứng minh trong [1] trang [166].
Định lý 1.6.3. Nếu A là toán tử compact tác dụng trong không gian Banach
X thì với mọi số ∀α > 0 toán tử A chỉ có hữu hạn vectơ riêng độc lập tuyến
tính tương ứng với giá trị riêng λ mà |λ | ≥ α.
Chứng minh. Giả sử toán tử compact A có một dãy vô hạn các vectơ riêng
độc lập tuyến tính (xn ) tương ứng với dãy các giá trị riêng (λn ) mà |λn | ≥ α
với mọi n = 1, 2, . . .
Ta kí hiệu Xn là không gian con đóng sinh bởi các vectơ độc lập tuyến
tính x1 , x2 , . . . , xn (n ∈ N ∗ ).
Theo định lý về các không gian con đóng của một không gian định

chuẩn, với mỗi số tự nhiên n = 1, 2, 3, . . ., tồn tại phần tử yn ∈ Xn , ||yn || = 1
sao cho
1
d(yn , Xn−1 ) = inf ||yn − x|| > .
x∈Xn−1
2
yn
yn
Khi đó, dãy ( )bị chặn, nhưng dãy (A ) không chứa dãy con nào hội tụ.
λn
λn
Thật vậy, giả sử:
n

yn =

∑ ak xk
k=1

thì:

n
yn
ak Axk n−1 ak λk
A =∑
=∑
xk + an xn = yn + zn
λn k=1 λn
λ
n

k=1

trong đó
n−1

zn =

λk

∑ ak ( λn − 1)xk ∈ Xn−1 (n = 1, 2, . . .).

k=1

Với hai số tự nhiên bất kì p, q; p > q ta có:
||A

yq
yp
1
− A || = ||y p + z p − (yq + zq )|| = ||y p − (yq + zq − z p )|| > .
λp
λq
2

18


Trong đó yq +zq −z p ∈ X p−1 . Bất đẳng thức trên mâu thuẫn với tính compact
của toán tử A. Vì vậy, chỉ có hữu hạn vectơ riêng độc lập tuyến tính tương
ứng với giá trị riêng λ mà |λ | ≥ α.

Định lý được chứng minh trong [1] trang [167].

19


Chương 2

Đại số Banach. Phổ của đại
số Banach
2.1.

Đại số Banach

2.1.1.

Định nghĩa Đại số

Ta gọi một đại số trên C là một không gian vectơ phức A cùng với phép
toán hai ngôi (·) :
A × A −→ A
(x, y) → xy thỏa mãn:
(1) với mọi α, β ∈ C và với mọix, y, z ∈ A ta có:
(αx + β y)z = αxz + β yz;
x(αy + β z) = αxy + β xz.
(2) x(yz) = (xy)z với mọi x, y, z ∈ A
Một đại số phức A có thể có nhiều phép nhân khác nhau, chẳng hạn ta
có x.y = 0 với mọi x, y.
Nếu trong A có phần tử a thỏa mãn a.x = x.a, ∀x ∈ A thì A được gọi là
phần tử đơn vị và thường được kí hiệu là 1.
Phép nhân trong A được gọi là giao hoán nếu x.y = y.x, ∀x, y ∈ A

20


2.1.2.

Định nghĩa (Đại số Banach, chuẩn đại số)

Định nghĩa 2.1.1. Đại số chuẩn là một cặp (A, || · ||) xác định trên A, trong
đó || · || : A → [0, ∞) là một ánh xạ thỏa mãn
||xy|| ≤ ||x||.||y||, x, y ∈ A
Một đại số Banach là một đại số chuẩn (A, || · ||) sao cho A cùng với || · ||
là một không gian Banach.
Chú ý 2.1.1. Một không gian tuyến tính định chuẩn E là một không gian
Banach nếu tất cả các dãy cơ bản trong chúng hội tụ.
Một cách chính xác hơn E là đầy đủ nếu và chỉ nếu tất cả các dãy con
xn ∈ E thỏa mãn
∑ ||xn || < ∞
n

có một phần tử y ∈ E mà
lim ||y − (x1 + x2 + . . . + xn )|| = 0

n→∞

Ví dụ 2.1. Cho E là không gian Banach bất kì và A là đại số B(E) tất cả
các hàm bị chặn trên E, x · y là phép nhân hai toán tử của hàm đó, đây là
một đại số Banach với đơn vị là ||1|| = 1, do E là không gian Banach.
Ví dụ 2.2. Cho X là không gian Hausdorff Compact, C(X) là đại số các
hàm phức liên tục trên X với phép cộng(+) và phép nhân(.) xác định bởi :

f · g(x) = f (x) · g(x)
( f + g)(x) = f (x) + g(x)
Với chuẩn trên C(X) xác định bởi
|| f || = sup | f (x)| .
x∈X

Thế thì ta cũng có C(X) là đại số Banach với đơn vị f = 1.
Chẳng hạn X là đoạn [−1, 1].
Ta có đại số Banach C[−1,1] là không gian các hàm liên tục trên [−1, 1].
Định lý 2.1.1. Với mọi nhóm Compact địa phương G tồn tại một độ đo
Radon khác 0, µ trên G sao cho µ(x · E) = µ(E).
Với mọi tập Borel E ta thiết lập và mọi x ∈ G. Nếu ν là một độ đo khác
thì tồn tại c > 0 sao cho ν(E) = c · µ(E) với mọi tập Borel E.
21


Nhận xét: Ta thấy tính chất cơ bản của đại số L1 (G) với chuẩn
|| f || =

| f (t)|dx,
G

với f ∈ L1 (G)
Tương tự như tính chất của L1 (Z) và L1 (R)
(1) Nếu f , g ∈ L1 (G) thì f ∗ g ∈ L1 (G) và chúng ta có
|| f ∗ g|| ≤ || f ||.||g||.
(2)L1 (G) là một đại số Banach.
(3)L1 (G) là giao hoán nếu và chỉ nếu G là một nhóm giao hoán.
(4)L1 (G) có đơn vị nếu và chỉ nếu G là một nhóm riêng biệt.

2.2.

Nhóm tuyến tính tổng quát của A

Định nghĩa 2.2.1. Phần tử khả nghịch
Cho A là đại số Banach với đơn vị 1, như kết quả trước ta có ||1|| = 1.
Một phần tử x ∈ A gọi là khả nghịch nếu có một phần tử y ∈ A sao cho
xy = yx = 1.
Chú ý 2.2.1. Nếu x là một phần tử của A sao cho x có phần tử khả nghịch
bên trái và phần tử khả nghịch bên phải, nghĩa là có những phần tử y1 , y2 ∈ A
sao cho xy1 = y2 x = 1 thì ta cũng có x khả nghịch.
Và hơn nữa y1 = y2 , thật vậy y2 = y2 .1 = y2 xy1 = 1.y1 = y1 .
Thật vậy rõ ràng ta có y2 = y2 · 1 = y2 xy1 = 1 · y1 = y1 .
Định nghĩa 2.2.2. Nhóm tuyến tính tổng quát của A
Ta gọi A−1 là tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của A, ta cũng có
A−1 là một nhóm, nhóm này thường được gọi là nhóm tuyến tính tổng quát
của đại số Banach có đơn vị A.
Định lý 2.2.1. Nếu x là một phần tử của A thỏa mãn ||x|| < 1 thì 1 − x khả
nghịch và phần tử nghịch đảo của x được biểu diễn bởi chuỗi hội tụ tuyệt
đối
(1 − x)−1 = 1 + x + x2 + . . .

22


Hơn nữa ta có
||(x − λ )−1 || ≤

1
.

1 − ||x||

||1 − (1 − x)−1 || ≤

(2.2.1)

||x||
.
1 − ||x||

(2.2.2)

Chứng minh. Từ ||xn || ≤ ||x||n với mọi n = 1, 2, . . . Chúng ta có thể xác định
một phần tử z ∈ A xác định bởi
∞

z=

∑ xn .

(2.2.3)

n=0

Điều này là có thể do chuỗi (2.2.3) là hội tụ.
Chúng ta có:
∞

z(1 − x) = (1 − x)z = lim (1 − x) ∑ xk = lim (1 − xN+1 ) = 1
N→∞

k=1

N→∞

Suy ra 1 − x là khả nghịch và (1 − x)−1 = z.
Từ bất đẳng thức (2.2.1) ta có:
∞

||x|| ≤
Từ

∞

1

∑ ||x || ≤ ∑ ||x||n = 1 − ||x|| .

n=0

n

n=0

∞

1 − z = − ∑ xn = −xz,
n=0

ta có

||1 − z|| ≤ ||x|| · ||z|| do đó (2.2.1) tương đương (2.2.2).
Định lý được chứng minh trong [7] trang [14].
Hệ quả 2.2.1. A−1 là tập mở trong A và x → x−1 là một ánh xạ liên tục từ
A−1 vào chính nó.
Chứng minh. Ta thấy A−1 là mở.
Chọn một phần tử khả nghịch x0 và h tùy ý thuộc A.
Ta có x0 + h = x0 (1 + x0 −1 h).
Nếu ||x0 −1 h|| < 1 thì theo định lý trước x0 + h khả nghịch. Đặc biệt nếu
||h|| < ||x0 −1 ||−1 thì x0 + h khả nghịch khi ||h|| đủ nhỏ.
23


Giả sử ta chọn được h thỏa mãn thì ta có:
(x0 + h)−1 − x0 −1 = (x0 (1 + x0 −1 h))−1 − x0 −1 = [(1 + x0 −1 h))−1 − 1].x0 −1 .
Vì ||h|| < ||x0 −1 ||−1 nên
||(x0 + h)−1 − x0 −1 = || ≤ ||(1 + x0 −1 h))−1 − 1||.||x0 −1 || ≤

||x0 −1 h||.x0 −1 ||
.
1 − ||x0 −1 h||

Và số hạng cuối cùng giá trị đó tiến tới không khi ||h|| −→ 0.
Định lý được chứng minh trong [7] trang [15].
Hệ quả 2.2.2. A−1 là một nhóm tôpô trong nhóm tôpô chuẩn của nó, nghĩa
là:
(1)(x, y) ∈ A−1 × A−1 → xy ∈ A−1 là liên tục, và
(2)x ∈ A−1 → x−1 ∈ A−1 là liên tục.

2.3.

Phổ của một phần tử trong đại số Banach

Trong phần này ta kí hiệu A là đại số Banach với đơn vị là 1, ||1| | = 1.
A là một đại số B(E) các toán tử bị chặn trên không gian Banach phức E.
Cho x ∈ A và λ ∈ C ta thường viết x − λ thay cho x − λ 1.
Định nghĩa 2.3.1. Với mỗi phần tử x ∈ A, phổ của x được định nghĩa là tập:
σ (x) = λ ∈ C : x − λ ∈ A−1 .
Chúng ta sẽ phát triển các thuộc tính cơ bản của phổ đầu tiên nó luôn là
tập Compact.
Định lý 2.3.1. Với mỗi x ∈ A , σ (A) là một tập con đóng của tập hợp:
{Z ∈ C : |Z| ≤ ||x||}
Chứng minh. Phần bù của phổ là tập hợp xác định bởi
C\σ (x) = λ ∈ C : x − λ ∈ A−1 .
Vì A−1 mở và ánh xạ λ ∈ C → x − λ ∈ A liên tục nên phần bù của σ (x)
là tập mở.
Thật vậy ta sẽ chứng minh với mọi λ ∈ C mà |λ | > ||x|| thì λ ∈ σ (x).
Do x−λ = (−λ )(1−λ −1 x) và ||λ −1 x|| < 1 nên suy ra x−λ khả nghịch.
Sau đây ta sẽ đi chứng minh một kết quả của Gelfand.
Định lý được chứng minh trong [7] trang [16].
24