Một số ứng dụng của hàm suy rộng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1007.86 KB, 52 trang )
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Trần Văn Bằng
LỜI CẢM ƠN
Khóa luận tốt nghiệp này là bước đầu tiên giúp em làm quen với việc
nghiên cứu khoa học. Trước sự bỡ ngỡ khi bất đầu công việc và gặp nhiều
khó khăn khi mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, em đã nhận
được sự động viên và giúp đỡ tận tình, tỉ mỉ của các thầy cô giáo và các bạn
sinh viên trong khoa.
Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Trần văn Bằng đã
giúp đỡ hướng dẫn tận tình để em hoàn thành khóa luận này.
Em xin gửi lời cảm ơn đến Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện
cho em có cơ hội làm quen với việc nghiên cứu khoa học.
Em xin chân thành cảm ơn!
Sinh viên
Lê Thị Hà
SVTH: LÊ THỊ HÀ
1
K32-CN TOÁN
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Trần Văn Bằng
LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam kết đề tài „„Một số ứng dụng của hàm suy rộng‟‟ là kết
quả nghiên cứu của riêng em dưới sự hướng dẫn của thầy giáo - Tiến sĩ Trần
Văn Bằng - Khoa Toán - Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2. Đề tài này
không hề sao chép từ bất kì một tài liệu có sẵn nào. Và kết quả nghiên cứu
không hề trùng lặp với kết quả nào.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm!
Sinh viên
LÊ THỊ HÀ
SVTH: LÊ THỊ HÀ
2
K32-CN TOÁN
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Trần Văn Bằng
MỤC LỤC
Mở đầu .......................................................................................................... 4
Chương 1: Hàm Thử Gauss .......................................................................... 5
1.1. Không gian của những hàm thử. .................................................... 5
1.2. Vai trò không gian các hàm thử Gauss. ......................................... 7
1.3. Một số tính chất của hàm thử Gauss. ........................................... 10
Chương 2 :Hàm suy rộng ............................................................................ 14
2.1. Hàm số. ........................................................................................ 14
2.2. Hàm suy rộng. .............................................................................. 15
2.3. Đại số cơ bản của hàm suy rộng. ................................................. 18
2.4. Một số dãy của hàm liên tục ........................................................ 21
Chương 3: Phép biến đổi cơ bản của giải tích Fourier suy rộng .............. 23
3.1.Phép biến đổi Fourier. ................................................................... 23
3.2. Phép tịnh tiến suy rộng ................................................................ 27
3.3. Đạo hàm suy rộng ........................................................................ 29
Chương 4: Ứng dụng hàm suy rộng ........................................................... 33
4.1. Những cơ sở trong cách giải phương trình đại số đơn giản ........ 33
4.2. Phương trình thuần nhất với nhân tử đa thức .............................. 36
4.3. Phương trình không thuần nhất với nhân tử đa thức ................... 39
4.4. Hàm cực ....................................................................................... 42
4.5. Phép biến đổi, tích và nghiệm trong hàm cực ............................. 46
KẾT LUẬN ................................................................................................. 51
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................... 52
SVTH: LÊ THỊ HÀ
3
K32-CN TOÁN
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Trần Văn Bằng
LỜI MỞ ĐẦU
Hàm suy rộng xuất hiện vào thế kỷ XX trong các công trình của Dirac
về cơ học lượng tử và nhà toán học L.Shwartz đã góp phần quan trọng vào
việc nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng. Do nghiệm của phương
trình đạo hàm riêng nói chung, phương trình đạo hàm riêng tuyến tính nói
riêng thường không tồn tại toàn cục nên nhu cầu mở rộng khái niệm nghiệm
cho phương trình đạo hàm riêng ngày càng trở nên bức thiết.
Sự ra đời của lý thuyết hàm suy rộng có nhiều ứng dụng trong vật lý và
lý thuyết đạo hàm riêng, đặc biệt góp phần giải quyết những vấn đề về lý
thuyết của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, trong khi đó những hiểu
biết về hàm suy rộng vẫn còn xa lạ và mới mẻ đối với sinh viên.
Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này và
bắt đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học em đã chọn đề tài: "Một
số ứng dụng của hàm suy rộng".
Nội dung khóa luận gồm 3 phần
Phần 1: Mở đầu
Phần 2: Nội dung
Chương 1: Hàm Thử Gauss
Chương 2: Hàm suy rộng
Chương 3: Phép biến đổi cơ bản của giải tích Fourier suy rộng
Chương 4: Ứng dụng hàm suy rộng
Phần 3: Kết luận
SVTH: LÊ THỊ HÀ
4
K32-CN TOÁN
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Trần Văn Bằng
Chƣơng 1
HÀM THỬ GAUSS
1.1. KHÔNG GIAN CỦA NHỮNG HÀM THỬ
1.1.1. Những hàm thử Gauss cơ bản.
Định nghĩa 1. Một hàm trên được gọi là một hàm thử Gauss cơ bản nếu và
chỉ nếu nó có dạng.
( x) Axn e ( x ) , trong đó , ; n , 0 .
2
(1.1)
Định nghĩa 2. Hàm g xác định trên được gọi là hàm Gauss khi và chỉ khi
g x Ae x
2
trong đó A , , là hằng số, A , , .
Định nghĩa 3. Cho f là hàm số xác định trên , f là hàm mũ khả tích khi và
chỉ khi nó liên tục trên từng phần trên và có một giá trị sao cho
f x e x là khả tích tuyệt đối.
Bổ đề 1. Cho là một hàm trên . Khi đó các mệnh đề sau tương đương:
1. là hàm thử Gauss cơ bản.
2. Có một hằng số, 0, n ; , sao cho:
( x) Axn e ( x ) với x .
2
3. Có một hằng số 0 ; n , ; a, sao cho:
( x) x n ei xe ( xa )
2
với x .
4. là hằng số, 0 , n ; C , b, sao cho:
( x) Cxn e xe ( xib)
2
với x .
5. là hằng số, 0 , n ; , D sao cho:
( x) Dxn e xe x
SVTH: LÊ THỊ HÀ
2
5
với x .
K32-CN TOÁN
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Trần Văn Bằng
Hơn nữa, nếu cố định những dạng trên thì ta có
a ib , 2b , 2a , i
B Ae b
2
i 2 ab
, C Ae a
2
i 2 ab
, D Ae
2
Bổ đề 2.
1. Mọi hàm Gauss là một hàm thử Gauss cơ bản .
2. Mọi hàm thử Gauss cơ bản là hàm bị chặn, trơn và là hàm khả tích
tuyệt đối trên .
3. Tích của hàm thử Gauss cơ bản bất kỳ với hàm mũ khả tích bất kỳ là
hàm khả tích tuyệt đối trên .
4. Nếu là một hàm thử Gauss cơ bản thì các hàm sau cũng là hàm
Gauss cơ bản.
a. ở đó C , ; k là hàm thử Gauss cơ bản bất kỳ.
b. Cx k e x ( x) ở đó C , ; k .
c. (ax) ở đó a * .
5. Nếu là một hàm thử Gauss cơ bản thì các hàm sau là một tổ hợp
tuyến tính của các hàm thử Gauss cơ bản.
a. ( x ) ở đó .
b. ( m ) ở đó
m .
c. F .
d. F -1 .
1.1.2. Không gian các hàm thử Gauss
Định nghĩa 4. Một hàm trên là một hàm thử Gauss nếu và chỉ nếu
N
k ,với N , k là một hàm thử Gauss cơ bản.
k 1
Tập tất cả các hàm thử Gauss kí hiệu: G.
SVTH: LÊ THỊ HÀ
6
K32-CN TOÁN
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Trần Văn Bằng
Bổ đề 3. G là một không gian véctơ (phức).
Chứng minh.
Cho , G, cho a, b là hai hằng số. Khi đó ta có
K , M ; i , i G , 1,...,k ; 1,..., m
K
k
M
k .
và
k 1
k 1
Vì vậy
K
M
N
k 1
k 1
k 1
a b a k b k k .
Với N K M và
k 1, 2,..., K
ak ,
k
b k K , k K 1, K 2,..., N
(1.2)
(1.3)
Ta có ai là một hàm thử Gauss cơ bản.
b k K là một hàm thử Gauss cơ bản.
Do đó k là một hàm thử Gauss cơ bản.
Vậy a b là một hàm thử Gauss.
1.2. VAI TRÒ CỦA KHÔNG GIAN CÁC HÀM THỬ GAUSS
Cho f và g là những hàm mũ khả tích trên .Dễ thấy nếu f g thì
f ( x) ( x)dx
g ( x) ( x)dx
, G.
Ngược lại, nếu đẳng thức trên đúng với G thì ta có f g .
Vậy ta có
SVTH: LÊ THỊ HÀ
7
K32-CN TOÁN
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Trần Văn Bằng
Định lý 1. Giả sử f và g là hai hàm mũ khả tích trên thì f g khi và chỉ
khi
f ( x) ( x)dx
g ( x) ( x)dx
, G
(1.4)
Chứng minh.
Nếu f g thì phương trình (1.4) đúng G.
Ngược lại giả sử với phương trình (1.4) đúng khi là hàm Gauss và
1
là dãy đồng nhất thức Gauss.
Ta có x e x thì với mọi t và 1 , ta cũng có
2
g ( x) ( x t )dx .
f ( x) ( x t )dx
với mỗi x t là hàm Gauss của x .
Kết hợp với
1
là dãy đồng nhất thức với tập tất cả những hàm
mũ khả tích cho ta
f t lim
f x x t dx lim
g x x t dx g t .
Với mỗi t tại đó f và g liên tục.
Vậy f g .
Định lý 2. Cho f và F là hai hàm khả biến đổi Fourier cổ điển. Khi đó các
mệnh đề sau là tương đương:
1. F = F f
2. với mỗi G thì
F ( x) ( x)dx
3.với mỗi G thì
f ( y ) F y dy .
F ( x) F
SVTH: LÊ THỊ HÀ
-1
8
x
dx
f ( y ) ( y )dy .
K32-CN TOÁN
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Trần Văn Bằng
Chứng minh .
Nếu mệnh đề 1 đúng thì mệnh đề 2 và 3 được suy trực tiếp từ đồng nhất
thức cơ bản của giải tích Fourier.
Ta giả sử mệnh đề 2 đúng và cho G, áp dụng đồng nhất thức cơ bản
của giải tích Fourier ta có
f ( y ) F y dy
F f x ( x)dx .
Kết hợp với mệnh đề 2 ta có
F ( x) ( x)dx
F f x ( x)dx ,với G.
Theo định lý 1 ta có F = F f .
Vậy mệnh đề 1 đúng, từ mệnh đề 1 đúng ta có mệnh đề 3 cũng đúng.
Giả sử mệnh đề 3 là đúng, cho G và F . Áp dụng mệnh đề
3 và tính nghịch đảo phép biến đổi Fourier ta có
-1
F ( x) ( x)dx F ( x) F
x
dx
=
f ( y ) ( y )dy
=
f ( y ) F
y
dy .
Vậy mệnh đề 2 đúng.
Cũng như chứng minh trên ta chứng minh được mệnh đề 1.
Vậy định lí được chứng minh.
SVTH: LÊ THỊ HÀ
9
K32-CN TOÁN
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Trần Văn Bằng
1.3. MỘT SỐ TÍNH CHẤT KHÁC CỦA HÀM THỬ GAUSS
1.3.1. Nhân tử đơn
Theo ý 4 của bổ đề 2 ta có.
Tích h là một hàm thử Gauss. Khi đó là hàm thử Gauss, h là hàm
thử Gauss hoặc h có dạng
h( x) Cxk e x ,
C, , k 0 .
Đặc biệt những tích sau
x2 ( x) , e3 x ( x) , 4 xei 2 x ( x) , e x ( x)
2
đều là những hàm thử Gauss.
Hơn nữa, nếu h là tổng của x2 , e3 x , 4 xei 2 x , thì
h( x) ( x) x 2 e3 x 4 xei 2 x ( x)
x 2 ( x) e3 x x 4 xei 2 x x .
Tích h là tổng của những hàm thử Gauss, do đó nó là hàm thử Gauss.
Từ những lập luận trên suy ra.
Bổ đề 4. Cho h là một tổ hợp tuyến tính của những hàm có dạng
x necx e
x
2
, với n 0 , c, , 0 .
Thì tích h là một hàm thử Gauss, G.
Bổ đề 5.
Cho h là nhân tử đơn thuộc G. Khi đó h là một hàm thử Gauss, G.
1.3.2. Một vài tính chất giải tích phức của hàm thử Gauss
Cho là một hàm thử Gauss cơ bản
s As necxe x , với A, , n 0 , 0 .
2
Nếu s là biến phức s x iy thì ta có x iy A x iy e
n
x iy
2
là hàm giải tích trên .
SVTH: LÊ THỊ HÀ
10
K32-CN TOÁN
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Trần Văn Bằng
Mặt khác nếu cho D , sao cho:
s Ds ne s e s , s .
2
Thì ta có
D x iy e
n
x iy x iy
2
e
A x iy e
n
x iy
2
, x iy .
Điều đó cho thấy, ta có thể coi các hàm thử Gauss là các hàm biền phức
giải tích. Lúc đó để phân biệt với hàm biến thực ta sẽ thêm chữ E vào để chỉ
rõ đó là hàm biến phức.
E x iy A x iy e xiy .
2
n
1.3.3. Đánh giá đối với hàm thử
Cho G, . Xét hàm trên cho bởi : e x .
x
Ta có e x x , e x x là những hàm thử Gauss. Do hàm thử Gauss
là một hàm bị chặn trên nên M , M 0 , hữu hạn sao cho x , ta có.
x
e
x
e x x , x 0
x
e
x , 0 x
M , x 0
M , 0 x
M
Bổ đề 6. Với mỗi G, , M , M 0 , hữu hạn sao cho:
x M e x , x .
1.3.4. Chuẩn và toán tử liên tục
Cho G, 0 . - chuẩn của được kí hiệu bởi :
max x iy e x , x , y
Ví dụ. Tính
khi : x e x , 4 .
2
Ta thấy, x, y ta có
e
x iy
SVTH: LÊ THỊ HÀ
2
e
x 2 y 2 i 2 xy
e x e y ei 2 xy e x e y
.
2
11
2
2
2
K32-CN TOÁN
Khóa luận tốt nghiệp
Do
GVHD: Trần Văn Bằng
4 max e
x iy 2
e4 x , x , 4 y 4
= max e e , x max e , 4 y 4
max e , 4 y 4 e e .
max e e , x = max e e : 0 x
= max e x e e y , x , 4 y 4
2
x2
Mà
Và
2
4x
y2
4x
42
y2
16
x2
x2 4 x
= max e 4e
= max e
Vậy ta có
4x
x2 4 x 4
x 2
2
, 0 x
: 0 x e4 .1.
4 e4e16 e20 .
Bổ đề 7. Giả sử G, 0 . Nếu M sao cho:
x iy e x M , x, y ; y .
Thì
M .
Bổ đề 8. Nếu G, 0 thì
x iy e x
, x iy e
Bổ đề 9. Nếu 0 , G, thì
x
, x, y ; y .
.
Bổ đề 10. Cho 0 , , G, c thì
1.
2.
.
0.
3. 0
SVTH: LÊ THỊ HÀ
,
0 khi và chỉ khi là hàm 0 .
12
K32-CN TOÁN
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Trần Văn Bằng
Chứng minh.
1. Như bổ đề trên ta có x, y ,
x
e
y thì
x iy x iy e x x iy e x x iy .
Vậy
.
2. Ta có
c
= max c x iy e
= c max x iy e
, x , y
, x , y
max c x iy e x , x , y
x
x
= c .
Vậy
c
c .
3. Ta có 0
,
0 được suy ra từ định nghĩa của -
chuẩn và tính chất của những hàm Gauss, suy ra
Ngược lại, nếu
0 thì ta có 0 x e x
0 khi 0 .
0 , x .
Vậy x 0 khi 0 , x .
SVTH: LÊ THỊ HÀ
13
K32-CN TOÁN
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Trần Văn Bằng
Chƣơng 2
HÀM SUY RỘNG
2.1. PHIẾM HÀM
2.1.1. Hàm số của hàm thử
Hàm mũ khả tích f được xác định hoàn toàn bởi những giá trị của tất
cả những tích phân có dạng
f x x dx
, G
( 2.1)
là biến số trong biểu thức.
Vậy nếu ta xác định bởi biểu thức
f x x dx
, G.
Thì là một hàm “Hàm giá trị phức của hàm thử Gauss”.
Định nghĩa 1. Trong toán học, những hàm cho tương ứng mỗi hàm thử với
một số được gọi là phiếm hàm.
Ví dụ 1. Cho f là hàm mũ khả tích bất kỳ trên . Phiếm hàm tương ứng với
hàm f được xác định bởi
f x x dx
, G.
Đặc biệt với f ( x) 2 x 3 , ta có hàm 2 x3 và 2 x3
2 x 3dx .
Ví dụ 2. Cho a , hàm giá trị tại a kí hiệu Ea được cho bởi:
Ea a , G
Ví dụ 3. Hàm chuẩn N là chuẩn đã được nói đến với những hàm trên . Ở đó
N x dx
2
1
2
, G.
2.1.2. Tính chất tuyến tính của phiếm hàm
Định nghĩa 2. Một hàm trên được gọi là tuyến tính nếu nó có dạng
SVTH: LÊ THỊ HÀ
14
K32-CN TOÁN
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Trần Văn Bằng
, với , G , , .
Ví dụ 4. Cho f là hàm mũ khả tích cố định bất kì trên . f là hàm tương
ứng được xác định ở ví dụ 1, , G ; , là hằng số, ta có
f
f x x x dx
f x x dx
f f
f x x dx
2.1.3. Tính chất liên tục của phiếm hàm
Định nghĩa 3. Một hàm là liên tục khi và chỉ khi , là gần nhau
tùy ý miễn là , là những hàm thử gần nhau.
2.2. HÀM SUY RỘNG
2.2.1. Kí hiệu hàm suy rộng của phiếm hàm
Định nghĩa 4. Ta kí hiệu
f x x dx
, G là giá trị của
tại , như vậy với mỗi hàm trên G được gắn với một hàm f . Do vậy ta
cũng kí hiệu f , là giá trị của f tại , tức là f ,
(2.2)
Kí hiệu này được tiện lợi khi là phiếm hàm tuyến tính, liên tục.
Khi đó ta gọi là hàm suy rộng.
2.2.2. phiếm hàm giá trị và hàn Delta
Giả sử a , xét phiếm hàm Ea - là phiếm hàm cho giá trị của hàm
thử tại a . Do Ea tuyến tính, liên tục nên Ea là hàm suy rộng. Lúc này ta
thường kí hiệu Ea bởi a và được gọi là hàm Delta tại a . Nói cách khác, a
là hàm suy rộng sao cho:
SVTH: LÊ THỊ HÀ
15
K32-CN TOÁN
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Trần Văn Bằng
a , Ea a , G.
Đặc biệt hàm Delta tại 0 được gọi là hàm Delta và được kí hiệu là .
Khi đó với mỗi G ta có , 0 .
2.2.3. Hàm cổ điển nhƣ hàm suy rộng
Nếu f là hàm mũ khả tích trên thì f cho bởi :
f
f x x dx
, G.
là hàm tuyến tính liên tục trên G, do đó là một hàm suy rộng.
Hay
f ,
f x x dx
, G.
Ở đây f cũng được dùng để kí hiệu hàm suy rộng sinh bởi hàm cổ điển
f x ( mỗi hàm cổ điển f x - hàm mũ khả tích ) được coi như một hàm
suy rộng cho bởi công thức
f , f x , x =
f x x dx , G.
Ví dụ 5. Hàm cổ điển f x 2 x 3 được coi là hàm suy rộng xác định bởi
công thức
f , 2 x 3, x
2 x 3 x dx
, G.
2.2.4. Tầm quan trọng của hàm mũ khả tích
Một trong những lý do chúng ta chỉ nghiên cứu các hàm f x , các
hàm mũ khả tích là f ,
f x x dx
, G.
Nói cách khác, hàm suy rộng f xác định với mọi . Vậy một hàm
như thế nào thì là hàm mũ khả tích ?
SVTH: LÊ THỊ HÀ
16
K32-CN TOÁN
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Trần Văn Bằng
Có thể thấy hàm f x
x e x thì
2
1
không là hàm mũ khả tích vì với
x2
1
1
1
11 1
dx
dx
0 x 2e x
- phân kỳ.
2 x
e 0 x2
x e
f x x dx
Vì thế f x
2
1
không xác định hàm suy rộng tương ứng. Sau này
x2
tương ứng với f x
Ngay cả khi
2
1
ta xác định hàm cực ( pole function ).
x2
f ,
f x x dx , G, thì nó cũng không là
hàm suy rộng nếu f không là hàm mũ khả tích vì nó không liên tục.
Bổ đề 1. Cho f là hàm cổ điển ít nhất là liên tục trên một phân hoạch của
và cho l có chiều dài hữu hạn thì f là hàm mũ khả tích khi và chỉ khi có
hằng số M , sao cho :
x l
f s ds Me
x
, x .
(*)
x
2.2.5. Lƣu ý thêm về kí hiệu hàm suy rộng
Giả sử f là hàm suy rộng tương ứng với hàm suy rộng tức
f , . Khi đó tính tuyến tính
, , ,
, , ; , G.
(2.3)
được viết ( theo kí hiệu qua f ) thành
f , f , f ,
, , ; , G.
Ví dụ 6. Cho hai phiếm hàm f , g bởi:
f , 0 và
g , 0 với G.
2
Ta thấy, nếu , ; , G thì với f ta có
SVTH: LÊ THỊ HÀ
17
K32-CN TOÁN
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Trần Văn Bằng
d
x x
dx
0 0
f ,
x 0
f , f ,
Vậy f tuyến tính.
Ta có g không tuyến tính, tức là , G,
, .
Thật vậy g , g , g ,
Vì với 2, 0, x e x , x 0 thì ta có
2
g ,2 2e0
Vậy
2
2
4 trong khi 2 g , 2 e0
2
2
2
g ,2 2 g , .
Do đó g không là hàm suy rộng.
2.3. CÁC PHÉP TOÁN ĐẠI SỐ ĐỐI VỚI HÀM SUY RỘNG
2.3.1. Hàm suy rộng bằng nhau
Cho f , g là hai hàm suy rộng xác định, với mỗi G ta nói f , g bằng
nhau kí hiệu f g khi và chỉ khi f , g , , G.
Ví dụ 7. Giả sử cho f là hàm suy rộng thỏa mãn
f , x dx , với mỗi G.
0
Ta có với mỗi G thì f , x dx x
0
0 ,
0
Vậy f , với là hàm suy rộng.
2.3.2. Phép cộng
SVTH: LÊ THỊ HÀ
18
K32-CN TOÁN
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Trần Văn Bằng
Giả sử f , g là những hàm mũ khả tích . Khi đó ta có
f x g x x dx f x x dx g x x dx , G.
Từ đó ta có f g , f , g , , G.
Vậy cho cặp hàm suy rộng bất kỳ f , g thì xác định tổng suy rộng của
f , g và được kí hiệu f g là hàm suy rộng thỏa mãn :
f g , f , g , , G.
(2.4)
2.3.3. Phép nhân đơn
Nhớ lại rằng các nhân tử đơn bao gồm các đa thức và các hàm mũ, do
đó bao gồm các hàm thử Gauss.
Cho f là hàm suy rộng và h là nhân tử đơn bất kỳ. Khi đó tích suy
rộng hf và fh được định nghĩa là hàm suy rộng cho bởi :
hf , f , h
và
fh, f , h , với mỗi G.
Nói cách khác hf fh .
Có thể kiểm tra được rằng hf là một hàm suy rộng.
Ví dụ 8. Giả sử a , a là hàm Delta tại a , h là nhân tử đơn bất kỳ, G.
Khi đó theo định nghĩa tích suy rộng và hàm Delta ta có
h a , a , h h a a .
Khi h a là hằng số ta có
h a a h a a , h a a ,
Vì vậy h a a h a a , , với mỗi G
Như vậy ta có h a h a a .
2.3.4. Tính chất của phép cộng và phép nhân
SVTH: LÊ THỊ HÀ
19
K32-CN TOÁN
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Trần Văn Bằng
a. Phép cộng suy rộng có tính chất giao hoán
Cho f , g là hai hàm suy rộng , theo định nghĩa của f g , g f và
phép cộng nhân tử của nhưng số phức ta có
f g , f , g , g , f , g f , , với mỗi G.
Vậy f g g f .
b. Phép nhân suy rộng đơn
Tích đơn có tính chất giao hoán và 0. f 0 , 1. f f ở đó f là hàm
suy rộng.
Tích đơn có tính chất kết hợp.
Cho f là hàm suy rộng , g , h là nhân tử đơn. Khi đó tích suy rộng
f gh sẽ là
Vì
f gh , f , gh
gh
, G.
là tích cổ điển đơn của các hàm g , h, nên ta có
gh g h
, G
Suy ra f gh , f , g h fg , h
fg h,
.
Vậy f gh fg h .
2.3.5. Tổ hợp tuyến tính và phép trừ
a. Tổ hợp tuyến tính
Giả sử f , g là hai hàm suy rộng , , . với mỗi hàm G.
Ta có f g , f , g , f , g , .
b. Phép trừ
Giả sử f , g là hai hàm suy rộng, khi đó hiệu số của f và g kí hiệu là
f g.
Ta có g g 1.g 1.g 1 1 .g 0.g 0 .
2.4. MỘT SỐ DÃY CỦA HÀM LIÊN TỤC
SVTH: LÊ THỊ HÀ
20
K32-CN TOÁN
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Trần Văn Bằng
2.4.1. Một số bổ đề giới hạn đơn
Giả sử f là hàm suy rộng và G. Ta có
lim e x x x e0 x x , x .
2
0
Nghĩa là e x x , x gần nhau tùy ý khi đủ gần 0 , 0 .
2
Do đó, theo tính liên tục của
f
ta có
f x , e x x
2
và
f x , x gần nhau tùy ý miễn là 0 đủ gần 0 .
Nói cách khác ta có.
Bổ đề 2. Cho f là hàm suy rộng bất kỳ, G.
lim f x , e x x f x , x .
2
0
2.4.2. Tính trơn của phiếm hàm giá trị với tham số
Nếu x, là hàm của x, liên tục theo . Khi đó hàm h cho bởi
h f x , x, là một hàm trơn với tham số
và h d
d
f x , x,
f x,
,
x, .
Nói riêng, ta có
Bổ đề 3. Cho H f x , e x x , ở đó f là hàm suy rộng bất kỳ,
, G. Khi đó H là hàm trơn trên và
H f x ,
x
e x f x , x e x x .
Bổ đề 4. Cho K f x , e x h x , ở đó f là hàm suy rộng bất kỳ,
2
, và h là nhân tử đơn cố định. Ta có K là hàm trơn trên 0, và
K f x ,
SVTH: LÊ THỊ HÀ
2
x2
e
h x f x , xe x h x .
21
K32-CN TOÁN
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Trần Văn Bằng
Hệ quả. Cho H f x , e x x , ở đó f là hàm suy rộng bất kỳ,
, G. Khi đó H là hàm khả vi vô hạn trên và với n 0,1,2... Ta có
H
n
f
x,
n x
e x n
n
f
x , x e x x .
2.4.3. Đơn giản hóa việc kiểm tra hai hàm suy rộng bằng nhau
Nhớ lại rằng, hai hàm suy rộng f và g là bằng nhau, nếu
f , g ,
, G.
Tuy nhiên, ta có thể chỉ cần kiểm tra đẳng thức này đối với thuộc
một bộ phận nhỏ của G là đủ.
Bổ đề 5. Giả sử f và g là hai hàm suy rộng thỏa mãn:
f x , e xe x
Với , 0 thì
g x , e xe x
2
2
.
f g.
Bổ đề 6. Giả sử f và g là hai hàm suy rộng thỏa mãn:
f x , e x
Với , f 0 thì
SVTH: LÊ THỊ HÀ
2
g x , e x
2
f g.
22
K32-CN TOÁN
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Trần Văn Bằng
Chƣơng 3
NHỮNG PHÉP BIẾN ĐỔI CƠ BẢN CỦA
GIẢI TÍCH FOURIER SUY RỘNG
3.1. PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER
3.1.1. Định nghĩa và những ví dụ
Định nghĩa 1. Cho f là hàm suy rộng bất kỳ. Phép biến đổi Fourier của f kí
hiệu là F f được xác định là hàm suy rộng thoả mãn:
F f ,
f , F
, G.
Tương tự ta có nghịch đảo phép biến đổi Fourier của hàm suy rộng F
-1
được kí hiệu là F
F được xác định là hàm suy rộng thoả mãn:
F
-1
F ,
F , F -1 , G
Ví dụ 1. Cho là hàm thử Gauss bất kì, G, ta thấy
F 1, 1, F 1 1. F x dx
=
F x ei 2 .0. x dx F -1 F 0 .
Vì là phép biến đổi cổ điển, ta có F -1 F 0 0 .
F 1, 0 , , G.
Từ đó ta có
Do đó ta có F 1 1 .
Ví dụ 2. Cho G,
Ta có F 3
F 3 , 3 , F =F 3 .
x e
i 2 3 x
dx
Khi đó
e
i 6 x
dx ei 6 x , .
F 3 , ei 6 x , ,
G.
Vậy F 3 ei 6 x 3 ei 6 x .
SVTH: LÊ THỊ HÀ
23
K32-CN TOÁN
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Trần Văn Bằng
Ví dụ 3. Hàm step - không khả biến theo nghĩa cổ điển ( tức là biến đổi
Fourier cổ điển không tồn tại). Nhưng step là hàm mũ khả tích do đó có thể
áp dụng như hàm suy rộng. Sử dụng định nghĩa suy rộng để tìm biến đổi
Fourier suy rộng ta có
F Step ,
Step, F
Step x F
x
dx
=
F x dx .
Với mỗi G . Vì hàm thử Gauss là khả tích tuyệt đối nên ta có
F
0
x
dx =
ye
i 2 xy
dxdy .
0
Vì vậy, ta có thể tính F Step như hàm suy rộng thoả mãn:
F Step,
ye
i 2 xy
dxdy , G.
0
Ví dụ 4. Ta thấy e2t step t là hàm biến đổi cổ điển với phép biến đổi Fourier
là 2 i 2 . Vì vậy phép biến đổi Fourier suy rộng của e2t step t cũng
1
là 2 i 2 .
1
Cho G. Theo định nghĩa của biến đổi suy rộng và e2t step t là hàm
mũ khả tích thì
F e2t step
, e2t step t , F
t
= e2t step t F t dt .
Từ G và nó là hàm khả tích tuyệt đối ta có
SVTH: LÊ THỊ HÀ
24
K32-CN TOÁN
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Trần Văn Bằng
F e step t , ( )
e
2 t
=
e
2 t
step t ei 2 t d dt
2 t
step (t ) ( )e i 2 t d dt .
Vì cả e2t step(t ) và là khả tích tuyệt đối. Ta có
F e2t step t , ( )
e
2 t
step t e
i 2 t
dtd
2t i 2 t
dt d
= e e
0
=
1
, .
2 i 2
Vậy, với mỗi G ta có
F e2t step t , ( )
1
, .
2 i 2
3.1.2. Tính tuyến tính và tính nghịch đảo
Cho f và g là 2 hàm suy rộng bất kỳ, cho , là hằng số tuỳ ý.
Khi đó với mỗi G ta có
F f g , =
f g , F
= f , F + g , F
=
Vậy
F f ,
F g ,
F f F g , .
F f g F f F g .
Định lí 1. Nếu f và g là 2 hàm suy rộng, và , là hằng thì
F f g F f F g
Và F -1 f g F -1 f F -1 g .
SVTH: LÊ THỊ HÀ
25
K32-CN TOÁN
