Nguyên lý cực trị trong không gian hữu hạn chiều

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

TỪ VĂN KHANH

NGUYÊN LÝ CỰC TRỊ
TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: GIẢI TÍCH

Người hướng dẫn khoa học
ThS. NGUYỄN QUỐC TUẤN

Hà Nội - 2013


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, cho phép tôi được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy
ThS. Nguyễn Quốc Tuấn - người đã trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ
tôi hoàn thành bài khoá luận của mình. Đồng thời, tôi xin chân thành cảm
ơn các thầy cô trong tổ Giải tích nói riêng, các thầy cô trong khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 nói chung, đã tạo điều kiện cho tôi trong
suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình tôi và những người đã
giúp đỡ tôi, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khóa
luận này.
Cuối cùng, trong khuôn khổ có hạn của một bài khoá luận, do điều kiện
thời gian, do trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên tôi tập dượt nghiên cứu
khoa học cho nên không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định. Vì
vậy, tôi kính mong nhận được những góp ý của các thầy cô và các bạn.
Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Từ Văn Khanh


LỜI CAM ĐOAN
Dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo ThS. Nguyễn Quốc Tuấn, khóa
luận tốt nghiệp đại học chuyên nghành Toán giải tích với đề tài "Nguyên lý
cực trị trong không gian hữu hạn chiều" được hoàn thành bởi chính sự
nhận thức của bản thân tôi, không có sự trùng lặp với bất cứ khóa luận nào
khác.

Trong quá trình nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận, tôi đã kế thừa
những thành tựu của các nhà khoa học và có sự tham khảo một số tài liệu
được ghi trong phần tài liệu tham khảo với sự trân trọng và lòng biết ơn sâu
sắc.
Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Từ Văn Khanh


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1. Kiến thức cơ bản về không gian Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Tập lồi, nón lồi, hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3. Hàm lồi địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4. Các định lý tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.5. Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Chương 2. Pháp tuyến của tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2. Phép tính các pháp tuyến suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

Chương 3. Nguyên lý cực trị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.1. Hệ cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.2. Các nguyên lý cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.3. Nguyên lý cực trị trong không gian hữu hạn chiều . . . . . . . . .

40

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50


Bảng ký hiệu và những chữ viết tắt

f :X ⇒Y

ánh xạ đơn trị từ X vào Y

dom f

miền hữu hiệu của hàm số thực f

F :X ⇒Y

ánh xạ đa trị từ X vào Y

dom F

miền hữu hiệu của F

ref F

miền ảnh của F

gph F

đồ thị của F

N

tập số tự nhiên

R

tập số thực

Rn

không gian hữu hạn chiều

x

chuẩn của véctơ x

x, y

tích vô hướng của véctơ x và y

A

chuẩn của toán tử tuyến tính A

[x, y]

đoạn thẳng nối hai điểm x, y trong không gian X

B

hình cầu đóng đơn vị trong không gian X

Bε

hình cầu đóng đơn vị tâm 0 bán kính ε

int A

phần trong của A

x¯

bao đóng của x

bd Ω

bao đóng của Ω

cone M

hình nón sinh bởi tập hợp M

Nε (x; Ω)

tập các ε−pháp tuyến của Ω tại điểm x ∈ Ω

N (x; Ω)

nón pháp tuyến Fréchet

N (x; Ω)

nón pháp tuyến qua giới hạn

LỜI MỞ ĐẦU

Giải tích biến phân dựa trên các khái niệm cơ bản như nón pháp tuyến
không lồi, dưới vi phân không lồi, và đối đạo hàm qua giới hạn do tác giả
B. S. Mordukhovich đề xuất đã thu hút được sự quan tâm đặc biệt của nhiều
nhóm nghiên cứu trên thế giới. Phần cơ sở lý thuyết của Giải tích biến phân
được trình bày trong 4 chương đầu (Tập 1), phần ứng dụng được trình bày
trong 4 chương cuối (Tập 2) của bộ sách [5, 6] với tổng cộng hơn 1200 trang
in. Lý thuyết này là sự kết hợp của Giải tích không trơn và Giải tích đa trị.
Các nguyên lý cực trị sử dụng nón pháp tuyến không lồi là cơ sở để xây
dựng các quy tắc tính toán và các định lý cơ sở của giải tích biến phân. Theo
[5, trang 249], nguyên lý cực trị cho trường hợp không gian Euclide hữu hạn
chiều - dưới tên gọi là "phương trình Euler suy rộng" - đã được Kruger và
Mordukhovich [2] đưa ra năm 1980. Kết quả này có nguồn gốc trong công
trình được công bố năm 1976 của Mordukhovich [3]. Tên gọi "nguyên lý
cực trị" xuất hiện lần đầu tiên vào năm 1994, trong công trình [4].
Có thể coi các nguyên lý cực trị theo nghĩa Mordukhovich là các định lý
tách cho hệ tập hữu hạn (không nhất thiết phải là các tập lồi).
Cho Ω1 , ..., Ωn (n ≥ 2) là các tập con khác rỗng của không gian hữu hạn
chiều Rn và điểm x ∈

n
i=1 Ωi .

Ta nói x là một điểm cực trị địa phương (a

local extremal point) của hệ tập {Ω1 , ..., Ωn } nếu tồn tại các dãy {aik } ⊂
Rn (i = 1, ..., n) sao cho aik → 0 khi k → ∞ và lân cận U của x thỏa mãn
điều kiện

n

(Ωi − aik ) ∩U = 0,
/
i=1

với mọi số nguyên dương k đủ lớn. Khi đó, hệ {Ω1 , ..., Ωn , x} được gọi là
một hệ cực trị (an extremal system) trong không gian hữu hạn chiều Rn .
1


Như vậy, hệ cực trị là một hệ hữu hạn các tập hợp cùng với một điểm
x thuộc giao của chúng mà ta có thể tách rời địa phương các tập đó (tức là
làm cho giao của chúng với một lân cận cho trước của x thành tập rỗng)
bằng cách làm nhiễu kiểu tịnh tiến các tập đã cho, với các phương tịnh tiến
là những véctơ có chuẩn bé hơn một số dương lấy tùy ý.
Ta nói nguyên lý cực trị chính xác (the exact extremal principle) nghiệm
đúng cho không gian hữu hạn chiều Rn nếu với mọi hệ cực trị {Ω1 , ..., Ωn , x},
với Ω1 , ..., Ωn là các tập đóng trong Rn , có tồn tại các pháp tuyến xi∗ ∈
N (xi ; Ωi ) , (i = 1, ..., n) sao cho
x1∗ + ... + xn∗ = 0, x1∗ + ... + xn∗ = 1,
ở đó N (x; Ωi ) ký hiệu nón pháp tuyến qua giới hạn (còn được gọi là nón
pháp tuyến Mordukhovich) của Ωi tại x. Ngoài nguyên lý cực trị chính xác,
người ta còn xét nguyên lý cực trị xấp xỉ và nguyên lý ε-cực trị, ở đó nón
pháp tuyến Fréchet và tập các ε-pháp tuyến Fréchet được sử dụng thay cho
nón pháp tuyến qua giới hạn.
Là một sinh viên khoa Toán, tôi mong muốn tìm hiểu sâu hơn về kiến
thức Toán học nói riêng và các lĩnh vực khoa học khác của đời sống nói
chung. Với mục đích làm tăng thêm sự hiểu biết về các nguyên lý cực trị
trong không gian hữu chiều, cũng là để tích lũy kinh nghiệm cho bản thân

để phục vụ cho công tác học tập, giảng dạy sau này, đồng thời giới thiệu cho
các bạn sinh viên có cái nhìn tổng quan và sâu sắc hơn về các nguyên lý cực
trị trong không gian hữu hạn chiều.
Vì những lý do trên, cùng với sự góp ý, động viên, giúp đỡ tận tình của
các thầy cô, đặc biệt là thầy ThS. Nguyễn Quốc Tuấn và cộng thêm sự đam
mê của bản thân, tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài
"Nguyên lý cực trị trong không gian hữu hạn chiều".
2


Mục đích của khóa luận này là giới thiệu ba nguyên lý cực trị nói trên và tìm
hiểu về cách tính nón pháp tuyến của một tập hợp (có thể là tập lồi hoặc tập
không lồi).
Khóa luận bao gồm lời mở đầu, ba chương, phần kết luận, và danh mục
tài liệu tham khảo.
Chương 1. Trình bày các kiến thức cơ bản (các kiến thức về tập lồi, hàm
lồi, ánh xạ đa trị...).
Chương 2. Trình bày các khái niệm ε-pháp tuyến suy rộng và nón pháp
tuyến qua giới hạn của tập hợp bất kỳ (có thể là không lồi) trong không gian
Rn .
Chương 3. Trình bày các khái niệm về hệ cực trị, khái niệm tách các tập
hợp (có thể là không lồi) và ba nguyên lý cực trị (nguyên lý cực trị chính
xác, nguyên lý cực trị xấp xỉ, nguyên lý ε-cực trị) trong không gian Rn .
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ThS. Nguyễn Quốc Tuấn người đã tận tình hướng dẫn, giúp tôi trong suốt qua trình thực hiện khóa
luận. Đồng thời, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Giải tích,
các thầy cô trong khoa Toán, gia đình tôi và những người đã giúp đỡ, động
viên tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khóa luận này.
Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên
Từ Văn Khanh

3


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1. Kiến thức cơ bản về không gian Rn
Định nghĩa 1.1 (Định nghĩa không gian Rn ). Ta gọi không gian Rn là tập
tích Descartes R × R × · · · × R (gồm n thành phần) trong đó mỗi một phần
tử trong không gian Rn được gọi là điểm (véctơ) được biểu diễn bởi một bộ
n số
x = (x1 , x2 , ..., xn ) , xi ∈ R, i = 1, . . . , n.
Số xi trong cách biểu diễn của điểm x được gọi là tọa độ thứ i của điểm x.
Giả sử có hai điểm trong không gian Rn là
a = (a1 , a2 , . . . , an ) và b = (b1 , b2 , . . . , bn ) ,
ta định nghĩa tổng của chúng, ký hiệu a + b, là một điểm trong Rn với các
tọa độ là
a + b = (a1 + b1 , a2 + b2 , . . . , an + bn ) ,

4


và ta định nghĩa tích của điểm a với một số thực λ , ký hiệu λ a, là một điểm
trong Rn với các tọa độ là
λ a = (λ a1 , λ a2 , . . . , λ an ) .
Quy ước: ký hiệu 0 là điểm có tất cả các tọa độ bằng 0 và gọi là điểm
gốc, còn − a là điểm (−1)a (tức là điểm có tọa độ ngược dấu với các tọa độ
điểm a).
Định nghĩa 1.2 (Tích vô hướng). Tích vô hướng của hai véctơ a = (a1 , a2 , . . . , an )

và b = (b1 , b2 , . . . , bn ), ký hiệu a, b là một bộ số xác định bởi
a, b := a1 b1 + a2 b2 + an bn .
Định nghĩa 1.3 (Chuẩn của véctơ). Chuẩn (hay độ dài) của véctơ a, ký hiệu
là a , là một số xác định bởi
a =

a21 + a22 + · · · + a2n .

Nhận xét 1.1. Tích vô hướng trong định nghĩa 1.2 và chuẩn trong định
nghĩa 1.3 tương ứng được gọi là tích vô hướng và chuẩn Euclide. Ngoài ra,
trong Rn chúng ta còn có thể trang bị được rất nhiều các tích vô hướng và
các chuẩn khác.
Định lý 1.1 (Bất đẳng thức Schwarz). Đối với mỗi x ∈ Rn ta đặt
x =

x12 + x22 + · · · + xn2 .

x, x =

Khi đó, với mọi x, y ∈ Rn ta có bất đẳng thức Schwarz
| x, y | ≤ x

y ,

hay
|x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn | ≤

x12 + x22 + · · · + xn2
5

y21 + y22 + · · · + y2n .


Định nghĩa 1.4 (Tính trực giao của hai véctơ). Hai véctơ a và b trong không
gian Rn được gọi là trực giao (vuông góc) với nhau, ký hiệu a ⊥ b, nếu
a, b = 0.
Định lý 1.2 (Định lý Pythagoras). Trong không gian Rn nếu hai véctơ a và
b vuông góc với nhau thì
a+b

2

= a

2

+ b

2

.

Định nghĩa 1.5 (Định nghĩa về toán tử tuyến tính). Ánh xạ A từ không gian
Rn vào không gian Rm được gọi là một toán tử tuyến tính nếu ánh xạ A thỏa
mãn các điều kiện:
1) A (x + y) = Ax + Ay, ∀x, y ∈ Rn ;
2) A (αx) = α (Ax) , ∀x ∈ Rn , ∀α ∈ R.
Định nghĩa 1.6 (Định nghĩa về toán tử tuyến tính bị chặn (liên tục)). Toán
tử tuyến tính A từ không gian Rn vào không gian Rm được gọi là bị chặn nếu
tồn tại hằng số C > 0 sao cho

Ax ≤ C x , ∀x ∈ Rn .
Định nghĩa 1.7 (Định nghĩa chuẩn của toán tử tuyến tính liên tục). Toán tử
tuyến tính liên tục A từ không gian Rn vào không gian Rm . Ta gọi chuẩn của
toán tử tuyến tính A, ký hiệu A , là số được xác định bởi
A = inf {C > 0 | Ax ≤ C x , ∀x ∈ Rn } .
Định nghĩa 1.8 (Định nghĩa toán tử liên hợp). Cho toán tử tuyến tính A từ
không gian Rn vào không gian Rm , toán tử liên hợp A∗ từ không gian Rm
vào không gian Rn được xác định bởi công thức
A∗ y, x = y, Ax , ∀y ∈ Rm , ∀x ∈ Rn .
6


Định nghĩa 1.9 (Không gian liên hợp). Ta gọi không gian L (Rn , R) các
phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Rn là không gian liên hợp
(hay không gian đối ngẫu) của không gian Rn và kí hiệu (Rn )∗ thay cho ký
hiệu L (Rn , R).
Nhận xét 1.2. Người ta đã chứng minh được rằng không gian đối ngẫu
(Rn )∗ của không gian Rn đẳng cấu với không gian Rn . Vì vậy, ta có thể coi
không gian đối ngẫu (Rn )∗ của không gian Rn chính là không gian Rn .

1.2. Tập lồi, nón lồi, hàm lồi
Định nghĩa 1.10 (Định nghĩa tập lồi). Tập A ⊂ Rn được gọi là tập lồi nếu
với mọi x1 , x2 ∈ A, với mọi λ ∈ R sao cho 0 ≤ λ ≤ 1 thì λ x1 +(1 − λ ) x2 ∈ A.
Nhận xét 1.3. Theo định nghĩa, tập 0/ được xem là tập lồi.
Định nghĩa 1.11. Đoạn nối x1 , x2 , ký hiệu [x1 , x2 ], được định nghĩa bởi
[x1 , x2 ] = {x ∈ A : x = λ x1 + (1 − λ ) x2 , 0 ≤ λ ≤ 1} .
Nhận xét 1.4. Tập A là lồi nếu với mọi x1 , x2 ∈ A thì [x1 , x2 ] ∈ A.
Mệnh đề 1.1. Giả sử Aα ⊂ Rn (α ∈ I) là các tập lồi, với I là tập chỉ số bất
kỳ. Khi đó, tập A =

α∈I Aα

cũng là tập lồi.

Từ định nghĩa 1.10 ta nhận được các mệnh đề 1.2, 1.3, 1.4.
Mệnh đề 1.2. Giả sử tập lồi Ai ⊂ Rn , λi ∈ R, (i = 1, ..., m). Khi đó, tập
λ1 A1 + λ2 A2 + · · · + λm Am là tập lồi trong Rn .
Mệnh đề 1.3. Giả sử tập lồi Aα ⊂ Rα , (α ∈ I là tập con hữu hạn của N∗ ).
Khi đó, tích Descartes Πα∈I Aα là tập lồi trong Πα∈I Rα .
7


Mệnh đề 1.4. Toán tử tuyến tính T : Rn → Rm . Khi đó
a) Nếu A là tập lồi trong Rn thì tập ảnh T (A) là tập lồi trong Rm ;
b) Nếu B là tập lồi trong Rm thì nghịch ảnh T −1 (B) của tập B là tập lồi
trong Rn .
Định nghĩa 1.12. Véctơ x ∈ Rn được gọi là tổ hợp lồi của các véctơ x1 , ...xm
thuộc Rn nếu tồn tại λi ≥ 0, (i = 1, ..., m), thỏa mãn ∑m
i=1 λi = 1 sao cho
x = ∑m
i=1 λi xi .
Định lý 1.3. Giả sử tập A là tập lồi trong Rn , các véctơ x1 , ..., xm ∈ A. Khi
đó, tập A chứa tất cả các tổ hợp lồi của x1 , ..., xm .
Định nghĩa 1.13. Tập K ⊂ Rn được gọi là nón nếu với mọi x ∈ K, với mọi
λ > 0 thì λ x ∈ K. Nón K được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu 0 thuộc K. Nón
K được gọi là nón có đỉnh tại x0 nếu K – x0 là nón có đỉnh tai 0. Nón K được
gọi là nón lồi nếu K là tập lồi, có nghĩa là
∀x, y ∈ K, ∀λ , µ > 0 thì λ x + µy ∈ K.
Định nghĩa 1.14. Véctơ x∗ ∈ Rn được gọi là pháp tuyến của tập lồi A tại
x ∈ A nếu

x∗ , x − x ≤ 0, ∀x ∈ A.
Tập hợp tất cả các véctơ pháp tuyến của tập lồi A tại x ∈ A được gọi là nón
pháp tuyến của A tại x, kí hiệu là N (x; A). Như vậy
N (x; A) = {x∗ ∈ Rn | x∗ , x − x ≤ 0, ∀x ∈ A} .
Giả sử tập D nằm trong Rn và hàm f : D → R ∪ {±∞}
Định nghĩa 1.15. Trên đồ thị (epigraph) của hàm f , ký hiệu là epi f , được
định nghĩa bởi
epi f = {(x, r) ∈ D × R | f (x) ≤ r} .
8


Định nghĩa 1.16. Miền hữu hiệu (effective domain) của hàm f , kí hiệu là
dom f , được xác định bởi
dom f = {x ∈ D | f (x) < +∞} .
Định nghĩa 1.17. Hàm f gọi là chính thường (proper), nếu dom f = 0/ và
f (x) > −∞, ∀x ∈ D.
Định nghĩa 1.18 (Định nghĩa hàm lồi, hàm lõm). Hàm f được gọi là lồi
trên D (convex on D) nếu epi f là tập lồi trong Rn × R. Hàm f được gọi là
hàm lõm trên D (concave on D) nếu − f là hàm lồi trên D.
Nhận xét 1.5. Nếu f là hàm lồi thì miền hữu hiệu của hàm f cũng là hàm
lồi.
Định lý 1.4 (Bất đẳng thức hàm lồi). Giả sử D là tập lồi trong không gian
Rn , hàm f : D → R ∪ {+∞} . Khi đó, hàm f lồi trên D khi và chỉ khi
f (λ x + (1 − λ ) y) ≤ λ f (x) + (1 − λ ) f (y) , ∀λ ∈ [0; 1] , ∀x, y ∈ D.

1.3. Hàm lồi địa phương
Định nghĩa 1.19. Ánh xạ f : D → R được gọi là khả vi theo phương d tại
điểm x nếu tồn tại giới hạn hữu hạn
f (x, d) = lim
λ ↓0

f (x + λ d) − f (x)
.
λ

Định nghĩa 1.20. Hàm f xác định trên Rn được gọi là lồi địa phương tại
điểm x ∈ Rn nếu đạo hàm theo phương f (x; .) tại x tồn tại và lồi.

9


1.4. Các định lý tách
Định nghĩa 1.21 (Định nghĩa đa tạp tuyến tính). Cho tập M ⊂ Rn . Tập M
được gọi là một đa tạp tuyến tính trong Rn nếu bất cứ đường thẳng nào đi
qua hai điểm của M cũng nằm trọn trong M.
Lấy x∗ ∈ Rn , x∗ = 0, β ∈ R và ký hiệu
H (x∗ , β ) = {x ∈ Rn : x∗ , x = β } ,
H + (x∗ , β ) = {x ∈ Rn : x∗ , x ≤ β } ,
H − (x∗ , β ) = {x ∈ Rn : x∗ , x ≥ β } .
Định nghĩa 1.22 (Siêu phẳng – nửa không gian). Với 0 = x∗ ∈ Rn , β ∈ R,
tập H (x∗ , β ) được gọi là một siêu phẳng trong Rn . Các tập H + (x∗ , β ) và
H − (x∗ , β ) được gọi là các nửa không gian sinh bởi siêu phẳng H (x∗ , β ).
Định nghĩa 1.23 (Định nghĩa tách). Cho các tập hợp A, B ⊂ Rn . Ta nói
phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗ = 0 tách A và B nếu tồn tại số α sao cho
x∗ , y ≤ α ≤ x∗ , x , ∀x ∈ A, ∀y ∈ B.

(1.1)

Nếu công thức (1.1) có dạng
x∗ , y < α < x∗ , x , ∀x ∈ A, ∀y ∈ B,

thì ta nói x∗ tách ngặt (tách chặt) A và B.
Siêu phẳng đóng H (x∗ , α) = {x ∈ Rn : x∗ , x = α} được gọi là siêu
phẳng tách A và B. Các tập A và B được gọi là tách được.
Định lý 1.5 (Định lý tách thứ nhất). Giả sử A, B là hai tập lồi trong không
gian Rn , A ∩ B = 0,
/ int A = 0/ . Khi đó, tồn tại x∗ ∈ Rn , x∗ = 0 tách A và B.

10


Định lý 1.6 (Định lý tách thứ hai). Giả sử tập A là không gian con trong
không gian Rn và x0 ∈
/ A. Khi đó, tồn tại x∗ = 0 thuộc Rn tách ngặt (tách
chặt) A và x0 .

1.5. Ánh xạ đa trị
Định nghĩa 1.24 (Ánh xạ đa trị). Cho F : Rn ⇒ Rm là ánh xạ từ Rn vào tập
m

hợp gồm toàn bộ các tập con của Rm (được ký hiệu là 2R ). Ta nói F là ánh
xạ đa trị từ Rn vào Rm .
Như vậy, với mỗi phần tử x ∈ Rn ảnh F (x) là một tập hợp con của Rm .
Do đó, không loại trừ khả năng là với một số phần tử x ∈ Rn nào đó ta có
ảnh F (x) là tập rỗng.
Nếu với mỗi x ∈ Rn tập ảnh F (x) chỉ gồm có một phần tử của Rm thì ta
nói F là ánh xạ đơn trị từ Rn vào Rm . Khi đó, thay cho ký hiệu F : Rn ⇒ Rm
người ta dùng ký hiệu quen thuộc f : Rn → Rm .
Định nghĩa 1.25. Đồ thị gph F, miền hữu hiệu dom F và miền ảnh rge F
của ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm tương ứng được xác định bằng các công thức
gph F = {(x, y) ∈ Rn × Rm | y ∈ F (x)} ,

dom F = {x ∈ Rn | F (x) = 0}
/ ,
và
rge F = {y ∈ Rm | ∃ x ∈ Rn sao cho y ∈ F (x)} .

11


Chương 2

Pháp tuyến của tập hợp
Chương này trình bày các khái niệm ε−pháp tuyến suy rộng và pháp
tuyến qua giới hạn của tập hợp bất kỳ (có thể không lồi) trong không gian
hữu hạn chiều Rn , cùng với một số tính chất cơ bản. Đây là những kiến thức
cơ bản cần thiết để tìm hiểu các nguyên lý cực trị.

2.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản
Ω

Kí hiệu x → x có nghĩa là x → x với x ∈ Ω. Nếu F : Rn ⇒ Rn là một ánh
xạ đa trị từ không gian hữu hạn chiều Rn vào chính nó, kí hiệu
ω∗

Limsup F(x) = x∗ ∈ Rn | ∃ {xk }, xk → x¯ và xk∗ → x∗ , xk∗ ∈ F(xk ), ∀k ∈ N
Ω

x→x

được dùng để chỉ giới hạn trên theo dãy theo nghĩa Painlevé-Kuratowski
trong tôpô chuẩn của Rn và tôpô yếu∗ của Rn .

Định nghĩa 2.1 (Pháp tuyến suy rộng). Cho Ω ∈ Rn là tập con khác rỗng.
12


(i) Tập các ε-pháp tuyến (ε-normal) của Ω tại điểm x ∈ Ω được xác định
bằng công thức
Nε (x; Ω) :=

x∗ , u − x
≤ε .
x ∈ R | lim sup
u−x
Ω
∗

n

u→x

Khi ε = 0, các phần tử của Nε (x; Ω) được gọi là các pháp tuyến Fréchet.
Tập hợp các pháp tuyến Fréchet được gọi là nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại
x, và được kí hiệu bởi N(x; Ω). Nếu x ∈
/ Ω, thì ta quy ước rằng Nε (x; Ω) = 0.
/
(ii) Cho x ∈ Ω. Khi đó x∗ ∈ Rn được gọi là pháp tuyến cơ bản (basic
normal) hay pháp tuyến qua giới hạn (limiting normal) của Ω tại x nếu tồn
ω∗

Ω

tại các dãy εk → 0, xk → x và xk∗ → x∗ sao cho xk∗ ∈ Nεk (xk ; Ω) với mọi k ∈ N.
Tập hợp các pháp tuyến qua giới hạn
N(x; Ω) := Limsup Nε (x; Ω)
x→x
ε↓0

được gọi là nón pháp tuyến qua giới hạn (hay nón pháp tuyến cơ bản, nón
pháp tuyến Mordukhovich) của Ω tại x. Nếu x ∈
/ Ω, thì ta đặt N(x; Ω) = 0.
/
Ví dụ 2.1. Cho Ω1 := (x1 , x2 ) ∈ R2 | x2 = − |x1 | , tại x = 0. Khi đó u =
(u1 , u2 ) ∈ Ω1 , u2 = − |u1 | suy ra u = (u1 , − |u1 |) và x = (0, 0), x∗ = (x1 , x2 ) ∈
R2 . Ta có

x∗ u1 − x2∗ |u1 |
x∗ , u − x
= 1
.
u−x
2
2
u1 + (− |u1 |)

Với ε > 0, theo định nghĩa 2.1(i) ta có
x∗ , u − x
lim sup
≤ε
u−x
Ω
u→x

⇔ lim sup
u1 →0

x1∗ u1 − x2∗ |u1 |
u21 + (− |u1 |)2
13

≤ ε.

(2.1)


Hình 2.1: Tập hợp các ε-pháp tuyến của tập Ω1 tại x = (0, 0).
Ta tính giới hạn trái của vế trái (2.1)
lim sup
u1 →0−

(x1∗ + x2∗ ) u1
(x1∗ + x2∗ )
√
√ ,
= lim sup
=
2
−
−
2u
−
2

2
u
→0
1
1
u1 + (− |u1 |)

x1∗ u1 − x2∗ |u1 |

(2.2)

và giới hạn phải của vế trái (2.1)
lim sup
u1

→0+

x1∗ u1 − x2∗ |u1 |
u21 + (− |u1 |)2

= lim sup
u1

→0+

(x1∗ − x2∗ ) u1
(x∗ − x∗ )
√
= 1√ 2 .
2u1

2

Từ (2.1), (2.2) và (2.3) ta được hệ phương trình



 x∗ + x∗ ≥ −√2ε
x2∗
1
2
⇔
√
√
 − 2ε − x∗ ≤ x∗
 x∗ − x∗ ≤
2ε
1
2
2
1

(2.3)

√
− 2ε
√
≤
2ε + x2∗
≥

Vậy tập các ε-pháp tuyến của Ω1 tại x ∈ Ω1 là
Nε ((0, 0) ; Ω1 ) = (x1∗ ; x2∗ ) ∈ R2 | |x1∗ | ≤

√
√
2ε + x2∗ , x2∗ ≥ − 2ε .

Ví dụ 2.2. Cho tập Ω2 = (x1 , x2 ) ∈ R2 | x2 ≤ − |x1 | , tại x = 0. Khi đó
u = (u1 , u2 ) ∈ Ω2 , x = (0, 0) và x∗ = (x1 , x2 ) ∈ R2 .
14


Hình 2.2:Tập hợp các ε-pháp tuyến của tập Ω2 tại x = (0, 0).
Ta có u − x = u nên suy ra
x∗ , u − x = x∗ , u = x∗

u cos (x∗ , u)

và

u−x = u .

Do đó, ta có
x∗ , u − x
x∗
lim sup
= lim sup
u−x
u→x
u→x

u cos (x∗ , u)
u

= lim sup x∗ cos (x∗ , u) ≤ ε.
u→x

Suy ra
x∗ cos (x∗ , u) ≤ ε, ∀u ∈ Ω2 .
Trường hợp 1: Nếu x∗ ∈ Ω2 , khi đó ta chọn u = kx∗ với mọi số thực k = 0 ta
thu được cos (x∗ , u) = 1 nên ta có x∗ ≤ ε.
Trường hợp 2: Nếu x∗ ∈
/ Ω2 , khi đó để cos (x∗ , u) là lớn nhất thì u phải thuộc
vào biên của Ω2 , tức là u2 = − |u1 |. Khi đó ta thu được
x∗ , u − x
lim sup
≤ε
u−x
bdΩ2
u → x

15


x1∗ u1 − x2∗ |u1 |

⇔ lim sup

u21 + (− |u1 |)2

u1 →0

≤ ε.

(2.4)

Ta tính giới hạn trái của vế trái (2.4)
lim sup
u1 →0−

(x1∗ + x2∗ ) u1
(x1∗ + x2∗ )
√
√ ,
= lim sup
=
2
−
−
2u
−
2
u1 →0
1
u21 + (− |u1 |)

x1∗ u1 − x2∗ |u1 |

(2.5)

và giới hạn phải của vế trái (2.4)
lim sup
u1 →0+

x1∗ u1 − x2∗ |u1 |

(x1∗ − x2∗ ) u1
(x1∗ − x2∗ )
= lim sup √
= √
.
+
2
2u
2
2
u
→0
1
1
u1 + (− |u1 |)

Từ (2.4), (2.5) và (2.6) ta được hệ phương trình


 x∗ + x∗ ≥ −√2ε

x2∗
1
2

⇔
√
√
 x∗ − x∗ ≤
 − 2ε − x∗ ≤ x∗
2ε
2
1
1
2

(2.6)

√
− 2ε
√
≤
2ε + x2∗
≥

Vậy
Nε ((0, 0) ; Ω2 )
= {x∗ = (x1∗ , x2∗ ) ∈ R2 | |x1∗ | ≤

√
√
2ε + x2∗ , x2∗ ≥ − 2ε} \ Ω2 ∪ B(ε),

trong đó B(ε) là hình cầu đơn vị đóng tâm 0 bán kính ε.
Ví dụ 2.3. Cho tập Ω3 = (x1 , x2 ) ∈ R2 | x2 ≥ − |x1 | , tại x = 0. Khi đó

u = (u1 , u2 ) ∈ Ω3 , x = (0, 0) và x∗ = (x1 , x2 ) ∈ R2 .
Ta có u − x = u nên suy ra
x∗ , u − x = x∗ , u = x∗

u cos (x∗ , u) và u − x = u .

Do đó, ta có
x∗ , u − x
x∗
lim sup
= lim sup
u−x
u→x
u→x

u cos (x∗ , u)
u

= lim sup x∗ cos (x∗ , u) ≤ ε.
u→x

16


Hình 2.3:Tập hợp các ε-pháp tuyến của tập Ω3 tại x = (0, 0).
Suy ra
x∗ cos (x∗ , u) ≤ ε.
Trường hợp 1: Nếu x∗ ∈ Ω3 , khi đó ta chọn u = kx∗ với mọi số thực k = 0 ta
thu được cos (x∗ , u) = 1 nên ta có x∗ ≤ ε.
Trường hợp 2: Nếu x∗ ∈

/ Ω3 , khi đó để cos (x∗ , u) là lớn nhất thì u phải thuộc
vào biên của Ω3 , tức là u2 = − |u1 |. Khi đó ta thu được
x∗ , u − x
lim sup
≤ε
u−x
bdΩ3
u → x

⇔ lim sup
u1 →0

x1∗ u1 − x2∗ |u1 |
u21 + (− |u1 |)2

≤ ε.

(2.7)

Ta tính giới hạn trái của vế trái (2.7)
lim sup
u1

→0−

(x1∗ + x2∗ ) u1
(x1∗ + x2∗ )
√
√ ,
= lim sup

=
2
−
−
2u
−
2
2
u1 →0
1
u1 + (− |u1 |)

x1∗ u1 − x2∗ |u1 |

(2.8)

và giới hạn phải của vế trái (2.7)
lim sup
u1

→0+

x1∗ u1 − x2∗ |u1 |
u21 + (− |u1 |)2

= lim sup
u1

→0+

17

(x1∗ − x2∗ ) u1
(x∗ − x∗ )
√
= 1√ 2 .
2u1
2

(2.9)


Từ (2.7), (2.8) và (2.9) ta được hệ phương trình



 x∗ + x∗ ≥ −√2ε
x2∗
1
2
⇔
√
√
 − 2ε − x∗ ≤ x∗
 x∗ − x∗ ≤
2ε
2
1
1
2

√
− 2ε
√
≤
2ε + x2∗
≥

Vậy
Nε ((0, 0) ; Ω2 )
= {x∗ = (x1∗ , x2∗ ) ∈ R2 | |x1∗ | ≤

√
√
2ε + x2∗ , x2∗ ≥ − 2ε} \ Ω3 ∪ (B(ε) ∩ Ω3 ) ,

trong đó B(ε) là hình cầu đơn vị đóng tâm 0 bán kính ε.
Nhận xét 2.1. Từ định nghĩa (2.1) suy ra N(x; Ω) ⊂ Nε (x; Ω), với mọi ε > 0.
Hơn thế, ta có
Nε (x; Ω) ⊃ N(x; Ω) + εB, ∀ε

0, ∀Ω ⊂ Rn .

Mệnh đề sau đây sẽ chỉ ra cách tính nón pháp tuyến Fréchet và nón pháp
tuyến qua giới hạn của tích hai tập hợp.
Mệnh đề 2.1. Cho x bất kì với x = (x1 , x2 ) ∈ Ω1 × Ω2 ⊂ Rn × Rm . Khi đó,
ta có:
N(x; Ω1 × Ω2 ) = N(x1 ; Ω1 ) × N(x2 ; Ω2 ),
N(x; Ω1 × Ω2 ) = N(x1 ; Ω1 ) × N(x2 ; Ω2 ).
Khi Ω là tập lồi, nón pháp tuyến Fréchet trùng với nón pháp tuyến theo nghĩa

Giải tích lồi [9]. Cụ thể hơn, ta có mệnh đề 2.2
Mệnh đề 2.2 (ε-pháp tuyến của tập lồi). Cho Ω là một tập lồi trong Rn . Khi
đó, ta có
Nε (x; Ω) = {x∗ ∈ Rn | x∗ , x − x ≤ ε x − x , ∀x ∈ Ω}
với ε ≥ 0 bất kì và x ∈ Ω. Nói riêng ra, N (x; Ω) trùng với nón pháp tuyến
của Ω tại x theo nghĩa Giải tích lồi.
18


Chứng minh. Đặt
M = {x∗ ∈ Rn | x∗ , x − x ≤ ε x − x , ∀x ∈ Ω} .
Ta cần chứng minh rằng M = Nε (x; Ω). Hiển nhiên ta có M ⊂ Nε (x; Ω). Do
đó, ta chỉ cần chứng tỏ rằng Nε (x; Ω) ⊂ M. Lấy tùy ý u∗ ∈ Nε (x; Ω) và cố
định phần tử x ∈ Ω. Vì Ω là tập lồi nên ta có
xα = x + α (x − x) ∈ Ω
với mọi 0 ≤ α ≤ 1. Hơn nữa, xα → x khi α ↓ 0. Mặt khác, do
Nε (x; Ω) :=

x∗ , u − x
≤ε ,
x ∈ R | lim sup
u−x
Ω
∗

n

u→x

ta có

lim sup
α↓0

u∗ , xα − x
≤ ε.
x−x

Suy ra, với mỗi γ > 0, nếu lấy α > 0 đủ nhỏ thì ta có
u∗ , xα − x
≤ ε + γ.
xα − x
Sử dụng biểu thức của xα và thực hiện phép rút gọn, ta thu được
u∗ , x − x ≤ (ε + γ) x − x .
Vì γ > 0 có thể lấy tùy ý, từ đó suy ra
u∗ , x − x ≤ ε x − x , ∀x ∈ Ω.
Vậy u∗ ∈ M.
Lấy ε = 0 và áp dụng công thức vừa được chứng minh, ta có
N (x; Ω) = {x∗ ∈ Rn | x∗ , x − x ≤ 0, ∀x ∈ Ω} .
Điều đó chứng tỏ rằng N (x; Ω) trùng với nón pháp tuyến của Ω tại x theo
nghĩa Giải tích lồi.
19


Nhận xét 2.2. Từ định nghĩa 2.1 ta có N (x; Ω) ⊂ N (x; Ω) với mọi Ω ⊂ Rn
và x ∈ Ω. Khi bao hàm thức đó xảy ra dấu bằng thì người ta nói rằng tập Ω
là chính quy tại x.
Định nghĩa 2.2. Tập Ω ⊂ Rn được gọi là chính quy (nói đầy đủ là chính
quy pháp tuyến) tại x ∈ Ω, nếu:
N (x; Ω) = N (x; Ω) .
Một lớp ví dụ quan trọng về tập chính quy tại một điểm x cho trước là các

tập Ω lồi địa phương xung quanh điểm đó, tức là tồn tại lân cận U ⊂ Rn của
x sao cho Ω ∩U là một tập lồi.
Mệnh đề 2.3 (Tính chính quy của tập lồi địa phương). Giả sử U là lân cận
mở của x ∈ Ω sao cho Ω ∩U là tập lồi. Khi đó, Ω là tập chính quy tại điểm
x, và ta có:
N (x; Ω) = {x∗ ∈ Rn | x∗ , x − x ≤ 0, ∀x ∈ Ω ∩U} .

(2.10)

Chứng minh. Từ định nghĩa suy ra rằng các hình nón N (x; Ω) , N (x; Ω), và
các tập Nε (x; Ω), với mọi ε > 0, chỉ phụ thuộc vào cấu trúc của Ω trong lân
cận điểm x. Theo mệnh đề 2.2 ta có
N (x; Ω) = {x∗ ∈ Rn | x∗ , x − x ≤ 0, ∀x ∈ Ω ∩U} .
Mặt khác, theo nhận xét 2.2 ta có N (x; Ω) ⊂ N (x; Ω) . Từ đó suy ra
N (x; Ω) ⊃ {x∗ ∈ Rn | x∗ , x − x ≤ 0, ∀x ∈ Ω ∩U} .
Để chứng minh bao hàm thức ngược lại, ta lấy x∗ ∈ N(x; Ω). Chọn dãy
εk , xk , xk∗ tương ứng với x∗ như trong định nghĩa 2.1(ii). Do x ∈ Ω ∩ U
Ω

và xk → x, xk ∈ Ω ∩ U với mọi k ∈ N đủ lớn. Vì Ω ∩ U là tập lồi và
x∗ ∈ Nεk (xk ; Ω) , nên theo mệnh đề 2.11 ta có
xk∗ , x − xk ≤ x − xk , ∀x ∈ Ω ∩U.
20